X cüt və tək funksiyadır. Cüt və tək funksiyalar. Dövri funksiyalar. Bir funksiyanın ekstremuma qədər tədqiqi

Cüt və tək funksiyalar onun əsas xüsusiyyətlərindən biridir və paritet riyaziyyatda məktəb kursunun təsirli hissəsini tutur. O, əsasən funksiyanın davranışının xarakterini müəyyən edir və müvafiq qrafikin qurulmasını xeyli asanlaşdırır.

Funksiyanın paritetini təyin edək. Ümumiyyətlə, tədqiq olunan funksiya, onun sahəsində yerləşən müstəqil dəyişənin (x) əks qiymətləri üçün y (funksiya) nın müvafiq qiymətləri bərabər olsa belə nəzərə alınır.

Gəlin daha ciddi tərif verək. D sahəsində müəyyən edilmiş bəzi f (x) funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu, müəyyənləşmə sahəsində yerləşən istənilən x nöqtəsi üçün belə olacaq:

• -x (əks nöqtə) də verilmiş əhatə dairəsində yerləşir,

• f(-x) = f(x).

Yuxarıdakı tərifdən belə bir funksiyanın təyin dairəsi üçün zəruri şərt, yəni koordinatların mənşəyi olan O nöqtəsinə münasibətdə simmetriya gəlir, çünki əgər hansısa b nöqtəsi bir funksiyanın tərif dairəsində yerləşirsə. hətta funksiya, onda müvafiq nöqtə - b də bu sahədə yerləşir. Deməli, yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır: cüt funksiya ordinat oxuna (Oy) nisbətən simmetrik formaya malikdir.

Praktikada funksiyanın paritetini necə təyin etmək olar?

h(x)=11^x+11^(-x) düsturu ilə verilsin. Birbaşa tərifdən irəli gələn alqoritmə əməl edərək, ilk növbədə onun tərif sahəsini öyrənirik. Aydındır ki, arqumentin bütün dəyərləri üçün müəyyən edilir, yəni birinci şərt təmin edilir.

Növbəti addım (x) arqumentini onun əks qiyməti (-x) ilə əvəz etməkdir.
Biz əldə edirik:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Toplama kommutativ (yerdəyişmə) qanununu ödədiyindən h(-x) = h(x) və verilmiş funksional asılılığın cüt olduğu aydındır.

h(x)=11^x-11^(-x) funksiyasının bərabərliyini yoxlayaq. Eyni alqoritmə əməl edərək h(-x) = 11^(-x) -11^x alırıq. Mənfiləri çıxararaq, nəticədə bizdə var
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Beləliklə, h(x) təkdir.

Yeri gəlmişkən, xatırlatmaq lazımdır ki, bu meyarlara görə təsnif edilə bilməyən funksiyalar var, onlar nə cüt, nə də tək adlanır.

Hətta funksiyalar bir sıra maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir:

• oxşar funksiyaların əlavə edilməsi nəticəsində bərabər bir alınır;
• belə funksiyaların çıxılması nəticəsində bərabər bir alınır;
• hətta, hətta;
• iki belə funksiyanın çarpılması nəticəsində bərabər bir alınır;
• tək və cüt funksiyaların vurulması nəticəsində tək bir ədəd alınır;
• tək və cüt funksiyaların bölünməsi nəticəsində tək bir ədəd alınır;
• belə funksiyanın törəməsi təkdir;
• Tək funksiyanın kvadratını versək, cüt bir funksiya alarıq.

Tənliklərin həllində funksiyanın pariteti istifadə edilə bilər.

Tənliyin sol tərəfinin bərabər funksiya olduğu g(x) = 0 kimi bir tənliyi həll etmək üçün dəyişənin mənfi olmayan qiymətləri üçün onun həllini tapmaq kifayət edəcəkdir. Tənliyin əldə edilmiş kökləri əks ədədlərlə birləşdirilməlidir. Onlardan biri yoxlanılır.

Eyni parametr ilə qeyri-standart problemləri həll etmək üçün uğurla istifadə olunur.

Məsələn, a parametri üçün 2x^6-x^4-ax^2=1 tənliyini üç köklü edəcək hər hansı dəyər varmı?

Nəzərə alsaq ki, dəyişən tənliyə cüt dərəcələrdə daxil olur, onda aydın olur ki, x-i -x ilə əvəz etmək verilən tənliyi dəyişməyəcək. Buradan belə çıxır ki, əgər müəyyən ədəd onun köküdürsə, əks ədəd də belədir. Nəticə göz qabağındadır: tənliyin sıfırdan başqa kökləri onun həllər çoxluğuna “cüt” şəklində daxil edilir.

Aydındır ki, 0 rəqəminin özü deyil, yəni belə bir tənliyin köklərinin sayı yalnız cüt ola bilər və təbii olaraq, parametrin hər hansı bir dəyəri üçün onun üç kökü ola bilməz.

Lakin 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 tənliyinin köklərinin sayı tək ola bilər və parametrin istənilən qiyməti üçün. Həqiqətən, verilmiş tənliyin köklər çoxluğunda “cütlər” şəklində həllərin olduğunu yoxlamaq asandır. 0-ın kök olub olmadığını yoxlayaq. Onu tənlikdə əvəz etdikdə 2=2 alırıq. Beləliklə, "qoşalaşmış" dan əlavə 0 da onların tək sayını sübut edən kökdür.

Geri irəli

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədləri üçün nəzərdə tutulub və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Məqsədlər:

• cüt və tək funksiyalar haqqında anlayışı formalaşdırmaq, bu xassələri təyin etmək və funksiyaların tədqiqində, qrafiklərin tərtibində istifadə etmək bacarığını öyrətmək;
• tələbələrin yaradıcılıq fəaliyyətini, məntiqi təfəkkürünü, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək bacarığını inkişaf etdirmək;
• əməksevərliyi, riyazi mədəniyyəti tərbiyə etmək; ünsiyyət bacarıqlarını inkişaf etdirmək .

Avadanlıq: multimedia quraşdırılması, interaktiv lövhə, paylama materialları.

İş formaları: axtarış və tədqiqat fəaliyyəti elementləri ilə frontal və qrup.

Məlumat mənbələri:

1. Cəbr 9 sinif A.G.Mordkoviç. Dərs kitabı.
2. Cəbr 9-cu sinif A.G.Mordkoviç. Tapşırıq kitabı.
3. Cəbr 9 sinif. Şagirdlərin öyrənilməsi və inkişafı üçün tapşırıqlar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DƏRSLƏR zamanı

1. Təşkilati məqam

Dərsin məqsəd və vəzifələrinin qoyulması.

2. Ev tapşırığını yoxlamaq

No 10.17 (Problemlər kitabı 9-cu sinif A.G. Mordkoviç).

A) saat = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 üçün X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funksiya ilə artır X € [– 2; + ∞)
6. Funksiya aşağıdan məhduddur.
7. saat işə götürmək = - 3, saat naib yoxdur
8. Funksiya davamlıdır.

(Xüsusiyyət kəşfiyyatı alqoritmindən istifadə etmisiniz?) Slayd.

2. Slaydda sizdən soruşulan cədvəli yoxlayaq.

Cədvəli doldurun
	Domen	Funksiya sıfırları	Davamlılıq intervalları		Qrafikin Oy ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilik yeniləməsi

– Funksiyalar verilir.
– Hər bir funksiya üçün tərif sahəsini təyin edin.
– Hər bir arqument dəyəri cütü üçün hər bir funksiyanın dəyərini müqayisə edin: 1 və – 1; 2 və - 2.
– Tərif sahəsində verilmiş funksiyalardan hansı üçün bərabərliklərdir f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (məlumatları cədvələ qoyun) Slayd

4. Yeni material

- Bu işi görərkən, uşaqlar, biz funksiyanın sizə tanış olmayan, lakin digərlərindən heç də az əhəmiyyət kəsb etməyən daha bir xüsusiyyətini aşkarladıq - bu, funksiyanın bərabərliyi və təkliyidir. Dərsin mövzusunu yazın: “Cüt və tək funksiyalar”, bizim vəzifəmiz cüt və tək funksiyaları necə təyin etməyi öyrənmək, funksiyaların öyrənilməsində və planlarının qurulmasında bu xassənin əhəmiyyətini öyrənməkdir.
Beləliklə, dərslikdəki tərifləri tapıb oxuyaq (səh. 110) . Slayd

Def. 1 Funksiya saat = f (X) X çoxluğunda müəyyən edilmiş adlanır hətta, hər hansı bir dəyər üçün XЄ X davam edir f (–x) = f (x) bərabərliyi. Nümunələr verin.

Def. 2 Funksiya y = f(x), X çoxluğunda müəyyən edilmiş adlanır qəribə, hər hansı bir dəyər üçün XЄ X f(–х)= –f(х) bərabərliyi təmin edilir. Nümunələr verin.

Biz "cüt" və "tək" terminlərinə harada rast gəldik?
Bu funksiyalardan hansı bərabər olacaq, sizcə? Niyə? Hansı qəribədir? Niyə?
Formanın istənilən funksiyası üçün saat= x n, Harada n tam ədəddir, funksiyanın üçün tək olduğunu iddia etmək olar n təkdir və funksiya cütdür n- hətta.
- Funksiyalara baxın saat= və saat = 2X– 3 nə cüt, nə də tək deyil, çünki bərabərlik təmin edilmir f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Funksiyanın cüt və ya tək olması məsələsinin öyrənilməsi funksiyanın paritet üçün öyrənilməsi adlanır. Slayd

1 və 2 tərifləri x və - x-də funksiyanın qiymətləri ilə əlaqəli idi, beləliklə, funksiyanın da dəyərdə müəyyən edildiyi güman edilir. X, və - X.

ODA 3.Əgər ədəd çoxluğu onun hər bir elementi ilə birlikdə x əks elementi ehtiva edirsə, o zaman çoxluq X simmetrik çoxluq adlanır.

Nümunələr:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik çoxluqlardır və , [–5;4] qeyri-simmetrikdir.

- Hətta funksiyaların təyinetmə dairəsi - simmetrik çoxluq varmı? Qəribə olanlar?
- Əgər D( f) asimmetrik çoxluqdur, onda funksiya nədir?
– Beləliklə, əgər funksiya saat = f(X) cüt və ya təkdir, onda onun təyinetmə sahəsi D ( f) simmetrik çoxluqdur. Bəs bunun əksi doğrudurmu, əgər funksiyanın oblastı simmetrik çoxluqdursa, o, cüt və ya təkdir?
- Deməli, tərif sahəsinin simmetrik çoxluğunun olması zəruri şərtdir, lakin kafi deyil.
– Bəs paritet funksiyasını necə araşdıra bilərik? Gəlin bir alqoritm yazmağa çalışaq.

Slayd

Paritet üçün funksiyanın tədqiqi alqoritmi

1. Funksiya sahəsinin simmetrik olub olmadığını müəyyən edin. Əgər deyilsə, onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil. Əgər belədirsə, alqoritmin 2-ci addımına keçin.

2. Üçün ifadə yazın f(–X).

3. Müqayisə edin f(–X).Və f(X):

• Əgər f(–X).= f(X), onda funksiya cütdür;
• Əgər f(–X).= – f(X), onda funksiya təkdir;
• Əgər f(–X) ≠ f(X) Və f(–X) ≠ –f(X), onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

Nümunələr:

Paritet funksiyasını araşdırın a) saat= x 5 +; b) saat= ; V) saat= .

Həll.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik çoxluq.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funksiyası h(x)= x 5 + tək.

b) y =,

saat = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimmetrik çoxluq, buna görə də funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

V) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Seçim 2

1. Verilmiş çoxluq simmetrikdirmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

Qarşılıqlı yoxlama sürüşdürün.

6. Ev tapşırığı: №11.11, 11.21,11.22;

Paritet xassəsinin həndəsi mənasının sübutu.

*** (USE seçiminin təyin edilməsi).

1. Tək funksiya y \u003d f (x) bütün real xəttdə müəyyən edilmişdir. x dəyişəninin hər hansı qeyri-mənfi qiyməti üçün bu funksiyanın qiyməti g( funksiyasının qiyməti ilə üst-üstə düşür. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyasının qiymətini tapın. X) = at X = 3.

7. Xülasə

Tərif 1. Funksiya çağırılır hətta (qəribə ) əgər dəyişənin hər bir qiyməti ilə birlikdə
məna - X də aiddir
və bərabərlik

Beləliklə, funksiya yalnız o zaman cüt və ya tək ola bilər ki, onun təyinetmə sahəsi real xəttdəki koordinatların mənşəyinə görə simmetrik olsun (ədədlər). X Və - X eyni zamanda aiddir
). Məsələn, funksiya
tərif sahəsinə görə nə cüt, nə də tək deyil
mənşəyə görə simmetrik deyil.

Funksiya
hətta, çünki
koordinatların mənşəyinə görə simmetrik və.

Funksiya
qəribə çünki
Və
.

Funksiya
baxmayaraq ki, nə cüt, nə də tək deyil
və mənşəyinə görə simmetrikdir, (11.1) bərabərlikləri təmin edilmir. Misal üçün,.

Cüt funksiyanın qrafiki oxa görə simmetrikdir OU, çünki əgər nöqtə

qrafikinə də aiddir. Tək funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir, çünki əgər
qrafikə, sonra nöqtəyə aiddir
qrafikinə də aiddir.

Bir funksiyanın cüt və ya tək olduğunu sübut edərkən aşağıdakı ifadələr faydalıdır.

Teorem 1. a) İki cüt (tək) funksiyanın cəmi cüt (tək) funksiyadır.

b) İki cüt (tək) funksiyanın hasili cüt funksiyadır.

c) Cüt və tək funksiyanın hasili tək funksiyadır.

d) Əgər f dəstdə bərabər funksiyadır X, və funksiyası g setdə müəyyən edilir
, sonra funksiya
- hətta.

e) Əgər f dəstdə qəribə funksiyadır X, və funksiyası g setdə müəyyən edilir
və cüt (tək), sonra funksiya
- cüt (tək).

Sübut. Məsələn, b) və d) sübut edək.

b) Qoy
Və
hətta funksiyalardır. Buna görə də. Tək funksiyalar halına oxşar şəkildə baxılır
Və
.

d) Qoy f bərabər funksiyadır. Sonra.

Teoremin digər müddəaları da eyni şəkildə sübut olunur. Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 2. İstənilən funksiya
, setdə müəyyən edilmişdir X mənşəyinə görə simmetrik olan , cüt və tək funksiyanın cəmi kimi göstərilə bilər.

Sübut. Funksiya
şəklində yazıla bilər

.

Funksiya
bərabərdir, çünki
, və funksiyası
qəribədir, çünki. Beləliklə,
, Harada
- hətta, və
qəribə funksiyadır. Teorem sübut edilmişdir.

Tərif 2. Funksiya
çağırdı dövri nəşr nömrə varsa
, hər hansı bir üçün
nömrələri
Və
tərif sahəsinə də aiddir
və bərabərliklər

Belə bir nömrə Tçağırdı dövr funksiyaları
.

Tərif 1 nəzərdə tutur ki, əgər T- funksiya müddəti
, sonra nömrə T Eyni funksiyanın müddətidir
(çünki əvəz edərkən T on - T bərabərlik qorunur). Riyazi induksiya metodundan istifadə etməklə göstərmək olar ki, əgər T- funksiya müddəti f, sonra və
, həm də bir dövrdür. Buradan belə nəticə çıxır ki, funksiyanın bir dövrü varsa, deməli onun sonsuz sayda dövrü var.

Tərif 3. Funksiyanın müsbət dövrlərinin ən kiçiyi onun adlanır əsas dövr.

Teorem 3. Əgər T funksiyanın əsas dövrüdür f, onda qalan dövrlər onun qatlarıdır.

Sübut. Bunun əksini, yəni bir dövr olduğunu düşünək funksiyaları f (>0), çoxlu deyil T. Sonra, bölmə haqqında T qalanı ilə alırıq
, Harada
. Buna görə də

yəni - funksiya müddəti f, və
, bu da bununla ziddiyyət təşkil edir T funksiyanın əsas dövrüdür f. Teoremin təsdiqi alınan ziddiyyətdən irəli gəlir. Teorem sübut edilmişdir.

Məlumdur ki, triqonometrik funksiyalar dövri xarakter daşıyır. Əsas Dövr
Və
bərabərdir
,
Və
. Funksiyanın dövrünü tapın
. Qoy
bu funksiyanın müddətidir. Sonra

(çünki
.

ororor
.

Məna T, birinci bərabərlikdən təyin olunduğundan asılı olduğu üçün dövr ola bilməz X, yəni. funksiyasıdır X, sabit rəqəm deyil. Dövr ikinci bərabərlikdən müəyyən edilir:
. Sonsuz sayda dövrlər var
ən kiçik müsbət dövr olduqda əldə edilir
:
. Bu, funksiyanın əsas dövrüdür
.

Daha mürəkkəb dövri funksiyaya misal Dirixlet funksiyasıdır

Qeyd edək ki, əgər T onda rasional ədəddir
Və
rasional ədədlərin altında rasional ədədlərdir X və irrasional olduqda irrasional X. Buna görə də

istənilən rasional ədəd üçün T. Buna görə də istənilən rasional ədəd T Dirixlet funksiyasının dövrüdür. Aydındır ki, bu funksiyanın əsas dövrü yoxdur, çünki ixtiyari olaraq sıfıra yaxın müsbət rasional ədədlər var (məsələn, rasional ədəd seçməklə edilə bilər. n ixtiyari olaraq sıfıra yaxın).

Teorem 4. Əgər funksiyası f setə qoyulur X və dövrü var T, və funksiyası g setə qoyulur
, sonra kompleks funksiya
dövrü də var T.

Sübut. Buna görə də bizdə var

yəni teoremin təsdiqi isbat olunur.

Məsələn, bəri cos x dövrü var
, sonra funksiyalar
dövrü var
.

Tərif 4. Dövri olmayan funksiyalar çağırılır qeyri-dövri .

Funksiya tədqiqatı.

1) D(y) - Tərif sahəsi: x dəyişəninin bütün bu dəyərlərinin çoxluğu. bunun altında f(x) və g(x) cəbri ifadələri məna kəsb edir.

Əgər funksiya düsturla verilirsə, onda tərif sahəsi düsturun mənalı olduğu müstəqil dəyişənin bütün dəyərlərindən ibarətdir.

2) Funksiya xüsusiyyətləri: cüt/tək, dövrilik:

qəribə Və hətta arqumentin işarəsinin dəyişməsinə görə qrafikləri simmetrik olan funksiyalar adlanır.

qəribə funksiya- müstəqil dəyişənin işarəsi dəyişdikdə qiyməti əksinə dəyişən funksiya (koordinatların mərkəzinə görə simmetrik).

Hətta funksiyası- müstəqil dəyişənin işarəsi dəyişdikdə qiymətini dəyişməyən funksiya (y oxuna görə simmetrikdir).

Nə cüt, nə də tək funksiya (ümumi funksiya) simmetriyaya malik olmayan funksiyadır. Bu kateqoriyaya əvvəlki 2 kateqoriyaya aid olmayan funksiyalar daxildir.

Yuxarıda göstərilən kateqoriyaların heç birinə aid olmayan funksiyalar adlanır nə cüt, nə də tək(və ya ümumi funksiyalar).

Qəribə funksiyalar

İxtiyari tam ədəd olduğu tək güc.

Hətta funksiyaları

İxtiyari tam ədəd olduğu cüt güc.

Periodik funksiya arqumentin müəyyən bir müntəzəm intervalında öz dəyərlərini təkrarlayan funksiyadır, yəni arqumentə sıfırdan fərqli bir ədəd əlavə edildikdə dəyərini dəyişmir ( dövr funksiyaları) bütün tərif sahəsi üzərində.

3) Funksiyanın sıfırları (kökləri) onun itdiyi nöqtələrdir.

Qrafikin oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin tapılması ay. Bunu etmək üçün dəyəri hesablamaq lazımdır f(0). Qrafikin oxu ilə kəsişmə nöqtələrini də tapın öküz, niyə tənliyin köklərini tapın f(x) = 0 (və ya köklərin olmadığından əmin olun).

Qrafikin oxu ilə kəsişdiyi nöqtələrə deyilir funksiya sıfırlar. Funksiyanın sıfırlarını tapmaq üçün tənliyi həll etmək, yəni tapmaq lazımdır bu x dəyərləri, bunun üçün funksiya yox olur.

4) İşarələrin, onlarda işarələrin sabitlik intervalları.

f(x) funksiyasının işarəsini saxladığı intervallar.

Sabitlik intervalı intervaldır olan hər nöqtədə funksiya müsbət və ya mənfidir.

x oxunun YUXARINDA.

Oxdan AŞAĞIDA.

5) Davamlılıq (kesiklik nöqtələri, kəsilmə xarakteri, asimptotlar).

davamlı funksiya- "atlamalar" olmayan, yəni arqumentdəki kiçik dəyişikliklərin funksiyanın qiymətində kiçik dəyişikliklərə səbəb olduğu funksiya.

Çıxarılan kəsmə nöqtələri

Əgər funksiyanın limiti mövcuddur, lakin funksiya bu nöqtədə müəyyən edilməyib və ya limit bu nöqtədə funksiyanın dəyərinə uyğun gəlmir:

,

sonra nöqtə deyilir qırılma nöqtəsi funksiyalar (kompleks analizdə, çıxarıla bilən tək nöqtə).

Çıxarılan bir kəsilmə nöqtəsində funksiyanı "düzəliş" və qoyuruq , onda biz bu nöqtədə davamlı olan bir funksiya alırıq. Funksiya üzərində belə bir əməliyyat adlanır funksiyanı davamlı olaraq genişləndirir və ya funksiyanın davamlılıqla uzadılması, bu nöqtənin adını xal kimi əsaslandırır birdəfəlik boşluq.

Birinci və ikinci növ kəsilmə nöqtələri

Əgər funksiyanın verilmiş nöqtədə kəsikliyi varsa (yəni verilmiş nöqtədə funksiyanın həddi yoxdursa və ya verilmiş nöqtədəki funksiyanın qiyməti ilə üst-üstə düşmürsə), onda ədədi funksiyalar üçün iki mümkün variant var. ədədi funksiyaların mövcudluğu ilə bağlıdır birtərəfli məhdudiyyətlər:

əgər hər iki birtərəfli hədlər mövcuddursa və sonludursa, belə bir nöqtə deyilir birinci növ qırılma nöqtəsi. Çıxarılan kəsilmə nöqtələri birinci növ kəsilmə nöqtələridir;

birtərəfli limitlərdən ən azı biri mövcud deyilsə və ya sonlu qiymət deyilsə, belə bir nöqtə deyilir. ikinci növ qırılma nöqtəsi.

Asimptot - düz, hansı xüsusiyyətə malikdir ki, əyrinin bir nöqtəsindən buna qədər olan məsafə düz nöqtə budaq boyunca sonsuzluğa doğru hərəkət etdikcə sıfıra meyl edir.

şaquli

Şaquli asimptot - limit xətti .

Bir qayda olaraq, şaquli asimptotu təyin edərkən bir hədd deyil, iki birtərəfli (sol və sağ) axtarırlar. Bu, funksiyanın müxtəlif istiqamətlərdən şaquli asimptotaya yaxınlaşarkən özünü necə apardığını müəyyən etmək üçün edilir. Misal üçün:

Üfüqi

Üfüqi asimptot - düz varlığına tabe olan növlər limit

.

əyri

Oblik asimptot - düz varlığına tabe olan növlər məhdudiyyətlər

Qeyd: Funksiya iki əyri (üfüqi) asimptotdan çox ola bilməz.

Qeyd: yuxarıda qeyd olunan iki həddən ən azı biri mövcud deyilsə (və ya -a bərabərdirsə), onda (və ya )-da olan əyri asimptot mövcud deyildir.

bənd 2.), onda və həddi üfüqi asimptot düsturu ilə tapılır, .

6) Monotonluq intervallarının tapılması. Funksiyanın monotonluq intervallarını tapın f(x) (yəni artım və azalma intervalları). Bu, törəmənin işarəsini tədqiq etməklə həyata keçirilir f(x). Bunu etmək üçün törəməni tapın f(x) və bərabərsizliyi həll edin f(x)0. Bu bərabərsizliyin ödənildiyi intervallarda funksiya f(x) artır. Əks bərabərsizliyin olduğu yerdə f(x)0, funksiyası f(x) azalır.

Yerli ekstremumun tapılması. Monotonluq intervallarını tapdıqdan sonra biz dərhal yerli ekstremumun artımın azalma ilə, yerli maksimalların, azalmanın isə artımla əvəz olunduğu yerli minimumların olduğu nöqtələrini dərhal müəyyən edə bilərik. Bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətini hesablayın. Əgər funksiyanın yerli ekstremum nöqtələri olmayan kritik nöqtələri varsa, bu nöqtələrdə də funksiyanın qiymətini hesablamaq faydalıdır.

Seqmentdə y = f(x) funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması(davamı)

7) Qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarının tapılması. Bu, ikinci törəmənin işarəsini tədqiq etməklə həyata keçirilir f(x). Qabarıq və konkavlik intervallarının qovşağında əyilmə nöqtələrini tapın. Bükülmə nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablayın. Əgər funksiyanın ikinci törəmənin 0-a bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı başqa davamlılıq nöqtələri (əyilmə nöqtələri istisna olmaqla) varsa, onda bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətini hesablamaq da faydalıdır. Tapmaq f(x), bərabərsizliyi həll edirik f(x)0. Həll intervallarının hər birində funksiya aşağıya doğru qabarıq olacaqdır. Əks bərabərsizliyin həlli f(x)0, funksiyanın yuxarıya doğru qabarıq (yəni konkav) olduğu intervalları tapırıq. Biz əyilmə nöqtələrini funksiyanın qabarıqlıq istiqamətini dəyişdirdiyi (və davamlı olduğu) nöqtələr kimi təyin edirik.

Funksiya əyilmə nöqtəsi- bu, funksiyanın davamlı olduğu və keçdikdə funksiyanın qabarıqlıq istiqamətini dəyişdiyi nöqtədir.

Mövcudluq şərtləri

Bükülmə nöqtəsinin olması üçün zəruri şərt:əgər funksiya nöqtənin bəzi deşilmiş qonşuluğunda iki dəfə diferensiallanarsa, o zaman ya .

Hətta funksiyası.

Həttaİşarəsi dəyişdirildikdə işarəsi dəyişməyən funksiya çağırılır x.

x bərabərlik f(–x) = f(x). İmza x işarəyə təsir etmir y.

Cüt funksiyanın qrafiki koordinat oxuna görə simmetrikdir (şək. 1).

Hətta funksiya nümunələri:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

İzahat:
Bir funksiya götürək y = x 2 və ya y = –x 2 .
İstənilən dəyər üçün x funksiya müsbətdir. İmza x işarəyə təsir etmir y. Qrafik koordinat oxuna görə simmetrikdir. Bu bərabər funksiyadır.

qəribə funksiya.

qəribə işarəsi dəyişdirildikdə işarəsi dəyişən funksiyadır x.

Başqa sözlə, hər hansı bir dəyər üçün x bərabərlik f(–x) = –f(x).

Tək funksiyanın qrafiki başlanğıca görə simmetrikdir (şək. 2).

Qəribə funksiyaya nümunələr:

y= günah x

y = x 3

y = –x 3

İzahat:

y = - funksiyasını götürün x 3 .
Bütün dəyərlər saat onun mənfi işarəsi olacaq. İşarə budur xəlamətinə təsir edir y. Müstəqil dəyişən müsbət ədəddirsə, funksiya müsbətdir, müstəqil dəyişən mənfi ədəddirsə, funksiya mənfidir: f(–x) = –f(x).
Funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir. Bu qəribə funksiyadır.

Cüt və tək funksiyaların xassələri:

QEYD:

Bütün xüsusiyyətlər cüt və ya tək deyil. Elə funksiyalar var ki, onlar belə dərəcəyə tabe deyil. Məsələn, kök funksiyası saat = √X nə cüt, nə də tək funksiyalara şamil edilmir (şək. 3). Bu cür funksiyaların xassələrini sadalayarkən müvafiq təsvir verilməlidir: nə cüt, nə də tək.

Dövri funksiyalar.

Bildiyiniz kimi, dövrilik müəyyən proseslərin müəyyən intervalda təkrarlanmasıdır. Bu prosesləri təsvir edən funksiyalar adlanır dövri funksiyalar. Yəni bunlar qrafiklərində müəyyən ədədi intervallarla təkrarlanan elementlər olan funksiyalardır.