Monotonne ardıcıllığının və məhdud olduğunu sübut edin. Monoton ardıcıllıq həddində Weierstrass teoremi. Problemi həll etmək nümunəsi

Tərif1. ardıcıllıqla enmək (başsız ) Hamı üçün
bərabərsizlik yerinə yetirilir
.

Tərif2. ardıcıllıqla
adlı artan (qanunsuz ) Hamı üçün
bərabərsizlik yerinə yetirilir
.

Tərif3. Çıxış, qazanılmayan, artan və əlçatmaz ardıcıllıqla çağırılır yekrəng ardıcıllıqlar, azalma və artan ardıcıllıqlar da deyilir ciddi monoton ardıcıllıqlar.

Aydındır ki, azalma olmayan ardıcıllıqla aşağıdakılarla məhdudlaşır, qazanılmayan bir ardıcıllıq yuxarıdan məhduddur. Buna görə, hər hansı bir monoton ardıcıllıq açıq şəkildə bir tərəfdən məhduddur.

Misal1. ardıcıllıqla
azalmadan artır
azaltmaq
yüksəlmir
- qeyri-monotik ardıcıllıqla.

Monoton ardıcıllıqlar üçün aşağıdakılardır

Teorem1. Əgər qırılmayan (qazanılmayan) ardıcıllıqla yuxarıdan (alt) ilə məhdudlaşarsa, bu, də çevrilir.

Dəlil. Ardıcıllığa icazə verin
yuxarıdan azalmır və məhduddur, I.E.
və bir çoxu
yuxarıdan məhduddur. Teorem 1 § 2 mövcuddur
. Bunu sübut edirik
.

Götürmək
özbaşına. Təkzib amma- Yuxarı sərhədi dəqiq, bir sıra var N. belə
. Ardıcıllıq uyğunsuz olduğundan, hamı üçün
bizdə var, i.E.
, belə ki
hamı üçün
, və bu deməkdir
.

Altından məhdudlaşmayan ardıcıllıq üçün, sübut oxşar şəkildə həyata keçirilir ( tələbələr bu ifadəni evdə özləri ilə sübut edə bilərlər). Teorem sübut olunur.

Şərh. Teorem 1 başqa cür formalaşdırıla bilər.

Teorem2. Monoton ardıcıllığın birləşməsi üçün, məhdud və məhdud olması lazımdır.

Teorem 1, ehtiyac - teorem 2 § 5-də kifayətdir.

Monotony şəraiti ardıcıllığın yaxınlaşması üçün lazım deyil, çünki birləşən ardıcıllıq mütləq monotonne deyil. Məsələn, ardıcıllıqla
monoton deyil, lakin sıfıra çevrilir.

Korolyary. Ardıcıllıqla
artır (azalır) və yuxarıdan (alt) ilə məhdudlaşır, sonra
(
).

Həqiqətən, Teorem 1 tərəfindən
(
).

Tərif4. Əgər
üçün
, sonra ardıcıllıqla İçit seqmentlərin sıxlaşdırılması sistemi .

Teorem3 (yuva seqmentlərinin prinsipi). İçəri seqmentlərin hər hansı bir sıxılmış sistemi mövcuddur və üstəlik, yeganə nöqtə dənbu sistemin bütün seqmentlərinə aiddir.

Dəlil. Bu nöqtəni sübut edirik dənmövcuddur. Təkzib
T.
və buna görə ardıcıllıqla
azalmır və ardıcıllıqla
artmır. Harada
və
məhdud, çünki. Sonra, Teorem 1 mövcuddur
və
, amma bəri
T.
=
. Bir kəsin dənteorem 1 istintaqından bəri sistemin bütün seqmentlərinə aiddir
,
.
bütün dəyərlər üçün n..

İndi göstərin dən- tək. Tutaq ki, iki nöqtə iki nəfərdir: dənvə d.hətta əminlik üçün də
. Sonra kəs
bütün seqmentlərə aiddir
.
hamı üçün n.Bu mümkün deyil, çünki
və bu, bir sıra saydan başlayaraq deməkdir,
. Teorem sübut olunur.

Qeyd edək ki, qapalı boşluqlar nəzərə alınan vacibdir, I.E. Seqmentlər. Dartılmış fasilələrlə, onda prinsip, ümumiyyətlə danışan prinsipi, səhvdirsə, səhvdir. Məsələn, fasilələrlə
açıq şəkildə nöqtəyə qədər bərkidilir
, lakin nöqtə
bu sistemin heç bir intervalına aid deyil.

İndi monoton ardıcıllığını birləşdirmək nümunələrini nəzərdən keçirək.

1) nömrə e..

İndi ardıcıllıqla düşünün
. Necə davranır? Baza

dərəcə
, belə ki
? Digər tərəfdən,
, Amma
, belə ki
? Və ya məhdudiyyət yoxdur?

Bu suallara cavab vermək üçün köməkçi ardıcıllığı nəzərdən keçirin
. Bunun azaldığını və aşağıda məhdud olduğunu sübut edirik. Eyni zamanda ehtiyacımız olacaq

Lemma. Əgər a
Sonra bütün təbii dəyərlər üçün n.varlandırmaq

(Bernoulli bərabərsizliyi).

Dəlil. Riyazi induksiya metodundan istifadə edirik.

Əgər a
T.
. Bərabərsizlik doğrudur.

Güman ki, bunun üçündür
və ədalətini sübut edir
+1.

Sağ
. Bu bərabərsizliyi vurun
:

Bu minvalla, . Beləliklə, riyazi induksiya prinsipinə görə, Bernoulli bərabərsizliyi bütün təbii dəyərlər üçün doğrudur. n.. Lemma sübut olunur.

Ardıcıllığın olduğunu göstəririk
azalır. Varlandırmaq

| Bernoulli bərabərsizliyi |
, və bu ardıcıllıqla o deməkdir
azalır.

Aşağıdakı məhdudiyyət bərabərsizlikdən irəli gəlir
| Bernoulli bərabərsizliyi |
bütün təbii dəyərlər üçün n..

Teorem 1 mövcuddur
məktubla işarələnir e.. buna görə
.

Nömrə e.irrasional və transsendent e.\u003d 2,718281828 .... Təbii loqarifmlərin əsası məlumdur.

Rəy. 1) Bernoulli bərabərsizliyi bunu sübut etmək üçün istifadə edilə bilər
üçün
. Həqiqətən, əgər
T.
. Sonra Bernoulli bərabərsizliyi ilə
. Deməli
varlandırmaq
, i.e
üçün
.

2) Yuxarıdakı nümunədə, dərəcənin təməlidir 1-ə meyl edir, ancaq dərəcənin göstəricisidir n.- K. , yəni növlərin qeyri-müəyyənliyi var . Bu cür qeyri-müəyyənlik, göstərdiyimiz kimi, gözəl bir həddi istifadə edərək ortaya çıxır.
.

2)
(*)

Bu ardıcıllığın birləşdiyini sübut edirik. Bunu etmək üçün, bunun aşağıdan məhdud olduğunu və artmadığını göstəririk. Eyni zamanda bərabərsizlikdən istifadə edirik
hamı üçün
bərabərsizliyin nəticəsidir
.

Varlandırmaq
cm. yuxarıdakı bərabərsizlik
. Ardıcıllıq nömrənin alt hissəsi ilə məhdudlaşır.
.

Daha,
 belə

. Ardıcıllıq artırılmır.

Teorem 1 mövcuddur
işarəsidir h.. Bərabərlik (*) nə zaman həddinə keçmək
, almaq

.
!
(Bütün ardıcıllıqlar müsbət olduğu üçün bir artı işarəsi alırıq).

Hesablama zamanı ardıcıllıqla (*) tətbiq olunur
təxminən. Başına hər hansı bir müsbət nömrəni götürün. Məsələn, tapacağıq
. Ol
. Sonra
. Bu minvalla,
.

3)
.

Varlandırmaq
. Təkzib
üçün
, Bir sıra var N., belə ki, hamısı üçün
bərabərsizlik yerinə yetirilir
. Beləliklə, ardıcıllıqla
Bəzi saydan başlayaraq N., azalır və aşağıdan məhduddur, çünki
bütün dəyərlər üçün n.. Beləliklə, teorem 1 mövcuddur
. Təkzib
, var
.

Belə ki,
.

4)
, sağda - n. kökləri.

Bunu göstərdiyimiz riyazi induksiya üsulu
bütün dəyərlər üçün n.. Varlandırmaq
. Ol
. Sonra, deməli riyazi induksiya prinsipi ilə bağlı bir bəyanat alırıq. Bu həqiqəti istifadə edərək, tapırıq, i.E. ardıcıllıq
artır və yuxarıdan məhdudlaşır. Buna görə mövcuddur, çünki
.

Bu minvalla,
.

Elementlərin enməsi və ya əksinə, artmaq olmur. Bu ardıcıllıqlar tez-tez tədqiqatlarda olur və bir sıra fərqli xüsusiyyətlər və əlavə xüsusiyyətlərə malikdir. Bir nömrənin ardıcıllığı artmaq və ya azalmaq sayıla bilməz.

Ensiklopedik YouTube.

• 1 / 5

  Çoxları olsun X (\\ Göstəriş X)sifarişin tətbiq olunduğu yer.

  Set elementlərinin ardıcıllığı X (\\ Göstəriş X) adlı qanunsuz Bu ardıcıllığın hər bir elementi aşağıdakılardan çox deyilsə.

  (x n) (\\ DisplayStyle \\ (X_ (N) \\)) - qanunsuzdur ⇔ ∀ n ∈ n: x n ⩽ X n + ⩽ X n + 1 (\\ displeystyle \\ leftrightarrow ~ \\ forallall n \\ Mathbb (n) \\ colon x_ (n) \\ leqslant x_ (n + 1))

  Ardıcıllıq (x n) (\\ DisplayStyle \\ (X_ (N) \\)) Dəstlərin elementləri X (\\ Göstəriş X) adlı başsız Bu ardıcıllığın hər növbəti elementi əvvəlki birinin üstünə düşmürsə.

  (x n) (\\ DisplayStyle \\ (X_ (N) \\)) - ağciyəsiz ⇔ ∀ n ∈ n: x n ⩾ X n + 1 (\\ displeyStyle \\ leftrightarrow ~ \\ forallall n \\ Mathbb (n) \\ colon x_ (n) \\ gegslant x_ (n + 1))

  Ardıcıllıq (x n) (\\ DisplayStyle \\ (X_ (N) \\)) Dəstlərin elementləri X (\\ Göstəriş X) adlı artan Bu ardıcıllığın hər növbəti elementi əvvəlki birini üstələyirsə.

  (x n) (\\ DisplayStyle \\ (X_ (N) \\)) - artırmaq ⇔ ∀ n ∈ n: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  Ardıcıllıq (x n) (\\ DisplayStyle \\ (X_ (N) \\)) Dəstlərin elementləri X (\\ Göstəriş X) adlı enmək Bu ardıcıllığın hər bir elementi növbəti birini üstələyirsə.

  (x n) (\\ DisplayStyle \\ (X_ (N) \\)) - azalır ⇔ ∀ n ∈ n\u003e x n\u003e X n

  monotonnaƏgər əlçatmaz və ya işləməyəndirsə.

  Ardıcıllıqla deyilir ciddi monotonArtan və ya azalma olarsa.

  Aydındır ki, ciddi bir monoton ardıcıllıq monotondur.

  Bəzən terminologiya, "artan ardıcıllıq" termini "Azaldılmayan ardıcıllıq" termini və "azalma ardıcıllığı" termini "ardıcıllıqla" termini "ardıcıllığı" adlı termini hesab olunur. Bu vəziyyətdə yuxarıdakı tərifdən ardıcıllıqların artırılması və azalması "ciddi şəkildə artırılması" və "ciddi şəkildə azalma" deyilir.

  Monotonilik fasilələri

  Yuxarıdakı şərtlərin bütün nömrələr üçün icra edilmədiyi üçün ortaya çıxa bilər. n ∈ n (\\ spressstyle n \\ mathbb (n)), ancaq bir sıra sıra nömrələri üçün

  İ \u003d (n ∈ n | n - ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (İşdə sağ haşiyə müraciət etmək üçün icazə verilir N + (\\ DisplayStyle N _ (+)) sonsuzluğunda). Bu vəziyyətdə ardıcıllıqla deyilir intervalda monoton Mən (\\ Göstərirəm) və aralığın özü Mən (\\ Göstərirəm) adlı monotonilik intervalı Ardıcıllıqlar.

  Tərif 1. Sequence, bir saniyədən başlayan hər bir ardıcıllıq elementi, əvvəlki elementindən daha az deyilsə, İ.E., əgər bütün nömrələr bərabərsizdirsə

  Tərif 2. Ardıcıllıq ya uyğunsuz, ya da qazanmazsa, monoton deyilir.

  Bütün nömrələr üçün azalmayan bir ardıcıllığın elementləri ciddi bərabərsizliyi təmin edirsə, bu ardıcıllıq artır.

  Eynilə, bütün nömrələr üçün qazanılmayan ardıcıllıqla elementlər ciddi bərabərsizliyi təmin edirsə, bu ardıcıllıq azalma adlanır.

  Qeyd edək ki, hər hansı bir monoton ardıcıllıq açıq şəkildə bir tərəfdən (yuxarıdan və ya aşağıdan) məhduddur. Əslində, hər bir azalmayan ardıcıllıqla aşağıdakılarla məhdudlaşır (ilk elementinin dəyərini ala biləcəyiniz alt üzü kimi) və yuxarıdan əldə edilməyən hər bir ardıcıllıqla məhdudlaşır (dəyərini də ala biləcəyiniz yuxarı üzə görə) onun ilk elementi).

  Buradan sonra azalmayan ardıcıllıqla hər iki tərəfdə və ya sadəcə məhdudlaşacaq, yalnız yuxarıdan məhdud olsa və yalnız yuxarıdan məhdud olduqda və əldə edilməyən ardıcıllıqla məhdudlaşacaq və yalnız aşağıdan məhdud olsa.

  Monoton ardıcıllıqların nümunələrini nəzərdən keçirin.

  1. Ardıcıllıq uyğun deyil. İlk elementinin alt hissəsi ilə məhdudlaşır və yuxarıdan məhdud deyil.

  2. Ardıcıllıq azalır. Hər iki tərəfdə məhduddur: ilk elementinin dəyərinin üstündə və aşağıda, məsələn, 1 nömrəli.