Arifmetik irəliləyişin cəmi. Arifmetik irəliləyiş. İmtahan və GİA üzrə dərslik Arifmetik irəliləyişdə ədədlərin sayını necə tapmaq olar

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(8\); \(on bir\); \(14\)… arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləmələr deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) mənfi ədəd də ola bilər. Misal üçün, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… irəliləyiş fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən az olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləyiş qeydi

Proqressiya kiçik Latın hərfi ilə işarələnir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər ona deyilir üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin sıra ilə element nömrəsinə bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli

Prinsipcə, yuxarıda göstərilən məlumatlar arifmetik irəliləyişlə bağlı demək olar ki, hər hansı bir problemi həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə verilir. \(b_5\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişin ilk üç üzvü verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə işarələnən elementin qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə verilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həll:

Cavab: \(d=7\).

Əhəmiyyətli Arifmetik Proqressiya Düsturları

Gördüyünüz kimi, bir çox arifmetik irəliləyiş məsələləri sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll edilə bilər - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir növbəti element əvvəlkinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir (fərq irəliləməsi).

Ancaq bəzən "alında" həll etmək çox əlverişsiz olduqda vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Nədir, biz \ (385 \) dəfə dörd əlavə edək? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaq qarışıqdır...

Buna görə də, belə hallarda, onlar "alında" həll etmirlər, ancaq arifmetik irəliləyiş üçün əldə edilən xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və birinci hədlərin \(n\) cəminin düsturudur.

\(n\)-ci üzv üçün düstur: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin ilk üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin üzvüdür.

Bu düstur bizə yalnız birinci və irəliləyiş fərqini bilməklə ən azı üç yüzüncü, hətta milyonuncu elementi tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləmə şərtlərlə verilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) son cəmlənmiş termindir;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə verilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – birinci elementlərin tələb olunan məbləği \(n\);
\(a_1\) cəmlənəcək ilk termindir;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) - cəmdəki elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin ilk \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Həll:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək mövzunu bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həll:

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə verilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-dan \(42\) element daxil olmaqla cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.

Orta məktəbdə cəbri oxuyarkən (9-cu sinif) vacib mövzulardan biri proqressiyaları - həndəsi və arifmetikanı ehtiva edən ədədi ardıcıllıqların öyrənilməsidir. Bu yazıda arifmetik irəliləyiş və həlləri olan nümunələri nəzərdən keçirəcəyik.

Arifmetik irəliləyiş nədir?

Bunu başa düşmək üçün nəzərdən keçirilən irəliləyişin tərifini vermək, həmçinin problemlərin həllində daha sonra istifadə ediləcək əsas düsturları vermək lazımdır.

Arifmetik və ya cəbri irəliləyiş, hər bir üzvü əvvəlkindən müəyyən sabit miqdarla fərqlənən sifarişli rasional ədədlər toplusudur. Bu dəyər fərq adlanır. Yəni, sıralanmış ədədlər seriyasının hər hansı üzvünü və fərqi bilməklə, bütün arifmetik irəliləyişi bərpa edə bilərsiniz.

Bir nümunə götürək. Nömrələrin növbəti ardıcıllığı arifmetik irəliləyiş olacaq: 4, 8, 12, 16, ..., çünki bu vəziyyətdə fərq 4-dür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakin 3, 5, 8, 12, 17 ədədləri çoxluğu artıq nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünə aid edilə bilməz, çünki onun üçün fərq sabit qiymət deyil (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17). - 12).

Əhəmiyyətli formullar

İndi arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək problemləri həll etmək üçün lazım olan əsas düsturları veririk. a n ardıcıllığın n-ci üzvünü göstərsin, burada n tam ədəddir. Fərq latın d hərfi ilə işarələnir. Sonra aşağıdakı ifadələr doğrudur:

1. N-ci müddətin dəyərini təyin etmək üçün düstur uyğundur: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. İlk n üzvün cəmini müəyyən etmək üçün: S n = (a n + a 1)*n/2.

9-cu sinifdə həlli ilə arifmetik irəliləyişin hər hansı bir nümunəsini başa düşmək üçün bu iki düsturları xatırlamaq kifayətdir, çünki baxılan hər hansı bir problem onların istifadəsi əsasında qurulur. Həm də unutmayın ki, irəliləyiş fərqi düsturla müəyyən edilir: d = a n - a n-1 .

Nümunə 1: Naməlum Üzvün Tapılması

Arifmetik irəliləyişin sadə nümunəsini və həlli üçün istifadə edilməli olan düsturları veririk.

10, 8, 6, 4, ... ardıcıllığı verilsin, onda beş həddi tapmaq lazımdır.

Artıq məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, ilk 4 termin məlumdur. Beşinci iki şəkildə müəyyən edilə bilər:

1. Əvvəlcə fərqi hesablayaq. Bizdə: d = 8 - 10 = -2. Eynilə, bir-birinin yanında duran hər hansı digər iki termini qəbul etmək olar. Məsələn, d = 4 - 6 = -2. Məlum olduğu üçün d \u003d a n - a n-1, sonra d \u003d a 5 - a 4, aldığımız yerdən: a 5 \u003d a 4 + d. Biz məlum dəyərləri əvəz edirik: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. İkinci üsul da sözügedən irəliləyişin fərqi haqqında bilik tələb edir, ona görə də əvvəlcə yuxarıda göstərildiyi kimi onu müəyyən etməlisiniz (d = -2). Birinci terminin a 1 = 10 olduğunu bilərək, ardıcıllığın n nömrəsi üçün düsturdan istifadə edirik. Bizdə: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Son ifadədə n = 5-i əvəz edərək, alarıq: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Gördüyünüz kimi, hər iki həll eyni nəticəyə gətirib çıxarır. Qeyd edək ki, bu nümunədə irəliləyişin d fərqi mənfidir. Bu cür ardıcıllıqlar azalan adlanır, çünki hər bir ardıcıl termin əvvəlkindən kiçikdir.

Nümunə №2: irəliləyiş fərqi

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək, necə olduğuna dair bir nümunə göstərək

Məlumdur ki, bəzilərində 1-ci hədd 6-ya, 7-ci hədd isə 18-ə bərabər olur.Fərqi tapmaq və bu ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək lazımdır.

Naməlum termini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edək: a n = (n - 1) * d + a 1 . Şərtdən məlum məlumatları, yəni a 1 və 7 rəqəmlərini əvəz edirik, bizdə: 18 \u003d 6 + 6 * d. Bu ifadədən asanlıqla fərqi hesablaya bilərsiniz: d = (18 - 6) / 6 = 2. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsi cavablandırıldı.

Ardıcıllığı 7-ci üzvə qaytarmaq üçün cəbri irəliləmənin tərifindən istifadə etməlisiniz, yəni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d və s. Nəticədə, biz bütün ardıcıllığı bərpa edirik: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 və 7 = 18.

Misal №3: irəliləyiş etmək

Problemin vəziyyətini daha da çətinləşdirək. İndi arifmetik irəliləyişin necə tapılacağı sualına cavab verməlisiniz. Aşağıdakı misal verə bilərik: iki ədəd verilmişdir, məsələn, 4 və 5. Cəbri irəliləyiş etmək lazımdır ki, bunlar arasında daha üç hədd uyğun olsun.

Bu problemi həll etməyə başlamazdan əvvəl, verilən nömrələrin gələcək irəliləyişdə hansı yeri tutacağını anlamaq lazımdır. Aralarında daha üç termin olacağından, sonra 1 \u003d -4 və 5 \u003d 5. Bunu təyin etdikdən sonra əvvəlkinə bənzər bir işə davam edirik. Yenə n-ci dövr üçün düsturdan istifadə edirik, alırıq: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimdən: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Burada fərq tam qiymət deyil, rasional ədəddir, ona görə də cəbri irəliləyiş üçün düsturlar eyni qalır.

İndi tapılan fərqi 1-ə əlavə edək və irəliləyişin çatışmayan üzvlərini bərpa edək. Alırıq: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u0, problemin vəziyyəti ilə üst-üstə düşür.

Nümunə №4: Proqresiyanın ilk üzvü

Həlli ilə arifmetik irəliləyiş nümunələri verməyə davam edirik. Əvvəlki bütün məsələlərdə cəbri irəliləyişin ilk nömrəsi məlum idi. İndi fərqli tipli məsələni nəzərdən keçirək: iki ədəd verilsin, burada a 15 = 50 və 43 = 37. Bu ardıcıllığın hansı nömrədən başladığını tapmaq lazımdır.

İndiyə qədər istifadə edilmiş düsturlar 1 və d biliklərini nəzərdə tutur. Problemin vəziyyətində bu rəqəmlər haqqında heç nə məlum deyil. Buna baxmayaraq, məlumatımız olan hər bir termin üçün ifadələri yazaq: a 15 = a 1 + 14 * d və a 43 = a 1 + 42 * d. 2 naməlum kəmiyyətin (a 1 və d) olduğu iki tənlik əldə etdik. Bu o deməkdir ki, problem xətti tənliklər sisteminin həllinə endirilir.

Hər bir tənlikdə 1 ifadə etsəniz və nəticədə ortaya çıxan ifadələri müqayisə etsəniz, göstərilən sistemi həll etmək ən asandır. Birinci tənlik: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci tənlik: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Bu ifadələri bərabərləşdirərək alırıq: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, fərq d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (yalnız 3 onluq yer verilir).

d-ni bilməklə, 1 üçün yuxarıdakı 2 ifadədən hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birincisi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Nəticə ilə bağlı şübhələr varsa, onu yoxlaya bilərsiniz, məsələn, şərtdə göstərilən irəliləyişin 43-cü üzvünü təyin edin. Alırıq: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kiçik bir səhv hesablamalarda mində yuvarlaqlaşdırmadan istifadə edilməsi ilə əlaqədardır.

Nümunə №5: Cəm

İndi arifmetik irəliləyişin cəminin həlli ilə bağlı bəzi nümunələrə baxaq.

Aşağıdakı formada ədədi irəliləyiş verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu ədədlərin 100-nün cəmini necə hesablamaq olar?

Kompüter texnologiyasının inkişafı sayəsində bu problemi həll etmək olar, yəni insan Enter düyməsini sıxan kimi kompüterin edəcəyi bütün nömrələri ardıcıl olaraq toplayın. Bununla belə, təqdim olunan ədədlər silsiləsi cəbri proqressiya olduğuna və onun fərqinin 1-ə bərabər olduğuna diqqət yetirsəniz, problemi əqli şəkildə həll etmək olar. Cəm üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Maraqlıdır ki, bu problem “Qauss” adlanır, çünki 18-ci əsrin əvvəllərində hələ cəmi 10 yaşında olan məşhur alman onu bir neçə saniyə ərzində beynində həll edə bilmişdi. Oğlan cəbri irəliləyişin cəminin düsturunu bilmirdi, amma fərq etdi ki, ardıcıllığın kənarlarında yerləşən ədəd cütlərini əlavə etsəniz, həmişə eyni nəticəni alırsınız, yəni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... və bu məbləğlər tam olaraq 50 (100 / 2) olacağından, düzgün cavabı almaq üçün 50-ni 101-ə vurmaq kifayətdir.

Nümunə №6: n-dən m-ə qədər olan şərtlərin cəmi

Arifmetik proqresiyanın cəminin başqa tipik nümunəsi aşağıdakılardır: bir sıra ədədlər verildikdə: 3, 7, 11, 15, ..., onun 8-dən 14-ə qədər olan şərtlərinin cəminin nə olacağını tapmaq lazımdır.

Problem iki yolla həll olunur. Onlardan birincisi 8-dən 14-ə qədər naməlum şərtləri tapmağı və sonra onları ardıcıllıqla yekunlaşdırmağı əhatə edir. Termin az olduğu üçün bu üsul kifayət qədər zəhmət tələb etmir. Buna baxmayaraq, bu problemi daha universal olan ikinci üsulla həll etmək təklif olunur.

İdeya m və n şərtləri arasında cəbri irəliləyişin cəmi üçün düstur əldə etməkdir, burada n > m tam ədədlərdir. Hər iki halda cəmi üçün iki ifadə yazırıq:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m olduğundan aydın olur ki, 2 cəminə birinci daxildir. Son nəticə o deməkdir ki, bu cəmlər arasındakı fərqi götürsək və ona a m terminini əlavə etsək (fərqi götürdükdə S n cəmindən çıxılır), onda məsələyə lazımi cavabı alarıq. Bizdə: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Bu ifadədə n və m üçün düsturları əvəz etmək lazımdır. Sonra əldə edirik: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Əldə edilən düstur bir qədər çətin olur, lakin S mn cəmi yalnız n, m, a 1 və d-dən asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu ədədləri əvəz edərək, alarıq: S mn = 301.

Yuxarıdakı həllərdən göründüyü kimi, bütün məsələlər n-ci həd üçün ifadənin və birinci hədlər çoxluğunun cəminin düsturunun biliyinə əsaslanır. Bu problemlərdən hər hansı birini həll etməyə başlamazdan əvvəl şərti diqqətlə oxumağınız, tapmaq istədiyinizi aydın şəkildə başa düşməyiniz və yalnız bundan sonra həllinə davam etməyiniz tövsiyə olunur.

Başqa bir ipucu sadəliyə çalışmaqdır, yəni mürəkkəb riyazi hesablamalardan istifadə etmədən suala cavab verə bilsəniz, bunu etməlisiniz, çünki bu vəziyyətdə səhv etmək ehtimalı daha azdır. Məsələn, 6 nömrəli həlli olan arifmetik irəliləyiş nümunəsində S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m düsturunda dayanmaq olar və ümumi tapşırığı ayrıca alt tapşırıqlara ayırın (bu halda əvvəlcə a n və a m terminlərini tapın).

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhələr varsa, verilmiş nümunələrin bəzilərində edildiyi kimi, onu yoxlamaq tövsiyə olunur. Arifmetik irəliləməni necə tapmaq olar, öyrənildi. Bunu başa düşdükdən sonra bu o qədər də çətin deyil.

Kimsə "tərəqqi" sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın bölmələrindən çox mürəkkəb bir termin kimi. Bu arada, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də qaldıqları yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti dərk etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Rəqəmsal ardıcıllığı hər birinin öz nömrəsi olan bir sıra nömrələr adlandırmaq adətdir.

və 1 ardıcıllığın birinci üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci üzvüdür;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci üzvün qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən bir asılılıq ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a - ədədi ardıcıllığın üzvünün qiyməti;

n onun seriya nömrəsidir;

f(n) n ədədi ardıcıllığındakı sıranın arqument olduğu funksiyadır.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci üzvü üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən bir rəqəm).

Müəyyən etmək asandır ki, əgər fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə say ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını asanlıqla görmək olar.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Göstərilən üzvün dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin bəzi ixtiyari a n həddinin qiymətini təyin etmək lazımdır. Birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablayaraq bunu edə bilərsiniz. Lakin, məsələn, beş mininci və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablama çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə araşdırıla bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı üzvünün qiyməti, irəliləyişin birinci üzvünün cəmi, arzu olunan üzvün sayına bir çıxılmaqla, proqresiyanın fərqi ilə müəyyən edilə bilər. .

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş üzvün dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci üzvü 3-dür;

Nömrə seriyasındakı fərq 1.2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş üzvün dəyərini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü üzvü 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək tələb olunur. Həm də hər bir terminin dəyərlərini hesablamaq və sonra onları yekunlaşdırmaq lazım deyil. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik proqresiyanın üzvlərinin cəmi birinci və n-ci üzvlərin cəminə bərabərdir, n üzvün nömrəsinə vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci üzvün dəyəri məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Məsələdə 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəmini müəyyən etmək tələb olunur.

Həll. Proqresiyanın cəmini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 üzvünün qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı) qayıdaq. Belə bir nümunəni nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (3 km daxil olmaqla) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl / km nisbətində ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı qət edilən kilometrlərin sayıdır (ilk üçü çıxmaqla).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 p.

bizi maraqlandıran sayı - arifmetik irəliləmənin (27 + 1)-ci üzvünün dəyəri - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın oxunuşu - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablanması müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi olaraq göy cisminin işığın işığına olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədədi silsilələr statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Nömrə ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik ilə müqayisədə böyük dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə çox vaxt konkret hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yayılma sürətinin yüksək olduğunu göstərmək üçün prosesin eksponensial şəkildə inkişaf etdiyini deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci üzvü əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci üzv 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-dir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari üzvünün qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti üzvünün düsturu;

q həndəsi irəliləyişin (sabit ədədin) məxrəcidir.

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi bir az fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari üzvün qiyməti üçün düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə gedən proqresiyanın məxrəcinin bir azaldılmasına bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddi tapın

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Müəyyən sayda üzvlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n üzvlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci üzvü ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci üzvü arasındakı fərqin bir azaldılmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n üzvlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləmə 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə bərabər qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Arifmetik irəliləyiş, hər bir ədədin əvvəlkindən eyni miqdarda böyük (və ya az) olduğu bir sıra ədədlərdir.

Bu mövzu çox vaxt çətin və anlaşılmaz olur. Hərf indeksləri, irəliləyişin n-ci həddi, irəliləyişin fərqi - bütün bunlar bir növ çaşqınlıq yaradır, bəli ... Arifmetik irəliləyişin mənasını anlayaq və hər şey dərhal düzələcək.)

Arifmetik irəliləyiş anlayışı.

Arifmetik irəliləyiş çox sadə və aydın anlayışdır. Şübhə? Əbəs yerə.) Özünüz baxın.

Yarımçıq nömrələr silsiləsi yazacam:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu xətti uzada bilərsinizmi? Beşdən sonra hansı rəqəmlər gələcək? Hamı... uh... bir sözlə, hər kəs 6, 7, 8, 9 və s. rəqəmlərin daha da irəli gedəcəyini anlayacaq.

Tapşırığı çətinləşdirək. Yarımçıq nömrələr seriyasını verirəm:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Siz nümunəni tuta, seriyanı genişləndirə və adlandıra bilərsiniz yeddinci sıra nömrəsi?

Bu rəqəmin 20 olduğunu başa düşdünüzsə - sizi təbrik edirəm! Sən təkcə hiss etmədin arifmetik irəliləyişin əsas nöqtələri, həm də onları biznesdə uğurla istifadə etdi! Əgər başa düşmürsənsə, oxumağa davam et.

İndi əsas məqamları hisslərdən riyaziyyata çevirək.)

Birinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyiş ədədlər silsiləsi ilə məşğul olur. Bu, əvvəlcə çaşqınlıq yaradır. Biz tənlikləri həll etməyə, qrafiklər qurmağa və bütün bunlara öyrəşmişik... Sonra seriyanı genişləndirin, seriyaların sayını tapın ...

Hər şey qaydasındadır. Sadəcə olaraq, proqressiyalar riyaziyyatın yeni sahəsi ilə ilk tanışlıqdır. Bölmə "Serial" adlanır və rəqəmlər və ifadələr seriyası ilə işləyir. Buna alışın.)

İkinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyişdə istənilən ədəd əvvəlkindən fərqlənir eyni miqdarda.

Birinci misalda bu fərq birdir. Hansı nömrəni götürsəniz, əvvəlkindən bir çoxdur. İkincidə - üç. İstənilən rəqəm əvvəlkindən üç dəfə böyükdür. Əslində, bu an bizə nümunəni tutmaq və sonrakı nömrələri hesablamaq imkanı verir.

Üçüncü əsas məqam.

Bu an təəccüblü deyil, bəli ... Amma çox, çox vacibdir. Budur o: hər bir irəliləyiş nömrəsi öz yerindədir. Birinci nömrə var, yeddinci var, qırx beşinci var və s. Onları təsadüfən qarışdırsanız, nümunə yox olacaq. Arifmetik irəliləyiş də yox olacaq. Bu, sadəcə bir sıra nömrələrdir.

Bütün məsələ budur.

Təbii ki, yeni mövzuda yeni terminlər və qeydlər meydana çıxır. Bilməlidirlər. Əks halda, tapşırığı başa düşməyəcəksiniz. Məsələn, belə bir şeyə qərar verməlisiniz:

a 2 = 5, d = -2.5 olarsa, arifmetik irəliləyişin (a n) ilk altı həddini yazın.

İlham verirmi?) Məktublar, bəzi indekslər... Və vəzifə, yeri gəlmişkən, daha asan ola bilməzdi. Siz sadəcə terminlərin və qeydlərin mənasını başa düşməlisiniz. İndi biz bu məsələni mənimsəyəcəyik və işə qayıdaq.

Şərtlər və təyinatlar.

Arifmetik irəliləyiş hər bir nömrənin əvvəlkindən fərqli olduğu nömrələr silsiləsi eyni miqdarda.

Bu dəyər deyilir . Bu konsepsiya ilə daha ətraflı məşğul olaq.

Arifmetik irəliləyiş fərqi.

Arifmetik irəliləyiş fərqi hər hansı bir irəliləyiş nömrəsi olan məbləğdir daha çoxəvvəlki.

Bir vacib məqam. Sözə diqqət yetirin "daha çox". Riyazi olaraq bu, hər bir irəliləyiş nömrəsinin əldə edilməsi deməkdir əlavə edir arifmetik irəliləyişin əvvəlki ədədə fərqi.

Hesablamaq üçün deyək ikinci sıra nömrələri, bunu etmək lazımdır birinci nömrə əlavə edin arifmetik irəliləyişin bu fərqi. Hesablama üçün beşinci- fərq lazımdır əlavə edin Kimə dördüncü yaxşı və s.

Arifmetik irəliləyiş fərqi Ola bilər müsbət onda serialın hər bir nömrəsi real çıxacaq əvvəlkindən daha çox. Bu irəliləyiş adlanır artır. Misal üçün:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada hər bir nömrə var əlavə edir müsbət rəqəm, əvvəlkinə +5.

Fərq ola bilər mənfi sonra seriyadakı hər nömrə olacaq əvvəlkindən azdır. Bu irəliləyiş adlanır (inana bilməyəcəksiniz!) azalan.

Misal üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada da hər nömrə alınır əlavə edirəvvəlki, lakin artıq mənfi rəqəmə, -5.

Yeri gəlmişkən, bir irəliləyişlə işləyərkən, onun təbiətini dərhal müəyyən etmək çox faydalıdır - onun artdığını və ya azaldığını. Qərarda öz mövqeyinizi tapmaq, səhvlərinizi aşkar etmək və çox gec olmadan onları düzəltmək çox kömək edir.

Arifmetik irəliləyiş fərqi adətən hərflə işarələnir d.

Necə tapmaq olar d? Çox sadə. Seriyanın istənilən sayından çıxmaq lazımdır əvvəlki nömrə. Çıxar. Yeri gəlmişkən, çıxmanın nəticəsi "fərq" adlanır.)

Məsələn, müəyyən edək d artan arifmetik irəliləyiş üçün:

2, 5, 8, 11, 14, ...

İstədiyimiz cərgə sayını götürürük, məsələn, 11. Ondan çıxın əvvəlki nömrə olanlar. 8:

Bu düzgün cavabdır. Bu arifmetik irəliləyiş üçün fərq üçdür.

Sadəcə götürə bilərsiniz istənilən sayda irəliləyişlər,çünki müəyyən bir irəliləyiş üçün d-həmişə eyni. Heç olmasa cərgənin əvvəlində, heç olmasa ortada, heç olmasa hər yerdə. Yalnız ilk nömrəni götürə bilməzsiniz. Sadəcə ilk nömrə olduğu üçün əvvəlki yox.)

Yeri gəlmişkən, bunu bilərək d=3, bu irəliləyişin yeddinci sayını tapmaq çox sadədir. Beşinci rəqəmə 3 əlavə edirik - altıncı alırıq, 17 olacaq. Altıncı rəqəmə üçü əlavə edirik, yeddinci rəqəmi alırıq - iyirmi.

müəyyən edək d azalan arifmetik irəliləyiş üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Xatırladıram ki, əlamətlərindən asılı olmayaraq, müəyyən etmək d istənilən nömrədən tələb olunur əvvəlkini götür.İstənilən sayda irəliləyiş seçirik, məsələn -7. Onun əvvəlki sayı -2-dir. Sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Arifmetik irəliləyişin fərqi istənilən ədəd ola bilər: tam, kəsr, irrasional, hər hansı.

Digər terminlər və təyinatlar.

Seriyadakı hər bir nömrə çağırılır arifmetik irəliləyişin üzvü.

Tərəqqinin hər bir üzvü nömrəsi var. Rəqəmlər heç bir hiylə olmadan ciddi şəkildə sıralanır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü və s. Məsələn, 2, 5, 8, 11, 14, ... iki birinci üzv, beş ikinci, on bir dördüncü, yaxşı başa düşürsən ...) zəhmət olmasa aydın başa düş - nömrələrin özləri tamamilə hər hansı, bütöv, kəsr, mənfi, hər hansı ola bilər, lakin nömrələmə- ciddi qaydada!

Ümumi formada irəliləyiş necə yazılır? Problem deyil! Seriyadakı hər bir rəqəm hərf kimi yazılır. Arifmetik irəliləyişi ifadə etmək üçün, bir qayda olaraq, hərfdən istifadə olunur a. Üzv nömrəsi sağ altdakı indekslə göstərilir. Üzvlər vergül (və ya nöqtəli vergül) ilə ayrılaraq aşağıdakı kimi yazılır:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 birinci rəqəmdir a 3- üçüncü və s. Çətin bir şey yoxdur. Bu seriyanı qısaca belə yaza bilərsiniz: (a n).

İrəliləyişlər var sonlu və sonsuz.

Son irəliləyiş məhdud sayda üzvə malikdir. Beş, otuz səkkiz, nə olursa olsun. Ancaq bu, sonlu bir rəqəmdir.

Sonsuz irəliləmə - təxmin etdiyiniz kimi sonsuz sayda üzvə malikdir.)

Bütün üzvlər və sonunda bir nöqtə olan bu kimi bir sıra vasitəsilə son irəliləyiş yaza bilərsiniz:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Və ya bu kimi, çoxlu üzvlər varsa:

a 1 , a 2 , ... a 14 , bir 15 .

Qısa bir girişdə siz üzvlərin sayını əlavə olaraq qeyd etməli olacaqsınız. Məsələn (iyirmi üzv üçün), bu kimi:

(a n), n = 20

Sonsuz irəliləyiş, bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi, cərgənin sonundakı ellips vasitəsilə tanınır.

İndi siz artıq vəzifələri həll edə bilərsiniz. Tapşırıqlar sadədir, sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçündür.

Arifmetik irəliləyiş üçün tapşırıqların nümunələri.

Yuxarıdakı tapşırığa daha yaxından nəzər salaq:

1. Arifmetik proqresiyanın (a n) ilk altı üzvünü yazın, əgər a 2 = 5, d = -2.5.

Tapşırığı başa düşülən dilə tərcümə edirik. Sonsuz arifmetik irəliləyiş verilmişdir. Bu irəliləyişin ikinci sayı məlumdur: a 2 = 5. Məlum irəliləyiş fərqi: d = -2.5. Bu irəliləyişin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci və altıncı üzvlərini tapmalıyıq.

Aydınlıq üçün problemin vəziyyətinə uyğun bir sıra yazacam. İlk altı üzv, ikinci üzv beşdir:

a 1, 5, bir 3, bir 4, bir 5, bir 6,....

a 3 = a 2 + d

İfadədə əvəz edirik a 2 = 5 Və d=-2.5. Minusları unutma!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü müddət ikincidən azdır. Hər şey məntiqlidir. Əgər rəqəm əvvəlkindən çox olarsa mənfi dəyər, buna görə də nömrənin özü əvvəlkindən az olacaq. Tərəqqi azalır. Yaxşı, nəzərə alaq.) Biz silsiləmizin dördüncü üzvünü hesab edirik:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Beləliklə, üçüncüdən altıncıya qədər olan müddətlər hesablanıb. Bu, bir sıra ilə nəticələndi:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Birinci termini tapmaq qalır a 1 tanınmış ikinciyə görə. Bu, digər istiqamətdə, sola doğru bir addımdır.) Deməli, arifmetik irəliləyişin fərqi dəlavə edilməməlidir a 2, A götürmək:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Bütün bunlar var. Tapşırıq cavabı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Keçiddə qeyd edirəm ki, biz bu vəzifəni həll etdik təkrarlanan yol. Bu dəhşətli söz yalnız irəliləyişin bir üzvünün axtarışı deməkdir əvvəlki (bitişik) nömrə ilə.İrəliləyişlə işləməyin digər yolları daha sonra müzakirə olunacaq.

Bu sadə tapşırıqdan mühüm bir nəticə çıxarmaq olar.

Unutmayın:

Əgər arifmetik irəliləyişin ən azı bir üzvü və fərqini bilsək, bu irəliləyişin istənilən üzvünü tapa bilərik.

Yadınızdadır? Bu sadə nəticə bu mövzuda məktəb kursunun problemlərinin əksəriyyətini həll etməyə imkan verir. Bütün vəzifələr üç əsas parametr ətrafında fırlanır: arifmetik irəliləyişin üzvü, irəliləyişin fərqi, irəliləyişin üzvünün sayı. Hamısı.

Təbii ki, əvvəlki bütün cəbrlər ləğv edilmir.) Proqressiyaya bərabərsizliklər, tənliklər və başqa şeylər əlavə olunur. Amma irəliləyişinə görə- hər şey üç parametr ətrafında fırlanır.

Məsələn, bu mövzuda bəzi məşhur tapşırıqları nəzərdən keçirin.

2. Əgər n=5, d=0,4 və a 1=3,6 olarsa, yekun arifmetik proqressiyanı sıra kimi yazın.

Burada hər şey sadədir. Artıq hər şey verilir. Arifmetik irəliləyişin üzvlərinin necə hesablandığını, sayılmasını və yazıldığını xatırlamaq lazımdır. Tapşırıq şəraitində sözləri atlamamaq məsləhətdir: "son" və " n=5". Üzünüz tamamilə mavi olana qədər saymamaq üçün.) Bu irəliləyişdə cəmi 5 (beş) üzv var:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cavabı yazmaq qalır:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başqa bir vəzifə:

3. 7 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub-olmadığını müəyyən edin, əgər a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hmm... Kim bilir? Bir şeyi necə müəyyənləşdirmək olar?

Necə-necə... Bəli, gedişatını silsilə şəklində yazın və görün yeddi olacaq ya yox! Biz inanırıq:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

İndi aydın görünür ki, biz cəmi yeddiyik sürüşüb keçdi 6.5 ilə 7.7 arasında! Yeddi bizim nömrələr seriyamıza daxil olmadı və buna görə də yeddi verilmiş irəliləyişin üzvü olmayacaq.

Cavab: yox.

Və burada GIA-nın real versiyasına əsaslanan bir tapşırıq var:

4. Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl üzvü yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

Budur sonu və başlanğıcı olmayan bir seriya. Üzvlərin sayı, fərqi yoxdur d. Hər şey qaydasındadır. Problemi həll etmək üçün arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək kifayətdir. Gəlin görək və nə edə biləcəyimizi görək bilmək bu xəttdən? Üç əsas olanın parametrləri hansılardır?

Üzv nömrələri? Burada bir ədəd də yoxdur.

Ancaq üç rəqəm var və - diqqət! - söz "ardıcıl" vəziyyətdə. Bu o deməkdir ki, nömrələr ciddi şəkildə ardıcıldır, boşluqlar yoxdur. Bu sırada iki nəfər var? qonşu məlum rəqəmlər? Bəli, məndə var! Bunlar 9 və 6-dır. Beləliklə, arifmetik irəliləyişin fərqini hesablaya bilərik! Altıdan çıxırıq əvvəlki nömrə, yəni. doqquz:

Boş yerlər qalıb. x üçün əvvəlki hansı rəqəm olacaq? On beş. Beləliklə, x sadə əlavə etməklə asanlıqla tapıla bilər. 15-ə arifmetik irəliləyişin fərqini əlavə edin:

Hamısı budur. Cavab: x=12

Aşağıdakı problemləri özümüz həll edirik. Qeyd: bu bulmacalar düsturlar üçün deyil. Sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçün.) Sadəcə bir sıra rəqəmlər-hərflər yazıb, baxıb fikirləşirik.

5. a 5 = -3 olarsa, arifmetik irəliləyişin birinci müsbət həddini tapın; d = 1.1.

6. Məlumdur ki, 5,5 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 = 1,6; d = 1.3. Bu üzvün n sayını təyin edin.

7. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 3 tapın.

8. Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl üzvü yazılır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

X hərfi ilə işarələnən tərəqqinin müddətini tapın.

9. Qatar sürətini dəqiqədə 30 metr artıraraq stansiyadan hərəkət etməyə başladı. Beş dəqiqədən sonra qatarın sürəti nə qədər olacaq? Cavabınızı km/saatla bildirin.

10. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 5; a 6 = -5. 1 tapın.

Cavablar (səliqəsiz): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Hər şey düzəldi? Heyrətamiz! Aşağıdakı dərslərdə arifmetik irəliləyişləri daha yüksək səviyyədə öyrənə bilərsiniz.

Hər şey alınmadı? Problem deyil. Xüsusi Bölmə 555-də bütün bu tapmacalar hissə-hissə parçalanır.) Və təbii ki, bu cür tapşırıqların həllini dərhal avuç içində olduğu kimi aydın, aydın şəkildə vurğulayan sadə praktik texnika təsvir edilmişdir!

Yeri gəlmişkən, qatar haqqında tapmacada insanların tez-tez büdrədiyi iki problem var. Biri - sırf irəliləyişlə, ikincisi - riyaziyyatda və fizikada da hər hansı bir tapşırıq üçün ümumidir. Bu ölçülərin birindən digərinə tərcüməsidir. Bu problemlərin necə həll edilməli olduğunu göstərir.

Bu dərsdə biz arifmetik irəliləyişin elementar mənasını və onun əsas parametrlərini araşdırdıq. Bu, bu mövzuda demək olar ki, bütün problemləri həll etmək üçün kifayətdir. əlavə et d nömrələrə, bir sıra yaz, hər şey həll olunacaq.

Barmaq həlli bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi seriyanın çox qısa hissələri üçün yaxşı işləyir. Seriya daha uzun olarsa, hesablamalar daha da mürəkkəbləşir. Məsələn, sualda 9-cu məsələdə varsa, dəyişdirin "beş dəqiqə" haqqında "otuz beş dəqiqə" problem daha da pisləşəcək.)

Və mahiyyətcə sadə, lakin hesablamalar baxımından tamamilə absurd olan vəzifələr də var, məsələn:

Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.

Nə isə, 1/6-nı çox, dəfələrlə əlavə edəcəyik?! Özünü öldürmək mümkündürmü!?

Siz edə bilərsiniz.) Əgər belə tapşırıqları bir dəqiqə ərzində həll edə biləcəyiniz sadə düstur bilmirsinizsə. Bu düstur növbəti dərsdə olacaq. Və bu problem orada həll olunur. Bir dəqiqədən sonra.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin Məqsədləri:

• arifmetik irəliləyişdən istifadə etməklə həll olunan tapşırıqlar haqqında tələbələrin təsəvvürlərinin genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi; arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəminin düsturunu çıxararkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
• müstəqil şəkildə yeni biliklər əldə etmək, tapşırığı yerinə yetirmək üçün artıq əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarıqlarının inkişafı;
• əldə edilən faktları ümumiləşdirmək istəyi və ehtiyacının inkişafı, müstəqilliyin inkişafı.

Tapşırıqlar:

• “Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
• arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
• əldə edilmiş düsturları müxtəlif məsələlərin həllində tətbiq etməyi öyrətmək;
• tələbələrin diqqətini ədədi ifadənin qiymətini tapmaq proseduruna cəlb etmək.

Avadanlıq:

• qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
• qiymətləndirmə sənədi;
• təqdimat“Arifmetik irəliləyiş”.

I. Əsas biliklərin aktuallaşdırılması.

1. Cütlərdə müstəqil iş.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişi təyin edin. Arifmetik irəliləyişi təyin edən rekursiv düstur yazın. Arifmetik proqressiyaya misal göstərin və fərqini göstərin.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu yazın. Arifmetik irəliləyişin 100-cü həddini tapın ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman lövhənin arxasında iki tələbə eyni suallara cavab hazırlayır.
Şagirdlər partnyorun işini lövhə ilə müqayisə edərək qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqələr təhvil verilir).

2. Oyun anı.

Məşq 1.

Müəllim. Mən bəzi arifmetik irəliləyiş təsəvvür etdim. Mənə yalnız iki sual verin ki, cavablardan sonra bu irəliləyişin 7-ci üzvünü tez bir zamanda adlandıra biləsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Tələbələrin sualları.

1. Proqresiyanın altıncı müddəti nədir və fərq nədir?
2. Proqresiyanın səkkizinci müddəti nədir və fərq nədir?

Artıq suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərq) üçün "qadağa", yəni fərqin nə olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləyişin 6-cı həddi nədir və irəliləyişin 8-ci həddi nədir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 rəqəm yazılmışdır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim arxası lövhəyə söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrənin nömrəsini deyirlər, müəllim isə dərhal nömrənin özünə zəng edir. Bunu necə edə biləcəyimi izah edin?

Müəllim n-ci hədisin düsturunu xatırlayır a n \u003d 3n - 2 və n-in verilmiş qiymətlərini əvəz edərək, müvafiq dəyərləri tapır a n .

II. Təhsil tapşırığının bəyanatı.

Misir papiruslarında tapılan, eramızdan əvvəl 2-ci minilliyə aid köhnə problemi həll etməyi təklif edirəm.

Tapşırıq:“Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında bölüşdürün, hər adamla qonşusu arasındakı fərq ölçüsün 1/8-i qədərdir”.

• Bu problemin arifmetik proqressiya mövzusu ilə necə əlaqəsi var? (Hər növbəti şəxs ölçünün 1/8 hissəsini daha çox alır, buna görə də fərq d=1/8, 10 nəfərdir, yəni n=10).
• Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Proqramın bütün üzvlərinin cəmi.)
• Problemin vəziyyətinə görə arpanın bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nələri bilməlisiniz? (Tərəqqinin birinci müddəti.)

Dərsin məqsədi- proqresiyanın hədlərinin cəminin onların sayından, birinci həddən və fərqdən asılılığının əldə edilməsi və məsələnin qədim zamanlarda düzgün həll edilib-edilmədiyini yoxlamaq.

Düsturu əldə etməzdən əvvəl gəlin qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu belə həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiqat orta paylaş.
ikiqat artdı orta pay 5-ci və 6-cı şəxsin səhmlərinin cəmidir.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci şəxsin payının iki qatı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; və s., hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı alırıq:

III. Tapşırıqın həlli.

1. Qruplarda işləmək

1-ci qrup: Ardıcıl 20 natural ədədin cəmini tapın: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ümumiyyətlə

II qrup: 1-dən 100-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Qauss əfsanəsi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Nəticə:

III qrup: 1-dən 21-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Həlli: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Nəticə:

IV qrup: 1-dən 101-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Nəticə:

Baxılan məsələlərin həllinin bu üsulu “Qauss metodu” adlanır.

2. Hər qrup problemin həllini lövhədə təqdim edir.

3. İxtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1, a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bu məbləği oxşar şəkildə mübahisə edərək tapırıq:

4. Tapşırığı həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin qavranılması və məsələlərin həllində tətbiqi.

1. Köhnə məsələnin həllinin düsturla yoxlanılması.

2. Düsturun müxtəlif məsələlərin həllində tətbiqi.

3. Məsələlərin həllində düsturu tətbiq etmək bacarığının formalaşdırılması üçün tapşırıqlar.

A) 613 saylı

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tapın: S 1500

Həll: , və 1 = 1 və 1500 = 1500,

B) Verilmiş: ( və n) - arifmetik irəliləmə;
(və n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tapın: n
Həll:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer işləməyə getdi. İlk ayda onun maaşı 200 rubl idi, hər sonrakı ayda 30 rubl artdı. Bir ildə nə qədər qazandı?

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tapın: S 12
Həll:

Cavab: Denis il ərzində 4380 rubl aldı.

VI. Ev tapşırığı təlimatı.

1. səh 4.3 - düsturun törəməsini öyrənin.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə edərək həll olunacaq məsələni tərtib edin.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Hesab vərəqi

2. Cümlələri davam etdirin

• Bu gün dərsdə öyrəndim...
• Öyrənilmiş düsturlar...
• inanıram ki…

3. 1-dən 500-ə qədər olan ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9-cu sinif. Təhsil müəssisələri üçün dərslik. Ed. G.V. Dorofeyeva. Moskva: Maarifçilik, 2009.