Derivatif pada formula labender online. Formula Leibniz untuk turunan N-th dari pekerjaan dua fungsi. Mengganti variabel dalam integral tertentu

Teks pekerjaan ditempatkan tanpa gambar dan formula.
Versi lengkap dari pekerjaan tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF

"Bagi saya juga, binin Newton!»

dari novel "Master and Margarita"

"Segitiga Pascal sangat sederhana sehingga bahkan seorang anak berusia sepuluh tahun dapat menulisnya. Pada saat yang sama, ia membayar harta yang tidak habis-habisnya dan mengikat berbagai aspek matematika yang tidak ada hubungannya pada pandangan pertama. Sifat-sifat yang tidak biasa seperti itu memungkinkan untuk mempertimbangkan segitiga Pascal salah satu skema paling elegan dalam seluruh matematika "

Martin Gardner.

Tujuan Pekerjaan: Untuk merangkum formula multiplikasi disingkat, tunjukkan aplikasi mereka untuk memecahkan masalah.

Tugas:

1) Untuk mengeksplorasi dan mensistematisasikan informasi tentang masalah ini;

2) Membongkar contoh tugas untuk penggunaan Binoma Newton dan rumus jumlah dan perbedaan derajat.

Objek Penelitian: Binin Newton, rumus jumlah dan perbedaan derajat.

Metode penelitian:

Bekerja dengan literatur pendidikan dan populer, sumber daya internet.

Perhitungan, perbandingan, analisis, analogi.

Relevansi.Seseorang sering harus menangani tugas-tugas di mana Anda perlu menghitung jumlah semua cara yang mungkin dari beberapa item atau jumlah semua metode yang mungkin untuk menerapkan beberapa tindakan. Jalur atau opsi yang berbeda yang harus Anda pilih seseorang dilipat ke berbagai kombinasi. Dan seluruh bagian matematika, yang disebut Combinatorics, bergerak dalam mencari jawaban atas pertanyaan: Berapa banyak kombinasi dalam satu kasus atau yang lain.

Kombinator harus berurusan dengan banyak spesialisasi: ilmuwan kimia, ahli biologi, konstruktor, operator, dll. Memperkuat minat pada kombinatorik baru-baru ini disebabkan oleh perkembangan pesat peralatan cybernetic dan komputasi.

pengantar

Ketika mereka ingin menekankan bahwa para lawan membesar-besarkan kompleksitas tugas-tugas yang ditemui yang ia temui, mereka berkata: "Bagi saya, Binin Newton!" Katakan, di sini bin Nudon, itu sulit, dan masalah apa yang Anda miliki! Bahkan orang-orang yang kepentingannya tidak terhubung dengan matematika terdengar tentang biinoma Newton.

Kata "bin" berarti biccoon, mis. Jumlah dari dua istilah tersebut. Dari tahun ajaran, formula yang disebut penggandaan disingkat diketahui:

( tapi + b) 2 \u003d A. 2 + 2AB + B 2 (A + B) 3 \u003d A. 3 + 3a. 2 b + 3ab. 2 + B. 3 .

Generalisasi formula ini adalah formula yang disebut rumus binomine Newton. Digunakan di sekolah dan rumus dekomposisi pada pengganda perbedaan kuadrat, jumlah dan perbedaan kubus. Apakah mereka memiliki generalisasi untuk derajat lain? Ya, ada rumus seperti itu, mereka sering digunakan dalam menyelesaikan berbagai tugas: pada bukti kekecatan, pengurangan fraksi, perhitungan perkiraan.

Studi tentang generalisasi formula sedang mengembangkan pemikiran deduktif-matematika dan kemampuan berpikir umum.

Bagian 1. Formula Newton Binoma

Kombinasi dan propertinya

Biarkan x menjadi satu set yang terdiri dari n elemen. Subset y dari y dari set x, yang mengandung el elemen, disebut kombinasi elemen K dari n, sementara, k ≤ n.

Jumlah kombinasi berbeda dari el elemen dari n dilambangkan oleh n k. Salah satu formula paling penting untuk Combinatorics adalah formula berikut untuk nomor dengan N K:

Itu dapat direkam setelah kontraksi nyata sebagai berikut:

Khususnya,

Ini cukup konsisten dengan fakta bahwa pada set x hanya ada satu subset dari 0 elemen - subset kosong.

Angka-angka C n K memiliki sejumlah sifat indah.

Formula berlaku dengan n k \u003d dengan n - k n, (3)

Makna formula (3) adalah bahwa ada korespondensi yang saling tegas antara pluralitas semua himpunan bagian K-membran dari X dan set semua (n - k) - himpunan bagian dari X: Untuk menetapkan korespondensi ini, itu cukup Untuk setiap subset yang dikubah K cocok dengan penambahannya di set X.

Formula C 0 N + C 1 N + C 2 N + ... + dengan n n \u003d 2 n (4)

Jumlah yang berdiri di sisi kiri mengekspresikan jumlah semua himpunan bagian dari set x (c 0 n adalah jumlah subset beranggot 0, C 1 n adalah jumlah himpunan bagian tunggal, dll.).

Dengan K, 1≤ K≤ N, kesetaraan adil

C K N \u003d C N -1 K + C N -1 K -1 (5)

Kesetaraan ini mudah diperoleh dengan bantuan formula (1). Memang,

1.2. Output dari formula Binoma Newton

Pertimbangkan derajat bouncing A +.dgn B. .

n \u003d 0, (A +dgn B. ) 0 = 1

n \u003d 1, (A +dgn B. ) 1 \u003d 1A + 1dgn B.

n \u003d 2,(A +.dgn B. ) 2 \u003d 1a. 2 + 2a.dgn B. +1 dgn B. 2

n \u003d 3,(A +.dgn B. ) 3 \u003d 1 A. 3 + 3a. 2 dgn B. + 3a.dgn B. 2 +1 dgn B. 3

n \u003d 4,(A +.dgn B. ) 4 \u003d 1a. 4 + 4a. 3 dgn B. + 6a. 2 dgn B. 2 + 4a.dgn B. 3 +1 dgn B. 4

n \u003d 5,(A +.dgn B. ) 5 = 1a. 5 + 5A. 4 dgn B. + 10A. 3 dgn B. 2 + 10A. 2 dgn B. 3 + 5A.dgn B. 4 + 1 dgn B. 5

Perhatikan monomeritas berikut:

Jumlah anggota polinomial per unit lebih besar dari indikator tingkat binoma;

Indikator derajat istilah pertama berkurang dari N ke 0, indikator derajat masa jabatan kedua meningkat dari 0 hingga n;

Gelar-gelar dari semua panel tunggal sama dengan derajat memantul dalam kondisi;

Setiap sayap tunggal adalah produk dari ekspresi pertama dan kedua dalam berbagai derajat dan beberapa angka - koefisien binomine;

Koefisien binominal sama dengan awal dan akhir dekomposisi sama.

Generalisasi formula ini adalah formula berikut yang disebut Formula Binomine Newton:

(sEBUAH. + dgn B. ) n. = C. 0 n. sEBUAH. n. dgn B. 0 + C. 1 n. sEBUAH. n. -1 dgn B. + C. 2 n. sEBUAH. n. -2 dgn B. 2 + ... + C. n. -1 n. abdi n. -1 + C. n. n. sEBUAH. 0 dgn B. n. . (6)

Dalam formula ini n. Mungkin angka alami.

Kami memperoleh formula (6). Pertama-tama, kami menulis:

(sEBUAH. + dgn B. ) n. = (sEBUAH. + dgn B. )(sEBUAH. + dgn B. ) ... (sEBUAH. + dgn B. ), (7)

di mana jumlah kurung variabel sama n.. Dari aturan multiplikasi jumlah yang biasa dalam jumlah tersebut menyiratkan bahwa ekspresi (7) sama dengan jumlah dari segala macam pekerjaan, yang dapat sebagai berikut: Ringkasan pertama siapa pun a + B. dikalikan dengan jumlah kedua siapa pun a + B., jumlah ketiga siapa pun, dll.

Dari apa yang jelas bahwa istilah dalam ekspresi untuk (sEBUAH. + dgn B. ) n. String N, yang saling tidak ambigu) yang terdiri dari huruf a dan b. Di antara komponen akan bertemu dengan anggota tersebut; Jelas, anggota seperti itu sesuai dengan string yang berisi jumlah huruf yang sama. tapi. Tetapi jumlah garis yang mengandung huruf K kali tapiSama dengan n k. Ini berarti bahwa jumlah dari semua anggota yang berisi huruf dan pengganda adalah pers kali, sama dengan n k sEBUAH. n. - k. dgn B. k. . Karena K dapat mengambil nilai 0, 1, 2, ..., n - 1, n, maka formula (6) mengikuti dari argumen kami. Perhatikan bahwa (6) Anda dapat merekam lebih pendek: (8)

Meskipun formula (6) disebut nama Newton, pada kenyataannya dia terungkap sebelum Newton (misalnya, Pascal tahu). Merit Newton adalah bahwa ia menemukan generalisasi formula ini jika tidak seluruh indikator. Ini adalah i.Nyuton pada 1664-1665. Dia membawa formula yang mengekspresikan bengkok untuk indikator fraksional dan negatif yang sewenang-wenang.

Angka-angka c 0 n, c 1 n, ..., c n n, yang termasuk dalam formula (6), disebut koefisien binomial, yang ditentukan sebagai berikut:

Dari Formula (6), Anda bisa mendapatkan sejumlah properti koefisien ini. Misalnya, diyakini tapi \u003d 1, b \u003d 1, kita dapatkan:

2 N \u003d C 0 N + C 1 N + C 2 N + C 3 N + ... + C N N,

itu. rumus (4). Jika dimasukkan tapi \u003d 1, b \u003d -1, maka kita akan memiliki:

0 \u003d C 0 N - C 1 N + C 2 N - C 3 N + ... + (-1) N C N N

atau dengan 0 N + C 2 N + C 4 N + ... \u003d C 1 N + C 3 N + + C 5 N + ....

Ini berarti bahwa jumlah koefisien anggota dekomposisi aktif sama dengan jumlah koefisien anggota dekomposisi ganjil; Masing-masing dari mereka adalah 2 n -1.

Koefisien anggota yang sama dari ujung dekomposisi sama. Properti ini mengikuti dari relasi: dengan n k \u003d dengan n n - k

Menarik kasus pribadi

(x + 1) n \u003d c 0 n x n + c 1 n x n-1 + ... + c k n x n - k + ... + c n n x 0

atau pendek (x +1) n \u003d σc n k x n - k.

1.3. Teorema polinomial

Dalil.

Bukti.

Sehingga setelah pengungkapan, tanda kurung ternyata tidak jejak, Anda harus memilih kurung yang diambil, kurung dari mana diambil, dll. Dan tanda kurung dari mana diambil. Koefisien pada saat yang sama, setelah membawa anggota tersebut, sama dengan jumlah cara agar pilihan seperti itu dapat diimplementasikan. Langkah pertama dari urutan pemilihan dapat dilakukan dengan metode, langkah kedua -, yang ketiga -, dll., -Y. Koefisien yang diinginkan sama dengan pekerjaan

Bagian 2. Derivatif pesanan yang lebih tinggi.

Konsep turunan dari pesanan yang lebih tinggi.

Biarkan fungsi membedakan dalam beberapa interval. Kemudian turunannya, secara umum, tergantung pada h.itu adalah fungsi dari h.. Akibatnya, dalam kaitannya dengan itu, adalah mungkin untuk menaikkan pertanyaan tentang keberadaan turunannya.

Definisi . Turunan dari derivatif pertama disebut derivatif orde kedua atau turunan kedua dan ditunjukkan oleh simbol atau, yaitu,

Definisi . Turunan dari derivatif kedua disebut turunan orde ketiga atau turunan ketiga dan ditunjukkan oleh simbol atau.

Definisi . Turunann. memesanfungsi disebut turunan pertama derivatif (n. -1) -Menggunakan fungsi ini dan ditunjukkan oleh simbol atau:

Definisi . Turunan dari urutan di atas yang pertama disebut derivatif tertinggi.

Komentar. Demikian pula, Anda bisa mendapatkan formula n. Fungsi derivatif:

Turunan kedua dari fungsi yang ditentukan parametrik

Jika fungsinya diatur dengan persamaan parametrik, perlu menggunakan ekspresi untuk turunan pertamanya untuk menemukan turunan urutan kedua, sebagai fungsi kompleks variabel independen.

Dari dulu

dan memperhitungkan fakta itu

Kami mengerti.

Demikian pula, Anda dapat menemukan turunan ketiga.

Jumlah diferensial, bekerja dan pribadi.

Karena diferensial diperoleh dari turunan variabel independen, kemudian, mengetahui turunan dari fungsi dasar utama, serta aturan untuk menemukan turunan, seseorang dapat mencapai aturan yang sama untuk menemukan diferensial.

1 0 . Konstanta diferensial adalah nol.

2 0 . Diferensial dari jumlah aljabar dari jumlah terbatas fungsi yang dapat dibedakan sama dengan jumlah aljabar diferensial dari fungsi-fungsi ini .

3 0 . Diferensial dari pekerjaan dua fungsi yang dapat dibedakan sama dengan jumlah karya fungsi pertama hingga diferensial fungsi kedua dan kedua pada diferensial yang pertama .

Akibat wajar. Pengganda permanen dapat diambil dari tanda diferensial.

2.3. Fungsi yang ditentukan parametrically, diferensiasi mereka.

Definisi . Fungsi ini disebut parametrik yang diberikan, jika kedua variabel h. dan eS didefinisikan masing-masing secara individual sebagai fungsi-fungsi yang tidak ambigu dari variabel bantu yang sama - parametert. :

dimanat. bervariasi dalam.

Komentar . Kami menyajikan persamaan parametrik lingkaran dan elips.

a) disirami dengan pusat di awal koordinat dan jari-jari r. Memiliki persamaan parametrik:

b) Kami menulis persamaan parametrik untuk Ellipse:

Dengan mengecualikan parameter t. Dari persamaan parametrik dari garis yang dipertimbangkan, dimungkinkan untuk datang ke persamaan kanonik mereka.

Dalil . Jika fungsinya kamu dari argumen. x diberikan oleh persamaan parametrik, di mana dan dapat dibedakant. Fungsi dan, lalu.

2.4. Formula Leibnitsa.

Untuk menemukan turunan n. -Oh pesanan dari pekerjaan dua fungsi adalah nilai praktis besar dari formula labitsa.

Biarkan menjadi u. dan v. - Beberapa fungsi dari variabel h.memiliki derivatif pesanan apa pun dan y. = uV. . Mengekspresikan n. Derivatif melalui fungsi turunan u. dan v. .

Kami berurutan

Mudah untuk melihat analogi antara ekspresi untuk derivatif kedua dan ketiga masing-masing dan dekomposisi Newton Binoma, pada gelar kedua dan ketiga, tetapi alih-alih indikator derajat biaya jumlah yang menentukan prosedur turunannya, Dan fungsi-fungsi itu sendiri dapat dianggap sebagai "turunan nol-order". Mengingat ini, kami mendapatkan formula leibnitsa:

Formula ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika.

Bagian 3. Penerapan formula labender.

Untuk menghitung turunan dari setiap pesanan dari produk dua fungsi, melewati penggunaan berurutan formula untuk menghitung turunan dari produk dua fungsi, berlaku formula Leibnitsa..

Dengan menggunakan rumus ini, pertimbangkan contoh penghitungan turunan pesanan N-th dari produk dua fungsi.

Contoh 1.

Temukan fungsi derivatif urutan kedua

Menurut definisi tersebut, derivatif kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama, yaitu

Oleh karena itu, pertama-tama kita menemukan turunan orde pertama dari fungsi tertentu menurut aturan diferensiasi dan menggunakan turunan tabel.:

Sekarang kita menemukan turunan dari turunan urutan pertama. Ini akan menjadi derivatif urutan kedua yang diinginkan:

Menjawab:

Contoh 2.

Temukan turunan dari urutan fungsi

Keputusan.

Kami akan secara konsisten menemukan turunan dari yang pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya pada urutan fungsi yang ditentukan untuk menetapkan pola yang dapat digeneralisasi oleh turunan.

Turunan urutan pertama menemukan caranya derivatif pribadi:

Di sini ekspresi disebut angka faktorial. Faktorial angka sama dengan produk angka dari satu hingga, yaitu

Derivatif urutan kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama, yaitu

Derivatif urutan ketiga:

Derivatif keempat:

Perhatikan polanya: pada pembilang ada faktorial dari angka, yang sama dengan urutan turunan, dan dalam penyebut, ekspresi sejauh per unit lebih besar dari urutan turunannya, yaitu

Menjawab.

Contoh 3.

Temukan nilai fungsi derivatif ketiga pada saat itu.

Keputusan.

Berdasarkan turunan tabel dari pesanan yang lebih tinggiKita punya:

Dalam contoh yang dipertimbangkan, yaitu, kita dapatkan

Perhatikan bahwa hasil seperti itu dapat diperoleh dengan temuan derivatif yang konsisten.

Pada titik tertentu, derivatif ketiga sama dengan:

Menjawab:

Contoh 4.

Temukan fungsi derivatif kedua

Keputusan. Untuk memulainya, kami menemukan derivatif pertama:

Untuk menemukan derivatif kedua, ekspresi untuk turunan pertama sekali lagi harus acuh tak acuh:

Menjawab:

Contoh 5.

Temukan jika

Karena fungsi yang ditentukan adalah produk dari dua fungsi, kemudian untuk menemukan turunan dari urutan keempat, akan disarankan untuk menerapkan rumus Leibniza:

Kami menemukan semua derivatif dan mempertimbangkan koefisien dengan komponen.

1) Pertimbangkan koefisien dengan ketentuan:

2) Kami akan menemukan derivatif dari fungsi:

3) Kami menemukan derivatif dari fungsi:

Menjawab:

Contoh 6.

Fungsi y \u003d x 2 cos3x diberikan. Temukan turunan orde ketiga.

Biarkan u \u003d cos3x, v \u003d x 2 . Kemudian, oleh formula labitsa yang kami temukan:

Derivatif dalam ungkapan ini memiliki bentuk:

(Cos3x) '\u003d - 3sin3x,

(cos3x) '' \u003d (- 3SIN3X) '\u003d - 9COS3X,

(cos3x) '' '\u003d (- 9cos3x)' \u003d 27sin3x,

(x2) '\u003d 2x,

(x2) '' \u003d 2,

(x2) '' '\u003d 0.

Akibatnya, turunan ketiga dari fungsi yang ditentukan sama dengan

1 ⋅ 27SIN3X ⋅ x2 + 3 ⋅ (-9cos3x) ⋅ 2x + 3 ⋅ (-3sin3x) ⋅ 2 + 1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x-54xcos3x-18sin3x \u003d (27x2-18) sin3x-54xcos3x.

Contoh 7.

Temukan derivatifn. -Apakah fungsi pemesanany \u003d x 2 cosx.

Kami menggunakan rumus leibnitsa, percayau \u003d cosx., v \u003d x. 2 . Kemudian

Anggota baris yang tersisa adalah nol, karena(x2) (i) \u003d 0 pada i\u003e 2.

N. Derivative. -O Pesan fungsi cosino:

Akibatnya, turunan dari fungsi kita sama

Kesimpulan

Studi sekolah dan menggunakan apa yang disebut formula multiplikasi disingkat: kotak dan kubus jumlah dan perbedaan dua ekspresi dan rumus dekomposisi pada pengganda perbedaan kuadrat, jumlah dan perbedaan kubus dua ekspresi. Generalisasi formula ini adalah formula yang disebut Formula Newton Binoma dan rumus untuk dekomposisi dari penggabungan jumlah dan perbedaan derajat. Rumus ini sering digunakan dalam memecahkan berbagai tugas: pada bukti kekecatan, pengurangan fraksi, perhitungan perkiraan. Properti menarik dari Segitiga Pascal, yang terkait erat dengan Binom Newton dipertimbangkan.

Informasi tentang topik tersebut dimasukkan sistematis dalam pekerjaan, contoh tugas untuk penggunaan Newton Binoma dan rumus jumlah dan perbedaan derajat diberikan. Pekerjaan dapat digunakan dalam pekerjaan lingkaran matematika, serta untuk mempelajari diri mereka yang menyukai matematika.

Daftar Sumber yang Digunakan

1.Vilenkin n.ya. Combinatorics. - ed. "Ilmu". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.n., Shevkin A.V. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 10: Studi. Untuk pendidikan umum. Organisasi level dasar dan mendalam - m.: Pencerahan, 2014. - 431 p.

3. Limbah untuk statistik, teori kombinatorik dan probabilitas. 7-9 cl. / Author - Compiler v.n. Siswa. - ed. 2nd, Sn., - Volgograd: Guru, 2009

4.Savushkina I.a., Hugaev K.D., Tishkin S.B. Persamaan aljabar dari manual metodologi / metodologis yang lebih tinggi untuk pendengar Departemen Persiapan InterUniversity. - St. Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Kursus opsional dalam matematika: memecahkan masalah. Tutorial untuk 10 cl. SMA. - m.: Pencerahan, 1989.

6.Sains dan Kehidupan, Binin Newton dan Segitiga Pascal [Sumber daya elektronik]. - Mode akses: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Formula leibher diberikan untuk menghitung turunan N-th produk dari dua fungsi. Itu diberikan buktinya dalam dua cara. Contoh penghitungan n-order turunan dianggap.

Lihat juga: Pekerjaan derivatif dari dua fungsi

Formula Leibnitsa.

Menggunakan rumus laboratorium, Anda dapat menghitung turunan urutan ke-n dari produk dari dua fungsi. Ini memiliki bentuk berikut:
(1) ,
Dimana
- Koefisien Binomial.

Koefisien Binomial adalah koefisien dekomposisi Binoma dalam derajat dan:
.
Juga, jumlahnya adalah jumlah kombinasi dari n oleh k.

Bukti formula leibniz

Kami menerapkan rumus untuk turunan dari pekerjaan dua fungsi:
(2) .
Kami menulis ulang formula (2) dalam bentuk berikut:
.
Artinya, kami percaya bahwa satu fungsi tergantung pada variabel X, dan yang lainnya - dari variabel y. Di akhir perhitungan, kami berasumsi. Maka formula sebelumnya dapat ditulis sebagai:
(3) .
Karena turunannya sama dengan jumlah anggota, dan setiap anggota adalah produk dari dua fungsi, kemudian untuk menghitung turunan dari urutan tertinggi, dapat secara konsisten diterapkan pada aturan (3).

Kemudian untuk turunan N-order yang kita miliki:

.
Mempertimbangkan bahwa kami, kami mendapatkan formula Leibnitsa:
(1) .

Bukti dengan Induksi

Kami menyajikan bukti formula Leibher dengan metode induksi matematika.

Sekali lagi, mengusir formula Leibnitsa:
(4) .
Untuk n \u003d 1, kita punya:
.
Ini adalah formula untuk produk derivatif dari dua fungsi. Dia adil.

Misalkan rumus (4) berlaku untuk turunan dari n-orde. Kami membuktikan bahwa ini berlaku untuk turunan n + 1 -O Pesan.

Diferensiasi (4):
;



.
Jadi, kami menemukan:
(5) .

Pengganti dalam (5) dan pertimbangkan ::

.
Dapat dilihat formula (4) memiliki penampilan yang sama untuk turunan n + 1 -O Pesan.

Jadi, rumus (4) berlaku untuk n \u003d 1 . Dari asumsi bahwa itu dilakukan, untuk beberapa angka n \u003d m mengikuti bahwa itu dilakukan untuk n \u003d m + 1 .
Formula Leibnitsa terbukti.

Contoh

Hitung fungsi derivatif N-th
.

Terapkan Formula Leibnica.
(2) .
Dalam kasus kami
;
.

Pada turunan tabel yang kami miliki:
.
Terapkan sifat-sifat fungsi trigonometri:
.
Kemudian
.
Dapat dilihat bahwa diferensiasi fungsi sinus menyebabkan pergeserannya. Kemudian
.

Kami menemukan derivatif dari fungsi.
;
;
;
, .

Sejak kapan, dalam rumus, Leibher berbeda dari nol hanya tiga anggota pertama. Kami menemukan koefisien binomial.
;
.

Oleh formula, Leibnia memiliki:

.

Solusi tugas-tugas terapan berkurang menjadi perhitungan integral, tetapi tidak selalu mungkin untuk dilakukan dengan tepat. Kadang-kadang perlu untuk mengetahui nilai integral tertentu dengan beberapa tingkat akurasi, misalnya, hingga seperseribu.

Ada tugas-tugas ketika harus ditemukan perkiraan nilai integral spesifik dengan akurasi yang diperlukan, maka integrasi numerik digunakan sebagai metode kesederhanaan, trapesium, persegi panjang. Tidak semua kasus memungkinkan Anda menghitungnya dengan akurasi tertentu.

Artikel ini mempertimbangkan penerapan formula Newton-Labender. Ini diperlukan untuk secara akurat menghitung integral tertentu. Contoh terperinci akan diberikan, penggantian variabel dalam integral tertentu akan dipertimbangkan dan menemukan nilai-nilai integral tertentu ketika mengintegrasikan bagian.

Formula Newton Labitsa.

Ketika fungsi y \u003d y (x) terus menerus dari segmen [a; b], dan f (x) adalah salah satu fungsi pertama dari segmen ini, lalu formula Newton Labitsa. Dipertimbangkan. Kami menulisnya jadi ∫ a b f (x) d x \u003d f (b) - f (a).

Formula ini diyakini formula utama kalkulus integral.

Untuk menghasilkan bukti formula ini, perlu menggunakan konsep integral dengan batas atas variabel yang ada.

Ketika fungsi y \u003d f (x) terus menerus dari segmen [a; b], maka nilai argumen x ∈ a; b, dan integral memiliki bentuk ∫ A x f (t) d t dan dianggap sebagai fungsi batas atas. Perlu untuk mengadopsi penunjukan fungsi akan mengambil formulir ∫ Axf (t) dt \u003d φ (x), itu terus menerus, dan untuk itu, ketidaksetaraan bentuk ∫ Axf (t) dt "\u003d φ" ( x) \u003d f (x) benar.

Kami Memperbaiki bahwa kenaikan fungsi φ (x) sesuai dengan peningkatan argumen δ x, perlu untuk menggunakan properti utama kelima dari integral tertentu dan mendapatkan

Φ (x + δ x) - φ x \u003d ∫ AX + Δ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt \u003d \u003d ∫ kapak + Δ xf (t) dt \u003d f (c) · x + δ x - x \u003d F (c) · δ x

di mana nilainya c ∈ x; X + δ x.

Perbaiki kesetaraan dalam formulir φ (x + δ x) - φ (x) δ x \u003d f (c). Menurut definisi fungsi derivatif, perlu untuk pindah ke batas pada δ x → 0, maka kita mendapatkan rumus formulir φ "(x) \u003d f (x). Kami memperoleh φ (x) adalah salah satu spesies primitif untuk fungsi y \u003d f (x), terletak pada [a; b]. Kalau tidak, ekspresi dapat direkam

F (x) \u003d φ (x) + c \u003d ∫ a x f (t) d t + c, di mana nilai c konstan.

Hitung f (a) menggunakan properti pertama dari integral tertentu. Lalu kita mengerti

F (a) \u003d φ (a) + c \u003d ∫ a f (t) d t + c \u003d 0 + c \u003d c, karenanya kita mendapatkan bahwa c \u003d f (a). Hasilnya berlaku saat menghitung F (b) dan dapatkan:

F (b) \u003d φ (b) + c \u003d ∫ a abf (t) dt + c \u003d ∫ abf (t) dt + f (a), dengan kata lain, f (b) \u003d ∫ abf (t) dt + f (a). Kesetaraan membuktikan rumus Newton Labnica ∫ A B F (x) d x + f (b) - f (a).

Peningkatan fungsi diadopsi sebagai f x a b \u003d f (b) - f (a). Dengan penunjukan Formula Newton-Leibnia, mengambil formulir ∫ a b f (x) d x \u003d f x a b \u003d f (b) - f (a).

Untuk menerapkan rumus, perlu untuk mengetahui salah satu dari primitif y \u003d f (x) dari fungsi integrand y \u003d f (x) dari segmen [a; b], hitung kenaikan primitif dari segmen ini. Pertimbangkan contoh perhitungan yang sedikit menggunakan rumus Newton-Labender.

Contoh 1.

Hitung integral spesifik ∫ 1 3 x 2 d x sesuai dengan formula Newton-Labender.

Keputusan

Pertimbangkan bahwa fungsi terintegrasi dari formulir y \u003d x 2 terus menerus dari segmen [1; 3], lalu terintegrasi pada segmen ini. Menurut tabel integral yang tidak pasti, kita melihat bahwa fungsi y \u003d x 2 memiliki banyak primitif untuk semua nilai yang valid x, yang berarti x ∈ 1; 3 akan direkam sebagai f (x) \u003d ∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c. Perlu untuk mengambil primitif dengan c \u003d 0, maka kita mendapatkan f (x) \u003d x 3 3.

Kami menggunakan rumus Labnic Newton dan kami memperoleh bahwa perhitungan integral tertentu akan mengambil formulir ∫ 1 3 x 2 d x \u003d x 3 3 1 3 \u003d 3 3 3 - 1 3 \u003d 26 3.

Menjawab: ∫ 1 3 x 2 d x \u003d 26 3

Contoh 2.

Hitung integral spesifik ∫ - 1 2 X · E X 2 + 1 D X oleh Formula Newton-Leibice.

Keputusan

Fungsi yang ditentukan terus menerus dari segmen [- 1; 2], Ini berarti bahwa itu dapat diintegrasikan. Perlu untuk menemukan nilai integral ∫ x · ex 2 + 1 yang tidak terbatas menggunakan metode pengajuan ke tanda diferensial, maka kita mendapatkan ∫ x · ex 2 + 1 dx \u003d 1 2 ∫ ex 2 + 1 d ( x 2 + 1) \u003d 1 2 2 + 1 + c.

Dari sini kita memiliki banyak fungsi primitif y \u003d x · E x 2 + 1, yang valid untuk semua X, X ∈ - 1; 2.

Perlu untuk mengambil primitif ketika c \u003d 0 dan terapkan formula Newton-Labender. Lalu kita mendapatkan ekspresi

∫ - 1 2 X · EX 2 + 1 dx \u003d 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 \u003d 1 2 E 2 2 - 1 2 E (- 1) 2 + 1 2 E (- 1) 2 + 1 1 \u003d 1 2 E 2 (E 3 - 1)

Menjawab: ∫ - 1 2 X · E X 2 + 1 D x \u003d 1 2 E 2 (E 3 - 1)

Contoh 3.

Hitung integrasi ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x dan ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Keputusan

Cut - 4; - 1 2 menunjukkan bahwa fungsi di bawah tanda integral terus menerus, itu berarti itu terintegrasi. Dari sini kita akan menemukan banyak fungsi primitif y \u003d 4 x 3 + 2 x 2. Kami mendapatkan itu

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x \u003d 2 x 2 - 2 x + c

Perlu untuk mengambil f (x) primitif \u003d 2 x 2 - 2 x, kemudian dengan menerapkan formula Newton-Labender, kami mendapatkan integral yang menghitung:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx \u003d 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 - 2 - 1 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 - 4 - 4 \u003d 1 2 + 4 - 32 - 1 2 \u003d - 28

Kami memproduksi transisi ke perhitungan integral kedua.

Dari segmen [- 1; 1] Kami memiliki bahwa fungsi terintegrasi dianggap tidak terbatas, karena LIM X → 0 4 x 3 + 2 x 2 \u003d + ∞, maka itu mengikuti dari ini bahwa kondisi yang diperlukan untuk integrabilitas dari segmen. Maka f (x) \u003d 2 x 2 - 2 x tidak primitif untuk y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 dari segmen [- 1; 1], Sejak titik O milik segmen, tetapi tidak termasuk dalam bidang definisi. Ini berarti bahwa ada integral tertentu dari Riemann dan Newton Leibher untuk fungsi y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 dari segmen [- 1; satu ] .

Jawaban: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,ada integral spesifik Riemann dan Newton Labnice untuk fungsi Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 dari segmen [- 1; satu ] .

Sebelum menggunakan formula Newton-Labitsa, Anda harus tahu persis tentang keberadaan integral tertentu.

Mengganti variabel dalam integral tertentu

Ketika fungsi y \u003d f (x) didefinisikan dan terus menerus dari segmen [a; b], maka yang ada [a; b] dianggap luas nilai fungsi x \u003d g (z) yang didefinisikan pada segmen α; β dengan turunan kontinu yang ada, di mana g (α) \u003d a dan g β \u003d b, kita memperoleh ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Formula ini digunakan ketika perlu untuk menghitung integral ∫ a b f (x) d x, di mana integral tidak terbatas memiliki formulir ∫ f (x) d x, hitung menggunakan metode substitusi.

Contoh 4.

Hitung integral spesifik dari formulir ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Keputusan

Integrand dianggap sebagai integrasi berkelanjutan pada interkom, yang berarti integral tertentu terjadi pada keberadaan. Kami memberikan penunjukan bahwa 2 x - 9 \u003d z ⇒ x \u003d g (z) \u003d z 2 + 9 2. Nilai X \u003d 9, itu berarti z \u003d 2 · 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, dan pada x \u003d 18 kita memperoleh z \u003d 2 · 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, maka g α \u003d g (3) \u003d 9, g β \u003d g 3 3 \u003d 18. Ketika mengganti nilai yang diperoleh dalam rumus ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z, kita mendapatkan itu

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx \u003d ∫ 3 3 3 1 Z 2 + 9 2 · Z · Z 2 + 9 2 "DZ \u003d ∫ 3 3 3 1 Z 2 + 9 2 · ZDZ \u003d ∫ 3 3 3 2 Z 2 + 9 DZ

Menurut tabel integral yang tidak pasti, kami memiliki salah satu fungsi primitif 2 Z 2 + 9 mengambil nilai 2 3 A R C T G Z 3. Kemudian, ketika menerapkan formula Newton-Labitsa, kita mendapatkannya

∫ 3 3 3 2 Z 2 + 9 d z \u003d 2 3 Arctgz 3 3 3 - 2 3 Arctg 3 3 3 - 2 3 Arctg 3 3 \u003d 2 3 Arctg 3 - Arctg 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18.

Temuan dapat dibuat tanpa menggunakan formula ∫ A B F (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Jika, dengan metode penggantian, gunakan integral dari formulir ∫ 1 x 2 x - 9 d x, maka Anda dapat sampai pada hasil ∫ 1 x 2 x - 9 d x \u003d 2 3 Arc TG 2 x - 9 3 + c.

Dari sini, kami akan menghitung rumus Newton Latit dan menghitung integral tertentu. Kami mendapatkan itu

∫ 9 18 2 Z 2 + 9 DZ \u003d 2 3 Arctgz 3 9 18 \u003d 2 3 3 Arctg 2 · 18 - 9 3 - Arctg 2 · 9 - 9 3 \u003d 2 3 3 Arctg 3 - Arctg 1 \u003d 2 3 π 3 - 2 3 π 3 - 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Hasilnya bertepatan.

Jawaban: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x \u003d π 18

Integrasi di bagian saat menghitung integral tertentu

Jika di segmen [A; b] Fungsi yang ditentukan dan terus menerus u (x) dan v (x), maka derivatif orde pertama mereka v "(x) · u (x) adalah integrable, sehingga dari segmen ini untuk fungsi integrable u" (x) · v (x) Kesetaraan ∫ ABV "(x) · u (x) dx \u003d (u (x) · v (x)) AB - ∫ Abu" (x) · v (x) dx valid.

Formula dapat digunakan kemudian, perlu untuk menghitung integral ∫ A B F (x) d x, dan ∫ f (x) d x harus dicari menggunakan integrasi di bagian.

Contoh 5.

Hitung integral spesifik ∫ - π 2 3 π 2 X · sin x 3 + π 6 d x.

Keputusan

Fungsi X · SIN X 3 + π 6 Integable pada segmen - π 2; 3 π 2, itu berarti kontinu.

Biarkan kamu (x) \u003d x, maka d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx, dan d (u (x)) \u003d u" (x) dx \u003d dx, dan v (x) \u003d - 3 cos π 3 + π 6. Dari rumus ∫ a b v "(x) · u (x) d x \u003d (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u" (x) · v (x) d x kita mengerti

∫ - π 2 3 π 2 X · sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 \u003d 9 π 4 \u003d 9 π 4 \u003d 9 π 4 \u003d 9 π 4 \u003d 3 π 2 + 9 Sin π 2 + π 6 - SIN - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Solusi contoh dapat dilakukan dengan cara yang berbeda.

Temukan banyak fungsi primitif X · SIN X 3 + π 6 Menggunakan integrasi dalam bagian-bagian menggunakan Formula Newton-Leibnia:

∫ x · sin xx 3 + π 6 dx \u003d u \u003d x, dv \u003d sin x 3 + π 6 dx ⇒ dx, v \u003d - 3 cos x 3 + π 6 \u003d \u003d π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx \u003d - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + c ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 cos x 3 + π 6 + 9 Sincos X 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 Sin - π 6 + π 4 + 9 3 - 3 π - 0 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Jawaban: ∫ X · sin x x 3 + π 6 d x \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, silakan pilih dan tekan Ctrl + Enter

Derivatif pesanan lebih tinggi

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar untuk menemukan turunan dari pesanan yang lebih tinggi, serta mencatat rumus umum turunan Anna. Selain itu, rumus Leibnia akan dipertimbangkan dan pada berbagai permintaan - turunan dari pesanan yang lebih tinggi dari fungsi yang ditentukan secara implisit.. Saya mengusulkan untuk segera menjalani tes mini:

Ini adalah fungsi: Dan ini adalah turunan pertamanya:

Dalam hal Anda memiliki kesulitan / kesalahpahaman tentang contoh ini, silakan mulai dengan dua artikel dasar dari kursus saya: Bagaimana menemukan derivatif? dan Fungsi Kompleks Derivatif. Setelah pengembangan derivatif dasar, saya sarankan untuk berkenalan dengan pelajaran Tugas paling sederhana dengan turunandi mana kami tahu, khususnya dengan derivatif kedua..

Mudah bahkan menebak bahwa turunan kedua adalah turunan dari turunan ke-1:

Pada prinsipnya, derivatif kedua sudah dianggap sebagai turunan dari urutan tertinggi.

Demikian pula: Derivatif ketiga adalah turunan dari turunan ke-2:

Derivatif keempat berasal dari turunan ke-3:

Derivatif kelima: , dan jelas bahwa semua turunan dari pesanan yang lebih tinggi juga akan nol:

Selain penomoran Romawi dalam praktik, notasi berikut ini sering digunakan:
Derivatif dari pesanan "Enyn" dilambangkan oleh. Pada saat yang sama, indeks tentary harus dikonfigurasi dalam tanda kurung - Untuk membedakan turunan dari "game" sampai ke gelar.

Terkadang ada entri: - Ketiga, keempat, kelima, ..., "masing-masing derivatif".

Maju tanpa rasa takut dan keraguan:

Contoh 1.

Fitur Dana. Mencari .

Keputusan: Apa yang Anda sakiti ... - Maju untuk turunan keempat :)

Keempat stroke tidak lagi diterima, jadi kita pergi ke indeks numerik:

Menjawab:

Nah, dan sekarang pikirkan pertanyaan seperti itu: Apa yang harus dilakukan jika, dengan syarat, perlu untuk menemukan tidak ke-4, tetapi misalnya, turunan ke-20? Jika untuk derivatif 3-5 tahun (maksimum, 6-7) Prosedur untuk keputusan dibuat cukup cepat, kemudian sebelum turunan dari pesanan yang lebih tinggi kita akan "tidak" oh, seberapa cepat. Jangan menulis, pada kenyataannya, 20 baris! Dalam situasi seperti itu, kita perlu menganalisis beberapa derivatif yang berbeda, untuk melihat pola dan membuat rumus turunan Annna. Jadi, dalam contoh nomor 1, mudah untuk memahami bahwa dengan setiap diferensiasi berikutnya sebelum eksponen akan "muncul" tambahan "Troika" akan "muncul", dan pada langkah apa pun, tingkat "troika" sama dengan Nomor derivatif, oleh karena itu:

Dimana - angka alami sewenang-wenang.

Dan memang, jika, ternyata tepatnya turunan pertama: Jika - lalu ke-2: dll. Dengan demikian, turunan kedua puluh ditentukan secara instan: - dan tidak ada "lembar kilometer"!

Kami menghangatkan diri sendiri:

Contoh 2.

Temukan fungsi. Menempatkan perintah derivatif

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Setelah latihan yang menyegarkan, kami menganggap contoh-contoh yang lebih kompleks di mana kami akan mengatasi algoritma solusi di atas. Mereka yang berhasil membiasakan diri dengan pelajaran Batas urutanakan sedikit lebih mudah:

Contoh 3.

Temukan untuk suatu fungsi.

Keputusan: Untuk mengklarifikasi situasi akan menemukan beberapa derivatif:

Nomor yang diterima berlipat ganda tidak terburu-buru! ;-)


Mungkin cukup. ... bahkan pindah sedikit.

Pada langkah selanjutnya, yang terbaik adalah membuat derivatif formula "Anna" (Sejak segera, kondisinya tidak memerlukan ini, maka Anda dapat melakukan chernivik). Untuk ini, kami melihat hasilnya dan mengungkapkan pola yang diperoleh masing-masing turunan berikutnya.

Pertama, mereka bergantian. Penyelarasan menyediakan "Flashing"Dan sejak turunan pertama adalah positif, pengganda berikut akan memasuki formula umum: . Sangat cocok dan setara dengan opsi, tetapi saya pribadi, sebagai optimis, suka tanda "plus" \u003d)

Kedua, dalam angka "berliku" faktorialDan dia "tertinggal" dari jumlah derivatif per unit:

Dan ketiga, tingkat "dua" tumbuh pada pembilang, yang sama dengan angka derivatif. Hal yang sama dapat dikatakan tentang tingkat penyebut. Akhirnya:

Untuk tujuan pengujian, kami akan menggantikan beberapa nilai "id", misalnya, dan:

Luar biasa, sekarang memungkinkan kesalahan - hanya dosa:

Menjawab:

Fitur yang lebih sederhana untuk solusi diri:

Contoh 4.

Temukan fungsi.

Dan tugasnya tumbuh:

Contoh 5.

Temukan fungsi.

Sekali lagi kami ulangi prosedurnya:

1) Pertama-tama kita menemukan beberapa derivatif. Untuk menangkap pola biasanya meraih tiga atau empat.

2) kemudian sangat merekomendasikan membuat (setidaknya pada draft) Derivatif "Anna" - akan dijamin untuk menghemat kesalahan. Tetapi Anda dapat melakukannya tanpa, mis. Untuk memperkirakan mental dan segera membakar, misalnya, turunan kedua puluh atau kedelapan. Selain itu, beberapa orang umumnya dapat menyelesaikan tugas yang dipertanyakan secara lisan. Namun, harus diingat bahwa metode "cepat" penuh dengan, dan lebih baik ditahan.

3) Pada tahap akhir, melakukan inspeksi turunan "Enna" - ambil beberapa nilai "id" (lebih baik berdekatan) dan melakukan substitusi. Dan bahkan lebih dapat diandalkan - periksa semua derivatif yang ditemukan sebelumnya. Setelah itu, kami menggantikan nilai yang diinginkan, misalnya, atau dan dengan rapi memiliki hasilnya.

Ringkasan 4 dan 5 contoh di akhir pelajaran.

Dalam beberapa tugas, untuk menghindari masalah, Anda harus duduk di atas fungsinya:

Contoh 6.

Keputusan: Bedakan fungsi yang diusulkan tidak mau sama sekali, karena ternyata fraksi "buruk" yang akan sangat menemukan turunan berikut.

Dalam hal ini, disarankan untuk melakukan transformasi pendahuluan: Penggunaan formula Perbedaan Square. dan logaritma properti. :

Hal-hal lain:

Dan pacar lama:

Saya pikir semuanya terlihat. Harap dicatat bahwa fraksi ke-2 berganti, dan 1 - tidak. Bangun urutan derivatif:

Kontrol:

Nah, untuk kecantikan, saya akan membawa faktorial untuk kurung:

Menjawab:

Tugas menarik untuk solusi diri:

Contoh 7.

Tulis prosedur untuk urutan derivatif untuk suatu fungsi

Dan sekarang tentang urutan melingkar yang tak tergoyahkan, yang bahkan Mafia Italia akan iri:

Contoh 8.

Fitur Dana. Mencari

Derivatif kedelapan belas pada titik. Hanya.

Keputusan: Pertama, jelas, Anda perlu menemukannya. Pergilah:

Sinus mulai sinus dan datang. Jelas bahwa dengan diferensiasi lebih lanjut, siklus ini akan berlanjut tanpa batas waktu, dan pertanyaan berikut muncul: BAGAIMANA TERBAIK untuk "Dapatkan" ke derivatif kedelapan belas?

Metode "Amatir": Cepat merekam hak dalam jumlah derivatif selanjutnya:

Lewat sini:

Tapi itu berfungsi jika urutan turunannya tidak terlalu besar. Jika Anda perlu menemukan, katakanlah, seratus derivatif, maka Anda harus menggunakan divisi sebesar 4. Seratus dibagi menjadi 4 tanpa residu, dan mudah untuk melihat bahwa angka-angka tersebut terletak di garis bawah, jadi :.

Ngomong-ngomong, derivatif ke-18 juga dapat ditentukan dari pertimbangan serupa:
Di baris kedua ada angka yang dibagi 4 dengan residu 2.

Lain, lebih banyak metode akademik didasarkan pada frekuensi sinus dan rumus para pemeran. Kami menggunakan rumus jadi turunan "Enna" dari sinus Di mana nomor yang diinginkan hanya diganti. Sebagai contoh:
(rumus para pemeran ) ;
(rumus para pemeran )

Dalam kasus kami:

(1) Karena sinus adalah fungsi periodik dengan suatu periode, maka argumennya dapat dengan tak terduga "membuka" 4 periode (I.E.).

Turunan dari perintah dari pekerjaan dua fungsi dapat ditemukan oleh rumus:

Khususnya:

Khusus mengingat apa-apa, karena, semakin formula yang Anda kenal - semakin sedikit yang Anda mengerti. Jauh lebih berguna untuk berkenalan bINOM NewtonKarena formula Leibnia sangat mirip dengannya. Nah, mereka yang beruntung yang akan mendapatkan turunan dari urutan ke-7 atau lebih tinggi (Namun, apa yang tidak mungkin)akan dipaksa untuk melakukannya. Namun, ketika Cherodes akan mencapai kombinatorik. - Itu masih akan \u003d)

Temukan fungsi derivatif ketiga. Kami menggunakan Formula Leibnitsa:

Pada kasus ini: . Derivatif Mudah Overdo:

Sekarang dengan rapi dan hati-hati melaksanakan substitusi dan menyederhanakan hasilnya:

Menjawab:

Tugas serupa untuk solusi diri:

Contoh 11.

Temukan fungsi

Jika dalam contoh sebelumnya, keputusan "di dahi" bahkan berkompetisi dengan rumus Leibnitsa, maka itu akan benar-benar tidak menyenangkan di sini. Dan bahkan lebih tidak menyenangkan - dalam kasus turunan urutan yang lebih tinggi:

Contoh 12.

Temukan turunan dari urutan yang ditentukan

Keputusan: Komentar pertama dan penting - untuk memutuskan ini, mungkin tidak diperlukan \u003d) \u003d)

Kami menulis fungsi dan menemukan turunannya hingga urutan ke-5 inklusif. Saya berasumsi bahwa turunan dari kolom kanan menjadi lisan untuk Anda:

Di kolom kiri "Derivatif" dengan cepat "berakhir" dan itu sangat bagus - dalam formula, Leibnia dimukimkan kembali dengan tiga istilah:

Saya akan berhenti lagi pada dilema, yang muncul di artikel tentang derivatif kompleks: Sederhanakan hasilnya? Pada prinsipnya, Anda dapat pergi dan begitu - guru bahkan akan lebih mudah untuk memeriksa. Tetapi dia mungkin perlu membawa keputusan untuk keberatan. Di sisi lain, penyederhanaan pada inisiatifnya sendiri penuh dengan kesalahan aljabar. Namun, kami memiliki jawaban yang diperoleh dengan metode "primitif" \u003d) (lihat referensi di awal)Dan saya harap ini benar:

Hebat, semuanya keluar.

Menjawab:

Tugas bahagia untuk solusi diri:

Contoh 13.

Untuk fungsi:
a) menemukan diferensiasi langsung;
b) Temukan formula labitsa;
c) Hitung.

Tidak, saya sama sekali tidak sadis - item "A" di sini cukup sederhana \u003d)

Dan jika serius, solusi "langsung" untuk diferensiasi yang konsisten juga memiliki "hak untuk hidup" - dalam beberapa kasus kompleksitasnya sebanding dengan kompleksitas penerapan formula labender. Gunakan jika Anda menganggapnya sesuai - tidak mungkin menjadi dasar untuk tugas yang cacat.

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Untuk menaikkan paragraf terakhir yang harus Anda dapat membedakan fungsi implisit:

Derivatif pesanan yang lebih tinggi dari fungsi yang didefinisikan secara implisit

Banyak dari kita menghabiskan berjam-jam, hari dan minggu kehidupan untuk belajar lingkaran, parabol., hyperbol. - Dan kadang-kadang umumnya tampaknya merupakan hukuman. Jadi mari kita membalas dendam dan cocok dengan mereka sebagai berikut!

Mari kita mulai dengan parabola "sekolah" di dalam dirinya posisi kanonik:

Contoh 14.

Persamaan diberikan. Mencari .

Keputusan: Langkah pertama adalah kenalan dengan baik:

Fakta bahwa fungsi dan turunannya secara implisit implisit esensi kasus tidak berubah, turunan kedua adalah turunan dari derivatif pertama:

Namun, ada aturan permainan mereka: turunan dari urutan ke-2 dan lebih tinggi diterima untuk mengekspresikan hanya melalui "X" dan "Igarek". Oleh karena itu, dalam substitusi 2-derivatif yang dihasilkan:

Derivatif ketiga berasal dari turunan ke-2:

Demikian pula, kami akan menggantikan:

Menjawab:

Hiperbola "sekolah" di posisi kanonik - Untuk pekerjaan independen:

Contoh 15.

Persamaan diberikan. Mencari .

Saya ulangi bahwa turunan ke-2 dan hasilnya hanya diekspresikan melalui "x" / "IKRAR"!

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Setelah lelucon anak-anak, kita akan melihat subparghrix Jerman @ fiu menganggap lebih banyak contoh orang dewasa dari mana kita belajar teknik solusi penting lainnya:

Contoh 16.

Elips diri.

Keputusan: Temukan turunan pertama:

Dan sekarang kita akan berhenti dan menganalisis momen berikutnya: fraksi harus dibedakan bahwa itu tidak bahagia sama sekali. Dalam hal ini, tentu saja, sederhana, tetapi dalam tugas-tugas sebenarnya dari hadiah tersebut dua kali dan berbalik. Apakah ada cara untuk menghindari menemukan derivatif besar? Ada! Kami mengambil persamaan dan menggunakan penerimaan yang sama dengan ketika saya menemukan derivatif pertama - "menggantung" stroke di kedua bagian:

Derivatif kedua harus diungkapkan hanya melalui dan, jadi sekarang (sekarang juga) Lebih mudah untuk menyingkirkan turunan ke-1. Untuk melakukan ini, kami menggantikan persamaan yang dihasilkan:

Untuk menghindari kesulitan teknis yang tidak perlu, kalikan kedua bagian pada:

Dan hanya pada tahap akhir kami menghiasi fraksi:

Sekarang kita melihat persamaan awal dan perhatikan bahwa hasil yang diperoleh disederhanakan:

Menjawab:

Cara Menemukan Nilai Derivatif ke-2 kapan saja (yang, jelas, milik elips), misalnya, pada saat itu ? Sangat mudah! Motif ini sudah bertemu dengan pelajaran tentang persamaan normal.: Dalam ekspresi turunan ke-2 yang Anda butuhkan untuk menggantikan :

Tentu saja, dalam ketiga kasus dimungkinkan untuk mendapatkan fungsi yang ditentukan secara eksplisit dan membedakannya, tetapi kemudian secara moral menyetel untuk bekerja dengan dua fungsi yang mengandung akar. Menurut saya, solusinya lebih nyaman untuk melakukan "jalan implisit".

Contoh terakhir untuk solusi diri:

Contoh 17.

Temukan fungsi yang ditentukan secara implisit