Perhitungan turunan parsial fungsi secara online. Turunan parsial orde pertama. Diferensial penuh. Soal fungsi trigonometri dan fungsi dengan tiga variabel
Dan Anda tidak perlu mencari apa pun: di artikel kami yang terpisah, kami telah menyiapkan segalanya agar Anda dapat melakukan ini. Dan sekarang kita akan membahas tentang turunan parsial.
Selamat datang di saluran telegram kami untuk buletin bermanfaat dan berita mahasiswa terkini.
Fungsi dari dua variabel atau lebih
Sebelum kita berbicara tentang turunan parsial, kita perlu membahas konsep fungsi beberapa variabel, yang tanpanya tidak ada gunanya turunan parsial. Di sekolah kita terbiasa berurusan dengan fungsi satu variabel:
Kami sebelumnya mempertimbangkan turunan dari fungsi tersebut. Grafik fungsi suatu variabel berupa garis pada bidang: garis lurus, parabola, hiperbola, dan seterusnya.
Bagaimana jika kita menambahkan variabel lain? Anda akan mendapatkan fungsi berikut:
Ini adalah fungsi dari dua variabel independen X Dan kamu. Grafik fungsi tersebut adalah permukaan dalam ruang tiga dimensi: bola, hiperboloid, paraboloid, atau kuda berbentuk bola lainnya dalam ruang hampa. Fungsi turunan parsial z X dan Y masing-masing ditulis sebagai berikut:
Ada juga fungsi dari tiga variabel atau lebih. Benar, tidak mungkin menggambar grafik fungsi seperti itu: ini memerlukan setidaknya ruang empat dimensi, yang tidak dapat digambarkan.
Turunan parsial orde pertama
Mari kita ingat aturan utamanya:
Saat menghitung turunan parsial terhadap salah satu variabel, variabel kedua diambil sebagai konstanta. Jika tidak, aturan penghitungan turunan tidak berubah.
Artinya, turunan parsial pada hakikatnya tidak berbeda dengan turunan biasa. Jadi, perhatikan tabel turunan fungsi dasar dan aturan untuk menghitung turunan biasa. Mari kita lihat sebuah contoh agar lebih jelas. Katakanlah kita perlu menghitung turunan parsial orde pertama dari fungsi berikut:
Pertama, mari kita ambil turunan parsial terhadap x, dengan menganggap y sebagai bilangan biasa:
Sekarang kita menghitung turunan parsial terhadap y, dengan mengambil x sebagai konstanta:
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam hal ini, dan kesuksesan dengan contoh yang lebih kompleks hanyalah masalah latihan.
Turunan parsial orde kedua
Bagaimana cara menemukan turunan parsial orde kedua? Sama seperti yang pertama. Untuk mencari turunan parsial orde kedua, Anda cukup mengambil turunan dari turunan orde pertama. Mari kita kembali ke contoh di atas dan menghitung turunan parsial orde kedua.
Oleh pemain:
Turunan parsial orde ketiga dan lebih tinggi tidak berbeda dalam prinsip perhitungannya. Mari kita sistematiskan aturannya:
- Saat membedakan satu variabel independen, variabel kedua dianggap sebagai konstanta.
- Turunan orde kedua merupakan turunan dari turunan orde pertama. Orde ketiga – turunan dari turunan orde kedua, dst.
Turunan parsial dan fungsi diferensial total
Pertanyaan umum dalam tugas praktik adalah mencari diferensial total suatu fungsi. Untuk fungsi yang terdiri dari beberapa variabel, diferensial total didefinisikan sebagai bagian linier utama dari kenaikan total kecil fungsi tersebut relatif terhadap kenaikan argumen.
Definisinya terdengar rumit, tetapi dengan huruf semuanya lebih sederhana. Diferensial total orde pertama suatu fungsi beberapa variabel terlihat seperti ini:
Mengetahui cara menghitung turunan parsial, tidak ada masalah dalam menghitung diferensial total.
Derivatif parsial bukanlah topik yang tidak berguna. Misalnya, persamaan diferensial parsial orde kedua banyak digunakan untuk menggambarkan proses fisik kehidupan nyata secara matematis.
Di sini kami hanya memberikan gambaran umum dan dangkal tentang turunan parsial orde pertama dan kedua. Apakah Anda tertarik dengan topik ini atau memiliki pertanyaan spesifik? Tanyakan kepada mereka di komentar dan hubungi pakar layanan siswa profesional untuk mendapatkan bantuan yang memenuhi syarat dan darurat dalam studi Anda. Bersama kami Anda tidak akan ditinggalkan sendirian dengan masalah ini!
Memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrinya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?
Arti geometri dan fisis turunan
Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a, b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:
Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.
Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:
Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:
turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.
Arti fisis dari turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.
Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . Kecepatan rata-rata dalam jangka waktu tertentu:
Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:
Aturan satu: tetapkan konstanta
Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .
Contoh. Mari kita hitung turunannya:
Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi
Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.
Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.
Temukan turunan dari fungsi tersebut:
Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi
Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:
Contoh: mencari turunan suatu fungsi:
Larutan: 
Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan suatu fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.
Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:
Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.
Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi
Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:
Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.
Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda menyelesaikan tes yang paling sulit dan memahami tugas-tugasnya, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.
Prinsip umum mencari turunan parsial orde kedua dari suatu fungsi tiga variabel sama dengan prinsip mencari turunan parsial orde kedua dari fungsi dua variabel.
Untuk mencari turunan parsial orde kedua, Anda harus mencari turunan parsial orde pertama terlebih dahulu atau dengan notasi lain:
Ada sembilan turunan parsial orde kedua.
Kelompok pertama adalah turunan kedua terhadap variabel yang sama:
Atau – turunan kedua terhadap “x”;
Atau – turunan kedua terhadap “Y”;
Atau – turunan kedua terhadap “zet”.
Kelompok kedua adalah Campuran Turunan parsial orde 2 ada enam:
Atau - Campuran turunan “oleh x igrek”;
Atau - Campuran turunan “oleh game x”;
Atau - Campuran turunan “sehubungan dengan x z”;
Atau - Campuran turunan “oleh zt x”;
Atau - Campuran turunan “sehubungan dengan igrek z”;
Atau - Campuran turunan "oleh zt igrek".
Seperti halnya fungsi dua variabel, saat menyelesaikan masalah, Anda dapat fokus pada persamaan turunan campuran orde kedua berikut:
Catatan: sebenarnya, hal ini tidak selalu terjadi. Agar turunan campuran menjadi sama, persyaratan kesinambungannya harus dipenuhi.
Untuk berjaga-jaga, berikut beberapa contoh cara membaca aib ini dengan benar:
- “dua pukulan memiliki dua kali permainan”;
– “de dua y kali de z persegi”;
– “ada dua guratan di X dan Z”;
- “de dua y po de zet po de igrek.”
Contoh 10
Temukan semua turunan parsial orde pertama dan kedua untuk fungsi tiga variabel:
.
Larutan: Pertama, cari turunan parsial orde pertama:
Kami mengambil turunan yang ditemukan
dan bedakan dengan “Y”:
Kami mengambil turunan yang ditemukan
dan bedakan dengan “x”:
Kesetaraan terpenuhi. Bagus.
Mari kita bahas pasangan kedua dari derivatif campuran.
Kami mengambil turunan yang ditemukan
dan bedakan dengan “z”:
Kami mengambil turunan yang ditemukan
dan bedakan dengan “x”:
Kesetaraan terpenuhi. Bagus.
Kita menangani pasangan ketiga derivatif campuran dengan cara serupa:
Kesetaraan terpenuhi. Bagus.
Setelah pekerjaan selesai, kami dapat menjamin bahwa, pertama, kami telah menemukan dengan benar semua turunan parsial orde 1, dan kedua, kami juga telah menemukan dengan benar turunan parsial campuran orde 2.
Masih menemukan tiga turunan parsial orde kedua, di sini, untuk menghindari kesalahan, Anda harus memusatkan perhatian sebanyak mungkin:
Siap. Saya ulangi, tugasnya tidak terlalu sulit tetapi juga banyak. Penyelesaiannya dapat dipersingkat dan dirujuk ke persamaan turunan parsial campuran, namun dalam kasus ini tidak akan ada verifikasi. Oleh karena itu, lebih baik meluangkan waktu dan mencari Semua turunan (selain itu, guru mungkin memerlukannya), atau, dalam kasus ekstrim, periksa drafnya.
Contoh 11
Temukan semua turunan parsial orde pertama dan kedua untuk fungsi tiga variabel
.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.
Solusi dan jawaban:
Contoh 2:Larutan:
Contoh 4:Larutan: Mari kita cari turunan parsial orde pertama.
Mari kita buat diferensial lengkap orde pertama:
Contoh 6:Larutan: M(1, -1, 0):
Contoh 7:Larutan: Mari kita hitung turunan parsial orde pertama pada titik tersebutM(1, 1, 1):
Contoh 9:Larutan:
Contoh 11:Larutan: Mari kita cari turunan parsial orde pertama:
Mari kita cari turunan parsial orde kedua:
.
Integral
8.1. Integral tak tentu. Solusi sampel terperinci
Mari kita mulai mempelajari topiknya" Integral tak tentu", dan kami juga akan menganalisis secara detail contoh solusi integral paling sederhana (dan tidak sesederhana itu). Seperti biasa, kami akan membatasi diri pada teori minimum yang ada di banyak buku teks; tugas kami adalah mempelajari cara menyelesaikan integral.
Apa yang perlu Anda ketahui agar berhasil menguasai materi? Untuk menguasai kalkulus integral, Anda harus mampu mencari turunan minimal pada tingkat menengah. Pengalaman tidak akan sia-sia jika Anda memiliki beberapa lusin, atau lebih baik lagi, ratusan turunan yang ditemukan secara independen. Paling tidak, Anda tidak perlu bingung dengan tugas membedakan fungsi yang paling sederhana dan umum.
Nampaknya, apa hubungannya dengan turunan jika artikelnya tentang integral?! Inilah masalahnya. Faktanya, mencari turunan dan mencari integral tak tentu (diferensiasi dan integrasi) adalah dua tindakan yang saling berbanding terbalik, seperti penjumlahan/pengurangan atau perkalian/pembagian. Oleh karena itu, tanpa keahlian dan pengalaman dalam mencari turunan, sayangnya Anda tidak dapat bergerak maju.
Sehubungan dengan itu diperlukan bahan ajar sebagai berikut: Tabel derivatif Dan Tabel integral.
Apa kesulitan mempelajari integral tak tentu? Jika dalam turunan terdapat 5 aturan diferensiasi, tabel turunan dan algoritma tindakan yang cukup jelas, maka dalam integral semuanya berbeda. Ada lusinan metode dan teknik integrasi. Dan, jika metode integrasi awalnya dipilih secara salah (yaitu Anda tidak tahu cara menyelesaikannya), maka Anda dapat “menusuk” integral secara harfiah selama berhari-hari, seperti teka-teki sungguhan, mencoba menemukan berbagai teknik dan trik. Beberapa orang bahkan menyukainya.
Ngomong-ngomong, kita cukup sering mendengar dari mahasiswa (bukan jurusan humaniora) pendapat seperti: “Saya tidak pernah tertarik menyelesaikan suatu limit atau turunan, tapi integral adalah soal yang sama sekali berbeda, menarik, selalu ada a keinginan untuk "meretas" integral yang kompleks." . Berhenti. Cukup dengan humor hitamnya, mari kita beralih ke integral yang sangat tidak terbatas ini.
Karena ada banyak cara untuk menyelesaikannya, lalu dari mana teko harus mulai mempelajari integral tak tentu? Dalam kalkulus integral, menurut pendapat kami, ada tiga pilar atau semacam “poros” yang mengelilingi segala sesuatu yang lain. Pertama-tama, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang integral paling sederhana (artikel ini).
Maka Anda perlu mempelajari pelajaran secara mendetail. INILAH TEKNIK YANG PALING PENTING! Mungkin bahkan artikel terpenting dari semua artikel tentang integral. Dan ketiga, Anda harus membaca integrasi dengan metode bagian, karena mengintegrasikan berbagai kelas fungsi. Jika Anda menguasai setidaknya tiga pelajaran ini, maka Anda tidak akan lagi memiliki dua pelajaran. Anda mungkin dimaafkan karena tidak mengetahuinya integral fungsi trigonometri, integral pecahan, integral dari fungsi pecahan-rasional, integral fungsi irasional (akar), tetapi jika Anda “mendapat masalah” dengan metode penggantian atau metode integrasi per bagian, maka itu akan sangat-sangat buruk.
Jadi, mari kita mulai dengan sederhana. Mari kita lihat tabel integral. Seperti halnya turunan, kita memperhatikan beberapa aturan integrasi dan tabel integral dari beberapa fungsi dasar. Setiap integral tabel (dan tentu saja setiap integral tak tentu) mempunyai bentuk:
Yuk segera pahami notasi dan istilahnya:
– ikon integral.
– fungsi integrand (ditulis dengan huruf “s”).
– ikon diferensial. Kami akan segera melihat apa ini. Hal utama adalah ketika menulis integral dan selama penyelesaian, penting untuk tidak kehilangan ikon ini. Akan ada cacat yang nyata.
– ekspresi integran atau “pengisian” integral.
– antiturunan fungsi.
– . Tidak perlu terlalu banyak memuat suku-suku; yang paling penting di sini adalah bahwa dalam integral tak tentu, sebuah konstanta ditambahkan ke jawabannya.
Menyelesaikan integral tak tentu berarti mencaribanyak fungsi primitif dari integran yang diberikan
Mari kita lihat entri itu lagi:
Mari kita lihat tabel integral.
Apa yang terjadi? Kami memiliki bagian kiri berubah menjadi ke fungsi lain: .
Mari kita sederhanakan definisi kita:
Selesaikan integral tak tentu - ini berarti TRANSFORMASI menjadi fungsi yang tidak terdefinisi (hingga konstan). , menggunakan beberapa aturan, teknik dan tabel.
Misalnya integral tabel 
. Apa yang telah terjadi? Notasi simbolik telah berkembang menjadi banyak fungsi primitif.
Seperti halnya turunan, untuk mempelajari cara mencari integral, tidak perlu mengetahui apa itu fungsi integral atau antiturunan dari sudut pandang teoritis. Cukup dengan melakukan transformasi menurut beberapa aturan formal. Jadi, untuk berjaga-jaga Sama sekali tidak perlu memahami mengapa integral berubah menjadi . Anda dapat menerima begitu saja rumus ini dan rumus lainnya. Semua orang menggunakan listrik, namun hanya sedikit orang yang berpikir tentang bagaimana elektron bergerak melalui kabel.
Karena diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang berlawanan, maka untuk setiap antiturunan yang ditemukan dengan benar, maka berlaku hal berikut:
Dengan kata lain, jika Anda membedakan jawaban yang benar, maka Anda harus mendapatkan fungsi integran aslinya.
Mari kita kembali ke integral tabel yang sama .
Mari kita verifikasi validitas rumus ini. Kita ambil turunan dari ruas kanan:
adalah fungsi integran asli.
Omong-omong, menjadi jelas mengapa konstanta selalu ditetapkan ke suatu fungsi. Jika didiferensiasi, konstanta selalu bernilai nol.
Selesaikan integral tak tentu- artinya menemukan sekelompok setiap orang antiturunan, dan bukan hanya satu fungsi. Dalam contoh tabel yang sedang dipertimbangkan, , , , dll. – semua fungsi ini merupakan solusi integral. Ada banyak sekali solusinya, jadi kami menuliskannya secara singkat:
Jadi, integral tak tentu apa pun cukup mudah untuk diperiksa. Ini adalah kompensasi untuk sejumlah besar integral dari tipe yang berbeda.
Mari kita beralih ke contoh spesifik. Mari kita mulai, seperti mempelajari turunan, dengan dua aturan integrasi:
– konstan C dapat (dan harus) dikeluarkan dari tanda integral.
– integral jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) dua integral. Aturan ini berlaku untuk sejumlah persyaratan.
Seperti yang Anda lihat, aturannya pada dasarnya sama dengan turunan. Terkadang mereka dipanggil sifat linearitas integral.
Contoh 1
Temukan integral tak tentu.
Lakukan pemeriksaan.
Larutan: Lebih mudah untuk mengubahnya.
(1) Terapkan aturannya . Kami lupa menuliskan ikon diferensial dx di bawah setiap integral. Mengapa di bawah masing-masing? dx– ini adalah pengganda penuh. Jika kita uraikan secara detail, langkah pertamanya harus ditulis seperti ini:
.
(2) Menurut aturan kita memindahkan semua konstanta melampaui tanda integral. Harap dicatat bahwa dalam istilah terakhir tg 5 adalah konstanta, kami juga mengeluarkannya.
Selain itu, pada langkah ini kami mempersiapkan akar dan kekuatan untuk integrasi. Seperti halnya diferensiasi, akar-akarnya harus direpresentasikan dalam bentuk . Pindahkan akar dan pangkat yang terletak pada penyebut ke atas.
Catatan: Berbeda dengan turunan, akar-akar integral tidak selalu harus direduksi menjadi bentuk , dan naikkan derajatnya.
Misalnya, - ini adalah integral tabel yang sudah jadi, yang telah dihitung sebelum Anda, dan segala macam trik Cina seperti itu sama sekali tidak perlu. Juga: – ini juga merupakan integral tabel; tidak ada gunanya merepresentasikan pecahan dalam bentuk . Pelajari tabelnya dengan cermat!
(3) Semua integral kita berbentuk tabel. Kami melakukan transformasi menggunakan tabel menggunakan rumus: 
, Dan
untuk fungsi daya - 
.
Perlu dicatat bahwa integral tabel adalah kasus khusus dari rumus fungsi pangkat: 
.
Konstan C cukup menambahkan satu kali di akhir ekspresi
(daripada menempatkannya setelah setiap integral).
(4) Hasil yang diperoleh kita tuliskan dalam bentuk yang lebih kompak, jika semua pangkat berbentuk
sekali lagi kami merepresentasikannya dalam bentuk akar, dan kami mengatur ulang pangkat dengan eksponen negatif kembali ke penyebutnya.
Penyelidikan. Untuk melakukan pemeriksaan, Anda perlu membedakan jawaban yang diterima:
Menerima yang asli integrand, yaitu integral ditemukan dengan benar. Dari mana mereka menari, itulah tempat mereka kembali. Ada baiknya bila cerita dengan integral berakhir seperti ini.
Dari waktu ke waktu, ada pendekatan yang sedikit berbeda untuk memeriksa integral tak tentu, ketika bukan turunannya, tetapi diferensialnya diambil dari jawabannya:
.
Hasilnya, kita tidak mendapatkan fungsi integran, melainkan ekspresi integran.
Jangan takut dengan konsep diferensial.
Diferensial adalah turunan dikalikan dengan dx.
Namun, yang penting bagi kami bukanlah seluk-beluk teoretisnya, melainkan apa yang harus dilakukan selanjutnya terhadap perbedaan ini. Perbedaannya terungkap sebagai berikut: ikon D kita hapus, beri bilangan prima di kanan atas tanda kurung, tambahkan faktor di akhir ekspresi dx :
Diterima asli integrand, yaitu integral ditemukan dengan benar.
Seperti yang Anda lihat, diferensialnya adalah mencari turunannya. Saya kurang menyukai metode pemeriksaan kedua, karena saya juga harus menggambar tanda kurung besar dan menyeret ikon diferensial dx sampai akhir pemeriksaan. Meskipun itu lebih benar, atau “lebih terhormat” atau semacamnya.
Faktanya, kita bisa bungkam tentang metode verifikasi kedua. Intinya bukan pada metodenya, tetapi pada kenyataan bahwa kita telah belajar membuka diferensial. Lagi.
Perbedaannya terungkap sebagai berikut:
1) ikon D menghapus;
2) di kanan atas tanda kurung kita beri tanda guratan (notasi turunan);
3) di akhir ekspresi kita menetapkan sebuah faktor dx .
Misalnya:
Ingat ini. Kami akan membutuhkan teknik ini segera.
Contoh 2
.
Ketika kami menemukan integral tak tentu, kami SELALU mencoba memeriksanya Apalagi peluangnya sangat besar. Tidak semua jenis masalah dalam matematika tingkat tinggi merupakan anugerah dari sudut pandang ini. Tidak masalah bahwa pemeriksaan sering kali tidak diperlukan dalam tugas kontrol, tidak ada seorang pun dan tidak ada yang menghalangi Anda untuk melakukannya pada draf. Pengecualian hanya dapat dilakukan jika waktu tidak cukup (misalnya saat ulangan atau ujian). Secara pribadi, saya selalu memeriksa integral, dan saya menganggap kurangnya pemeriksaan sebagai pekerjaan peretasan dan tugas yang diselesaikan dengan buruk.
Contoh 3
Temukan integral tak tentu:
. Lakukan pemeriksaan.
Solusi: Menganalisis integral, kita melihat bahwa di bawah integral kita memiliki produk dari dua fungsi, dan bahkan eksponen dari seluruh ekspresi. Sayangnya, di bidang pertarungan integral TIDAK baik dan nyaman rumus untuk mengintegrasikan hasil kali dan hasil bagi sebagai: 
atau 
.
Oleh karena itu, ketika suatu hasil kali atau hasil bagi diberikan, selalu masuk akal untuk melihat apakah mungkin untuk mengubah integran menjadi suatu jumlah? Contoh yang dipertimbangkan adalah jika hal ini memungkinkan.
Pertama kami akan menyajikan solusi lengkapnya, komentarnya ada di bawah.
(1) Kita menggunakan rumus lama yang bagus tentang kuadrat jumlah untuk bilangan real apa pun, dengan menghilangkan derajat di atas tanda kurung siku. di luar tanda kurung dan menerapkan rumus perkalian yang disingkat dengan arah yang berlawanan: .
Contoh 4
Temukan integral tak tentu
Lakukan pemeriksaan.
Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri. Jawaban dan solusi lengkapnya ada di akhir pelajaran.
Contoh 5
Temukan integral tak tentu
. Lakukan pemeriksaan.
Dalam contoh ini, integran adalah pecahan. Saat kita melihat pecahan dalam integran, pertanyaan pertama yang muncul di benak kita adalah: “Apakah mungkin untuk menghilangkan pecahan ini, atau setidaknya menyederhanakannya?”
Kita perhatikan bahwa penyebutnya mengandung akar tunggal “X”. Yang ada di lapangan bukan pendekar, artinya kita bisa membagi pembilangnya dengan penyebut suku demi suku:
Kami tidak mengomentari tindakan dengan pangkat pecahan, karena tindakan tersebut telah berulang kali dibahas dalam artikel tentang turunan suatu fungsi.
Jika Anda masih bingung dengan contoh seperti
dan jawaban yang benar tidak akan keluar,
Perhatikan juga bahwa solusinya melewatkan satu langkah, yaitu menerapkan aturan , . Biasanya, dengan beberapa pengalaman dalam menyelesaikan integral, aturan-aturan ini dianggap sebagai fakta yang jelas dan tidak dijelaskan secara rinci.
Contoh 6
Temukan integral tak tentu. Lakukan pemeriksaan.
Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri. Jawaban dan solusi lengkapnya ada di akhir pelajaran.
Secara umum, dengan pecahan dalam integral, tidak semuanya sesederhana itu; materi tambahan tentang integrasi beberapa jenis pecahan dapat ditemukan di artikel: Mengintegrasikan Beberapa Pecahan. Namun, sebelum melanjutkan ke artikel di atas, Anda perlu membiasakan diri dengan pelajarannya: Metode substitusi dalam integral tak tentu. Intinya adalah memasukkan suatu fungsi ke dalam metode penggantian diferensial atau variabel adalah Inti dalam studi topik, karena ditemukan tidak hanya "dalam tugas murni dengan metode penggantian", tetapi juga dalam banyak jenis integral lainnya.
Solusi dan jawaban:
Contoh 2: Solusi:
Contoh 4: Solusi:
Dalam contoh ini kami menggunakan rumus perkalian yang disingkat
Contoh 6: Solusi:
Metode mengubah variabel dalam integral tak tentu. Contoh solusi
Dalam pelajaran ini kita akan mengenal salah satu teknik terpenting dan paling umum yang digunakan dalam menyelesaikan integral tak tentu - metode perubahan variabel. Penguasaan materi yang berhasil membutuhkan pengetahuan awal dan keterampilan integrasi. Jika Anda merasakan ketel yang kosong dan penuh dalam kalkulus integral, maka Anda harus membiasakan diri terlebih dahulu dengan materinya Integral tak tentu. Contoh solusi, dimana dijelaskan dalam bentuk yang dapat diakses apa itu integral dan contoh dasar untuk pemula dianalisis secara rinci.
Secara teknis, metode perubahan variabel dalam integral tak tentu dilaksanakan dengan dua cara:
– Menjumlahkan fungsi di bawah tanda diferensial.
– Sebenarnya mengubah variabel.
Pada dasarnya, ini adalah hal yang sama, namun desain solusinya terlihat berbeda. Mari kita mulai dengan kasus yang lebih sederhana.
Pertimbangkan fungsi dari dua variabel:
Karena variabel $x$ dan $y$ adalah independen, untuk fungsi tersebut kita dapat memperkenalkan konsep turunan parsial:
Turunan parsial fungsi $f$ di titik $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ terhadap variabel $x$ adalah batasnya
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\ke 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \kanan))(\Delta x)\]
Demikian pula, Anda dapat mendefinisikan turunan parsial terhadap variabel $y$ :
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\ke 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \kanan))(\Delta y)\]
Dengan kata lain, untuk mencari turunan parsial suatu fungsi beberapa variabel, Anda perlu memperbaiki semua variabel lain kecuali variabel yang diinginkan, lalu mencari turunan biasa terhadap variabel yang diinginkan tersebut.
Hal ini mengarah pada teknik utama untuk menghitung turunan tersebut: asumsikan saja bahwa semua variabel kecuali variabel ini adalah konstanta, lalu diferensiasikan fungsinya seperti Anda membedakan fungsi "biasa" - dengan satu variabel. Misalnya:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \kanan))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \kanan))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \kanan))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \kiri(((x)^(2))+10xy \kanan))_(y))^(\prime )=((\kiri(((x)^(2)) \kanan))^(\ bilangan prima ))_(y)+10x\cdot ((\kiri(y \kanan))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(sejajarkan)$
Jelasnya, turunan parsial terhadap variabel yang berbeda memberikan jawaban yang berbeda - ini normal. Jauh lebih penting untuk memahami mengapa, katakanlah, dalam kasus pertama kita dengan tenang menghapus $10y$ dari bawah tanda turunan, dan dalam kasus kedua kita benar-benar menghilangkan suku pertama. Semua ini terjadi karena semua huruf, kecuali variabel yang digunakan untuk melakukan diferensiasi, dianggap konstan: dapat dihilangkan, “dibakar”, dll.
Apa itu "turunan parsial"?
Hari ini kita akan membahas tentang fungsi beberapa variabel dan turunan parsialnya. Pertama, apa fungsi dari beberapa variabel? Hingga saat ini, kita terbiasa menganggap suatu fungsi sebagai $y\left(x \right)$ atau $t\left(x \right)$, atau variabel apa pun dan satu fungsi tunggal di dalamnya. Sekarang kita akan memiliki satu fungsi, tetapi beberapa variabel. Saat $y$ dan $x$ berubah, nilai fungsinya akan berubah. Misalnya, jika $x$ berlipat ganda, nilai fungsi akan berubah, dan jika $x$ berubah, tetapi $y$ tidak berubah, nilai fungsi akan berubah dengan cara yang sama.
Tentu saja, suatu fungsi dari beberapa variabel, seperti halnya fungsi dari satu variabel, dapat dibedakan. Namun karena terdapat beberapa variabel, maka dimungkinkan untuk membedakannya menurut variabel yang berbeda. Dalam hal ini timbul aturan-aturan khusus yang tidak ada ketika mendiferensiasikan satu variabel.
Pertama-tama, ketika kita menghitung turunan suatu fungsi dari variabel apa pun, kita diharuskan untuk menunjukkan variabel mana yang kita hitung turunannya - ini disebut turunan parsial. Misalnya, kita memiliki fungsi dua variabel, dan kita dapat menghitungnya dalam $x$ dan $y$ - dua turunan parsial untuk masing-masing variabel.
Kedua, segera setelah kita menetapkan salah satu variabel dan mulai menghitung turunan parsial terhadap variabel tersebut, maka semua variabel lain yang termasuk dalam fungsi ini dianggap konstan. Misalnya, di $z\left(xy \right)$, jika kita menganggap turunan parsial terhadap $x$, maka di mana pun kita menemukan $y$, kita menganggapnya sebagai konstanta dan memperlakukannya seperti itu. Khususnya, saat menghitung turunan suatu produk, kita dapat mengeluarkan $y$ dari tanda kurung (kita memiliki konstanta), dan saat menghitung turunan dari suatu jumlah, jika di suatu tempat kita mendapatkan turunan dari ekspresi yang mengandung $y$ dan tidak mengandung $x$, maka turunan dari ekspresi ini akan sama dengan “nol” sebagai turunan dari suatu konstanta.
Sekilas, sepertinya saya sedang membicarakan sesuatu yang rumit, dan banyak siswa yang bingung pada awalnya. Namun, tidak ada yang supernatural dalam turunan parsial, dan sekarang kita akan melihatnya dengan menggunakan contoh masalah tertentu.
Masalah dengan radikal dan polinomial
Tugas No.1
Agar tidak membuang waktu, mari kita mulai dari awal dengan contoh yang serius.
Untuk memulainya, izinkan saya mengingatkan Anda tentang rumus ini:
Ini adalah nilai tabel standar yang kita ketahui dari standar saja.
Dalam hal ini, turunan $z$ dihitung sebagai berikut:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\kiri(\frac(y)(x) \kanan))^(\prime ))_(x)\]
Mari kita lakukan lagi, karena akarnya bukan $x$, tetapi ekspresi lain, dalam hal ini $\frac(y)(x)$, maka pertama-tama kita akan menggunakan nilai tabel standar, dan kemudian, karena akarnya adalah bukan $x $, dan ekspresi lain, kita perlu mengalikan turunan kita dengan salah satu ekspresi ini terhadap variabel yang sama. Mari kita hitung dulu hal berikut:
\[((\kiri(\frac(y)(x) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Kami kembali ke ekspresi kami dan menulis:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \kiri(-\frac(y)(((x)^(2))) \kanan)\]
Pada dasarnya, itu saja. Namun, membiarkannya dalam bentuk ini adalah salah: konstruksi seperti itu tidak nyaman digunakan untuk perhitungan lebih lanjut, jadi mari kita ubah sedikit:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \kiri(-\frac(y)(((x)^(2))) \kanan)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Jawabannya telah ditemukan. Sekarang mari kita berurusan dengan $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \kanan))^(\prime ))_(y)\]
Mari kita tuliskan secara terpisah:
\[((\kiri(\frac(y)(x) \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Sekarang kita tuliskan:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Selesai.
Masalah No.2
Contoh ini lebih sederhana dan lebih kompleks dibandingkan contoh sebelumnya. Ini lebih rumit karena ada lebih banyak tindakan, tetapi lebih sederhana karena tidak ada akar dan, selain itu, fungsinya simetris terhadap $x$ dan $y$, yaitu. jika kita menukar $x$ dan $y$, rumusnya tidak akan berubah. Pernyataan ini akan semakin menyederhanakan perhitungan turunan parsial kita, yaitu. cukup menghitung salah satunya, dan yang kedua cukup tukar $x$ dan $y$.
Mari kita mulai berbisnis:
\[(((z)")_(x))=((\kiri(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \kanan ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\kiri(xy \kanan))^(\prime ))_(x)\kiri(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \kanan)-xy((\kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(\prime ) )_(x))(((\kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(2)))\]
Mari berhitung:
\[((\kiri(xy \kanan))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\kiri(x \kanan))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Namun banyak siswa yang belum memahami notasi ini, maka mari kita tuliskan seperti ini:
\[((\kiri(xy \kanan))^(\prime ))_(x)=((\kiri(x \kanan))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\kiri(y \kanan))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Jadi, kami sekali lagi yakin akan universalitas algoritma turunan parsial: tidak peduli bagaimana kami menghitungnya, jika semua aturan diterapkan dengan benar, jawabannya akan tetap sama.
Sekarang mari kita lihat satu lagi turunan parsial dari rumus besar kita:
\[((\kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(\prime ))_(x)=((\kiri((( x)^(2)) \kanan))^(\prime ))_(x)+((\kiri(((y)^(2)) \kanan))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus kita dan dapatkan:
\[\frac(((\left(xy \kanan))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ kanan)-xy((\kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(\prime ))_(x))(((\kiri (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan)-xy\cdot 2x)(((\kiri((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(2)))=\]
\[=\frac(y\kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \kanan))(((\ kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(2)))=\frac(y\kiri(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \kanan))(((\kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(2 )))\]
Berdasarkan $x$ dihitung. Dan untuk menghitung $y$ dari ekspresi yang sama, jangan melakukan urutan tindakan yang sama, tetapi manfaatkan simetri ekspresi asli kita - kita cukup mengganti semua $y$ dalam ekspresi asli kita dengan $x$ dan sebaliknya:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\kiri(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \kanan))((( \kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(2)))\]
Karena simetri, kami menghitung ekspresi ini lebih cepat.
Nuansa solusinya
Untuk turunan parsial, semua rumus standar yang kita gunakan untuk turunan biasa berlaku, yaitu turunan dari hasil bagi. Namun, pada saat yang sama, ciri-ciri khusus muncul: jika kita mempertimbangkan turunan parsial dari $x$, maka ketika kita memperolehnya dari $x$, kita menganggapnya sebagai konstanta, dan oleh karena itu turunannya akan sama dengan “nol” .
Seperti halnya turunan biasa, hasil bagi (turunan yang sama) dapat dihitung dengan beberapa cara berbeda. Misalnya, konstruksi yang sama yang baru saja kita hitung dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[((\left(\frac(y)(x) \kanan))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \kanan)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\kiri(xy \kanan))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Sebaliknya, pada saat yang sama, Anda dapat menggunakan rumus dari jumlah turunan. Seperti yang kita ketahui, itu sama dengan jumlah turunannya. Sebagai contoh, mari kita tuliskan yang berikut ini:
\[((\kiri(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \kanan))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Sekarang, mengetahui semua ini, mari kita coba bekerja dengan ekspresi yang lebih serius, karena turunan parsial nyata tidak terbatas hanya pada polinomial dan akar: ada juga trigonometri, logaritma, dan fungsi eksponensial. Sekarang mari kita lakukan ini.
Soal fungsi trigonometri dan logaritma
Tugas No.1
Mari kita tulis rumus standar berikut:
\[((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\kiri(\cos x \kanan))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Berbekal ilmu tersebut, mari kita coba menyelesaikannya:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(x )=((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\kiri (\cos \frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
Mari kita tuliskan satu variabel secara terpisah:
\[((\kiri(\cos \frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\kiri( \frac(x)(y)\kanan))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Mari kembali ke desain kita:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \kanan)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Itu saja, kami menemukannya untuk $x$, sekarang mari kita lakukan perhitungan untuk $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(y )=((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\kiri (\cos \frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(y)=\]
Sekali lagi, mari kita hitung satu ekspresi:
\[((\kiri(\cos \frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\kiri( \frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \kiri(-\frac(1)(( (y)^(2))) \kanan)\]
Kami kembali ke ekspresi asli dan melanjutkan solusinya:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Selesai.
Masalah No.2
Mari kita tuliskan rumus yang kita perlukan:
\[((\kiri(\ln x \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Sekarang mari kita hitung dengan $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \kanan) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\kiri(x+\ln y \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \kiri(1+0 \kanan)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Ditemukan seharga $x$. Kami menghitung dengan $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \kanan) \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\kiri(x+\ln y \kanan))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\kiri(0+\frac(1)(y) \kanan)=\frac(1)(y\kiri(x+\ln y \kanan))\ ]
Masalah terpecahkan.
Nuansa solusinya
Jadi, apa pun fungsi yang kita ambil turunan parsialnya, aturannya tetap sama, terlepas dari apakah kita mengerjakan trigonometri, dengan akar, atau dengan logaritma.
Aturan klasik dalam bekerja dengan turunan standar tetap tidak berubah, yaitu turunan dari jumlah dan selisih, hasil bagi, dan fungsi kompleks.
Rumus terakhir paling sering ditemukan ketika menyelesaikan masalah turunan parsial. Kami bertemu mereka hampir di mana-mana. Tidak pernah ada satu tugas pun yang tidak kami temui. Namun rumus apa pun yang kami gunakan, kami masih memiliki satu persyaratan tambahan, yaitu kekhasan bekerja dengan turunan parsial. Setelah kita memperbaiki satu variabel, semua variabel lainnya adalah konstanta. Secara khusus, jika kita mempertimbangkan turunan parsial dari ekspresi $\cos \frac(x)(y)$ terhadap $y$, maka $y$ adalah variabelnya, dan $x$ tetap konstan di mana pun. Hal yang sama berlaku sebaliknya. Dapat dikeluarkan dari tanda turunannya, dan turunan dari konstanta itu sendiri akan sama dengan “nol”.
Semua ini mengarah pada fakta bahwa turunan parsial dari ekspresi yang sama, tetapi terhadap variabel yang berbeda, dapat terlihat sangat berbeda. Sebagai contoh, mari kita lihat ekspresi berikut:
\[((\kiri(x+\ln y \kanan))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\kiri(x+\ln y \kanan))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Masalah dengan fungsi eksponensial dan logaritma
Tugas No.1
Untuk memulainya, mari kita tulis rumus berikut:
\[((\kiri(((e)^(x)) \kanan))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Mengetahui fakta ini, serta turunan dari fungsi kompleks, mari kita coba menghitungnya. Sekarang saya akan menyelesaikannya dengan dua cara berbeda. Yang pertama dan paling jelas adalah produk turunan:
\[(((z)")_(x))=((\kiri(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \kanan) )^(\prime ))_(x)=((\kiri(((e)^(x)) \kanan))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\kiri(((e)^(\frac(x)(y))) \kanan))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\kiri(\frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
Mari selesaikan ekspresi berikut secara terpisah:
\[((\kiri(\frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Kami kembali ke desain awal kami dan melanjutkan solusinya:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\kanan)\]
Semuanya, $x$ dihitung.
Namun, seperti yang saya janjikan, sekarang kita akan mencoba menghitung turunan parsial yang sama ini dengan cara yang berbeda. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Mari kita tulis seperti ini:
\[((\kiri(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \kanan))^(\prime ))_(x)=( (\kiri(((e)^(x+\frac(x)(y))) \kanan))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\kiri(x+\frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \kiri(1+\frac(1)(y) \kanan)\]
Hasilnya, kami menerima jawaban yang persis sama, tetapi jumlah perhitungannya ternyata lebih kecil. Untuk melakukan ini, cukup diperhatikan bahwa saat melakukan produk, indikator dapat ditambahkan.
Sekarang mari kita hitung dengan $y$:
\[(((z)")_(y))=((\kiri(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \kanan) )^(\prime ))_(y)=((\kiri(((e)^(x)) \kanan))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\kiri(((e)^(\frac(x)(y))) \kanan))^(\prime ) )_(kamu)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\kiri(\frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(y)=\]
Mari selesaikan satu ekspresi secara terpisah:
\[((\kiri(\frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Mari kita lanjutkan menyelesaikan konstruksi awal kita:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \kiri(-\frac(x)(((y)^(2) )) \kanan)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Tentu saja, turunan yang sama dapat dihitung dengan cara kedua, dan jawabannya akan sama.
Masalah No.2
Mari kita hitung dengan $x$:
\[(((z)")_(x))=((\kiri(x \kanan))_(x))\cdot \ln \kiri(((x)^(2))+y \kanan )+x\cdot ((\kiri(\ln \kiri(((x)^(2))+y \kanan) \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
Mari kita hitung satu ekspresi secara terpisah:
\[((\kiri(\ln \kiri(((x)^(2))+y \kanan) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\kiri(((x)^(2))+y \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+kamu)\]
Mari kita lanjutkan menyelesaikan konstruksi awal: $$
Inilah jawabannya.
Masih ditemukan dengan analogi menggunakan $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \kanan))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \kanan)+x\cdot ((\kiri(\ln \kiri(((x)^(2))+y \kanan) \kanan))^(\prime ))_(y)=\]
Seperti biasa, kami menghitung satu ekspresi secara terpisah:
\[((\kiri(((x)^(2))+y \kanan))^(\prime ))_(y)=((\kiri(((x)^(2)) \kanan) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Kami terus menyelesaikan desain dasar:
Semuanya sudah diperhitungkan. Seperti yang Anda lihat, bergantung pada variabel mana yang digunakan untuk diferensiasi, jawabannya sangat berbeda.
Nuansa solusinya
Berikut adalah contoh mencolok bagaimana turunan dari fungsi yang sama dapat dihitung dengan dua cara berbeda. Lihat disini:
\[(((z)")_(x))=\kiri(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \kanan)=( (\kiri(((e)^(x)) \kanan))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\kiri(((e)^(\frac(x)(y))) \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ kiri(1+\frac(1)(y) \kanan)\]
\[(((z)")_(x))=((\kiri(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \kanan)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \kanan))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\kiri(x+\frac(x)(y) \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \kanan)\ ]
Saat memilih jalur yang berbeda, jumlah perhitungannya mungkin berbeda, tetapi jawabannya, jika semuanya dilakukan dengan benar, akan sama. Hal ini berlaku untuk turunan klasik dan turunan parsial. Pada saat yang sama, saya ingatkan Anda sekali lagi: tergantung pada variabel mana turunannya diambil, mis. diferensiasi, jawabannya mungkin akan sangat berbeda. Lihat:
\[((\kiri(\ln \kiri(((x)^(2))+y \kanan) \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\kiri(((x)^(2))+y \kanan))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\kiri(\ln \kiri(((x)^(2))+y \kanan) \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\kiri(((x)^(2))+y \kanan))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Kesimpulannya, untuk mengkonsolidasikan semua materi ini, mari kita coba menghitung dua contoh lagi.
Soal fungsi trigonometri dan fungsi dengan tiga variabel
Tugas No.1
Mari kita tuliskan rumus berikut:
\[((\kiri(((a)^(x)) \kanan))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\kiri(((e)^(x)) \kanan))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Sekarang mari kita selesaikan ekspresi kita:
\[(((z)")_(x))=((\kiri(((3)^(x\sin y)) \kanan))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
Mari kita hitung konstruksi berikut secara terpisah:
\[((\kiri(x\cdot \sin y \kanan))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ kiri(\sin y \kanan))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Kami terus menyelesaikan ekspresi aslinya:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Ini adalah respon akhir dari variabel privat pada $x$. Sekarang mari kita hitung dengan $y$:
\[(((z)")_(y))=((\kiri(((3)^(x\sin y)) \kanan))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\kiri(x\sin y \kanan))^(\prime ))_(y)=\]
Mari selesaikan satu ekspresi secara terpisah:
\[((\kiri(x\cdot \sin y \kanan))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ kiri(\sin y \kanan))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Mari selesaikan konstruksi kita sampai akhir:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Masalah No.2
Sekilas contoh ini mungkin terlihat cukup rumit karena ada tiga variabel. Faktanya, ini adalah salah satu tugas termudah dalam video tutorial hari ini.
Temukan berdasarkan $x$:
\[(((t)")_(x))=((\kiri(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \kanan))^(\prime ) )_(x)=((\kiri(x\cdot ((e)^(y)) \kanan))^(\prime ))_(x)+((\kiri(y\cdot ((e) ^(z)) \kanan))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\kiri(x \kanan))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\kiri(((e)^(y )) \kanan))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Sekarang mari kita berurusan dengan $y$:
\[(((t)")_(y))=((\kiri(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \kanan))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \kanan))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \kanan))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\kiri(((e)^(y)) \kanan))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\kiri (y \kanan))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Kami telah menemukan jawabannya.
Sekarang yang tersisa hanyalah mencari dengan $z$:
\[(((t)")_(z))=((\kiri(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \kanan))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \kanan))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \kanan))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \kanan))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Kami telah menghitung turunan ketiga, yang melengkapi solusi masalah kedua.
Nuansa solusinya
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam dua contoh ini. Satu-satunya hal yang kami yakini adalah bahwa turunan dari fungsi kompleks sering digunakan dan bergantung pada turunan parsial mana yang kami hitung, kami mendapatkan jawaban yang berbeda.
Pada tugas terakhir, kita diminta untuk menangani fungsi dari tiga variabel sekaligus. Tidak ada yang salah dengan hal ini, tetapi pada akhirnya kami yakin bahwa semuanya berbeda secara signifikan satu sama lain.
Poin-poin penting
Kesimpulan terakhir dari video tutorial hari ini adalah sebagai berikut:
- Turunan parsial dihitung dengan cara yang sama seperti turunan biasa, tetapi untuk menghitung turunan parsial terhadap satu variabel, kita mengambil semua variabel lain yang termasuk dalam fungsi ini sebagai konstanta.
- Saat mengerjakan turunan parsial, kami menggunakan rumus standar yang sama seperti turunan biasa: jumlah, selisih, turunan dari hasil kali dan hasil bagi, dan, tentu saja, turunan dari fungsi kompleks.
Tentu saja, menonton video pelajaran ini saja tidak cukup untuk memahami topik ini sepenuhnya, jadi saat ini di situs web saya terdapat serangkaian masalah untuk video ini yang khusus didedikasikan untuk topik hari ini - masuk, unduh, selesaikan masalah ini dan periksa jawabannya . Dan setelah itu Anda tidak akan mengalami masalah dengan turunan parsial baik dalam ujian maupun dalam pekerjaan mandiri. Tentu saja, ini bukan pelajaran terakhir matematika tingkat tinggi, jadi kunjungi situs web kami, tambahkan VKontakte, berlangganan YouTube, sukai, dan tetap bersama kami!
