Bir təyyarənin digərinə dik olduğunu necə sübut etmək olar. Perpendikulyar təyyarələr, təyyarələrin perpendikulyarlığı. Kosmosda perpendikulyarlıq ola bilər

Xatırladaq ki, təyyarələrin aralarındakı bucaq düz olduqda perpendikulyar deyilir. Bu bununla müəyyən edilir. Təyyarələrin kəsişməsi ilə düz bir xətt üzərində bir nöqtə götürün və təyyarələrdə birbaşa (Şəkil 1.9A) keçirin. A və B arasındakı bucaq və bucaq arasında ölçülür. Bu künc birbaşa olduqda, onda təyyarənin qarşılıqlı perpendikulyar və yazılacağını söyləyirlər

Əlbətdə ki, hər iki, b, hər hansı iki düz perpendikulyar (Şəkil 2.28) olan üç düz xəttdən, nə vaxt gördünüz ki, hər hansı iki. Xüsusilə,. Buna görə (düz və təyyarənin perpendikulyarlığı əsasında). Oxşar,

Beləliklə, hər iki qarşılıqlı perpendikulyar təyyarənin hər biri digər müstəviyə perpendikulyar malikdir. Üstəlik, bu, bu perpendikulyar bir qarşılıqlı perpendikulyar təyyarələri doldurur. (Şəkil 2.29).

Son ifadəni sübut edək. Həqiqətən, təyyarənin hər hansı bir nöqtəsi və düz bir xətt keçirsə

Bu (perpendikulyarların paralelliyi üzrə 5 teorem görə).

Təyyarələrin perpendikulyarlığı xüsusiyyəti üçün təyyarədə perpendikulyar biri var.

Teorem 7. (təyyarələrin perpendikulyarlığı). Təyyarə başqa bir təyyarəyə dikdən keçərsə, bu təyyarələr qarşılıqlı perpendikulyardır.

Təyyarənin bir düz bir a, p təyyarinə dik ehtiva etməsinə icazə verin (Şəkil 2.28). Sonra düz və nöqtədə PLAŞI PLAYIN POINT O, kəsişmə ilə düz bir xəttdə yerləşir. Direct nöqtəsi ilə p ilə p ilə aparırıq. B plindendə yatdığına görə, buna görə də

Bu xüsusiyyət sadə bir praktik bir məna daşıyır: Qapının təyyarəsi CAMB-ın perpendikulyar döşəməsinə asılmış təyyarə, hər hansı bir mövqe mövqelərində döşəmənin müstəvisinə perpendikulyardır (Şəkil 2.1). Bu xüsusiyyətin başqa bir praktik tətbiqi: şaquli quraşdırıldığını yoxlamaq lazım olduqda hamar səth (Divar, hasar və s.) Sonra bu, bir plumb - yüklə ipdən istifadə edərək edilir. Santexnika həmişə şaquli olaraq yönəldilmişdir və divarın hər hansı bir yerində yerində yerləşən, əgər birlikdə yerləşirsə, divar şaqulidir.

Perpendikulyar təyyarələrin tapıldığı vəzifələri həll edərkən, aşağıdakı üç təklif tez-tez istifadə olunur.

TƏKLİFİ 1. Düzəldici, iki qarşılıqlı perpendikulyar təyyarənin birində uzanan və başqa bir təyyarədə perpendikulyar olan ümumi bir şəkildə onlara perpendikulyar.

Təyyarənin düz bir xəttdə qarşılıqlı perpendikulyar və kəsişməsin, sonra, sonra düz və təyyarədə a və (Şəkil 2.28). Doğrudan bir nöqtədə bir xaç birbaşa O. Pilləyə Pilləyə Pilləyə, Perpendikulyar Pilləyə qədər keçirəcəyik. Bu gündən. O vaxtdan bəri (teorem 2).

İkinci təklif əvvəlcə geri qayıdır.

Təklif 2. Doğrudan, iki qarşılıqlı perpendikulyar təyyarədən biri ilə ortaq bir nöqtə olan və digər təyyarədə perpendikulyar birincisi, birincilərdə yatır.

Təyyarənin bir-birinə, düz bir təyyarə və ortaq bir nöqtəsi olan (Şəkil 2.30) üçün qarşılıqlı perpendikulyar olmasına icazə verin. Təyyarədə a nöqtəsi ilə, ancaq təyyarələrin birbaşa perpendikulyar düz xətti ilə aparacağıq. Təklifə görə, yalnız bir düz xətt, bu təyyarəyə dikdən, sonra birbaşa və üst-üstə düşür, hər nöqtədə yerdən keçir. Təyyarədə a, sonra və təyyarədə yatarkən

TƏKLİF 3. Üçüncü təyyarə kəsişməsinə iki təyyarə perpendikulyar olduqda, onların birbaşa kəsişməsi üçüncü təyyarəyə dikdir.

Təyyarədə bir perpendikulyar bir şəkildə kəsişən iki təyyarə (Şəkil 2.31). Sonra hər hansı bir nöqtə ilə birbaşa və biz düz, perpendikulyar bir təyyarə y keçirəcəyik. 2-ci təklifə görə, bu birbaşa təyyarədə və p təyyarində, y.E.-də birbaşa a-nın üst-üstə düşür. Belə ki,

Təyyarələrin perpendikulyasiyasının münasibəti, məkanın həndəsəsində ən vacib və istifadə olunan məkan və tətbiqlərdən biridir.

Qarşılıqlı yerin müxtəlifliyindən

xüsusi diqqət və təhsilin iki təyyarəsi, təyyarələrin bir-birinə perpendikulyar olduğu təqdirdə (məsələn, otağın bitişik divarlarının təyyarəsi,

Çit və torpaq sahəsi, qapı və cinsiyyət s. (Şəkil 417, A-B).

Yuxarıdakı nümunələr, öyrənəcəyimiz əlaqənin əsas xüsusiyyətlərindən birini görməyə imkan verir ki, öyrənəcəyimiz hər birinin digərinə nisbətən hər birinin yerinin simmetriyasını görməyə imkan verir. Simmetriya, təyyarənin perpendikulyardan "toxunmuş" kimi görünməsi ilə təmin edilir. Bu müşahidələri aydınlaşdırmağa çalışaq.

Onlara bir təyyarə α və düz olan bir təyyarə var (Şəkil 418, a). Hər nöqtədən birbaşa düz, perpendikulyar təyyarələr xərcləyəcəyik. Bütün bunlar birbaşa öz aralarında paraleldir (niyə?) Və meydana gəlir, problem 1 § 8, bəzi təyyarə β (Şəkil 418, B). Təbii olaraq təyyarəni adlandırın β dikbaşlıqtəyyarələr α.

Öz növbəsində, bütün düz təyyarədəki və perpendikulyar bir təyyarəni α və perpendikulyar olan təyyarədə düzdür Həqiqətən, bu birbaşa özbaşına olsa, birbaşa bir nöqtədə keçir. Məsələ ilə təyyarədə keçir - perpendikulyar α işığı və buna görə də b a. Nəticə etibarilə, və c, b, buna görə də, β. Beləliklə, təyyarə α təyyarəsinə perpendikulyardır və xətt kəsişməsinin xəttidir.

İki təyyarənin hər biri düz ikinci təyyarəyə dik, perpendikulyar və bu təyyarələrin kəsişmə nöqtələrindən keçibsə, iki təyyarəni perpendikulyar adlanır.

Kompozitlərin perpendikulyarlığı perpendikulyarlığı - artıq tanışdır: α α.

Bu tərifin təsvirlərindən biri də ölkə evinin otağının parçalanmasına baxsanız təqdim edilə bilər (Şəkil 419). Bu, döşəmə və divar lövhələrdən, perpendikulyar uyğun divar və döşəmədən ibarətdir. Buna görə də perpendikulyardırlar. Praktikada

bu, döşəmənin üfüqi olduğu və divarın şaquli olduğu deməkdir.

Azaldılmış tərif, təyyarələrin perpendikulyarlığının yoxlanılması halında istifadə etmək çətindir. Ancaq bu tərifə səbəb olan arqumentləri diqqətlə təhlil etsəniz, α və β təyyarələrinin perpendikulyarlığı təyyarədə olan Təyyarədə, perpendikulyar, perpendikulyar olan Təyyarədə (Şəkil 418, B) varlığını təmin etdiyini görürük. Tətbiqdə ən çox istifadə olunan iki təyyarənin perpendikulyarlığının əlamətinə gəldik.

406 Direct və təyyarələrin perpendijululığı

Teorem 1 (təyyarələrin perpendikulyasiyasının xüsusiyyəti).

İki təyyarədən biri düz, perpendikulyar ikinci bir təyyarədən keçərsə, bu təyyarələr perpendikulyardır.

 Təyyarənin birbaşa keçməsinə icazə verin, perpendikulyar təyyarəsi α, α və β kəsişmə xəttidir (Şəkil 420, a). Bütün düz təyyarə β, birbaşa keçmək və birbaşa keçmək üçün paralel olaraq, bir istiqamətdə bir təyyarə meydana gətirir. İki paralel düz xəttdə teorem tərəfindən, biri təyyarəyə perpendikulyardır (teorem 1 § 19), onlardan biri DirectB ilə α təyyarəsinə dikdir. Yəni, təyyarə β α və β və perpendikulyar təyyarənin sətirinin kəsişməsindən birbaşa keçməkdən ibarətdir və perpendikulyar təyyarə (Şəkil 420, b).

İndi A nöqtəsindən A nöqtəsindən A, IP-nin IP-nin kəsişməsi düz, perpendikulyar birbaşa yer (Şəkil 420, B) həyata keçirəcəkdir. Düz xətt, birbaşa və təyyarənin (bir c, inşa və b, b, b, b, B α) perpendikulyarlığı əsasında perpendikulyardır. Əvvəlki arqumentləri təkrarlamaq, təyyarənin α birbaşa, perpendikulyar təyyarələrdən ibarətdir, təyyarələrin keçid xəttindən keçərək. Müəyyən edilməsinə görə, təyyarə α və β perpendikulyardır. ■

Göstərilən xüsusiyyət təyyarələrin perpendikulyarlığını qurmağı və ya təmin etməyə imkan verir.

Pri m e p 1. Şaquli vəziyyətdə yerləşməsi üçün qalxanı posta yapışdırın.

 Sütun şaquli olarsa, yazıya özbaşına bir qalxan hazırlamaq və onu etibarlı etmək kifayətdir (Şəkil 421, A). Yuxarıda təsvir olunanlara görə, qalxanın təyyarəsi yerin səthinə dikəcək. Bu vəziyyətdə, vəzifənin səssiz bir həll yolu var.

Sütun yerə əyilmişsə, yerə (Şəkil 421, b) şaquli bir rels əlavə etmək kifayətdir və sonra qalxan dəmir yoluna və posta yapışdırılır. Bu vəziyyətdə, sütun və dırmaşma yeganə təyyarəni müəyyənləşdirdiyindən, qalxanın mövqeyi tamamilə müəyyənləşdiriləcəkdir. ■

Əvvəlki misalda, "texniki" tapşırıq, bu birbaşa təyyarənin aparılması, digər təyyarədə perpendikulyar keçirilməsi üçün maddi vəzifəyə endirildi.

Pri me p 2. Squareabcd-in ucundan, seqment təyyarəsinin, ab \u003d ak \u003d a.

1) AKC Andabd təyyarələrinin qarşılıqlı yerini müəyyənləşdirin,

Akd və Abk.

2) Direct BD Perpendikulyar PlaneBC-dən keçən bir təyyarə qurmaq.

3) seqment CCC təyyarəsinin ortasında, perpendikulyar təyyarədən keçirin.

4) BDF üçbucaq sahəsini tapın.

The Nümunənin vəziyyətinə uyğun bir rəsm qururuq (Şəkil 422).

1) AKC IABD təyyarəsi perpendikulyardır, təyyarənin perpendikulyarlığı əsasında (teorem 1) - AKB Abd, vəziyyətinə görə. Planeakd iabk da perpendikulyar

larns, təyyarələrin perpendikulyarlığı əsasında (teorem 1). Həqiqətən, təyyarənin keçdiyi, düzənlikdən, birbaşa və təyyarənin perpendikulyarlığı əsasında perpendikulyar olan düzdür (teorem 1 § 18): reklam, kvadratın bitişik tərəfi kimi; AK AK

AK Abd.

2) təyyarələrin perpendikulyarlığı əsasında, səthi aktivliyin istənilən qurğuları üçün

408 Düz və təyyarələrin perpendijululığı

birbaşa, perpendikulyar təyyarə ABC. Bunun üçün, Directak-a paralel olaraq düz bir xətt keçirmək üçün bu nöqtədə kifayət qədərdir.

Həqiqətən, vəziyyətə görə, birbaşa AK Planıbc üçün Perpendikulyar və buna görə də iki paralel düz teoremə görə

Teorem 2 (perpendikulyar təyyarələrin kəsişməsinin xətti üçün perpendikulyar).

İki təyyarə perpendikulyar olarsa, bir təyyarəyə məxsus və bu təyyarələrin kəsişmə xətlərinə dik bənzəyirsə, ikinci təyyarəyə perpendikulyar.

 Perpendikulyar təyyarələr buraxın

α və β düz bir xəttdə kəsişir və təyyarədəki düz xətt β birbaşa yerə dikdir və nöqtələrə keçib (Şəkil 425). Müdafiə ilə

təyyarənin perpendikulyarlığı, təyyarədə β birbaşa nöqtədən

b 1, perpendikulyar təyyarə α. Doğrudan da perpendikulyar olduğu aydındır. Amma

təyyarədəki xəttin birbaşa nöqtəsi bu düz xətt üçün yalnız bir birbaşa, perpendikulyar yoxlaya bilər. buna görə

düz b iB 1 üst-üstə düşür. Və bu, düz bir düz, iki perpendikulyar təyyarənin, ikinci təyyarəyə dik olan düz bir mənzilin perpendikulyar keçid xətti deməkdir. ■.

Təyyarələrin perpendikulyarlığının başqa bir əlaməti olan teoremi, iki təyyarənin qarşılıqlı tənzimləməsinin sonrakı araşdırmasının nəticələrindən əhəmiyyətli olan digər bir əlaməti əsaslandıran teoremi tətbiq edin.

Α-perpendikulyar, birbaşa C - kəsişməsinin xətti. Birbaşa ixtiyari bir nöqtə vasitəsilə

Α və β təyyarələrində birbaşa perpendikulyar olan düz bir IB (Şəkil 426). Teoremdə

İu 2, bir IB perpendikulyar təyyarələrə və α-ə uyğun olaraq bir-birinə dikdirlər: a b. Düz

mənim və ibb bəzi təyyarəni müəyyənləşdirir γ. Α və β təyyarələrin xətt kəsişməsi

təyyarədə perpendikulyar, birbaşa və təyyarənin perpendikulyarlığı əsasında (teorem 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Doğrudan da nöqtənin seçiminin özbaşınalığı nəzərə alsanız və nöqtə ilə yeganə təyyarədir, buna perpendikulyardır, onda aşağıdakı çıxışı edə bilərsiniz.

Teorem 3 (perpendikulyar təyyarələrin keçid xəttinə dik olan təyyarə haqqında).

İki perpendikulyar təyyarənin kəsişmə xəttinə perpendikulyar olan təyyarə, bu təyyarələri birbaşa perpendikulyar olaraq keçir.

Beləliklə, perpendikulyar təyyarələrin başqa bir xüsusiyyəti quruldu. Bu əmlak xarakterikdir, yəni bir neçə təyyarə üçün etibarlıdırsa, təyyarə bir-birinə dikdir. Təyyarələrin perpendikulyasiyasının başqa bir övladlığa götürülməsi var.

Teorem 4 (təyyarələrin perpendikulyarlığının ikinci əlaməti).

İki təyyarənin birbaşa kəsişmələri üçüncü bir təyyarədirsə, kəsişməsinin xəttinə dik, təyyarə məlumatlarına dik bənzəyirsə də perpendikulyardır.

 Təyyarəni α və β təyyarəni, təyyarəni qovşaq və təyyarəni qovşaq γ, birbaşa yerə dik, α və β təyyarəsini keçib

bir IB birbaşa olaraq ayrıldı (Şəkil 427). Vəziyyətə əsasən və b. Toa s-dən bəri. Buna görə də birbaşa, düz və təyyarənin perpendikulyarlığı əsasında (Teorem 1 § 18) perpendiksiyası əsasında perpendikulyardır. Danışan

bu, perpendikulyar təyyarələr (teorem 1) əsasında α və β perpendikulyar olduğunu göstərir. ■

Üçüncü təyyarənin qarşılıqlı yardımı ilə iki təyyarənin perpendikulyarlığı istiqrazları haqqında teoremlər layiqdir.

Teorem 5 (iki təyyarənin kəsişmə xətti, perpendikulyar üçüncü təyyarə).

Üçüncü təyyarənin kəsişməsinə iki təyyarəni kəsişsə, kəsişməsinin xətti bu təyyarədə perpendikulyardır.

 Təyyarəni α və β təyyarəsinə süründürün, düz bir xətt (a || γ) və birbaşa kəsişmə nöqtəsini tərcümə edin

Təyyarələrin paralelliyi və perpendikulyarlığı arasındakı əlaqəni təsvir edən teoremi nəzərdən keçirin. Artıq birbaşa və təyyarələr üçün mövcud olduğumuz üçün müvafiq nəticə.

Teorem 6 (Üçüncü təyyarəyə perpendikulyar paralel təyyarələrdə).

Üçüncüsü-ə dikdən iki paralel təyyarədən biri varsa, ikinci təyyarə buna dikdir.

 Təyyarəni α və β paralel, təyyarəni və təyyarəni γ Təyyarəyə perpendikulyar α. Təyyarədən bəri γ.

təyyarəni α, sonra keçməli və təyyarədə paralel olaraq keçməlidir. Təyyarədə α götürün

Ən məşhur birbaşa m, perpendikulyar təyyarəni və üzərindən keçirin, həm də təyyarənin ixtiyari nöqtəsi vasitəsilə, təyyarənin ixtiyari nöqtəsi vasitəsilə (Şəkil 429) keçirin.

Təyyarə δ və β düz bir sətirdə və ║ ║ β, bu ║ p (teorem 2 §18). Teorem 1-dən sonra, bu, dəsti γ və buna görə də perpendikulyar təyyarədə perpendikulyar təyyarədə birbaşa keçəcəkdir. ■.

Sübut olunmuş teorem təyyarələrin perpendikulyarlığının başqa bir əlaməti verir.

Vasitəsilə bu nöqtə Təyyarənin perpendikulyasiyasının bir əlaməti (teorem 1) istifadə edərək bu qədər perpendikulyar bir təyyarəni həyata keçirmək mümkündür. Bu nöqtədə bu nöqtədə bu təyyarənin düz, dikəliyi yerinə yetirmək kifayətdir (Tap Task 1 § 19). Sonra inşa edilmiş plawsplessploz vasitəsilə. Bu təyyarənin perpendikulyarının göstərilən xüsusiyyətə dair tərcüməsi. Belə təyyarələrin sonsuz bir dəst həyata keçirilə biləcəyi aydındır.

Daha əsaslı bir təyyarə qurmaq vəzifəsi, bu birbaşa bu birbaşa keçdikləri təqdirdə bu qədər perpendikulyardır. Aydındır ki, bu birbaşa bu təyyarəyə perpendikulyar olarsa, bu cür təyyarələr sonsuz bir dəst qura bilər. Bu birbaşa bu təyyarədə bu təyyarəyə dik olmadıqda davaya baxmaq qalır. Belə bir tikinti ehtimalı 1 nümunə və təyyarələrin fiziki modelləri səviyyəsində əsaslandırılmışdır.

C və d a c 1. Bir ixtiyari düz, perpendikulyar bir təyyarə, bu təyyarəyə perpendikulyar olan bir təyyarədə bir təyyarə ilə həyata keçirilə bilər.

 Təyyarəni α və düz xətt, L b \\ A verilmişdir. Birbaşa ixtiyari bir nöqtəni götürürük və onu düz, perpendikulyar təyyarə α (Şəkil 430, A) keçiririk. Vəziyyəti altında, l, α üçün perpendikulyar deyil, sonra birbaşa kəsişir. Bu düz xətlər vasitəsilə təyyarə β (Şəkil 430, B) təyyarələrin perpendikulyarlığının işarəsinə görə (teorem 1), bu təyyarədə perpendikulyar olacaqdır. ■.

Pri me p 3. Baseabc ilə sağ piramidabcın yuxarısında, tərəflərin üzünə baxan tərəfin düz, perpendikulyar bir təyyarəsini həyata keçirmək üçün.

 Bu problemi həll etmək üçün, perpendikulyar təyyarələrin kəsişən xəttinə perpendikulyar xətt üzrə ilk teoremdən istifadə edirik.

(Teorem 2). K-nin ortasının ortasına qalsın (Şəkil 431). İBC-lərin təyyarələri perpendikulyar təyyarələr əsasında perpendikulyardır (teorem 1). Həqiqətən, günəş SK IVS AK, medianlar eyni dərəcədə zəncirlənmiş bir karbonda xərclədikləri kimi. Buna görə, düz və təyyarənin perpendikulyarlığı əsasında (teorem 1 §18), təyyarənin təyyarəsini birbaşa təsdiqlədi. PlaneBCS düz, perpendikulyar planlardan keçir.

Bina. Planeaksaks IBCS-nin kəsişməsinin birbaşa şifrələmə xətlərinə birbaşa, perpendikulyar olan nöqtənin müstəvisində xərcləyəcəyik (Şəkil 432). Perpendikulyar teorem tərəfindən perpendikulyar təyyarələrin (teorem 2) keçid xəttinə qədər düz xətt BCS təyyarəsinə dikdir. ■.

2. Şəkildə. 434 təsvir qaydaları- Naya dördbucaqlı piramida

Sabcd, nöqtə p, m, n Deri -

röbembers AB, BC, BS, O-Center Base ABCD. Hansı cütlər düz- sümüklər perpendikulyar:

1) ACS və BDS; 2) MOSI POS;

3) COS və MNP; 4) mnpi sob;

5) CND və ABS?

3) PACC PACCS; 4) PAC PAB?

4. İki təyyarəsi perpendikulyar. Bir ixtiyari bir nöqtə ilə mümkündürmü?bu təyyarədə bu təyyarədə birbaşa xərcləyirlər?

5. Təyyarədə α düz, təyyarəni həyata keçirmək mümkün deyil. Bu təyyarələr mi ola bilərmi?

6. Təyyarənin bir anı boyunca, təyyarə bu təyyarədə aparılır və perpendikulyar təyyarəsi α və β perpendikulyar olub-olmaması üçün perpendikulyar təyyarəsi aparılır?

Şaquli posta bağlı olan hasarın bölməsi, hasarın təyyarəsinin şaquli olduğunu söyləyin?

Harada, yer səthinə paralel olaraq necə dırmaşacaqsınız, şaquli qalxan əlavə edin?

Qapalı və ya açılmasından asılı olmayaraq qapıların səthi niyə yerə şaquli vəziyyətdə yerləşir?

Niyə şaquli divara möhkəm bitişikdir və mütləq deyil?

Qalxanı meylli yazılara bağlamaq mümkündürmü, beləliklə yer səthinə dikdir?

Təyyarəyə necə quraşdırmaq olar

döşəmə təyyarə divarları? perpendikulyar perpendikulyar perpendikulyar- düz, yalan - β. TRUE 7. Siz 8.9.10.11.12 edə bilərsiniz.

Qrafik məşqlər

1. Şəkildə. 436 kub təsvir edirABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

1) Təyyarəni təyyarəyə perpendikulyar göstərinCDD 1.

2) Təyyarələr necədir və

A1 B1 CAB 1 C 1

421. Seqment squareabcd kvadratından perpendikulyar olan təyyarəsinə aparılır.

1 °) ACS təyyarələrinin qarşılıqlı yerini müəyyənləşdirin

və ABC.

2 °) ACS təyyarələrinin qarşılıqlı yerini müəyyənləşdirin

və BDS.

3) Doğrudan OS perpendikulyar planları ilə keçən bir təyyarə qurun.

4) ABC təyyarəsinə perpendikulyar bir təyyarə qurun və ICD-nin ortasından keçir.

422. Diaqonalların kəsişmə nöqtəsindən Rombqd rombs seqmentinin perpendikulyar təyyarəsi aparıldı; AB \u003d dB \u003d

1 °) SDB təyyarələrinin qarşılıqlı yerini müəyyənləşdirin və

ABC, SDBI ACS.

2 °) Direct BC Perpendikulyar Planeabd vasitəsilə keçən bir təyyarə qurun.

3) seqment CSS təyyarəsinin ortasına, perpendikulyar təyyarəni keçin.

4) BDF üçbucaq sahəsini tapın.

423. Dan Cube ABCDA1 B1 C1 D1.

1 °) təyyarələrin qarşılıqlı yerini müəyyənləşdirin AB 1 C 1

və CDD1.

2 °) Ab 1 C 1 təyyarələrin qarşılıqlı yerini müəyyənləşdirin

və CD1 A1.

3 °) BB 1 D 1 təyyarəsinə dik olan nöqtədən keçən bir təyyarə qurun.

4) Kubun xaç hissəsini Riber-dən keçən təyyarə ilə 1 D 1 C 1 SETS təyyarəyə dikdirdi. 5) 1-ci, C 1, C 1 D 1, CD-də Roberin ortasından keçən iş halında 1-ci yerin mövqeyi ilə müəyyən edilir.

6) kubun kub bölgəsini BB 1 və 1 D-nin ortasından keçən bir təyyarə ilə tapın 1 d 1 (bb 1 \u003d a).

7) bir nöqtə, simmetrik nöqtə 1 B 1 C-ə nisbətən bir nöqtə yaradın.

424. Sağlam Tetrahedraabcd, 2 sm nöqtəsi - sedinnown və nöqtə ortanın ortasıdır.

1 °), düz DB'nin təyyarəyə dik olduğunu sübut edin

2 °) sübut edin ki, VDM təyyarəsi planlığa dikdir.

3) Median üçbucaqlarının kəsişməsi nöqtəsi ilə birbaşa sürüşdürün, təyyarəyə dik sürüşdürün.

4) Bu düz tetrahedronun içərisindəki seqmentin uzunluğunu tapın. 5) AMS təyyarəsinin hansı münasibətində bu seqmenti bölür?

425. İki bərabər üçbucaq və iAdc perpendikulyar təyyarələrdə uzanır.

1 °) BD seqmentinin uzunluğunu IFAC \u003d 1 sm tapın.

2) Bu üçbucağın hər birinin hər birinin təyyarəsinə perpendikulyar olan BKD təyyarəsinin (K Directacda yerləşdiyini) sübut edin.

426. Rektangleabcd, onun tərəfləri 3 sm və 4 sm, diaqonal boyunca hərəkət etdi ki, üçbucaq iAdc perpendikulyar təyyarələrdə yerləşsin. Düzbucaqdan sonra şəxsiyyət nöqtələri arasındakı məsafəni müəyyənləşdirin.

427. Bu nöqtədə iki təyyarənin məlumatlarının hər birinə perpendikulyar təyyarəni sürüşdürün.

428 °. Kubun qonşu kənarlarının təyyarəsinin perpendikulyar olduğunu sübut edin.

429. α və β təyyarələri bir-birinə perpendikulyardır. Təyyarənin nöqtəsindən α, perpendikulyar təyyarədə β aparıldı. Düz xəttin təyyarədə α olduğunu sübut edin.

430. Bu təyyarədə və birbaşa, bu təyyarədə yatmadıqda, eyni müstəviyə perpendikulyar olduqda, bir-birlərinə paraleldir.

431. IV nöqtələri ilə, α və β perpendikulyar təyyarələrin kəsişməsi xətlərdə perpendikulyardır: AA 1-də α, bb 1-də β. 1-ci bir yolda və nöqtə - NAVB 1-də Levy-də bal götürün. Birbaşa birbaşa perpendikulyar olduğunu və düz 1 perpendikulyar olan düz xəttin direktor olduğunu sübut edin.

432 *. Üçbucağın hər tərəfinin ortasından keçərək bu tərəfə perpendikulyar bir təyyarə həyata keçirildi. Üç təyyarənin üçbucaqlı təyyarəsinə dik olan bir düz, perpendikulyar şəkildə kəsişdiyini sübut edin.

Təkrarlama üçün məşqlər

433. Bərabər tərəfli üçbucağab müəyyənləşdirin: 1) Boy; 2) Radii yazılmış və dairələri təsvir etdi.

434. Bir nöqtədən bu birbaşa perpendikulyar və iki meyllidir. Terpendikulyar uzunluğunu müəyyənləşdirin, əgər meyllidirsə, 41 sm və 50 sm, bu birbaşa proqnozları 3: 10-a aiddir.

435. Kataloqu müəyyənləşdirin düzbucaqlı üçbucaqəgər bisdirsə- Seminis birbaşa künc 15 sm və seqmentlər üçün hipotenuse bölür

Əsas tərif

İki təyyarə çağırdı

adına dik Hər biri düz əmələ gəlsə- mi, perpendikulyar- İkinci təyyarə və bu təyyarələrin kəsişmə nöqtələrindən keçərək.

Perpendikulyar təyyarələrin anlayışı

İki təyyarəni keçərkən 4 $ dihedral bucağımız var. İki künclər $ \\ Varfi $ ilə bərabərdir, digər ikisi $ (180) ^ 0- \\ Varfi $ -ya bərabərdir.

Tərif 1.

Təyyarələr arasındakı bucaq bu təyyarələr tərəfindən yaranan ən az dihedral açılardır.

Tərif 2.

Bu təyyarələr arasındakı bucaq 90 ^ rəkilli (Şəkil 1) arasındakı bucaq varsa, iki kəsişən təyyarənin iki kəsişmə təyyarəsi adlanır.

Şəkil 1. Perpendikulyar təyyarələr

İki təyyarənin perpendikulyarlığının əlaməti

Teorem 1.

Düz təyyarə başqa bir təyyarəyə dikdirsə, bu təyyarələr bir-birinə perpendikulyardır.

Dəlil.

Birbaşa $ AC $ -da kəsişən $ \\ Alpha $ və $ \\ beta $ \\ alfa $ və $ \\ beta $. Birbaşa $ Ab $ \\ Alpha $ Təyyarəsində bir-birinə birbaşa dollarlıq təyyarədə təxminən $ \\ beta $ (Şəkil 2)

Şəkil 2.

Birbaşa $ Ab $ \\ beta $ təyyarəsinə birbaşına birbaşına birbaşdan bəri, o zaman birbaşa $ AC $ üçün perpendikulyardır. $ \\ Beta $ təyyarəsinə birbaşa $ AC $ üçün əlavə bir birbaşa bir EDS $ aparacağıq.

$ Pis $ bucağının 90 ^ rəkilinə bərabər olan bir dummy bucağın xətti bucağı olduğunu əldə edirik. Yəni tərifi ilə 1, təyyarələr arasındakı bucaq 90 ^ \\ Cənab $, bu, təyyarənin məlumatlarının perpendikulyar olduğunu göstərir.

Teorem sübut olunur.

Bu teorem aşağıdakı teoremi izləyir.

Teorem 2.

Təyyarə birbaşa perpendikulyar olarsa, digər iki təyyarənin kəsişdiyi təqdirdə bu təyyarələrə dikdir.

Dəlil.

Gəlin iki təyyarəni $ və $ \\ alfa $ və $ \\ beta $ C $ C $ CLECERSECTING İSTƏYİR. $ \\ Qamma dolu təyyarəsi birbaşa C $ C $ (Şəkil 3) üçün perpendikulyardır

Şəkil 3.

Birbaşa C $ C $ \\ Alpha $ təyyarəsinə və $ \\ qamma $ təyyarəsinə birbaşa $ C $ pilləsinə aiddir, sonra teorem 1, təyyarə $ \\ alfa $ və $ \\ gamma $ perpendikulyar.

Birbaşa $ C $ \\ beta $ təyyarəsinə və $ \\ qamma $ təyyarəsinə birbaşa C $ CLOLEN-ə məxsus olduğu üçün

Teorem sübut olunur.

Bu teoremlərin hər biri üçün tərs iddialar da ədalətlidir.

Tapşırıq nümunələri

Misal 1.

Gəlin bir düzbucaqlı paralelepipli $ ABCDA_1B_1C_1D_11 $ verək. Perpendikulyar təyyarələrin bütün cütlərini tapın (Şəkil 5).

Şəkil 4.

Qərar.

A-priory düzbucaqlı paralelepipeda Və perpendikulyar təyyarələr, bir-birinə perpendikulyar olan səkkiz cütü görürük: $ (Abb_1) $ (ADD_1) $ (A_1B_1C_1) $, $ (Abb_1) $ və $ (BCC_1) $, $ (Abb_1) $ və $ (ABC) $, $ (dcc_1) $ (əlavə_1) $, $ (dcc_1) $ (A_1B_1C_1) $, $ (DCC_1) $ (BCC_1) $, $ ( Dcc_1) $ və $ (ABC) $.

Misal 2.

İki qarşılıqlı perpendikulyar təyyarə verək. Bir təyyarənin nöqtəsindən başqa bir təyyarəyə dik olaraq çıxış etdi. Bu birbaşa bu təyyarədə olduğunu sübut edin.

Dəlil.

Gəlin birinci dərəcəli $ və $ \\ alfa $ və $ \\ beta $ C $ C $-da kəsişən perpendikulyar təyyarələr verək. $ $ \\ Beta $ bir təyyarədən $ \\ Alpha $ təyyarəsinə Perpendikulyar $ AC $ aparıldı. Tutaq ki, $ AC $ $ \\ beta $ təyyarəsində yalan danışmır (Şəkil 6).

Şəkil 5.

Üçbucaqlı $ ABC $ hesab edin. $ ACB $ birbaşa bucağı olan düzbucaqlıdır. Nəticə etibarilə $ \\ bucaq abc \\ ne (90) ^ 0 $.

Ancaq digər tərəfdən, $ \\ Bucaq ABC $ bu təyyarələr tərəfindən meydana gələn bir dihedral bucağın xətti bucağıdır. Yəni, bu təyyarələr tərəfindən yaranan cırtdan bucağı 90 dərəcəyə bərabər deyil. Təyyarələr arasındakı bucağın 90 ^ \\ Cəncinə bərabər olmadığını əldə edirik. Ziddiyyət. Nəticə etibarilə $ AC $ $ \\ beta $ təyyarəsində yatır.

Bu dərs Bu, "iki təyyarənin perpendikulyasiyasının əlaməti" mövzusu haqqında bir fikir almaq istəyənlərə kömək edəcəkdir. Bunun başında bir dugranny və xətti küncün tərifini təkrar edirik. Sonra hansı təyyarələrin perpendikulyar adlandırıldığını düşünürük və iki təyyarənin perpendikulyarlığının bir əlaməti sübut edirik.

Mövzu: Düz və təyyarələrin perpendijulityi

Dərs: İki təyyarənin perpendijulity əlaməti

Tərif. Bir dihedral bucaq, eyni təyyarəyə aid olmayan iki yarım təyyarənin və onların ümumi birbaşa a (bir kənarı) yaratdığı bir rəqəmdir.

Əndazəli bircə

İki yarım boşqab α və β (Şəkil 1) hesab edin. Onların ümumi sərhədi - L. Göstərilən rəqəm dihedral bucağı adlanır. İki kəsişmə təyyarəsi ortaq bir kənar ilə dörd öskürək bucağı meydana gətirir.

Cırtdan bucağı xətti bucağı ilə ölçülür. L Dummy küncünün ümumi kənarında özbaşına bir nöqtəni seçin. Yarım vəzifələrdə α və β Bu nöqtədən bir perpendikulyar a və b düz bir xəttə aparırıq və dihedral bucağın xətti bucağını əldə edirik.

Düz xətləri A və B forması 4, 180 ° - φ, φ, 180 ° - φ. Xatırladaq ki, birbaşa arasındakı bucaq bu açıların ən kiçikidir.

Tərif. Təyyarələr arasındakı bucaq bu təyyarələr tərəfindən meydana gələn Dugrani bucaqlarının ən kiçiyi adlanır. φ α və β təyyarələr arasındakı bucaqdır

Tərif. İki kəsişən təyyarənin aralarındakı bucaq 90 ° olduqda perpendikulyar (qarşılıqlı perpendikulyar) adlanır.

Əndazəli 2.

Kənar l, ixtiyari bir nöqtə m seçilir (Şəkil 2). İki perpendikulyar düz ma \u003d A və MV \u003d b təyyarədə olan Light L-də və təyyarədə müvafiq olaraq həyata keçiririk. AMV bucağını aldı. AMV bucağı bir dihedral bucaqın xətti bucağıdır. AMV bucağı 90 ° olarsa, onda pilləsi α və β perpendikulyar adlanır.

Eşitmə ilə düz xətt üçün perpendikulyar olaraq birbaşa. Direct B a yönəldilməsi üçün bir yönəldən, çünki α və ¼ 90 ° təyyarələri arasındakı bucaqdan bəri birləşdirmək üçün perpendikulyardır. Bu düz B-nin α təyyarəsindən birbaşa a və l-in birbaşa a və l-in perpendikulyar olduğunu alırıq. Beləliklə, düz b təyyarəyə α perpendikulyardır.

Eynilə, bu, düz və perpendikulyar təyyarəyə β sübut etmək olar. İnşaatdakı birbaşa l-də birbaşa və perpendikulyar. Düz və düz xətt üçün birbaşa və perpendikulyar, çünki α və β planları arasındakı bucaq 90 ° -dir. Bu düz və perpendikulyar, β təyyarədən iki kəsişə qədər olan iki və l perpendikulyar alırıq. Beləliklə, düz və təyyarəyə perpendikulyar β.

İki təyyarədən biri düz bir xəttdən keçərsə, başqa bir təyyarəyə dik bir xəttdən keçərsə, bu cür təyyarələr perpendikulyardır.

Sübut etmək

Əndazəli 3.

Sübut:

Təyyarəni α və β düz bir xəttdə kəsişsin (Şəkil 3). Təyyarənin qarşılıqlı perpendikulyar olduğunu sübut etmək üçün, aralarında xətti bir bucaq qurmaq və bu bucağın 90 ° olduğunu göstərmək lazımdır.

Təyyarə vəziyyəti ilə Perpendikulyar AV Direct AV, yəni birbaşa au təyyarədə uzanması deməkdir.

Təyyarədə birbaşa elanı düz bir şəkildə həyata keçiririk β. Sonra cırtdan küncünün WD-xətti küncü.

Təyyarəyə və buna görə də təyyarədə, birbaşa reklamı birbaşa reklam Beləliklə, Vad-in xətti bucağı 90 ° -dir. Bu o deməkdir ki, α və β təyyarəsi sübut etmək üçün lazım olanlara dikdir.

İki təyyarə məlumatının kəsişməsinin bu təyyarələrin hər birinə perpendikulyar olduğu birbaşa perpendikulyar təyyarə (Şəkil 4).

Sübut etmək

Əndazəli dördlük

Sübut:

Düz xətti l təyyarədə perpendikulyardır və təyyarə α birbaşa l vasitəsilə keçir. Beləliklə, təyyarələrin perpendikulyarlığı əsasında, perpendikulyar təyyarə və γ perpendikulyar.

Düz xətti l təyyarədə perpendikulyardır və təyyarə birbaşa l vasitəsilə keçir. Beləliklə, təyyarələrin perpendikulyarlığı əsasında, təyyarə β və γ perpendikulyar.