Aktionen mit Graden mit gleichen Basen. Der Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2020). Kommen wir zurück zum Beispiel
Natürlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem du sie einzeln mit ihren Zeichen hinzufügst.
Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2.
Die Summe von a 3 - b n und h 5 -d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chancen die gleichen Grade der gleichen Variablen kann addiert oder subtrahiert werden.
Die Summe aus 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2.
Es ist auch offensichtlich, dass Sie zwei Felder a oder drei Felder a oder fünf Felder a nehmen.
Aber die Abschlüsse verschiedene Variablen und unterschiedliche Grade identische Variablen, müssen durch ihre Addition mit ihren Vorzeichen hinzugefügt werden.
Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3.
Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a nicht gleich dem doppelten Quadrat von a, sondern dem doppelten Würfel von a sind.
Die Summe aus a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6.
Subtraktion Grades erfolgt wie die Addition, nur dass die Vorzeichen der Subtraktion entsprechend geändert werden müssen.
Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Gradmultiplikation
Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie nacheinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.
Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.
Oder:
x -3 ⋅ am = am x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3.
Wenn wir mehrere Zahlen (Variablen) mit Potenzen vergleichen, können wir sehen, dass, wenn zwei von ihnen multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich . ist die Summe Grade von Begriffen.
Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.
Also, a n .a m = a m + n.
Für a n wird a so oft als Faktor verwendet, wie die Potenz von n gleich ist;
Und a m wird so oft als Faktor verwendet wie die Potenz von m;
Deshalb, Grade mit gleichen Stämmen können durch Addieren der Exponenten multipliziert werden.
Also a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Und x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Multiplizieren (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multiplizieren Sie (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.
1. Also, a -2 .a -3 = a -5. Dies kann geschrieben werden als (1 / aa) (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a – n .a m = a m – n.
Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: also
Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.
Wenn Summe und Differenz zweier Zahlen zu Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.
Also, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Teilung der Abschlüsse
Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem man vom Teiler subtrahiert oder sie in Bruchform setzt.
Also ist a 3 b 2 geteilt durch b 2 gleich a 3.
Oder:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $
Eine 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Aber das ist gleich einer 2. In einer Reihe von Zahlen
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Exponenten teilbarer Zahlen.
Wenn Grade mit derselben Basis geteilt werden, werden ihre Indikatoren subtrahiert..
Also, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Das heißt, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.
Und a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Das heißt, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.
Oder:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ die Werte der Grade.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist -2.
Auch $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa) \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 oder $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $
Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Graden sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr verbreitet sind.
Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten
1. Verringern Sie die Exponenten in $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Antwort: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. Verringern Sie die Exponenten in $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Antwort: $ \ frac (2x) (1) $ oder 2x.
3. Verringern Sie die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 und bringen Sie sie auf den gemeinsamen Nenner.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1, der gemeinsame Zähler.
Vereinfacht: a -2 / a -1 und 1 / a -1.
4. Verringern Sie die Exponenten 2a 4 / 5a 3 und 2 / a 4 und bringen Sie sie auf den gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5 / 5a 2.
5. Multiplizieren Sie (a 3 + b) / b 4 mit (a - b) / 3.
6. Multiplizieren Sie (a 5 + 1) / x 2 mit (b 2 - 1) / (x + a).
7. Multiplizieren Sie b 4 / a -2 mit h -3 / x und a n / y -3.
8. Teile eine 4 / y 3 durch eine 3 / y 2. Antwort: a / j.
9. Dividiere (h 3 - 1) / d 4 durch (d n + 1) / h.
Das Konzept des Mathematikstudiums wird in der 7. Klasse im Algebra-Unterricht eingeführt. Und in Zukunft wird dieses Konzept im Laufe des Mathematikstudiums in seinen verschiedenen Ausprägungen aktiv genutzt. Abschlüsse sind ein ziemlich schwieriges Thema, das das Auswendiglernen der Bedeutungen und die Fähigkeit erfordert, richtig und schnell zu zählen. Um schneller und besser mit Abschlüssen arbeiten zu können, haben Mathematiker die Eigenschaften des Abschlusses erfunden. Sie helfen, große Berechnungen zu reduzieren, um ein riesiges Beispiel in gewisser Weise in eine Zahl umzuwandeln. Es gibt nicht so viele Eigenschaften, und alle sind leicht zu merken und in der Praxis anzuwenden. Daher werden in dem Artikel die wichtigsten Eigenschaften des Abschlusses sowie deren Anwendung erörtert.
Abschlusseigenschaften
Wir betrachten 12 Eigenschaften eines Grades, einschließlich Eigenschaften von Graden mit derselben Basis, und geben ein Beispiel für jede Eigenschaft. Jede dieser Eigenschaften hilft Ihnen, Abschlussarbeiten schneller zu lösen und Sie vor zahlreichen Rechenfehlern zu bewahren.
1. Eigenschaft.
Viele Leute vergessen sehr oft diese Eigenschaft, machen Fehler und stellen eine Zahl im Null-Grad als Null dar.
2. Eigenschaft.
3. Eigenschaft.
Es ist zu beachten, dass diese Eigenschaft nur beim Multiplizieren von Zahlen angewendet werden kann, mit einer Summe funktioniert es nicht! Und wir dürfen nicht vergessen, dass diese und die nächsten Eigenschaften nur für Grade mit gleicher Basis gelten.
4. Eigenschaft.
Wenn die Zahl im Nenner negativ potenziert wird, wird während der Subtraktion die Potenz des Nenners in Klammern gesetzt, um das Vorzeichen in weiteren Berechnungen korrekt zu ersetzen.
Die Eigenschaft funktioniert nur bei Division, sie gilt nicht bei Subtraktion!
5. Eigenschaft.
6. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft kann in die entgegengesetzte Richtung angewendet werden. Die Einheit dividiert durch die Zahl ist gewissermaßen diese Zahl in Minuspotenz.
7. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft kann nicht auf Summe und Differenz angewendet werden! Beim Potenzieren einer Summe oder Differenz werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet, keine Potenzeigenschaften.
8. Eigenschaft.
9. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft funktioniert für jede gebrochene Potenz mit einem Zähler gleich eins, die Formel ist dieselbe, nur die Potenz der Wurzel ändert sich abhängig vom Nenner der Potenz.
Außerdem wird diese Eigenschaft oft in umgekehrter Reihenfolge verwendet. Die Wurzel einer beliebigen Potenz einer Zahl kann als die Zahl hoch eins geteilt durch die Potenz der Wurzel dargestellt werden. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich, wenn die Wurzel einer Zahl nicht extrahiert wird.
10. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft funktioniert für mehr als nur Quadratwurzel und zweiten Grad. Wenn der Grad der Wurzel und der Grad, bis zu dem diese Wurzel angehoben wird, übereinstimmen, dann wird die Antwort ein radikaler Ausdruck sein.
11. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft müssen Sie bei der Entscheidungsfindung rechtzeitig erkennen können, um sich vor großen Berechnungen zu ersparen.
12. Eigenschaft.
Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen in Aufgaben mehr als einmal begegnen, sie kann in reiner Form angegeben werden oder erfordert einige Transformationen und die Verwendung anderer Formeln. Daher reicht es für die richtige Lösung nicht aus, nur die Eigenschaften zu kennen, Sie müssen den Rest des mathematischen Wissens üben und verbinden.
Anwenden von Abschlüssen und deren Eigenschaften
Sie werden aktiv in Algebra und Geometrie verwendet. Abschlüsse in Mathematik haben einen eigenen, wichtigen Platz. Mit ihrer Hilfe werden Exponentialgleichungen und Ungleichungen gelöst, ebenso werden graduell Gleichungen und Beispiele aus anderen Zweigen der Mathematik oft kompliziert. Grade helfen, große und zeitaufwendige Berechnungen zu vermeiden, Grad lassen sich einfacher abkürzen und berechnen. Aber um mit großen Graden oder mit Potenzen großer Zahlen zu arbeiten, musst du nicht nur die Eigenschaften des Grades kennen, sondern auch kompetent mit den Basen arbeiten, um sie zerlegen zu können, um deine Aufgabe zu erleichtern. Der Einfachheit halber sollten Sie auch die Bedeutung der potenzierten Zahlen kennen. Dies verkürzt Ihre Entscheidungszeit und macht lange Berechnungen überflüssig.
Der Begriff des Grades spielt bei Logarithmen eine besondere Rolle. Da der Logarithmus im Wesentlichen die Potenz einer Zahl ist.
Abgekürzte Multiplikationsformeln sind ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Potenzen. Die Eigenschaften von Graden können in ihnen nicht angewendet werden, sie werden nach speziellen Regeln zerlegt, aber Grade sind in jeder Formel für die abgekürzte Multiplikation unweigerlich vorhanden.
Auch in Physik und Informatik werden Abschlüsse aktiv eingesetzt. Alle Übersetzungen in das SI-System erfolgen unter Verwendung von Graden, und in Zukunft werden bei der Lösung von Problemen die Eigenschaften des Grades verwendet. In der Informatik werden Zweierpotenzen aktiv verwendet, um das Zählen zu erleichtern und die Wahrnehmung von Zahlen zu vereinfachen. Weitere Berechnungen zur Umrechnung von Maßeinheiten oder Berechnungen von Problemen, wie in der Physik, erfolgen über die Eigenschaften des Grades.
Grade sind auch in der Astronomie sehr nützlich, wo man die Eigenschaften des Grades selten verwendet, aber die Grade selbst werden aktiv verwendet, um die Aufzeichnung verschiedener Größen und Entfernungen zu verkürzen.
Grad werden auch im Alltag verwendet, wenn Flächen, Volumina, Entfernungen berechnet werden.
Mit Hilfe von Abschlüssen werden in allen Wissenschaftsbereichen sehr große und sehr kleine Werte erfasst.
Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen
Gerade in Exponentialgleichungen und Ungleichungen nehmen die Gradeigenschaften eine Sonderstellung ein. Diese Aufgaben sind sowohl im Schulunterricht als auch in Prüfungen sehr verbreitet. Alle von ihnen werden durch die Anwendung der Eigenschaften des Grades gelöst. Das Unbekannte ist immer in genauem Maße, daher wird es bei Kenntnis aller Eigenschaften nicht schwierig sein, eine solche Gleichung oder Ungleichung zu lösen.
Wenn Sie eine bestimmte Zahl potenzieren müssen, können Sie verwenden. Und jetzt werden wir näher darauf eingehen Eigenschaften von Graden.
Exponentielle Zahlen eröffnen uns große Möglichkeiten, sie erlauben uns, Multiplikation in Addition umzuwandeln, und Addieren ist viel einfacher als Multiplizieren.
Zum Beispiel müssen wir 16 mit 64 multiplizieren. Das Produkt der Multiplikation dieser beiden Zahlen ist 1024. Aber 16 ist 4x4 und 64 ist 4x4x4. Das heißt, 16 mal 64 = 4x4x4x4x4, also auch 1024.
Die Zahl 16 kann auch als 2x2x2x2 und 64 als 2x2x2x2x2x2 dargestellt werden, und wenn wir multiplizieren, erhalten wir wieder 1024.
Jetzt verwenden wir die Regel. 16 = 4 2 oder 2 4, 64 = 4 3 oder 2 6, gleichzeitig 1024 = 6 4 = 4 5 oder 2 10.
Daher kann unser Problem anders geschrieben werden: 4 2 x 4 3 = 4 5 oder 2 4 x 2 6 = 2 10, und jedes Mal erhalten wir 1024.
Wir können eine Reihe ähnlicher Beispiele lösen und sehen, dass die Multiplikation von Zahlen mit Potenzen auf . reduziert wird Addition von Exponenten, oder natürlich exponentiell, vorausgesetzt, die Basen der Faktoren sind gleich.
Somit können wir ohne Multiplikation sofort sagen, dass 2 4 x 2 2 x 2 14 = 2 20 ist.
Diese Regel gilt auch bei der Division von Zahlen mit Potenzen, aber in diesem Fall gilt e der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden abgezogen... Also 2 5: 2 3 = 2 2, was in gewöhnlichen Zahlen 32: 8 = 4 ist, also 2 2. Fassen wir zusammen:
a m x a n = a m + n, a m: a n = a m-n, wobei m und n ganze Zahlen sind.
Auf den ersten Blick mag es scheinen, was ist Multiplikation und Division von Zahlen mit Potenzen nicht sehr praktisch, denn zuerst müssen Sie die Zahl in Exponentialform darstellen. Es ist nicht schwer, die Zahlen 8 und 16 in dieser Form darzustellen, also 2 3 und 2 4, aber wie macht man das mit den Zahlen 7 und 17? Oder was tun, wenn die Zahl in exponentieller Form dargestellt werden kann, die Grundlagen der exponentiellen Ausdrücke von Zahlen jedoch sehr unterschiedlich sind. 8 × 9 ist beispielsweise 2 3 × 3 2, in diesem Fall können wir die Exponenten nicht summieren. Weder 2 5 noch 3 5 ist die Antwort, noch liegt die Antwort im Intervall zwischen diesen beiden Zahlen.
Lohnt es sich dann überhaupt, sich mit dieser Methode zu beschäftigen? Es lohnt sich auf jeden Fall. Es bietet enorme Vorteile, insbesondere bei komplexen und zeitaufwändigen Berechnungen.
Potenzen addieren und subtrahieren
Natürlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem du sie einzeln mit ihren Zeichen hinzufügst.
Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2.
Die Summe von a 3 - b n und h 5 -d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chancen die gleichen Grade der gleichen Variablen kann addiert oder subtrahiert werden.
Die Summe aus 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2.
Es ist auch offensichtlich, dass Sie zwei Felder a oder drei Felder a oder fünf Felder a nehmen.
Aber die Abschlüsse verschiedene Variablen und unterschiedliche Grade identische Variablen, müssen durch ihre Addition mit ihren Vorzeichen hinzugefügt werden.
Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3.
Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a nicht gleich dem doppelten Quadrat von a, sondern dem doppelten Würfel von a sind.
Die Summe aus a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6.
Subtraktion Grades erfolgt wie die Addition, nur dass die Vorzeichen der Subtraktion entsprechend geändert werden müssen.
Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Gradmultiplikation
Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie nacheinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.
Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.
Oder:
x -3 ⋅ am = am x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3.
Wenn wir mehrere Zahlen (Variablen) mit Potenzen vergleichen, können wir sehen, dass, wenn zwei von ihnen multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich . ist die Summe Grade von Begriffen.
Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.
Also, a n .a m = a m + n.
Für a n wird a so oft als Faktor verwendet, wie die Potenz von n gleich ist;
Und a m wird so oft als Faktor verwendet wie die Potenz von m;
Deshalb, Grade mit gleichen Stämmen können durch Addieren der Exponenten multipliziert werden.
Also a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Und x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Multiplizieren (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multiplizieren Sie (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.
1. Also, a -2 .a -3 = a -5. Dies kann geschrieben werden als (1 / aa) (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a – n .a m = a m – n.
Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: also
Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.
Wenn Summe und Differenz zweier Zahlen zu Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.
Also, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Teilung der Abschlüsse
Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem man vom Teiler subtrahiert oder sie in Bruchform setzt.
Also ist a 3 b 2 geteilt durch b 2 gleich a 3.
Eine 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $ \ frac $. Aber das ist gleich einer 2. In einer Reihe von Zahlen
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Exponenten teilbarer Zahlen.
Wenn Grade mit derselben Basis geteilt werden, werden ihre Indikatoren subtrahiert..
Also, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Das heißt, $ \ frac = y $.
Und a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Das heißt, $ \ frac = a ^ n $.
Oder:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ die Werte der Grade.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist -2.
Auch $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 oder $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $
Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Graden sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr verbreitet sind.
Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten
1. Exponenten in $ \ frac $ verkleinern Antwort: $ \ frac $.
2. Verringern Sie Exponenten in $ \ frac $. Antwort: $ \ frac $ oder 2x.
3. Verringern Sie die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 und bringen Sie sie auf den gemeinsamen Nenner.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1, der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 / a -1 und 1 / a -1.
4. Verringern Sie die Exponenten 2a 4 / 5a 3 und 2 / a 4 und bringen Sie sie auf den gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5 / 5a 2.
5. Multiplizieren Sie (a 3 + b) / b 4 mit (a - b) / 3.
6. Multiplizieren Sie (a 5 + 1) / x 2 mit (b 2 - 1) / (x + a).
7. Multiplizieren Sie b 4 / a -2 mit h -3 / x und a n / y -3.
8. Teile eine 4 / y 3 durch eine 3 / y 2. Antwort: a / j.
Abschlusseigenschaften
Wir erinnern Sie daran, dass diese Lektion versteht Leistungseigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Rationale Abschlüsse und ihre Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse behandelt.
Ein natürlicher Exponent hat mehrere wichtige Eigenschaften, die die Berechnung in Exponentenbeispielen erleichtern.
Objektnummer 1
Produkt von Graden
Beim Multiplizieren von Graden mit gleichen Basen bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.
a m · a n = a m + n, wobei "a" eine beliebige Zahl ist und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.
Diese Gradeigenschaft beeinflusst auch das Produkt von drei oder mehr Graden.
- Den Ausdruck vereinfachen.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Als Abschluss präsentieren.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Als Abschluss präsentieren.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Schreiben Sie den Quotienten als Grad
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2 - Berechnung.
Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur um die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen ging.... Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.
Sie können den Betrag (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
zählen (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243
Objektnummer 2
Private Abschlüsse
Beim Dividieren von Graden mit gleichen Basen bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden abgezogen.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir verwenden das Eigentum der privaten Grade.
3 8: t = 3 4
Antwort: t = 3 4 = 81
Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.
Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe der Eigenschaften des Grads.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Bitte beachten Sie, dass es bei Eigenschaft 2 nur darum ging, Grade mit denselben Basen zu teilen.
Die Differenz (4 3 −4 2) kann nicht durch 4 1 ersetzt werden. Dies ist verständlich, wenn wir (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 und 4 1 = 4 . berechnen
Objektnummer 3
Potenzierung
Beim Potenzieren eines Grades bleibt die Basis des Grades unverändert und die Exponenten werden multipliziert.
(a n) m = a n · m, wobei "a" eine beliebige Zahl ist und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.
Wir erinnern Sie daran, dass der Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Daher werden wir auf der nächsten Seite ausführlicher auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs eingehen.
Wie man Grade multipliziert
Wie multipliziert man Abschlüsse? Welche Abschlüsse können multipliziert werden und welche nicht? Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Grad?
In der Algebra kann das Gradprodukt in zwei Fällen gefunden werden:
1) wenn die Grade die gleichen Basen haben;
2) wenn die Grade die gleichen Indikatoren haben.
Beim Multiplizieren von Graden mit gleichen Basen muss die Basis gleich bleiben und die Indikatoren müssen hinzugefügt werden:
Bei der Multiplikation von Graden mit denselben Indikatoren kann der Gesamtindikator aus den Klammern herausgenommen werden:
Schauen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie man Grade multipliziert.
Die Einheit im Exponenten wird nicht geschrieben, aber wenn die Grade multipliziert werden, berücksichtigen sie:
Beim Multiplizieren kann die Gradzahl beliebig sein. Denken Sie daran, dass Sie das Multiplikationszeichen nicht vor den Buchstaben schreiben müssen:
In Ausdrücken wird zuerst die Potenzierung durchgeführt.
Wenn Sie eine Zahl mit einer Potenz multiplizieren müssen, müssen Sie zuerst die Potenzierung und erst dann die Multiplikation durchführen:
Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
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In dieser Lektion werden wir die Multiplikation von Graden mit derselben Basis untersuchen. Erinnern Sie sich zunächst an die Definition des Grades und formulieren Sie einen Satz über die Gültigkeit der Gleichheit ... Dann geben wir Beispiele für seine Anwendung auf bestimmte Zahlen und beweisen es. Wir werden das Theorem auch anwenden, um verschiedene Probleme zu lösen.
Thema: Abschluss mit natürlichem Indikator und dessen Eigenschaften
Lektion: Grade mit derselben Basis multiplizieren (Formel)
1. Grundlegende Definitionen
Grundlegende Definitionen:
n- Exponent,
— n-te Potenz einer Zahl.
2. Aussage von Satz 1
Satz 1. Für jede Zahl ein und jede natürliche n und k die Gleichheit ist wahr:
Auf eine andere Weise: wenn ein- irgendeine Nummer; n und k natürliche Zahlen, dann:
Daher Regel 1:
3. Erklärende Aufgaben
Ausgabe: Sonderfälle haben die Richtigkeit von Satz Nr. 1 bestätigt. Wir beweisen es im allgemeinen Fall, d. h. für alle ein und jede natürliche n und k.
4. Beweis von Satz 1
Eine Nummer gegeben ein- irgendein; Zahlen n und k - natürlich. Unter Beweis stellen:
Der Nachweis basiert auf der Definition des Abschlusses.
5. Lösung von Beispielen mit Theorem 1
Beispiel 1: Betrachten Sie es als einen Abschluss.
Um die folgenden Beispiele zu lösen, verwenden wir Satz 1.
g) 
6. Verallgemeinerung von Satz 1
Hier wird eine Verallgemeinerung verwendet:
7. Lösung von Beispielen mit einer Verallgemeinerung von Satz 1
8. Lösen verschiedener Probleme mit Theorem 1
Beispiel 2: Berechnen (Sie können die Tabelle der Grundabschlüsse verwenden).
ein) 
(laut Tabelle)
B) 
Beispiel 3: Schreiben Sie es als Potenz mit der Basis 2 auf.
ein) 
Beispiel 4: Bestimmen Sie das Vorzeichen der Zahl:
, ein - negativ, da der Exponent bei -13 ungerade ist.
Beispiel 5: Ersetze () durch eine Potenz einer Radix R:
Das haben wir.
9. Zusammenfassend
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ua Algebra 7. 6. Auflage. M.: Bildung. 2010 r.
1. Schulassistent (Quelle).
1. Als Abschluss präsentieren:
ein B C D E) 
3. Schreiben Sie es als Potenz mit Basis 2 auf:
4. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Zahl:
ein) 
5. Ersetze (·) durch eine Potenz einer Basiszahl R:
a) r 4 · (·) = r 15; b) () r 5 = r 6
Multiplikation und Division von Graden mit gleichen Exponenten
In dieser Lektion werden wir die Multiplikation von Graden mit den gleichen Exponenten untersuchen. Erinnern wir uns zunächst an die grundlegenden Definitionen und Theoreme über die Multiplikation und Division von Potenzen mit den gleichen Basen und das Potenzieren einer Potenz. Dann formulieren und beweisen wir Sätze über die Multiplikation und Division von Graden mit den gleichen Exponenten. Und dann lösen wir mit ihrer Hilfe eine Reihe typischer Probleme.
Erinnerung an grundlegende Definitionen und Theoreme
Hier ein- die Grundlage des Abschlusses,
— n-te Potenz einer Zahl.
Satz 1. Für jede Zahl ein und jede natürliche n und k die Gleichheit ist wahr:
Beim Multiplizieren von Graden mit gleichen Basen werden die Indikatoren addiert, die Basis bleibt unverändert.
Satz 2. Für jede Zahl ein und jede natürliche n und k, so dass n > k die Gleichheit ist wahr:
Beim Dividieren von Graden mit gleichen Basen werden die Indikatoren subtrahiert und die Basis bleibt unverändert.
Satz 3. Für jede Zahl ein und jede natürliche n und k die Gleichheit ist wahr:
Alle diese Theoreme handelten von Graden mit dem gleichen Gründe, in dieser Lektion werden Abschlüsse mit den gleichen berücksichtigt Indikatoren.
Beispiele für die Multiplikation von Graden mit den gleichen Indikatoren
Betrachten Sie die folgenden Beispiele:
Schreiben wir Ausdrücke zur Bestimmung des Grades auf.
Ausgabe: an den Beispielen sieht man das 
, muss aber noch bewiesen werden. Wir formulieren einen Satz und beweisen ihn im allgemeinen Fall, d. h. für alle ein und B und jede natürliche n.
Formulierung und Beweis von Satz 4
Für beliebige Zahlen ein und B und jede natürliche n die Gleichheit ist wahr:
Nachweisen Satz 4 .
Nach Definition des Abschlusses:
Das haben wir also bewiesen .
Um Grad mit denselben Indikatoren zu multiplizieren, reicht es aus, die Basen zu multiplizieren und den Exponenten unverändert zu lassen.
Formulierung und Beweis von Satz 5
Wir formulieren einen Satz zum Teilen von Graden mit den gleichen Exponenten.
Für jede Zahl ein und B () und jede natürliche n die Gleichheit ist wahr:
Nachweisen Satz 5 .
Lassen Sie uns den Abschluss aufschreiben und per Definition:
Theoreme in Worten formulieren
Das haben wir also bewiesen.
Um Grade mit gleichen Indikatoren ineinander zu teilen, reicht es aus, eine Basis in eine andere zu teilen und den Exponenten unverändert zu lassen.
Lösen typischer Probleme mit Theorem 4
Beispiel 1: Präsentieren als Produkt von Graden.
Um die folgenden Beispiele zu lösen, verwenden wir Satz 4.
Um das folgende Beispiel zu lösen, erinnern Sie sich an die Formeln:
Verallgemeinerung von Satz 4
Verallgemeinerung von Satz 4:
Lösung von Beispielen mit dem verallgemeinerten Satz 4
Fortsetzung der Lösung typischer Aufgaben
Beispiel 2: Schreiben Sie es als Grad der Arbeit auf.
Beispiel 3: Schreiben Sie es als Potenz mit einem Exponenten von 2 auf.
Berechnungsbeispiele
Beispiel 4: Rechnen Sie auf die rationalste Weise.
2. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebra 7.M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu. M., Tkacheva M. V., Fedorova N. Ye. ua Algebra 7. M .: Aufklärung. 2006 Jahr
2. Schulassistent (Quelle).
1. Präsentieren als Produkt von Graden:
ein) ; B); v) ; G) ;
2. Notieren Sie als Grad der Arbeit:
3. Schreiben Sie es als Potenz mit einem Exponenten von 2 auf:
4. Rechnen Sie auf die rationalste Weise.
Mathematikstunde zum Thema "Multiplikation und Division von Graden"
Abschnitte: Mathe
Pädagogischer Zweck:
Aufgaben:
Aktivitätseinheiten des Lernens: Bestimmung des Grades mit einem natürlichen Indikator; Abschlusskomponenten; Definition des Privaten; Kombinationsgesetz der Multiplikation.
I. Organisation der Demonstration der Beherrschung durch Studierende vorhandener Kenntnisse. (Schritt 1)
a) Aktualisierung des Wissens:
2) Formulieren Sie die Definition des Abschlusses mit einem natürlichen Indikator.
a n = a a a a ... a (n mal)
b k = b b b b a… b (k mal) Begründen Sie die Antwort.
II. Organisation der Selbsteinschätzung des Schülers nach dem Grad der Beherrschung der tatsächlichen Erfahrung. (Schritt 2)
Selbsttest: (Einzelarbeit in zwei Versionen.)
A1) Präsentieren Sie das Produkt 7 7 7 7 x x x als Potenz:
A2) Präsentieren Sie als Produkt den Grad (-3) 3 x 2
A3) Berechnen: -2 3 2 + 4 5 3
Die Anzahl der Aufgaben im Test wähle ich entsprechend der Vorbereitung des Klassenniveaus aus.
Den Schlüssel für den Selbsttest gebe ich dem Test mit. Kriterien: testen - nicht testen.
III. Lehr- und Praxisaufgabe (Schritt 3) + Schritt 4. (Die Eigenschaften werden von den Studierenden selbst formuliert)
Bei der Lösung der Probleme 1) und 2) schlagen die Schüler eine Lösung vor, und ich als Lehrer organisiere die Klasse, um einen Weg zu finden, die Grade bei der Multiplikation mit den gleichen Basen zu vereinfachen.
Lehrer: Überlegen Sie, wie Sie Grade vereinfachen können, wenn Sie mit denselben Basen multiplizieren.
Auf dem Cluster wird ein Eintrag angezeigt:
Das Unterrichtsthema ist formuliert. Multiplikation von Graden.
Lehrer: Stellen Sie eine Regel auf, um Grade mit den gleichen Grundlagen zu teilen.
Begründung: Durch welche Maßnahmen wird die Teilung überprüft? eine 5: eine 3 =? dass a 2 a 3 = a 5
Ich kehre zum Diagramm zurück - ein Cluster und ergänze den Datensatz - .. beim Dividieren subtrahieren und fügen wir das Thema der Lektion hinzu. ... und Graduierung.
NS. Vermittlung der Grenzen des Wissens an die Studierenden (mindestens und maximal).
Lehrer: Die Aufgabe des Minimums für die heutige Lektion besteht darin, zu lernen, wie man die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Graden mit den gleichen Basen anwendet, und das Maximum: Multiplikation und Division zusammen anwenden.
Schreibe an die Tafel : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n
V. Organisation des Studiums des neuen Materials. (Schritt 5)
a) Laut Lehrbuch: Nr. 403 (a, c, e) Aufgaben mit unterschiedlichem Wortlaut
Nr. 404 (a, e, f) selbstständiges Arbeiten, dann organisiere ich eine gegenseitige Kontrolle, gebe die Schlüssel ab.
b) Für welchen Wert von m gilt Gleichheit? a16am = a32; xh x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Aufgabe: Überlegen Sie ähnliche Beispiele für die Aufteilung.
c) Nr. 417 (a), Nr. 418 (a) Studentenfallen: x3xn = x3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.
Vi. Verallgemeinerung des Gelernten, Durchführung diagnostischer Arbeiten (die Schüler und nicht den Lehrer ermutigt, dieses Thema zu studieren) (Schritt 6)
Diagnostische Arbeit.
Prüfen(Legen Sie die Schlüssel auf die Rückseite des Tests).
Zuordnungsoptionen: Quotienten in Form eines Grades darstellen x 15: x 3; das Produkt als Potenz darstellen (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; für was m gilt die Gleichheit a 16 und m = a 32; finde den Wert des Ausdrucks h 0: h 2 bei h = 0,2; Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks (5 2 5 0): 5 2.
Zusammenfassung der Lektion. Betrachtung. Ich teile die Klasse in zwei Gruppen.
Finden Sie Argumente I Gruppe: zugunsten der Kenntnis der Eigenschaften des Grades und Gruppe II - Argumente, die sagen, dass Sie auf Eigenschaften verzichten können. Wir hören uns alle Antworten an, ziehen Schlussfolgerungen. In nachfolgenden Lektionen können Sie statistische Daten anbieten und die Überschrift "Mein Kopf passt nicht!" aufrufen.
Vii. Hausaufgaben.
Historische Referenz. Welche Zahlen heißen Fermat-Zahlen?
A.19. Nr. 403, Nr. 408, Nr. 417
Gebrauchte Bücher:
Eigenschaften von Graden, Formulierungen, Beweise, Beispiele.
Nachdem der Grad der Zahl bestimmt wurde, ist es logisch, darüber zu sprechen Eigenschaften des Abschlusses... In diesem Artikel geben wir die grundlegenden Eigenschaften des Grades einer Zahl an und berühren dabei alle möglichen Exponenten. Hier werden wir alle Eigenschaften des Grades beweisen und auch zeigen, wie diese Eigenschaften in Lösungsbeispielen angewendet werden.
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Eigenschaften natürlicher Exponenten
Nach der Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten ist der Grad a n das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Basierend auf dieser Definition und auch unter Verwendung von echte Multiplikationseigenschaften, können Sie Folgendes erhalten und begründen Eigenschaften des natürlichen Exponenten:
- wenn a > 0, dann a n > 0 für jedes natürliche n;
- wenn a = 0, dann a n = 0;
- wenn a 2 m > 0, wenn a 2 m − 1 n;
- wenn m und n natürliche Zahlen mit m > n sind, dann gilt für 0m n und für a > 0 die Ungleichung a m > a n.
- a m a n = a m + n;
- a m: a n = a m − n;
- (a b) n = a n b n;
- (a: b) n = a n: b n;
- (am) n = am n;
- wenn n eine positive ganze Zahl ist, a und b positive Zahlen sind und a n n und a - n > b - n;
- wenn m und n ganze Zahlen sind und m > n, dann gilt für 0m n und für a > 1 die Ungleichung a m > a n.
Beachten Sie sofort, dass alle aufgeschriebenen Gleichheiten identisch unter den angegebenen Bedingungen, und ihr rechter und linker Teil können getauscht werden. Zum Beispiel ist die Haupteigenschaft des Bruchs a m a n = a m + n für Vereinfachung der Ausdrücke oft verwendet als a m + n = a m a n.
Sehen wir uns nun jeden von ihnen im Detail an.
Beginnen wir mit der Eigenschaft eines Produkts zweier Grade mit gleichen Basen, das heißt die Haupteigenschaft des Abschlusses: für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n gilt die Gleichheit a m · a n = a m + n.
Wir beweisen die Haupteigenschaft des Grades. Durch die Definition eines Grades mit natürlichem Exponenten lässt sich das Produkt von Graden mit gleicher Basis der Form a m a n schreiben als Produkt 
... Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation kann der resultierende Ausdruck geschrieben werden als 
, und dieses Produkt ist die Potenz der Zahl a mit dem natürlichen Exponenten m + n, also a m + n. Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Abschlusses bestätigt. Nehmen Sie Grade mit den gleichen Basen 2 und natürlichen Graden 2 und 3, entsprechend der Haupteigenschaft des Grades können wir die Gleichheit 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 schreiben. Lassen Sie uns seine Gültigkeit überprüfen, für die wir die Werte der Ausdrücke 2 2 · 2 3 und 2 5 berechnen. Potenzierend haben wir 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 und 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32, da wir gleiche Werte erhalten, dann gilt die Gleichheit 2 2 · 2 3 = 2 5 ist wahr und bestätigt die Haupteigenschaft des Abschlusses.
Die Haupteigenschaft eines Grades basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation kann auf das Produkt von drei oder mehr Graden mit den gleichen Basen und natürlichen Exponenten verallgemeinert werden. Für eine beliebige Anzahl k natürlicher Zahlen n 1, n 2,…, n k gilt also die Gleichheit a n 1 · an 2 ·… · an k = an 1 + n 2 +… + n k.
Zum Beispiel (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 = (2.1) 17.
Sie können mit einem natürlichen Exponenten zur nächsten Gradeigenschaft gehen - Eigentum von privaten Graden mit den gleichen Grundlagen: für jede reelle Zahl a ungleich Null und beliebige natürliche Zahlen m und n, die die Bedingung m> n erfüllen, gilt die Gleichheit a m: a n = a m − n.
Bevor wir diese Eigenschaft beweisen, diskutieren wir die Bedeutung zusätzlicher Bedingungen in der Formulierung. Die Bedingung a ≠ 0 ist notwendig, um eine Division durch Null zu vermeiden, da 0 n = 0, und als wir uns mit der Division vertraut gemacht haben, waren wir uns einig, dass man nicht durch Null teilen kann. Damit wir nicht über die natürlichen Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m> n eingeführt. Tatsächlich ist für m> n der Exponent am − n eine natürliche Zahl, ansonsten ist er entweder Null (was für m − n passiert) oder eine negative Zahl (was passiert, wenn mm − n an = a (m − n) + n = am Aus der erhaltenen Gleichheit am − n · an = am und aus dem Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division folgt, dass am − n ein Quotient der Grade am und an ist, was die Eigenschaft von Quotienten mit gleicher Basis beweist.
Geben wir ein Beispiel. Nehmen wir zwei Grade mit gleichen Basen π und natürlichen Exponenten 5 und 2, die betrachtete Eigenschaft des Grades entspricht der Gleichheit π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Überlege jetzt Produktgradeigenschaft: der natürliche Grad n des Produkts zweier beliebiger reeller Zahlen a und b ist gleich dem Produkt der Potenzen von a n und b n, dh (a b) n = a n b n.
In der Tat haben wir per Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten 
... Das letzte Produkt, basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation, kann umgeschrieben werden als 
, die gleich a n · b n ist.
Geben wir ein Beispiel: 
.
Diese Eigenschaft gilt für den Grad des Produkts von drei oder mehr Faktoren. Das heißt, die Eigenschaft des natürlichen Grades n des Produkts von k Faktoren wird geschrieben als (a 1 · a 2 ·… · a k) n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n.
Zur Verdeutlichung werden wir diese Eigenschaft an einem Beispiel zeigen. Für das Produkt von drei Faktoren hoch 7 gilt.
Die nächste Eigenschaft ist Privateigentum in Form von Sachleistungen: der Quotient der reellen Zahlen a und b, b ≠ 0 in der natürlichen Potenz n ist gleich dem Quotienten der Potenzen a n und b n, also (a: b) n = a n: b n.
Der Beweis kann mit der vorherigen Eigenschaft durchgeführt werden. Also (a: b) n bn = ((a: b) b) n = an, und aus der Gleichheit (a: b) n bn = an folgt (a: b) n ist der Quotient von an auf bn .
Schreiben wir diese Eigenschaft anhand bestimmter Zahlen als Beispiel: 
.
Jetzt werden wir sprechen Potenzierungseigenschaft: für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n ist der Grad von a m hoch n gleich der Potenz der Zahl a mit dem Exponenten m · n, also (am) n = am · n.
Beispiel: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6.
Der Beweis der Eigenschaft von Grad zu Grad ist die folgende Gleichungskette: 
.
Die betrachtete Eigenschaft kann von Grad zu Grad zu Grad usw. erweitert werden. Zum Beispiel gilt für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit 
... Zur Verdeutlichung hier ein Beispiel mit bestimmten Zahlen: (((5.2) 3) 2) 5 = (5.2) 3 + 2 + 5 = (5.2) 10.
Es bleibt noch auf die Eigenschaften des Gradvergleichs mit einem natürlichen Exponenten einzugehen.
Beginnen wir damit, die Eigenschaft des Vergleichs von Null und Grad mit dem natürlichen Exponenten zu beweisen.
Zeigen wir zunächst, dass a n > 0 für jedes a > 0 ist.
Das Produkt zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl, die sich aus der Definition der Multiplikation ergibt. Diese Tatsache und die Eigenschaften der Multiplikation erlauben es zu behaupten, dass das Ergebnis der Multiplikation beliebig vieler positiver Zahlen auch eine positive Zahl sein wird. Und der Grad einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist per Definition das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Diese Argumente erlauben uns zu behaupten, dass für jede positive Basis a der Grad a n eine positive Zahl ist. Aufgrund der bewiesenen Eigenschaft 3 5> 0, (0.00201) 2> 0 und 
.
Es ist ganz offensichtlich, dass für jedes natürliche n für a = 0 der Grad von a n null ist. Tatsächlich ist 0 n = 0 · 0 ·… · 0 = 0. Zum Beispiel 0 3 = 0 und 0 762 = 0.
Weiter zu negativen Basen des Abschlusses.
Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent eine gerade Zahl ist, bezeichnen wir ihn als 2 · m, wobei m eine natürliche Zahl ist. Dann 
... Nach der Multiplikationsregel negativer Zahlen ist jedes der Produkte der Form a · a gleich dem Produkt der Absolutwerte der Zahlen a und a, was bedeutet, dass es sich um eine positive Zahl handelt. Daher ist das Produkt 
und der Grad a 2 m. Hier einige Beispiele: (−6) 4> 0, (−2,2) 12> 0 und.
Ist schließlich die Basis des Exponenten a negativ und der Exponent eine ungerade Zahl 2 m − 1, dann 
... Alle Produkte a · a sind positive Zahlen, das Produkt dieser positiven Zahlen ist ebenfalls positiv und multipliziert mit der restlichen negativen Zahl a ergibt eine negative Zahl. Aufgrund dieser Eigenschaft ist (−5) 3 17 n n das Produkt der linken und rechten Seite von n wahren Ungleichungen a Eigenschaften von Ungleichungen gilt auch die bewiesene Ungleichung der Form a n n. Aufgrund dieser Eigenschaft sind beispielsweise die Ungleichungen 3 7 7 und 
.
Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten zu beweisen. Lassen Sie es uns formulieren. Von zwei Graden mit natürlichen Indikatoren und denselben positiven Basen, weniger als eins, ist der Grad größer, dessen Indikator kleiner ist; und von zwei Graden mit natürlichen Indikatoren und denselben Basen, größer als eins, desto größer ist der Grad, dessen Indikator größer ist. Wir gehen zum Beweis dieser Eigenschaft über.
Beweisen wir für m> n und 0m n. Schreiben Sie dazu die Differenz a m - a n auf und vergleichen Sie sie mit Null. Die aufgezeichnete Differenz nach dem Platzieren von a n außerhalb der Klammern hat die Form a n · (am − n −1). Das resultierende Produkt ist negativ als Produkt einer positiven Zahl an und einer negativen Zahl am − n −1 (an ist positiv als natürliche Potenz einer positiven Zahl, und die Differenz am − n −1 ist negativ, da m − n > 0 wegen der Anfangsbedingung m> n, woraus folgt, dass bei 0m − n kleiner als Eins ist). Daher a m - a n m n, wie erforderlich. Als Beispiel geben wir die richtige Ungleichung an.
Es bleibt der zweite Teil der Eigenschaft zu beweisen. Zeigen wir, dass a m> a n für m> n und a> 1 gilt. Die Differenz a m - a n nimmt nach dem Platzieren von a n außerhalb der Klammern die Form a n · (a m − n −1) an. Dieses Produkt ist positiv, da für a> 1 der Grad von an eine positive Zahl ist und die Differenz am − n −1 eine positive Zahl ist, da m − n> 0 aufgrund der Anfangsbedingung und für a> 1 der Grad von am − n ist größer als eins ... Daher gilt je nach Bedarf a m – a n > 0 und a m > a n. Diese Eigenschaft wird durch die Ungleichung 3 7> 3 2 veranschaulicht.
Gradeigenschaften mit ganzzahligen Exponenten
Da positive ganze Zahlen natürliche Zahlen sind, stimmen alle Eigenschaften von Graden mit positiven ganzzahligen Exponenten genau mit den Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten überein, die im vorherigen Abschnitt aufgelistet und bewiesen wurden.
Den Grad mit einem negativen ganzzahligen Exponenten sowie einen Grad mit einem Null-Exponenten haben wir so bestimmt, dass alle Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten, ausgedrückt durch Gleichheiten, wahr blieben. Daher gelten alle diese Eigenschaften sowohl für Null-Exponenten als auch für negative Exponenten, während die Basen der Exponenten natürlich von Null verschieden sind.
Für alle reellen und von Null verschiedenen Zahlen a und b sowie für alle ganzen Zahlen m und n gilt also: Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten:
Für a = 0 machen die Grade a m und a n nur dann Sinn, wenn sowohl m als auch n positive ganze Zahlen sind, also natürliche Zahlen. Somit gelten die eben niedergeschriebenen Eigenschaften auch für die Fälle, in denen a = 0 ist und die Zahlen m und n positive ganze Zahlen sind.
Es ist nicht schwer, jede dieser Eigenschaften zu beweisen, dafür reicht es aus, die Definitionen des Grades mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten sowie die Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen zu verwenden. Lassen Sie uns als Beispiel beweisen, dass die Eigenschaft von Grad zu Grad sowohl für positive als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Dazu muss gezeigt werden, dass wenn p null oder eine natürliche Zahl ist und q null oder eine natürliche Zahl ist, dann die Gleichungen (ap) q = ap q, (a - p) q = a (−p) q, (ap ) −q = ap (−q) und (a −p) −q = a (−p) (−q). Lass es uns tun.
Für positive p und q wurde im vorigen Unterabschnitt die Gleichheit (a p) q = a p q bewiesen. Wenn p = 0, dann haben wir (a 0) q = 1 q = 1 und a 0 q = a 0 = 1, daher (a 0) q = a 0 q. Wenn q = 0 ist, dann ist (a p) 0 = 1 und a p · 0 = a 0 = 1, woraus (a p) 0 = a p · 0. Wenn sowohl p = 0 als auch q = 0 sind, dann (a 0) 0 = 1 0 = 1 und a 0 0 = a 0 = 1, daher (a 0) 0 = a 0 0.
Beweisen wir nun, dass (a - p) q = a (- p) q ist. Nach Definition eines Grades mit einem ganzzahligen negativen Exponenten ist dann 
... Nach der Eigenschaft des Quotienten in Potenz gilt 
... Da 1 p = 1 · 1 ·… · 1 = 1 und dann. Der letzte Ausdruck ist per Definition eine Potenz der Form a - (p q), die aufgrund der Multiplikationsregeln als a (−p) q geschrieben werden kann.
Gleichfalls 
.
UND 
.
Nach dem gleichen Prinzip kann man alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten, geschrieben in Form von Gleichungen, beweisen.
In der vorletzten der geschriebenen Eigenschaften lohnt es sich, auf den Beweis der Ungleichung a - n> b - n einzugehen, die für jede negative ganze Zahl −n und alle positiven a und b gilt, für die die Bedingung a ... Wir schreiben und transformieren die Differenz zwischen der linken und rechten Seite dieser Ungleichung: 
... Da nach Bedingung a n n, daher b n - a n > 0. Das Produkt a n · b n ist auch als Produkt positiver Zahlen a n und b n positiv. Dann ist der resultierende Bruch als Quotient der positiven Zahlen b n - a n und a n · b n positiv. Daher gilt a - n > b - n, wie erforderlich.
Die letzte Eigenschaft von Graden mit ganzzahligen Exponenten wird auf die gleiche Weise bewiesen wie die analoge Eigenschaft von Graden mit natürlichen Exponenten.
Eigenschaften von Graden mit rationalen Exponenten
Wir haben einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten bestimmt, indem wir die Eigenschaften eines Grads mit einem ganzen Exponenten erweitert haben. Mit anderen Worten haben gebrochene Exponenten dieselben Eigenschaften wie ganzzahlige Exponenten. Nämlich:
- Eigenschaft des Produkts von Graden mit gleicher Basis
für a> 0, und wenn u, dann für a≥0; - Eigentum von privaten Graden mit den gleichen Grundlagen
für a > 0; - Bruchprodukteigenschaft
für a > 0 und b > 0, und wenn und, dann für a 0 und (oder) b 0; - Brucheigenschaft
für a > 0 und b > 0, und wenn, dann für a ≥ 0 und b > 0; - Eigenschaft von Grad zu Grad
für a> 0, und wenn u, dann für a≥0; - die Eigenschaft, Grade mit gleichen rationalen Exponenten zu vergleichen: für alle positiven Zahlen a und b gilt a 0 ist die Ungleichung a p p wahr, und für p p > b p;
- die Eigenschaft, Grade mit rationalen Exponenten und gleichen Basen zu vergleichen: für rationale Zahlen p und q ist p> q für 0p q und für a> 0 die Ungleichung a p> a q.
- a p a q = a p + q;
- a p: a q = a p − q;
- (a b) p = a p b p;
- (a: b) p = a p: b p;
- (a p) q = a p q;
- für beliebige positive Zahlen a und b, a 0 ist die Ungleichung a p p wahr, und für p p > b p;
- für irrationale Zahlen p und q gilt p > q für 0p q und für a > 0 gilt die Ungleichung a p > a q.
Der Beweis der Eigenschaften von Graden mit gebrochenem Exponenten beruht auf der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten, auf den Eigenschaften der arithmetischen Wurzel des n-ten Grades und auf den Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten. Hier sind die Beweise.
Nach Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten und dann 
... Die Eigenschaften der arithmetischen Wurzel erlauben uns, die folgenden Gleichungen zu schreiben. Weiterhin erhalten wir unter Verwendung der Eigenschaft eines Grades mit ganzzahligem Exponenten, woraus nach der Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten 
, und der Exponent des erhaltenen Grades kann wie folgt transformiert werden:. Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Die zweite Eigenschaft von Graden mit gebrochenen Exponenten wird genauso bewiesen: 
Andere Gleichheiten werden nach ähnlichen Prinzipien bewiesen: 
Wir gehen zum Beweis der folgenden Eigenschaft über. Zeigen wir, dass für jedes positive a und b a 0 gilt die Ungleichung a p p, und für p p > b p. Wir schreiben die rationale Zahl p als m / n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Die Bedingungen p 0 entsprechen in diesem Fall jeweils den Bedingungen m 0 . Für m > 0 und am m. Aus dieser Ungleichung haben wir durch die Eigenschaft der Wurzeln, und da a und b positive Zahlen sind, basierend auf der Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten, kann die resultierende Ungleichung umgeschrieben werden als a p p.
In ähnlicher Weise gilt für m m > b m, d. h., und a p > b p.
Es bleibt die letzte der aufgeführten Eigenschaften zu beweisen. Zeigen wir, dass für rationale Zahlen p und q p > q für 0p q und für a > 0 die Ungleichung a p > a q ist. Wir können die rationalen Zahlen p und q immer auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten gewöhnliche Brüche und, wobei m 1 und m 2 ganze Zahlen sind und n natürlich ist. In diesem Fall entspricht die Bedingung p > q der Bedingung m 1 > m 2, die aus der Regel zum Vergleich von gewöhnlichen Brüchen mit gleichen Nennern folgt. Durch die Eigenschaft, Grade mit denselben Basen und natürlichen Exponenten zu vergleichen, gilt für 0m 1 m 2 und für a > 1 die Ungleichung a m 1 > a m 2. Diese Ungleichungen bezüglich der Eigenschaften der Wurzeln können entsprechend umgeschrieben werden als 
und 
... Und die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten ermöglicht es Ihnen, zu Ungleichungen bzw. zu gehen. Daraus ziehen wir die letzte Schlussfolgerung: für p> q und 0p q und für a> 0 gilt die Ungleichung a p> a q.
Gradeigenschaften mit irrationalen Exponenten
Aus der Definition eines Grades mit irrationalem Exponenten können wir schließen, dass er alle Eigenschaften von Graden mit rationalem Exponenten besitzt. Für beliebige a> 0, b> 0 und irrationale Zahlen p und q gilt also: Eigenschaften von Graden mit irrationalen Exponenten:
Daraus können wir schließen, dass Grade mit beliebigen reellen Exponenten p und q für a> 0 die gleichen Eigenschaften haben.
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