পয়সন সূত্র এবং পয়সন বন্টন আইন। পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন মানে

আসুন Poisson বিতরণ বিবেচনা করুন, এর গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং মোড গণনা করুন। MS EXCEL ফাংশন POISSON.DIST(), ব্যবহার করে আমরা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং সম্ভাব্যতার ঘনত্বের গ্রাফ তৈরি করব। আসুন আমরা ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটার, এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রমিত বিচ্যুতি অনুমান করি।

প্রথমত, আমরা বিতরণের একটি শুষ্ক আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দিই, তারপরে আমরা যখন পরিস্থিতির উদাহরণ দিই বিষ বিতরণ(ইংরেজি) বিষবিতরণ) একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বর্ণনা করার জন্য একটি পর্যাপ্ত মডেল।

যদি একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে (বা বস্তুর একটি নির্দিষ্ট আয়তনে) গড় ফ্রিকোয়েন্সি সহ এলোমেলো ঘটনা ঘটে λ( ল্যাম্বডা), তারপর ইভেন্টের সংখ্যা এক্স, সময় এই সময়ের মধ্যে ঘটেছে হবে বিষ বিতরণ.

পয়সন বিতরণের প্রয়োগ

উদাহরণ যখন বিষ বিতরণএকটি পর্যাপ্ত মডেল:

• একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে টেলিফোন এক্সচেঞ্জে প্রাপ্ত কলের সংখ্যা;
• নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের মধ্য দিয়ে যাওয়া কণার সংখ্যা;
• একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের ফ্যাব্রিকের একটি অংশে ত্রুটির সংখ্যা।

বিষ বিতরণনিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হলে একটি পর্যাপ্ত মডেল:

• ঘটনা একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে ঘটে, যেমন পরবর্তী ইভেন্টের সম্ভাবনা আগেরটির উপর নির্ভর করে না;
• গড় ঘটনা হার ধ্রুবক. ফলস্বরূপ, একটি ঘটনার সম্ভাবনা পর্যবেক্ষণ ব্যবধানের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক;
• দুটি ঘটনা একই সময়ে ঘটতে পারে না;
• ইভেন্টের সংখ্যা অবশ্যই 0 মান নিতে হবে; 1; 2…

বিঃদ্রঃ: একটি ভাল ক্লু হল যে পর্যবেক্ষণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে বিষ বিতরণ,সত্য যে এটি প্রায় সমান (নীচে দেখুন)।

নীচে যেখানে পরিস্থিতি উদাহরণ বিষ বিতরণ না পারেনপ্রয়োগ করা:

• এক ঘন্টার মধ্যে বিশ্ববিদ্যালয় ত্যাগকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা (যেহেতু শিক্ষার্থীদের গড় প্রবাহ স্থির থাকে না: ক্লাস চলাকালীন খুব কম শিক্ষার্থী থাকে এবং ক্লাসের মধ্যে বিরতির সময় শিক্ষার্থীদের সংখ্যা তীব্রভাবে বৃদ্ধি পায়);
• ক্যালিফোর্নিয়ায় প্রতি বছর 5 পয়েন্টের প্রশস্ততা সহ ভূমিকম্পের সংখ্যা (যেহেতু একটি ভূমিকম্প অনুরূপ প্রশস্ততার আফটারশক সৃষ্টি করতে পারে - ঘটনাগুলি স্বাধীন নয়);
• নিবিড় পরিচর্যা ইউনিটে রোগীরা যে দিনগুলি কাটান তার সংখ্যা (কারণ রোগীরা নিবিড় পরিচর্যা ইউনিটে যে দিনগুলি কাটায় তার সংখ্যা সর্বদা 0-এর বেশি)।

বিঃদ্রঃ: বিষ বিতরণআরো সঠিক বিযুক্ত ডিস্ট্রিবিউশনের একটি অনুমান: এবং .

বিঃদ্রঃ: সম্পর্কের কথা বিষ বিতরণএবং দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশননিবন্ধে পড়া যেতে পারে। সম্পর্কের কথা বিষ বিতরণএবং সূচকীয় বিতরণসম্পর্কে নিবন্ধে পড়া যাবে.

MS EXCEL-এ পয়সন বিতরণ

MS EXCEL-এ, সংস্করণ 2010 থেকে শুরু হচ্ছে, এর জন্য বিতরণ বিষএকটি ফাংশন আছে POISSON.DIST(), ইংরেজি নাম - POISSON.DIST(), যা আপনাকে শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে ঘটবে এমন সম্ভাবনাই গণনা করতে দেয় না। এক্সঘটনা (ফাংশন সম্ভাব্য ঘনত্ব p(x), উপরে সূত্র দেখুন), কিন্তু এছাড়াও (সম্ভাব্য যে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে অন্তত এক্সঘটনা)।

MS EXCEL 2010-এর আগে, EXCEL-এর POISSON() ফাংশন ছিল, যা আপনাকে গণনা করতে দেয় বিতরণ ফাংশনএবং সম্ভাব্য ঘনত্ব p(x)। POISSON() সামঞ্জস্যের জন্য MS EXCEL 2010 এ রেখে দেওয়া হয়েছে।

উদাহরণ ফাইলে গ্রাফ রয়েছে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বন্টনএবং ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন.

বিষ বিতরণএকটি তির্যক আকৃতি আছে (সম্ভাব্যতা ফাংশনের ডানদিকে একটি লম্বা লেজ), কিন্তু পরামিতি λ বৃদ্ধির সাথে সাথে এটি আরও বেশি প্রতিসম হয়ে ওঠে।

বিঃদ্রঃ: গড়এবং বিচ্ছুরণ(বর্গ) প্যারামিটারের সমান বিষ বিতরণ- λ (দেখুন উদাহরণ শীট ফাইল উদাহরণ).

টাস্ক

সাধারণ দরখাস্ত বিষ বিতরণমান নিয়ন্ত্রণে একটি যন্ত্র বা ডিভাইসে প্রদর্শিত ত্রুটির সংখ্যার একটি মডেল।

উদাহরণস্বরূপ, একটি চিপে λ (ল্যাম্বডা) গড় ত্রুটির সংখ্যা 4 এর সমান, একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত চিপে 2 বা তার কম ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা হল: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

ফাংশনের তৃতীয় প্যারামিটারটি সেট করা হয়েছে = TRUE, তাই ফাংশনটি ফিরে আসবে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন, অর্থাৎ, সম্ভাব্যতা যে র্যান্ডম ইভেন্টের সংখ্যা 0 থেকে 4 এর মধ্যে থাকবে।

এই ক্ষেত্রে গণনা সূত্র অনুযায়ী করা হয়:

একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত মাইক্রোসার্কিটের ঠিক 2টি ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা হল: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

ফাংশনের তৃতীয় প্যারামিটারটি সেট করা হয়েছে = FALSE, তাই ফাংশনটি সম্ভাব্য ঘনত্ব প্রদান করবে।

একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত মাইক্রোসার্কিটে 2টির বেশি ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা সমান: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535

বিঃদ্রঃ: যদি এক্সএকটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তারপর সূত্র গণনা করার সময়। সূত্র =POISSON.DIST( 2 ; 4; মিথ্যা)এবং =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; মিথ্যা)একই ফলাফল ফিরে আসবে।

এলোমেলো সংখ্যা তৈরি এবং λ অনুমান

λ এর মানের জন্য >15 , বিষ বিতরণভাল আনুমানিক স্বাভাবিক বন্টননিম্নলিখিত পরামিতি সহ: μ =λ , σ 2 =λ .

এই বিতরণগুলির মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে আরও বিশদ নিবন্ধে পাওয়া যাবে। আনুমানিকতার উদাহরণও রয়েছে এবং কখন এটি সম্ভব এবং কী নির্ভুলতার সাথে ব্যাখ্যা করা হয়েছে তার শর্তাবলী রয়েছে।

উপদেশ: আপনি নিবন্ধে অন্যান্য MS EXCEL বিতরণ সম্পর্কে পড়তে পারেন।

দ্বিপদী বন্টন আইন সেই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেখানে একটি নির্দিষ্ট আকারের নমুনা নেওয়া হয়েছিল। Poisson বিতরণ ক্ষেত্রে যেখানে প্রযোজ্য র্যান্ডম ইভেন্টের সংখ্যা একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য, এলাকা, আয়তন বা সময়ের উপর ঘটে, যখন বন্টনের পরামিতি নির্ধারণ করে ইভেন্টের গড় সংখ্যা , নমুনার আকার নয় পৃএবং সাফল্যের সম্ভাবনা আর.উদাহরণস্বরূপ, একটি নমুনায় অসঙ্গতির সংখ্যা বা উৎপাদনের ইউনিট প্রতি অসঙ্গতির সংখ্যা।

সাফল্যের সংখ্যার জন্য সম্ভাব্যতা বন্টন এক্সনিম্নলিখিত ফর্ম আছে:

অথবা আমরা বলতে পারি যে একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সপয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় যদি এর সম্ভাব্য মান 0.1, 2, ...টি, ...পি,এবং এই ধরনের মানগুলির সংঘটনের সম্ভাবনা সম্পর্কের দ্বারা নির্ধারিত হয়:

কোথায় মি বা λ হল কিছু ধনাত্মক মান যাকে বলা হয় পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটার।

পয়সনের আইনটি "কদাচিৎ" ঘটতে থাকা ইভেন্টগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যখন পরবর্তী সাফল্যের সম্ভাবনা (উদাহরণস্বরূপ, একটি ব্যর্থতা) ক্রমাগত থেকে যায়, স্থির থাকে এবং পূর্ববর্তী সাফল্য বা ব্যর্থতার সংখ্যার উপর নির্ভর করে না (যখন আমরা প্রক্রিয়াগুলির বিকাশের বিষয়ে কথা বলি) সময়, একে বলা হয় "অতীতের স্বাধীনতা")। একটি ক্লাসিক উদাহরণ যেখানে পয়সনের আইন প্রযোজ্য তা হল একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে একটি টেলিফোন এক্সচেঞ্জে টেলিফোন কলের সংখ্যা। অন্যান্য উদাহরণ হতে পারে একটি ঢালুভাবে লিখিত পাণ্ডুলিপির পৃষ্ঠায় কালি দাগের সংখ্যা, বা এটি আঁকার সময় একটি গাড়ির শরীরে শেষ হওয়া দাগের সংখ্যা। পয়সন বন্টন আইন ত্রুটির সংখ্যা পরিমাপ করে, ত্রুটিপূর্ণ পণ্যের সংখ্যা নয়।

পয়সন বন্টন নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে বা স্থানের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে ঘটে যাওয়া এলোমেলো ঘটনার সংখ্যা দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। λ এর জন্য<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 মান P(m) বাড়ছে৷ টি সর্বাধিক কাছাকাছি অতিক্রম করে

পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনের একটি বৈশিষ্ট্য হল প্রকরণটি গাণিতিক প্রত্যাশার সমান। পয়সন বিতরণ পরামিতি

M(x) = σ 2 = λ (15)

পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনের এই বৈশিষ্ট্যটি আমাদের অনুশীলনে বলতে দেয় যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরীক্ষামূলকভাবে প্রাপ্ত বন্টন যদি গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণের নমুনা মানগুলি প্রায় সমান হয় তবে পয়সন বিতরণের সাপেক্ষে।

বিরল ইভেন্টের আইনটি যান্ত্রিক প্রকৌশলে সমাপ্ত পণ্যগুলির নির্বাচনী নিয়ন্ত্রণের জন্য ব্যবহৃত হয়, যখন প্রযুক্তিগত শর্ত অনুসারে, পণ্যগুলির স্বীকৃত ব্যাচে একটি নির্দিষ্ট শতাংশ ত্রুটি (সাধারণত ছোট) অনুমোদিত হয়<<0.1.

যদি ঘটনা A এর সম্ভাব্যতা q খুব ছোট হয় (q≤0.1), এবং ট্রায়ালের সংখ্যা বড় হয়, তাহলে n ট্রায়ালে ঘটনা A ঘটবে এমন সম্ভাবনা সমান হবে

যেখানে λ = M(x) = nq

পয়সন বন্টন গণনা করতে, আপনি নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক ব্যবহার করতে পারেন

পয়সন বন্টন পরিসংখ্যানগত গুণমান নিশ্চিতকরণ পদ্ধতিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে কারণ এটি আনুমানিক হাইপারজ্যামিতিক এবং দ্বিপদী বিতরণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

এই ধরনের আনুমানিকতা গ্রহণযোগ্য যখন , শর্ত থাকে যে qn-এর একটি সসীম সীমা এবং q থাকে<0.1. Когда p →∞, ক r → 0, গড় n r = t = const

বিরল ঘটনার সূত্র ব্যবহার করে, আপনি সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারেন যে n ইউনিটের একটি নমুনায় থাকবে: 0,1,2,3, ইত্যাদি। ত্রুটিপূর্ণ অংশ, যেমন দেওয়া m বার. আপনি এই জাতীয় নমুনায় m বা আরও ত্রুটিপূর্ণ অংশ উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনাও গণনা করতে পারেন। এই সম্ভাবনা, সম্ভাব্যতা যোগ করার নিয়মের উপর ভিত্তি করে, এর সমান হবে:

উদাহরণ 1. ব্যাচে ত্রুটিপূর্ণ অংশ রয়েছে, যার অনুপাত 0.1। 10টি অংশ পর্যায়ক্রমে নেওয়া হয় এবং পরীক্ষা করা হয়, তারপরে সেগুলি ব্যাচে ফেরত দেওয়া হয়, যেমন পরীক্ষা স্বাধীন। 10টি অংশ পরীক্ষা করার সময় একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধানসমস্যা অবস্থা থেকে q=0.1; n=10; m=1.অবশ্যই, p=1-q=0.9।

প্রাপ্ত ফলাফলটি ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে যখন 10টি অংশকে ব্যাচে ফিরিয়ে না দিয়ে এক সারিতে সরানো হয়। একটি বড় পর্যাপ্ত ব্যাচের সাথে, উদাহরণস্বরূপ, 1000 টুকরা, অংশগুলি নিষ্কাশনের সম্ভাবনা নগণ্যভাবে পরিবর্তিত হবে। অতএব, এই ধরনের অবস্থার অধীনে, একটি ত্রুটিপূর্ণ অংশ অপসারণ একটি ঘটনা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা পূর্ববর্তী পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে না।

উদাহরণ 2।ব্যাচে 1% ত্রুটিপূর্ণ অংশ রয়েছে। একটি ব্যাচ থেকে পণ্যের 50 ইউনিটের নমুনা নেওয়ার সময় এতে 0, 1, 2, 3, 4 ত্রুটিপূর্ণ অংশ থাকবে এমন সম্ভাবনা কত?

সমাধান।এখানে q=0.01, nq=50*0.01=0.5

সুতরাং, পয়সন বন্টনকে দ্বিপদীর আনুমানিক হিসাবে কার্যকরভাবে ব্যবহার করার জন্য, সাফল্যের সম্ভাবনা আরউল্লেখযোগ্যভাবে কম ছিল qক n r = tএক (বা একাধিক ইউনিট) এর ক্রম ছিল।

এইভাবে, পরিসংখ্যানগত গুণমান নিশ্চিতকরণ পদ্ধতিতে

হাইপারজ্যামিতিক আইনযেকোনো আকারের নমুনার জন্য প্রযোজ্য পৃ এবং অ-সঙ্গতি কোন স্তর q ,

দ্বিপদ আইন এবং পয়সনের সূত্র এটির বিশেষ ক্ষেত্রে, যথাক্রমে, যদি n/N<0,1 и

ভূমিকা

এলোমেলো ঘটনা কি কোন আইনের অধীন? হ্যাঁ, তবে এই আইনগুলি আমরা যে শারীরিক আইনগুলির সাথে পরিচিত তার থেকে আলাদা। পরিচিত পরীক্ষামূলক অবস্থার মধ্যেও এসভির মানগুলি ভবিষ্যদ্বাণী করা যায় না; আমরা কেবল সম্ভাব্যতাগুলি নির্দেশ করতে পারি যে SV এক বা অন্য মান গ্রহণ করবে। কিন্তু SV-এর সম্ভাব্যতা বণ্টন সম্পর্কে জেনে, আমরা যে ইভেন্টগুলিতে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি অংশগ্রহণ করে সেগুলি সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে পারি। সত্য, এই উপসংহারগুলিও সম্ভাব্য প্রকৃতির হবে।

কিছু SV আলাদা হতে দিন, যেমন শুধুমাত্র স্থির মান Xi নিতে পারে. এই ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতার মানের সিরিজ P(Xi) সকলের জন্য (i=1…n) এই পরিমাণের অনুমোদিত মানকে এর বন্টন আইন বলা হয়।

SV-এর বন্টনের আইন হল একটি সম্পর্ক যা SV-এর সম্ভাব্য মান এবং সম্ভাব্যতার মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করে যার সাথে এই মানগুলি গ্রহণ করা হয়। বন্টন আইন সম্পূর্ণরূপে SV বৈশিষ্ট্য.

একটি পরিসংখ্যানগত অনুমান পরীক্ষা করার জন্য একটি গাণিতিক মডেল তৈরি করার সময়, এসভি (মডেলটি নির্মাণের প্যারামেট্রিক উপায়) বিতরণের আইন সম্পর্কে একটি গাণিতিক অনুমান প্রবর্তন করা প্রয়োজন।

গাণিতিক মডেল বর্ণনা করার জন্য ননপ্যারামেট্রিক পদ্ধতির (এসভির একটি প্যারামেট্রিক বন্টন আইন নেই) কম সঠিক, কিন্তু এর ব্যাপক সুযোগ রয়েছে।

ঠিক যেমন একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাবনার জন্য, SV এর বন্টন আইনের জন্য এটি খুঁজে পাওয়ার জন্য শুধুমাত্র দুটি উপায় আছে। হয় আমরা একটি এলোমেলো ঘটনার একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করি এবং সম্ভাব্যতা গণনার জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি (সূত্র) খুঁজে পাই (সম্ভবত কেউ আমাদের জন্য এটি ইতিমধ্যেই করেছে বা করবে!), অথবা আমাদের একটি পরীক্ষা ব্যবহার করতে হবে এবং ফ্রিকোয়েন্সির উপর ভিত্তি করে পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে, আইনের বন্টন সম্পর্কে কিছু অনুমান (অনুমান সামনে রাখা) করুন।

অবশ্যই, প্রতিটি "শাস্ত্রীয়" বিতরণের জন্য এই কাজটি দীর্ঘকাল ধরে করা হয়েছে - ব্যাপকভাবে পরিচিত এবং প্রয়োগ করা পরিসংখ্যানে প্রায়শই ব্যবহৃত হয় দ্বিপদ এবং বহুপদী বিতরণ, জ্যামিতিক এবং হাইপারজ্যামিতিক, প্যাসকেল এবং পয়সন বিতরণ এবং আরও অনেকগুলি।

প্রায় সব ক্লাসিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, বিশেষ পরিসংখ্যান সারণীগুলি অবিলম্বে তৈরি করা হয়েছিল এবং প্রকাশ করা হয়েছিল, গণনার নির্ভুলতা বৃদ্ধির সাথে সাথে পরিমার্জিত হয়েছিল। এই টেবিলের অনেক ভলিউম ব্যবহার ব্যতীত, তাদের ব্যবহারের নিয়ম সম্পর্কে প্রশিক্ষণ ছাড়া, পরিসংখ্যানের ব্যবহারিক ব্যবহার গত দুই শতাব্দী ধরে অসম্ভব।

আজ পরিস্থিতি পরিবর্তিত হয়েছে - সূত্র ব্যবহার করে গণনার ডেটা সংরক্ষণ করার দরকার নেই (পরবর্তীটি যত জটিলই হোক না কেন!), অনুশীলনের জন্য বিতরণ আইনটি ব্যবহার করার সময় মিনিট বা এমনকি সেকেন্ডে হ্রাস করা হয়েছে। এই উদ্দেশ্যে ইতিমধ্যেই পর্যাপ্ত সংখ্যক বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশন সফ্টওয়্যার প্যাকেজ রয়েছে৷

সমস্ত সম্ভাব্যতা বিতরণের মধ্যে, এমন কিছু রয়েছে যা বিশেষত প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। এই বিতরণগুলি বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সুপরিচিত। এই ডিস্ট্রিবিউশনগুলির মধ্যে অনেকগুলি জ্ঞানের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে - যেমন সারিবদ্ধ তত্ত্ব, নির্ভরযোগ্যতা তত্ত্ব, মান নিয়ন্ত্রণ, গেম তত্ত্ব ইত্যাদি।

তাদের মধ্যে, কেউ সাহায্য করতে পারে না কিন্তু পয়সন (1781-1840) এর কাজগুলিতে মনোযোগ দিতে পারে, যিনি জ্যাকব বার্নোলির চেয়ে বেশি সংখ্যার আইনের আরও সাধারণ রূপ প্রমাণ করেছিলেন এবং প্রথমবারের মতো শ্যুটিংয়ের সমস্যার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার তত্ত্বটি প্রয়োগ করেছিলেন। . পয়সন নামটি বন্টনের একটি নিয়মের সাথে যুক্ত, যা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

এটি এই বিতরণ আইন যে এই কোর্সের কাজ নিবেদিত হয়. আমরা সরাসরি আইন সম্পর্কে, এর গাণিতিক বৈশিষ্ট্য, বিশেষ বৈশিষ্ট্য এবং দ্বিপদ বন্টনের সাথে সংযোগ সম্পর্কে কথা বলব। ব্যবহারিক প্রয়োগ সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ বলা হবে এবং অনুশীলন থেকে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হবে।

আমাদের প্রবন্ধের উদ্দেশ্য হল Bernoulli এবং Poisson বিতরণ উপপাদ্যের সারমর্মকে স্পষ্ট করা।

কাজটি হল প্রবন্ধের বিষয়ে সাহিত্য অধ্যয়ন এবং বিশ্লেষণ করা।

1. দ্বিপদী বন্টন (বার্নোলি বন্টন)

দ্বিপদী বন্টন (বার্নোলি ডিস্ট্রিবিউশন) - পুনরাবৃত্ত স্বাধীন ট্রায়ালের সময় কিছু ঘটনার সংঘটনের সংখ্যার সম্ভাব্যতা বন্টন, যদি প্রতিটি ট্রায়ালে এই ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা p (0) এর সমান হয়

SV X কে প্যারামিটার p সহ বার্নোলির আইন অনুসারে বিতরণ করা হবে যদি এটি 0 এবং 1 সম্ভাব্যতার সাথে pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x মান নেয়; p+q=1; x=0.1।

দ্বিপদী বন্টন উদ্ভূত হয় যেখানে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়: একই অবস্থার অধীনে সম্পাদিত একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক স্বাধীন পর্যবেক্ষণের (পরীক্ষা) সিরিজে একটি নির্দিষ্ট ঘটনা কতবার ঘটে।

সুবিধা এবং স্বচ্ছতার জন্য, আমরা ধরে নেব যে আমরা p এর মান জানি - সম্ভাব্যতা যে দোকানে প্রবেশকারী একজন দর্শক ক্রেতা হয়ে উঠবে এবং (1- p) = q - সম্ভাব্যতা যে দোকানে প্রবেশকারী দর্শক হবে না। একজন ক্রেতা.

যদি X হল n দর্শকের মোট সংখ্যার মধ্যে ক্রেতার সংখ্যা, তাহলে n দর্শকদের মধ্যে k ক্রেতা থাকার সম্ভাবনা সমান

P(X= k) = , যেখানে k=0,1,…n 1)

সূত্র (1) কে বার্নউলির সূত্র বলা হয়। বিপুল সংখ্যক পরীক্ষার মাধ্যমে, দ্বিপদী বন্টন স্বাভাবিক হতে থাকে।

একটি Bernoulli পরীক্ষা হল দুটি ফলাফল সহ একটি সম্ভাব্যতা পরীক্ষা, যাকে সাধারণত বলা হয় "সফলতা" (সাধারণত প্রতীক 1 দ্বারা চিহ্নিত) এবং "ব্যর্থতা" (যথাক্রমে 0 দ্বারা চিহ্নিত)। সাফল্যের সম্ভাবনা সাধারণত p অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, ব্যর্থতা - অক্ষর q দ্বারা; অবশ্যই q=1-p. মান p কে বার্নোলি টেস্ট প্যারামিটার বলা হয়।

দ্বিপদী, জ্যামিতিক, প্যাসকেল এবং নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন বার্নোলি ট্রায়ালের একটি ক্রম থেকে প্রাপ্ত হয় যদি ক্রমটি এক বা অন্যভাবে শেষ করা হয়, উদাহরণস্বরূপ nth ট্রায়াল বা xth সাফল্যের পরে। নিম্নলিখিত পরিভাষা সাধারণত ব্যবহৃত হয়:

- Bernoulli পরীক্ষার পরামিতি (একক পরীক্ষায় সাফল্যের সম্ভাবনা);

- পরীক্ষার সংখ্যা;

- সাফল্যের সংখ্যা;

- ব্যর্থতার সংখ্যা।

দ্বিপদ র্যান্ডম ভেরিয়েবল (m|n,p) – n ট্রায়ালে m সাফল্যের সংখ্যা।

জ্যামিতিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল G(m|p) – প্রথম সাফল্য (প্রথম সাফল্য সহ) পর্যন্ত ট্রায়ালের সংখ্যা m৷

প্যাসকেল র্যান্ডম ভেরিয়েবল C(m|x,p) – x-তম সাফল্য পর্যন্ত ট্রায়ালের সংখ্যা m (অবশ্যই, x-তম সাফল্য নিজেই অন্তর্ভুক্ত নয়)।

নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল Y(m|x,p) – x-তম সাফল্যের আগে ব্যর্থতার সংখ্যা m (এক্স-তম সাফল্য অন্তর্ভুক্ত নয়)।

দ্রষ্টব্য: কখনও কখনও ঋণাত্মক দ্বিপদ বন্টনকে প্যাসকেল বন্টন বলা হয় এবং এর বিপরীতে।

বিষ বিতরণ

2.1। পয়সনের আইনের সংজ্ঞা

অনেক ব্যবহারিক সমস্যায় একজনকে একটি অদ্ভুত আইন অনুসারে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে মোকাবিলা করতে হয়, যাকে বলা হয় পয়সনের আইন।

আসুন একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X বিবেচনা করি, যা শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা, অ-নেতিবাচক মান নিতে পারে: 0, 1, 2, ... , m, ... ; তদুপরি, এই মানগুলির ক্রম তাত্ত্বিকভাবে সীমাহীন। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল Xকে পয়সনের আইন অনুসারে বন্টন করা হয় যদি এটি একটি নির্দিষ্ট মান m নেবে এমন সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

যেখানে a হল কিছু ধনাত্মক রাশি যাকে Poisson's Law প্যারামিটার বলা হয়।

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর বন্টন সিরিজ, পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে, দেখতে এইরকম:

2.2.পয়সন বিতরণের প্রধান বৈশিষ্ট্য

প্রথমে, আসুন নিশ্চিত করি যে সম্ভাব্যতার ক্রমটি একটি বিতরণ সিরিজ হতে পারে, যেমন যে সমস্ত সম্ভাব্যতার যোগফল Рm একের সমান।

আমরা ম্যাকলরিন সিরিজে ফাংশন এক্সের সম্প্রসারণ ব্যবহার করি:

এটা জানা যায় যে এই সিরিজটি x এর যেকোনো মানের জন্য একত্রিত হয়, তাই x = a নিলে আমরা পাই

তাই

আসুন আমরা মূল বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করি - গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ - একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা হয়। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল এর সমস্ত সম্ভাব্য মান এবং তাদের সম্ভাব্যতার পণ্যগুলির সমষ্টি। সংজ্ঞা অনুসারে, যখন একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি গণনাযোগ্য মানের সেট নেয়:

যোগফলের প্রথম পদ (m=0 এর সাথে সম্পর্কিত) শূন্যের সমান, তাই, যোগফল m=1 দিয়ে শুরু হতে পারে:

এইভাবে, প্যারামিটার a র্যান্ডম পরিবর্তনশীল X এর গাণিতিক প্রত্যাশা ছাড়া আর কিছুই নয়।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর প্রকরণ হল তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো চলকের বর্গ বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা:

যাইহোক, সূত্র ব্যবহার করে এটি গণনা করা আরও সুবিধাজনক:

অতএব, আসুন আমরা প্রথমে X মানের দ্বিতীয় প্রাথমিক মুহূর্তটি খুঁজে বের করি:

পূর্বে প্রমাণিত অনুযায়ী

এছাড়া,

2.3.পয়সন বিতরণের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য

I. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর ক্রম k-এর প্রাথমিক মুহূর্ত হল Xk মানের গাণিতিক প্রত্যাশা:

বিশেষ করে, প্রথম অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্তটি গাণিতিক প্রত্যাশার সমান:

২. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর ক্রম k-এর কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল k মানের গাণিতিক প্রত্যাশা:

বিশেষ করে, 1ম ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল 0:

μ1=M=0,

২য় ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি বিচ্ছুরণের সমান:

μ2=M2=a.

III. পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর জন্য, আমরা সম্ভাব্যতা খুঁজে পাই যে এটি প্রদত্ত k-এর চেয়ে কম নয়। আমরা এই সম্ভাবনাটিকে Rk দ্বারা চিহ্নিত করি:

স্পষ্টতই, সম্ভাব্যতা Rk যোগফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে

যাইহোক, বিপরীত ইভেন্টের সম্ভাবনা থেকে এটি নির্ধারণ করা অনেক সহজ:

বিশেষ করে, X এর মান একটি ধনাত্মক মান নেবে এমন সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, অনেক অনুশীলন সমস্যা একটি পয়সন বিতরণের ফলে। আসুন এই ধরণের সাধারণ সমস্যাগুলির মধ্যে একটি বিবেচনা করি।

চিত্র 2

x-অক্ষ অক্সে বিন্দুগুলি এলোমেলোভাবে বিতরণ করা যাক (চিত্র 2)। আসুন আমরা ধরে নিই যে পয়েন্টের র্যান্ডম বন্টন নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে:

1) একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বিন্দু l অংশে পড়ার সম্ভাবনা শুধুমাত্র এই সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে, কিন্তু অ্যাবসিসা অক্ষের উপর তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে না। অন্য কথায়, পয়েন্টগুলি x-অক্ষে একই গড় ঘনত্বের সাথে বিতরণ করা হয়। আসুন এই ঘনত্বকে বোঝাই, অর্থাৎ প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যের বিন্দুর সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা, λ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

2) বিন্দুগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে x-অক্ষে বিতরণ করা হয়, যেমন একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট অংশে পড়ার সম্ভাবনা নির্ভর করে না তাদের কতগুলি অন্য কোনো সেগমেন্টে পড়ে যা এটির সাথে ওভারল্যাপ করে না।

3) দুই বা ততোধিক বিন্দুর একটি ছোট এলাকায় Δx পড়ার সম্ভাবনা এক বিন্দু পতনের সম্ভাবনার তুলনায় নগণ্য (এই অবস্থার অর্থ হল দুই বা ততোধিক বিন্দু মিলে যাওয়ার বাস্তবিক অসম্ভবতা)।

আসুন আমরা অ্যাবসিসা অক্ষের উপর l দৈর্ঘ্যের একটি নির্দিষ্ট সেগমেন্ট নির্বাচন করি এবং একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলক X বিবেচনা করি - এই অংশে পতিত বিন্দুর সংখ্যা। পরিমাণের সম্ভাব্য মান হবে 0,1,2,...,m,... যেহেতু পয়েন্টগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে সেগমেন্টে পড়ে, তাই তাত্ত্বিকভাবে সম্ভব যে সেখানে তাদের যতগুলি হবে কাঙ্ক্ষিত, যেমন এই সিরিজ অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত.

আসুন প্রমাণ করি যে এলোমেলো চলক X পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে। এটি করার জন্য, আপনাকে Pm সম্ভাব্যতা গণনা করতে হবে যে ঠিক m পয়েন্ট সেগমেন্টে পড়বে।

প্রথমে একটি সহজ সমস্যা সমাধান করা যাক। আসুন আমরা অক্স অক্ষের একটি ছোট ক্ষেত্র Δx বিবেচনা করি এবং সম্ভাব্যতা গণনা করি যে এই ক্ষেত্রে অন্তত একটি বিন্দু পড়বে। আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে যুক্তি হবে. এই বিভাগে পতিত পয়েন্টের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা স্পষ্টতই λ·Δх (যেহেতু প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যে λ পয়েন্ট পড়ে) এর সমান। শর্ত 3 অনুসারে, একটি ছোট সেগমেন্ট Δx এর জন্য আমরা এটিতে দুই বা ততোধিক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনাকে উপেক্ষা করতে পারি। অতএব, গাণিতিক প্রত্যাশা λ·Δх ক্ষেত্রফলের উপর পতিত বিন্দুর সংখ্যা Δх এর উপর একটি বিন্দু পড়ার সম্ভাবনার প্রায় সমান হবে (অথবা, যা এই অবস্থায় সমতুল্য, অন্তত একটি)।

এইভাবে, উচ্চতর ক্রমে অসীম পর্যন্ত, Δx→0 এর জন্য আমরা সম্ভাব্যতা বিবেচনা করতে পারি যে একটি (অন্তত একটি) বিন্দু Δx এর সমান λ·Δx বিভাগে পড়বে এবং সম্ভাব্যতা যে কোনোটি 1 -c এর সমান পড়বে না। ·Δx।

l সেগমেন্টে ঠিক m বিন্দুর সম্ভাব্যতা Pm গণনা করার জন্য এটি ব্যবহার করা যাক। আসুন আমরা সেগমেন্টটিকে l দৈর্ঘ্যের সমান অংশে ভাগ করি। আমরা প্রাথমিক সেগমেন্ট Δx কে "খালি" বলতে সম্মত হই যদি এতে একটি বিন্দু না থাকে, এবং যদি অন্তত একটি ঘটে থাকে তাহলে "অধিকৃত"। উপরের মতে, Δх সেগমেন্টটি "অধিকৃত" হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় λ·Δх= এর সমান; এটি "খালি" হওয়ার সম্ভাবনা 1-। যেহেতু, শর্ত 2 অনুযায়ী, নন-ওভারল্যাপিং সেগমেন্টে পড়া পয়েন্টগুলি স্বাধীন, তাহলে আমাদের n সেগমেন্টগুলিকে n স্বাধীন "পরীক্ষা" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার প্রতিটিতে সেগমেন্টটি সম্ভাব্যতা p= সহ "দখল" হতে পারে। আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে n অংশগুলির মধ্যে ঠিক m "অধিকৃত" থাকবে। বারবার স্বাধীন পরীক্ষার উপপাদ্য অনুসারে, এই সম্ভাবনা সমান

,

অথবা λl=a বোঝাই:

.

যথেষ্ট বড় n এর জন্য, এই সম্ভাবনাটি l সেগমেন্টে ঠিক m বিন্দু পড়ার সম্ভাবনার প্রায় সমান, যেহেতু Δx অংশে দুই বা ততোধিক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা নগণ্য। Рm এর সঠিক মান খুঁজে পেতে, আপনাকে n→∞ হিসাবে সীমাতে যেতে হবে:

সেই বিবেচনায়

,

আমরা দেখতে পাই যে কাঙ্ক্ষিত সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

যেখানে a=λl, i.e. X-এর মান পয়সনের সূত্র অনুসারে a=λl প্যারামিটার দিয়ে বন্টন করা হয়।

এটি লক্ষ করা উচিত যে মান a মানে প্রতি সেগমেন্ট l পয়েন্টের গড় সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করে। মান R1 (সম্ভাব্যতা যে মান X একটি ধনাত্মক মান গ্রহণ করবে) এই ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা প্রকাশ করে যে অন্তত একটি বিন্দু l অংশে পড়বে: R1=1-e-a।

এইভাবে, আমরা নিশ্চিত যে পয়সন বণ্টন ঘটে যেখানে কিছু বিন্দু (বা অন্যান্য উপাদান) একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে একটি এলোমেলো অবস্থান দখল করে, এবং এই বিন্দুগুলির সংখ্যা কিছু এলাকায় পড়ে গণনা করা হয়। আমাদের ক্ষেত্রে, এই ধরনের একটি ক্ষেত্র ছিল অবসিসা অক্ষের l সেগমেন্ট। যাইহোক, এই উপসংহারটি সহজেই সমতলে (বিন্দুর এলোমেলো সমতল ক্ষেত্র) এবং মহাকাশে (বিন্দুর এলোমেলো স্থানিক ক্ষেত্র) বিন্দুর বিতরণের ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে। শর্ত পূরণ হলে প্রমাণ করা কঠিন নয়:

1) পয়েন্টগুলি গড় ঘনত্ব λ সহ ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানগতভাবে অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়;

2) পয়েন্টগুলি অ-ওভারল্যাপিং অঞ্চলে স্বাধীনভাবে পড়ে;

3) বিন্দু এককভাবে প্রদর্শিত হয়, এবং জোড়ায় নয়, ত্রিপল, ইত্যাদি,

তাহলে পয়সনের নিয়ম অনুসারে ডি (সমতল বা স্থানিক) যেকোন অঞ্চলে X বিন্দুর সংখ্যা ভাগ করা হয়:

,

যেখানে a হল বিন্দুর গড় সংখ্যা D এরিয়াতে পড়ে।

একটি সমতল ক্ষেত্রে a=SD λ, যেখানে SD হল D অঞ্চলের ক্ষেত্রফল,

স্থানিক a= VD λ, যেখানে VD হল D অঞ্চলের আয়তন।

একটি অংশ বা অঞ্চলে পতিত বিন্দুর সংখ্যার একটি পয়সন বণ্টনের জন্য, ধ্রুবক ঘনত্বের অবস্থা (λ=const) গুরুত্বহীন। যদি অন্য দুটি শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে পয়সনের সূত্র এখনও ধারণ করে, শুধুমাত্র প্যারামিটার a এর মধ্যে একটি ভিন্ন অভিব্যক্তি গ্রহণ করে: এটি কেবলমাত্র দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল বা আয়তন দ্বারা ঘনত্ব λ গুণ করে নয়, পরিবর্তনশীল ঘনত্বকে একীভূত করে পাওয়া যায়। সেগমেন্ট, এলাকা বা আয়তনের উপরে।

পয়সন বন্টন পদার্থবিদ্যা, যোগাযোগ তত্ত্ব, নির্ভরযোগ্যতা তত্ত্ব, সারিবদ্ধ তত্ত্ব, ইত্যাদির বেশ কয়েকটি বিষয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যে কোনও জায়গায় যেখানে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে ঘটনাগুলির একটি এলোমেলো সংখ্যা (তেজস্ক্রিয় ক্ষয়, টেলিফোন কল, সরঞ্জামের ব্যর্থতা, দুর্ঘটনা, ইত্যাদি) ঘটতে পারে।

আসুন সবচেয়ে সাধারণ পরিস্থিতি বিবেচনা করা যাক যেখানে পয়সন বিতরণ উদ্ভূত হয়। কিছু ঘটনা (একটি দোকানে কেনাকাটা) এলোমেলো সময়ে ঘটতে দিন। 0 থেকে T পর্যন্ত সময়ের ব্যবধানে এই ধরনের ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা নির্ধারণ করা যাক।

0 থেকে T সময়ের মধ্যে ঘটে যাওয়া ইভেন্টের র্যান্ডম সংখ্যা l=aT প্যারামিটার সহ পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়, যেখানে a>0 হল একটি সমস্যা প্যারামিটার যা ইভেন্টের গড় ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিফলিত করে। একটি বড় সময়ের ব্যবধানে k কেনাকাটার সম্ভাবনা (উদাহরণস্বরূপ, একটি দিন) হবে৷

উপসংহার

উপসংহারে, আমি লক্ষ্য করতে চাই যে পয়সন বিতরণ একটি মোটামুটি সাধারণ এবং গুরুত্বপূর্ণ বন্টন যা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগ এবং গাণিতিক পরিসংখ্যান উভয় ক্ষেত্রেই প্রয়োগ রয়েছে।

অনেক ব্যবহারিক সমস্যা শেষ পর্যন্ত পয়সন বিতরণে নেমে আসে। এর বিশেষ সম্পত্তি, যা গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্যের সমতা নিয়ে গঠিত, প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহার করা হয় পয়সনের আইন অনুসারে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বন্টন করা হয়েছে কিনা এই প্রশ্নের সমাধান করতে।

এছাড়াও গুরুত্বপূর্ণ এই সত্য যে পয়সনের আইন একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতাগুলিকে বারবার স্বাধীন ট্রায়ালে পরীক্ষা করার বিপুল সংখ্যক পুনরাবৃত্তি এবং একটি ছোট একক সম্ভাবনা খুঁজে পেতে দেয়।

যাইহোক, বার্নোলি বন্টন অর্থনৈতিক গণনার অনুশীলনে এবং বিশেষত, স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণে, খুব কমই ব্যবহৃত হয়। এটি কম্পিউটেশনাল অসুবিধা এবং বার্নোলি ডিস্ট্রিবিউশন পৃথক পরিমাণের জন্য এবং ক্লাসিক্যাল স্কিমের শর্তগুলির (স্বাধীনতা, পরীক্ষার গণনাযোগ্য সংখ্যা, একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে এমন অবস্থার পরিবর্তন) উভয়ের কারণেই। সবসময় ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে দেখা হয় না। 18-19 শতকে বার্নৌলি স্কিমের বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে আরও গবেষণা। Laplace, Moivre, Poisson এবং অন্যান্যদের লক্ষ্য ছিল অসীমতার দিকে ঝোঁক বেশি সংখ্যক পরীক্ষার ক্ষেত্রে বার্নোলি স্কিম ব্যবহার করার সম্ভাবনা তৈরি করা।

সাহিত্য

1. ভেনজেল ​​ই.এস. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব. - এম, "হায়ার স্কুল" 1998

2. Gmurman V.E. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং গাণিতিক পরিসংখ্যানে সমস্যা সমাধানের জন্য একটি নির্দেশিকা। - এম, "হায়ার স্কুল" 1998

3. কলেজের জন্য গণিতের সমস্যা সংগ্রহ। এড. এফিমোভা এ.ভি. - এম, বিজ্ঞান 1990

অনেক ব্যবহারিক সমস্যায় একজনকে এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে মোকাবিলা করতে হয় যা পয়সনের আইন নামে একটি অদ্ভুত আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়।

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন যা শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা, অ-নেতিবাচক মান নিতে পারে:

তদুপরি, এই মানগুলির ক্রম তাত্ত্বিকভাবে সীমাহীন।

একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলকে পয়সনের নিয়ম অনুসারে বন্টন করা হয় যদি এটি একটি নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করার সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

যেখানে a হল কিছু ধনাত্মক রাশি যাকে Poisson's Law প্যারামিটার বলা হয়।

পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন সিরিজের ফর্ম রয়েছে:

আসুন আমরা নিশ্চিত করি, প্রথমত, সূত্র (5.9.1) দ্বারা প্রদত্ত সম্ভাব্যতার ক্রমটি একটি বন্টন সিরিজ হতে পারে, অর্থাৎ যে সমস্ত সম্ভাব্যতার যোগফল একের সমান। আমাদের আছে:

.

চিত্রে। 5.9.1 প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন বহুভুজ দেখায়। পরিশিষ্ট টেবিল 8 বিভিন্ন জন্য মান দেখায়.

আসুন আমরা মূল বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করি - গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্য - পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের। গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা দ্বারা

.

যোগফলের প্রথম পদ (এর সাথে সম্পর্কিত) শূন্যের সমান, তাই, যোগফলটি শুরু হতে পারে:

আসুন বোঝাই; তারপর

. (5.9.2)

এইভাবে, প্যারামিটারটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা ছাড়া আর কিছুই নয়।

বিচ্ছুরণ নির্ধারণ করতে, আমরা প্রথমে পরিমাণের দ্বিতীয় প্রাথমিক মুহূর্তটি খুঁজে পাই:

পূর্বে প্রমাণিত অনুযায়ী

এছাড়া,

সুতরাং, পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের পার্থক্য তার গাণিতিক প্রত্যাশার সমান।

পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনের এই বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহার করা হয় যে অনুমানটি পয়সনের আইন অনুসারে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয়েছে কিনা তা স্থির করতে। এটি করার জন্য, পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলি - গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ - একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের অভিজ্ঞতা থেকে নির্ধারিত হয়। যদি তাদের মান কাছাকাছি হয়, তাহলে এটি পয়সন বিতরণ অনুমানের পক্ষে একটি যুক্তি হিসাবে কাজ করতে পারে; এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে তীক্ষ্ণ পার্থক্য, বিপরীতভাবে, অনুমানের বিরুদ্ধে যুক্তি দেয়।

আসুন আমরা নির্ধারণ করি যে পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের জন্য সম্ভাব্যতা যে এটি প্রদত্ত একটির চেয়ে কম নয়। আসুন এই সম্ভাবনাটি বোঝাই:

স্পষ্টতই, সম্ভাব্যতা যোগফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে

যাইহোক, বিপরীত ইভেন্টের সম্ভাবনা থেকে এটি নির্ধারণ করা অনেক সহজ:

(5.9.4)

বিশেষ করে, একটি পরিমাণ একটি ধনাত্মক মান গ্রহণ করবে এমন সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

(5.9.5)

আমরা ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি যে অনেক অনুশীলন সমস্যা একটি পয়সন বিতরণের ফলে। আসুন এই ধরণের সাধারণ সমস্যাগুলির মধ্যে একটি বিবেচনা করি।

x-অক্ষ অক্সে পয়েন্টগুলি এলোমেলোভাবে বিতরণ করা যাক (চিত্র 5.9.2)। আসুন আমরা ধরে নিই যে পয়েন্টের র্যান্ডম বন্টন নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে:

1. একটি সেগমেন্টে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা শুধুমাত্র এই অংশের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে, কিন্তু অ্যাবসিসা অক্ষের উপর তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে না। অন্য কথায়, পয়েন্টগুলি x-অক্ষে একই গড় ঘনত্বের সাথে বিতরণ করা হয়। আসুন এই ঘনত্ব (অর্থাৎ, প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যের বিন্দুর সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা) দ্বারা বোঝাই।

2. বিন্দুগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে x-অক্ষে বিতরণ করা হয়, যেমন একটি প্রদত্ত সেগমেন্টে এক বা অন্য সংখ্যক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা নির্ভর করে না তাদের কতগুলি অন্য কোন সেগমেন্টে পড়ে যা এটির সাথে ওভারল্যাপ করে না।

3. একটি ছোট এলাকায় দুই বা ততোধিক পয়েন্ট আঘাত করার সম্ভাবনা এক পয়েন্ট আঘাতের সম্ভাবনার তুলনায় নগণ্য (এই অবস্থার অর্থ হল দুই বা ততোধিক পয়েন্ট মিলে যাওয়ার ব্যবহারিক অসম্ভবতা)।

আসুন অ্যাবসিসা অক্ষে একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের সেগমেন্ট নির্বাচন করি এবং একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করি - এই সেগমেন্টে বিন্দুর সংখ্যা। সম্ভাব্য মান হবে

যেহেতু পয়েন্টগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে সেগমেন্টে পড়ে, তাই এটি তাত্ত্বিকভাবে সম্ভব যে সেখানে তাদের যতগুলি ইচ্ছা ততগুলি থাকবে, যেমন সিরিজ (5.9.6) অনির্দিষ্টকালের জন্য চলতে থাকে।

আসুন প্রমাণ করি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি পয়সন বন্টন আইন রয়েছে। এটি করার জন্য, আমরা সম্ভাব্যতা গণনা করি যে সেগমেন্টে ঠিক পয়েন্ট থাকবে।

প্রথমে একটি সহজ সমস্যা সমাধান করা যাক। আসুন আমরা অক্স অক্ষের একটি ছোট ক্ষেত্র বিবেচনা করি এবং সম্ভাব্যতা গণনা করি যে এই ক্ষেত্রে অন্তত একটি বিন্দু পড়বে। আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে যুক্তি হবে. এই বিভাগে পড়া পয়েন্টের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা স্পষ্টতই সমান (যেহেতু প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যে পয়েন্টের গড় পড়ে)। শর্ত 3 অনুসারে, একটি ছোট অংশের জন্য আমরা এটিতে দুই বা ততোধিক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনাকে উপেক্ষা করতে পারি। অতএব, এলাকার উপর পতিত বিন্দুর সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা আনুমানিক একটি বিন্দুর উপর পড়ার সম্ভাবনার সমান হবে (অথবা, যা আমাদের অবস্থার সমতুল্য, অন্তত একটি)।

এইভাবে, উচ্চতর অর্ডারের অসীম পর্যন্ত নির্ভুলতার সাথে, আমরা অনুমান করতে পারি যে সাইটে একটি (অন্তত একটি) বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা সমান, এবং কোনটি পড়বে না এমন সম্ভাবনা সমান।

আসুন একটি অংশে ঠিক বিন্দু পড়ার সম্ভাব্যতা গণনা করতে এটি ব্যবহার করি। সেগমেন্টটিকে দৈর্ঘ্যের সমান অংশে ভাগ করুন। আসুন আমরা একটি প্রাথমিক সেগমেন্টকে "খালি" বলতে সম্মত হই যদি এতে একটি বিন্দু না থাকে, এবং যদি অন্তত একটি হয় তবে "অধিকৃত"। উপরের মতে, সেগমেন্টটি "ব্যস্ত" হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় সমান; এটি "খালি" হওয়ার সম্ভাবনা সমান। যেহেতু, শর্ত 2 অনুযায়ী, নন-ওভারল্যাপিং সেগমেন্টে পড়া পয়েন্টগুলি স্বাধীন, তাই আমাদের n সেগমেন্টগুলিকে স্বাধীন "পরীক্ষা" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার প্রতিটিতে সেগমেন্ট সম্ভাব্যতার সাথে "অধিকৃত" হতে পারে। আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে বিভাগগুলির মধ্যে ঠিক "দখল" থাকবে। পরীক্ষার পুনরাবৃত্তির উপপাদ্য অনুসারে, এই সম্ভাবনা সমান

অথবা, নির্দেশ করে,

(5.9.7)

পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় হলে, এই সম্ভাবনাটি একটি সেগমেন্টে ঠিক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনার প্রায় সমান, যেহেতু একটি সেগমেন্টে দুই বা ততোধিক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা নগণ্য। সঠিক মান খুঁজে পেতে, আপনাকে অভিব্যক্তির সীমা (5.9.7) এ যেতে হবে:

(5.9.8)

সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি রূপান্তর করা যাক:

(5.9.9)

প্রথম ভগ্নাংশ এবং অভিব্যক্তিতে শেষ ভগ্নাংশের হর (5.9.9) এর জন্য, স্পষ্টতই একতার প্রবণতা। অভিব্যক্তি নির্ভর করে না। শেষ ভগ্নাংশের লবটি নিম্নরূপ রূপান্তরিত হতে পারে:

(5.9.10)

কখন এবং অভিব্যক্তি (5.9.10) থাকে। এইভাবে, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে সঠিক পয়েন্টগুলির একটি অংশে পড়ার সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

যেখানে, যেমন X-এর মান প্যারামিটারের সাথে পয়সন আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়।

মনে রাখবেন যে মান হল প্রতি সেগমেন্টে পয়েন্টের গড় সংখ্যা।

এই ক্ষেত্রে মান (সম্ভাব্যতা যে X এর মান একটি ধনাত্মক মান নেবে) সেগমেন্টে অন্তত একটি বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা প্রকাশ করে:

এইভাবে, আমরা নিশ্চিত যে পয়সন বণ্টন ঘটে যেখানে কিছু বিন্দু (বা অন্যান্য উপাদান) একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে একটি এলোমেলো অবস্থান দখল করে, এবং এই বিন্দুগুলির সংখ্যা কিছু এলাকায় পড়ে গণনা করা হয়। আমাদের ক্ষেত্রে, এই ধরনের একটি "অঞ্চল" অ্যাবসিসা অক্ষের একটি অংশ ছিল। যাইহোক, আমাদের উপসংহারটি সমতলে (বিন্দুগুলির এলোমেলো সমতল ক্ষেত্র) এবং মহাকাশে (বিন্দুগুলির এলোমেলো স্থানিক ক্ষেত্র) বিন্দুগুলির বিতরণের ক্ষেত্রে সহজেই প্রসারিত করা যেতে পারে। শর্ত পূরণ হলে প্রমাণ করা কঠিন নয়:

1) পয়েন্টগুলি গড় ঘনত্বের সাথে ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানগতভাবে সমানভাবে বিতরণ করা হয়;

2) পয়েন্টগুলি অ-ওভারল্যাপিং অঞ্চলে স্বাধীনভাবে পড়ে;

3) পয়েন্টগুলি এককভাবে প্রদর্শিত হয়, এবং জোড়ায় নয়, ট্রিপলেট, ইত্যাদি, তারপরে যে কোনও এলাকায় (সমতল বা স্থানিক) পড়ে থাকা পয়েন্টগুলির সংখ্যা পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়:

যেখানে পয়েন্টের গড় সংখ্যা এলাকায় পড়ছে।

ফ্ল্যাট কেসের জন্য

অঞ্চলের এলাকা কোথায়; স্থানিক জন্য

অঞ্চলের আয়তন কোথায়।

উল্লেখ্য যে একটি সেগমেন্ট বা অঞ্চলে পতিত বিন্দুর সংখ্যার পয়সন বণ্টনের জন্য, ধ্রুবক ঘনত্বের অবস্থা () গুরুত্বহীন। যদি অন্য দুটি শর্ত পূরণ করা হয়, তবে পয়সনের সূত্রটি এখনও ধারণ করে, শুধুমাত্র প্যারামিটার a এর মধ্যে একটি ভিন্ন অভিব্যক্তি গ্রহণ করে: এটি কেবলমাত্র অঞ্চলের দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল বা আয়তন দ্বারা ঘনত্বকে গুণ করে নয়, কিন্তু একীভূত করার মাধ্যমে পাওয়া যায়। সেগমেন্ট, এলাকা বা আয়তনের উপর পরিবর্তনশীল ঘনত্ব। (এ বিষয়ে আরও জানতে, n° 19.4 দেখুন)

একটি লাইন, সমতল বা আয়তনে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকা এলোমেলো বিন্দুর উপস্থিতি একমাত্র শর্ত নয় যার অধীনে একটি পয়সন বিতরণ ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে পয়সনের আইন দ্বিপদী বন্টনের জন্য সীমাবদ্ধ:

, (5.9.12)

যদি একই সময়ে পরীক্ষার সংখ্যা অসীম হয়, এবং সম্ভাবনা শূন্যে চলে যায় এবং তাদের পণ্য একটি ধ্রুবক মান ধরে রাখে:

প্রকৃতপক্ষে, দ্বিপদী বন্টনের এই সীমিত সম্পত্তিটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

. (5.9.14)

কিন্তু শর্ত (5.9.13) থেকে এটি অনুসরণ করে

(5.9.14) এর পরিবর্তে (5.9.14), আমরা সমতা পাই

, (5.9.16)

যা আমরা অন্য একটি অনুষ্ঠানে প্রমাণ করেছি।

দ্বিপদ আইনের এই সীমিত বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। আসুন আমরা অনুমান করি যে প্রচুর পরিমাণে স্বাধীন পরীক্ষা করা হয়, যার প্রতিটিতে ইভেন্টের খুব কম সম্ভাবনা রয়েছে। তারপরে একটি ইভেন্ট ঠিক একবার উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা গণনা করতে, আপনি আনুমানিক সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন:

, (5.9.17)

পয়সন আইনের প্যারামিটারটি কোথায় যা প্রায় দ্বিপদী বন্টনকে প্রতিস্থাপন করে।

পয়সনের আইনের এই বৈশিষ্ট্য থেকে - একটি বৃহৎ সংখ্যক পরীক্ষা এবং একটি ঘটনার কম সম্ভাবনা সহ একটি দ্বিপদী বন্টন প্রকাশ করার জন্য - এর নাম আসে, যা প্রায়শই পরিসংখ্যান পাঠ্যপুস্তকে ব্যবহৃত হয়: বিরল ঘটনার আইন।

চলুন অনুশীলনের বিভিন্ন ক্ষেত্র থেকে পয়সন বিতরণ সম্পর্কিত কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 1. একটি স্বয়ংক্রিয় টেলিফোন এক্সচেঞ্জ প্রতি ঘন্টায় কলের গড় ঘনত্ব সহ কল ​​গ্রহণ করে। ধরে নিই যে কোন সময়ের মধ্যে কলের সংখ্যা পয়সনের আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়, সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে ঠিক তিনটি কল দুই মিনিটের মধ্যে স্টেশনে আসবে।

সমাধান। প্রতি দুই মিনিটে কলের গড় সংখ্যা হল:

বর্গ মি. একটি লক্ষ্যকে আঘাত করার জন্য, এটিকে আঘাত করার জন্য কমপক্ষে একটি টুকরো যথেষ্ট। বিরতি পয়েন্টের একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে লক্ষ্য আঘাত করার সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান। . সূত্র ব্যবহার করে (5.9.4) আমরা অন্তত একটি খণ্ড আঘাত করার সম্ভাবনা খুঁজে পাই:

(সূচক ফাংশনের মান গণনা করতে, আমরা পরিশিষ্টের সারণী 2 ব্যবহার করি)।

উদাহরণ 7. এক ঘনমিটার বাতাসে প্যাথোজেনিক জীবাণুর গড় ঘনত্ব 100। 2 ঘনমিটারের একটি নমুনা নেওয়া হয়। বাতাসের dm. অন্তত একটি জীবাণু এটি পাওয়া যাবে যে সম্ভাবনা খুঁজুন.

সমাধান। একটি আয়তনে জীবাণুর সংখ্যার একটি পয়সন বিতরণের অনুমান গ্রহণ করে, আমরা দেখতে পাই:

উদাহরণ 8. একটি নির্দিষ্ট লক্ষ্যে 50টি স্বাধীন গুলি চালানো হয়। এক শটে লক্ষ্যে আঘাত করার সম্ভাবনা 0.04। দ্বিপদী বন্টনের সীমিত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে (সূত্র (5.9.17)), লক্ষ্যটি আঘাত করার সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন: একটি প্রক্ষিপ্ত নয়, একটি প্রক্ষিপ্ত, দুটি প্রজেক্টাইল।

সমাধান। আমাদের আছে. পরিশিষ্টে টেবিল 8 ব্যবহার করে আমরা সম্ভাব্যতা খুঁজে পাই।

যত তাড়াতাড়ি অনুরোধ আসতে শুরু করে: "পয়সন কোথায়? পয়সন সূত্র ব্যবহার করে সমস্যা কোথায়? এবং তাই. এবং তাই আমি সঙ্গে শুরু করব ব্যক্তিগত ব্যবহারবিষ বিতরণ - উপাদানের উচ্চ চাহিদার কারণে।

কাজটি বেদনাদায়কভাবে পরিচিত:

এবং পরবর্তী দুটি কাজ পূর্ববর্তীগুলির থেকে মৌলিকভাবে আলাদা:

উদাহরণ 4

এলোমেলো পরিবর্তনশীলটি গাণিতিক প্রত্যাশা সহ পয়সনের আইনের সাপেক্ষে। একটি প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল তার গাণিতিক প্রত্যাশার চেয়ে কম মান নেবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

পার্থক্য হল এখানে আমরা পয়সন বিতরণ সম্পর্কে সঠিকভাবে কথা বলছি।

সমাধান: এলোমেলো পরিবর্তনশীল মান নেয় সম্ভাবনা সহ:

শর্ত অনুযায়ী, , এবং এখানে সবকিছু সহজ: ইভেন্টটি তিনটি নিয়ে গঠিত অসামঞ্জস্যপূর্ণ ফলাফল:

সম্ভাব্যতা যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল তার গাণিতিক প্রত্যাশার চেয়ে কম একটি মান নেবে।

উত্তর:

একটি অনুরূপ বোঝার কাজ:

উদাহরণ 5

এলোমেলো পরিবর্তনশীলটি গাণিতিক প্রত্যাশা সহ পয়সনের আইনের সাপেক্ষে। একটি প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি ধনাত্মক মান নেবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান এবং উত্তর পাঠের শেষে আছে।

এছাড়া সমীপবর্তীদ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন(উদাহরণ 1-3), পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনে ব্যাপক প্রয়োগ পাওয়া গেছে সারিবদ্ধ তত্ত্বসম্ভাব্য বৈশিষ্ট্যের জন্য সহজতমঘটনা প্রবাহ. আমি সংক্ষিপ্ত হতে চেষ্টা করব:

কিছু সিস্টেমকে অনুরোধ পেতে দিন (ফোন কল, আগত ক্লায়েন্ট, ইত্যাদি)। আবেদনের প্রবাহ বলা হয় সহজতম, যদি এটি শর্ত পূরণ করে স্থিরতা, কোন ফলাফলএবং সাধারণতা. স্থিরতা বোঝায় যে অনুরোধের তীব্রতা ধ্রুবকএবং দিনের সময়, সপ্তাহের দিন বা অন্যান্য সময় ফ্রেমের উপর নির্ভর করে না। অন্য কথায়, কোন "রাশ আওয়ার" নেই এবং "মৃত ঘন্টা" নেই। ফলাফলের অনুপস্থিতির অর্থ হল নতুন অ্যাপ্লিকেশনের সম্ভাবনা "প্রাগৈতিহাসিক" এর উপর নির্ভর করে না, অর্থাৎ "একজন দাদী বলেছিলেন" এবং অন্যরা "দৌঁড়ে" (বা বিপরীতে, পালিয়ে গেছে) বলে কিছু নেই। এবং পরিশেষে, সাধারণতার সম্পত্তি এই সত্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যথেষ্ট ছোটবিরতি প্রায় অসম্ভব দুই বা ততোধিক অ্যাপ্লিকেশনের উপস্থিতি। "দরজায় দুই বৃদ্ধা মহিলা?" - না, মাফ করবেন, ক্রমানুসারে কাটা বেশি সুবিধাজনক।

সুতরাং, কিছু সিস্টেম অ্যাপ্লিকেশনের সহজ প্রবাহ গ্রহণ করা যাক মাঝারি তীব্রতার সাথেএকটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে অ্যাপ্লিকেশন (মিনিট, ঘন্টা, দিন বা অন্য কোন). তাহলে সেই সম্ভাবনা নির্দিষ্ট সময়ের জন্য, সিস্টেম ঠিক অনুরোধ পাবে সমান:

উদাহরণ 6

ট্যাক্সি প্রেরণ কেন্দ্রে কলগুলি হল একটি সাধারণ পয়সন প্রবাহ যার গড় তীব্রতা প্রতি ঘন্টায় 30টি কল৷ সম্ভাব্যতা খুঁজুন: ক) 1 মিনিটের মধ্যে। 2-3টি কল আসবে, খ) পাঁচ মিনিটের মধ্যে কমপক্ষে একটি কল আসবে।

সমাধান: আমরা পয়সন সূত্র ব্যবহার করি:

ক) প্রবাহের স্থিরতা বিবেচনা করে, আমরা প্রতি 1 মিনিটে কলের গড় সংখ্যা গণনা করি:
কল - গড়ে এক মিনিটে।

বেমানান ইভেন্টের সম্ভাব্যতা যোগ করার উপপাদ্য অনুসারে:
- সম্ভাবনা যে 1 মিনিটের মধ্যে কন্ট্রোল রুম 2-3টি কল পাবে।

খ) প্রতি পাঁচ মিনিটে কলের গড় সংখ্যা গণনা করুন: