স্ব-চালিত বন্দুকের স্থায়িত্ব নির্ধারণ। স্ব-চালিত বন্দুকের স্থায়িত্ব, স্থিতিশীলতার সাধারণ ধারণা। একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থাকে স্থিতিশীল বলা হয় যদি, ভারসাম্যের অবস্থান থেকে বিচ্যুত হওয়ার কারণে বাধাগুলি বন্ধ করার পরে, এটি এই অবস্থানে ফিরে আসে।

স্থায়িত্বের ধারণা

একটি নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থায়িত্বের ধারণাটি বাহ্যিক শক্তিগুলির অন্তর্ধানের পরে ভারসাম্যের অবস্থায় ফিরে আসার ক্ষমতার সাথে জড়িত যা এটিকে এই অবস্থা থেকে বের করে এনেছিল।

স্থিতিশীলতা হল একটি সিস্টেমের সম্পত্তি যা কোনও প্রভাবের ফলে এটি থেকে বেরিয়ে যাওয়ার পরে তার আসল অবস্থায় ফিরে আসে বা স্থির অবস্থায় ফিরে আসে।

এই সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে স্থিতিশীলতা ক্ষণস্থায়ী প্রক্রিয়াগুলির প্রকৃতি এবং রূপান্তর প্রক্রিয়া শেষ হওয়ার পরে সিস্টেমের অবস্থার সাথে সম্পর্কিত, যেমন সিস্টেমের প্রধান গতিশীল বৈশিষ্ট্য। অতএব, স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থিতিশীলতার বিশ্লেষণ স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের প্রধান সমস্যা।

পরিবর্তন প্রক্রিয়ার প্রকৃতির উপর নির্ভর করে, একটি বিরক্তিকর প্রভাব প্রয়োগের পরে সিস্টেমের আচরণের তিনটি প্রধান ঘটনা রয়েছে:

1) সিস্টেমটি তার ভারসাম্যের অবস্থা পুনরুদ্ধার করতে পারে না, নিয়ন্ত্রিত ভেরিয়েবলের মান নির্দিষ্ট একটি থেকে আরও বেশি করে বিচ্যুত হয় (চিত্র 6.1, a); এই ধরনের একটি প্রক্রিয়াকে বলা হয় ভিন্নমুখী, এবং সিস্টেমটিকে বলা হয় অস্থির;

2) সিস্টেমটি একটি ভারসাম্য অবস্থায় ফিরে আসে, নিয়ন্ত্রিত ভেরিয়েবলের মান সিস্টেমের স্ট্যাটিক ত্রুটির পরিমাণ দ্বারা নির্দিষ্ট মান থেকে পৃথক হয়; এই ধরনের একটি রূপান্তর প্রক্রিয়া অভিসারী হবে, এবং সিস্টেমটি স্থিতিশীল হবে (চিত্র 6.1, b);

3) সিস্টেম স্থির পর্যায়ক্রমিক গতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; এই ধরনের একটি প্রক্রিয়াকে বলা হয় undamped oscillatory, এবং সিস্টেমটি অ্যাসিম্পোটিক স্থিতিশীলতার সীমানায় থাকবে (চিত্র 6.1, c)।

চিত্র 6.1 একটি ঝামেলা প্রয়োগের পরে সিস্টেমের আচরণ

আসুন আমরা বিবেচনা করি যে সিস্টেমের স্থিতিশীলতা কিসের উপর নির্ভর করে এবং এটি কীভাবে নির্ধারিত হয়। একটি রৈখিক সিস্টেমের গতিবিদ্যাকে ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যাক:

সাধারণ ক্ষেত্রে এই ধরনের একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সমাধান দুটি উপাদান নিয়ে গঠিত:

, (6.2)

y মুখ (টি)- পরিবর্তন প্রক্রিয়ার শেষে প্রতিষ্ঠিত সিস্টেমের জোরপূর্বক মোড বর্ণনা করে, ডান দিকের সাথে একজাতীয় সমীকরণের (6.1) একটি নির্দিষ্ট সমাধান; আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে এই ধরনের মোড নিয়ে আলোচনা করেছি;

y p (t)- একটি সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান যা একটি প্রদত্ত ব্যাঘাতের কারণে সৃষ্ট সিস্টেমে ক্ষণস্থায়ী প্রক্রিয়া বর্ণনা করে।

এটা স্পষ্ট যে ক্ষণস্থায়ী প্রক্রিয়া হলে সিস্টেমটি স্থিতিশীল হবে y p (t), কোনো ঝামেলার কারণে, স্যাঁতসেঁতে হবে, যেমন সময়ের সাথে সাথে y p (t)শূন্যের দিকে ঝোঁক থাকবে (চিত্র 6.1, খ)।

সমাধান y p (t)সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:

, (6.3)

C i - প্রাথমিক অবস্থা এবং ব্যাঘাত দ্বারা নির্ধারিত ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক;

l i - চরিত্রগত সমীকরণের মূল:

এইভাবে, রূপান্তর প্রক্রিয়া y p (t)উপাদানগুলির যোগফলকে প্রতিনিধিত্ব করে, যার সংখ্যা শিকড়ের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয় l iচরিত্রগত সমীকরণ (6.4)।

সাধারণ ক্ষেত্রে, চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলি জটিল, সংযোজিত শিকড়গুলির জোড়া গঠন করে:

কোথায় a iইতিবাচক বা নেতিবাচক হতে পারে, এবং মূল যদি বাস্তব হয় b j =0এবং কাল্পনিক যদি a i = 0.

এই জাতীয় শিকড়গুলির প্রতিটি জোড়া রূপান্তর প্রক্রিয়ার উপাদান নির্ধারণ করে, এর সমান:

এবং এবং এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

এটি দেখতে সহজ যে এই উপাদানটি একটি সাইনোসয়েড: স্যাঁতসেঁতে দোলন সহ, যদি a i<0 ; ভিন্নমুখী দোলনা সহ, যদি a i >0; এ undamped sinusoidal oscillations সঙ্গে a i = 0.

এইভাবে, রূপান্তর প্রক্রিয়ার এই উপাদানটির ক্ষয় করার শর্ত হল সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূলের আসল অংশের নেতিবাচকতা।

যদি b=0, তারপর প্রক্রিয়াটি শুধুমাত্র মূলের প্রকৃত অংশ দ্বারা নির্ধারিত হয় কএবং aperiodic. সাধারণভাবে, সিস্টেমের ক্ষণস্থায়ী প্রক্রিয়াটি দোলনীয় এবং এপিরিওডিক উপাদান নিয়ে গঠিত। কমপক্ষে একটি মূলের একটি ইতিবাচক বাস্তব অংশ থাকলে, এটি রূপান্তর প্রক্রিয়ার একটি ভিন্ন উপাদান দেবে এবং সিস্টেমটি অস্থির হবে। এটি অনুসরণ করে যে সমস্ত উপাদানগুলির ক্ষয় করার জন্য সাধারণ অবস্থা, এবং সেইজন্য সামগ্রিকভাবে সমগ্র রূপান্তর প্রক্রিয়াটি হল সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত মূলের আসল অংশের নেতিবাচকতা, যেমন সিস্টেম ট্রান্সফার ফাংশনের সমস্ত মেরু (হর শূন্য)।

জটিল সমতলে বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড়গুলি চিত্রিত করে উপরেরটি সবচেয়ে স্পষ্টভাবে চিত্রিত করা যেতে পারে (চিত্র 6.2)। এই ক্ষেত্রে, উপরে পাওয়া স্থিতিশীলতার অবস্থাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: একটি সিস্টেমের স্থিতিশীলতার শর্ত হল সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত শিকড়ের অবস্থান, যেমন সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশনের খুঁটি, বাম জটিল অর্ধ-বিমানে, বা সংক্ষেপে, সমস্ত শিকড় অবশ্যই "বাম-হাতে" হতে হবে। কাল্পনিক অক্ষে একটি মূলের উপস্থিতির অর্থ হল সিস্টেমটি স্থিতিশীলতার সীমানায় রয়েছে।

চিত্র 6.2 জটিল সমতলে চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়ের চিত্র

সুতরাং, প্রথম নজরে, স্থিতিশীলতা অধ্যয়নের সমস্যাটি কোন অসুবিধা উপস্থাপন করে না, যেহেতু এটি জটিল সমতলে চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়ের অবস্থান নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট। যাইহোক, তৃতীয়টির চেয়ে উচ্চতর অর্ডারের একটি চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলি নির্ধারণ করা উল্লেখযোগ্য অসুবিধাগুলির সাথে যুক্ত, যা সিস্টেমগুলির স্থায়িত্ব অধ্যয়নের সমস্যাকে উত্থাপন করে যেখানে গতিশীল প্রক্রিয়াগুলি উচ্চ-অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়।

পরোক্ষভাবে এই সমস্যার আংশিক সমাধান পাওয়া গেছে। অনেকগুলি লক্ষণ তৈরি করা হয়েছে যার দ্বারা কেউ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূলের প্রকৃত অংশগুলির লক্ষণ এবং এর মাধ্যমে সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিচার করতে পারে, বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ নিজেই সমাধান না করে। এই ক্ষেত্রে, সাধারণত একটি সিস্টেমের স্থায়িত্ব অধ্যয়নের সমস্যার দুটি সূত্র রয়েছে:

1) সিস্টেমের সমস্ত পরামিতি নির্দিষ্ট করা হয়েছে এবং এই প্যারামিটার মানগুলিতে সিস্টেমটি স্থিতিশীল কিনা তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন;

2) কিছু প্যারামিটারের মান নির্ধারণ করা প্রয়োজন (বাকী দেওয়া সহ) যেখানে সিস্টেমটি স্থিতিশীল।

সিস্টেম স্থিতিশীল হওয়ার জন্য বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সহগ বা এই সহগগুলির যেকোন ফাংশনগুলিকে অবশ্যই পূরণ করতে হবে এমন শর্তগুলির গাণিতিক গঠনকে স্থিতিশীলতার মানদণ্ড বলা হয়।

স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থায়িত্ব স্থায়িত্বস্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা, সিস্টেম ক্ষমতা স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ(ACS) স্বাভাবিকভাবে কাজ করতে এবং বিভিন্ন অনিবার্য ব্যাঘাত (প্রভাব) সহ্য করতে। এসিএস অবস্থাকে স্থিতিশীল বলা হয় যদি ইনপুট সংকেতগুলিতে যথেষ্ট ছোট পরিবর্তনের জন্য এটি থেকে বিচ্যুতি নির্বিচারে ছোট থাকে। U. বিভিন্ন ধরনের স্ব-চালিত বন্দুক বিভিন্ন পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত সিস্টেমগুলির জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সঠিক এবং কঠোর তত্ত্ব A.M দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। লিয়াপুনভ 1892 সালে।

═ একটি রৈখিক স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার সমস্ত অবস্থা হয় স্থিতিশীল বা অস্থির, তাই আমরা সামগ্রিকভাবে সিস্টেমের নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা সম্পর্কে কথা বলতে পারি। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত একটি স্থির রৈখিক SLE-এর জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সমস্ত শিকড়ের নেতিবাচক বাস্তব অংশ রয়েছে (তখন ACS অসীমভাবে স্থিতিশীল)। বিভিন্ন মানদণ্ড (শর্ত) রয়েছে যা একজনকে এই সমীকরণটি সমাধান না করেই বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের মূলের লক্ষণগুলি বিচার করতে দেয় √ সরাসরি এর সহগ দ্বারা। নিম্ন ক্রম (4 ম পর্যন্ত) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত U. ACS অধ্যয়ন করার সময়, Routh এবং Hurwitz মানদণ্ড ব্যবহার করা হয় (E. Routh, ইংরেজি মেকানিক; A. Hurwitz, জার্মান গণিতবিদ)। যাইহোক, অনেক ক্ষেত্রে এই মানদণ্ডগুলি ব্যবহার করা প্রায় অসম্ভব (উদাহরণস্বরূপ, উচ্চ-অর্ডার সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার ক্ষেত্রে) কষ্টকর গণনা করার প্রয়োজনের কারণে; উপরন্তু, জটিল স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের খুব সংকল্প শ্রম-নিবিড় গাণিতিক গণনার সাথে জড়িত। এদিকে, যে কোন বিষয়ের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যগুলি যতই জটিল এসএলইউই হোক না কেন সহজ গ্রাফিকাল এবং বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে সহজেই পাওয়া যেতে পারে। তাই, রৈখিক স্থির স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা গবেষণা ও ডিজাইন করার সময়, Nyquist এবং Mikhailov-এর ফ্রিকোয়েন্সি মানদণ্ড সাধারণত ব্যবহার করা হয় (H. Nyquist, আমেরিকান পদার্থবিদ; A. V. Mikhailov, স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণের ক্ষেত্রে সোভিয়েত বিজ্ঞানী)। Nyquist মানদণ্ড ব্যবহারিক প্রয়োগে বিশেষ করে সহজ এবং সুবিধাজনক। ACS পরামিতিগুলির মানগুলির সেটকে সিস্টেমটি স্থিতিশীল বলে U এরিয়া বলা হয়। ACS অঞ্চলের সীমানার সাথে ACS এর নৈকট্য ACS এর ফেজ এবং প্রশস্ততা রিজার্ভ দ্বারা অনুমান করা হয়, যা দ্বারা নির্ধারিত হয় খোলা ACS এর প্রশস্ততা-ফেজ বৈশিষ্ট্য। রৈখিক স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার আধুনিক তত্ত্ব লম্পড এবং বিতরণ করা পরামিতি, অবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন (পালস), স্থির এবং অস্থির সহ নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা অধ্যয়নের জন্য পদ্ধতি সরবরাহ করে।

═ ননলাইনার স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার নিয়ন্ত্রণের সমস্যাটিতে রৈখিকগুলির তুলনায় বেশ কয়েকটি উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সিস্টেমে অরৈখিকতার প্রকৃতির উপর নির্ভর করে, কিছু রাজ্য স্থিতিশীল হতে পারে, অন্যগুলি অস্থির হতে পারে। অরৈখিক সিস্টেমের নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বে, আমরা একটি প্রদত্ত অবস্থার নিয়ন্ত্রণ সম্পর্কে কথা বলি, সিস্টেমের মতো নয়। অরৈখিক স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার যেকোনো অবস্থার নিয়ন্ত্রণ সংরক্ষণ করা যেতে পারে যদি অপারেটিং ব্যাঘাতগুলি যথেষ্ট ছোট হয় এবং বড় ঝামেলার অধীনে লঙ্ঘন করা হয়। অতএব, ছোট, বড় এবং সমগ্র নিয়ন্ত্রণের ধারণাগুলি চালু করা হয়েছে। নিখুঁত নিয়ন্ত্রণের ধারণা, অর্থাৎ, একটি নির্বিচারে সীমিত প্রারম্ভিক ব্যাঘাতের অধীনে নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা নিয়ন্ত্রণ এবং সিস্টেমের যে কোনও অরৈখিকতা (একটি নির্দিষ্ট শ্রেণির অরৈখিকতা থেকে) গুরুত্বপূর্ণ। কম্পিউটার ব্যবহার করার সময়ও ননলাইনার স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার নিয়ন্ত্রণ অধ্যয়ন করা বেশ কঠিন হয়ে ওঠে। সমীকরণের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত খুঁজে পেতে, লিয়াপুনভ ফাংশনের পদ্ধতি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। পরম U. এর জন্য পর্যাপ্ত ফ্রিকোয়েন্সি মানদণ্ড রাম দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছে। গণিতবিদ V. M. Popov এবং অন্যরা। মহাবিশ্বের অধ্যয়নের সঠিক পদ্ধতির সাথে, আনুমানিক পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়, বর্ণনামূলক ফাংশনের ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে, উদাহরণস্বরূপ, সুরেলা বা পরিসংখ্যান পদ্ধতি রৈখিককরণ

═ এলোমেলো ঝামেলা এবং হস্তক্ষেপের প্রভাবের অধীনে একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থিতিশীলতা স্টোকাস্টিক সিস্টেমের নিয়ন্ত্রণের তত্ত্ব দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়।

═ আধুনিক কম্পিউটার প্রযুক্তি পরিচিত ব্যবহার করে বিভিন্ন শ্রেণীর রৈখিক এবং অরৈখিক স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার অনেক সমস্যা সমাধান করা সম্ভব করে তোলে। অ্যালগরিদম,এবং আধুনিক কম্পিউটার এবং কম্পিউটিং সিস্টেমের ক্ষমতার জন্য ডিজাইন করা নতুন নির্দিষ্ট অ্যালগরিদমের ভিত্তিতে।

═ লিট.: লিয়াপুনভ এ.এম., গতি স্থিতিশীলতার সাধারণ সমস্যা, সংগ্রহ। soch., vol. 2, M. √ L., 1956; ভোরোনভ এ.এ., স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের মৌলিক বিষয়, টি. 2, এম. √ এল., 1966; নাউমভ বি.এন., অরৈখিক স্বয়ংক্রিয় সিস্টেমের তত্ত্ব। ফ্রিকোয়েন্সি পদ্ধতি, এম।, 1972; স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণের মৌলিক বিষয়, ed. ভি.এস. পুগাচেভা, 3য় সংস্করণ, এম., 1974।

═ ভি.এস. পুগাচেভ, আই.এন. সিনিটসিন।

গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া। - এম.: সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া. 1969-1978 .

অন্যান্য অভিধানে "একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থিতিশীলতা" কী তা দেখুন:

বিষয়বস্তু 1 ইতিহাস 2 মৌলিক ধারণা 3 কার্যকরী ... উইকিপিডিয়া

স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণের তত্ত্ব- একটি বৈজ্ঞানিক দিক যা একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা (ACS) নির্মাণের নীতি অধ্যয়ন করে। টি. এ. u ব্যবস্থাপনার সাধারণ তত্ত্বের একটি অংশ গঠন করে। T. a এর উদ্দেশ্য। u দক্ষ এবং সঠিক স্ব-চালিত বন্দুক তৈরি করা। সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে সাধারণ...... মনোবিজ্ঞান এবং শিক্ষাবিদ্যার বিশ্বকোষীয় অভিধান

ডিভাইসগুলির একটি সেট যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি বিমানের গ্যাস টারবাইন ইঞ্জিনের জন্য নির্বাচিত নিয়ন্ত্রণ প্রোগ্রামগুলির প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার সাথে নির্বাহ নিশ্চিত করে তার অপারেশনের স্থির-অবস্থা এবং ক্ষণস্থায়ী মোডে। এস. এ. u গ্যাস টারবাইন ইঞ্জিন নিম্নলিখিত কাজ করে... প্রযুক্তির এনসাইক্লোপিডিয়া

এনসাইক্লোপিডিয়া "এভিয়েশন"

গ্যাস টারবাইন ইঞ্জিন স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা- একটি গ্যাস টারবাইন ইঞ্জিনের স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা এমন ডিভাইসগুলির একটি সেট যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে স্থির এবং ক্ষণস্থায়ী একটি বিমানের গ্যাস টারবাইন ইঞ্জিনের জন্য নির্বাচিত নিয়ন্ত্রণ প্রোগ্রামগুলির প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার সাথে সম্পাদন নিশ্চিত করে। এনসাইক্লোপিডিয়া "এভিয়েশন"

I ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের স্থায়িত্ব, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গুণগত তত্ত্বের ধারণা, বিশেষত যান্ত্রিকতায় গতির স্থিতিশীলতার (গতির স্থিতিশীলতা দেখুন) সমস্যাগুলির সাথে সম্পর্কিত; এছাড়াও গুরুত্বপূর্ণ...

স্থিতিশীলতা হল বাহ্যিক প্রভাবের উপস্থিতিতে একটি সিস্টেমের বর্তমান অবস্থা বজায় রাখার ক্ষমতা। সামষ্টিক অর্থনীতিতে, স্থায়িত্ব বলতে সম্পদের শোষণ এবং মানব সমাজের উন্নয়নের মধ্যে দীর্ঘমেয়াদী ভারসাম্যকে বোঝায়। আবহাওয়ায়... ... উইকিপিডিয়া

স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থিতিশীলতা দেখুন... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

ম্যানেজমেন্ট স্ট্রাকচার হল একটি নিয়ন্ত্রিত বস্তু সম্পর্কে তথ্য সংগ্রহের উপায় এবং নির্দিষ্ট লক্ষ্য অর্জনের জন্য তার আচরণকে প্রভাবিত করার উপায়গুলির একটি পদ্ধতিগত (কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত) সেট। একটি নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার বস্তু হতে পারে... ... উইকিপিডিয়া

বিমান, একটি বিমানের ক্ষমতা (স্থিতিশীলতা এবং নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা উন্নত করার জন্য একটি সিস্টেম সহ একটি বিমান সহ) পাইলটের হস্তক্ষেপ ছাড়াই, কর্মের সমাপ্তির পরে অনুদৈর্ঘ্য গতির মূল মোডটি পুনরুদ্ধার করার জন্য ... প্রযুক্তির এনসাইক্লোপিডিয়া

বই

• MATLAB-এ উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধানে স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণের তত্ত্ব। পাঠ্যপুস্তক, গাইদুক আনাতোলি রোমানোভিচ, পাইভচেঙ্কো তামিল আলেকসিভনা, বেলিয়াভ ভিক্টর এগোরোভিচ। ম্যানুয়ালটিতে সমস্ত ধরণের উদাহরণ এবং বিবেচনাধীন সমস্যাগুলি সমাধান করার পদ্ধতি রয়েছে, সেইসাথে "স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব" শৃঙ্খলায় স্বাধীন সমাধানের জন্য সমস্যা রয়েছে। উপাদান…
• MATLAB-এ উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধানে স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণের তত্ত্ব। টিউটোরিয়াল। রাশিয়ান বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের গ্রিফ, গাইদুক আনাতোলি রোমানোভিচ, পাইভচেঙ্কো তামিল আলেকসিভনা, বেলিয়াভ ভিক্টর এগোরোভিচ। ম্যানুয়ালটিতে সমস্ত ধরণের উদাহরণ এবং বিবেচনাধীন সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি রয়েছে, সেইসাথে "স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব" শৃঙ্খলায় স্বাধীন সমাধানের জন্য সমস্যা রয়েছে। উপাদান…

আপনার ভাল কাজ পাঠান জ্ঞান ভাণ্ডার সহজ. নীচের ফর্ম ব্যবহার করুন

ছাত্র, স্নাতক ছাত্র, তরুণ বিজ্ঞানী যারা তাদের অধ্যয়ন এবং কাজে জ্ঞানের ভিত্তি ব্যবহার করেন তারা আপনার কাছে খুব কৃতজ্ঞ হবেন।

পোস্ট করা হয়েছে http:// www. সব ভাল. ru/

স্থিতিশীলতা এসআইস্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

1. স্থিতিশীলতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা

1.1 প্রথম আনুমানিক সমীকরণ ব্যবহার করে স্থিতিশীলতার অধ্যয়ন

1.2 বীজগণিতের স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

1.3 ফ্রিকোয়েন্সি স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

2. স্থিতিশীলতার ক্ষেত্র চিহ্নিতকরণ

গ্রন্থপঞ্জি

1. বেসিকস্থিতিশীলতা তত্ত্বের নতুন ধারণা

এর অপারেশন চলাকালীন, সিস্টেমটি বিভিন্ন ধরণের বিরক্তিকর প্রভাবের শিকার হয়, যা ভারসাম্যের অবস্থান বা একটি প্রদত্ত আন্দোলন থেকে এর বিচ্যুতি ঘটায়।

একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থাকে স্থিতিশীল বলা হয় যদি, ব্যাঘাত বন্ধ হওয়ার পরে যা এটি পি থেকে বিচ্যুত হয় ওভারসাম্য অবস্থান, এটি এই ভারসাম্য অবস্থানে ফিরে আসে বাকএই আন্দোলনের।

তাই, শুধুমাত্র একটি স্থিতিশীল সিস্টেম কার্যকরখনূহ।

ফর্মের অরৈখিক স্থির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা ACS-কে বর্ণনা করা যাক

কোথায় yk - সিস্টেম স্টেট ভেরিয়েবল;

Yk - কিছু নির্দিষ্ট ডোমেনে সংজ্ঞায়িত পরিচিত ফাংশন জি পরিবর্তনশীল স্পেস yk কোনো t >0.

এই স্থানটিতে, সমীকরণ (3.1) উপাদানগুলি নির্ধারণ করে Yk একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর বেগ ভেক্টর এম , প্রতিনিধিত্বকারী পয়েন্ট বলা হয়. একটি ভৌতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, সমীকরণগুলিকে (3.1) সেই ভৌত আইনগুলি রেকর্ড করার একটি গাণিতিক রূপ হিসাবে বিবেচনা করা উচিত যেগুলির স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার বিষয়৷ অঞ্চল জি ফাংশন সংজ্ঞা Yk রাষ্ট্রীয় স্থানের সেই অংশ যেখানে এই ভৌত আইনের ক্রিয়া প্রসারিত হয়।

পরিমাণ যাক y 10,...., yn 0 স্টেট ভেরিয়েবলের প্রারম্ভিক মানগুলি বোঝায়। প্রাথমিক মানগুলির প্রতিটি সিস্টেম একটি অনন্য সমাধানের সাথে মিলে যায়

যে কোনোটির জন্য সংজ্ঞায়িত সমীকরণ আসুন আমরা ধরে নিই যে সমস্ত গতিবিধির মধ্যে আমরা একটিতে আগ্রহী যেটি সময়ের প্রদত্ত ফাংশন দ্বারা বর্ণিত হয়েছে

বিশেষ ক্ষেত্রে যখন সিস্টেমটি স্থির থাকে এবং ফাংশন থাকে Yk সময় থেকে স্পষ্টভাবে স্বাধীন, তারপর আন্দোলন (3.3) স্থির। তারা তথাকথিত সুস্পষ্ট সমাধান দ্বারা উত্তর দেওয়া হয়

সমীকরণের মূল হিসাবে পরিবেশন করা

পরবর্তীতে আমরা এমন একটি সিস্টেমের গতির স্থিতিশীলতা সম্পর্কে কথা বলব যার সমাধান রয়েছে (3.3), এটির স্থির গতিকে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করে। আসুন বিবেচনায় একটি প্রদত্ত গতি থেকে বিচ্যুতি প্রবর্তন করা যাক

জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন yk সমীকরণের মূল সিস্টেম থেকে প্রাপ্ত, আমরা প্রাপ্ত করি

,

কোথায়

সমীকরণগুলি বিচ্যুতিগুলির সাথে সম্পর্কিত লিখিত হয় যা কোনও ঝামেলার ফলে প্রদর্শিত হয় এবং লিয়াপুনভের পরিভাষায় বলা হয় সমীকরণeবিচলিত গতির নিয়ামি.

সূত্রটি স্থানাঙ্কের সাথে একটি বিন্দুতে স্থানাঙ্কের উৎপত্তি স্থানান্তরের রূপান্তর নির্ধারণ করে এবং তাই, যদি সিস্টেমের সমাধান (3.1) মানগুলির সাথে একত্রিত হয়, তবে সিস্টেমের সমাধানটি শূন্যে রূপান্তরিত হয়। সমীকরণ

ডাকল অস্থির গতির সমীকরণ।

এ t = t 0 ভেরিয়েবল এক্স k তাদের প্রাথমিক মান নিন xk 0 যা বলা হয় ব্যাঘাতএই ধরনের perturbations প্রতিটি প্রদত্ত সিস্টেম একটি অনন্য সমাধান অনুরূপ

এই সমাধান প্রতিনিধিত্ব করে সিস্টেমের বিরক্তিকর গতি।

আমাদের পার্থক্য আচরণ অধ্যয়ন করা যাক t > t 0 . এই জন্য, সমীকরণ বিবেচনা করুন

যা সংজ্ঞায়িত করে n প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দুর দূরত্বের মাত্রিক স্থান বর্গ এম উৎপত্তি থেকে বিঘ্নিত আন্দোলন এ t> t0 নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যেতে পারে:

প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দু M স্থানাঙ্কের উৎপত্তি এবং মান থেকে আরও দূরে সরে যাচ্ছে আর সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায় (চিত্র 3.1-এ বক্ররেখা 1);

প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দু M উৎপত্তির একটি নির্দিষ্ট এলাকার ভিতরে থাকে, যাতে পরিমাণ আর সর্বদা একটি সীমিত মান থাকে যা একটি পূর্বনির্ধারিত ছোট ধনাত্মক সংখ্যা অতিক্রম করে না , সেগুলো. আর < (চিত্র 3.1-এ বক্ররেখা 2);

প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দু M সময়ের সাথে সাথে স্থানাঙ্কের উৎপত্তিতে ফিরে আসে, যেমন (চিত্র 3.1-এ বক্ররেখা 3)।

ভাত। 3.1। প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দুর গতিবিধির ধরন

ভারসাম্য অবস্থা xk =0 স্থিতিশীল বলে বিবেচিত হতে পারে যদি সিস্টেমটি, একটি প্রাথমিক ব্যাঘাত প্রাপ্ত করে, পরবর্তীতে অবিরত থাকে blএবংনিকটতম প্রতিবেশীভারসাম্যের অবস্থা বা এটিতে ফিরে আসে। "তাৎক্ষণিক প্রতিবেশী" ধারণাটির একটি নির্দিষ্ট ব্যাখ্যা দেওয়া প্রয়োজন এবং স্থিতিশীলতার তত্ত্বের প্রতিষ্ঠাতা এ.এম. লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতার নিম্নলিখিত সংজ্ঞা দিয়েছেন।

অনিশ্চিত গতিকে পরিমাণের ক্ষেত্রে স্থিতিশীল বলা হয়xk , যদি কোন ইচ্ছাকৃতভাবে ইতিবাচক chi দেওয়া হয়সঙ্গেলে, এটি যত ছোটই হোক না কেন, এরকম আরেকটি ধনাত্মক সংখ্যা থাকবে ( ) , যেটিতে ঝামেলার জন্যxk 0 , সন্তোষজনক শর্তএবংyam

বিচলিত গতি অসমতা সন্তুষ্ট হবে

কোনোt > t 0. অসমতা অনুমতিযোগ্য প্রাথমিক বিচ্যুতির পরিসরকে সীমাবদ্ধ করে।

যদি ইচ্ছামত ছোট জন্য >0 খুঁজে পাওয়া অসম্ভব ( ) , যেখানে অসমতা (3.11) সন্তুষ্ট হয়, তারপর সিস্টেমটি অস্থির।

যদি সিস্টেম স্থিতিশীল হয় এবং এর গতি এমন হয়, তারপর এই siসঙ্গেবিষয়টি লক্ষণগতভাবে স্থিতিশীল।

এটি চিত্রে যে অনুসরণ করে। 3.1, বক্ররেখা 1 একটি অস্থির সিস্টেমের সাথে, বক্ররেখা 2 একটি স্থিতিশীল সিস্টেমের সাথে এবং বক্ররেখা 3 একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণভাবে স্থিতিশীল সিস্টেমের সাথে মিলে যায়।

এ.এম. লিয়াপুনভ স্ব-চালিত বন্দুকের স্থিতিশীলতা মূল্যায়নের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন। সরাসরি, বা তথাকথিত দ্বিতীয় Lyapunov পদ্ধতি, সিস্টেমের সমস্ত শ্রেণীর অধ্যয়নের জন্য প্রযোজ্য এবং বিশেষ Lyapunov ফাংশন ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে। আমরা ইতিমধ্যে বলেছি যে একটি উল্লেখযোগ্য সংখ্যক সিস্টেম ছোট বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিককরণের অনুমতি দেয় এবং লিয়াপুনভই প্রথম ছিলেন যিনি ছোট ক্ষেত্রে স্থিতিশীলতা সম্পর্কে রায়ের গ্রহণযোগ্যতা প্রমাণ করেছিলেন, যেমন। ছোট বিচ্যুতির জন্য, রৈখিককরণের ফলে প্রাপ্ত প্রথম আনুমানিক সমীকরণ অনুসারে মূল অরৈখিক সিস্টেম।

1 . 1 স্থায়িত্ব নিয়ে গবেষণাপ্রথম আনুমানিক সমীকরণ

যেকোন রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ফর্মের একটি সমাধান থাকে

,

কোথায় i - চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়, এক্স টি( t ) - একটি নির্দিষ্ট সমাধান যা সিস্টেমের প্রয়োজনীয় গতি নির্ধারণ করে। প্রদত্ত আন্দোলন থেকে বিচ্যুতি আকারে লেখা হবে

এটি অনুসরণ করে যে যদি বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সমস্ত শিকড় ঋণাত্মক হয় (একটি নেতিবাচক বাস্তব অংশ থাকে), তবে রৈখিক সিস্টেমটি লক্ষণীয়ভাবে স্থিতিশীল। যদি চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলির মধ্যে অন্তত একটি থাকে যার একটি ইতিবাচক বাস্তব অংশ থাকে, তবে রৈখিক সিস্টেমটিও অস্থির। একটি রৈখিক সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল থেকে ছোট বিচ্যুতির জন্য মূল অরৈখিক সিস্টেমের স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করা কি সম্ভব? এ.এম. লাইপুনভ ছোটে স্থিতিশীলতার উপর নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলো প্রমাণ করেছেন।

উপপাদ্য 1. যদি বাস্তব অংশ k সমস্ত শিকড় k j k প্রথম আনুমানিকতার বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণগুলি নেতিবাচক, তারপরে টেলর সিরিজের সম্প্রসারণের শর্তগুলি নির্বিশেষে মূল অরৈখিক সিস্টেমের অনিশ্চিত গতি অস্বাভাবিকভাবে স্থিতিশীল থাকে যা ক্ষুদ্রতার প্রথম ক্রমটির উপরে বিবেচনা করা হয় না।

উপপাদ্য 2. যদি প্রথম আনুমানিকতার বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড়গুলির মধ্যে একটি ধনাত্মক বাস্তব অংশ সহ অন্তত একটি থাকে, তবে মূল অরৈখিক সিস্টেমের অস্থির গতিটি অস্থির, টেলর সিরিজের বিস্তৃতির শর্তাবলী ক্ষুদ্রতার প্রথম ক্রমটির উপরে নির্বিশেষে যেগুলো বিবেচনায় নেওয়া হয় না।

জটিল ক্ষেত্রে যখন প্রথম আনুমানিক সমীকরণ ব্যবহার করে স্থিতিশীলতা বিচার করা অসম্ভব হয়ে ওঠে যদি সমস্ত শিকড়ের মধ্যে এমন একটি দল থাকে যার প্রকৃত অংশ শূন্যের সমান, এবং বাকিগুলির নেতিবাচক বাস্তব অংশ থাকে।

এর অঙ্কন তাকান.

চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি যেগুলির নেতিবাচক বাস্তব অংশগুলি রয়েছে বাম অর্ধ-তলায় অবস্থিত এবং সিস্টেমের স্থিতিশীল মূল (খুঁটি) বলা হয়। ইতিবাচক বাস্তব অংশগুলির সাথে শিকড়গুলি ডান অর্ধ-সমতলের মধ্যে অবস্থিত এবং সিস্টেমের অস্থির খুঁটি। এই দৃষ্টিকোণ থেকে, কাল্পনিক অক্ষটি স্থায়িত্বের সীমানা এবং এটি বাম দিকে তৈরি।

আগ্রহের বিষয় হল প্রায়শই সম্মুখীন হওয়া ক্ষেত্রে যখন একটি সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদে একটি শূন্য মূল থাকে এবং অবশিষ্ট শিকড়গুলি বাম অর্ধ-তলায় থাকে। এটি সিস্টেমের সমীকরণের সাথে মিলে যায় যেখানে মুক্ত শব্দটি শূন্যের সমান একটি .

অপারেটরকে বন্ধনী থেকে বের করা হচ্ছে s , আমরা পেতে

যেহেতু শূন্য প্রারম্ভিক অবস্থার অধীনে ল্যাপ্লেস অপারেটরটি পার্থক্যের প্রতীক, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে শেষ সমীকরণটি নিয়ন্ত্রিত চলকের গতির সাথে সম্পর্কিত। বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ

শর্ত অনুসারে, এটির শুধুমাত্র স্থিতিশীল শিকড় রয়েছে এবং তাই, নিয়ন্ত্রিত পরিবর্তনশীলের গতির তুলনায় সিস্টেমটি স্থিতিশীল। নিয়ন্ত্রিত পরিমাণের সাথে সম্পর্কিত, সিস্টেমটি নিরপেক্ষ এবং নিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়া শেষ হওয়ার পরে এর মান নির্বিচারে এবং প্রাথমিক অবস্থার উপর নির্ভর করে। এই ধরনের সিস্টেম বলা হয় নিরপেক্ষভাবে স্থিতিশীল।

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড় থেকে সরাসরি স্থিতিশীলতার মূল্যায়ন করা সম্ভব, তবে প্রকৌশল এবং বৈজ্ঞানিক অনুশীলনে এটি খুব কমই কাজে লাগে, যেহেতু শিকড়ের সংখ্যাসূচক মানের জ্ঞান সিস্টেমকে স্থিতিশীল করার উপায় সম্পর্কে তথ্য বহন করে না যদি এটি অস্থির হয় বা স্থিতিশীলতার ছোট মার্জিন আছে। অতএব, স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যে, বিশেষ মানদণ্ড তৈরি করা হয়েছে যা চরিত্রগত সমীকরণের মূলগুলি নির্ধারণ না করেই স্থিতিশীলতার সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করা সম্ভব করে।

1.2 Algebমৌলিক স্থায়িত্বের মানদণ্ড

স্থিতিশীলতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত।

এর শিকড় নির্ধারণের পরে সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

যদি সিস্টেমটি স্থিতিশীল হয় এবং এর সমস্ত শিকড়ের নেতিবাচক বাস্তব অংশ থাকে, তবে শেষ অভিব্যক্তিতে বন্ধনী খোলার পরে আমরা সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ পাই

,

যার মধ্যে সমস্ত সহগ ক i , i =1,2,... n , শূন্যের চেয়ে কঠোরভাবে বড় হবে।

সিস্টেমটি স্থিতিশীল হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয়, কিন্তু পর্যাপ্ত নয় যে এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত সহগ n এর চেয়ে কঠোরভাবে বেশি হবে এলা.

অপর্যাপ্ততার ধারণার অর্থ হল যে কোনও সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের যেকোন সহগ যদি শূন্যের চেয়ে কম বা শূন্যের সমান হয় তবে সিস্টেমটি অস্থির, তবে সমস্ত সহগের ইতিবাচকতার অর্থ এই নয় যে সিস্টেমটি স্থিতিশীল। আরো গবেষণা প্রয়োজন.

Hurwitz স্থিতিশীলতার মানদণ্ড।

এই মানদণ্ড অনুযায়ী স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করার জন্য, নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সহগ থেকে Hurwitz নির্ধারক তৈরি করা প্রয়োজন:

প্রধান তির্যক বরাবর চারিত্রিক সমীকরণের সমস্ত সহগ থেকে a1 আগে ক n সূচকের আরোহী ক্রমে;

নির্ধারকের কলামগুলি প্রধান তির্যক থেকে নীচের দিকে সূচকগুলি হ্রাস করে এবং সূচকগুলি বৃদ্ধি করে উপরের দিকে সহগ দিয়ে পূর্ণ হয়;

সহগ স্থানগুলির সূচকগুলি বড় n বা শূন্যের কম শূন্য দিয়ে পূর্ণ।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি 5ম অর্ডার সিস্টেমের জন্য হুরভিটজ নির্ধারক রচনা করি। সিস্টেমের চরিত্রগত সমীকরণ ফর্ম আছে

যেখানে সমস্ত সহগ শূন্যের চেয়ে কঠোরভাবে বেশি। আমরা পেতে

.

চরিত্রগত সমীকরণের সমস্ত শিকড়ের নেতিবাচক বাস্তব অংশ থাকতে এবং সিস্টেমটি স্থিতিশীল হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবংএটি যথেষ্ট যে সমস্ত সহগ এবং সমস্ত তির্যক নির্ধারণ করেeHurwitz নির্ধারক কঠোরভাবে শূন্য থেকে বড় ছিল কিনা।

একটি 5 তম অর্ডার সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

ক k >0, k =0,1,2,...5;

2 =a1a2 - a0a3>0;

3=a3 2 - a12a4>0;

4 =a4 3 -a2a5 2 + a0a5(a1a4 - a0a5)>0;

5 =a5 4>0.

যেহেতু প্রয়োজনীয় স্থিতিশীলতার অবস্থা সন্তুষ্ট হয়, সবসময় ক n >0, তারপর সিস্টেমের স্থিতিশীলতা পর্যন্ত নির্ধারক দ্বারা বিচার করা যেতে পারে n -1 অন্তর্ভুক্ত . এটা প্রমাণিত হয়েছে যে যদি n -1=0, তারপর সিস্টেমটি দোলনীয় স্থিতিশীলতার সীমানায়, অর্থাৎ বিশুদ্ধভাবে কাল্পনিক শিকড় একটি জোড়া আছে. শর্ত থেকে n -1=0 সিস্টেমের পরামিতিগুলির সমালোচনামূলক মানগুলি নির্ধারণ করা সম্ভব যেখানে এটি স্থিতিশীলতার সীমানায় পৌঁছেছে।

উদাহরণ। বিমানের পিচ অ্যাঙ্গেল স্ট্যাবিলাইজেশন সিস্টেমের স্থিতিশীলতা তদন্ত করুন এবং অটোপাইলট পিচ অনুপাতের সমালোচনামূলক মান নির্ধারণ করুন। সিস্টেমটি একটি ব্লক ডায়াগ্রাম দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়।

চিত্রটি দেখায়:

k- পিচ কোণে অটোপাইলটের গিয়ার অনুপাত (ট্রান্সমিশন সহগ);

স্টিয়ারিং গিয়ার স্থানান্তর ফাংশন;

পিচ কৌণিক বেগের পরিপ্রেক্ষিতে একটি বিমানের স্থানান্তর ফাংশন z ;

k z - পিচ কৌণিক বেগের জন্য অটোপাইলট গিয়ার অনুপাত।

একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশনের জন্য, আমরা লিখতে পারি

কোথায়

ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশন ফর্মটি গ্রহণ করবে

কোথায়

চলুন Hurwitz নির্ধারক রচনা করা যাক

আসুন আমরা নিম্নলিখিত প্যারামিটার মানগুলির জন্য সিস্টেমের স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করি:

.

চরিত্রগত সমীকরণের সহগগুলির জন্য এই মানগুলির সাথে আমরা প্রাপ্ত করি

ফলস্বরূপ, একটি বন্ধ-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত সহগ ধনাত্মক এবং

স্থিতিশীলতার শর্তগুলি সন্তুষ্ট এবং সিস্টেমটি নির্বাচিত পরামিতিগুলির অধীনে স্থিতিশীল।

আসুন পিচ কোণের জন্য গিয়ার অনুপাতের সমালোচনামূলক মান নির্ধারণ করি, যার জন্য আমরা তৃতীয় তির্যক নির্ধারককে শূন্যের সাথে সমান করি এবং রূপান্তর করি।

শুধুমাত্র শেষ অভিব্যক্তিতে d 3 এবং d 4 সহগ এর ফাংশন k এবং তাদের প্রতিস্থাপন করে, আমরা এই সহগের জন্য একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাই

এই সমীকরণটি সমাধান করার পরে, আমরা পিচ অনুপাতের সমালোচনামূলক মান পাই

সিস্টেম স্থিতিশীল যদি k <16.56.

রুথ স্থিতিশীলতার মানদণ্ড।

Routh মানদণ্ডের জন্য Hurwitz মানদণ্ডের তুলনায় সামান্য কম গণনা প্রয়োজন এবং কম্পিউটার প্রোগ্রামিংয়ের জন্য এটি আরও সুবিধাজনক। এই মানদণ্ড ব্যবহার করে সিস্টেমের স্থায়িত্ব বিচার করার জন্য, একটি Routh টেবিল কম্পাইল করা প্রয়োজন।

রুথ টেবিল

এর জন্য প্রতিটি লাইনের উপাদান i >2 সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়ের জন্য l তে থাকাeঅর্ধ-বিমান এবং সিস্টেমটি স্থিতিশীল, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে রুথ টেবিলের প্রথম কলামের সমস্ত উপাদান কঠোরভাবে ইতিবাচক হবে এবংটেলনি।

1.3 ফ্রিকোয়েন্সি স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

যুক্তির নীতি।

ফ্রিকোয়েন্সি স্থিতিশীলতার মানদণ্ডগুলি গ্রাফিকাল-বিশ্লেষণমূলক আকারে ব্যবহৃত হয় এবং গণনা করার সময় দুর্দান্ত স্পষ্টতার দ্বারা আলাদা করা হয়। সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সি পদ্ধতি যুক্তি নীতির উপর ভিত্তি করে।

সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ বিবেচনা করুন

যদি i , i =1,2,... n - এই সমীকরণের শিকড়, তারপর

জটিল সমতলের প্রতিটি মূল একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে মিলে যায় এবং জ্যামিতিকভাবে এই সমতলে প্রতিটি মূলকে মডুলাস সহ একটি ভেক্টর হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। i , উৎপত্তি থেকে আঁকা (চিত্র 3.4)। এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক s = j এবং আমরা পাই

ভেক্টর বিয়োগের নিয়ম অনুসারে, আমরা পাই যে প্রতিটি প্রাথমিক ভেক্টরের শেষ ( j - i ) কাল্পনিক অক্ষে থাকা।

ভেক্টর যুক্তি ডি ( j ) প্রাথমিক ভেক্টরের আর্গুমেন্টের সমষ্টির সমান

ভেক্টর ঘূর্ণন দিক ( j - i ) থেকে ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তন হিসাবে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে - + পর্যন্ত ইতিবাচক, এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে - নেতিবাচক হিসাবে বিবেচিত হয়। ধরা যাক চরিত্রগত সমীকরণ আছে মি ডান অর্ধেক সমতল মধ্যে শিকড় এবং n - মি বাম অর্ধেক সমতল শিকড়. যখন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তিত হয় - থেকে + প্রতিটি ভেক্টর ( j - i ), যার উৎপত্তি বাম অর্ধেক সমতল একটি কোণ মাধ্যমে ঘোরানো হবে + , এবং প্রতিটি ভেক্টর যার উৎপত্তি ডান অর্ধ-সমতল-এ অবস্থিত - একটি কোণ দ্বারা - . একটি ভেক্টর যুক্তি পরিবর্তন ডি ( j ) সেখানে হবে

এই অভিব্যক্তিটি যুক্তির নীতিকে সংজ্ঞায়িত করে।

একটি ভেক্টর যুক্তি পরিবর্তনডি ( j ) যখন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তিত হয় -থেকে +সংখ্যার মধ্যে পার্থক্যের সমান( n - মি ) সমীকরণের মূল ডি ( s )=0 , বাম অর্ধেক প্লেনে শুয়ে, এবং সংখ্যামি এই সমীকরণের শিকড় ডান অর্ধেক মিথ্যাএসমতল দ্বারা গুণিত .

মিখাইলভ স্থিতিশীলতার মানদণ্ড।

(3.14) থেকে এটি অনুসরণ করে যে যদি বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সমস্ত শিকড় বাম অর্ধ-সমতলের মধ্যে থাকে, অর্থাৎ মি =0 , যে

এটি মিখাইলভ মানদণ্ডের প্রথম প্রণয়নকে বোঝায়।

স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা স্থিতিশীল থাকে যদি, ফ্রিকোয়েন্সি থেকে বৃদ্ধি পায় -থেকে +ভেক্টর যুক্তি পরিবর্তনডি ( j ) সমান হবেn , কোথায়n - চরিত্রগত সমীকরণের ক্রম।

ভেক্টর ডি ( j ) ফর্মে উপস্থাপন করা যেতে পারে

এই অভিব্যক্তির আসল উপাদানটি একটি জোড় ফাংশন, এবং কাল্পনিক উপাদানটি ফ্রিকোয়েন্সির একটি বিজোড় ফাংশন, যেমন উ (- )= উ ( ); ভি (- )= - ভি ( ) এবং ডি (- j )= উ ( ) - jV ( ).

এটি অনুসরণ করে যে মিখাইলভ বক্ররেখা বাস্তব অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসাম্য এবং এটি নির্মাণ করার সময় আপনি নিজেকে কম্পাঙ্ক পরিসীমা থেকে সীমাবদ্ধ করতে পারেন 0 থেকে + . একটি ভেক্টর যুক্তি পরিবর্তন ডি ( j ) এই ক্ষেত্রে, এটি অর্ধেক কমে যাবে এবং মিখাইলভ মানদণ্ডের গঠন নিম্নরূপ হবে।

স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা স্থিতিশীল থাকে যদি, যখন ফ্রিকোয়েন্সি 0 থেকে + পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়ভেক্টরডি ( j ) একটি কোণে পরিণত হবেn /2 অথবা, একই কি, যদি মিখাইলভ বক্ররেখা একই পরিবর্তনের সাথে অবস্থান থেকে শুরু করেএবংবাস্তব বাস্তব আধা-অক্ষ, ধনাত্মক n এ ক্রমানুসারে ঘুরে বেড়ায়কবোর্ডn চতুর্ভুজ এবং শেষ হয়n -ওহম চতুর্ভুজ (চিত্র 3.5)।

যদি কমপক্ষে একটি চতুর্ভুজ অনুপস্থিত থাকে (চিত্র 3.6), তবে সিস্টেমটি অস্থিরমচিভা।

একটি স্থিতিশীল স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার জন্য মিখাইলভ বক্ররেখার আচরণ পর্যবেক্ষণ করে, কেউ লক্ষ্য করতে পারে যে এটি কখন অতিক্রম করে n সমীকরণের চতুর্ভুজ মূল উ ( )=0 এবং ভি ( )=0 একে অপরের সাথে বিকল্প, যেমন সমীকরণের দুটি মূলের মধ্যে ভি ( )=0 সমীকরণের একটি মূল আছে উ ( )=0.

পদ্ধতি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ স্থিতিশীল যদি সমীকরণের শিকড়ভি ( )=0 এবং উ ( )=0 বাস্তব এবং একে অপরের সঙ্গে interspersed.

সিস্টেমটি স্থিতিশীলতার সীমানায় থাকতে পারে এবং এটি দুটি ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়:

সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে একটি শূন্য মূল রয়েছে, যা কখন হবে ক n = 0 ; বক্ররেখা মিখাইলোভা এই ক্ষেত্রে এটি স্থানাঙ্কের উত্স ছেড়ে দেয়;

2) চরিত্রগত সমীকরণের একজোড়া সম্পূর্ণ কাল্পনিক শিকড় রয়েছে j k এবং ডি ( j k )= উ ( k )+ jV ( k )=0, যা শুধুমাত্র একই সময়ে ঘটতে পারে উ ( k )=0 এবং ভি ( k )=0; এর মানে হল মিখাইলভ বক্ররেখা উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়।

ভাত। 3.5। চিত্রের জন্য মিখাইলভ বক্ররেখা। 3.6। স্থিতিশীল স্ব-চালিত বন্দুক এবং অস্থির স্ব-চালিত বন্দুকের জন্য মিখাইলভ বক্ররেখা

মিখাইলভ মানদণ্ড ব্যবহার করে, সিস্টেমের পরামিতিগুলির সমালোচনামূলক মানগুলি নির্ধারণ করা সম্ভব যেখানে এটি স্থিতিশীলতার সীমানায় রয়েছে, বিশেষ করে সমালোচনামূলক লাভ ফ্যাক্টর। এটি করার জন্য, আপনাকে সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করতে হবে

উদাহরণ। মিখাইলভ মানদণ্ড ব্যবহার করে, বিমানের পিচ কোণ স্থিতিশীলতা সিস্টেমের স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করুন এবং গিয়ার অনুপাতের সমালোচনামূলক মান নির্ধারণ করুন k .

একটি বন্ধ সিস্টেমের চরিত্রগত সমীকরণ উপরে প্রাপ্ত করা হয়েছে এবং ফর্ম আছে

এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক s = j এবং বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ নির্বাচন করুন

মিখাইলভ বক্ররেখা পূর্বে নির্দিষ্ট করা সিস্টেম পরামিতি দিয়ে তৈরি করা হয়েছে চিত্র 3.7-এ দেখানো ফর্ম।

বক্ররেখা প্রকৃত ধনাত্মক আধা-অক্ষে শুরু হয়, পরপর ৪টি চতুর্ভুজের মধ্য দিয়ে যায় এবং ৪র্থ চতুর্ভুজে শেষ হয়। অতএব, এই পরামিতিগুলির জন্য, অধ্যয়নের অধীনে সিস্টেমটি স্থিতিশীল।

ভাত। 3.7। পিচ কোণ স্থিতিশীল সিস্টেমের জন্য Mikhailov বক্ররেখা

পিচ কোণের জন্য গিয়ার অনুপাতের সমালোচনামূলক মান নির্ধারণ করতে, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম কম্পাইল করব

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা ফ্রিকোয়েন্সি নির্ধারণ করি এবং প্রথম সমীকরণে এটির জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি, রূপান্তরের পরে আমরা গিয়ার অনুপাতের পছন্দসই মান সম্পর্কিত একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাই।

Hurwitz মানদণ্ড ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করার সময় প্রাপ্ত সমীকরণটি সম্পূর্ণরূপে অভিন্ন এবং ফলাফলটি একই

হাই-অর্ডার সিস্টেমের জন্য মিখাইলভ বক্ররেখার নির্মাণ কষ্টকর গণনা এবং গ্রাফিকাল নির্মাণের সাথে যুক্ত হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের মূল থেকে স্থিতিশীলতা অনুমান করা সহজ হতে পারে উ ( )=0 এবং ভি ( )=0. আসুন এই সমীকরণগুলির মূলগুলি নির্ধারণ করি এবং সেগুলিকে সমীকরণের সংখ্যা অক্ষের মূলে স্থাপন করি উ()=0

Nyquist স্থিতিশীলতার মানদণ্ড।

Nyquist স্থিতিশীলতার মানদণ্ড আমাদের স্থিতিশীলতা বিচার করতে দেয় বন্ধএওপেন-লুপ সিস্টেমের ফেজ রেসপন্সের ধরন অনুযায়ী সেই সিস্টেম।

ওপেন-লুপ এবং ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশনগুলির ফর্ম থাকতে দিন:

কোথায় ডি ( s )- একটি বদ্ধ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদ। ফ্রিকোয়েন্সি উপস্থাপনা উপর চলন্ত, আমরা পেতে

ভেক্টর এন ( j ) Nyquist ভেক্টর বলা হয়। স্পষ্টতই, এই ভেক্টরের লব এবং হর একই ক্রম আছে n . Nyquist মানদণ্ড ব্যবহার করার সময়, দুটি ক্ষেত্রে পার্থক্য করা আবশ্যক।

1)। ওপেন-লুপ সিস্টেম স্থিতিশীল এবং এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ ক ( s )=0 বাম অর্ধ সমতল সব শিকড় আছে. তারপর, যখন ফ্রিকোয়েন্সি 0 থেকে পরিবর্তিত হয়

একটি ভেক্টর যুক্তি পরিবর্তন ডি ( j ) সাধারণ ক্ষেত্রে এটি সমান

কোথায় মি - সমীকরণের মূল সংখ্যা ডি ( s )=0, ডান অর্ধেক প্লেনে শুয়ে আছে। স্থিতিশীলতা ফ্রিকোয়েন্সি বন্ধ অপরিবর্তনীয়তা

Nyquist ভেক্টরের আর্গুমেন্ট পরিবর্তন করা হবে

যদি বন্ধ সিস্টেম স্থিতিশীল হয়, তাহলে মি =0 এবং

কখন থেকে , ডব্লিউ ( j ) 0, যে এন ( j ) 1. চিত্র 3.8a বিবেচনা করুন, যা Nyquist বক্ররেখা দেখায়, যা Nyquist ভেক্টর দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে যেহেতু ফ্রিকোয়েন্সি 0 থেকে পরিবর্তিত হয়। এটা যাচাই করা সহজ যে Nyquist ভেক্টর শুধুমাত্র শূন্যের সমান একটি কোণ বর্ণনা করবে যদি এর হোডোগ্রাফ উৎপত্তি না করে। স্থানাঙ্কের মূল স্থানাঙ্কের সাথে বিন্দুতে নিয়ে যাওয়া যাক (1, j 0) (চিত্র 3.9b)। আপনি নিশ্চিত করতে পারেন যে Nyquist ভেক্টরের যুক্তিতে পরিবর্তন শূন্যের সমান হবে যদি AFC ডব্লিউ ( j ) ওপেন-লুপ সিস্টেম কভার করে না স্থানাঙ্ক সহ সমালোচনামূলক বিন্দু(-1, j 0).

ভাত। 3.9। Nyquist মানদণ্ডের সংজ্ঞার দিকে

বিবেচনাধীন মামলার জন্য Nyquist মানদণ্ড নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে৷

খোলা অবস্থায় স্থিতিশীল একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা বন্ধ অবস্থায় স্থিতিশীল হবে যদি AFC ডব্লিউ ( j ) ওপেন-লুপ সিস্টেম যখন ফ্রিকোয়েন্সি 0 থেকে পরিবর্তন করেস্থানাঙ্ক (-1,j0).

এককতা দেখা দেয় যদি ওপেন-লুপ সিস্টেম নিরপেক্ষ-স্থিতিশীল হয়, যেমন

যেখানে বহুপদ ক 1( s ) বাম অর্ধ সমতল সব শিকড় আছে. এ =0 ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC প্রতিক্রিয়া ডব্লিউ ( j )= এবং এই বিন্দুর আশেপাশে এএফসি বক্ররেখার আচরণের সন্ধান করা অসম্ভব। যখন ফ্রিকোয়েন্সি - থেকে + পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়, তখন কল্পিত অক্ষ বরাবর নীচে থেকে উপরে এবং কখন শিকড়ের গতিবিধি পরিলক্ষিত হয় =0 একটি অন্তহীন ফাঁক আছে. এই আন্দোলনের সাথে, আমরা অসীম ব্যাসার্ধের একটি অর্ধবৃত্ত বরাবর শূন্য মূল (চিত্র 3.10) এর চারপাশে যাব। যাতে এই মূলটি বাম দিকে থাকে, অর্থাৎ আসুন কৃত্রিমভাবে এটিকে বাম অর্ধ-বিমানে উল্লেখ করি।

ভাত। 3.10। নিরপেক্ষ-স্থিতিশীল স্ব-চালিত বন্দুকের জন্য নিকুইস্ট হোডোগ্রাফ

এই অর্ধবৃত্তের সাথে ধনাত্মক দিকে অগ্রসর হলে, স্বাধীন চলকটি আইন অনুসারে পরিবর্তিত হয়

ফেজ কোথায় ( ) থেকে পরিবর্তিত হয় - / 2 থেকে + / 2. গুণকের পরিবর্তে স্থানান্তর ফাংশনে এই অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপন করা s হর মধ্যে, আমরা পেতে

কোথায় আর এ 0 , এবং ফেজ ( ) থেকে পরিবর্তিত হয় + / 2 আগে - / 2. ফলস্বরূপ, শূন্য মূলের সান্নিধ্যে হোডোগ্রাফ ডব্লিউ ( j ) অসীম বৃহৎ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের একটি অংশকে উপস্থাপন করে, যার সাথে গতিবিধি নেতিবাচক দিকে বৃদ্ধির সাথে সাথে ঘটে।

একটি ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করার জন্য, যদি ওপেন-লুপ সিস্টেম নিরপেক্ষভাবে স্থিতিশীল হয়, তাহলে এটি করা প্রয়োজনডব্লিউ ( j ) খোলা লুপসঙ্গেনিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি থেকে শুরু করে, নেতিবাচক দিক থেকে অসীম বৃহৎ ব্যাসার্ধের একটি চাপ দিয়ে বিষয়ের পরিপূরক করুন এবং এর ফলে বন্ধ বক্ররেখার জন্য, একই সময়ে স্থিতিশীল সিস্টেমগুলির জন্য Nyquist মানদণ্ড ব্যবহার করুন প্রতিপুদিনা অবস্থায়

2) একটি খোলা-লুপ সিস্টেম অস্থির। এক্ষেত্রে

কোথায় আর- ডান অর্ধেক প্লেনে থাকা একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড়ের সংখ্যা। যদি বন্ধ সিস্টেম স্থিতিশীল হয়, i.e. মি =0 , যে

সেগুলো. ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC রেসপন্স ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট (-1,j0) কে ইতিবাচক দিক দিয়ে কভার করে পি / 2 একদা.

একটি সিস্টেম যা খোলা অবস্থায় অস্থির তা বন্ধ অবস্থায় স্থিতিশীল হবে যদি AFCডব্লিউ ( j সঙ্গে ) ওপেন-লুপ সিস্টেম এ এবংজপরিবর্তন 0 থেকে ফ্রিকোয়েন্সিসমালোচনামূলক বিন্দু কভার করে (-1,j0) অবস্থানেএবংসোজা দিকr/2 বার যেখানেআর- ওপেন সার্কিটের ডান খুঁটির সংখ্যাসঙ্গেবিষয়.

ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট কভারেজের সংখ্যা নির্ধারণ করা সহজ কাজ নয়, বিশেষ করে হাই-অর্ডার সিস্টেমের ক্ষেত্রে। অতএব, বিবেচনাধীন মামলার জন্য Nyquist মানদণ্ডের একটি ভিন্ন প্রণয়ন ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে প্রয়োগ পেয়েছে।

হডোগ্রাফ রূপান্তর ডব্লিউ ( j ) বাস্তব আধা-অক্ষের একটি অংশের মাধ্যমে (- ,-1), সেগুলো. ক্রিটিক্যাল পয়েন্টের বাম দিকে, ফ্রিকোয়েন্সি উপরে থেকে নিচের দিকে বাড়ার সাথে সাথে এটাকে ইতিবাচক এবং নিচ থেকে উপরে, নেতিবাচক বলে মনে করা হয়।

একটি সিস্টেম যা খোলা অবস্থায় অস্থির তা বন্ধ অবস্থায় স্থিতিশীল হবে যদি ধনাত্মক এবং o সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য থাকে টিনেতিবাচক রূপান্তর, একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের ফেজ প্রতিক্রিয়া বৈশিষ্ট্য সমানr/2।

যেখানে ইতিবাচক রূপান্তরের সংখ্যা, নেতিবাচক রূপান্তরের সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, অ্যাভানগার্ড লঞ্চ গাড়ির স্থানান্তর ফাংশনে দুটি অস্থির খুঁটি রয়েছে এবং এর AFC চিত্রে দেখানো হয়েছে। 3.11।

ভাত। 3.11। অ্যাভানগার্ড রকেটের AFFC

স্পষ্টতই, এই রকেটের জন্য, একটি নিয়ন্ত্রণ বস্তু হিসাবে,

a এবং বন্ধ সিস্টেম স্থিতিশীল হবে।

স্থিতিশীলতা মজুদ।

ক্লোজড-লুপ ACS-এর স্থায়িত্ব নির্ভর করে ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC হোডোগ্রাফের অবস্থানের উপর নির্ভর করে ক্রিটিক্যাল পয়েন্টের সাপেক্ষে। এই বক্ররেখা ক্রিটিক্যাল পয়েন্টের যত কাছে, বন্ধ ACS স্থিতিশীলতার সীমার কাছাকাছি। স্থিতিশীল সিস্টেমের জন্য, সমালোচনামূলক বিন্দু থেকে একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের ফেজ-ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ার দূরত্ব সাধারণত ফেজ এবং মাত্রায় স্থিতিশীলতার মার্জিন দ্বারা মূল্যায়ন করা হয়।

আসুন আমরা ধরে নিই যে কিছু ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC প্রতিক্রিয়া চিত্রে দেখানো ফর্ম রয়েছে। 3.12।

ভাত। 3.12। ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC প্রতিক্রিয়া

কোণ , একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত সহ AFC-এর ছেদ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা দ্বারা গঠিত, যা সিস্টেমের কাটঅফ ফ্রিকোয়েন্সির সাথে মিলে যায় এবং ঋণাত্মক বাস্তব আধা-অক্ষকে স্থিতিশীলতা মার্জিন বলা হয় মসিস্টেমের ফেজ প্রতিক্রিয়াশীলতা।

(3.24)

স্থিতিশীলতার মার্জিনএবং পরম মান বলা হয়

(3.25)

কোথায় ক( )- ফ্রিকোয়েন্সিতে AFC মান = , যেখানে এটি বাস্তব অক্ষকে ছেদ করে।

সমস্ত সিস্টেম নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তা পূরণ করতে হবে:

যেহেতু AFC একটি নির্দিষ্ট স্কেলে গ্রাফিকভাবে প্লট করা হয়েছে, মডুলো স্থায়িত্ব মার্জিন গণনা করার জন্য, আপনি কেবলমাত্র একতা এবং OB এর সাথে সম্পর্কিত অংশগুলির দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে পারেন এবং প্রথম পরিমাপের ফলাফলকে দ্বিতীয় দ্বারা ভাগ করতে পারেন। আপনি যদি সিস্টেম লাভ বাড়ান, তাহলে বিন্দু বিন্দু বাম দিকে সরে যাবে এবং OB = -1-এ লাভটি একটি গুরুত্বপূর্ণ মান নেবে। অতএব, মডুলাসের স্থায়িত্ব মার্জিনও সূত্র ব্যবহার করে নির্ধারণ করা যেতে পারে

উদাহরণ। Nyquist মানদণ্ড ব্যবহার করে, একটি ক্লোজড-লুপ পিচ অ্যাঙ্গেল স্ট্যাবিলাইজেশন সিস্টেমের স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করুন এবং এর স্থায়িত্ব মার্জিন নির্ধারণ করুন।

ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন আগে প্রাপ্ত হয়েছিল এবং ফর্ম আছে

সহগগুলির সংখ্যাসূচক মানগুলি নির্দিষ্ট বা পূর্বে গণনা করা হয়। এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক s = j :

রূপান্তর পরে আমরা পেতে

০ থেকে ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তন করে আমরা একটি AFC বক্ররেখা তৈরি করব - ডুমুর। 3.13। একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের একটি চাপ আঁকার পর, আমরা নির্ধারণ করি যে ফেজ স্থায়িত্ব মার্জিন =1100 . বিবেচনাধীন উদাহরণের জন্য আমরা যে প্রাপ্ত জ =3.3.

ভাত। 3.13। পিচ অ্যাঙ্গেল স্ট্যাবিলাইজেশন সিস্টেমের AFFC

ফলে স্থায়িত্ব মার্জিন উপরোক্ত প্রয়োজনীয়তা সন্তুষ্ট.

LCH দ্বারা স্থিতিশীলতা মূল্যায়ন

ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC বৈশিষ্ট্য দুটি প্রকারে বিভক্ত:

প্রথম ধরণের AFC, সমস্ত বিন্দু যার বাস্তব অক্ষের সাথে ছেদগুলি সমালোচনামূলক বিন্দুর ডানদিকে অবস্থিত (বক্ররেখা 1, চিত্র 3.14);

দ্বিতীয় ধরণের AFC, বিন্দু যার বাস্তব অক্ষের সাথে ছেদগুলি সমালোচনামূলক বিন্দুর ডান এবং বাম উভয় দিকে অবস্থিত (বক্ররেখা 2, চিত্র 3.14)।

প্রথম ধরণের সিস্টেমে, লাভ বৃদ্ধির ফলে বক্র শাখার বাম দিকে স্থানান্তরিত হয় এবং এটি সমালোচনামূলক বিন্দুতে পৌঁছায়। এই ক্ষেত্রে, স্থায়িত্ব মার্জিন হ্রাস এবং কখন k = k cr সিস্টেমটি স্থিতিশীলতার সীমানায় পৌঁছেছে। লাভ হ্রাস সিস্টেমকে স্থিতিশীল করে। ২য় প্রকারের সিস্টেমে, সিস্টেমের স্থিতিশীলতার সীমানায় রূপান্তর লাভের বৃদ্ধি এবং হ্রাস উভয়ই ঘটতে পারে। Nyquist মানদণ্ড থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি ক্লোজড-লুপ সিস্টেম যেখানে খোলা অবস্থায় 1ম ধরণের AFC প্রতিক্রিয়া রয়েছে তা স্থিতিশীল থাকে যদি AFC প্রতিক্রিয়ার সমস্ত পয়েন্ট, ইউনিট ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের সাথে এর ছেদ বিন্দু পর্যন্ত ( = সঙ্গে) , ফেজের মানগুলির সাথে মিলিত হয় ( ) , চেয়ে বড় - , অর্থাৎ অসমতা সন্তুষ্ট করা আবশ্যক সঙ্গে< . এই সংজ্ঞা LCH ভাষায় ব্যাখ্যা করা সহজ।

একটি সিস্টেমের জন্য যা খোলা অবস্থায় স্থিতিশীল এবং বন্ধ অবস্থায় স্থিতিশীল হওয়ার জন্য প্রথম ধরণের একটি AFC আছে, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিতে LAC n ওইতিবাচক, ফেজের বৈশিষ্ট্যগত মানগুলি এর চেয়ে বেশি ছিল -, অর্থাৎসঙ্গে< .

LFC থেকে, স্থিতিশীলতার মার্জিনগুলিও সহজেই নির্ধারণ করা যেতে পারে এবং লগারিদমিক স্কেলে পরিবর্ধনের জন্য স্থিতিশীলতার মার্জিন অবশ্যই শর্তটি পূরণ করতে হবে এন >6dB , যা মানগুলির সাথে মিলে যায় জ >2.

একটি ACS যেটি খোলা অবস্থায় অস্থির এবং বদ্ধ অবস্থায় স্থিতিশীল হওয়ার জন্য দ্বিতীয় ধরণের ফেজ-ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া আছে তার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় খএটা সম্ভব এবং যথেষ্ট যে ধনাত্মক এবং o সংখ্যার মধ্যে পার্থক্যটিলাইনের মাধ্যমে ফেজের বৈশিষ্ট্যের নেতিবাচক রূপান্তর -সমান ছিলr/2, কোথায়আর - ডান অর্ধ-তলায় থাকা একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড়ের সংখ্যা, সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিতে যখন এল ( )>0.

এটি অবশ্যই জোর দেওয়া উচিত যে LFC দ্বারা স্থিতিশীলতা মূল্যায়ন এবং স্থিতিশীলতা মার্জিন নির্ধারণের জন্য দেখানো পদ্ধতিগুলি ফেজ বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত অর্ডিনেট অক্ষের এই ধরনের অবস্থানের জন্য বৈধ, যখন বিন্দুটি স্থানাঙ্কের উত্সের সাথে মিলিত হয়। ( )=-1800.

সমালোচনামূলক লাভ LFC থেকেও নির্ধারণ করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, LAX কে নিজের সাথে সমান্তরাল সংযোজন রেখা বরাবর স্থানান্তর করা প্রয়োজন যাতে শর্তটি সন্তুষ্ট হয়। সঙ্গে = এবং নতুন প্রাপ্ত LAC-এর জন্য লাভ গণনা করুন।

স্ট্যাটিক এবং অ্যাস্ট্যাটিক সিস্টেমের জন্য সমালোচনামূলক লাভের সংকল্প চিত্রে চিত্রিত করা হয়েছে। 3.17a এবং 3.17b.

উদাহরণ। একটি পিচ অ্যাঙ্গেল স্ট্যাবিলাইজেশন সিস্টেমের LFC তৈরি করুন এবং এর স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করুন। স্থিতিশীলতার মার্জিন নির্ধারণ করুন এবং পিচ অনুপাতের সমালোচনামূলক মান গণনা করুন।

একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন ফর্মে হ্রাস করা যেতে পারে

একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড়গুলির নিম্নলিখিত মান রয়েছে:

অতএব, রূপান্তর পরে আমরা পেতে

আসুন কনজুগেশন ফ্রিকোয়েন্সি নির্ধারণ করি এবং স্থানাঙ্ক গ্রিড ভাগ করি।

ওপেন-লুপ সিস্টেমের লাভের সমান হওয়ায় সিস্টেমের এলএসি তৈরি করা যাক, যেহেতু আপেক্ষিক টেনশন হার ছোট, তাই কনজুগেশন ফ্রিকোয়েন্সির আশেপাশে ফলস্বরূপ এলএসি পরিমার্জন করা প্রয়োজন। 03. এটি বিশেষ গ্রাফ ব্যবহার করে বা একটি পরিচিত প্রশস্ততা ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া ব্যবহার করে গণনার মাধ্যমে করা যেতে পারে। এই সিস্টেমের ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়

কাপলিং ফ্রিকোয়েন্সির আশেপাশে বেশ কয়েকটি ফ্রিকোয়েন্সি মান প্রতিস্থাপন করা 03, আমরা ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া মানগুলি পাব, এলএফসি মানগুলি গণনা করব এবং একটি স্পষ্ট বক্ররেখা তৈরি করব। ফেজ ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া স্থানান্তর ফাংশনে অন্তর্ভুক্ত সাধারণ লিঙ্কগুলির ফেজ বৈশিষ্ট্যের যোগফল হিসাবে নির্মিত হয়

কোথায়

LFC গ্রাফ থেকে এটি অনুসরণ করে সঙ্গে< এবং, তাই, বন্ধ সিস্টেম স্থিতিশীল. ফেজ স্থায়িত্ব মার্জিন =1080 . একটি ছোট আপেক্ষিক স্যাঁতসেঁতে সহগ সহ দোলক লিঙ্ক অন্তর্ভুক্ত সিস্টেমগুলির জন্য, মডুলাস স্থায়িত্ব মার্জিন অনুরণন বিন্দুতে নির্ধারিত হয় এবং এই ক্ষেত্রে এটি 10 ​​dB এর সমান, যা h = 3.16 মানের সাথে মিলে যায়। স্থিতিশীলতার মার্জিনের প্রাপ্ত মানগুলি হুরভিটজ এবং মিখাইলভ মানদণ্ড অনুসারে গণনা করা মানগুলির থেকে কিছুটা আলাদা। অধ্যয়নের অধীনে ক্ষেত্রে, সমালোচনামূলক লাভ স্পর্শ দ্বারা নির্ধারিত হয় এল(আর)ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষ আসুন LAX কে নিজের সাথে সমান্তরাল সরানো যাক যাতে বিন্দুতে = আরএটি ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষকে স্পর্শ করেছে এবং আমরা প্রথম অ্যাসিম্পটোটটিকে প্রসারিত করব যতক্ষণ না এটি ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষের সাথে ছেদ করে। এই মুহূর্তে k= =7.244, যা মানের সাথে মিলে যায় ( k)cr=16.74।

2. স্থিতিশীলতার ক্ষেত্রগুলির সনাক্তকরণ

একটি ACS বৈশিষ্ট্যযুক্ত শারীরিক পরামিতিগুলির মধ্যে, সর্বদা বেশ কয়েকটি রয়েছে যা সহজেই পরিবর্তনযোগ্য এবং নির্দিষ্ট সিস্টেম সেটিংসের জন্য ব্যবহৃত হয়। একটি সিস্টেম ডিজাইন করার সময়, ACS এর স্থিতিশীলতা বজায় রাখার দৃষ্টিকোণ থেকে গ্রহণযোগ্য পরিবর্তনশীল পরামিতিগুলির মানের পরিসীমা জানা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এই রেঞ্জগুলি পরিবর্তনশীল পরামিতিগুলির স্পেসে একটি স্থিতিশীলতা অঞ্চল তৈরি করে বিচার করা যেতে পারে, যেমন প্যারামিটার মানগুলির পরিসর হাইলাইট করুন যেখানে সিস্টেমটি স্থিতিশীল থাকে।

স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে স্থিতিশীলতার ক্ষেত্রটিকে সাধারণত ডি - এলাকা বলা হয় এবং স্থিতিশীলতা এবং অস্থিরতার ক্ষেত্রগুলির আকারে পরামিতিগুলির ক্ষেত্রফলের উপস্থাপনাকে ডি - পার্টিশন বলা হয়।

বীজগণিত মানদণ্ড ব্যবহার করে একটি স্থিতিশীলতা অঞ্চল নির্মাণ

ধরা যাক চারিত্রিক সমীকরণের সহগ

দুটি পরিবর্তনযোগ্য পরামিতির উপর নির্ভর করে এবং . একটি স্থিতিশীলতা অঞ্চল নির্মাণের জন্য, প্রথমত, প্রয়োজনীয় স্থিতিশীলতার শর্ত অনুসারে, পরিবর্তনশীল পরামিতিগুলির একটি অঞ্চল নির্বাচন করা প্রয়োজন যেখানে বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সহগগুলি ধনাত্মক। এটি সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান করে করা যেতে পারে

সহগগুলির ইতিবাচকতার জন্য বাউন্ড তৈরি করতে ক i সমীকরণের (3.26) সমাধানগুলি থেকে নির্বাচন করা প্রয়োজন যেগুলি সমস্ত সহগগুলির ইতিবাচকতা নিশ্চিত করে। ইতিবাচকতার সমস্ত সীমানার মধ্যে, শুধুমাত্র দুটি একই সাথে স্থিতিশীলতার সীমানা হতে পারে। এগুলো হলো সীমানা যার সমীকরণ

এটা প্রমাণিত হয়েছে যে যদি d 0 এবং dn শূন্যের কাছে যান, তাহলে চরিত্রগত সমীকরণের দুটি আসল মূল থাকবে

আরো একটি হ্রাস সঙ্গে, সহগ d 0 এবং dn শূন্যের মধ্য দিয়ে যাবে, নেতিবাচক হয়ে যাবে এবং শিকড় (3.28) ইতিবাচক হয়ে উঠবে। যেহেতু প্রকৃত শিকড়গুলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের এপিরিওডিক উপাদানগুলি নির্ধারণ করে, তাই সীমানাগুলিকে (3.27) এপিরিওডিক স্থিতিশীলতা সীমানা বলা হয়। স্থিতিশীলতার সীমানায়, শিকড় (3.28) যথাক্রমে সমান এবং 0। বক্ররেখার বাহু, di ( , )=0, সংশ্লিষ্ট সহগগুলির ইতিবাচকতার অঞ্চলের সংলগ্ন ইতিবাচকতার দিকে হ্যাচ করা হয়। এটা যে কোন সহগ ঘটতে পারে d 0 বা dn পরিবর্তিত পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে না। এর মানে একটি সংশ্লিষ্ট এপিরিওডিক স্থিতিশীলতার সীমানার অনুপস্থিতি।

একটি দোদুল্যমান স্থিতিশীলতা সীমানা পরিবর্তনশীল পরামিতিগুলির সমতলের একটি বক্ররেখা, যার মধ্য দিয়ে যাওয়ার পরে একজোড়া জটিল সংযোজিত শিকড় তার আসল অংশের চিহ্নকে বিপরীতে পরিবর্তন করে। এটা প্রমাণিত হয়েছে যে দোলক স্থিতিশীলতার সীমা অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়

(3.29)

এই অভিব্যক্তিতে, n-1 হল (n-1)তম Hurwitz নির্ধারক। দোলক স্থিতিশীলতার সীমা n-1 এর ধনাত্মক দিকের দিকে ছায়াযুক্ত।

উদাহরণ। প্যারামিটার সমতলে একটি স্থিতিশীলতা অঞ্চল তৈরি করুন k এবং k z পিচ কোণ স্থিতিশীলকরণ সিস্টেম।

একটি বদ্ধ-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের ফর্ম রয়েছে

আমরা বৈষম্য অন্বেষণ d 2>0, d 3>0, d 4>0 . প্রথম অসমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে সহগটি ইতিবাচক হওয়ার জন্য d 2 শর্ত পূরণ করা আবশ্যক

অসমতা d 4>0 নির্ধারণ করে যে এই সহগ ইতিবাচক হওয়ার জন্য এটি প্রয়োজনীয় k >0 . বৈষম্য মেটাতে d 3>0 এটা প্রয়োজন যে

শূন্যের চেয়ে বড় কৌণিক গিয়ার অনুপাতের যেকোনো মানের জন্য, শেষ অভিব্যক্তি মডিউলের ডান দিকটি একের চেয়ে বড় হবে। এইভাবে, সহগগুলির ইতিবাচকতার সীমা হবে

সহগ পরিবর্তিত হচ্ছে পরামিতি উপর নির্ভর করে dn = d 4 এবং সহগ নির্ভর করে না d 0. তাই সমীকরণ k =0 একই সময়ে এটি একটি aperiodic স্থিতিশীলতা সীমানা।

Hurwitz নির্ধারক সংকলন করে, এর n-1 নাবালকের জন্য আমরা পাই

আসুন এই রাশিতে সহগগুলির মানগুলি প্রতিস্থাপন করি d 2, d 3, d 4, পরামিতি ফাংশন হিসাবে k এবং k , রূপান্তরের পরে আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাই যা পিচ কোণে গিয়ার অনুপাতের ফাংশন হিসাবে কৌণিক বেগের গিয়ার অনুপাত নির্ধারণ করে

এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে, দোলক স্থিতিশীলতার সীমানা তৈরি করা হয়। অধ্যয়ন করা পরামিতিগুলির অঞ্চলকে স্থিতিশীলতা এবং অস্থিরতার অঞ্চলে ভাগ করার গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 3.19।

দোলক অস্থিরতার সীমানা n-1ম হারউইটজ নির্ধারক এবং সরলরেখার ইতিবাচকতার দিকে ছায়াযুক্ত। k z =0 এই সহগের ইতিবাচকতার দিকে। প্রাপ্ত ফলাফলগুলি পরীক্ষা করতে, আসুন ছায়াযুক্ত এলাকার ভিতরে কিছু প্যারামিটার মান নির্বাচন করি, উদাহরণস্বরূপ k =5, k z =0.6, আসুন চরিত্রগত সমীকরণের সহগগুলির মান গণনা করি এবং Hurwitz মানদণ্ড ব্যবহার করে বন্ধ-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করি। আমরা দেখতে পাই যে গিয়ার অনুপাতের নির্বাচিত মানগুলির জন্য সিস্টেমটি স্থিতিশীল। এর মানে হল যে পুরো এলাকাটি যেখানে স্ট্রোকগুলি নির্দেশিত হয় সেটি স্থিতিশীলতার একটি এলাকা।

ডি - একটি প্যারামিটারের সমতলে পার্টিশন

আসুন আমরা ACS এর স্থায়িত্বের উপর যে কোনো একটি প্যারামিটারের প্রভাবে আগ্রহী হই এবং এই প্যারামিটারটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে রৈখিকভাবে প্রবেশ করে, তাই এই সমীকরণটি আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

একটি প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে s = j , আমরা পেতে

- থেকে + পর্যন্ত ফ্রিকোয়েন্সি মান সেট করে, আপনি একটি বক্ররেখা তৈরি করতে পারেন ( ) , সমতলে মূল সমতলের কাল্পনিক অক্ষের ম্যাপিং . ডি-পার্টিশনের এই সীমানা বাস্তব অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম। অতএব, গণনাগুলি 0 থেকে + পর্যন্ত ফ্রিকোয়েন্সি পরিসরে করা যেতে পারে এবং তারপরে - থেকে শূন্য পর্যন্ত ফ্রিকোয়েন্সি পরিসরে এর আয়না চিত্রের সাথে ফলাফল বক্ররেখা সম্পূরক করতে পারে। শিকড়ের সমতলে - থেকে + পর্যন্ত কাল্পনিক অক্ষ বরাবর চলার সময়, স্থিতিশীলতা অঞ্চলটি বাম দিকে থাকে।

অতএব, যখন ক্রমবর্ধমান কম্পাঙ্কের দিকে ডি-পার্টিশন বক্ররেখা বরাবর সরানো হয়, তখন এটি বাম দিকে হ্যাচ হয়। যে এলাকায় স্ট্রোকের মুখোমুখি হয় সেটি হল অনুমিত স্থিতিশীলতা এলাকা। চূড়ান্ত সিদ্ধান্তের জন্য, আপনাকে প্যারামিটারের কিছু বাস্তব মান নিতে হবে অধ্যয়নের অধীনে এলাকায় এবং কিছু স্থিতিশীলতার মানদণ্ড ব্যবহার করুন। যদি সিস্টেমটি প্যারামিটারের নির্বাচিত মানের জন্য স্থিতিশীল হয়, তাহলে বিবেচনাধীন অঞ্চলটি স্থিতিশীলতার একটি অঞ্চল।

উদাহরণ। গিয়ার অনুপাতের সমতলে পিচ অ্যাঙ্গেল স্ট্যাবিলাইজেশন সিস্টেমের স্থিতিশীলতা অঞ্চল তৈরি করুন k .

অধ্যয়নের অধীনে সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিতে আমরা একটি প্রতিস্থাপন করব s = j এবং আমরা পাই

এই অভিব্যক্তি মধ্যে

যেহেতু সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত বিবেচনাধীন k >0, তারপর কাল্পনিক অক্ষটিও স্থিতিশীলতার সীমানা এবং এটি ইতিবাচকতার দিকে পরিচালিত হয় k . এই সহগের মান, 5 এর সমান, ছায়াযুক্ত এলাকার ভিতরে এবং আমরা জানি যে এই মানটিতে সিস্টেমটি স্থিতিশীল। এর মানে হল যে ছায়াযুক্ত এলাকার ভিতরে অবস্থিত বাস্তব অক্ষের সম্পূর্ণ অংশটি কৌণিক গিয়ার অনুপাতের মান দেয় যেখানে সিস্টেমটি স্থিতিশীল। এটি দেখানো যেতে পারে যে এই অংশের শেষটি সহগের সমালোচনামূলক মানের সমান একটি বিন্দুতে k =16.56.

ডি - দুটি প্যারামিটারের সমতলে পার্টিশন

চরিত্রগত সমীকরণের সহগ দুটি পরামিতির উপর রৈখিকভাবে নির্ভর করে এবং যাতে এটি আকারে লেখা যায়

প্রতিস্থাপনের পর s = j আমরা পেতে

যেহেতু সম্পূর্ণ রূপান্তরিত চরিত্রগত সমীকরণটি কেবলমাত্র শূন্যের সমান হতে পারে যদি এর বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ একই সময়ে শূন্যের সমান হয়, আমরা পরিবর্তনশীল পরামিতিগুলির জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই।

সাপেক্ষে সিস্টেম (3.33) সমাধান করা এবং , আমরা পেতে

- থেকে + পর্যন্ত ফ্রিকোয়েন্সি মান সেট করে, আমরা সমতলে বিন্দুগুলির একটি সেট সংজ্ঞায়িত করি - , ডি-পার্টিশন বক্ররেখা গঠন। ফাংশন ( ) এবং ( ) সমান, এবং তাই, যখন উপরের সীমার মধ্যে ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তিত হয়, তখন D-পার্টিশন বক্ররেখা দুবার চালানো হয়। দুটি প্যারামিটারের সমতলে একটি ডি-পার্টিশন বক্ররেখা তৈরি করার সময়, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত নিয়মগুলি দ্বারা পরিচালিত হতে হবে:

1) যদি সিস্টেমে (3.33) প্রথম সমীকরণটি বাস্তব অংশগুলি থেকে প্রাপ্ত হয় এবং দ্বিতীয়টি - ফাংশনের কাল্পনিক অংশগুলি থেকে পৃ ( j ), প্র ( j ) এবং এস ( j ) এবং যদি পরামিতি লিখিতভাবে এটি প্রথমে আসে, এবং - দ্বিতীয়, তারপর স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি অবশ্যই ডান হাতের হতে হবে, যেমন অক্ষ ডানদিকে গণনা করা ইতিবাচক মান সহ x-অক্ষ এবং অক্ষ - ঊর্ধ্বমুখী ধনাত্মক মান সহ y-অক্ষ;

2) ডি-পার্টিশন বক্ররেখা বরাবর অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে ফ্রিকোয়েন্সি উপরের দিকে পরিবর্তিত হয়, এটি বাম দিকে হ্যাচ করা হয় যদি ( )>0, এবং ডানদিকে যদি ( )<0 ; ফলস্বরূপ, বক্ররেখাটি একপাশে দুবার হ্যাচ করা হয়, যেহেতু বক্ররেখার শেষে =0 এবং = প্রধান নির্ধারকের চিহ্ন ( ) পরিবর্তন

একটি মামলা হতে পারে যখন = * 0, একই সাথে ( *)= = ( *)= ( *)=0. তারপর সিস্টেম (3.33) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়ে ওঠে এবং এর সমীকরণগুলি একে অপরের থেকে শুধুমাত্র একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দ্বারা পৃথক হয়। এই ক্ষেত্রে, এই সিস্টেমটি সমতলে সংজ্ঞায়িত একটি সমীকরণে হ্রাস করা হয় - একটি সরলরেখা, যাকে বলা হয় বিশেষ সরলরেখা। যদি একটি একবচন রেখা একটি বিন্দুতে একটি ডি-পার্টিশন বক্ররেখা ছেদ করে = * এবং এই মুহুর্তে নির্ধারক ( ) চিহ্ন পরিবর্তন করে, তাহলে এই সরলরেখাটিও স্থিতিশীলতার সীমানা এবং নির্দেশিত বিন্দুতে বক্ররেখার ছায়ার দিক এবং বিশেষ সরলরেখা পরিবর্তিত হয়। আমি মোটা = * প্রধান নির্ধারকের চিহ্ন পরিবর্তন হয় না, তারপর বিশেষ লাইনে ছায়া প্রয়োগ করা হয় না। চরিত্রগত সমীকরণের মুক্ত পদ হলে dn = dn ( , ) , তাহলে এটি একটি বিশেষ লাইনের অস্তিত্বের সাথে মিলে যায় =0 এবং এর সমীকরণ হবে

অনুরূপ নথি

Nyquist, Mikhailov, Hurwitz (Rouse-Hurwitz) এর স্থিতিশীলতার মানদণ্ড ব্যবহার করে একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থায়িত্ব মূল্যায়ন করা। সিস্টেমের স্থিতিশীলতা নির্ধারণের জন্য প্রধান নির্ধারকের একটি ম্যাট্রিক্স অঙ্কন করা। প্রোগ্রামের তালিকা এবং ফলাফল বিশ্লেষণ।

পরীক্ষাগারের কাজ, 06/06/2016 যোগ করা হয়েছে


ক্ষণস্থায়ী মোডে একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার গুণমানের ফ্রিকোয়েন্সি সূচক। Hurwitz এবং Nyquist মানদণ্ড, Matlab, MatCad সফ্টওয়্যার পণ্য ব্যবহার করে ওপেন-লুপ এবং ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের জন্য স্থিতিশীলতা এবং নিয়ন্ত্রণের মানের সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 06/18/2011


ভারসাম্যের অবস্থা থেকে সরানোর পরে তার আসল অবস্থায় ফিরে আসার জন্য একটি সিস্টেমের সম্পত্তি হিসাবে স্থিতিশীলতা। সমীকরণের মূলের বিভিন্ন মানের জন্য সমাধানের প্রকৃতি। Routh-Hurwitz, Nyquist, Mikhailov স্থিতিশীলতার মানদণ্ড, এর এলাকার সংজ্ঞা।

বিমূর্ত, 08/15/2009 যোগ করা হয়েছে


ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশনের মূল বিষয়গুলি বিবেচনা করা। স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থিতিশীলতার বিশ্লেষণ। একটি বদ্ধ অবস্থায় একটি সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ খুঁজে বের করার বর্ণনা। Hurwitz এবং Mikhailov এর বীজগণিতীয় স্থিতিশীলতার মানদণ্ড।

পরীক্ষা, 04/28/2014 যোগ করা হয়েছে


স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা (ACS), তাদের প্রকার এবং প্রাথমিক ইউনিট। সিস্টেমের স্থায়িত্বের জন্য বীজগণিত এবং গ্রাফিকাল মানদণ্ড। গতিশীল লিঙ্ক এবং ACS এর ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্য। নিয়ন্ত্রণের মানের মূল্যায়ন, স্বয়ংক্রিয় সিস্টেমের সংশোধন।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 02/16/2013


একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন। স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্থিতিশীলতার বিশ্লেষণ। সিস্টেমের প্রশস্ততা-ফেজ ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া। Hurwitz স্থিতিশীলতার মানদণ্ড। একটি ধাপ প্রভাব প্রয়োগ করার সময় ক্ষণস্থায়ী প্রক্রিয়ার বিশ্লেষণ।

কোর্স ওয়ার্ক, 10/18/2012 যোগ করা হয়েছে


স্থিতিশীলতার জন্য বীজগণিত এবং ফ্রিকোয়েন্সি মানদণ্ড। চরিত্রগত জটিল ক্রম. একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের ফ্রিকোয়েন্সি ট্রান্সফার ফাংশনের হোডোগ্রাফ। একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের LFC ব্যবহার করে স্থিতিশীলতা নির্ধারণ। একেবারে এবং শর্তসাপেক্ষে স্থিতিশীল সিস্টেম।

বিমূর্ত, 01/21/2009 যোগ করা হয়েছে


মূল স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার বিশ্লেষণ, স্থানান্তর ফাংশন এবং সহগ নির্ধারণ। Routh এবং Nyquist মানদণ্ড ব্যবহার করে মূল সিস্টেমের স্থিতিশীলতার বিশ্লেষণ। সংশোধনমূলক ডিভাইসের সংশ্লেষণ এবং সংশ্লেষিত নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার বিশ্লেষণ।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 04/19/2011


ওপেন-লুপ এবং ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশন, ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের ত্রুটি এবং ঝামেলা দ্বারা অনুসন্ধান করুন। ইনপুট প্রভাব প্রক্রিয়াকরণের নির্ভুলতা। Hurwitz মানদণ্ড অনুযায়ী স্থিতিশীলতা. একটি নিয়ন্ত্রক নির্বাচন এবং এর পরামিতি স্পষ্ট করা। গতিশীল সূচক মান।

পরীক্ষা, 03/04/2014 যোগ করা হয়েছে


একটি বন্ধ-লুপ সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ পরিচালনা করা। একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন এবং একটি স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার প্রশস্ততা-ফেজ ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নির্ধারণ। বিশ্লেষণের জন্য Hurwitz, Mikhailov এবং Nyquist মানদণ্ডের প্রয়োগ।

পৃষ্ঠা \* মার্জফরম্যাট 14

লেকচার নং 4

স্ব-চালিত বন্দুকের স্থায়িত্ব

ব্যাঘাত অপসারণের পরে একটি সিস্টেমের মূল অবস্থায় ফিরে আসার বৈশিষ্ট্যকে স্থিতিশীলতা বলে।

সংজ্ঞা।

বক্ররেখা 1 এবং 2 একটি স্থিতিশীল সিস্টেমকে চিহ্নিত করে, বক্ররেখা 3 এবং 4 অস্থির সিস্টেমকে চিহ্নিত করে৷ε

স্থিতিশীলতার সীমানায় সিস্টেম 5 এবং 6 5 - নিরপেক্ষ সিস্টেম, 6 - দোলনীয় স্থিতিশীলতা সীমা।

অপারেটর আকারে ACS-এর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ফর্ম আছে

তারপর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান (সিস্টেম গতি) দুটি অংশ নিয়ে গঠিত ইনপুট অ্যাকশনের মতো একই ধরনের জোরপূর্বক চলাচল।

একাধিক মূলের অনুপস্থিতিতে যেখানে সি i প্রাথমিক অবস্থা থেকে নির্ধারিত ধ্রুবক সংহতকরণ,

 1,  2 …,  n চরিত্রগত সমীকরণের মূল

বৈশিষ্ট্যের শিকড়ের অবস্থান

জটিল সমতলে সিস্টেমের সমীকরণ

চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলি বিঘ্নের ধরণের উপর বা উপর নির্ভর করে না

প্রাথমিক অবস্থা, a শুধুমাত্র সহগ দ্বারা নির্ধারিত হয় a 0, a 1, a 2,…, a n , অর্থাৎ, সিস্টেমের প্যারামিটার এবং গঠন।

1-মূল বাস্তব, শূন্যের চেয়ে বড়;

2-মূল বাস্তব, শূন্যের চেয়ে কম;

3-মূল শূন্য;

4-দুটি শূন্য শিকড়;

5-দুটি জটিল সংযোজিত মূল যার আসল অংশ

ইতিবাচক;

6-দুটি জটিল সংযুক্ত শিকড়, যার আসল অংশ নেতিবাচক;

7-দুটি কাল্পনিক সংযোজিত শিকড়।

স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ পদ্ধতি:

1. সরাসরি (ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের উপর ভিত্তি করে);
2. পরোক্ষ (স্থিতিশীলতার মানদণ্ড)।

A.M এর উপপাদ্য লিয়াপুনোভা।

উপপাদ্য ঘ.

উপপাদ্য 2।

মন্তব্য:

1. যদি চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলির মধ্যে দুটি বা ততোধিক শূন্য মূল থাকে, তবে সিস্টেমটি অস্থির।
2. যদি একটি মূল শূন্য হয় এবং বাকিগুলি বাম অর্ধ-তলায় থাকে, তবে সিস্টেমটি নিরপেক্ষ।
3. যদি 2টি শিকড় কাল্পনিক সংযোজক হয়, এবং বাকি সবগুলি বাম অর্ধ-সমতলের মধ্যে থাকে, তাহলে সিস্টেমটি স্থিতিশীলতার দোদুল্যমান সীমানায় রয়েছে।

ACS স্থিতিশীলতার মানদণ্ড।

স্থিতিশীলতার মানদণ্ড হল এমন একটি নিয়ম যা একজনকে বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল গণনা না করেই একটি সিস্টেমের স্থায়িত্ব নির্ধারণ করতে দেয়।

1877 সালে রুট ইনস্টল করা হয়েছে:

1. Hurwitz স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

মানদণ্ডটি 1895 সালে তৈরি করা হয়েছিল।

একটি বদ্ধ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ সংজ্ঞায়িত করা যাক: আমরা সমীকরণটিকে আকারে কমিয়ে দিই যাতেএকটি 0 >0।

আসুন নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে প্রধান হুরউইটজ নির্ধারক রচনা করি:

প্রধান তির্যক বরাবর, সমীকরণের সহগগুলি লিখিত হয়, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে শেষ পর্যন্ত, কর্ণ থেকে উপরের কলামগুলি ক্রমবর্ধমান সূচক সহ সহগ দিয়ে পূর্ণ হয় এবং তির্যক থেকে নীচের কলামগুলি হ্রাসকারী সূচকগুলির সহগ দিয়ে পূর্ণ হয়। সমীকরণে কোনো সহগের অনুপস্থিতিতে এবং সূচকের পরিবর্তে 0 এর কম বা তার বেশি n শূন্য লিখুন।

আসুন মূল হুরউইৎজ নির্ধারকের মধ্যে তির্যক অপ্রাপ্তবয়স্ক বা সরল নির্ধারকগুলিকে হাইলাইট করি:

মানদণ্ড প্রণয়ন।

দ্বিতীয় ক্রম থেকে উচ্চতর সিস্টেমের জন্য, বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত সহগগুলির ইতিবাচকতা ছাড়াও, নিম্নলিখিত অসমতাগুলি অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে:

1. তৃতীয় অর্ডার সিস্টেমের জন্য:
2. চতুর্থ অর্ডার সিস্টেমের জন্য:
3. পঞ্চম অর্ডার সিস্টেমের জন্য:

1. ষষ্ঠ অর্ডার সিস্টেমের জন্য:

উদাহরণ। Hurwitz অনুযায়ী সিস্টেমের স্থিতিশীলতা অধ্যয়ন করার জন্য একটি চরিত্রগত সমীকরণ দেওয়া হয়।

স্থিতিশীল সিস্টেমের জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং

2. রুথ মাপদণ্ড

রাউথ মানদণ্ড উচ্চ-অর্ডার সিস্টেমের স্থায়িত্ব অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়।

মানদণ্ড প্রণয়ন:

রুথ টেবিল।

সারণিটি পূরণ করার জন্য অ্যালগরিদম: প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইনে জোড় এবং বিজোড় সূচক সহ সমীকরণের সহগ রয়েছে; অবশিষ্ট সারির উপাদানগুলি নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে গণনা করা হয়:

মানদণ্ডের সুবিধা: যে কোনও আদেশের সিস্টেমের স্থিতিশীলতা অধ্যয়ন করা যেতে পারে।

2. Nyquist স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

যুক্তির নীতি

ফ্রিকোয়েন্সিস্ট পদ্ধতি যুক্তি নীতির উপর ভিত্তি করে।

আসুন আমরা ফর্মের একটি বহুপদীর বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করি:

যেখানে fi - সমীকরণের মূল

জটিল সমতলে, প্রতিটি মূল একটি সুনির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে মিলে যায়। জ্যামিতিকভাবে, প্রতিটি মূল fi উৎপত্তি থেকে বিন্দুতে আঁকা ভেক্টর হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে আমি : | fi | - ভেক্টর দৈর্ঘ্য, arg fi - ভেক্টর এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যবর্তী কোণ। ফুরিয়ার স্পেসে D(p) ম্যাপ করি, তারপর যেখানে j -  i - প্রাথমিক ভেক্টর।

প্রাথমিক ভেক্টরগুলির প্রান্তগুলি কাল্পনিক অক্ষের উপর অবস্থিত।

ভেক্টরের মাত্রা এবং যুক্তি (পর্যায়)

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ভেক্টরের ঘূর্ণনের দিকটি ইতিবাচক হিসাবে নেওয়া হয়। তারপর যখন পরিবর্তন হয় প্রতিটি প্রাথমিক ভেক্টর থেকে ( j  -  i ) একটি কোণ + দ্বারা ঘুরবে যদি  i বাম অর্ধেক প্লেনে আছে.

ধরুন D ( )=0 এর m আছে ডান অর্ধেক সমতল মধ্যে শিকড় এবং n - মি বাম দিকে শিকড়, তারপর বৃদ্ধি সঙ্গে ভেক্টর D(j) এর আর্গুমেন্ট পরিবর্তন করতে থেকে ) (ঘূর্ণনের কোণ D(j ), প্রাথমিক ভেক্টরের আর্গুমেন্টের পরিবর্তনের যোগফলের সমান) হবে

যুক্তির নীতি:

Nyquist মানদণ্ডটি ACS এর ওপেন সার্কিটের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, যেহেতু খোলা সার্কিটের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যের ধরনটি বন্ধ সিস্টেমের স্থায়িত্ব বিচার করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

Nyquist মানদণ্ড নিম্নলিখিত কারণে প্রকৌশল অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:

1. একটি বদ্ধ অবস্থায় একটি সিস্টেমের স্থায়িত্ব তার ওপেন সার্কিটের ফ্রিকোয়েন্সি ট্রান্সফার ফাংশন দ্বারা অধ্যয়ন করা হয় এবং এই ফাংশনটি প্রায়শই সাধারণ কারণগুলি নিয়ে গঠিত। সহগগুলি হল সিস্টেমের আসল পরামিতি, যা আপনাকে স্থিতিশীলতার অবস্থা থেকে তাদের নির্বাচন করতে দেয়।
2. স্থিতিশীলতা অধ্যয়ন করতে, আপনি সিস্টেমের সবচেয়ে জটিল উপাদানগুলির (নিয়ন্ত্রণ বস্তু, নির্বাহী সংস্থা) পরীক্ষামূলকভাবে প্রাপ্ত ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে পারেন, যা প্রাপ্ত ফলাফলের নির্ভুলতা বাড়ায়।
3. LFC ব্যবহার করে স্থিতিশীলতা অধ্যয়ন করা যেতে পারে, যার নির্মাণ সহজ।
4. স্থিতিশীলতার মার্জিন নির্ধারণ করা সুবিধাজনক।

1. খোলা অবস্থায় সিস্টেম স্থিতিশীল

আসুন একটি অক্জিলিয়ারী ফাংশন চালু করি এবং প্রতিস্থাপন করি p  j , তারপর

যুক্তি নীতি অনুসারে, যুক্তি পরিবর্তন করে D(j ) এবং D з (j  ) 0 এ<  <  সমান তারপর যে hodograph হয় W 1 (j  ) উৎপত্তিস্থলে বিস্তৃত হওয়া উচিত নয়।

বিশ্লেষণ এবং গণনা সহজ করার জন্য, চলুন স্থানাঙ্কের উৎপত্তি থেকে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের উৎপত্তি বিন্দুতে স্থানান্তর করা যাক (-1, j 0), এবং অক্জিলিয়ারী ফাংশনের পরিবর্তে W 1 (j  ) আমরা একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC ব্যবহার করি W (j )।

মানদণ্ড নং 1 প্রণয়ন

উদাহরণ।

লক্ষ্য করুন যে বিন্দুর বাম দিকে AFC-এর ইতিবাচক এবং নেতিবাচক রূপান্তরের সংখ্যার পার্থক্য (-1, j 0) শূন্যের সমান।

2. একটি খোলা অবস্থায় কাল্পনিক অক্ষের উপর খুঁটিযুক্ত একটি সিস্টেম

এএফসি সিস্টেমের স্থায়িত্ব বিশ্লেষণ করার জন্য, তারা অসীম বড় ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের সাথে পরিপূরক হয় শূন্য মেরুতে ধনাত্মক বাস্তব আধা-অক্ষের বিপরীতে ঘড়ির কাঁটার দিকে 0, এবং সম্পূর্ণ কাল্পনিক মূলের ক্ষেত্রে - AFC-এর বিচ্ছিন্নতার বিন্দুতে ঘড়ির কাঁটার দিকে একটি অর্ধবৃত্তাকার দ্বারা।

মানদণ্ড নং 2 প্রণয়ন

1. বিরতিহীন ওপেন সার্কিট সিস্টেম

একটি আরও সাধারণ কেস - একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশনের হরটি ডান অর্ধ-তলায় থাকা শিকড় ধারণ করে। একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমে অস্থিরতার উপস্থিতি দুটি কারণে ঘটে:

1. অস্থির লিঙ্কগুলির উপস্থিতির একটি ফলাফল;
2. ইতিবাচক বা নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া দ্বারা আচ্ছাদিত লিঙ্কগুলির স্থিতিশীলতা হারানোর একটি ফলাফল।

এক্স যদিও তাত্ত্বিকভাবে স্থানীয় ফিডব্যাক সার্কিটে অস্থিরতার উপস্থিতিতে পুরো সিস্টেমটি বদ্ধ অবস্থায় স্থিতিশীল হতে পারে, বাস্তবে এই ধরনের একটি ক্ষেত্রে অবাঞ্ছিত এবং শুধুমাত্র স্থিতিশীল স্থানীয় প্রতিক্রিয়া ব্যবহার করার চেষ্টা করে এড়ানো উচিত। এটি অবাঞ্ছিত বৈশিষ্ট্যের উপস্থিতি দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, বিশেষত শর্তাধীন স্থায়িত্বের উপস্থিতি, যা সাধারণত সিস্টেমে উপস্থিত অরৈখিকতাগুলির প্রেক্ষিতে, কিছু মোডে স্থিতিশীলতা হ্রাস এবং স্ব-দোলানের চেহারা হতে পারে। অতএব, একটি নিয়ম হিসাবে, সিস্টেম গণনা করার সময়, এই জাতীয় স্থানীয় প্রতিক্রিয়াগুলি নির্বাচন করা হয় যা মূল প্রতিক্রিয়া খোলা থাকলে স্থিতিশীল হবে.

চরিত্রগত বহুপদ যাক D(p ) ওপেন-লুপ সিস্টেম আছেমি ইতিবাচক বাস্তব অংশ সঙ্গে শিকড়.

তারপর

প্রতিস্থাপন সহায়তা ফাংশন p  j  স্থিতিশীল বন্ধ সিস্টেমের জন্য আর্গুমেন্টের নীতি অনুসারে যুক্তিতে নিম্নলিখিত পরিবর্তন হওয়া উচিত

মানদণ্ড নং 3 প্রণয়ন

ইয়া.জেড দ্বারা প্রণয়ন। টাইপকিনা

LFC এর জন্য Nyquist মানদণ্ড

দ্রষ্টব্য: অ্যাস্ট্যাটিক সিস্টেমের LFC-এর ফেজ বৈশিষ্ট্যটি একটি একঘেয়ে অংশ দ্বারা পরিপূরক হয় + /2  0 এ।

একেবারে টেকসইতারা এমন একটি সিস্টেমকে বলে যা ওপেন-সার্কিট লাভের কোনো হ্রাসের জন্য স্থিতিশীল থাকে, অন্যথায় সিস্টেমটি শর্তসাপেক্ষে স্থিতিশীল।

যে সিস্টেমগুলিকে তাদের প্যারামিটার পরিবর্তন করে স্থিতিশীল করা যায় তাকে বলা হয়কাঠামোগতভাবে স্থিতিশীল, অন্যথায় কাঠামোগতভাবে অস্থির।

স্থিতিশীলতার মার্জিন

স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপের জন্য, যেকোন ACS অবশ্যই স্থিতিশীলতার সীমানা থেকে সরাতে হবে এবং স্থিতিশীলতার পর্যাপ্ত মার্জিন থাকতে হবে। নিম্নলিখিত কারণে এটির প্রয়োজনীয়তা রয়েছে:

1. এসিএস উপাদানগুলির সমীকরণ, একটি নিয়ম হিসাবে, আদর্শ করা হয়; কম্পাইল করার সময় সেকেন্ডারি কারণগুলি বিবেচনায় নেওয়া হয় না;
2. সমীকরণ রৈখিক করার সময়, আনুমানিক ত্রুটি আরও বৃদ্ধি পায়;
3. উপাদানগুলির পরামিতিগুলি কিছু ত্রুটি দ্বারা নির্ধারিত হয়;
4. একই ধরণের উপাদানগুলির পরামিতিগুলির প্রযুক্তিগত বৈচিত্র রয়েছে;
5. অপারেশন চলাকালীন, বার্ধক্যজনিত কারণে উপাদানগুলির পরামিতি পরিবর্তিত হয়।

ইঞ্জিনিয়ারিং গণনার অনুশীলনে, স্থিতিশীলতার মার্জিনের সর্বাধিক ব্যবহৃত সংকল্পটি NYQVIST মানদণ্ডের উপর ভিত্তি করে, স্থানাঙ্কের (-1, j 0), যা দুটি সূচক দ্বারা মূল্যায়ন করা হয়: ফেজ স্থায়িত্ব মার্জিন এবং মডুলাসে স্থিতিশীলতার মার্জিন (প্রশস্ততায়)এইচ.

যাতে ATS-এর অন্তত স্থিতিশীলতার মার্জিন থাকে এবং এইচ , তার ওপেন সার্কিটের AFC, যদি স্থায়িত্বের মাপকাঠি সন্তুষ্ট হয়, চিত্রে ছায়াযুক্ত রিংয়ের অংশে প্রবেশ করা উচিত নয়। 1, কোথায়এইচ সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়

যদি শর্তসাপেক্ষ স্থিতিশীল সিস্টেমের LFC দ্বারা স্থিতিশীলতা নির্ধারণ করা হয়, তাহলে কমপক্ষে স্থিতিশীলতার মার্জিন নিশ্চিত করতে এবং h প্রয়োজনীয় যাতে:

ক) h  L  - h ফেজ-ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্য অসমতা সন্তুষ্টθ > -180  +  বা θ< -180  -  , অর্থাৎ চিত্রে ছায়াযুক্ত এলাকা 1 তে প্রবেশ করেনি। 2;

খ) -180  +   θ  -180  -  এ প্রশস্ততা-ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্য অসমতা সন্তুষ্টএল< - h или L >জ , অর্থাৎ চিত্র 2-এ ছায়াযুক্ত এলাকায় 2" এবং 2" প্রবেশ করেনি৷

একটি একেবারে স্থিতিশীল সিস্টেমের জন্য, স্থিতিশীলতার মার্জিন এবং h চিত্রে দেখানো হিসাবে নির্ধারিত হয়। 3:

1. ফেজ মার্জিন

1. মডিউল মার্জিন h =- L (ω -π), যেখানে ω -π ফ্রিকোয়েন্সি যার θ=-180˚ .

স্থিতিশীলতার মার্জিনের প্রয়োজনীয় মানগুলি ATS-এর শ্রেণি এবং নিয়ন্ত্রণের মানের জন্য প্রয়োজনীয়তার উপর নির্ভর করে। প্রায় এটা হওয়া উচিত =30  60  এবং h =6  20dB।

প্রশস্ততায় ন্যূনতম অনুমোদিত স্থিতিশীলতার মার্জিন অবশ্যই 6 dB এর কম হওয়া উচিত নয় (অর্থাৎ, ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর সহগ সমালোচনামূলক মানের অর্ধেক) এবং ফেজে 25 এর কম নয় 30 ।

একটি বিশুদ্ধ বিলম্ব লিঙ্ক সহ একটি সিস্টেমের স্থায়িত্ব

যদি একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (-1, j 0), তারপর সিস্টেমটি স্থিতিশীলতার দ্বারপ্রান্তে।

বিশুদ্ধ বিলম্ব সহ একটি সিস্টেম স্থিতিশীল করা যেতে পারে যদি 1 এর কম স্থানান্তর সহগ সহ একটি জড়তা-মুক্ত লিঙ্ক সার্কিটে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। অন্যান্য ধরণের সংশোধন ডিভাইসগুলিও সম্ভব।

কাঠামোগতভাবে স্থিতিশীল এবং কাঠামোগতভাবে অস্থির সিস্টেম

সিস্টেমের গুণমান পরিবর্তন করার একটি উপায় (স্থায়িত্বের পরিপ্রেক্ষিতে) ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর সহগ পরিবর্তন করা।

যখন k L ( ) উঠবে বা পড়বে। যদি k বৃদ্ধি, L ( ) বৃদ্ধি এবং  গড় বাড়বে, কিন্তু সিস্টেম অস্থির থাকবে। যদি k হ্রাস, তারপর সিস্টেম স্থিতিশীল করা যেতে পারে. এই সিস্টেম সংশোধন করার উপায় এক.

যে সিস্টেমগুলিকে সিস্টেম প্যারামিটার পরিবর্তন করে স্থিতিশীল করা যায় তাকে স্ট্রাকচারাল টেকসই বলে।

এই সিস্টেমগুলির জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ ওপেন-লুপ স্থানান্তর অনুপাত রয়েছে। K crit. যখন সিস্টেমটি স্থিতিশীলতার দ্বারপ্রান্তে থাকে তখন এটি স্থানান্তর সহগ।

কাঠামোগতভাবে অস্থির সিস্টেম রয়েছে - এগুলি এমন সিস্টেম যা সিস্টেমের প্যারামিটার পরিবর্তন করে স্থিতিশীল করা যায় না, তবে স্থিতিশীলতার জন্য সিস্টেমের কাঠামো পরিবর্তন করা প্রয়োজন।

উদাহরণ।

আসুন তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:

1. দিন

তারপর

স্থিতিশীলতার জন্য সিস্টেমের অপারেশন পরীক্ষা করা যাক।

Δ = a 3 Δ 2 >0।

k rs.cr নির্ধারণ করতে. শূন্যের সমান করা যাক 2 .

তারপর

কখন কখন

বিবেচনাধীন সিস্টেমটি কাঠামোগতভাবে স্থিতিশীল, কারণ এটি লিঙ্কগুলির পরামিতি পরিবর্তন করে স্থিতিশীল করা যেতে পারে।

1. তাদের প্রথম ক্ষেত্রে হিসাবে একই হতে দিন.

এখন নিয়ন্ত্রণ চ্যানেলে কোন স্ট্যাটিক ত্রুটি নেই।

Hurwitz স্থায়িত্ব শর্ত:

যাক  2 =0, তারপর যদি সিস্টেমটি অস্থির হয়।

1ম ক্রম astatism সহ এই সিস্টেমটি কাঠামোগতভাবে স্থিতিশীল।

1. দিন

সিস্টেম সবসময় অস্থির। এই সিস্টেমটি কাঠামোগতভাবে অস্থির।

স্ব-চালিত বন্দুকের স্থায়িত্ব

স্থানান্তর ফাংশনের শূন্য এবং খুঁটি

স্থানান্তর ফাংশনের লবটিতে বহুপদীর মূলগুলিকে বলা হয় শূন্য, এবং হর-এ বহুপদীর মূল খুঁটিস্থানান্তর ফাংশন. একই সাথে খুঁটি চরিত্রগত সমীকরণের মূল, বা চরিত্রগত সংখ্যা.

যদি স্থানান্তর ফাংশনের লব এবং হরগুলির শিকড়গুলি বাম অর্ধ-সমতলের মধ্যে থাকে (যখন লব এবং হরগুলির শিকড়গুলি উপরের অর্ধ-সমতলটিতে থাকে), তবে লিঙ্কটিকে বলা হয় সর্বনিম্ন-পর্যায়.

শিকড়ের বাম অর্ধ-সমতলের চিঠিপত্র আরশিকড়ের উপরের অর্ধেক সমতল (চিত্র 2.2.1) দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে, বা , অর্থাৎ একটি ভেক্টরকে ঘড়ির কাঁটার দিকে একটি কোণ দ্বারা ঘোরানোর মাধ্যমে একটি ভেক্টর থেকে পাওয়া যায়। ফলস্বরূপ, বাম অর্ধ-সমতল থেকে সমস্ত ভেক্টর উপরের অর্ধ-সমতলের ভেক্টরগুলিতে আসে।

অ-ন্যূনতম ফেজ এবং অস্থির লিঙ্ক

উপরে বিবেচিত অবস্থানগত এবং পার্থক্যকারী প্রকারের লিঙ্কগুলি স্থিতিশীল লিঙ্কগুলির অন্তর্গত, বা স্ব-সমতলকরণ লিঙ্কগুলির সাথে।

অধীন স্ব সমতলকরণইনপুট মান বা বিরক্তিকর প্রভাবের সীমিত পরিবর্তন সহ একটি নতুন স্থিতিশীল-স্থিতি মানতে স্বতঃস্ফূর্তভাবে পৌঁছাতে একটি লিঙ্কের ক্ষমতা বোঝায়। সাধারণত, স্ব-সারিবদ্ধকরণ শব্দটি এমন লিঙ্কগুলির জন্য ব্যবহৃত হয় যা নিয়ন্ত্রণের বিষয়।

এমন কিছু লিঙ্ক আছে যেখানে ইনপুট মানের একটি সীমিত পরিবর্তন লিঙ্কটিকে একটি নতুন স্থির অবস্থায় পৌঁছাতে দেয় না এবং আউটপুট মান সময়ের সাথে সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পায়। এই, উদাহরণস্বরূপ, ইন্টিগ্রেটিং টাইপের লিঙ্কগুলি অন্তর্ভুক্ত করে।

এমন লিঙ্ক রয়েছে যেখানে এই প্রক্রিয়াটি আরও স্পষ্ট। এটি চরিত্রগত সমীকরণে একটি ইতিবাচক বাস্তব অংশ সহ ধনাত্মক বাস্তব বা জটিল মূলের উপস্থিতি দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে (স্থানান্তর ফাংশনের হর শূন্যের সমান), যার ফলস্বরূপ লিঙ্কটি শ্রেণীবদ্ধ করা হবে অস্থির লিঙ্ক.

উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রে , আমরা স্থানান্তর ফাংশন আছে এবং একটি ইতিবাচক বাস্তব মূলের সাথে একটি চরিত্রগত সমীকরণ। এই লিঙ্কটির একই প্রশস্ততা-ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যেমন একটি স্থানান্তর ফাংশন সহ জড়তা লিঙ্ক। কিন্তু এই লিঙ্কগুলির ফেজ-ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যগুলি একই। ইনর্শিয়াল লিঙ্কের জন্য আমাদের আছে . একটি স্থানান্তর ফাংশন সঙ্গে একটি লিঙ্ক জন্য আমরা আছে

সেগুলো. বৃহত্তর পরম মান।

এই বিষয়ে, অস্থির লিঙ্কগুলি গ্রুপের অন্তর্গত ন্যূনতম-ফেজ লিঙ্ক নয়.

নন-ন্যূনতম-ফেজ লিঙ্কগুলিও স্থিতিশীল লিঙ্কগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যেগুলির বাস্তব ধনাত্মক শিকড় বা জটিল শিকড়গুলি স্থানান্তর ফাংশনের লবের সাথে একটি ধনাত্মক বাস্তব অংশ রয়েছে (ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকের সাথে সম্পর্কিত)।

উদাহরণস্বরূপ, একটি স্থানান্তর ফাংশন সহ একটি লিঙ্ক নন-মিনিমাল-ফেজ লিঙ্কের গ্রুপের অন্তর্গত। ফ্রিকোয়েন্সি ট্রান্সফার ফাংশনের মডিউলটি ট্রান্সফার ফাংশন সহ লিঙ্কের ফ্রিকোয়েন্সি ট্রান্সফার ফাংশনের মডিউলের সাথে মিলে যায় . কিন্তু প্রথম লিঙ্কের ফেজ শিফ্ট পরম মান বেশি:

ন্যূনতম-ফেজ লিঙ্কগুলির একই প্রশস্ততা ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যযুক্ত সংশ্লিষ্ট লিঙ্কগুলির তুলনায় ছোট ফেজ শিফট থাকে।

তারা বলে যে ব্যবস্থা স্থিতিশীলবা স্ব-সমতলকরণ আছে যদি, বাহ্যিক ঝামেলা দূর করার পরে, এটি তার আসল অবস্থায় ফিরে আসে।

যেহেতু একটি মুক্ত অবস্থায় একটি সিস্টেমের গতি একটি সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়, তাই একটি স্থিতিশীল সিস্টেমের গাণিতিক সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে:

শর্ত সন্তুষ্ট হলে একটি সিস্টেমকে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্থিতিশীল বলা হয় (2.9.1)

সাধারণ সমাধানের বিশ্লেষণ থেকে (1.2.10) স্থিতিশীলতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত নিম্নরূপ:

সিস্টেমের স্থায়িত্বের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে চরিত্রগত সমীকরণের সমস্ত শিকড়ের কঠোরভাবে নেতিবাচক বাস্তব অংশ রয়েছে, যেমন খ্যাতি i , আমি = 1…n. (2.9.2)

স্পষ্টতার জন্য, চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলি সাধারণত চিত্র 2.9.1a-এ জটিল সমতলে চিত্রিত করা হয়। যখন যা করা প্রয়োজন এবং যথেষ্ট

চিত্র 8.12। রুট সমতল

বৈশিষ্ট্য

সমীকরণ ক(পি) = 0

OU - স্থিতিশীলতা অঞ্চল

তৃতীয় শর্ত (2.9.2) হল যে সমস্ত শিকড় কাল্পনিক অক্ষের বাম দিকে থাকে, অর্থাৎ টেকসই ক্ষেত্রে।

অতএব, শর্ত (2.9.2) নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে।

স্থিতিশীলতার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে চরিত্রগত সমীকরণের সমস্ত শিকড় বাম অর্ধ-তলায় অবস্থিত।

স্থিতিশীলতার একটি কঠোর সাধারণ সংজ্ঞা, অরৈখিক সিস্টেমের স্থায়িত্ব অধ্যয়ন করার পদ্ধতি এবং একটি রৈখিক সিস্টেমের স্থিতিশীলতা সম্পর্কে মূল ননলাইনার সিস্টেমে উপসংহার প্রসারিত করার সম্ভাবনা রাশিয়ান বিজ্ঞানী এএম লায়াপুনভ দিয়েছিলেন।

অনুশীলনে, চরিত্রগত সমীকরণের সরাসরি শিকড় খুঁজে না পেয়ে তথাকথিত স্থিতিশীলতার মানদণ্ড ব্যবহার করে স্থিতিশীলতা প্রায়শই পরোক্ষভাবে নির্ধারিত হয়। এর মধ্যে রয়েছে বীজগণিতের মানদণ্ড: স্টোডোলা অবস্থা, হুরভিৎজ এবং মিখাইলভ মানদণ্ড এবং সেইসাথে নাইকুইস্ট ফ্রিকোয়েন্সি মানদণ্ড। এই ক্ষেত্রে, Nyquist মানদণ্ড একজনকে AFC দ্বারা বা একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের লগারিদমিক বৈশিষ্ট্য দ্বারা একটি বন্ধ-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্ব নির্ধারণ করতে দেয়।

স্টোডোলা অবস্থা

19 শতকের শেষের দিকে স্লোভাক গণিতবিদ স্টোডোলা এই শর্তটি পেয়েছিলেন। সিস্টেমের স্থিতিশীলতার শর্তগুলি বোঝার জন্য এটি একটি পদ্ধতিগত দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয়।

ফর্মে সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ লিখি

D(p) = a 0 পি n + ক 1 পি n- 1 +…ক n = 0. (2.9.3)

স্টডোলের মতে, স্থিতিশীলতার জন্য এটি প্রয়োজনীয়, কিন্তু পর্যাপ্ত নয় ক 0 > 0 অন্যান্য সমস্ত সহগ কঠোরভাবে ইতিবাচক ছিল, যেমন

ক 1 > 0 ,..., ক n > 0.

প্রয়োজনীয়তাএই মত গঠিত হতে পারে:

যদি সিস্টেমটি স্থিতিশীল হয়, তাহলে বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত শিকড় থাকে, যেমন বামপন্থী।

প্রয়োজনীয়তার প্রমাণ প্রাথমিক। বেজউটের উপপাদ্য অনুসারে, বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদকে হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

যাক, অর্থাৎ, একটি বাস্তব সংখ্যা, এবং - জটিল সংযুক্ত শিকড়। তারপর

এটি দেখায় যে বাস্তব সহগ সহ একটি বহুপদীর ক্ষেত্রে, জটিল মূলগুলি যুগলভাবে সংযোজিত হয়। অধিকন্তু, যদি , তাহলে আমাদের কাছে ধনাত্মক সহগ সহ বহুপদীর একটি গুণফল আছে, যা শুধুমাত্র ধনাত্মক সহগ সহ বহুপদ দেয়।

ব্যর্থতাস্টোডোলার অবস্থা এমন যে সব কিছুর নিশ্চয়তা দেয় না। ডিগ্রির বহুপদ বিবেচনা করে এটি একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে দেখা যেতে পারে।

মনে রাখবেন যে ক্ষেত্রে Stodola অবস্থা উভয়ই প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট। এটা থেকে অনুসরণ করে. যদি, তারপর এবং তাই যে.

কারণ, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্রের বিশ্লেষণ থেকে, অবস্থার পর্যাপ্ততাও অনুসরণ করা হয়।

স্টোডোলার অবস্থা থেকে দুটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল অনুসরণ করা হয়।

1. যদি শর্তটি পূরণ করা হয় এবং সিস্টেমটি অস্থির হয়, তবে রূপান্তর প্রক্রিয়াটির একটি দোদুল্যমান প্রকৃতি রয়েছে। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে ধনাত্মক সহগ সহ একটি সমীকরণের প্রকৃত ধনাত্মক মূল থাকতে পারে না। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি মূল হল এমন একটি সংখ্যা যা চরিত্রগত বহুপদকে অদৃশ্য করে দেয়। কোন ধনাত্মক সংখ্যা ধনাত্মক সহগ সহ একটি বহুপদকে অদৃশ্য করতে পারে না, অর্থাৎ এর মূল হতে পারে।

2. চরিত্রগত বহুপদীর সহগগুলির ইতিবাচকতা (যথাক্রমে, স্টডোলা শর্তের পরিপূর্ণতা) নেতিবাচক প্রতিক্রিয়ার ক্ষেত্রে নিশ্চিত করা হয়, যেমন একটি বন্ধ লুপ বরাবর একটি বিজোড় সংখ্যক সংকেত বিপরীতের ক্ষেত্রে। এই ক্ষেত্রে, চরিত্রগত বহুপদ। অন্যথায়, এবং অনুরূপগুলি আনার পরে, কিছু সহগ নেতিবাচক হতে পারে।

মনে রাখবেন যে নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া Stodola শর্ত পূরণ না হওয়ার সম্ভাবনাকে বাদ দেয় না। উদাহরণস্বরূপ, যদি , a , তাহলে একটি একক নেতিবাচক প্রতিক্রিয়ার ক্ষেত্রে। এই বহুপদে, তে সহগ শূন্যের সমান। কোন নেতিবাচক সহগ নেই, তবে, তবুও, শর্তটি সন্তুষ্ট নয়, কারণ এটির জন্য অসমতার কঠোর পরিপূর্ণতা প্রয়োজন।

এটি নিম্নলিখিত উদাহরণ দ্বারা নিশ্চিত করা হয়।

উদাহরণ 2.9.1. চিত্রে সার্কিটে স্টোডোলা শর্ত প্রয়োগ করুন। 2.9.2।

একটি ওপেন-লুপ ইউনিট নেগেটিভ ফিডব্যাক সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন সমান এবং একটি ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ হল লব এবং হর এর যোগফল, অর্থাৎ

D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.

যেহেতু সাথে কোন সদস্য নেই আরপ্রথম ডিগ্রিতে ( ক 1 = 0), তাহলে Stodola অবস্থা সন্তুষ্ট নয় এবং সিস্টেমটি অস্থির। এই সিস্টেমটি গঠনগতভাবে অস্থির, যেহেতু কোনো প্যারামিটার মান নেই k 1 এবং k 2 টেকসই হতে পারে না।

সিস্টেমকে স্থিতিশীল করতে, আপনাকে একটি অতিরিক্ত সংযোগ বা সংশোধনমূলক লিঙ্ক প্রবর্তন করতে হবে, যেমন সিস্টেমের গঠন পরিবর্তন. আসুন উদাহরণ সহ এটি দেখাই। চিত্রে। 2.9.3। একটি সরাসরি চেইন লিঙ্ক স্থানান্তর ফাংশন এবং সঙ্গে সিরিজে সংযুক্ত লিঙ্ক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়. প্রথম ভূমিকার সমান্তরালে একটি অতিরিক্ত সংযোগ রয়েছে।

পৃ
একটি ইউনিট নেতিবাচক সংযোগের উপর একটি সিস্টেম ওপেন-লুপের স্থানান্তর ফাংশন এবং একটি বন্ধ-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ যথাক্রমে সমান

,

এখন Stodola শর্ত কোন জন্য সন্তুষ্ট . যেহেতু সেকেন্ড ডিগ্রী সমীকরণের ক্ষেত্রে এটি শুধুমাত্র প্রয়োজনীয় নয়, তবে যথেষ্ট, সিস্টেমটি যেকোনো ইতিবাচক লাভের কারণের জন্য স্থিতিশীল।

চিত্র 2.9.4-এ, সার্কিটে একটি অনুক্রমিক বাধ্যতামূলক লিঙ্ক চালু করা হয়েছে। এই ক্ষেত্রে ওপেন-সার্কিট একক নেতিবাচক সংযোগ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন সমান এবং বন্ধ সিস্টেমের চরিত্রগত সমীকরণ সমান

পূর্ববর্তী এক অনুরূপ, সিস্টেম কোনো ইতিবাচক জন্য স্থিতিশীল.

Rouss-Hurwitz স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

গণিতবিদ রাউস (ইংল্যান্ড) এবং হুরভিৎজ (সুইজারল্যান্ড) প্রায় একই সময়ে এই মানদণ্ডটি তৈরি করেছিলেন। পার্থক্য ছিল গণনার অ্যালগরিদমে। আমরা Hurwitz এর ফর্মুলেশনের মানদণ্ডের সাথে পরিচিত হব।

Hurwitz এর মতে, স্থিতিশীলতার জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে যখন ক 0 > 0 Hurwitz নির্ধারক  =  nএবং এর সমস্ত প্রধান নাবালক  1 ,  2 ,...,  n -1 কঠোরভাবে ইতিবাচক ছিল, যেমন

(2.9.4)

Hurwitz নির্ধারকের গঠনটি মনে রাখা সহজ, কারণ সহগগুলি প্রধান তির্যক বরাবর অবস্থিত ক 1 ,… ,এ n, রেখাগুলি একটি দ্বারা পৃথক করা সহগ ধারণ করে; যদি সেগুলি শেষ হয়ে যায়, তাহলে খালি স্থানগুলি শূন্য দিয়ে পূর্ণ হয়।

উদাহরণ 2.9.2. Hurwitz স্থিতিশীলতার জন্য অধ্যয়ন করার জন্য একটি ইউনিট নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া সহ একটি সিস্টেম, যার সরাসরি শৃঙ্খলে তিনটি জড়তা লিঙ্ক অন্তর্ভুক্ত রয়েছে এবং তাই, ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশনের ফর্ম রয়েছে (2.9.5)

লব এবং হর (2.9.5) এর যোগফল হিসাবে একটি বদ্ধ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ লিখি:

তাই,

Hurwitz নির্ধারক এবং তার অপ্রাপ্তবয়স্কদের ফর্ম আছে

একাউন্টে গ্রহণ ক 0 > 0, Hurwitz নির্ধারক এবং নাবালকদের কঠোর ইতিবাচকতা (2.9.6) স্টোডোলা অবস্থাকে বোঝায় এবং উপরন্তু, শর্ত ক 1 ক 2 - ক 0 ক 3 > 0, যা প্রতিস্থাপন করার পরে সহগগুলির মান দেয়

(টি 1 টি 2 + টি 1 টি 3 +টি 2 টি 3 )(টি 1 +টি 2 +টি 3 ) > টি 1 টি 2 টি 3 (1+ k) . (2.9.7)

এ থেকে দেখা যায় যে তা বাড়ছে kসিস্টেমটি স্থিতিশীল থেকে অস্থির হতে পারে, যেহেতু অসমতা (2.9.7) সন্তুষ্ট হওয়া বন্ধ করে দেয়।

ত্রুটি দ্বারা সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন সমান

মূলের চূড়ান্ত মান সম্পর্কে উপপাদ্য অনুসারে, একটি একক ধাপ সংকেত প্রক্রিয়াকরণে স্থির-স্থিতি ত্রুটি 1/(1+ এর সমান হবে) k) ফলস্বরূপ, স্থিতিশীলতা এবং নির্ভুলতার মধ্যে একটি দ্বন্দ্ব প্রকাশিত হয়। ত্রুটি কমাতে, আপনাকে বাড়াতে হবে k, কিন্তু এটি স্থিতিশীলতার ক্ষতির দিকে পরিচালিত করে।

যুক্তি নীতি এবং মিখাইলভ স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

মিখাইলভ মানদণ্ড তথাকথিত যুক্তি নীতির উপর ভিত্তি করে।

আসুন আমরা একটি ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত বহুপদ বিবেচনা করি, যা বেজউটের উপপাদ্য অনুসারে আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে

D(p) = a 0 পি n + ক 1 পি n- 1 +…+ ক n = ক 0 (p - p 1 )…(p - p n ).

এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক p = j

ডি (জে ) = ক 0 (j ) n + ক 1 (j ) n- 1 +…+ ক n = ক 0 (j - পি 1 )…(জে - পি n ) = X( )+jY( ).

একটি নির্দিষ্ট মান জন্য  প্যারামেট্রিক সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত জটিল সমতলে একটি বিন্দু রয়েছে

ই
পরিবর্তন হলে  - থেকে  পর্যন্ত পরিসরে, তারপর মিখাইলভ বক্ররেখা, অর্থাৎ হোডোগ্রাফ আঁকা হবে। আসুন ভেক্টরের ঘূর্ণন অধ্যয়ন করি ডি (জে ) যখন এটি পরিবর্তিত হয়  - থেকে , অর্থাৎ, আমরা ভেক্টর আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি খুঁজে পাই (আর্গুমেন্টটি ভেক্টরের গুণফলের যোগফলের সমান): .

এ  = -  পার্থক্য ভেক্টর, যার শুরু বিন্দুতে আর i, এবং কাল্পনিক অক্ষের শেষটি উল্লম্বভাবে নীচের দিকে পরিচালিত হয়। আপনি বাড়ার সাথে সাথে  ভেক্টরের শেষটি কাল্পনিক অক্ষ বরাবর স্লাইড করে এবং কখন  =  ভেক্টর উল্লম্বভাবে উপরের দিকে পরিচালিত হয়। যদি মূলটি বাকি থাকে (চিত্র 2.9.19a), তারপর  arg = + , এবং যদি মূল সঠিক হয়, তারপর  arg = - .

যদি চরিত্রগত সমীকরণ থাকে মিসঠিক শিকড় (যথাক্রমে n - মিবাম), তারপর .

এই তর্কের মূলনীতি। আসল অংশ নির্বাচন করার সময় এক্স( ) এবং কাল্পনিক Y( ) আমরা আরোপিত এক্স( ) সমস্ত পদ ধারণকারী j একটি সমান ডিগ্রী, এবং Y( ) - একটি অদ্ভুত ডিগ্রী পর্যন্ত. অতএব, মিখাইলভ বক্ররেখা বাস্তব অক্ষের ( এক্স( ) - এমন কি, Y( ) - অদ্ভুত ফাংশন)। ফলে পরিবর্তন হলে  0 থেকে +, তারপর আর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট অর্ধেক বড় হবে। এ প্রসঙ্গে অবশেষে ড যুক্তি নীতিনিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয় . (2.9.29)

যদি সিস্টেম স্থিতিশীল হয়, i.e. মি= 0, তারপর আমরা মিখাইলভ স্থায়িত্বের মানদণ্ড পাই।

মিখাইলভের মতে, স্থিতিশীলতার জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট

, (2.9.30)

অর্থাৎ, মিখাইলভ বক্ররেখাটি ক্রমাগতভাবে অতিক্রম করতে হবে n

স্পষ্টতই, মিখাইলভ মানদণ্ড প্রয়োগ করতে, বক্ররেখার সুনির্দিষ্ট এবং বিশদ নির্মাণের প্রয়োজন নেই। এটি স্থানাঙ্কের উত্সের চারপাশে কীভাবে যায় এবং উত্তরণের ক্রম লঙ্ঘন হয় কিনা তা প্রতিষ্ঠিত করা গুরুত্বপূর্ণ nকোয়ার্টার ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে।

উদাহরণ 2.9.6. চিত্র 2.9.20-এ দেখানো সিস্টেমের স্থায়িত্ব পরীক্ষা করতে মিখাইলভ মানদণ্ড প্রয়োগ করুন।

একটি ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদ k 1 k 2 > 0 একটি স্থিতিশীল সিস্টেমের সাথে মিলে যায়, তাই Stodola অবস্থা সন্তুষ্ট হয়, এবং এর জন্য n = 1 এটা যথেষ্ট। আপনি সরাসরি মূল খুঁজে পেতে পারেন আর 1 = - k 1 k 2 এবং নিশ্চিত করুন যে প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত স্থিতিশীলতার অবস্থা সন্তুষ্ট। অতএব, মিখাইলভ মাপদণ্ডের প্রয়োগ দৃষ্টান্তমূলক। বিশ্বাসী পি= j , আমরা পেতে

ডি(j ) = এক্স( )+ jY( ),

কোথায় এক্স( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

প্যারামেট্রিক সমীকরণ (2.9.31) ব্যবহার করে, মিখাইলভের হোডোগ্রাফটি চিত্র 2.9.21 এ নির্মিত হয়েছিল, যা থেকে এটি স্পষ্ট যে পরিবর্তন করার সময়  0 থেকে  ভেক্টর ডি(j ) + দ্বারা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরে  /2, অর্থাৎ সিস্টেম স্থিতিশীল।

Nyquist স্থিতিশীলতার মানদণ্ড

প্রতি ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, Nyquist মানদণ্ড স্থিতিশীলতার মানদণ্ডের মধ্যে একটি বিশেষ অবস্থান দখল করে। এটি একটি ফ্রিকোয়েন্সি মানদণ্ড যা আপনাকে একটি ওপেন-লুপের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একটি বন্ধ-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্ব নির্ধারণ করতে দেয়। এই ক্ষেত্রে, এটা অনুমান করা হয় যে সিস্টেমটি একক নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া সার্কিটে খোলা আছে (চিত্র 2.9.22)।

Nyquist মানদণ্ডের একটি সুবিধা হল যে একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্য পরীক্ষামূলকভাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে।

মানদণ্ডের উদ্ভব যুক্তি নীতির ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে। ওপেন-লুপ সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন (চিত্র 2.9.22-এ একক নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া সার্কিটের মাধ্যমে) এর সমান

চলো বিবেচনা করি. (2.9.32)

সীমিত ব্যান্ডউইথ সহ একটি বাস্তব সিস্টেমের ক্ষেত্রে, ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের ডিনোমিনেটরের ডিগ্রী পৃলবের শক্তির চেয়ে বড়, অর্থাৎ n> অতএব, ওপেন-লুপ সিস্টেম এবং ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদগুলির ডিগ্রি একই এবং সমান n. (2.9.32) অনুসারে একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC থেকে AFC-তে রূপান্তর মানে প্রকৃত অংশে 1 দ্বারা বৃদ্ধি, অর্থাৎ স্থানাঙ্কের উৎপত্তি বিন্দুতে (-1, 0) নিয়ে যাওয়া, যেমন চিত্র 2.9.23-এ দেখানো হয়েছে।

আসুন এখন ধরে নিই যে ক্লোজড-লুপ সিস্টেম স্থিতিশীল, এবং ওপেন-লুপ সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ হল A(p) = 0 আছে মিসঠিক শিকড়। তারপর, আর্গুমেন্ট নীতি (2.9.29) অনুসারে, আমরা Nyquist অনুসারে একটি ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত পাই

সেগুলো. একটি বন্ধ-লুপ সিস্টেম ভেক্টরের স্থায়িত্বের জন্য ডব্লিউ 1 (j ) অবশ্যই করো মি/2 সম্পূর্ণ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বাঁক, যা ভেক্টর ঘোরানোর সমতুল্য ডব্লিউ pa z (j ) সমালোচনামূলক বিন্দু (-1.0) এর সাথে সম্পর্কিত।

অনুশীলনে, একটি নিয়ম হিসাবে, একটি ওপেন-লুপ সিস্টেম স্থিতিশীল, যেমন মি= 0. এই ক্ষেত্রে, আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি শূন্য, অর্থাৎ একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের AFC ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট (-1.0) কভার করা উচিত নয়।

LAC এবং LFC এর জন্য Nyquist মানদণ্ড

অনুশীলনে, একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের লগারিদমিক বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। অতএব, তাদের উপর ভিত্তি করে একটি বন্ধ-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্ব নির্ধারণের জন্য Nyquist মানদণ্ড প্রণয়ন করার পরামর্শ দেওয়া হয়। ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট (-1.0) এর সাপেক্ষে AFC-এর বিপ্লবের সংখ্যা এবং এটি কভার করা হয়েছে কিনা

বাস্তব অক্ষের ব্যবধান (-,-1) এর ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক ছেদগুলির সংখ্যার উপর নির্ভর করে এবং তদনুসারে, অঞ্চলের ফেজ বৈশিষ্ট্য দ্বারা -180° রেখার ছেদ এল( )  0। চিত্র 2.9.24 AFC দেখায় এবং বাস্তব অক্ষের (-,-1) অংশের ছেদগুলির চিহ্নগুলি দেখায়।

ন্যায্য নিয়ম

যেখানে ইতিবাচক এবং নেতিবাচক ছেদ সংখ্যা আছে.

চিত্র 2.9.24c-এ AFC-এর উপর ভিত্তি করে, LAC এবং LFC তৈরি করা হয়েছে, চিত্র 2.9.25-এ দেখানো হয়েছে, এবং LFC-তে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক ছেদচিহ্ন চিহ্নিত করা হয়েছে। সেগমেন্টে (-,-1) মডিউলটি একের চেয়ে বড়, যা এর সাথে মিলে যায় এল( ) > 0. অতএব, Nyquist মানদণ্ড:

ডি একটি বদ্ধ-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্বের জন্য যে অঞ্চলে একটি ওপেন-লুপ সিস্টেমের LFC এল( ) > 0, নেতিবাচকের চেয়ে -180° রেখার বেশি ধনাত্মক ছেদ থাকা উচিত।

যদি ওপেন-লুপ সিস্টেমটি স্থিতিশীল হয়, তবে অঞ্চলের ফেজ বৈশিষ্ট্য দ্বারা -180° রেখার ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক ছেদগুলির সংখ্যা এল( ) > ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের স্থায়িত্বের জন্য 0 একই হওয়া উচিত বা কোনও ছেদ থাকা উচিত নয়।

একটি অ্যাস্ট্যাটিক সিস্টেমের জন্য Nyquist মানদণ্ড

এটি একটি অ্যাস্ট্যাটিক অর্ডার সিস্টেমের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা বিশেষভাবে প্রয়োজনীয় rএকটি ওপেন-লুপ সিস্টেম ট্রান্সফার ফাংশনের সমান

.

এক্ষেত্রে 0 এ, অর্থাৎ, ওপেন-লুপ সিস্টেমের প্রশস্ততা-ফেজ বৈশিষ্ট্য (APC) অসীমে যায়। পূর্বে, পরিবর্তন করার সময় আমরা AFH তৈরি করেছি  - থেকে  এবং এটি একটি অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা ছিল, এ বন্ধ  =  0. এখন এটিও বন্ধ হয়  = 0, কিন্তু অসীমে এবং বাস্তব অক্ষের কোন দিকে তা স্পষ্ট নয় (বাম দিকে বা ডানদিকে অসীমে?)।

চিত্র 2.9.19c ব্যাখ্যা করে যে এই ক্ষেত্রে পার্থক্য ভেক্টরের আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি গণনা করার ক্ষেত্রে অনিশ্চয়তা রয়েছে। এটি এখন সর্বদা কাল্পনিক অক্ষ বরাবর অবস্থিত (এর সাথে মিলে যায় j ) শুধুমাত্র শূন্য অতিক্রম করলেই দিক পরিবর্তন হয় (এই ক্ষেত্রে, ভেক্টরটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানো হয়  অথবা ঘড়ির কাঁটার দিকে -?), সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা প্রচলিতভাবে ধরে নিই যে মূলটি বামে আছে এবং উৎপত্তির বৃত্তাকারটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে অসীম ব্যাসার্ধের একটি চাপ বরাবর ঘটে (+ দ্বারা ঘূর্ণন)  ) সেই অনুযায়ী আশেপাশে  = 0 ফর্মে উপস্থাপন করা হবে

,

কোথায়  = +  যখন এটি পরিবর্তিত হয়  থেকে – 0 থেকে + 0। শেষ অভিব্যক্তিটি দেখায় যে অনিশ্চয়তার এমন একটি প্রকাশের সাথে, AFC একটি পরিবর্তনের সাথে মোড় নেয়  থেকে - 0 থেকে + 0 প্রতি কোণ - ঘড়ির কাঁটার দিকে। অনুরূপভাবে নির্মিত AFC হতে হবে  = 0 একটি কোণে ব্যাসার্ধের অসীম একটি চাপের সাথে সম্পূরক হয়, অর্থাৎ ধনাত্মক বাস্তব অর্ধ-অক্ষের বিপরীত দিকে।

মডুলাস এবং ফেজ দ্বারা স্থায়িত্ব মার্জিন

সিস্টেম প্যারামিটার পরিবর্তন হলে স্থায়িত্বের নিশ্চয়তা দিতে, মডুলাস এবং ফেজে স্থায়িত্ব মার্জিন চালু করা হয়, যা নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়।

স্থায়িত্ব মার্জিন মডিউলদেখায় কতবার বা কত ডেসিবেলে লাভ বাড়ানো বা হ্রাস করা অনুমোদিত যাতে সিস্টেমটি স্থিতিশীল থাকে (স্থায়িত্বের সীমাতে)। এটি মিন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ( এল 3 , এল 4) চিত্র 2.9.25-এ। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি LFC পরিবর্তন না করেন, তাহলে যখন LFC বেড়ে যাবে এল 4 কাটঅফ ফ্রিকোয়েন্সি  cp পয়েন্টে চলে যাবে  4 এবং সিস্টেমটি স্থিতিশীলতার সীমানায় থাকবে। আপনি LAX থেকে কম হলে এল 3, তারপর কাটঅফ ফ্রিকোয়েন্সি বাম দিকে বিন্দুতে স্থানান্তরিত হবে  3 এবং সিস্টেমটিও স্থিতিশীলতার সীমানায় থাকবে। যদি আমরা LAX আরও কম কম করি, তাহলে এই অঞ্চলে এল( ) > 0 শুধুমাত্র LFC লাইনের ঋণাত্মক ছেদ থাকবে -180°, অর্থাৎ Nyquist মানদণ্ড অনুযায়ী, সিস্টেম অস্থির হয়ে যাবে।

ফেজ স্থায়িত্ব মার্জিনদেখায় যে একটি ধ্রুবক লাভের সাথে ফেজ শিফ্ট বাড়ানো কতটা অনুমোদিত যাতে সিস্টেমটি স্থিতিশীল থাকে (স্থিতিশীলতার সীমানায়)। এটি একটি পরিপূরক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়  ( cf) -180° পর্যন্ত।

অনুশীলনে এল  12-20 ডিবি,  20-30°