X adalah fungsi genap dan ganjil. Fungsi genap dan ganjil. Fungsi periodik. Investigasi fungsi ke ekstrem

Fungsi genap dan ganjil adalah salah satu sifat utamanya, dan paritas menempati bagian yang mengesankan dari kursus sekolah dalam matematika. Ini sangat menentukan sifat perilaku fungsi dan sangat memudahkan pembuatan grafik yang sesuai.

Mari kita tentukan paritas fungsi. Secara umum, fungsi yang diteliti dianggap meskipun untuk nilai yang berlawanan dari variabel independen (x) yang terletak di domainnya, nilai y (fungsi) yang sesuai adalah sama.

Mari kita berikan definisi yang lebih ketat. Pertimbangkan beberapa fungsi f (x), yang didefinisikan dalam domain D. Bahkan jika untuk setiap titik x terletak di domain definisi:

• -x (berlawanan titik) juga terletak pada lingkup yang diberikan,

• f(-x) = f(x).

Dari definisi di atas, kondisi yang diperlukan untuk domain definisi dari fungsi tersebut mengikuti, yaitu, simetri sehubungan dengan titik O, yang merupakan asal koordinat, karena jika beberapa titik b terkandung dalam domain definisi fungsi genap, maka titik yang sesuai - b juga terletak di domain ini. Oleh karena itu, kesimpulannya adalah sebagai berikut: fungsi genap memiliki bentuk yang simetris terhadap sumbu ordinat (Oy).

Bagaimana cara menentukan paritas suatu fungsi dalam praktik?

Diberikan menggunakan rumus h(x)=11^x+11^(-x). Mengikuti algoritma yang mengikuti langsung dari definisi, pertama-tama kita mempelajari domain definisinya. Jelas, itu didefinisikan untuk semua nilai argumen, yaitu kondisi pertama terpenuhi.

Langkah selanjutnya adalah mengganti argumen (x) dengan nilai kebalikannya (-x).
Kita mendapatkan:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Karena penjumlahan memenuhi hukum komutatif (perpindahan), jelaslah bahwa h(-x) = h(x) dan ketergantungan fungsional yang diberikan adalah genap.

Mari kita periksa kemerataan fungsi h(x)=11^x-11^(-x). Mengikuti algoritma yang sama, kita mendapatkan h(-x) = 11^(-x) -11^x. Mengambil minusnya, sebagai hasilnya, kita punya
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Jadi h(x) ganjil.

Ngomong-ngomong, harus diingat bahwa ada fungsi yang tidak dapat diklasifikasikan menurut kriteria ini, disebut bukan genap atau ganjil.

Fungsi genap memiliki sejumlah properti menarik:

• sebagai hasil dari penambahan fungsi serupa, diperoleh fungsi genap;
• sebagai hasil dari mengurangkan fungsi-fungsi tersebut, diperoleh satu genap;
• bahkan, juga bahkan;
• sebagai hasil dari mengalikan dua fungsi tersebut, diperoleh satu genap;
• sebagai hasil perkalian fungsi ganjil dan genap, diperoleh fungsi ganjil;
• sebagai hasil pembagian fungsi ganjil dan genap, diperoleh fungsi ganjil;
• turunan dari fungsi tersebut adalah ganjil;
• Jika kita mengkuadratkan fungsi ganjil, kita mendapatkan fungsi genap.

Paritas suatu fungsi dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti g(x) = 0, di mana sisi kiri persamaan adalah fungsi genap, cukup mencari solusinya untuk nilai non-negatif dari variabel tersebut. Akar persamaan yang diperoleh harus digabungkan dengan bilangan yang berlawanan. Salah satunya tunduk pada verifikasi.

Hal yang sama berhasil digunakan untuk menyelesaikan masalah non-standar dengan parameter.

Misalnya, apakah ada nilai untuk parameter a yang membuat persamaan 2x^6-x^4-ax^2=1 memiliki tiga akar?

Jika kita memperhitungkan bahwa variabel memasuki persamaan dengan pangkat genap, maka jelas bahwa mengganti x dengan -x tidak akan mengubah persamaan yang diberikan. Oleh karena itu, jika bilangan tertentu adalah akarnya, maka bilangan lawannya juga demikian. Kesimpulannya jelas: akar persamaan, selain nol, termasuk dalam himpunan solusinya dalam "berpasangan".

Jelas bahwa angka 0 itu sendiri bukanlah, yaitu jumlah akar dari persamaan semacam itu hanya bisa genap dan, tentu saja, untuk nilai parameter apa pun tidak boleh memiliki tiga akar.

Tetapi jumlah akar persamaan 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 bisa ganjil, dan untuk nilai parameter apa pun. Memang, mudah untuk memeriksa bahwa himpunan akar dari persamaan yang diberikan berisi solusi dalam "berpasangan". Mari kita periksa apakah 0 adalah root. Saat mensubstitusikannya ke dalam persamaan, kita mendapatkan 2=2. Jadi, selain "berpasangan", 0 juga merupakan akar, yang membuktikan bilangan ganjilnya.

Kembali ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Sasaran:

• membentuk konsep fungsi genap dan ganjil, mengajarkan kemampuan menentukan dan menggunakan sifat-sifat tersebut dalam mempelajari fungsi, memplot;
• mengembangkan aktivitas kreatif siswa, berpikir logis, kemampuan membandingkan, menggeneralisasi;
• untuk menumbuhkan ketekunan, budaya matematika; mengembangkan keterampilan komunikasi .

Peralatan: instalasi multimedia, papan tulis interaktif, selebaran.

Bentuk pekerjaan: frontal dan kelompok dengan unsur kegiatan pencarian dan penelitian.

Sumber informasi:

1. Aljabar kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku pelajaran.
2. Aljabar Kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku tugas.
3. Aljabar kelas 9. Tugas untuk pembelajaran dan pengembangan siswa. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi

Menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran.

2. Memeriksa pekerjaan rumah

10.17 (Buku soal kelas 9 A.G. Mordkovich).

A) pada = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 untuk X ~ 0,4
4. F(X) >0 pada X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fungsi bertambah dengan X € [– 2; + ∞)
6. Fungsinya terbatas dari bawah.
7. pada menyewa = - 3, pada naib tidak ada
8. Fungsinya kontinu.

(Apakah Anda menggunakan algoritme eksplorasi fitur?) Menggeser.

2. Mari kita periksa tabel yang ditanyakan pada slide.

Isi tabel
	Domain	Fungsi nol	Interval keteguhan		Koordinat titik potong grafik dengan Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Pembaruan pengetahuan

- Fungsi diberikan.
– Tentukan domain definisi untuk setiap fungsi.
– Bandingkan nilai setiap fungsi untuk setiap pasangan nilai argumen: 1 dan – 1; 2 dan - 2.
– Yang mana dari fungsi yang diberikan dalam domain definisi adalah persamaan F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (memasukkan data ke dalam tabel) Menggeser

4. Bahan baru

- Saat melakukan pekerjaan ini, teman-teman, kami telah mengungkapkan satu lagi properti dari fungsi tersebut, yang tidak Anda kenal, tetapi tidak kalah pentingnya dari yang lain - ini adalah kemerataan dan keanehan dari fungsi tersebut. Tuliskan topik pelajaran: “Fungsi genap dan ganjil”, tugas kita adalah mempelajari cara menentukan fungsi genap dan ganjil, mencari tahu pentingnya sifat ini dalam mempelajari fungsi dan ploting.
Jadi, mari kita cari definisinya di buku teks dan baca (hlm. 110) . Menggeser

pasti. 1 Fungsi pada = F (X) yang didefinisikan pada himpunan X disebut bahkan, jika untuk nilai berapa pun XЄ X sedang berlangsung persamaan f (–x) = f (x). Berikan contoh.

pasti. 2 Fungsi y = f(x), didefinisikan pada himpunan X disebut aneh, jika untuk nilai berapa pun XЄ X persamaan f(–х)= –f(х) terpenuhi. Berikan contoh.

Di mana kita bertemu istilah "genap" dan "ganjil"?
Manakah dari fungsi ini yang akan genap, menurut Anda? Mengapa? Mana yang aneh? Mengapa?
Untuk setiap fungsi dari bentuk pada= xn, Di mana N adalah bilangan bulat, dapat dikatakan bahwa fungsinya ganjil N ganjil dan fungsinya genap untuk N- bahkan.
– Lihat fungsi pada= dan pada = 2X- 3 bukan genap atau ganjil, karena persamaan tidak terpenuhi F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Studi tentang pertanyaan apakah suatu fungsi genap atau ganjil disebut studi tentang fungsi paritas. Menggeser

Definisi 1 dan 2 membahas tentang nilai fungsi pada x dan - x, sehingga diasumsikan bahwa fungsi tersebut juga terdefinisi pada nilai tersebut X, dan pada - X.

OD 3. Jika suatu bilangan yang dihimpun bersama dengan masing-masing elemennya x mengandung elemen yang berlawanan dengan x, maka himpunan tersebut X disebut himpunan simetris.

Contoh:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) adalah himpunan simetris, dan , [–5;4] adalah nonsimetris.

- Apakah fungsi genap memiliki domain definisi - himpunan simetris? Yang aneh?
- Jika D( F) merupakan himpunan asimetris, lalu apa fungsinya?
– Jadi, jika fungsinya pada = F(X) genap atau ganjil, maka domain definisinya adalah D( F) adalah himpunan simetris. Tetapi apakah kebalikannya benar, jika domain suatu fungsi adalah himpunan simetris, apakah itu genap atau ganjil?
- Jadi keberadaan himpunan simetris dari domain definisi adalah kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup.
– Jadi bagaimana kita bisa menyelidiki fungsi paritas? Mari kita coba menulis algoritme.

Menggeser

Algoritma untuk memeriksa fungsi untuk paritas

1. Tentukan apakah domain dari fungsi tersebut simetris. Jika tidak, maka fungsinya bukan genap atau ganjil. Jika ya, lanjutkan ke langkah 2 dari algoritme.

2. Tulis ekspresi untuk F(–X).

3. Bandingkan F(–X).Dan F(X):

• Jika F(–X).= F(X), maka fungsinya genap;
• Jika F(–X).= – F(X), maka fungsinya ganjil;
• Jika F(–X) ≠ F(X) Dan F(–X) ≠ –F(X), maka fungsinya bukan genap atau ganjil.

Contoh:

Menyelidiki fungsi paritas a) pada= x 5 +; B) pada= ; V) pada= .

Larutan.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), himpunan simetris.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e fungsi h(x)= x 5 + ganjil.

b) y =,

pada = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), himpunan asimetris, sehingga fungsinya bukan genap atau ganjil.

V) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

pilihan 2

1. Apakah himpunan yang diberikan simetris: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

Saling memeriksa menggeser.

6. Pekerjaan rumah: №11.11, 11.21,11.22;

Bukti makna geometris dari properti paritas.

*** (Penugasan opsi USE).

1. Fungsi ganjil y \u003d f (x) didefinisikan pada seluruh garis real. Untuk setiap nilai non-negatif dari variabel x, nilai fungsi ini bertepatan dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Temukan nilai fungsi h( X) = di X = 3.

7. Menyimpulkan

Definisi 1. Fungsinya dipanggil bahkan (aneh ) jika bersama dengan setiap nilai variabel
arti - X juga milik
dan kesetaraan

Jadi, suatu fungsi bisa genap atau ganjil hanya jika domain definisinya simetris terhadap asal koordinat pada garis real (bilangan X Dan - X dimiliki secara bersamaan
). Misalnya fungsi
tidak genap atau ganjil, karena domain definisinya
tidak simetris tentang asal.

Fungsi
bahkan, karena
simetris sehubungan dengan asal koordinat dan.

Fungsi
aneh karena
Dan
.

Fungsi
tidak genap atau ganjil, karena meskipun
dan simetris terhadap asal, persamaan (11.1) tidak terpenuhi. Misalnya,.

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu OU, karena jika intinya

juga termasuk dalam grafik. Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, karena jika
milik grafik, maka intinya
juga termasuk dalam grafik.

Saat membuktikan apakah suatu fungsi genap atau ganjil, pernyataan berikut berguna.

Dalil 1. a) Jumlah dari dua fungsi genap (ganjil) adalah fungsi genap (ganjil).

b) Hasil kali dua fungsi genap (ganjil) adalah fungsi genap.

c) Hasil kali dari fungsi genap dan ganjil adalah fungsi ganjil.

d) Jika F adalah fungsi genap pada himpunan X, dan fungsinya G didefinisikan pada himpunan
, lalu fungsi
- bahkan.

e) Jika F adalah fungsi ganjil di himpunan X, dan fungsinya G didefinisikan pada himpunan
dan genap (ganjil), maka fungsinya
- bahkan aneh).

Bukti. Mari kita buktikan, misalnya, b) dan d).

b) Biarkan
Dan
bahkan fungsi. Maka, oleh karena itu. Kasus fungsi ganjil dianggap serupa
Dan
.

d) Biarkan F merupakan fungsi genap. Kemudian.

Pernyataan teorema lainnya dibuktikan dengan cara yang sama. Teorema telah terbukti.

Dalil 2. Fungsi apapun
, didefinisikan di set X, yang simetris terhadap titik asal, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari fungsi genap dan fungsi ganjil.

Bukti. Fungsi
dapat ditulis dalam bentuk

.

Fungsi
genap, karena
, dan fungsinya
ganjil karena. Dengan demikian,
, Di mana
- genap, dan
adalah fungsi ganjil. Teorema telah terbukti.

Definisi 2. Fungsi
ditelepon berkala jika ada nomor
, sehingga untuk setiap
angka
Dan
juga termasuk dalam domain definisi
dan persamaan

Nomor seperti itu T ditelepon periode fungsi
.

Definisi 1 menyiratkan bahwa jika T- periode fungsi
, lalu nomornya T Sama adalah periode fungsi
(karena saat mengganti T pada - T kesetaraan dipertahankan). Dengan menggunakan metode induksi matematika, dapat ditunjukkan bahwa jika T- periode fungsi F, lalu dan
, juga merupakan periode. Oleh karena itu, jika suatu fungsi memiliki periode, maka fungsi tersebut memiliki banyak periode tak terhingga.

Definisi 3. Periode positif terkecil dari suatu fungsi disebut fungsi utama periode.

Dalil 3. Jika T adalah periode utama dari fungsi F, maka periode yang tersisa adalah kelipatannya.

Bukti. Asumsikan kebalikannya, yaitu ada periode fungsi F (>0), bukan kelipatan T. Kemudian, membagi pada T dengan sisanya, kita dapatkan
, Di mana
. Itu sebabnya

itu adalah - periode fungsi F, Dan
, yang bertentangan dengan fakta bahwa T adalah periode utama dari fungsi F. Penegasan teorema mengikuti dari kontradiksi yang diperoleh. Teorema telah terbukti.

Diketahui bahwa fungsi trigonometri bersifat periodik. Periode utama
Dan
sama
,
Dan
. Carilah periode dari fungsi tersebut
. Membiarkan
adalah periode dari fungsi ini. Kemudian

(Karena
.

oror
.

Arti T, ditentukan dari persamaan pertama, tidak dapat menjadi periode, karena bergantung pada X, yaitu adalah fungsi dari X, bukan bilangan konstan. Periode ditentukan dari persamaan kedua:
. Ada banyak sekali periode
periode positif terkecil diperoleh bila
:
. Ini adalah periode utama dari fungsi tersebut
.

Contoh fungsi periodik yang lebih kompleks adalah fungsi Dirichlet

Perhatikan bahwa jika T adalah bilangan rasional, maka
Dan
adalah bilangan rasional di bawah rasional X dan irasional ketika irasional X. Itu sebabnya

untuk setiap bilangan rasional T. Oleh karena itu, setiap bilangan rasional T adalah periode dari fungsi Dirichlet. Jelas bahwa fungsi ini tidak memiliki periode utama, karena ada bilangan rasional positif yang mendekati nol secara sewenang-wenang (misalnya, bilangan rasional dapat dibuat dengan memilih N sewenang-wenang mendekati nol).

Dalil 4. Jika fungsi F diatur di set X dan memiliki periode T, dan fungsinya G diatur di set
, maka fungsi kompleks
juga memiliki periode T.

Bukti. Oleh karena itu kami memiliki

yaitu, pernyataan teorema terbukti.

Misalnya sejak cos X memiliki periode
, lalu fungsi
memiliki periode
.

Definisi 4. Fungsi yang tidak periodik disebut non-periodik .

Penelitian fungsi.

1) D(y) - Domain definisi: himpunan semua nilai variabel x. di mana ekspresi aljabar f(x) dan g(x) masuk akal.

Jika fungsi diberikan oleh rumus, maka domain definisi terdiri dari semua nilai variabel independen yang rumusnya masuk akal.

2) Properti fungsi: genap/ganjil, periodisitas:

aneh Dan bahkan disebut fungsi yang grafiknya simetris sehubungan dengan perubahan tanda argumen.

fungsi ganjil- fungsi yang mengubah nilai menjadi kebalikannya ketika tanda variabel independen berubah (simetris terhadap pusat koordinat).

Bahkan fungsi- fungsi yang nilainya tidak berubah ketika tanda variabel independen berubah (simetris terhadap sumbu y).

Baik fungsi genap maupun ganjil (fungsi umum) merupakan fungsi yang tidak memiliki simetri. Kategori ini mencakup fungsi yang tidak termasuk dalam 2 kategori sebelumnya.

Fungsi yang tidak termasuk salah satu kategori di atas dipanggil tidak genap dan tidak ganjil(atau fungsi generik).

Fungsi ganjil

Kekuatan ganjil di mana bilangan bulat sewenang-wenang.

Bahkan fungsi

Kekuatan bahkan di mana bilangan bulat sewenang-wenang.

Fungsi periodik adalah fungsi yang mengulangi nilainya pada interval reguler argumen, yaitu, tidak mengubah nilainya ketika beberapa bilangan bukan nol tetap ditambahkan ke argumen ( periode fungsi) atas seluruh domain definisi.

3) Nol (akar) dari suatu fungsi adalah titik di mana ia menghilang.

Menemukan titik potong grafik dengan sumbu Oy. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung nilainya F(0). Temukan juga titik potong grafik dengan sumbu Sapi, mengapa menemukan akar persamaan F(X) = 0 (atau pastikan tidak ada akar).

Titik-titik di mana grafik memotong sumbu disebut fungsi nol. Untuk menemukan nol dari fungsi tersebut, Anda perlu menyelesaikan persamaannya, yaitu temukan nilai x tersebut, yang fungsinya hilang.

4) Interval keteguhan tanda, tanda di dalamnya.

Interval di mana fungsi f(x) mempertahankan tandanya.

Interval keteguhan adalah interval di setiap titik di mana fungsinya positif atau negatif.

DI ATAS sumbu x.

DI BAWAH sumbu.

5) Kontinuitas (titik diskontinuitas, karakter diskontinuitas, asimtot).

fungsi kontinyu- fungsi tanpa "lompatan", yaitu, di mana perubahan kecil pada argumen menyebabkan perubahan kecil pada nilai fungsi.

Breakpoint yang dapat dilepas

Jika batas fungsi ada, tetapi fungsi tidak ditentukan pada titik ini, atau batasnya tidak cocok dengan nilai fungsi pada titik ini:

,

maka titik itu disebut titik istirahat fungsi (dalam analisis kompleks, titik tunggal yang dapat dilepas).

Jika kita "memperbaiki" fungsi pada titik diskontinuitas yang dapat dilepas dan menempatkan , maka kita mendapatkan fungsi yang kontinu pada titik ini. Operasi semacam itu pada suatu fungsi disebut memperluas fungsi menjadi kontinyu atau perluasan fungsi dengan kontinuitas, yang membenarkan nama titik, sebagai poin sekali pakai celah.

Titik diskontinuitas jenis pertama dan kedua

Jika suatu fungsi memiliki diskontinuitas pada titik tertentu (yaitu, limit fungsi pada titik tertentu tidak ada atau tidak sesuai dengan nilai fungsi pada titik tertentu), maka untuk fungsi numerik ada dua kemungkinan opsi yang terkait dengan keberadaan fungsi numerik batasan sepihak:

jika kedua batas satu sisi ada dan terbatas, maka titik seperti itu disebut titik puncak dari jenis pertama. Titik diskontinuitas yang dapat dilepas adalah titik diskontinuitas jenis pertama;

jika setidaknya satu dari batas satu sisi tidak ada atau bukan nilai yang terbatas, maka titik seperti itu disebut titik puncak dari jenis kedua.

Asimtot - lurus, yang memiliki properti jarak dari titik kurva ke ini lurus cenderung nol saat titik bergerak di sepanjang cabang hingga tak terbatas.

vertikal

Asimtot vertikal - garis batas .

Sebagai aturan, ketika menentukan asimtot vertikal, mereka tidak mencari satu batas, tetapi dua satu sisi (kiri dan kanan). Ini dilakukan untuk menentukan bagaimana fungsi berperilaku saat mendekati asimtot vertikal dari arah yang berbeda. Misalnya:

Horisontal

asimtot horisontal - lurus spesies, tunduk pada keberadaan membatasi

.

miring

Asimtot miring - lurus spesies, tunduk pada keberadaan batas

Catatan: Suatu fungsi tidak boleh memiliki lebih dari dua asimtot miring (horizontal).

Catatan: jika setidaknya salah satu dari kedua limit tersebut di atas tidak ada (atau sama dengan ), maka asimtot miring di (atau ) tidak ada.

jika pada butir 2.), maka , dan limitnya dicari dengan rumus asimtot mendatar, .

6) Menemukan interval monotonitas. Temukan interval monoton dari suatu fungsi F(X) (yaitu interval kenaikan dan penurunan). Ini dilakukan dengan memeriksa tanda turunannya F(X). Untuk melakukan ini, temukan turunannya F(X) dan selesaikan pertidaksamaannya F(X)0. Pada interval di mana pertidaksamaan ini terpenuhi, fungsi F(X) meningkat. Di mana berlaku ketidaksetaraan terbalik F(X)0, fungsi F(X) menurun.

Menemukan ekstrem lokal. Setelah menemukan interval kemonotonan, kita dapat segera menentukan titik ekstrem lokal di mana kenaikan diganti dengan penurunan, ada maksimum lokal, dan di mana penurunan diganti dengan kenaikan, minimum lokal. Hitunglah nilai fungsi pada titik-titik tersebut. Jika suatu fungsi memiliki titik kritis yang bukan merupakan titik ekstrem lokal, maka berguna juga untuk menghitung nilai fungsi pada titik-titik ini.

Mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y = f(x) pada suatu ruas(kelanjutan)

7) Menemukan interval kecembungan dan kecekungan. Ini dilakukan dengan memeriksa tanda turunan kedua F(X). Temukan titik belok di persimpangan interval cembung dan cekung. Hitung nilai fungsi di titik belok. Jika fungsi memiliki titik kontinuitas lain (selain titik belok) di mana turunan keduanya sama dengan 0 atau tidak ada, maka pada titik-titik ini berguna juga untuk menghitung nilai fungsi. Temuan F(X) , kami memecahkan ketidaksetaraan F(X)0. Pada setiap interval solusi, fungsinya akan cembung ke bawah. Memecahkan pertidaksamaan terbalik F(X)0, kami menemukan interval di mana fungsinya cembung ke atas (yaitu, cekung). Kami mendefinisikan titik belok sebagai titik di mana fungsi mengubah arah konveksitas (dan kontinu).

Titik belok fungsi- ini adalah titik di mana fungsinya kontinu dan ketika melewatinya fungsi tersebut mengubah arah kecembungan.

Kondisi keberadaan

Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan titik belok: jika fungsinya dapat dibedakan dua kali di beberapa lingkungan titik yang tertusuk, maka baik .

Bahkan fungsi.

Bahkan Suatu fungsi yang tandanya tidak berubah ketika tandanya diubah disebut X.

X persamaan F(–X) = F(X). Tanda X tidak mempengaruhi tanda y.

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu koordinat (Gbr. 1).

Contoh fungsi genap:

y= cos X

y = X 2

y = –X 2

y = X 4

y = X 6

y = X 2 + X

Penjelasan:
Mari kita ambil sebuah fungsi y = X 2 atau y = –X 2 .
Untuk nilai apapun X fungsinya positif. Tanda X tidak mempengaruhi tanda y. Grafiknya simetris terhadap sumbu koordinat. Ini adalah fungsi genap.

fungsi ganjil.

aneh adalah fungsi yang tandanya berubah ketika tandanya diubah X.

Dengan kata lain, untuk nilai apa pun X persamaan F(–X) = –F(X).

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (Gbr. 2).

Contoh fungsi ganjil:

y= dosa X

y = X 3

y = –X 3

Penjelasan:

Ambil fungsi y = - X 3 .
Semua nilai pada itu akan memiliki tanda minus. Itulah tandanya X mempengaruhi tanda y. Jika variabel bebasnya bilangan positif, maka fungsinya positif; jika variabel bebasnya bilangan negatif, maka fungsinya negatif: F(–X) = –F(X).
Grafik fungsinya simetris terhadap titik asal. Ini adalah fungsi yang aneh.

Properti fungsi genap dan ganjil:

CATATAN:

Tidak semua fitur genap atau ganjil. Ada fungsi yang tidak tunduk pada gradasi seperti itu. Misalnya fungsi akar pada = √X tidak berlaku untuk fungsi genap atau ganjil (Gbr. 3). Saat membuat daftar properti dari fungsi tersebut, deskripsi yang sesuai harus diberikan: tidak genap atau ganjil.

Fungsi periodik.

Seperti yang Anda ketahui, periodisitas adalah pengulangan proses tertentu pada interval tertentu. Fungsi yang menggambarkan proses ini disebut fungsi periodik. Artinya, ini adalah fungsi yang grafiknya terdapat elemen yang berulang pada interval numerik tertentu.