Persamaan linier dengan 3 hal yang tidak diketahui. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga hal yang tidak diketahui menggunakan metode Cramer. Metode penyelesaian dengan memperkenalkan variabel baru

Sistem persamaan banyak digunakan di sektor ekonomi untuk pemodelan matematika berbagai proses. Misalnya dalam memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, jalur logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah untuk menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linier adalah dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang memerlukan penyelesaian bersama. Suatu barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan yang benar atau membuktikan bahwa barisan tersebut tidak ada.

Persamaan linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang belum diketahui yang harus dicari nilainya, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan tersebut.
Menyelesaikan persamaan dengan memplotnya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya merupakan solusi polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Contoh paling sederhana adalah sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dimana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Selesaikan sistem persamaan - ini berarti menemukan nilai (x, y) di mana sistem berubah menjadi persamaan yang benar atau menetapkan bahwa nilai x dan y yang sesuai tidak ada.

Sepasang nilai (x, y) yang ditulis sebagai koordinat suatu titik disebut penyelesaian sistem persamaan linier.

Jika sistem mempunyai satu solusi yang sama atau tidak ada solusi, maka sistem tersebut disebut ekuivalen.

Sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika ruas kanan setelah tanda sama dengan mempunyai nilai atau dinyatakan dengan fungsi, maka sistem tersebut heterogen.

Jumlah variabelnya bisa lebih dari dua, maka kita harus membahas contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Ketika dihadapkan pada sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, namun kenyataannya tidak demikian. Banyaknya persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabelnya, bisa sebanyak yang diinginkan.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada metode analitik umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu; semua metode didasarkan pada solusi numerik. Mata kuliah matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode-metode seperti permutasi, penjumlahan aljabar, substitusi, serta metode grafik dan matriks, penyelesaian dengan metode Gaussian.

Tugas utama ketika mengajarkan metode solusi adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritma solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi memahami prinsip-prinsip penggunaan metode tertentu

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear pada kurikulum pendidikan umum kelas 7 cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat detail. Dalam buku teks matematika mana pun, bagian ini mendapat perhatian yang cukup. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari lebih detail pada tahun-tahun pertama pendidikan tinggi.

Sistem penyelesaiannya menggunakan metode substitusi

Tindakan metode substitusi bertujuan untuk menyatakan nilai suatu variabel dalam variabel kedua. Ekspresi tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk dengan satu variabel. Tindakan ini diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita berikan penyelesaian contoh sistem persamaan linear kelas 7 dengan menggunakan metode substitusi:

Seperti dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu memperoleh satu variabel Y di persamaan ke-2 . Menyelesaikan contoh ini mudah dan memungkinkan Anda mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir adalah memeriksa nilai yang diperoleh.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaannya bisa jadi rumit dan menyatakan variabel dalam bentuk variabel kedua yang tidak diketahui akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Jika terdapat lebih dari 3 hal yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian dengan substitusi juga tidak tepat.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaiannya menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem menggunakan metode penjumlahan, persamaan dijumlahkan suku demi suku dan dikalikan dengan berbagai bilangan. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dalam satu variabel.

Penerapan metode ini memerlukan latihan dan observasi. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan jika terdapat 3 variabel atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar mudah digunakan jika persamaan mengandung pecahan dan desimal.

Algoritma solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan angka tertentu. Sebagai hasil dari operasi aritmatika, salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan ekspresi yang dihasilkan suku demi suku dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari variabel yang tersisa.

Metode penyelesaian dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem memerlukan penyelesaian tidak lebih dari dua persamaan; jumlah persamaan yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode tersebut digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan untuk variabel yang tidak diketahui, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi trinomial kuadrat standar. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Kita perlu mencari nilai diskriminan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah faktor polinomial. Pada contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka ada satu solusi: x = -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penjumlahan.

Metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk 3 sistem persamaan. Metodenya terdiri dari membuat grafik setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva akan menjadi solusi umum sistem.

Metode grafis memiliki sejumlah nuansa. Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.

Terlihat dari contoh, untuk setiap garis dibangun dua titik, nilai variabel x dipilih secara sembarang: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, ditemukan nilai y: 3 dan 0. Titik-titik yang koordinatnya (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan sebuah garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulangi untuk persamaan kedua. Titik potong garis tersebut merupakan penyelesaian sistem.

Contoh berikut memerlukan pencarian solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti dapat dilihat dari contoh, sistem tidak mempunyai solusi karena grafik-grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang keseluruhannya.

Sistem dari contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun menjadi jelas bahwa solusinya berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah suatu sistem mempunyai solusi atau tidak; selalu perlu untuk membuat grafik.

Matriks dan ragamnya

Matriks digunakan untuk menulis sistem persamaan linear secara ringkas. Matriks adalah jenis tabel khusus yang berisi angka-angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks berbentuk persegi jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks yang mempunyai satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Matriks yang mempunyai elemen nol pada salah satu diagonalnya dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks invers adalah matriks yang jika dikalikan matriks aslinya berubah menjadi matriks satuan; matriks seperti itu hanya ada untuk matriks persegi aslinya.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Sehubungan dengan sistem persamaan, koefisien dan suku bebas persamaan ditulis sebagai bilangan matriks; satu persamaan adalah satu baris matriks.

Suatu baris matriks dikatakan bukan nol jika paling sedikit salah satu elemen baris tersebut tidak nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabelnya berbeda, maka nol harus dimasukkan sebagai pengganti variabel yang tidak diketahui.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Artinya koefisien variabel x hanya dapat ditulis pada satu kolom, misalnya kolom pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya pada kolom kedua.

Saat mengalikan suatu matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan suatu bilangan.

Pilihan untuk mencari matriks invers

Rumus mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, dimana K -1 adalah matriks invers, dan |K| adalah determinan matriks. |K| tidak boleh sama dengan nol, maka sistem mempunyai solusi.

Penentunya mudah dihitung untuk matriks dua-dua; Anda hanya perlu mengalikan elemen diagonalnya dengan satu sama lain. Untuk pilihan “tiga kali tiga” terdapat rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom agar jumlah kolom dan baris elemen tidak terulang dalam pekerjaan.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan Anda mengurangi entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.

Pada contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriksnya adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian

Dalam matematika tingkat tinggi, metode Gaussian dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses pencarian solusi sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel sistem dengan jumlah persamaan linier yang banyak.

Metode Gauss sangat mirip dengan penyelesaian dengan substitusi dan penjumlahan aljabar, namun lebih sistematis. Dalam pembelajaran sekolah, penyelesaian dengan metode Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk mereduksi sistem menjadi bentuk trapesium terbalik. Melalui transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 variabel yang tidak diketahui, sedangkan 3 dan 4 masing-masing memiliki 3 dan 4 variabel.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel-variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah kelas 7, contoh penyelesaian dengan metode Gauss dijelaskan sebagai berikut:

Seperti terlihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan: 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Menyelesaikan salah satu persamaan akan memungkinkan Anda menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5 yang disebutkan dalam teks menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan persamaan ekuivalen, maka sistem yang dihasilkan juga ekuivalen dengan persamaan aslinya.

Metode Gaussian sulit dipahami oleh siswa sekolah menengah, namun ini adalah salah satu cara paling menarik untuk mengembangkan kecerdikan anak-anak yang terdaftar dalam program pembelajaran lanjutan di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan pencatatan, perhitungan biasanya dilakukan sebagai berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, dimana setiap baris matriks tersebut sesuai dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka romawi menunjukkan banyaknya persamaan dalam sistem.

Pertama, tuliskan matriks yang akan dikerjakan, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan operasi aljabar yang diperlukan dilanjutkan hingga hasilnya tercapai.

Hasilnya harus berupa matriks yang salah satu diagonalnya sama dengan 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi bentuk satuan. Kita tidak boleh lupa melakukan perhitungan dengan angka di kedua sisi persamaan.

Metode pencatatan ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan membuat daftar banyak hal yang tidak diketahui.

Penggunaan metode solusi apa pun secara gratis akan memerlukan kehati-hatian dan pengalaman. Tidak semua metode bersifat terapan. Beberapa metode untuk menemukan solusi lebih disukai dalam bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pendidikan.

Persamaan linier dalam dua variabel

Seorang anak sekolah mendapat 200 rubel untuk makan siang di sekolah. Sebuah kue berharga 25 rubel, dan secangkir kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kue dan cangkir kopi yang bisa Anda beli seharga 200 rubel?

Mari kita nyatakan jumlah kue dengan X, dan jumlah cangkir kopi yang diminum kamu. Maka harga kue tersebut akan dilambangkan dengan ekspresi 25 X, dan harga secangkir kopi dalam 10 kamu .

25X- harga X Kue
10kamu - harga kamu cangkir kopi

Jumlah totalnya harus 200 rubel. Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan dua variabel X Dan kamu

25X+ 10kamu= 200

Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan ini?

Itu semua tergantung selera siswa. Jika dia membeli 6 kue dan 5 cangkir kopi, maka akar persamaannya adalah angka 6 dan 5.

Pasangan nilai 6 dan 5 dikatakan sebagai akar-akar persamaan 25 X+ 10kamu= 200 . Dituliskan sebagai (6;5), dengan angka pertama sebagai nilai variabel X, dan yang kedua - nilai variabel kamu .

6 dan 5 bukan satu-satunya akar yang membalikkan persamaan 25 X+ 10kamu= 200 untuk identitas. Jika diinginkan, dengan 200 rubel yang sama, seorang siswa dapat membeli 4 kue dan 10 cangkir kopi:

Dalam hal ini, akar persamaan 25 X+ 10kamu= 200 adalah pasangan nilai (4; 10).

Selain itu, seorang anak sekolah tidak boleh membeli kopi sama sekali, tetapi membeli kue seharga 200 rubel. Maka akar persamaan 25 X+ 10kamu= 200 akan menjadi nilai 8 dan 0

Atau sebaliknya, jangan membeli kue, tetapi membeli kopi seharga 200 rubel. Maka akar persamaan 25 X+ 10kamu= 200 nilainya akan menjadi 0 dan 20

Mari kita coba membuat daftar semua kemungkinan akar persamaan 25 X+ 10kamu= 200 . Mari kita sepakat bahwa nilai-nilai X Dan kamu termasuk dalam himpunan bilangan bulat. Dan biarkan nilai-nilai ini lebih besar atau sama dengan nol:

X∈Z, kamu∈ Z;
x ≥ 0, kamu ≥ 0

Ini akan memudahkan siswa itu sendiri. Lebih mudah membeli kue utuh daripada, misalnya, beberapa kue utuh dan setengah kue. Juga lebih nyaman untuk meminum kopi dalam cangkir utuh daripada, misalnya, beberapa cangkir utuh dan setengah cangkir.

Perhatikan itu untuk ganjil X tidak mungkin mencapai kesetaraan dalam keadaan apa pun kamu. Lalu nilai-nilainya X angka-angka berikut ini adalah 0, 2, 4, 6, 8. Dan mengetahui X dapat dengan mudah ditentukan kamu

Jadi, kami menerima pasangan nilai berikut (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Pasangan ini merupakan solusi atau akar dari Persamaan 25 X+ 10kamu= 200. Mereka mengubah persamaan ini menjadi sebuah identitas.

Persamaan bentuk kapak + oleh = c ditelepon persamaan linier dengan dua variabel. Solusi atau akar persamaan ini adalah sepasang nilai ( X; kamu), yang mengubahnya menjadi identitas.

Perhatikan juga jika persamaan linier dengan dua variabel ditulis dalam bentuk kapak + b y = c , kemudian mereka mengatakan bahwa itu ada tertulis resmi bentuk (biasa).

Beberapa persamaan linier dua variabel dapat direduksi menjadi bentuk kanonik.

Misalnya persamaan 2(16X+ 3kamu - 4) = 2(12 + 8X − kamu) dapat diingat kapak + oleh = c. Mari kita buka tanda kurung di kedua sisi persamaan ini dan dapatkan 32X + 6kamu − 8 = 24 + 16X − 2kamu . Kami mengelompokkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui di sisi kiri persamaan, dan suku-suku yang bebas dari hal-hal yang tidak diketahui - di sebelah kanan. Lalu kita dapatkan 32x− 16X+ 6kamu+ 2kamu = 24 + 8 . Kami menyajikan istilah serupa di kedua sisi, kami mendapatkan persamaan 16 X+ 8kamu= 32. Persamaan ini direduksi menjadi bentuk kapak + oleh = c dan bersifat kanonik.

Persamaan 25 telah dibahas sebelumnya X+ 10kamu= 200 juga merupakan persamaan linier dengan dua variabel dalam bentuk kanonik. Dalam persamaan ini parameternya A , B Dan C sama dengan nilai masing-masing 25, 10 dan 200.

Sebenarnya persamaannya kapak + oleh = c memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya. Memecahkan persamaan 25X+ 10kamu= 200, kami mencari akarnya hanya pada himpunan bilangan bulat. Hasilnya, kami memperoleh beberapa pasangan nilai yang mengubah persamaan ini menjadi sebuah identitas. Namun pada himpunan bilangan rasional, persamaan 25 X+ 10kamu= 200 akan mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya.

Untuk mendapatkan pasangan nilai baru, Anda perlu mengambil nilai arbitrer X, lalu ekspresikan kamu. Sebagai contoh, mari kita ambil variabelnya X nilai 7. Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan satu variabel 25×7 + 10kamu= 200 di mana seseorang dapat berekspresi kamu

Membiarkan X= 15. Lalu persamaannya 25X+ 10kamu= 200 menjadi 25 × 15 + 10kamu= 200. Dari sini kita menemukan hal itu kamu = −17,5

Membiarkan X= −3 . Lalu persamaannya 25X+ 10kamu= 200 menjadi 25 × (−3) + 10kamu= 200. Dari sini kita menemukan hal itu kamu = −27,5

Sistem dua persamaan linear dengan dua variabel

Untuk persamaannya kapak + oleh = c Anda dapat mengambil nilai sewenang-wenang sebanyak yang Anda suka X dan temukan nilai untuk kamu. Secara terpisah, persamaan seperti itu akan memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya.

Tapi itu juga terjadi pada variabel X Dan kamu dihubungkan bukan oleh satu, tetapi oleh dua persamaan. Dalam hal ini mereka membentuk apa yang disebut sistem persamaan linear dua variabel. Sistem persamaan seperti itu dapat memiliki sepasang nilai (atau dengan kata lain: “satu solusi”).

Mungkin juga sistem tidak memiliki solusi sama sekali. Suatu sistem persamaan linier dapat memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya dalam kasus yang jarang terjadi dan luar biasa.

Dua persamaan linier membentuk suatu sistem jika nilainya X Dan kamu masukkan ke dalam masing-masing persamaan ini.

Mari kita kembali ke persamaan pertama 25 X+ 10kamu= 200 . Salah satu pasangan nilai persamaan ini adalah pasangan (6; 5) . Ini adalah kasus ketika dengan 200 rubel Anda bisa membeli 6 kue dan 5 cangkir kopi.

Mari kita rumuskan masalahnya sehingga pasangan (6; 5) menjadi satu-satunya solusi persamaan 25 X+ 10kamu= 200 . Untuk melakukan ini, mari buat persamaan lain yang akan menghubungkan persamaan tersebut X kue dan kamu cangkir kopi.

Mari kita nyatakan teks masalahnya sebagai berikut:

“Siswa tersebut membeli beberapa kue dan beberapa cangkir kopi seharga 200 rubel. Sebuah kue berharga 25 rubel, dan secangkir kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dibeli siswa tersebut jika diketahui jumlah kue lebih banyak satu satuan dari jumlah cangkir kopi?

Kita sudah memiliki persamaan pertama. Ini adalah persamaan 25 X+ 10kamu= 200 . Sekarang mari kita buat persamaan untuk kondisi tersebut “Jumlah kue satu satuan lebih banyak dari jumlah cangkir kopi” .

Banyaknya kue adalah X, dan banyaknya cangkir kopi adalah kamu. Anda dapat menulis frasa ini menggunakan persamaan x−y= 1. Persamaan ini berarti selisih antara kue dan kopi adalah 1.

x = kamu+ 1 . Persamaan ini berarti jumlah kue lebih banyak satu dari jumlah cangkir kopi. Oleh karena itu, untuk memperoleh kesetaraan maka jumlah cangkir kopi ditambah satu. Hal ini dapat dengan mudah dipahami jika kita menggunakan model skala yang kita pertimbangkan ketika mempelajari masalah paling sederhana:

Kami mendapat dua persamaan: 25 X+ 10kamu= 200 dan x = kamu+ 1. Karena nilainya X Dan kamu, yaitu 6 dan 5 dimasukkan ke dalam masing-masing persamaan tersebut, kemudian bersama-sama membentuk suatu sistem. Mari kita tuliskan sistem ini. Jika persamaan-persamaan tersebut membentuk suatu sistem, maka persamaan-persamaan tersebut dibingkai oleh tanda sistem. Simbol sistemnya adalah kurung kurawal:

Mari kita selesaikan sistem ini. Ini akan memungkinkan kita untuk melihat bagaimana kita sampai pada nilai 6 dan 5. Ada banyak metode untuk menyelesaikan sistem seperti itu. Mari kita lihat yang paling populer.

Metode substitusi

Nama metode ini berbicara sendiri. Esensinya adalah mensubstitusi satu persamaan ke persamaan lain, setelah sebelumnya menyatakan salah satu variabelnya.

Dalam sistem kami, tidak ada yang perlu diungkapkan. Pada persamaan kedua X = kamu+ 1 variabel X sudah diungkapkan. Variabel ini sama dengan ekspresi kamu+ 1 . Kemudian Anda dapat mengganti persamaan ini ke dalam persamaan pertama, bukan variabelnya X

Setelah mengganti ekspresi kamu+ 1 ke dalam persamaan pertama X, kita mendapatkan persamaannya 25(kamu+ 1) + 10kamu= 200 . Ini adalah persamaan linier dengan satu variabel. Persamaan ini cukup mudah diselesaikan:

Kami menemukan nilai variabel kamu. Sekarang mari kita substitusikan nilai ini ke dalam salah satu persamaan dan cari nilainya X. Untuk ini akan lebih mudah untuk menggunakan persamaan kedua X = kamu+ 1 . Mari kita gantikan nilainya ke dalamnya kamu

Artinya pasangan (6; 5) merupakan solusi sistem persamaan seperti yang kita inginkan. Kami memeriksa dan memastikan bahwa pasangan (6; 5) memenuhi sistem:

Contoh 2

Mari kita substitusikan persamaan pertama X= 2 + kamu ke dalam persamaan kedua 3 x− 2kamu= 9. Dalam persamaan pertama variabel X sama dengan ekspresi 2 + kamu. Mari kita substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan kedua X

Sekarang mari kita cari nilainya X. Untuk melakukan ini, mari kita substitusikan nilainya kamu ke dalam persamaan pertama X= 2 + kamu

Artinya solusi sistem adalah nilai pasangan (5; 3)

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi:

Di sini, berbeda dengan contoh sebelumnya, salah satu variabel tidak diungkapkan secara eksplisit.

Untuk mensubstitusikan satu persamaan ke persamaan lain, pertama-tama Anda memerlukan .

Disarankan untuk menyatakan variabel yang memiliki koefisien satu. Variabel tersebut memiliki koefisien satu X, yang terdapat pada persamaan pertama X+ 2kamu= 11. Mari kita ekspresikan variabel ini.

Setelah ekspresi variabel X, sistem kami akan mengambil bentuk berikut:

Sekarang mari kita substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua dan cari nilainya kamu

Mari kita gantikan kamu X

Artinya solusi sistem tersebut adalah sepasang nilai (3; 4)

Tentu saja, Anda juga dapat mengekspresikan suatu variabel kamu. Ini tidak akan mengubah akarnya. Namun jika Anda mengungkapkannya kamu, Hasilnya bukanlah persamaan yang sederhana, yang memerlukan lebih banyak waktu untuk menyelesaikannya. Ini akan terlihat seperti ini:

Kami melihat bahwa dalam contoh ini kami mengungkapkannya X jauh lebih nyaman daripada berekspresi kamu .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi:

Mari kita nyatakan dalam persamaan pertama X. Maka sistem akan berbentuk:

kamu

Mari kita gantikan kamu ke dalam persamaan pertama dan temukan X. Anda dapat menggunakan persamaan asli 7 X+ 9kamu= 8, atau gunakan persamaan yang menyatakan variabel tersebut X. Kami akan menggunakan persamaan ini karena nyaman:

Artinya solusi sistem tersebut adalah sepasang nilai (5; −3)

Metode penambahan

Metode penjumlahan terdiri dari penjumlahan persamaan-persamaan yang termasuk dalam sistem suku demi suku. Penjumlahan ini menghasilkan persamaan baru dengan satu variabel. Dan menyelesaikan persamaan seperti itu cukup sederhana.

Mari selesaikan sistem persamaan berikut:

Mari kita jumlahkan ruas kiri persamaan pertama dengan ruas kiri persamaan kedua. Dan ruas kanan persamaan pertama dengan ruas kanan persamaan kedua. Kami mendapatkan persamaan berikut:

Mari kita lihat istilah serupa:

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan paling sederhana 3 X= 27 yang akarnya 9. Mengetahui nilainya X Anda dapat menemukan nilainya kamu. Mari kita substitusikan nilainya X ke dalam persamaan kedua x−y= 3 . Kami mendapatkan 9 - kamu= 3 . Dari sini kamu= 6 .

Artinya solusi sistem adalah sepasang nilai (9; 6)

Contoh 2

Mari kita jumlahkan ruas kiri persamaan pertama dengan ruas kiri persamaan kedua. Dan ruas kanan persamaan pertama dengan ruas kanan persamaan kedua. Dalam persamaan yang dihasilkan kami menyajikan istilah serupa:

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan paling sederhana 5 X= 20, yang akarnya 4. Mengetahui nilainya X Anda dapat menemukan nilainya kamu. Mari kita substitusikan nilainya X ke dalam persamaan pertama 2 x+y= 11. Ayo dapatkan 8+ kamu= 11. Dari sini kamu= 3 .

Artinya solusi sistem adalah sepasang nilai (4;3)

Proses penambahannya tidak dijelaskan secara detail. Itu harus dilakukan secara mental. Saat menjumlahkan, kedua persamaan harus direduksi menjadi bentuk kanonik. Artinya ac + oleh = c .

Dari contoh yang diberikan, jelas bahwa tujuan utama penjumlahan persamaan adalah untuk menghilangkan salah satu variabel. Namun tidak selalu mungkin untuk segera menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode penjumlahan. Paling sering, sistem pertama kali dibawa ke bentuk di mana persamaan yang termasuk dalam sistem ini dapat ditambahkan.

Misalnya saja sistem dapat diselesaikan segera dengan penambahan. Saat menjumlahkan kedua persamaan, sukunya kamu Dan −y akan hilang karena jumlahnya nol. Hasilnya, persamaan paling sederhana 11 terbentuk X= 22, yang akarnya 2. Selanjutnya dapat ditentukan kamu sama dengan 5.

Dan sistem persamaan Metode penjumlahan tidak dapat diselesaikan dengan segera, karena tidak akan menyebabkan hilangnya salah satu variabel. Penjumlahan akan menghasilkan persamaan 8 X+ kamu= 28, yang mempunyai jumlah solusi tak terhingga.

Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, tidak sama dengan nol, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan. Aturan ini juga berlaku untuk sistem persamaan linear dengan dua variabel. Salah satu persamaan (atau kedua persamaan) dapat dikalikan dengan bilangan berapa pun. Hasilnya adalah sistem ekuivalen, yang akar-akarnya akan sama dengan sistem sebelumnya.

Mari kita kembali ke sistem pertama, yang menjelaskan berapa banyak kue dan cangkir kopi yang dibeli seorang anak sekolah. Solusi dari sistem ini adalah sepasang nilai (6; 5).

Mari kita kalikan kedua persamaan yang termasuk dalam sistem ini dengan beberapa angka. Katakanlah kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan persamaan kedua dengan 3

Hasilnya, kami mendapat sistem
Penyelesaian sistem ini masih berupa pasangan nilai (6;5)

Artinya persamaan-persamaan yang termasuk dalam sistem dapat direduksi menjadi bentuk yang sesuai untuk menerapkan metode penjumlahan.

Mari kita kembali ke sistem , yang tidak dapat kami selesaikan menggunakan metode penjumlahan.

Kalikan persamaan pertama dengan 6, dan persamaan kedua dengan −2

Kemudian kita mendapatkan sistem berikut:

Mari kita jumlahkan persamaan yang termasuk dalam sistem ini. Menambah komponen 12 X dan −12 X akan menghasilkan 0, penambahan 18 kamu dan 4 kamu akan memberikan 22 kamu, dan menambahkan 108 dan −20 menghasilkan 88. Kemudian kita mendapatkan persamaan 22 kamu= 88, dari sini kamu = 4 .

Jika pada awalnya sulit untuk menjumlahkan persamaan di kepala Anda, maka Anda dapat menuliskan bagaimana ruas kiri persamaan pertama dijumlahkan dengan ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan persamaan pertama dengan ruas kanan persamaan. persamaan kedua:

Mengetahui bahwa nilai variabel kamu sama dengan 4, Anda dapat menemukan nilainya X. Mari kita gantikan kamu menjadi salah satu persamaan, misalnya menjadi persamaan pertama 2 X+ 3kamu= 18. Kemudian kita mendapatkan persamaan dengan satu variabel 2 X+ 12 = 18. Mari kita pindahkan 12 ke sisi kanan, ubah tandanya, kita mendapat 2 X= 6, dari sini X = 3 .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode penjumlahan:

Kalikan persamaan kedua dengan −1. Maka sistem akan mengambil bentuk berikut:

Mari kita tambahkan kedua persamaan tersebut. Menambahkan komponen X Dan −x akan menghasilkan 0, penambahan 5 kamu dan 3 kamu akan memberikan 8 kamu, dan menambahkan 7 dan 1 menghasilkan 8. Hasilnya adalah persamaan 8 kamu= 8 yang akarnya 1. Diketahui nilainya kamu sama dengan 1, Anda dapat menemukan nilainya X .

Mari kita gantikan kamu ke dalam persamaan pertama, kita peroleh X+ 5 = 7, maka X= 2

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode penjumlahan:

Suku-suku yang mengandung variabel yang sama sebaiknya ditempatkan satu di bawah yang lain. Oleh karena itu, pada persamaan kedua suku 5 kamu dan −2 X Ayo bertukar tempat. Hasilnya, sistem akan berbentuk:

Mari kita kalikan persamaan kedua dengan 3. Maka sistemnya akan berbentuk:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan tersebut. Sebagai hasil penjumlahan kita memperoleh persamaan 8 kamu= 16, yang akarnya 2.

Mari kita gantikan kamu ke persamaan pertama, kita mendapatkan 6 X− 14 = 40. Mari kita pindahkan suku −14 ke ruas kanan, ubah tandanya, dan dapatkan 6 X= 54 . Dari sini X= 9.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode penjumlahan:

Mari kita hilangkan pecahan. Kalikan persamaan pertama dengan 36, dan persamaan kedua dengan 12

Dalam sistem yang dihasilkan persamaan pertama dapat dikalikan dengan −5, dan persamaan kedua dengan 8

Mari kita jumlahkan persamaan dalam sistem yang dihasilkan. Kemudian kita mendapatkan persamaan paling sederhana −13 kamu= −156 . Dari sini kamu= 12. Mari kita gantikan kamu ke dalam persamaan pertama dan temukan X

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode penjumlahan:

Mari kita bawa kedua persamaan ke bentuk normal. Di sini akan lebih mudah untuk menerapkan aturan proporsi pada kedua persamaan. Jika pada persamaan pertama ruas kanan direpresentasikan sebagai , dan ruas kanan persamaan kedua direpresentasikan sebagai , maka sistemnya akan berbentuk:

Kami punya proporsi. Mari kalikan suku ekstrem dan tengahnya. Maka sistem akan berbentuk:

Kalikan persamaan pertama dengan −3, dan buka tanda kurung pada persamaan kedua:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan tersebut. Sebagai hasil penjumlahan persamaan ini, kita mendapatkan persamaan dengan nol di kedua sisi:

Ternyata sistem tersebut memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya.

Tapi kita tidak bisa mengambil nilai sembarangan dari langit begitu saja X Dan kamu. Kita dapat menentukan salah satu nilai, dan nilai lainnya akan ditentukan bergantung pada nilai yang kita tentukan. Misalnya, biarkan X= 2 . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam sistem:

Sebagai hasil penyelesaian salah satu persamaan, nilai untuk kamu, yang akan memenuhi kedua persamaan:

Pasangan nilai yang dihasilkan (2; −2) akan memenuhi sistem:

Mari kita cari pasangan nilai lainnya. Membiarkan X= 4. Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam sistem:

Anda dapat mengetahui secara kasat mata bahwa nilainya kamu sama dengan nol. Kemudian kita mendapatkan sepasang nilai (4; 0) yang memenuhi sistem kita:

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode penjumlahan:

Kalikan persamaan pertama dengan 6, dan persamaan kedua dengan 12

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Kalikan persamaan pertama dengan −1. Maka sistem akan berbentuk:

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan tersebut. Akibat penjumlahan tersebut maka terbentuklah persamaan 6 B= 48, yang akarnya 8. Substitusi B ke dalam persamaan pertama dan temukan A

Sistem persamaan linear dengan tiga variabel

Persamaan linier dengan tiga variabel mencakup tiga variabel dengan koefisien, serta suku intersep. Dalam bentuk kanoniknya dapat ditulis sebagai berikut:

kapak + oleh + cz = d

Persamaan ini memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya. Dengan memberikan nilai yang berbeda pada dua variabel, nilai ketiga dapat ditemukan. Solusi dalam hal ini adalah tiga kali lipat nilai ( X; kamu; z) yang mengubah persamaan menjadi identitas.

Jika variabel x, kamu, z dihubungkan oleh tiga persamaan, maka terbentuklah sistem tiga persamaan linier dengan tiga variabel. Untuk menyelesaikan sistem seperti itu, Anda dapat menggunakan metode yang sama yang diterapkan pada persamaan linier dengan dua variabel: metode substitusi dan metode penjumlahan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi:

Mari kita nyatakan dalam persamaan ketiga X. Maka sistem akan berbentuk:

Sekarang mari kita lakukan substitusi. Variabel X sama dengan ekspresi 3 − 2kamu − 2z . Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan pertama dan kedua:

Mari kita buka tanda kurung di kedua persamaan dan sajikan suku-suku serupa:

Kita telah sampai pada sistem persamaan linear dengan dua variabel. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menggunakan metode penjumlahan. Akibatnya, variabel kamu akan hilang dan kita dapat menemukan nilai variabelnya z

Sekarang mari kita cari nilainya kamu. Untuk melakukan ini, lebih mudah menggunakan persamaan − kamu+ z= 4. Substitusikan nilainya ke dalamnya z

Sekarang mari kita cari nilainya X. Untuk melakukan ini, akan lebih mudah untuk menggunakan persamaan X= 3 − 2kamu − 2z . Mari kita gantikan nilainya ke dalamnya kamu Dan z

Jadi, nilai tripel (3; −2; 2) adalah solusi untuk sistem kita. Dengan memeriksa kami memastikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi sistem:

Contoh 2. Selesaikan sistem menggunakan metode penjumlahan

Mari kita tambahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua, dikalikan dengan −2.

Jika persamaan kedua dikalikan dengan −2, persamaan tersebut akan berbentuk −6X+ 6kamu - 4z = −4 . Sekarang mari kita tambahkan ke persamaan pertama:

Kita melihat bahwa sebagai hasil transformasi dasar, nilai variabel ditentukan X. Itu sama dengan satu.

Mari kembali ke sistem utama. Mari kita tambahkan persamaan kedua dengan persamaan ketiga, dikalikan dengan −1. Jika persamaan ketiga dikalikan dengan −1, persamaan tersebut akan berbentuk −4X + 5kamu − 2z = −1 . Sekarang mari kita tambahkan ke persamaan kedua:

Kami mendapatkan persamaannya x− 2kamu= −1 . Mari kita gantikan nilainya ke dalamnya X yang kami temukan sebelumnya. Kemudian kita bisa menentukan nilainya kamu

Sekarang kita tahu artinya X Dan kamu. Ini memungkinkan Anda menentukan nilainya z. Mari kita gunakan salah satu persamaan yang termasuk dalam sistem:

Jadi, nilai rangkap tiga (1; 1; 1) adalah solusi untuk sistem kita. Dengan memeriksa kami memastikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi sistem:

Masalah penyusunan sistem persamaan linear

Tugas menyusun sistem persamaan diselesaikan dengan memasukkan beberapa variabel. Selanjutnya persamaan disusun berdasarkan kondisi permasalahan. Dari persamaan yang disusun mereka membentuk suatu sistem dan menyelesaikannya. Setelah menyelesaikan sistem, perlu untuk memeriksa apakah solusinya memenuhi kondisi masalah.

Masalah 1. Sebuah mobil Volga melaju ke luar kota menuju pertanian kolektif. Dia kembali melalui jalan lain, yang lebih pendek 5 km dari jalan pertama. Total, mobil menempuh jarak 35 km pulang pergi. Berapa kilometer panjang masing-masing jalan?

Larutan

Membiarkan X- panjang jalan pertama, kamu- panjang detik. Jika mobil menempuh jarak 35 km pulang pergi, maka persamaan pertama dapat dituliskan sebagai X+ kamu= 35. Persamaan ini menggambarkan jumlah panjang kedua jalan.

Konon mobil tersebut kembali melalui jalan yang lebih pendek 5 km dari jalan pertama. Maka persamaan kedua dapat ditulis sebagai X− kamu= 5. Persamaan ini menunjukkan selisih panjang jalan adalah 5 km.

Atau persamaan kedua dapat ditulis sebagai X= kamu+ 5. Kami akan menggunakan persamaan ini.

Karena variabelnya X Dan kamu dalam kedua persamaan menunjukkan bilangan yang sama, maka kita dapat membentuk sistem dari persamaan tersebut:

Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan beberapa metode yang telah dipelajari sebelumnya. Dalam hal ini, lebih mudah menggunakan metode substitusi, karena persamaan kedua adalah variabel X sudah diungkapkan.

Substitusikan persamaan kedua ke persamaan pertama dan temukan kamu

Mari kita gantikan nilai yang ditemukan kamu pada persamaan kedua X= kamu+ 5 dan kami akan menemukannya X

Panjang jalan pertama ditentukan melalui variabel X. Sekarang kami telah menemukan maknanya. Variabel X sama dengan 20. Artinya panjang jalan pertama adalah 20 km.

Dan panjang jalan kedua ditunjukkan oleh kamu. Nilai variabel ini adalah 15. Artinya panjang jalan kedua adalah 15 km.

Mari kita periksa. Pertama, pastikan sistem diselesaikan dengan benar:

Sekarang mari kita periksa apakah solusi (20; 15) memenuhi kondisi permasalahan.

Konon mobil tersebut menempuh total perjalanan sejauh 35 km pulang pergi. Kita menjumlahkan panjang kedua jalan dan memastikan bahwa solusi (20; 15) memenuhi kondisi berikut: 20 km + 15 km = 35 km

Kondisi berikut: mobil kembali melalui jalan lain, yang lebih pendek 5 km dari jalan pertama . Kita melihat bahwa solusi (20; 15) juga memenuhi kondisi ini, karena 15 km lebih pendek dari 20 km kali 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Saat menyusun suatu sistem, penting agar variabel-variabelnya mewakili bilangan yang sama di semua persamaan yang termasuk dalam sistem ini.

Jadi sistem kami berisi dua persamaan. Persamaan ini pada gilirannya mengandung variabel X Dan kamu, yang mewakili angka yang sama pada kedua persamaan yaitu panjang jalan 20 km dan 15 km.

Masalah 2. Bantalan kayu ek dan pinus dimuat ke peron, totalnya 300 bantalan. Diketahui bahwa semua bantalan kayu ek memiliki berat 1 ton lebih ringan dibandingkan semua bantalan kayu pinus. Tentukan berapa banyak bantalan kayu ek dan pinus secara terpisah, jika setiap bantalan kayu ek memiliki berat 46 kg, dan setiap bantalan pinus memiliki berat 28 kg.

Larutan

Membiarkan X kayu ek dan kamu bantalan pinus dimuat ke platform. Jika seluruhnya terdapat 300 orang yang tidur, maka persamaan pertama dapat dituliskan sebagai x+y = 300 .

Semua bantalan kayu ek memiliki berat 46 X kg, dan yang pinus beratnya 28 kamu kg. Karena bantalan kayu ek memiliki berat 1 ton lebih ringan dibandingkan bantalan kayu pinus, persamaan kedua dapat ditulis sebagai 28kamu - 46X= 1000 . Persamaan ini menunjukkan bahwa perbedaan massa antara bantalan kayu ek dan pinus adalah 1000 kg.

Ton diubah menjadi kilogram karena massa bantalan kayu ek dan pinus diukur dalam kilogram.

Hasilnya, kita memperoleh dua persamaan yang membentuk sistem

Mari kita selesaikan sistem ini. Mari kita nyatakan dalam persamaan pertama X. Maka sistem akan berbentuk:

Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua dan temukan kamu

Mari kita gantikan kamu ke dalam persamaan X= 300 − kamu dan mencari tahu apa itu X

Ini berarti 100 bantalan kayu ek dan 200 bantalan pinus dimuat ke platform.

Mari kita periksa apakah solusi (100; 200) memenuhi kondisi masalah. Pertama, pastikan sistem diselesaikan dengan benar:

Konon totalnya ada 300 orang yang tidur. Kami menjumlahkan jumlah bantalan kayu ek dan pinus dan memastikan bahwa solusinya (100; 200) memenuhi kondisi ini: 100 + 200 = 300.

Kondisi berikut: semua bantalan kayu ek berbobot 1 ton lebih ringan dibandingkan semua bantalan kayu pinus . Kita melihat bahwa solusi (100; 200) juga memenuhi kondisi ini, karena 46 × 100 kg bantalan kayu ek lebih ringan dari 28 × 200 kg bantalan pinus: 5600kg − 4600kg = 1000kg.

Masalah 3. Kami mengambil tiga potong paduan tembaga-nikel dengan perbandingan berat 2:1, 3:1 dan 5:1. Sepotong seberat 12 kg dilebur darinya dengan perbandingan kandungan tembaga dan nikel 4:1. Hitunglah massa masing-masing benda asal jika massa benda pertama dua kali massa benda kedua.

SOLUSI SISTEM 3 PERSAMAAN LINIER

DENGAN TIGA VARIABEL

Target:

Mengembangkan kemampuan transformasi matriks;

Mengembangkan keterampilan pemecahan sistem3 persamaan linier tiga variabel menggunakan metode Cramer;

Konsolidasikan pengetahuan tentang sifat-sifat determinan orde 2 dan 3;

Dukungan material dan teknis: pedoman pelaksanaan pekerjaan;

Waktu tunggu: 2 jam akademik;

Kemajuan pelajaran:

Pelajari informasi teoritis singkat;

Selesaikan tugas;

Buatlah kesimpulan atas pekerjaan tersebut;

Persiapkan pembelaan pekerjaan Anda pada soal-soal ujian.

Informasi teoretis singkat:

Matriks adalah tabel berbentuk persegi atau persegi panjang, diisi dengan angka. Angka-angka ini disebut elemen matriks.

Elemen matriks, terletak secara horizontal, membentuk baris-baris matriks. Elemen matriks, disusun secara vertikal, membentuk kolom matriks.

Garis diberi nomor dari kiri ke kanan, dimulai dari angka1, kolom diberi nomor dari atas ke bawah, dimulai dari angka1.

MatriksA , memilikiM garis danN kolom, disebut matriksukuranM padaN dan ditunjukA m∙n . ElemenA aku j matriksA = { A aku j } berdiri di persimpanganSaya - oh garis danJ- kolom ke-.

Diagonal utama matriks persegi adalah diagonal yang mengarah dari sudut kiri atas matriks ke sudut kanan bawah.Diagonal sisi matriks persegi adalah diagonal yang mengarah dari sudut kiri bawah matriks ke sudut kanan atas.

Dua buah matriks dikatakan sama apabila kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian di dalamnya juga sama.

Setiap matriks dapat dikalikan dengan bilangan berapa pun, dan jikak – nomor, laluk ∙ A ={ k ∙ A aku j }.

Matriks dengan ukuran yang samaA m∙n DanB m∙n bisa dilipat, danA m∙n + B m∙n = { A aku j + B Saya J }.

Operasi penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifatA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Contoh 1. Setelah melakukan operasi pada matriks, carilah matriks C= 2A - B, dimana, .

Larutan.

Mari kita hitung matriks 2A berdimensi 3x3:

Mari kita hitung matriks C = 2A - Berdimensi 3x3:

C = 2 A - B .

Penentu matriks orde ketiga adalah bilangan yang ditentukan oleh persamaan:

.

Angka ini mewakili jumlah aljabar yang terdiri dari enam suku. Setiap suku mengandung tepat satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom matriks. Setiap suku terdiri dari hasil kali tiga faktor.

Gambar.1.1. Gambar.1.2.

Tanda-tanda suku determinan yang termasuk dalam rumus mencari determinan orde ketiga dapat ditentukan dengan menggunakan skema yang diberikan, yang disebut aturan segitiga atau aturan Sarrus. Tiga suku pertama diambil dengan tanda plus dan ditentukan dari gambar (1.1.), dan tiga suku berikutnya diambil dengan tanda minus dan ditentukan dari gambar (1.2).

Contoh 2. Hitung determinan orde ketiga menggunakan aturan Sarrus:

Larutan:

Contoh 3. Hitung determinan orde ketiga menggunakan metode ekspansi pada elemen baris pertama:

Larutan:

Kami menggunakan rumus:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Mari kita pertimbangkan sifat-sifat utama determinan:

Penentu dengan baris (kolom) nol sama dengan nol.

Jika suatu baris (kolom mana pun) suatu matriks dikalikan dengan suatu bilangan, maka determinan matriks tersebut akan dikalikan dengan bilangan tersebut.

Penentunya tidak berubah ketika matriks ditransposisikan.

Penentu berubah tanda ketika dua baris (kolom) matriks disusun ulang.

Penentu matriks dengan dua baris (kolom) identik sama dengan nol.

Penentunya tidak berubah jika ada baris lain yang ditambahkan ke baris mana pun, dikalikan dengan bilangan apa pun. Pernyataan serupa juga berlaku untuk kolom.

Sifat-sifat matriks dan determinan banyak digunakan ketika menyelesaikan sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui:

,

dimana x 1 , X 2 , X 3 adalah variabel, dan 11 , A 12 ,…, A 33 - koefisien numerik. Harus diingat bahwa ketika menyelesaikan suatu sistem, salah satu dari tiga kemungkinan jawaban adalah mungkin:

1) sistem mempunyai solusi unik – (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga (tidak terdefinisi);

3) sistem tidak mempunyai solusi (tidak konsisten).

Pertimbangkan untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahuiMetode Cramer, yang manamemungkinkan Anda menemukansatu-satunya solusi untuk sistem, berdasarkan kemampuan menghitung determinan orde ketiga:

Contoh 3. Temukan solusi sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer:

Larutan. Temukan determinan orde ketiga menggunakanAturan Sarrus atau perluasan dengan elemen baris pertama:

Kami menemukan solusi sistem menggunakan rumus:

Jawaban: (- 152; 270; -254)

Tugas untuk penyelesaian mandiri:

SAYA. Temukan matriks transformasi.

II. Hitung determinanAKU AKU AKUmemesan.

AKU AKU AKU. Selesaikan sistem menggunakan metode Cramer.

Pilihan 1.

1. C = A +3 B , Jika, . 2..

Pilihan 2.

1. C =2 A - B ,Jika, . 2..

Pilihan 3.

1. C = 3 A + B , Jika, . 2. .

Pilihan 4.

1. C = A - 4 B , Jika, . 2..

Pilihan 5.

1. C = 4 A - B , Jika, . 2..

Opsi 6.

1. C = A +2 B , Jika, . 2..

Pilihan 7.

1. C =2 A + B , Jika, . 2..

Opsi 8.

1. C =3 A - B , Jika, . 2..

Pilihan 9.

1. C = A - 3 B , Jika, . 2..

Opsi 10.

1. C = A - 2 B , Jika, . 2..

Opsi 11.

1. C = A +4 B , Jika, . 2..

Opsi 12.

1. C =4 A + B , Jika, . 2..

Opsi 13.

1. C = A +3 B , Jika, . 2..

Opsi 14.

1. C =2 A - B , Jika, . 2..

Opsi 15.

1. C =3 A + B , Jika, . 2..

Pertanyaan untuk pengendalian diri:

Apa itu matriks?

Aturan menghitung determinan orde ketiga?

Tuliskan rumus Cramer untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan linier dengan tiga variabel.

Pertimbangkan sistem tiga persamaan linier dengan tiga hal yang tidak diketahui

a 11, a 12, …, a 33– koefisien untuk hal yang tidak diketahui,

b 1 , b 2 , b 3- anggota gratis.

Sistem penyelesaian (2.4) berarti menemukan bilangan rangkap tiga x 1 =c 1, x 2 =c 2, x 3 =c 3, ketika mereka disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, persamaan tersebut berubah menjadi identitas.

Sistem persamaan yang mempunyai penyelesaian (tunggal atau banyak tak terhingga) disebut persendian, sistem persamaan yang tidak memiliki solusi – non-bersama.

Mari kita sajikan tiga metode untuk menyelesaikan sistem (2.4).

aturan Cramer

Mari kita buat determinan sistem dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui

(2.5)

Jika , maka sistem (2.4) mempunyai solusi unik, yang ditemukan menggunakan rumus Cramer:

dimana , , diperoleh dari determinan dengan mengganti kolom pertama, kedua, ketiga dengan kolom suku bebas sistem (2.4).

(2.7)

Contoh 7. Selesaikan sistem

Kami menghitung determinan sistem (2.5) dan determinannya , , (2.6).

oleh karena itu, sistem memiliki solusi unik.

Dengan menggunakan rumus Cramer (2.6) kita menemukan:

Anda dapat memeriksanya dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang tidak diketahui ke dalam persamaan sistem.

Jadi, x 1 =x 2 =x 3 =1– solusi sistem.

metode Gauss

Pertimbangkan sistem (2.4):

Metode Gaussian, jika tidak, metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, adalah sebagai berikut. Mari kita kecualikan persamaan sistem ke-2 dan ke-3 x 1. Kami mendapatkan sistem:

Kami memperoleh sistem segitiga. Dari persamaan ke-3 kita temukan x 3, substitusikan ke persamaan ke-2, kita temukan x 2, lalu dari persamaan pertama kita temukan x 1, menggantikannya x 2 Dan x 3.

Contoh 8. Selesaikan sistem

Mari kita atur ulang persamaan ke-3 dan ke-1 sehingga pada persamaan ke-1 koefisiennya di x 1 sama dengan 1.

Mari kita kecualikan x 1 dari persamaan ke-2 dan ke-3. Caranya, kalikan persamaan pertama dengan (-4) dan tambahkan ke persamaan kedua; lalu kalikan persamaan ke-1 dengan (-6) dan tambahkan ke persamaan ke-3. Kami mendapatkan sistem:

Mari kita kecualikan x 2 dari persamaan ke-3. Caranya, kalikan persamaan ke-2 dengan (-13/10) dan tambahkan ke persamaan ke-3. Kami mendapatkan sistem:

Dari persamaan terakhir kita temukan x 3= -1, substitusikan ke persamaan ke-2:

10x 2 - 13(-1) = -7, -10x 2 = - 20, x 2 = 2.

Mengganti x 2 Dan x 3 ke dalam persamaan pertama, kita peroleh

Jadi, solusi sistemnya: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem menggunakan matriks invers

Sistem yang diberikan: (2.8)

Mari kita membuat matriks A dari koefisien yang tidak diketahui, matriks kolom X– dari yang tidak diketahui, kolom matriks DI DALAM– dari anggota gratis.

,

Sistem (2.8) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Solusi matriks X ditemukan dengan rumus:

SEBUAH -1– matriks invers untuk matriks A, terdiri dari penjumlahan aljabar elemen matriks A menurut rumus (2.3):

– determinan atau determinan matriks A, .

Contoh 9. Selesaikan sistem:

Mari kita perkenalkan matriksnya: ,

Matriks invers dihitung pada Contoh 6. Dengan menggunakan rumus (2.9) kita mencari solusi sistem

Jadi, x 1=1, x 2=1, x 3=1.

Elemen aljabar vektor

Vektor– segmen terarah; dilambangkan dengan atau. A– awal vektor, DI DALAM- akhir.

Panjang atau modul vektor dilambangkan dengan .

Beras. 21.

Dalam ruang koordinat 0xyz, vektor dapat direpresentasikan sebagai

(3.1)

Rumus ini memberi perluasan vektor menjadi basis vektor , , ; , , - koordinat kartesius persegi panjang dari vektor (jika tidak, proyeksi vektor ke sumbu koordinat).

Rumus (3.1) dapat ditulis sebagai berikut:

– vektor mempunyai koordinat , , .

Panjang(modulus) vektor dicari dengan rumus:

. (3.2)

Jika vektor diberikan oleh koordinat titik asal SEBUAH(x 1 ,kamu 1 ,z 1) dan akhirnya B(x 2 ,kamu 2 ,z 2), maka koordinatnya dicari dengan menggunakan rumus:

Jika pemuaian vektor sepanjang sumbu koordinat diketahui, maka pada saat penjumlahan (pengurangan) vektor, koordinatnya yang bernama sama dijumlahkan (dikurangi), bila suatu vektor dikalikan dengan suatu bilangan, koordinat vektor tersebut dikalikan dengan bilangan tersebut. , yaitu.

(3.4)

Produk titik vektor dan , dilambangkan dengan , adalah bilangan yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan kosinus sudut di antara vektor-vektor tersebut

. (3.5)

Jika kemudian

. (3.6)

Jika vektor dan segaris(paralel), lalu

. (3.7)

Jika vektor dan ortogonal(tegak lurus), lalu

Atau (3.8)

Contoh 10. Poin diberikan Sebuah 1(1,0,-1), Sebuah 2(2,-1,1), Sebuah 3(0,1,-2). Menggunakan aljabar vektor, dengan mempertimbangkan apa yang dicari:

1) koordinat vektor dan .

Kami menggunakan rumus (3.3):

2) Koordinat vektor

Dengan menggunakan rumus (3.4) dan (3.5), kita peroleh

Atau 1.2. Menurut aturan segitiga: , dan panjang vektor . Menjawab:

3. Diberikan titik A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5). Menemukan:

a) koordinat (proyeksi) vektor dan

b) koordinat vektor

c) panjang vektor

4. Diketahui vektor, tentukan hasil kali skalar vektor.

5. Buktikan bahwa vektor-vektor tersebut segaris.

6. Buktikan bahwa vektor-vektor tersebut ortogonal.

Persamaan linier (persamaan derajat pertama) dengan dua hal yang tidak diketahui

Definisi 1. Persamaan linier (persamaan derajat pertama) dengan dua hal yang tidak diketahui x dan y sebutkan persamaan bentuknya

Solusi. Mari kita nyatakan dari persamaan (2) variabel y melalui variabel x:

Dari rumus (3) dapat disimpulkan bahwa solusi persamaan (2) adalah semua pasangan bilangan yang bentuknya

di mana x adalah bilangan apa pun.

Catatan. Seperti dapat dilihat dari solusi Contoh 1, persamaan (2) memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Namun, penting untuk diperhatikan bukan pasangan angka apa pun (X; kamu) adalah solusi untuk persamaan ini. Untuk mendapatkan solusi persamaan (2), bilangan x dapat diambil berapa saja, dan bilangan y kemudian dapat dihitung menggunakan rumus (3).

Sistem dua persamaan linear dalam dua hal yang tidak diketahui

Definisi 3. Sistem dua persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui x dan y sebut sistem persamaan bentuk

Di mana A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 – nomor yang diberikan.

Definisi 4. Dalam sistem persamaan (4) bilangan A 1 , B 1 , A 2 , B 2 dipanggil, dan nomor C 1 , C 2 – anggota gratis.

Definisi 5. Dengan menyelesaikan sistem persamaan (4) memanggil sepasang nomor ( X; kamu) , yang merupakan solusi untuk persamaan sistem yang satu dan yang lainnya (4).

Definisi 6. Kedua sistem persamaan tersebut disebut setara (setara), jika semua penyelesaian sistem persamaan pertama adalah penyelesaian sistem kedua, dan semua penyelesaian sistem kedua adalah penyelesaian sistem pertama.

Kesetaraan sistem persamaan ditunjukkan dengan menggunakan simbol “”

Sistem persamaan linear diselesaikan dengan menggunakan , yang akan kita ilustrasikan dengan contoh.

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan

Solusi. Untuk menyelesaikan sistem (5) menghilangkan yang tidak diketahui dari persamaan kedua sistem X .

Untuk mencapai hal ini, pertama-tama kita transformasikan sistem (5) ke bentuk yang koefisien untuk x yang tidak diketahui pada persamaan pertama dan kedua sistem menjadi sama.

Jika persamaan pertama sistem (5) dikalikan dengan koefisien di x pada persamaan kedua (nomor 7), dan persamaan kedua dikalikan dengan koefisien di x pada persamaan pertama (nomor 2), maka sistem (5) akan mengambil formulir tersebut

Sekarang mari kita lakukan transformasi berikut pada sistem (6):

• dari persamaan kedua kita kurangi persamaan pertama dan ganti persamaan kedua sistem dengan selisih yang dihasilkan.

Hasilnya, sistem (6) diubah menjadi sistem ekuivalen

Dari persamaan kedua kita temukan kamu= 3, dan substitusikan nilai ini ke persamaan pertama, kita peroleh

Menjawab . (-2 ; 3) .

Contoh 3. Temukan semua nilai parameter p yang sistem persamaannya

A) memiliki solusi unik;

B) mempunyai banyak sekali solusi;

V) tidak mempunyai solusi.

Solusi. Mengekspresikan x melalui y dari persamaan kedua sistem (7) dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan sebagai ganti x ke dalam persamaan pertama sistem (7), kita peroleh

Mari kita pelajari solusi sistem (8) tergantung pada nilai parameter p. Untuk melakukan ini, pertama-tama perhatikan persamaan pertama sistem (8):

Jika , maka persamaan (9) mempunyai solusi unik

Jadi, dalam kasus kapan , sistem (7) mempunyai solusi unik

Jika P= - 2, maka persamaan (9) berbentuk

dan solusinya adalah bilangan apa pun . Oleh karena itu, solusi untuk sistem (7) adalah himpunan tak terbatas setiap orang pasangan angka

,

di mana y adalah bilangan apa pun.

Jika P= 2, maka persamaan (9) berbentuk

dan tidak memiliki solusi, yang menyiratkan bahwa sistem (7) tidak memiliki solusi.

Sistem tiga persamaan linear dalam tiga hal yang tidak diketahui

Definisi 7. Sistem tiga persamaan linier dengan tiga hal yang tidak diketahui x, y dan z disebut sistem persamaan yang berbentuk

Di mana A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , A 3 , B 3 , C 3 , D 3 – nomor yang diberikan.

Definisi 8. Dalam sistem persamaan (10) bilangan A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 , A 3 , B 3 , C 3 ditelepon koefisien untuk hal yang tidak diketahui, dan angkanya D 1 , D 2 , D 3 – anggota gratis.

Definisi 9. Dengan menyelesaikan sistem persamaan (10) sebutkan tiga angka (X; kamu ; z) , ketika mensubstitusikannya ke masing-masing dari tiga persamaan sistem (10), persamaan yang benar diperoleh.

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan

Solusi. Kami akan menyelesaikan sistem (11) menggunakan metode penghapusan berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui.

Untuk melakukan ini terlebih dahulu kami mengecualikan yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem y dengan melakukan transformasi berikut pada sistem (11):

• Kita akan membiarkan persamaan pertama sistem tidak berubah;
• pada persamaan kedua kita tambahkan persamaan pertama dan ganti persamaan kedua sistem dengan jumlah yang dihasilkan;
• dari persamaan ketiga kita kurangi persamaan pertama dan ganti persamaan ketiga sistem dengan selisih yang dihasilkan.

Akibatnya, sistem (11) diubah menjadi