X ist eine gerade und ungerade Funktion. Gerade und ungerade Funktionen. Periodische Funktionen. Untersuchung einer Funktion zu einem Extremum

Gerade und ungerade Funktionen sind eine seiner Haupteigenschaften, und Parität nimmt einen beeindruckenden Teil des Schulunterrichts in Mathematik ein. Es bestimmt weitgehend die Art des Verhaltens der Funktion und erleichtert die Konstruktion des entsprechenden Diagramms erheblich.

Definieren wir die Parität der Funktion. Im Allgemeinen wird die untersuchte Funktion auch dann berücksichtigt, wenn für entgegengesetzte Werte der unabhängigen Variablen (x), die sich in ihrem Bereich befindet, die entsprechenden Werte von y (Funktion) gleich sind.

Lassen Sie uns eine strengere Definition geben. Betrachten Sie eine Funktion f (x), die im Definitionsbereich D definiert ist. Sie ist gerade, wenn für jeden Punkt x im Definitionsbereich gilt:

• -x (gegenüberliegender Punkt) liegt ebenfalls im angegebenen Bereich,

• f(-x) = f(x).

Aus der obigen Definition folgt die für den Definitionsbereich einer solchen Funktion notwendige Bedingung, nämlich Symmetrie in Bezug auf den Punkt O, der den Koordinatenursprung darstellt, denn wenn ein Punkt b im Definitionsbereich einer geraden Funktion enthalten ist, dann liegt auch der entsprechende Punkt – b in diesem Bereich. Aus dem Vorstehenden folgt daher die Schlussfolgerung: Eine gerade Funktion hat eine Form, die bezüglich der Ordinatenachse (Oy) symmetrisch ist.

Wie kann man die Parität einer Funktion in der Praxis bestimmen?

Gegeben sei es mit der Formel h(x)=11^x+11^(-x). In Anlehnung an den Algorithmus, der sich direkt aus der Definition ergibt, untersuchen wir zunächst seinen Definitionsbereich. Offensichtlich ist es für alle Werte des Arguments definiert, d. h. die erste Bedingung ist erfüllt.

Der nächste Schritt besteht darin, das Argument (x) durch seinen entgegengesetzten Wert (-x) zu ersetzen.
Wir bekommen:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Da die Addition das kommutative (Verschiebungs-)Gesetz erfüllt, ist es offensichtlich, dass h(-x) = h(x) und die gegebene funktionale Abhängigkeit gerade ist.

Überprüfen wir die Gleichmäßigkeit der Funktion h(x)=11^x-11^(-x). Wenn wir dem gleichen Algorithmus folgen, erhalten wir h(-x) = 11^(-x) -11^x. Wenn wir das Minus herausnehmen, haben wir das Ergebnis
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Daher ist h(x) ungerade.

Übrigens sei daran erinnert, dass es Funktionen gibt, die nach diesen Kriterien nicht klassifiziert werden können, sie heißen weder gerade noch ungerade.

Sogar Funktionen haben eine Reihe interessanter Eigenschaften:

• durch Addition ähnlicher Funktionen erhält man eine gerade Funktion;
• als Ergebnis der Subtraktion solcher Funktionen erhält man eine gerade;
• gerade, auch gerade;
• als Ergebnis der Multiplikation zweier solcher Funktionen erhält man eine gerade Funktion;
• als Ergebnis der Multiplikation ungerader und gerader Funktionen erhält man eine ungerade;
• als Ergebnis der Division der ungeraden und geraden Funktionen erhält man eine ungerade;
• die Ableitung einer solchen Funktion ist ungerade;
• Wenn wir eine ungerade Funktion quadrieren, erhalten wir eine gerade Funktion.

Die Parität einer Funktion kann zum Lösen von Gleichungen verwendet werden.

Um eine Gleichung wie g(x) = 0 zu lösen, bei der die linke Seite der Gleichung eine gerade Funktion ist, reicht es völlig aus, ihre Lösung für nicht negative Werte der Variablen zu finden. Die erhaltenen Wurzeln der Gleichung müssen mit entgegengesetzten Zahlen kombiniert werden. Einer davon unterliegt der Überprüfung.

Dasselbe wird erfolgreich verwendet, um nicht standardmäßige Probleme mit einem Parameter zu lösen.

Gibt es beispielsweise einen Wert für den Parameter a, der dafür sorgen würde, dass die Gleichung 2x^6-x^4-ax^2=1 drei Wurzeln hat?

Wenn wir berücksichtigen, dass die Variable in geraden Potenzen in die Gleichung eingeht, ist es klar, dass das Ersetzen von x durch -x die gegebene Gleichung nicht ändert. Daraus folgt: Wenn eine bestimmte Zahl ihre Wurzel ist, dann ist dies auch die entgegengesetzte Zahl. Die Schlussfolgerung liegt auf der Hand: Die von Null verschiedenen Wurzeln der Gleichung sind in der Menge ihrer Lösungen in „Paaren“ enthalten.

Es ist klar, dass die Zahl 0 selbst nicht 0 ist, das heißt, die Anzahl der Wurzeln einer solchen Gleichung kann nur gerade sein und natürlich kann sie für keinen Wert des Parameters drei Wurzeln haben.

Aber die Anzahl der Wurzeln der Gleichung 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kann ungerade sein, und zwar für jeden Wert des Parameters. Tatsächlich lässt sich leicht überprüfen, ob die Wurzelmenge einer gegebenen Gleichung Lösungen in „Paaren“ enthält. Lassen Sie uns prüfen, ob 0 eine Wurzel ist. Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir 2=2. Somit gibt es neben der „gepaarten“ 0 auch eine Wurzel, die ihre ungerade Zahl beweist.

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Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und spiegelt möglicherweise nicht den gesamten Umfang der Präsentation wider. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Ziele:

• das Konzept gerader und ungerader Funktionen zu bilden, die Fähigkeit zu lehren, diese Eigenschaften beim Studium von Funktionen und beim Plotten zu bestimmen und zu verwenden;
• die kreative Aktivität der Schüler, das logische Denken, die Fähigkeit zum Vergleichen und Verallgemeinern zu entwickeln;
• Fleiß und mathematische Kultur pflegen; Kommunikationsfähigkeiten entwickeln .

Ausrüstung: Multimedia-Installation, interaktives Whiteboard, Handouts.

Arbeitsformen: Frontal und Gruppe mit Elementen von Such- und Forschungsaktivitäten.

Informationsquellen:

1. Algebra-Klasse 9 A.G. Mordkovich. Lehrbuch.
2. Algebra Klasse 9 A.G. Mordkovich. Aufgabenbuch.
3. Algebra Klasse 9. Aufgaben zum Lernen und zur Entwicklung der Schüler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

WÄHREND DES UNTERRICHTS

1. Organisatorischer Moment

Festlegung von Zielen und Zielen für den Unterricht.

2. Hausaufgaben überprüfen

Nr. 10.17 (Aufgabenbuch 9. Klasse A.G. Mordkovich).

A) bei = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 für X ~ 0,4
4. F(X) >0 bei X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Die Funktion wächst mit X € [– 2; + ∞)
6. Die Funktion ist von unten eingeschränkt.
7. bei Miete = - 3, bei Naib existiert nicht
8. Die Funktion ist stetig.

(Haben Sie den Feature-Explorations-Algorithmus verwendet?) Gleiten.

2. Sehen wir uns die Tabelle an, nach der Sie auf der Folie gefragt wurden.

Füllen Sie die Tabelle aus
	Domain	Funktionsnullstellen	Konstanzintervalle		Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Wissensaktualisierung

– Funktionen sind vorgegeben.
– Geben Sie den Definitionsbereich für jede Funktion an.
– Vergleichen Sie den Wert jeder Funktion für jedes Paar von Argumentwerten: 1 und – 1; 2 und - 2.
– Für welche der gegebenen Funktionen im Definitionsbereich gelten die Gleichungen? F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (Tragen Sie die Daten in die Tabelle ein) Gleiten

4. Neues Material

- Bei dieser Arbeit, Leute, haben wir eine weitere Eigenschaft der Funktion entdeckt, die euch unbekannt ist, aber nicht weniger wichtig als die anderen – das ist die Gleichmäßigkeit und Seltsamkeit der Funktion. Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Gerade und ungerade Funktionen“. Unsere Aufgabe ist es, zu lernen, wie man gerade und ungerade Funktionen bestimmt, und die Bedeutung dieser Eigenschaft beim Studium von Funktionen und beim Zeichnen herauszufinden.
Also suchen wir die Definitionen im Lehrbuch und lesen (S. 110) . Gleiten

Def. 1 Funktion bei = F (X), definiert auf der Menge X, heißt selbst, falls für irgendeinen Wert XЄ X in Bearbeitung Gleichheit f (–x) = f (x). Nenne Beispiele.

Def. 2 Funktion y = f(x), definiert auf der Menge X heißt seltsam, falls für irgendeinen Wert XЄ X die Gleichheit f(–х)= –f(х) ist erfüllt. Nenne Beispiele.

Wo sind uns die Begriffe „gerade“ und „ungerade“ begegnet?
Welche dieser Funktionen wird Ihrer Meinung nach gerade sein? Warum? Welche sind seltsam? Warum?
Für jede Funktion des Formulars bei= x n, Wo N eine ganze Zahl ist, kann man argumentieren, dass die Funktion ungerade ist N ist ungerade und die Funktion ist gerade für N- selbst.
– Funktionen anzeigen bei= und bei = 2X– 3 ist weder gerade noch ungerade, weil Gleichberechtigungen sind nicht gegeben F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Die Untersuchung der Frage, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, wird als Untersuchung einer Funktion auf Parität bezeichnet. Gleiten

Die Definitionen 1 und 2 befassten sich mit den Werten der Funktion bei x und - x, daher wird davon ausgegangen, dass die Funktion auch bei dem Wert definiert ist X, und bei - X.

ODA 3. Wenn eine Zahlenmenge zusammen mit jedem ihrer Elemente x das entgegengesetzte Element x enthält, dann ist die Menge X heißt symmetrische Menge.

Beispiele:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sind symmetrische Mengen und , [–5;4] sind unsymmetrisch.

- Haben gerade Funktionen einen Definitionsbereich – eine symmetrische Menge? Die seltsamen?
- Wenn D( F) ist eine asymmetrische Menge, was ist dann die Funktion?
– Also, wenn die Funktion bei = F(X) gerade oder ungerade ist, dann ist sein Definitionsbereich D( F) ist eine symmetrische Menge. Aber ist das Gegenteil der Fall, wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine symmetrische Menge ist, dann ist sie gerade oder ungerade?
- Das Vorhandensein einer symmetrischen Menge des Definitionsbereichs ist also eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung.
– Wie können wir also die Funktion auf Parität untersuchen? Versuchen wir, einen Algorithmus zu schreiben.

Gleiten

Algorithmus zur Prüfung einer Funktion auf Parität

1. Bestimmen Sie, ob der Bereich der Funktion symmetrisch ist. Wenn nicht, ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Wenn ja, fahren Sie mit Schritt 2 des Algorithmus fort.

2. Schreiben Sie einen Ausdruck für F(–X).

3. Vergleichen F(–X).Und F(X):

• Wenn F(–X).= F(X), dann ist die Funktion gerade;
• Wenn F(–X).= – F(X), dann ist die Funktion ungerade;
• Wenn F(–X) ≠ F(X) Und F(–X) ≠ –F(X), dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

Beispiele:

Untersuchen Sie die Funktion auf Parität a) bei= x 5 +; B) bei= ; V) bei= .

Lösung.

a) h (x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrische Menge.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e Funktion h(x)= x 5 + ungerade.

b) y =,

bei = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetrische Menge, daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

V) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Option 2

1. Ist die gegebene Menge symmetrisch: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

Gegenseitige Kontrolle gleiten.

6. Hausaufgaben: №11.11, 11.21,11.22;

Beweis der geometrischen Bedeutung der Paritätseigenschaft.

*** (Zuweisung der USE-Option).

1. Die ungerade Funktion y \u003d f (x) ist auf der gesamten reellen Linie definiert. Für jeden nicht negativen Wert der Variablen x stimmt der Wert dieser Funktion mit dem Wert der Funktion g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Finden Sie den Wert der Funktion h( X) = bei X = 3.

7. Zusammenfassung

Definition 1. Die Funktion wird aufgerufen selbst (seltsam ), wenn zusammen mit jedem Wert der Variablen
Bedeutung - X gehört auch dazu
und die Gleichheit

Daher kann eine Funktion nur dann gerade oder ungerade sein, wenn ihr Definitionsbereich symmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung auf der reellen Linie (Zahlen) ist X Und - X gehören gleichzeitig dazu
). Zum Beispiel die Funktion
ist weder gerade noch ungerade, da es sich um einen Definitionsbereich handelt
nicht symmetrisch zum Ursprung.

Funktion
sogar, weil
symmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung und.

Funktion
seltsam, weil
Und
.

Funktion
ist weder gerade noch ungerade, da obwohl
und symmetrisch zum Ursprung ist, sind die Gleichungen (11.1) nicht erfüllt. Zum Beispiel,.

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Achse OU, da wenn der Punkt

gehört ebenfalls zur Grafik. Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, denn wenn
zum Graphen gehört, dann der Punkt
gehört ebenfalls zur Grafik.

Beim Nachweis, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, sind die folgenden Aussagen hilfreich.

Satz 1. a) Die Summe zweier gerader (ungerade) Funktionen ist eine gerade (ungerade) Funktion.

b) Das Produkt zweier gerader (ungerade) Funktionen ist eine gerade Funktion.

c) Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.

d) Wenn F ist eine gerade Funktion am Set X, und die Funktion G am Set definiert
, dann die Funktion
- selbst.

e) Wenn F ist eine seltsame Funktion auf der Menge X, und die Funktion G am Set definiert
und gerade (ungerade), dann die Funktion
- gerade ungerade).

Nachweisen. Beweisen wir zum Beispiel b) und d).

b) Sei
Und
sind gerade Funktionen. Dann also. Der Fall ungerader Funktionen wird ähnlich betrachtet
Und
.

d) Lass F ist eine gerade Funktion. Dann.

Die anderen Aussagen des Theorems werden auf ähnliche Weise bewiesen. Der Satz ist bewiesen.

Satz 2. Jede Funktion
, am Set definiert X, die bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist, kann als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt werden.

Nachweisen. Funktion
kann in das Formular geschrieben werden

.

Funktion
ist gerade, da
, und die Funktion
ist seltsam, weil. Auf diese Weise,
, Wo
- sogar, und
ist eine seltsame Funktion. Der Satz ist bewiesen.

Definition 2. Funktion
genannt Zeitschrift wenn es eine Zahl gibt
, so dass für jeden
Zahlen
Und
gehören ebenfalls zum Bereich der Definition
und die Gleichheiten

So eine Zahl T genannt Zeitraum Funktionen
.

Definition 1 impliziert, dass wenn T– Funktionszeitraum
, dann die Zahl T Dasselbe ist die Periode der Funktion
(weil beim Ersetzen T An - T Gleichberechtigung bleibt gewahrt). Mit der Methode der mathematischen Induktion lässt sich zeigen, dass wenn T– Funktionszeitraum F, dann und
ist auch ein Punkt. Daraus folgt: Wenn eine Funktion eine Periode hat, dann hat sie unendlich viele Perioden.

Definition 3. Die kleinste der positiven Perioden einer Funktion wird als ihre bezeichnet hauptsächlich Zeitraum.

Satz 3. Wenn T ist die Hauptperiode der Funktion F, dann sind die verbleibenden Perioden Vielfache davon.

Nachweisen. Nehmen Sie das Gegenteil an, das heißt, es gibt einen Punkt Funktionen F (>0), nicht mehrfach T. Dann teilen An T mit dem Rest erhalten wir
, Wo
. Deshalb

also – Funktionszeitraum F, Und
, was der Tatsache widerspricht, dass T ist die Hauptperiode der Funktion F. Die Behauptung des Satzes folgt aus dem erhaltenen Widerspruch. Der Satz ist bewiesen.

Es ist allgemein bekannt, dass trigonometrische Funktionen periodisch sind. Hauptperiode
Und
gleicht
,
Und
. Finden Sie die Periode der Funktion
. Lassen
ist die Periode dieser Funktion. Dann

(als
.

ororor
.

Bedeutung T, bestimmt aus der ersten Gleichheit, kann kein Punkt sein, da es davon abhängt X, d.h. ist eine Funktion von X, keine konstante Zahl. Der Zeitraum wird aus der zweiten Gleichheit bestimmt:
. Es gibt unendlich viele Perioden
Die kleinste positive Periode wird erhalten, wenn
:
. Dies ist die Hauptperiode der Funktion
.

Ein Beispiel für eine komplexere periodische Funktion ist die Dirichlet-Funktion

Beachten Sie, dass wenn T ist dann eine rationale Zahl
Und
sind rationale Zahlen unter rational X und irrational, wenn irrational X. Deshalb

für jede rationale Zahl T. Daher jede rationale Zahl T ist die Periode der Dirichlet-Funktion. Es ist klar, dass diese Funktion keine Hauptperiode hat, da es positive rationale Zahlen gibt, die beliebig nahe bei Null liegen (z. B. kann eine rationale Zahl durch Wählen erstellt werden). N willkürlich nahe Null).

Satz 4. Wenn Funktion F am Set eingestellt X und hat einen Punkt T, und die Funktion G am Set eingestellt
, dann die komplexe Funktion
hat auch einen Punkt T.

Nachweisen. Wir haben daher

das heißt, die Behauptung des Theorems ist bewiesen.

Zum Beispiel seit cos X hat einen Punkt
, dann die Funktionen
eine Periode haben
.

Definition 4. Es werden Funktionen aufgerufen, die nicht periodisch sind Nicht periodisch .

Funktionsforschung.

1) D(y) – Definitionsbereich: die Menge aller Werte der Variablen x. unter denen die algebraischen Ausdrücke f(x) und g(x) einen Sinn ergeben.

Ist die Funktion durch eine Formel gegeben, dann besteht der Definitionsbereich aus allen Werten der unabhängigen Variablen, für die die Formel sinnvoll ist.

2) Funktionseigenschaften: gerade/ungerade, Periodizität:

seltsam Und selbst werden Funktionen genannt, deren Graphen bezüglich der Änderung des Vorzeichens des Arguments symmetrisch sind.

komische Funktion- eine Funktion, die den Wert ins Gegenteil ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert (symmetrisch zum Koordinatenmittelpunkt).

Gleiche Funktion- eine Funktion, die ihren Wert nicht ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert (symmetrisch zur y-Achse).

Weder gerade noch ungerade Funktion (allgemeine Funktion) ist eine Funktion, die keine Symmetrie aufweist. Diese Kategorie umfasst Funktionen, die nicht unter die beiden vorherigen Kategorien fallen.

Es werden Funktionen aufgerufen, die keiner der oben genannten Kategorien angehören weder gerade noch ungerade(oder generische Funktionen).

Seltsame Funktionen

Eine ungerade Potenz, bei der es sich um eine beliebige ganze Zahl handelt.

Sogar Funktionen

Eine gerade Potenz, bei der es sich um eine beliebige ganze Zahl handelt.

Periodische Funktion ist eine Funktion, die ihre Werte in einem regelmäßigen Intervall des Arguments wiederholt, d. h. ihren Wert nicht ändert, wenn dem Argument eine feste Zahl ungleich Null hinzugefügt wird ( Zeitraum Funktionen) über den gesamten Definitionsbereich.

3) Nullstellen (Wurzeln) einer Funktion sind die Punkte, an denen sie verschwindet.

Ermitteln des Schnittpunkts des Diagramms mit der Achse Oy. Dazu müssen Sie den Wert berechnen F(0). Finden Sie auch die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse Ochse, warum die Wurzeln der Gleichung finden? F(X) = 0 (oder stellen Sie sicher, dass keine Wurzeln vorhanden sind).

Die Punkte, an denen der Graph die Achse schneidet, werden aufgerufen Funktionsnullstellen. Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die Gleichung lösen, also finden diese x-Werte, für die die Funktion verschwindet.

4) Intervalle der Zeichenkonstanz, Zeichen darin.

Intervalle, in denen die Funktion f(x) ihr Vorzeichen behält.

Das Konstanzintervall ist das Intervall an jedem Punkt, an dem Funktion ist positiv oder negativ.

ÜBER der x-Achse.

UNTER der Achse.

5) Kontinuität (Diskontinuitätspunkte, Charakter der Diskontinuität, Asymptoten).

kontinuierliche Funktion- eine Funktion ohne „Sprünge“, d. h. eine Funktion, bei der kleine Änderungen im Argument zu kleinen Änderungen im Wert der Funktion führen.

Abnehmbare Haltepunkte

Wenn der Grenzwert der Funktion existiert, aber die Funktion ist zu diesem Zeitpunkt noch nicht definiert, oder der Grenzwert stimmt zu diesem Zeitpunkt nicht mit dem Wert der Funktion überein:

,

dann heißt der Punkt Bruchpunkt Funktionen (in der komplexen Analyse ein entfernbarer singulärer Punkt).

Wenn wir die Funktion an der Stelle einer entfernbaren Diskontinuität „korrigieren“ und setzen , dann erhalten wir eine Funktion, die an dieser Stelle stetig ist. Eine solche Operation an einer Funktion wird aufgerufen Erweiterung der Funktion auf kontinuierlich oder Erweiterung der Funktion durch Stetigkeit, was den Namen des Punktes rechtfertigt, als Punkte verfügbar Lücke.

Unstetigkeitsstellen erster und zweiter Art

Wenn die Funktion an einem bestimmten Punkt eine Diskontinuität aufweist (d. h. der Grenzwert der Funktion an einem bestimmten Punkt fehlt oder nicht mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt übereinstimmt), gibt es für numerische Funktionen zwei mögliche Optionen im Zusammenhang mit der Existenz numerischer Funktionen einseitige Grenzen:

wenn beide einseitigen Grenzen existieren und endlich sind, dann heißt ein solcher Punkt Bruchstelle erster Art. Entfernbare Unstetigkeitsstellen sind Unstetigkeitsstellen erster Art;

Wenn mindestens einer der einseitigen Grenzen nicht existiert oder kein endlicher Wert ist, dann heißt ein solcher Punkt Bruchstelle zweiter Art.

Asymptote - gerade, der die Eigenschaft hat, dass der Abstand von einem Punkt der Kurve zu diesem ist gerade tendiert gegen Null, wenn sich der Punkt entlang des Zweigs ins Unendliche bewegt.

Vertikale

Vertikale Asymptote - Grenzlinie .

Bei der Bestimmung der vertikalen Asymptote wird in der Regel nicht nach einer Grenze gesucht, sondern nach zwei einseitigen (links und rechts). Dies geschieht, um zu bestimmen, wie sich die Funktion verhält, wenn sie sich der vertikalen Asymptote aus verschiedenen Richtungen nähert. Zum Beispiel:

Horizontal

Horizontale Asymptote - gerade Arten, die der Existenz unterliegen Grenze

.

schräg

Schräge Asymptote - gerade Arten, die der Existenz unterliegen Grenzen

Hinweis: Eine Funktion kann nicht mehr als zwei schräge (horizontale) Asymptoten haben.

Hinweis: Wenn mindestens einer der beiden oben genannten Grenzwerte nicht existiert (oder gleich ist), dann existiert die schräge Asymptote bei (oder ) nicht.

wenn in Punkt 2.), dann , und der Grenzwert wird durch die horizontale Asymptotenformel gefunden, .

6) Finden von Intervallen der Monotonie. Finden Sie Monotonieintervalle einer Funktion F(X) (d. h. Intervalle der Zunahme und Abnahme). Dies geschieht durch Prüfung des Vorzeichens der Ableitung F(X). Finden Sie dazu die Ableitung F(X) und löse die Ungleichung F(X)0. Auf den Intervallen, in denen diese Ungleichung erfüllt ist, ist die Funktion F(X) erhöht sich. Wobei die umgekehrte Ungleichung gilt F(X)0, Funktion F(X) nimmt ab.

Finden eines lokalen Extremums. Nachdem wir die Intervalle der Monotonie gefunden haben, können wir sofort die Punkte eines lokalen Extremums bestimmen, an denen die Zunahme durch eine Abnahme ersetzt wird, es gibt lokale Maxima und an denen die Abnahme durch eine Zunahme ersetzt wird, lokale Minima. Berechnen Sie den Wert der Funktion an diesen Punkten. Wenn eine Funktion kritische Punkte hat, die keine lokalen Extrempunkte sind, ist es sinnvoll, den Wert der Funktion auch an diesen Punkten zu berechnen.

Ermitteln des größten und kleinsten Wertes der Funktion y = f(x) auf einem Segment(Fortsetzung)

7) Finden von Konvexitäts- und Konkavitätsintervallen. Dies geschieht durch Untersuchung des Vorzeichens der zweiten Ableitung F(X). Finden Sie die Wendepunkte an den Schnittstellen der konvexen und konkaven Intervalle. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Wendepunkten. Wenn die Funktion andere Kontinuitätspunkte (außer Wendepunkten) hat, an denen die zweite Ableitung gleich 0 ist oder nicht existiert, dann ist es auch an diesen Punkten sinnvoll, den Wert der Funktion zu berechnen. Finden F(X) lösen wir die Ungleichung F(X)0. In jedem Lösungsintervall ist die Funktion abwärtskonvex. Lösen der umgekehrten Ungleichung F(X)0 finden wir die Intervalle, in denen die Funktion nach oben konvex (also konkav) ist. Wir definieren Wendepunkte als jene Punkte, an denen die Funktion die Konvexitätsrichtung ändert (und stetig ist).

Wendepunkt der Funktion- Dies ist der Punkt, an dem die Funktion stetig ist und bei dessen Durchlauf die Funktion die Konvexitätsrichtung ändert.

Existenzbedingungen

Notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes: Wenn die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes zweimal differenzierbar ist, dann entweder .

Gleiche Funktion.

Selbst Eine Funktion, deren Vorzeichen sich bei einer Vorzeichenänderung nicht ändert, wird aufgerufen X.

X Gleichwertigkeit F(–X) = F(X). Zeichen X hat keinen Einfluss auf das Vorzeichen j.

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die Koordinatenachse (Abb. 1).

Sogar Funktionsbeispiele:

j= cos X

j = X 2

j = –X 2

j = X 4

j = X 6

j = X 2 + X

Erläuterung:
Nehmen wir eine Funktion j = X 2 oder j = –X 2 .
Für jeden Wert X Die Funktion ist positiv. Zeichen X hat keinen Einfluss auf das Vorzeichen j. Der Graph ist symmetrisch zur Koordinatenachse. Dies ist eine gerade Funktion.

komische Funktion.

seltsam ist eine Funktion, deren Vorzeichen sich ändert, wenn das Vorzeichen geändert wird X.

Mit anderen Worten, für jeden Wert X Gleichwertigkeit F(–X) = –F(X).

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung (Abb. 2).

Beispiele für eine ungerade Funktion:

j= Sünde X

j = X 3

j = –X 3

Erläuterung:

Nehmen Sie die Funktion y = - X 3 .
Alle Werte bei es wird ein Minuszeichen haben. Das ist das Zeichen X wirkt sich auf das Zeichen aus j. Wenn die unabhängige Variable eine positive Zahl ist, ist die Funktion positiv. Wenn die unabhängige Variable eine negative Zahl ist, ist die Funktion negativ: F(–X) = –F(X).
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung. Das ist eine seltsame Funktion.

Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen:

NOTIZ:

Nicht alle Merkmale sind gerade oder ungerade. Es gibt Funktionen, die keiner solchen Abstufung unterliegen. Zum Beispiel die Root-Funktion bei = √X gilt weder für gerade noch für ungerade Funktionen (Abb. 3). Bei der Auflistung der Eigenschaften solcher Funktionen sollte eine entsprechende Beschreibung angegeben werden: weder gerade noch ungerade.

Periodische Funktionen.

Wie Sie wissen, ist Periodizität die Wiederholung bestimmter Prozesse in einem bestimmten Intervall. Die Funktionen, die diese Prozesse beschreiben, werden aufgerufen periodische Funktionen. Das heißt, es handelt sich um Funktionen, in deren Graphen sich Elemente befinden, die sich in bestimmten numerischen Abständen wiederholen.