Funktion Definitionsbereich mit root. So finden Sie den Feld Definitionsbereich

In jeder Funktion gibt es zwei Variablen - eine unabhängige Variable und eine abhängige Variable, deren Werte von den Werten einer unabhängigen Variablen abhängen. Zum Beispiel in der Funktion y. = f.(x.) = 2x. + y. Eine unabhängige Variable ist "x" und das abhängige - "y" (mit anderen Worten, "y" ist eine Funktion von "x"). Die zulässigen Werte der unabhängigen Variablen "x" werden als Felddefinitionsbereich bezeichnet, und die Werte der abhängigen Variablen "y" werden als Funktion der Funktionswerte bezeichnet.

Schritte

Teil 1

Bestimmen Sie die Art der Funktionen, die Ihnen angegeben sind. Das Feld der Funktionswerte sind alle Werte von "x" (entlang der horizontalen Achse abgeschieden), die den Werten von "y" entsprechen. Die Funktion kann quadratisch sein oder Fraktionen oder Wurzeln enthalten. Um die Funktion der Definition einer Funktion zu finden, müssen Sie zunächst den Funktionstyp ermitteln.

1. Wählen Sie den entsprechenden Eintrag für den Funktionsdefinitionsbereich aus. Der Definitionsbereich ist in Quadrat und / oder Klammern geschrieben. Eckige Klammer Es wird in dem Fall verwendet, wenn der Wert in die Funktion der Bestimmung der Funktion eintritt; Wenn der Wert nicht im Definitionsbereich enthalten ist, wird eine Rundhalterung verwendet. Wenn die Funktion mehrere nicht negative Definitionsbereiche enthält, wird das Symbol "U" zwischen ihnen eingestellt.

   • Zum Beispiel umfasst der Definitionsbereich [-2.10) u (10.2] -D-Definition -2 und 2 Werte, jedoch keinen Wert von 10.

2. Diagramm erstellen quadratische Funktion. Der Zeitplan einer solchen Funktion ist ein Parabola, dessen Verzweigungen gerichtet oder nach oben oder unten sind. Da Parabola in der gesamten Achse x zunimmt oder abnimmt, ist der Bereich der Bestimmung der quadratischen Funktion alle gültigen Zahlen. Mit anderen Worten, der Definitionsbereich einer solchen Funktion ist der Set R (R bezeichnet alle gültigen Zahlen).

   • Um das Konzept der Funktion besser zu klären, wählen Sie einen beliebigen Wert "x", ersetzen Sie es der Funktion und finden Sie den Wert "y". Ein Paar "X" und "Y" -Werte sind ein Punkt mit Koordinaten (x, y), das auf dem Graph der Funktion liegt.
   • Wenden Sie diesen Punkt an die Koordinatenebene an und führen Sie den beschriebenen Prozess mit einem anderen Wert von "x".
   • Anwenden der Koordinatenebene Mehrere Punkte erhalten Sie allgemeine Ansicht In Form eines Diagramms der Funktion.

3. Wenn die Funktion eine Fraktion enthält, gleichsetzen Sie den Nenner auf Null. Denken Sie daran, dass es unmöglich ist, auf Null zu teilen. Wenn Sie den Nenner auf Null gleichsetzen, finden Sie daher die Werte von "x", die nicht im Feld Definitionsbereich enthalten sind.

   • Finden Sie zum Beispiel den Felddefinitionsbereich F (x) \u003d (x + 1) / (x - 1).
   • Hier ist der Nenner: (x - 1).
   • Gleichfertigen Sie den Nenner auf Null und finden Sie "x": x - 1 \u003d 0; x \u003d 1.
   • Schreiben Sie den Bereich Funktionsdefinitionsbereich auf. Der Definitionsbereich enthält nicht 1, d. H. Es enthält alle gültigen Zahlen mit Ausnahme von 1. Somit ist die Funktion der Bestimmung der Funktion: (-∞, 1) u (1, ∞).
   • Aufnahme (-∞, 1) u (1, ∞) wird so gelesen: Der Satz aller gültigen Nummern außer 1. Das Symbol der Infinity ∞ bedeutet alle tatsächlichen Zahlen. In unserem Beispiel sind alle gültigen Nummern, die größer als 1 und weniger als 1 sind, im Definitionsbereich enthalten.

4. Wenn die Funktion eine Quadratwurzel enthält, sollte der Fütterungsausdruck größer oder gleich Null sein. Denken Sie daran, dass die Quadratwurzel der negativen Zahlen nicht abgerufen wird. Daher sollte ein beliebiger Wert von "x", in dem der Zuführausdruck negativ wird, von der Funktion der Bestimmung der Funktion ausgeschlossen werden.

   • Finden Sie zum Beispiel die Funktion der Definition der Funktion f (x) \u003d √ (x + 3).
   • Guardian-Ausdruck: (x + 3).
   • Der Fütterungsausdruck sollte größer oder gleich Null sein: (x + 3) ≥ 0.
   • Finden Sie "x": x ≥ -3.
   • Der Definitionsbereich dieser Funktion umfasst eine Vielzahl aller gültigen Nummern, die größer oder gleich -3 sind. Somit der Definitionsbereich: [-3, ∞).

Teil 2

1. Stellen Sie sicher, dass Sie eine quadratische Funktion haben. Die quadratische Funktion hat das Formular: AX 2 + BX + C: F (x) \u003d 2x 2 + 3x + 4. Die Grafik einer solchen Funktion ist ein Parabola, deren Zweige gerichtet oder nach oben oder unten sind. Es gibt verschiedene Methoden zum Finden des Bereichs der Werte der quadratischen Funktion.

   • Der einfachste Weg, um den Bereich der Funktionen zu finden, die den Wurzel oder Fraktion enthalten, besteht darin, ein Diagramm einer solchen Funktion mit einem grafischen Rechner aufzubauen.

2. Finden Sie die Koordinaten-Ecken der Grafiken der Funktion. Finden Sie im Falle einer quadratischen Funktion die Koordinate "x" des Pearabol-Scheitelpunkts. Denken Sie daran, dass die quadratische Funktion das Formular hat: AX 2 + BX + C. Um die "X" -Oordinate zu berechnen, verwenden Sie die folgende Gleichung: x \u003d -b / 2a. Diese Gleichung ist ein Derivat der Hauptquadratfunktion und beschreibt den Tangent, dessen Winkelkoeffizient null ist (Tangential an der Oberseite der Parabel parallel zur Achse x).

   • Finden Sie zum Beispiel den Bereich der Werte der 3x 2 + 6x -2-Funktion.
   • Berechnen Sie die Koordinate "X" des Scheitelpunkts Parabola: x \u003d -b / 2a \u003d -6 / (2 * 3) \u003d -1

3. Finden Sie die Koordinate "u" die Ecken der Funktionsgrafiken. Ersetzen Sie dazu die Koordinatenfunktion "X". Die gewünschte Koordinate "y" ist der Grenzwert der Funktion von Funktionswerten.

   • Berechnen Sie die Koordinate "y": y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 \u003d -5
   • Die Koordinaten des Scheitelpunkts von Parabola dieser Funktion: (-1, -5).

4. Bestimmen Sie die Richtung von Parabola, ersetzen Sie in die Funktion mindestens einen Wert "X". Wählen Sie einen anderen "X" -Wert aus und ersetzen Sie es in der Funktion, um den entsprechenden "Y" -Wert zu berechnen. Wenn der gefundene Wert "y" mehr Koordinaten des "U" -Parabola-Scheitelpunkts ist, wird Parabola nach oben gerichtet. Wenn der gefundene Wert "y" kleiner als die Koordinate "y" des Pearabol-Scheitelpunkts ist, wird das Parabol nach unten gerichtet.

   • Auf die Funktion x \u003d -2: y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d y \u003d 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 \u003d 12 -12 -2 \u003d -2.
   • Die Koordinaten des auf Parabolas liegenden Punktes: (-2, -2).
   • Die gefundenen Koordinaten zeigen, dass die Parabola-Zweige nach oben gerichtet sind. Somit enthält die Funktion der Funktionswerte alle Werte von "y", die größer oder gleich -5 sind.
   • Der Bereich der Werte dieser Funktion: [-5, ∞)

5. Die Funktion der Werte der Funktion wird ähnlich dem Feld Definitionsbereich erfasst. Die eckige Halterung wird in dem Fall verwendet, wenn der Wert in die Funktion der Funktionswerte eintritt; Wenn der Wert nicht im Bereich der Werte enthalten ist, wird eine Rundhalterung verwendet. Wenn die Funktion mehrere nicht gemessene Wertebereiche aufweist, wird das Symbol "U" zwischen ihnen eingestellt.

   • Beispielsweise enthält der Wert von [-2.10) u (10.2] -2 und 2 Werte, jedoch nicht 10.
   • Runde Klammern werden immer mit Infinity-Symbol verwendet.

Wenn die Aufgabe ausgeführt wird, ergibt sich das Problem, wie Sie den Felddefinitionsbereich finden? Ohne es ist es nicht ohne den Bau von Graphen und mit weiterem Studium der Werte der Funktion nicht zu tun.

Konzept der Funktionsdefinitionsbereich

Die Funktion des Bestimmens der Funktion ist der Satz variabler Werte der Funktion x, in der die Funktion f (x) sinnvoll ist. Genauer gesagt wird der Wert der Variablen X-Funktion gesagt, in der f (x) in der Realität existieren kann. Beispielsweise wird vorgeschlagen, den Fall zu berücksichtigen, wenn die Funktion überhaupt nicht existieren kann. Im ersten Fall werden wir uns beim Ausdruck ansehen. Wenn in der Ausführungsform der Fraktion auftritt, darf der Nenner nicht null sein, aus einem einfachen Grund, dass solche fraktionalen Ausdrücke einfach nicht existieren, da sie schließlich zu Nullwert führen, und eines der goldenen arithmetischen Regeln - Sie können nicht aufteilen Null.

Mit null herausgefunden, lass uns mit dem Scrimony umgehen. Wenn Sie den Feld-Definitionsbereich finden, Beispiele mit derselben Fraktion, und bestimmen Sie den Wert der Variablen X, wir müssen den Fraktion auf Null erlernen, und löst diese Gleichung, wir erhalten den Wert der Variablen x, was sein wird aus dem Lösungsbereich ausgeschlossen. Das zweite Beispiel ist, wenn unsere Funktion eine gleichmäßige Grad-Wurzel enthält. Hier haben wir eine vollständige Handlungsfreiheit, da wir beim Lösen einer solchen Funktion eine positive Antwort mit jeder Subcortex-Nummer erhalten, die von der Funktion der Bestimmung der Funktion weiter gelöscht wird. Was kann nicht über die Wurzel eines ungeraden Grades gesagt werden, wenn wir nur eine positiv geführte Anzahl anpassen können.

Beispiele für Lösungen.

Ein anderes Beispiel, wenn Sie den Bereich der Datendefinition der von LogarithM angegebenen Funktion finden müssen. Es ist hier absolut einfach, der Bereich der Bestimmung des Logarithmus ist alle positiven Zahlen. Um die Werte der Variablen zu finden, ist es erforderlich, Ungleichheit für diesen Logarithmus zu lösen. Wo der porphmische Ausdruck negativ ist. Berücksichtigen müssen trigonometrische Funktionen, nämlich Arcxinus und Arcosinus, die auf dem Intervall bestimmt werden [-1: 1]. Dazu müssen Sie verfolgen, so dass der von diesen Funktionen angegebene Ausdruckswert in eine vorbestimmte Lücke an uns eingeflecht ist, und alles andere schließt kühn aus den Werten der Variablen aus.

Ein Beispiel, wie Sie eine Funktion der Funktionsdefinition finden, wenn die Funktion beispielsweise eine schwierige Fraktion enthält. Wo zum Beispiel der Nenner wie eine Wurzel von Arksinus aussieht. In diesem Fall ist es notwendig, nur die Werte der Variablen hervorzuheben, in denen der Arxinus vorhanden ist, und den Wert des Arxinus bereits entfernen, der Null ist (wie es kommt) dieses Beispiel Ansager), der nächste Schritt ist, alle negativen Werte auszuschließen, aus dem einfachen Grund, warum sie nicht dem Zustand der Funktion des Zuführwerts entsprechen. Alle verbleibenden Werte sind das gewünschte.

Angenommen, unsere Funktion hat das Formular Y \u003d A / B, deren Definitionsbereich ist alle Werte außer Null. Der Wert der Nummer A kann vollständig sein. Finden Sie zum Beispiel den Bereich der Definitionsdaten y \u003d 3 / 2x-1, wir müssen diese Werte von X finden, in denen der Nenner der Fraktion nicht an uns genietet wird. Um dies zu tun, gleichermaßen den Nenner auf Null gleichzusetzen und eine Lösung zu finden, wonach die Antwort in Höhe von 0,5 (x: 2x - 1 \u003d 0; 2x \u003d 1; x \u003d ½; x \u003d 0,5) folgt, nach diesem, aus der Region Funktionsdefinitionen sollten auf 0,5 ausgeschlossen werden. Um das Feld der Definition der Funktion zu finden, muss die Lösung berücksichtigen, dass dieser Ausdruck entweder positiv oder gleich Null sein sollte.

Es ist notwendig, den Felddefinitionsbereich der Beispiele y \u003d √3x-9 zu finden, basierend auf dem obigen Zustand, wir transformieren unsere Expression in Form der Ungleichung von 3x ≥ 9; x ≥ 3; 0, nach der Lösung kommen wir zu dem Wert, den X größer als oder gleich 3 ist, und wir schließen alle diese Werte aus der Funktion der Funktion aus, wenn er den Bereich der Bestimmung der Funktion des Fütterungsausdrucks mit einem ermittelt Ungerade Indikator ist notwendig, um zu berücksichtigen, dass in diesem Fall der Wert von x sein kann, wenn der Fütterungsausdruck nicht fraktioniert ist und X nicht im Nenner ist. Beispiel: y \u003d ³√2x-5, Sie können einfach angeben, dass die Variable X eine absolut beliebige tatsächliche Zahl sein kann. So finden Sie den Feld Definitionsbereich in keinem Fall, dass diese Zahl unter dem Logarithmus positiv sein muss.

Beispiel: Es ist notwendig, das Feld der Bestimmung der Daten der Funktion y \u003d log2 (4x - 1) zu finden. In Anbetracht der obigen Bedingung sollte das Finden des Wertes dieser Funktion so berechnet, 4x - 1\u003e 0; Daraus folgt er 4x\u003e 1; x\u003e 0,25. Das Feld der Bestimmung dieser Funktion ist gleich allen Werten von mehr als 0,25.

Einige Websites bieten an, um das Feld der Definition der Funktion online zu finden, und spart Zeit beim Finden von Lösungen. Sehr praktischer Service, insbesondere für Studenten und Studenten.

Die Funktion mit einer Quadratwurzel ist nur bei den Werten von "x" definiert, wenn der gegoldete Ausdruck ist nicht negativ:. Wenn sich die Wurzel im Nenner befindet, ist der Zustand offensichtlich gehärtet :. Ähnliche Berechnungen gelten für jede Wurzel eines positiven Grades: Tat ist die Wurzel bereits 4. Grad in forschungsfunktionen Ich erinnere mich nicht.

Beispiel 5

Entscheidung: Der frühere Ausdruck sollte nicht negativ sein:

Bevor ich die Entscheidung fortsetzte, erinnere ich die Grundregeln der Arbeit mit Ungleichheiten, die aus der Schule bekannt sind, erinnere.

Ich zahle besondere Aufmerksamkeit! Ungleichheiten werden jetzt betrachtet mit einer Variablen - das heißt, es gibt nur für uns eine Achsendimension.. Bitte verwechseln Sie nicht mit ungleichheiten von zwei Variablenwo die gesamte Koordinatenebene geometrisch beteiligt ist. Es gibt jedoch angenehme Zufälle! Die folgenden Transformationen sind also gleichwertig für Ungleichheit:

1) Die Komponenten können von einem Teil mit einer Zeichenänderung übertragen werden.

2) Beide Teile der Ungleichung können mit einer positiven Zahl multipliziert werden.

3) Wenn beide Teile der Ungleichung mit multipliziert werden negativ Nummer, dann müssen Sie sich ändern zeichen der Ungleichheit selbst. Wenn es beispielsweise "mehr" wäre, wird es "weniger"; Wenn es "weniger oder gleich" wäre, wird es "entweder gleicher".

In der Ungleichung werden wir die "Troika" auf die rechte Seite des Zeichens des Zeichens (Regel Nr. 1) übertragen:

Multiplizieren Sie beide Teile der Ungleichung auf -1 (Regel Nr. 3):

Multiplizieren Sie beide Teile der Ungleichung auf (Regel Nummer 2):

Antworten: Domäne:

Die Antwort kann auch mit einem äquivalenten Phrase aufgezeichnet werden: "Die Funktion ist definiert, wenn".
Geometrisch ist der Definitionsbereich dargestellt, indem er entsprechende Intervalle auf der Abszisse-Achse schraffiert. In diesem Fall:

Ich erinnere erneut an die geometrische Bedeutung des Definitionsfelds - den Graph der Funktion Es gibt nur auf dem schattierten Grundstück und fehlt an.

In den meisten Fällen ist ein rein analytischer Befund des Definitionsfelds geeignet, aber wenn die Funktion sehr unruhig ist, sollte die Achse gezogen und notiert werden.

Beispiel 6.

Finden Sie den Feld Definitionsbereich

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung.

Wenn unter der Quadratwurzel ein quadratischer Twist oder dreifach ist, ist die Situation leicht kompliziert, und jetzt werden wir die Lösungen detailliert analysieren:

Beispiel 7.

Finden Sie den Feld Definitionsbereich

Entscheidung: Der Fütterungsausdruck sollte strikt positiv sein, dh wir müssen Ungleichheit lösen. Im ersten Schritt versuchen wir, das quadratische Dreifach an Multiplikatoren zu zersetzen:

Diskriminierant ist positiv, auf der Suche nach Wurzeln:

So, Parabola Die Abszisse-Achse ist an zwei Punkten gekreuzt, was bedeutet, dass sich der Teil der Parabola unterhalb der Achse (Ungleichung) befindet, und ein Teil der Parabola liegt über der Achse (Ungleichheit, die wir brauchen).

Weil der Koeffizient, die Zweige von Parabola nachschlagen. Aus dem Vorstehenden folgt, dass die Ungleichheit in den Intervallen durchgeführt wird (die Parabola-Zweige bis in die Unendlichkeit gehen), und der Pearabol-Scheitelpunkt befindet sich in dem Intervall unterhalb der Abszisse-Achse, was der Ungleichheit entspricht:

Schnitte Hinweis: wenn Sie nicht vollständig von der Erklärung verstanden werden, zeichnen Sie bitte die zweite Achse und die gesamte Parabola! Es ist ratsam, in den Artikel zurückzukehren. Diagramme und Eigenschaften von Elementarfunktionen und Methoden Hot Mathematics Schulkursformeln.

Bitte beachten Sie, dass die Punkte selbst anfragen (nicht in der Lösung enthalten), da wir die Ungleichheit streng haben.

Antworten: Domäne:

Im Allgemeinen werden viele Ungleichheiten (einschließlich der berücksichtigten) von Universal gelöst intervallmethodewieder bekannt sind schulprogramm. Aber in den Fällen von viereckigen zwei und drei Tier ist es meiner Meinung nach viel bequemer und schneller, um den Ort der Parabola relativ zur Achse zu analysieren. Und die Hauptmethode - die Intervallmethode, die wir in dem Artikel ausführlich analysieren werden Nullfunktion. Zeichenintervalle.

Beispiel 8.

Finden Sie den Feld Definitionsbereich

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung. In der Probe wird die Logik des Arguments + die zweite Art der Lösung und eine wichtigere Umwandlung der Ungleichheit ausführlich ausführlich ausführlich kommentiert, ohne zu wissen, dass der Schüler ein Bein ein Bein verchromt ..., ... hmm ... an der Kosten des Beines, vielleicht, wurde angeregt, eher - ein Finger. Daumen.

Kann eine Funktion mit Quadratwurzel auf der gesamten numerischen Zeile bestimmt werden? Sicher. Alle Personen vertraut :. Oder ähnlicher Betrag mit exponential :. In der Tat wird es für jede Bedeutung "X" und "KA": daher auch unterdrückt. Zum Beispiel ist die Funktion auf der gesamten numerischen Linie definiert. Die Funktion hat jedoch einen einzigen Punkt, der noch nicht im Definitionsbereich enthalten ist, da sie einen Nenner auf Null ziehen. Aus dem gleichen Grund für die Funktion Punkte sind ausgeschlossen.

Einige Besucher der Website, die in Betracht gezogenen Beispiele, scheint elementar und primitiv zu sein, aber es gibt keine Chance - zuerst versuche ich das Material für Noobs zu "schärfen", und zweitens wähle ich realistische Dinge unter den kommenden Aufgaben: volle Recherche. Funktionen, finden bereiche der Definition der Funktion von zwei Variablenund andere andere. Alles in der Mathematik klammert sich miteinander. Obwohl auch die Liebhaber der Schwierigkeiten auch hinterlassen werden, werden sich hier und in der Lektion stärkere Aufgaben erfüllen
Über Intervallmethode..