ডেরিভেটিভ হিসাবে গতি। পদার্থবিজ্ঞানে ডেরিভেটিভ ডিরিভেটিভ অফ ডিসটেন্স উইথ ডিসট্যান্স সময়

সময়ের সাপেক্ষে একটি স্থানাঙ্কের ডেরিভেটিভ হল গতি। x"(t)=v(t) ডেরিভেটিভের ভৌত অর্থ

সময়ের সাপেক্ষে গতির ডেরিভেটিভ বা সময়ের সাপেক্ষে স্থানাঙ্কের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হল ত্বরণ। a(t)=v "(t)=x""(t)

একটি বিন্দু x(t)= t²+t+2 আইন অনুসারে একটি স্থানাঙ্ক রেখা বরাবর চলে, যেখানে x(t) হল বিন্দুর স্থানাঙ্ক t সময়ে (সময় সেকেন্ডে, দূরত্ব মিটারে পরিমাপ করা হয়)। কোন সময়ে বিন্দুর গতিবেগ হবে 5 m/s? সমাধান: t সময়ে একটি বিন্দুর গতি সময়ের সাপেক্ষে স্থানাঙ্কের ডেরিভেটিভ। যেহেতু v(t) = x"(t) = 2t+1 এবং v = 5 m/s, তাহলে 2t +1= 5 t=2 উত্তর: 2.

ব্রেক করার সময়, flywheel টি সেকেন্ডে একটি কোণ φ (t) = 6 t- t² রেডিয়ান দিয়ে ঘোরে। t=1s সময়ে ফ্লাইহুইলের ঘূর্ণনের কৌণিক গতি ω খুঁজুন। (φ (t) - রেডিয়ানে কোণ, ω (t) - rad/s-এ গতি, t - সেকেন্ডে সময়)। সমাধান: ω (t) = φ "(t) ω (t) = 6 – 2t t = 1 s. ω (1) = 6 – 2 × 1 = 4 rad/s উত্তর: 4.

যখন একটি দেহ সরলরেখায় চলে, তখন তার গতি v(t) আইন অনুযায়ী v(t)=15+8 t -3t² (t হল সেকেন্ডে দেহের নড়াচড়ার সময়)। এর ত্বরণ কত হবে? নড়াচড়া শুরুর এক সেকেন্ড পরে শরীর (m/s² এ)? সমাধান: v(t)=15+8t-3t² a(t)=v"(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 m/s² উত্তর: 2.

শারীরিক সমস্যায় ডেরিভেটিভের প্রয়োগ। কন্ডাকটরের ক্রস সেকশনের মধ্য দিয়ে যাওয়া চার্জ q(t)=2t 2 -5t সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়। t=5c এ বর্তমান শক্তি নির্ণয় করুন। সমাধান: i(t)=q"(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 A. উত্তর:15.

যখন একটি দেহ সরলরেখায় চলে, তখন সূচনা বিন্দু M থেকে দূরত্ব s(t) আইন অনুসারে পরিবর্তিত হয় s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 (t সেকেন্ডে সময়)। 3 সেকেন্ড পর শরীরের ত্বরণ কত হবে (m/s 2 এ)? সমাধান। a(t)=v "(t)=s""(t)। আসুন v(t)=s"(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)" =4t 3 -12t a( t )=v "(t)= s""(t)= (4t 3 -12t 2 -12)" =12t 2 -24t, a(3)=12× ×3=108-72=36m/s 2 উত্তর: 36।

ডেরিভেটিভ এর ভৌত অর্থ। গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় সমাধানের জন্য সমস্যাগুলির একটি গ্রুপ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যার জন্য ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ সম্পর্কে জ্ঞান এবং বোঝার প্রয়োজন। বিশেষত, এমন সমস্যা রয়েছে যেখানে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর (বস্তুর) গতির নিয়ম দেওয়া হয়, একটি সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং গতির সময় একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে বা বস্তুটি যে সময়ের পরে তার গতি খুঁজে বের করতে হয় একটি নির্দিষ্ট প্রদত্ত গতি অর্জন করবে।কাজগুলি খুব সহজ, সেগুলি একটি কর্মে সমাধান করা যেতে পারে। তাই:

স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর একটি উপাদান বিন্দু x (t) এর গতির নিয়ম দেওয়া যাক, যেখানে x চলন্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক, t হল সময়।

সময়ের একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে বেগ হল সময়ের সাপেক্ষে স্থানাঙ্কের ডেরিভেটিভ। এটি ডেরিভেটিভের যান্ত্রিক অর্থ।

একইভাবে, ত্বরণ হল সময়ের সাপেক্ষে গতির ডেরিভেটিভ:

সুতরাং, ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ হল গতি। এটি চলাচলের গতি হতে পারে, একটি প্রক্রিয়ার পরিবর্তনের হার (উদাহরণস্বরূপ, ব্যাকটেরিয়ার বৃদ্ধি), কাজের গতি (এবং আরও অনেকগুলি প্রয়োগ সমস্যা রয়েছে)।

এছাড়াও, আপনাকে ডেরিভেটিভ টেবিল (গুণ সারণির মতোই এটি জানতে হবে) এবং পার্থক্যের নিয়মগুলি জানতে হবে। বিশেষত, নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের জন্য, প্রথম ছয়টি ডেরিভেটিভের জ্ঞান প্রয়োজন (সারণী দেখুন):

আসুন কাজগুলি বিবেচনা করি:

x (t) = t 2 – 7t – 20

যেখানে x t হল আন্দোলনের শুরু থেকে পরিমাপ করা সেকেন্ডে সময়। t = 5 সেকেন্ড সময়ে এর গতি (মিটার প্রতি সেকেন্ডে) খুঁজুন।

একটি ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ হল গতি (চলনের গতি, একটি প্রক্রিয়ার পরিবর্তনের হার, কাজের গতি ইত্যাদি)

চলুন গতি পরিবর্তনের সূত্রটি বের করি: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s।

t = 5 এ আমাদের আছে:

উত্তরঃ 3

নিজের জন্য সিদ্ধান্ত নিন:

বস্তুর বিন্দুটি x (t) = 6t 2 – 48t + 17 আইন অনুসারে সরলরেখায় সরে যায়, যেখানে এক্স- রেফারেন্স পয়েন্ট থেকে মিটারে দূরত্ব, t- আন্দোলনের শুরু থেকে সেকেন্ডে সময় পরিমাপ করা হয়। t = 9 s সময়ে এর গতি (মিটার প্রতি সেকেন্ডে) খুঁজুন।

বস্তুর বিন্দুটি x (t) = 0.5t আইন অনুসারে সরলরেখায় চলে 3 – 3t 2 + 2t, কোথায় এক্সt- আন্দোলনের শুরু থেকে সেকেন্ডে সময় পরিমাপ করা হয়। t = 6 সেকেন্ড সময়ে এর গতি (মিটার প্রতি সেকেন্ডে) খুঁজুন।

একটি বস্তুগত বিন্দু আইন অনুযায়ী সরলরেখায় চলে

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

কোথায় এক্স- রেফারেন্স পয়েন্ট থেকে মিটারে দূরত্ব,t- আন্দোলনের শুরু থেকে সেকেন্ডে সময় পরিমাপ করা হয়। t = 3 সেকেন্ড সময়ে এর গতি (মিটার প্রতি সেকেন্ডে) খুঁজুন।

একটি বস্তুগত বিন্দু আইন অনুযায়ী সরলরেখায় চলে

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

যেখানে x হল রেফারেন্স বিন্দু থেকে মিটারে দূরত্ব, t হল সেকেন্ডে সময়, চলাচলের শুরু থেকে পরিমাপ করা হয়। কোন সময়ে (সেকেন্ডে) এর গতি 6 m/s এর সমান ছিল?

আসুন গতি পরিবর্তনের নিয়মটি খুঁজে বের করি:

সময় কোন পয়েন্টে খুঁজে বের করার জন্যtগতি ছিল 3 m/s, সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন:

উত্তরঃ 3

নিজের জন্য সিদ্ধান্ত নিন:

বস্তুর বিন্দুটি x (t) = t 2 – 13t + 23 আইন অনুসারে সরলরেখায় সরে যায়, যেখানে এক্স- রেফারেন্স পয়েন্ট থেকে মিটারে দূরত্ব, t- আন্দোলনের শুরু থেকে সেকেন্ডে সময় পরিমাপ করা হয়। কোন সময়ে (সেকেন্ডে) এর গতি 3 m/s এর সমান ছিল?

একটি বস্তুগত বিন্দু আইন অনুযায়ী সরলরেখায় চলে

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

কোথায় এক্স- রেফারেন্স পয়েন্ট থেকে মিটারে দূরত্ব, t- আন্দোলনের শুরু থেকে সেকেন্ডে সময় পরিমাপ করা হয়। কোন সময়ে (সেকেন্ডে) এর গতি 2 m/s এর সমান ছিল?

আমি মনে রাখতে চাই যে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় আপনার শুধুমাত্র এই ধরনের কাজগুলিতে ফোকাস করা উচিত নয়। তারা সম্পূর্ণরূপে অপ্রত্যাশিতভাবে সমস্যাগুলি উপস্থাপন করতে পারে যা উপস্থাপিতগুলির বিপরীত। যখন গতি পরিবর্তনের নিয়ম দেওয়া হবে এবং গতির নিয়ম খুঁজে বের করার বিষয়ে প্রশ্ন থাকবে।

ইঙ্গিত: এই ক্ষেত্রে, আপনাকে গতি ফাংশনের অবিচ্ছেদ্যটি খুঁজে বের করতে হবে (এটিও একটি এক-পদক্ষেপ সমস্যা)। আপনি যদি নির্দিষ্ট সময়ে ভ্রমণ করা দূরত্ব খুঁজে বের করতে চান, তাহলে আপনাকে ফলাফল সমীকরণে সময় প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং দূরত্ব গণনা করতে হবে। যাইহোক, আমরা এই জাতীয় সমস্যাগুলিও বিশ্লেষণ করব, এটি মিস করবেন না!আমি তোমার সাফল্য কামনা করি!

আন্তরিকভাবে, আলেকজান্ডার ক্রুটিটস্কিখ।

P.S: আপনি যদি আমাকে সোশ্যাল নেটওয়ার্কে সাইটটি সম্পর্কে বলেন তাহলে আমি কৃতজ্ঞ হব।

বীজগণিত উদার। সে প্রায়ই তার কাছে যা চাওয়া হয় তার চেয়ে বেশি দেয়।

জে. ডি'আলেমবার্ট

আন্তঃবিভাগীয় সংযোগ একটি শিক্ষামূলক অবস্থা এবং স্কুলে বিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়গুলির গভীর এবং ব্যাপক আয়ত্তের একটি মাধ্যম।
উপরন্তু, তারা শিক্ষার্থীদের বৈজ্ঞানিক জ্ঞান উন্নত করতে, যৌক্তিক চিন্তাভাবনা এবং তাদের সৃজনশীল ক্ষমতা বিকাশে সহায়তা করে। আন্তঃবিষয়ক সংযোগের বাস্তবায়ন উপাদানের অধ্যয়নের নকলকে দূর করে, সময় বাঁচায় এবং শিক্ষার্থীদের সাধারণ শিক্ষাগত দক্ষতার বিকাশের জন্য অনুকূল পরিস্থিতি তৈরি করে।
একটি পদার্থবিদ্যা কোর্সে আন্তঃবিষয়ক সংযোগ স্থাপন পলিটেকনিক এবং ব্যবহারিক প্রশিক্ষণের কার্যকারিতা বাড়ায়।
গণিত শেখানোর ক্ষেত্রে অনুপ্রেরণামূলক দিকটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ। একটি গাণিতিক সমস্যা ছাত্রদের দ্বারা আরও ভালভাবে অনুভূত হয় যদি এটি তাদের চোখের সামনে দেখা দেয় এবং কিছু শারীরিক ঘটনা বা প্রযুক্তিগত সমস্যা বিবেচনা করার পরে প্রণয়ন করা হয়।
একজন শিক্ষক গণিতের অগ্রগতিতে অনুশীলনের ভূমিকা এবং পদার্থবিদ্যা অধ্যয়ন এবং প্রযুক্তির বিকাশের জন্য গণিতের গুরুত্ব সম্পর্কে যতই কথা বলুক না কেন, তবে তিনি যদি না দেখান যে পদার্থবিদ্যা কীভাবে গণিতের বিকাশকে প্রভাবিত করে এবং গণিত কীভাবে সাহায্য করে। এর সমস্যা সমাধানে অনুশীলন করুন, তাহলে একটি বস্তুবাদী বিশ্বদৃষ্টির বিকাশ মারাত্মক ক্ষতির সম্মুখীন হবে। কিন্তু গণিত কীভাবে তার সমস্যাগুলি সমাধান করতে সাহায্য করে তা দেখানোর জন্য, আমাদের এমন সমস্যাগুলির প্রয়োজন যা পদ্ধতিগত উদ্দেশ্যে উদ্ভাবিত নয়, কিন্তু বাস্তবে মানুষের ব্যবহারিক কার্যকলাপের বিভিন্ন ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়।

ঐতিহাসিক তথ্য

17 শতকের শেষে নিউটন এবং লাইবনিজ দুটি সমস্যার উপর ভিত্তি করে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস তৈরি করেছিলেন:

একটি নির্বিচারে লাইনে একটি স্পর্শক খোঁজার বিষয়ে;
গতির স্বেচ্ছাচারী আইনের অধীনে গতি খোঁজার উপর।

এমনকি এর আগেও, একটি ডেরিভেটিভের ধারণাটি ইতালীয় গণিতবিদ নিকোলো টারটাগলিয়া (প্রায় 1500 - 1557) এর কাজগুলিতে দেখা গিয়েছিল - একটি বন্দুকের প্রবণতার কোণের সমস্যাটির অধ্যয়নের সময় স্পর্শকটি এখানে উপস্থিত হয়েছিল, যেখানে সর্বাধিক পরিসর প্রক্ষিপ্ত নিশ্চিত করা হয়.

17 শতকে, গতি সম্পর্কিত জি. গ্যালিলিওর শিক্ষার উপর ভিত্তি করে, ডেরিভেটিভের গতিশীল ধারণা সক্রিয়ভাবে বিকশিত হয়েছিল।

বিখ্যাত বিজ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলি গণিতে ডেরিভেটিভের ভূমিকার উপর একটি সম্পূর্ণ গ্রন্থ উৎসর্গ করেছেন। ডেসকার্টেস, ফরাসি গণিতবিদ রবারভাল এবং ইংরেজ বিজ্ঞানী এল. গ্রেগরির রচনায় বিভিন্ন উপস্থাপনা পাওয়া যায়। L'Hopital, Bernoulli, Lagrange, Euler এবং Gauss ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস অধ্যয়নে দারুণ অবদান রেখেছিলেন।

পদার্থবিজ্ঞানে ডেরিভেটিভের কিছু প্রয়োগ

অমৌলিক- ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের মৌলিক ধারণা, চরিত্রায়ন ফাংশন পরিবর্তনের হার.

নির্ধারিতএকটি ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা হিসাবে তার আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি শূন্য হয়ে যায়, যদি এই ধরনের একটি সীমা বিদ্যমান থাকে।

এইভাবে,

সুতরাং, ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করতে f(x)বিন্দুতে x 0সংজ্ঞা দ্বারা, আপনার প্রয়োজন:

আসুন আমরা বেশ কয়েকটি শারীরিক সমস্যা বিবেচনা করি যেখানে এই স্কিমটি ব্যবহার করা হয়।

তাত্ক্ষণিক বেগের সমস্যা। ডেরিভেটিভ এর যান্ত্রিক অর্থ

আসুন আমরা স্মরণ করি কিভাবে আন্দোলনের গতি নির্ধারণ করা হয়েছিল। একটি বস্তুগত বিন্দু একটি স্থানাঙ্ক রেখা বরাবর চলে। এই বিন্দুর x স্থানাঙ্ক একটি পরিচিত ফাংশন x(t)সময় t.থেকে সময়ের সময়কাল ধরে টি 0আগে টি 0+ বিন্দুর স্থানচ্যুতি হল x(t 0 + ) – x(t 0) -এবং এর গড় গতি হল: .
সাধারণত আন্দোলনের প্রকৃতি এমন হয় যে ছোট মানগুলিতে, গড় গতি কার্যত অপরিবর্তিত থাকে, যেমন আন্দোলনকে উচ্চ মাত্রার নির্ভুলতার সাথে অভিন্ন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। অন্য কথায়, গড় গতির মান কিছু সুনির্দিষ্ট মানের দিকে থাকে, যাকে তাৎক্ষণিক গতি বলা হয় v(t 0)সময় একটি মুহূর্তে উপাদান বিন্দু টি 0.

তাই,

কিন্তু সংজ্ঞা অনুসারে
অতএব, এটি বিশ্বাস করা হয় যে সময়ের সাথে সাথে তাত্ক্ষণিক গতি টি 0

একইভাবে যুক্তি দিয়ে, আমরা দেখতে পাই যে সময়ের সাপেক্ষে গতির ডেরিভেটিভ হল ত্বরণ, অর্থাৎ

শরীরের তাপ ক্ষমতার সমস্যা

1 গ্রাম ওজনের একটি শরীরের তাপমাত্রা 0 ডিগ্রি থেকে বৃদ্ধির জন্য tডিগ্রী, শরীরের তাপ একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ প্রদান করা প্রয়োজন প্র. মানে, প্রএকটি তাপমাত্রা ফাংশন আছে t, যার জন্য শরীর উত্তপ্ত হয়: Q = Q(t)। থেকে শরীরের তাপমাত্রা বাড়তে দিন টি 0আগে t.এই গরম করার জন্য ব্যয় করা তাপের পরিমাণ সমান। অনুপাত হল তাপমাত্রার পরিবর্তনের সময় শরীরকে 1 ডিগ্রি গরম করার জন্য গড়ে যে পরিমাণ তাপের প্রয়োজন হয়। ডিগ্রী. এই অনুপাতকে একটি প্রদত্ত শরীরের গড় তাপ ক্ষমতা বলা হয় এবং এটি চিহ্নিত করা হয় বুধবার থেকে.
কারণ গড় তাপ ক্ষমতা কোন তাপমাত্রা T-এর তাপ ক্ষমতা সম্পর্কে ধারণা দেয় না, তারপর একটি নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় তাপ ক্ষমতার ধারণাটি চালু করা হয় টি 0(এই মুহূর্তে টি 0).
তাপমাত্রায় তাপ ক্ষমতা টি 0(একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে) সীমা বলা হয়

একটি রডের রৈখিক ঘনত্বের সমস্যা

আসুন একটি নন-ইউনিফর্ম রড বিবেচনা করি।

এই জাতীয় রডের জন্য, এর দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে ভরের পরিবর্তনের হার সম্পর্কে প্রশ্ন ওঠে।

গড় রৈখিক ঘনত্ব রডের ভর তার দৈর্ঘ্যের একটি ফাংশন এক্স.

সুতরাং, একটি প্রদত্ত বিন্দুতে একটি অ-ইউনিফর্ম রডের রৈখিক ঘনত্ব নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়:

অনুরূপ সমস্যা বিবেচনা করে, কেউ অনেক শারীরিক প্রক্রিয়ার জন্য অনুরূপ সিদ্ধান্তে আসতে পারে। তাদের কিছু টেবিলে দেখানো হয়.

ফাংশন	সূত্র	উপসংহার
m(t)- সময়মতো খরচ হওয়া জ্বালানির ভরের নির্ভরতা।		অমৌলিক সময়ের সাথে ভরএখানে গতিজ্বালানি খরচ.
T(t) - সময়মত উত্তপ্ত শরীরের তাপমাত্রার নির্ভরতা।		অমৌলিক সময়ের সাথে সাথে তাপমাত্রাএখানে গতিশরীর গরম করা।
m(t) - সময়মত একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের ক্ষয়কালে ভরের নির্ভরতা।		অমৌলিক সময়ের সাথে সাথে তেজস্ক্রিয় পদার্থের ভরএখানে গতিতেজস্ক্রিয় ক্ষয়.
q(t) - সময়মত কন্ডাক্টরের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত বিদ্যুতের পরিমাণের নির্ভরতা		অমৌলিক সময়ের সাথে সাথে বিদ্যুতের পরিমাণএখানে বর্তমান শক্তি.
A(t)- সময়ের উপর কাজের নির্ভরতা		অমৌলিক সময়মত কাজ করুনএখানে ক্ষমতা.

ব্যবহারিক কাজ:

একটি কামান থেকে নিক্ষিপ্ত একটি প্রজেক্টাইল x(t) = – 4t 2 + 13t (m) আইন অনুসারে চলে। 3 সেকেন্ডের শেষে প্রজেক্টাইলের গতি খুঁজুন।

কন্ডাক্টরের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত বিদ্যুতের পরিমাণ, t = 0 s সময়ে শুরু হয়, সূত্র q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Kul) দ্বারা দেওয়া হয় পঞ্চম সেকেন্ডের শেষে বর্তমান শক্তি নির্ণয় করুন।

0 o থেকে t o C পর্যন্ত 1 কেজি জল গরম করার জন্য প্রয়োজনীয় তাপের পরিমাণ Q(J) সূত্র Q(t) = t + 0.00002t 2 + 0.0000003t 3 দ্বারা নির্ধারিত হয়। t = 100 o হলে পানির তাপ ক্ষমতা গণনা করুন।

x(t) = 3 + 2t + t 2 (m) আইন অনুসারে দেহটি সরলরেখায় চলে। 1 s এবং 3 s সময়ে এর গতি এবং ত্বরণ নির্ণয় করুন।

x(t) = t 2 – 4t 4 (m), t = 3 s এ আইন অনুযায়ী চলমান, ভর m একটি বিন্দুতে কাজ করে F বলটির মাত্রা নির্ণয় করুন।

একটি দেহ যার ভর m = 0.5 kg আইন x(t) = 2t 2 + t – 3 (m) অনুসারে সরলরেখায় চলে। নড়াচড়া শুরু হওয়ার 7 সেকেন্ড পরে শরীরের গতিশক্তি খুঁজুন।

উপসংহার

কেউ আরও অনেক প্রযুক্তিগত সমস্যা নির্দেশ করতে পারে, যার সমাধানের জন্য সংশ্লিষ্ট ফাংশনের পরিবর্তনের হারও খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘূর্ণায়মান দেহের কৌণিক বেগ খুঁজে বের করা, উত্তপ্ত হলে দেহের প্রসারণের রৈখিক সহগ, একটি নির্দিষ্ট সময়ে রাসায়নিক বিক্রিয়ার হার।
সমস্যাগুলির প্রাচুর্যের কারণে একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হারের গণনা বা অন্য কথায়, একটি ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমার গণনা এবং আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির জন্য, যখন পরবর্তীটি প্রবণ হয় শূন্য থেকে, এটি একটি নির্বিচারী ফাংশনের জন্য এই ধরনের একটি সীমা বিচ্ছিন্ন করা এবং এর মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা প্রয়োজন বলে প্রমাণিত হয়েছে। এই সীমা বলা হয় একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ

সুতরাং, বেশ কয়েকটি উদাহরণ ব্যবহার করে, আমরা দেখিয়েছি যে কীভাবে গাণিতিক সমস্যাগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন শারীরিক প্রক্রিয়াগুলি বর্ণনা করা হয়, কীভাবে সমাধানগুলির বিশ্লেষণ আমাদের প্রক্রিয়াগুলির কোর্স সম্পর্কে সিদ্ধান্ত এবং ভবিষ্যদ্বাণী আঁকতে দেয়।
অবশ্যই, এই ধরনের উদাহরণের সংখ্যা বিশাল, এবং তাদের বেশ বড় অংশ আগ্রহী ছাত্রদের জন্য বেশ অ্যাক্সেসযোগ্য।

"সঙ্গীত আত্মাকে উন্নীত করতে বা প্রশান্ত করতে পারে,
পেইন্টিং চোখে আনন্দদায়ক,
কবিতা হলো অনুভূতি জাগাতে,
দর্শন হলো মনের চাহিদা মেটানো,
ইঞ্জিনিয়ারিং হল মানুষের জীবনের বস্তুগত দিক উন্নত করা,
এবং গণিত এই সমস্ত লক্ষ্য অর্জন করতে পারে।"

এমনটাই বলেছেন মার্কিন গণিতবিদ মরিস ক্লাইন.

গ্রন্থপঞ্জি :

আব্রামভ এএন, ভিলেনকিন এন ইয়া।এবং অন্যান্য। গণিতের নির্বাচিত প্রশ্ন। গ্রেড 10. – এম: এনলাইটেনমেন্ট, 1980।
ভিলেনকিন এন.ইয়া., শিবাসভ এ.পি.গণিতের পাঠ্যবইয়ের পাতার পিছনে। – এম: এনলাইটেনমেন্ট, 1996।
ডোব্রোখোতোভা এম.এ., সাফোনভ এ.এন.. ফাংশন, এর সীমা এবং ডেরিভেটিভ। – এম: এনলাইটেনমেন্ট, 1969।
কলমোগোরভ এ.এন., আব্রামভ এ.এম.এবং অন্যান্য। বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের সূচনা। – এম: শিক্ষা, 2010।
কোলোসভ এ.এ.গণিতের উপর পাঠ্যক্রম বহির্ভূত পড়ার জন্য একটি বই। – এম: উচপেদগিজ, 1963।
ফিখটেনগোল্টস জি.এম.গাণিতিক বিশ্লেষণের মৌলিক বিষয়, অংশ 1 – এম: নাউকা, 1955।
ইয়াকভলেভ জি.এন.কারিগরি স্কুলের জন্য গণিত। বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের শুরু, পার্ট 1 - এম: নাউকা, 1987।

গণিতে শারীরিক সমস্যা বা উদাহরণগুলি সমাধান করা সম্পূর্ণরূপে অসম্ভব ডেরিভেটিভ এবং এটি গণনার পদ্ধতি সম্পর্কে জ্ঞান ছাড়া। ডেরিভেটিভ হল গাণিতিক বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলির মধ্যে একটি। আমরা আজকের নিবন্ধটি এই মৌলিক বিষয়ে উত্সর্গ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। ডেরিভেটিভ কী, এর ভৌত এবং জ্যামিতিক অর্থ কী, কীভাবে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করা যায়? এই সমস্ত প্রশ্নগুলিকে একত্রিত করা যেতে পারে: কীভাবে ডেরিভেটিভ বোঝা যায়?

ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক এবং শারীরিক অর্থ

একটি ফাংশন হতে দিন f(x) , একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে নির্দিষ্ট (ক, খ) . পয়েন্ট x এবং x0 এই ব্যবধানের অন্তর্গত। যখন x পরিবর্তন হয়, ফাংশন নিজেই পরিবর্তিত হয়। যুক্তি পরিবর্তন - তার মান পার্থক্য x-x0 . এই পার্থক্য হিসাবে লেখা হয় ডেল্টা x এবং আর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট বলা হয়। একটি ফাংশনের পরিবর্তন বা বৃদ্ধি হল দুটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের মানের মধ্যে পার্থক্য। ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা:

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা যখন আর্গুমেন্টটি শূন্যের দিকে থাকে।

অন্যথায় এটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

এমন সীমা খুঁজে পাওয়ার কী আছে? এবং এখানে এটি কি:

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ OX অক্ষের মধ্যে কোণের স্পর্শক এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকের সমান।

ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ: সময়ের সাপেক্ষে পথের ডেরিভেটিভ রেক্টিলাইনার গতির গতির সমান।

প্রকৃতপক্ষে, স্কুলের দিন থেকেই সবাই জানে যে গতি একটি নির্দিষ্ট পথ x=f(t) এবং সময় t . একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে গড় গতি:

সময়ের একটি মুহুর্তে চলাচলের গতি খুঁজে বের করতে t0 আপনাকে সীমা গণনা করতে হবে:

নিয়ম এক: একটি ধ্রুবক সেট করুন

ধ্রুবকটি ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে। তাছাড়া, এটা করতে হবে। গণিতে উদাহরণ সমাধান করার সময়, এটি একটি নিয়ম হিসাবে নিন - আপনি যদি একটি অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করতে পারেন তবে এটিকে সরলীকরণ করতে ভুলবেন না .

উদাহরণ। আসুন ডেরিভেটিভ গণনা করা যাক:

নিয়ম দুই: ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ

দুটি ফাংশনের যোগফলের ডেরিভেটিভ এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান। ফাংশনের পার্থক্যের ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য।

আমরা এই উপপাদ্যটির প্রমাণ দেব না, বরং একটি বাস্তব উদাহরণ বিবেচনা করব।

ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

নিয়ম তিন: ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ

দুটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের পণ্যের ডেরিভেটিভ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

উদাহরণ: একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

সমাধান:

এখানে জটিল ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ গণনা করার বিষয়ে কথা বলা গুরুত্বপূর্ণ। একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ মধ্যবর্তী যুক্তির সাপেক্ষে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের গুণফলের সমান এবং স্বাধীন চলকের ক্ষেত্রে মধ্যবর্তী আর্গুমেন্টের ডেরিভেটিভের সমান।

উপরের উদাহরণে আমরা অভিব্যক্তিটি দেখতে পাই:

এই ক্ষেত্রে, মধ্যবর্তী যুক্তি হল 8x থেকে পঞ্চম শক্তি। এই ধরনের অভিব্যক্তির ডেরিভেটিভ গণনা করার জন্য, আমরা প্রথমে মধ্যবর্তী যুক্তির সাপেক্ষে বাহ্যিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করি, এবং তারপর স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে মধ্যবর্তী আর্গুমেন্টের ডেরিভেটিভ দ্বারা গুণ করি।

নিয়ম চার: দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ

দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ নির্ধারণের সূত্র:

আমরা স্ক্র্যাচ থেকে ডামি জন্য ডেরিভেটিভ সম্পর্কে কথা বলার চেষ্টা. এই বিষয়টা যতটা সহজ মনে হচ্ছে ততটা সহজ নয়, তাই সতর্ক করা উচিত: উদাহরণগুলিতে প্রায়শই ত্রুটি থাকে, তাই ডেরিভেটিভ গণনা করার সময় সতর্ক থাকুন।

এই এবং অন্যান্য বিষয়ে কোন প্রশ্ন থাকলে, আপনি ছাত্র পরিষেবার সাথে যোগাযোগ করতে পারেন। অল্প সময়ের মধ্যে, আমরা আপনাকে সবচেয়ে কঠিন পরীক্ষার সমাধান করতে এবং কাজগুলি বুঝতে সাহায্য করব, এমনকি যদি আপনি আগে কখনও ডেরিভেটিভ গণনা না করেন।

এখন পর্যন্ত, আমরা একটি ফাংশনের গ্রাফের জ্যামিতিক উপস্থাপনার সাথে ডেরিভেটিভের ধারণাটিকে যুক্ত করেছি। যাইহোক, ডেরিভেটিভের ধারণার ভূমিকাকে শুধুমাত্র সমস্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ করা একটি গুরুতর ভুল হবে

একটি প্রদত্ত বক্ররেখাতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করা। বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি আরও গুরুত্বপূর্ণ কাজ হল সময়ের সাথে পরিবর্তিত যেকোন পরিমাণের পরিবর্তনের হার গণনা করা। এই দিক থেকেই নিউটন ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের কাছে আসেন। বিশেষ করে, নিউটন সময় এবং চলমান কণার অবস্থানকে পরিবর্তনশীল হিসেবে বিবেচনা করে গতির ঘটনাটি বিশ্লেষণ করতে চেয়েছিলেন (নিউটনের ভাষায়, "ফ্লুয়েন্টস")। যখন একটি কণা x-অক্ষ বরাবর চলে, তখন তার গতিবিধি সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেহেতু একটি ফাংশন দেওয়া হয় যা যে কোনো সময়ে x কণার অবস্থান নির্দেশ করে। x অক্ষ বরাবর একটি ধ্রুবক গতি সহ "অভিন্ন গতি" একটি রৈখিক ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত হয় যেখানে a হল প্রাথমিক মুহুর্তে কণার অবস্থান

একটি সমতলে একটি কণার গতি দুটি ফাংশন দ্বারা বর্ণনা করা হয়

যা সময়ের ফাংশন হিসাবে এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করে। বিশেষ করে, দুটি লিনিয়ার ফাংশন অভিন্ন গতির সাথে মিলে যায়

যেখানে ধ্রুব গতির দুটি "উপাদান" এবং a এবং c হল কণার প্রাথমিক অবস্থানের স্থানাঙ্ক (কণার গতিপথ একটি সরল রেখা, যার সমীকরণ হল

উপরের দুটি সম্পর্ক বাদ দিয়ে প্রাপ্ত হয়।

যদি কোনো কণা উল্লম্ব সমতল x, y তে একা অভিকর্ষের প্রভাবে চলে, তাহলে এর গতি (এটি প্রাথমিক পদার্থবিজ্ঞানে প্রমাণিত) দুটি সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়

যেখানে ধ্রুবকগুলি প্রাথমিক মুহুর্তে কণার অবস্থার উপর নির্ভর করে, যদি সময় সেকেন্ডে এবং দূরত্ব মিটারে পরিমাপ করা হয় তবে অভিকর্ষের কারণে ত্বরণ প্রায় 9.81 হয়। এই দুটি সমীকরণ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত গতিপথ একটি প্যারাবোলা

অন্যথায় ট্র্যাজেক্টোরিটি উল্লম্ব অক্ষের একটি অংশ না হলে।

যদি একটি কণাকে একটি প্রদত্ত বক্ররেখা বরাবর চলতে বাধ্য করা হয় (যেভাবে একটি ট্রেন রেলের উপর চলে তার অনুরূপ), তবে এর গতিবিধি একটি ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত হতে পারে (একটি প্রদত্ত বক্ররেখা বরাবর গণনা করা চাপের দৈর্ঘ্যের সমান সময়ের একটি ফাংশন। সময়ের মুহুর্তে P বিন্দুতে কণার অবস্থানের নির্দিষ্ট সূচনা বিন্দু। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি একক বৃত্তের কথা বলি, তাহলে ফাংশনটি এই বৃত্তে c গতির সাথে অভিন্ন ঘূর্ণন গতি নির্ধারণ করে।

ব্যায়াম। সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত সমতল গতির ট্র্যাজেক্টোরি আঁকুন: উপরে বর্ণিত প্যারাবোলিক গতিতে, কণাটির প্রাথমিক অবস্থান ধরে নিন (উৎপত্তিস্থলে এবং বিবেচনা করুন ট্র্যাজেক্টোরির সর্বোচ্চ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন। সময় এবং x মান খুঁজুন অক্ষের সাথে ট্রাজেক্টোরির সেকেন্ডারি ইন্টারসেকশন

নিউটন যে প্রথম লক্ষ্য নির্ধারণ করেছিলেন তা হল অসমভাবে চলমান একটি কণার গতি খুঁজে বের করা। সরলতার জন্য, আসুন ফাংশন দ্বারা নির্দিষ্ট একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর একটি কণার গতিবিধি বিবেচনা করা যাক৷ যদি আন্দোলনটি অভিন্ন হয়, অর্থাত্, একটি ধ্রুবক গতিতে সঞ্চালিত হয়, তবে এই গতিটি দুটি মুহূর্ত সময় নিয়ে পাওয়া যেতে পারে এবং কণার সংশ্লিষ্ট অবস্থান এবং অনুপাত তৈরি করা

উদাহরণস্বরূপ, যদি ঘন্টায় পরিমাপ করা হয়, এবং ; কিলোমিটারে, তারপর পার্থক্য হবে 1 ঘন্টায় ভ্রমণ করা কিলোমিটারের সংখ্যা, গতি (ঘণ্টায় কিলোমিটার)। যখন বলা হয় যে গতি একটি ধ্রুবক পরিমাণ, তারা শুধুমাত্র পার্থক্য অনুপাত বোঝায়

কোন মানের জন্য পরিবর্তন হয় না। কিন্তু যদি আন্দোলন অসম হয় (যেটি ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, একটি শরীরের অবাধ পতনে, এটি পড়ার সাথে সাথে এর গতি বৃদ্ধি পায়), তাহলে সম্পর্ক (3) এর মান দেয় না। এই মুহুর্তে গতি এবং যাকে সাধারণত সময়ের ব্যবধানে গড় গতি বলা হয় তা প্রতিনিধিত্ব করে

প্রবণতার সময় গতি সুতরাং, নিউটনের সাথে একসাথে, আমরা গতিকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করি:

অন্য কথায়, গতি হল সময়ের সাপেক্ষে "পথ ভ্রমন করা" (একটি সরল রেখায় কণার স্থানাঙ্ক) এর ডেরিভেটিভ, বা সময়ের সাপেক্ষে পথের "তাত্ক্ষণিক পরিবর্তনের হার" - এর বিপরীতে সূত্র (3) দ্বারা নির্ধারিত পরিবর্তনের গড় হার।

বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। ত্বরণ হল সহজভাবে ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ; এটি সাধারণত প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বলা হয়

গ্যালিলিও লক্ষ্য করেছিলেন যে সময়ের সাথে সাথে একটি দেহের মুক্ত পতনের সময় আচ্ছাদিত উল্লম্ব দূরত্ব x সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়