Arifmetik irəliləyiş ədədi ardıcıllıqdır. Arifmetik irəliləyiş: bu nədir? İlk ədədlərin arifmetik irəliləyiş cəmi

Yaxşı, dostlar, əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, onda daxili qapaq sübutları mənə deyir ki, siz hələ də arifmetik irəliləyişin nə olduğunu bilmirsiniz, amma həqiqətən (yox, belə: SOOOOO!) bilmək istəyirsiniz. Buna görə də sizi uzun təqdimatlarla incitməyəcəyəm və dərhal işə başlayacağam.

Başlamaq üçün bir neçə nümunə. Bir neçə ədəd dəstini nəzərdən keçirin:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Bütün bu dəstlərin ortaq cəhəti nədir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər növbəti element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Özünüz mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə ardıcıl nömrələrdir, hər biri əvvəlkindən çoxdur. İkinci halda, qonşu ədədlər arasındakı fərq artıq beşə bərabərdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, ümumiyyətlə köklər var. Bununla belə, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yəni. bu halda hər növbəti element sadəcə olaraq $\sqrt(2)$ artır (və bu rəqəmin irrasional olmasından qorxma).

Beləliklə: bütün belə ardıcıllıqlar sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişlər adlanır. Ciddi bir tərif verək:

Tərif. Hər bir sonrakının əvvəlkindən tam eyni miqdarda fərqləndiyi nömrələr ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləyiş fərqi deyilir və ən çox $d$ hərfi ilə işarələnir.

Qeyd: $\left(((a)_(n)) \right)$ irəliləyişin özüdür, $d$ onun fərqidir.

Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız irəliləyiş nəzərə alınır nizamlı nömrələrin ardıcıllığı: onların yazıldığı ardıcıllıqla ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə yoxdur. Siz nömrələri yenidən təşkil edə və ya dəyişdirə bilməzsiniz.

İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxluğu açıq şəkildə sonlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq (1; 2; 3; 4; ...) kimi bir şey yazsanız - bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördündən sonrakı ellips, olduğu kimi, çox sayda rəqəmin daha da irəli getdiyinə işarə edir. Məsələn, sonsuz sayda. :)

Onu da qeyd edim ki, irəliləyişlər artır və azalır. Artıq artanları gördük - eyni çoxluq (1; 2; 3; 4; ...). Aşağıda irəliləyişlərin azaldılması nümunələri verilmişdir:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam, tamam: son nümunə həddindən artıq mürəkkəb görünə bilər. Amma qalanları, məncə, başa düşürsən. Buna görə də yeni təriflər təqdim edirik:

Tərif. Arifmetik irəliləyiş deyilir:

1. hər növbəti element əvvəlkindən böyükdürsə, artır;
2. azalan, əgər əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən azdırsa.

Bundan əlavə, "stasionar" ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan nömrədən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).

Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırd etmək olar? Xoşbəxtlikdən, burada hər şey yalnız $d$ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. irəliləmə fərqləri:

1. Əgər $d \gt 0$, deməli, irəliləyiş artır;
2. Əgər $d \lt 0$ olarsa, deməli irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
3. Nəhayət, $d=0$ halı var — bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin stasionar ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.

Yuxarıdakı üç azalan irəliləyiş üçün $d$ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər hansı iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və sağdakı nömrədən, soldakı nömrəni çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüyünüz kimi, hər üç halda fərq həqiqətən mənfi oldu. İndi biz tərifləri az-çox başa düşdük, irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və onların hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.

Proqressiyanın üzvləri və təkrarlanan düstur

Ardıcıllığımızın elementləri bir-birini əvəz edə bilmədiyi üçün onları nömrələmək olar:

\[\sol(((a)_(n)) \sağ)=\sol\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \sağ\)\]

Bu çoxluğun ayrı-ayrı elementləri proqressiyanın üzvləri adlanır. Onlar rəqəmin köməyi ilə bu şəkildə göstərilir: birinci üzv, ikinci üzv və s.

Bundan əlavə, artıq bildiyimiz kimi, irəliləyişin qonşu üzvləri düsturla əlaqələndirilir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Sağ ox ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Qısaca desək, irəliləyişin $n$-ci həddini tapmaq üçün $n-1$th termini və $d$ fərqini bilmək lazımdır. Belə bir düstur təkrarlanan adlanır, çünki onun köməyi ilə hər hansı bir nömrə tapa bilərsiniz, yalnız əvvəlkini (və əslində, bütün əvvəlkiləri) bilərək. Bu, çox əlverişsizdir, ona görə də hər hansı bir hesablamanı birinci terminə və fərqə endirən daha çətin bir düstur var:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sol(n-1 \sağ)d\]

Yəqin ki, bu düsturla əvvəllər rastlaşmısınız. Onu hər cür arayış kitablarında və reshebniklərdə verməyi xoşlayırlar. Riyaziyyat üzrə hər hansı bir ağıllı dərslikdə o, birincilərdən biridir.

Bununla belə, bir az məşq etməyi məsləhət görürəm.

Tapşırıq nömrəsi 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ olarsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik proqressiyasının ilk üç şərtini yazın.

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=8$ birinci termini və $d=-5$ irəliləyiş fərqini bilirik. Gəlin indi verilmiş düsturdan istifadə edək və $n=1$, $n=2$ və $n=3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sol(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sol(3-1 \sağ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: (8; 3; -2)

Hamısı budur! Qeyd edək ki, irəliləyişimiz getdikcə azalır.

Əlbəttə, $n=1$ əvəz edilə bilməzdi - biz artıq birinci termini bilirik. Bununla belə, vahidi əvəz etməklə biz əmin olduq ki, hətta birinci dövr üçün formulamız işləyir. Digər hallarda, hər şey banal hesaba düşdü.

Tapşırıq nömrəsi 2. Yeddinci üzvü −40, on yeddinci üzvü isə −50-dirsə, arifmetik proqresiyanın ilk üç həddini yazın.

Həll. Problemin vəziyyətini adi şərtlərlə yazırıq:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \sağ.\]

Sistemin işarəsini ona görə qoyuram ki, bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. İndi isə qeyd edirik ki, ikinci tənlikdən birinci tənliyi çıxarsaq (bunu etmək hüququmuz var, çünki sistemimiz var), bunu alırıq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizalayın)\]

Eynilə, biz irəliləyiş fərqini tapdıq! Sistemin hər hansı bir tənliyində tapılan ədədi əvəz etmək qalır. Məsələn, birincidə:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \son (matris)\]

İndi birinci şərti və fərqi bilməklə ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizalayın)\]

Hazır! Problem həll edildi.

Cavab: (-34; -35; -36)

Kəşf etdiyimiz irəliləyişin maraqlı bir xüsusiyyətinə diqqət yetirin: $n$th və $m$th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, irəliləyişin fərqini $n-m$ ədədinə vururuq:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \sol(n-m \sağ)\]

Mütləq bilməli olduğunuz sadə, lakin çox faydalı bir xüsusiyyət - onun köməyi ilə bir çox irəliləyiş problemlərinin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Bunun əsas nümunəsi budur:

Tapşırıq nömrəsi 3. Arifmetik proqresiyanın beşinci həddi 8,4, onuncu üzvü isə 14,4-dür. Bu irəliləyişin on beşinci üzvünü tapın.

Həll. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ və $((a)_(15))$ tapmaq lazım olduğuna görə aşağıdakıları qeyd edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizalayın)\]

Lakin $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ şərtinə görə $5d=6$, buradan əldə edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: 20.4

Hamısı budur! Hər hansı bir tənlik sistemi qurmağa və birinci həddi və fərqi hesablamağa ehtiyac duymadıq - hər şey bir neçə sətirdə həll edildi.

İndi problemin başqa bir növünü - proqresiyanın mənfi və müsbət üzvlərinin axtarışını nəzərdən keçirək. Heç kimə sirr deyil ki, əgər irəliləyiş artarsa, onun ilk termini mənfi olarsa, gec-tez müsbət şərtlər onda görünəcəkdir. Və əksinə: azalan irəliləyişin şərtləri gec-tez mənfi olacaq.

Eyni zamanda, ardıcıl olaraq elementləri sıralayaraq bu anı "alnında" tapmaq həmişə mümkün deyil. Çox vaxt problemlər elə qurulur ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəq aparsın - cavabı tapana qədər biz sadəcə yuxuya gedirdik. Ona görə də çalışacağıq ki, bu problemləri daha tez həll edək.

Tapşırıq nömrəsi 4. Arifmetik irəliləyişdə neçə mənfi hədd -38,5; -35,8; …?

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan dərhal fərqi tapırıq:

Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə də irəliləyiş artır. Birinci termin mənfidir, ona görə də nə vaxtsa müsbət rəqəmlərlə qarşılaşacağıq. Yeganə sual bunun nə vaxt baş verəcəyidir.

Gəlin öyrənməyə çalışaq: şərtlərin mənfiliyi nə qədər müddətə (yəni, $n$ hansı natural ədədə qədər) saxlanılır:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Sağ ox ((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \sol(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Sağ ox ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizalayın)\]

Sonuncu sətir aydınlaşdırma tələb edir. Beləliklə, $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, nömrənin yalnız tam dəyərləri bizə uyğun olacaq (üstəlik: $n\in \mathbb(N)$), buna görə də ən böyük icazə verilən nömrə dəqiq olaraq $n=15$-dır və heç bir halda 16-dır.

Tapşırıq nömrəsi 5. Arifmetik irəliləyişdə $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu irəliləyişin birinci müsbət üzvünün sayını tapın.

Bu, əvvəlki problemlə eyni problem olacaq, lakin biz $((a)_(1))$ bilmirik. Ancaq qonşu şərtlər məlumdur: $((a)_(5))$ və $((a)_(6))$, beləliklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:

Bundan əlavə, standart düsturdan istifadə edərək beşinci termini birinci və fərq baxımından ifadə etməyə çalışaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizalayın)\]

İndi əvvəlki problemə bənzətmə ilə davam edirik. Müsbət ədədlərin ardıcıllığımızın hansı nöqtəsində görünəcəyini öyrənirik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ox ((n)_(\dəq ))=56. \\ \end(hizalayın)\]

Bu bərabərsizliyin minimum tam həlli 56 ədədidir.

Nəzərə alın ki, son tapşırıqda hər şey ciddi bərabərsizliyə endirildi, ona görə də $n=55$ variantı bizə uyğun gəlməyəcək.

Sadə məsələlərin həllini öyrəndiyimizə görə, indi daha mürəkkəb olanlara keçək. Ancaq əvvəlcə arifmetik irəliləyişlərin başqa bir çox faydalı xüsusiyyətini öyrənək, bu, gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri-bərabər hüceyrələrə qənaət edəcəkdir. :)

Arifmetik orta və bərabər abzaslar

Artan arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərtini nəzərdən keçirin $\left(((a)_(n)) \right)$. Onları rəqəm xəttində qeyd etməyə çalışaq:

Mən xüsusi olaraq $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyari üzvləri qeyd etdim və hər hansı $((a)_(1)) deyil, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ və s. Çünki indi sizə deyəcəyim qayda istənilən “seqmentlər” üçün eyni işləyir.

Və qayda çox sadədir. Gəlin rekursiv düsturu xatırlayaq və onu bütün işarələnmiş üzvlər üçün yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizalayın)\]

Bununla belə, bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizalayın)\]

Yaxşı, bəs nə? Lakin $((a)_(n-1))$ və $((a)_(n+1))$ şərtlərinin $((a)_(n)) $-dan eyni məsafədə olması faktı . Və bu məsafə $d$-a bərabərdir. Eyni şeyi $((a)_(n-2))$ və $((a)_(n+2))$ terminləri haqqında da demək olar - onlar da $((a)_(n) terminindən çıxarılıb. )$ eyni məsafədə $2d$-a bərabərdir. Siz qeyri-müəyyən müddətə davam edə bilərsiniz, lakin şəkil mənasını yaxşı göstərir

Bu bizim üçün nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, əgər qonşu ədədlər məlumdursa, siz $((a)_(n))$ tapa bilərsiniz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Möhtəşəm bir ifadə çıxardıq: arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü qonşu üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir! Üstəlik, biz $((a)_(n))$-dan sola və sağa bir addım deyil, $k$ addımları ilə yayına bilərik - və yenə də düstur düzgün olacaq:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bunlar. $((a)_(150))$ və $((a)_(100))$ və $((a)_(200))$ bildiyimiz halda asanlıqla bəzi $((a)_(150))$ tapa bilərik, çünki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bu fakt bizə faydalı heç nə vermir. Bununla belə, praktikada arifmetik ortanın istifadəsi üçün bir çox tapşırıqlar xüsusi olaraq "kəskinləşdirilir". Bax:

Tapşırıq nömrəsi 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ və $14+4((x)^(2))$ ədədlərinin ardıcıl üzvləri olması üçün $x$-ın bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (müəyyən edilmiş qaydada).

Həll. Bu ədədlər proqresiyanın üzvləri olduğundan onlar üçün orta hesab şərti ödənilir: $x+1$ mərkəzi elementi qonşu elementlərlə ifadə oluna bilər:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Nəticə klassik kvadrat tənlikdir. Onun kökləri: $x=2$ və $x=-3$ cavablardır.

Cavab: -3; 2.

Tapşırıq nömrəsi 7. $$-ın elə dəyərlərini tapın ki, $-1;4-3;(()^(2))+1$ ədədləri arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin (həmin ardıcıllıqla).

Həll. Yenə də orta termini qonşu terminlərin arifmetik ortası ilə ifadə edirik:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Başqa bir kvadrat tənlik. Və yenə iki kök: $x=6$ və $x=1$.

Cavab: 1; 6.

Problemin həlli prosesində bəzi qəddar nömrələr alırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, onda yoxlamağa imkan verən gözəl bir hiylə var: problemi düzgün həll etdikmi?

Tutaq ki, 6-cı məsələdə -3 və 2 cavablarını aldıq. Bu cavabların düzgün olduğunu necə yoxlaya bilərik? Gəlin onları orijinal vəziyyətə qoşaq və nə baş verdiyini görək. Nəzərinizə çatdırım ki, bizdə üç ədəd ($-6(()^(2))$, $+1$ və $14+4(()^(2))$ var, bunlar arifmetik irəliləyiş təşkil etməlidir. $x=-3$ əvəz edin:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

-54 nömrələrini aldıq; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik irəliləyişdir. Eyni şey $x=2$ üçün də baş verir:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Yenə irəliləyiş, lakin 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olunur. İstəyənlər ikinci tapşırığı özləri yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyəcəm: orada da hər şey qaydasındadır.

Ümumiyyətlə, son problemləri həll edərkən başqa bir maraqlı fakta rast gəldik ki, onu da xatırlamaq lazımdır:

Əgər üç ədəd elədirsə ki, ikincisi birincinin və sonuncunun ortasıdır, onda bu ədədlər arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək bizə problemin vəziyyətinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq belə bir "tikinti" ilə məşğul olmamışdan əvvəl daha bir fakta diqqət yetirməliyik ki, bu da artıq nəzərdən keçiriləndən birbaşa irəli gəlir.

Elementlərin qruplaşdırılması və cəmi

Yenidən rəqəm xəttinə qayıdaq. Orada irəliləyişin bir neçə üzvünü qeyd edirik, onların arasında, bəlkə də. bir çox digər üzvlərə dəyər:

Gəlin “sol quyruğu” $((a)_(n))$ və $d$, “sağ quyruğu” isə $((a)_(k))$ və $ ifadələri ilə ifadə etməyə çalışaq. d$. Çox sadədir:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizalayın)\]

İndi aşağıdakı məbləğlərin bərabər olduğuna diqqət yetirin:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sadə dillə desək, cəmi $S$ sayına bərabər olan iki irəliləyiş elementini başlanğıc kimi nəzərdən keçirsək və sonra bu elementlərdən əks istiqamətdə addımlamağa başlasaq (bir-birinə doğru və ya əksinə uzaqlaşmaq üçün), sonra rastlaşacağımız elementlərin cəmi də bərabər olacaq$S$. Bunu ən yaxşı qrafik olaraq göstərmək olar:

Bu həqiqəti başa düşmək bizə yuxarıda nəzərdən keçirdiklərimizdən daha yüksək səviyyəli mürəkkəblik problemlərini həll etməyə imkan verəcəkdir. Məsələn, bunlar:

Tapşırıq nömrəsi 8. Birinci həddinin 66, ikinci və on ikinci hədlərin hasilinin mümkün olan ən kiçik olduğu arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.

Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\dəq. \end(align)\]

Beləliklə, $d$ irəliləməsinin fərqini bilmirik. Əslində, bütün həll fərq ətrafında qurulacaq, çünki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sol(66+d \sağ)\cdot \sol(66+11d \sağ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(align)\]

Tankda olanlar üçün: Mən ikinci mötərizədən ümumi faktor 11-i götürdüm. Beləliklə, istənilən hasil $d$ dəyişəninə münasibətdə kvadrat funksiyadır. Buna görə də, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasını nəzərdən keçirək - onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, çünki mötərizələri açsaq, alırıq:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüyünüz kimi, ən yüksək termini olan əmsal 11-dir - bu müsbət rəqəmdir, ona görə də biz həqiqətən budaqları yuxarı olan parabola ilə məşğul oluruq:

kvadratik funksiyanın qrafiki - parabola

Diqqət edin: bu parabola minimum qiymətini $((d)_(0))$ absis ilə təpəsində götürür. Təbii ki, biz bu absissanı standart sxem üzrə hesablaya bilərik ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ düsturu var), lakin bunu etmək daha məqsədəuyğun olardı. qeyd edin ki, istədiyiniz təpə parabolanın oxu simmetriyası üzərində yerləşir, ona görə də $((d)_(0))$ nöqtəsi $f\left(d \right)=0$ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörd ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizalayın)\]

Buna görə də mötərizələri açmağa tələsmirdim: orijinal formada kökləri tapmaq çox, çox asan idi. Beləliklə, absis −66 və −6 ədədlərinin arifmetik ortasına bərabərdir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Aşkar edilmiş nömrəni bizə nə verir? Onunla tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, biz $((y)_(\min ))$ hesablamadıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm ilkin irəliləyişin fərqidir, yəni. cavabını tapdıq. :)

Cavab: -36

Tapşırıq nömrəsi 9. $-\frac(1)(2)$ və $-\frac(1)(6)$ ədədlərinin arasına üç ədəd daxil edin ki, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin.

Həll. Əslində, ilk və son nömrə artıq məlum olan beş ədəd ardıcıllığı yaratmalıyıq. Çatışmayan ədədləri $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ilə işarələyin:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

Qeyd edək ki, $y$ rəqəmi ardıcıllığımızın "ortasıdır" - o, $x$ və $z$ rəqəmlərindən, $-\frac(1)(2)$ və $-\frac ədədlərindən bərabər məsafədədir. (1)( 6)$. Əgər hazırda $x$ və $z$ rəqəmlərindən $y$ ala bilmiriksə, o zaman irəliləyişin uclarında vəziyyət fərqlidir. Arifmetik ortanı xatırlayın:

İndi $y$-ı bilməklə, qalan ədədləri tapacağıq. Qeyd edək ki, $x$ $-\frac(1)(2)$ və $y=-\frac(1)(3)$ arasında yerləşir. Buna görə də

Eyni şəkildə mübahisə edərək, qalan rəqəmi tapırıq:

Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Cavabda onları ilkin ədədlərin arasına daxil edilməli olan ardıcıllıqla yazaq.

Cavab: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tapşırıq nömrəsi 10. 2 və 42 ədədlərinin arasına daxil edilmiş ədədlərin birinci, ikinci və sonuncularının cəminin 56 olduğu məlumdursa, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirən bir neçə ədəd daxil edin.

Həll. Daha çətin bir vəzifə, lakin əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur - arifmetik orta vasitəsilə. Problem ondadır ki, biz neçə rəqəmi daxil edəcəyimizi dəqiq bilmirik. Buna görə də, dəqiqlik üçün biz hesab edirik ki, daxil etdikdən sonra tam olaraq $n$ ədədləri olacaq və onlardan birincisi 2, sonuncusu isə 42-dir. Bu halda istənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Lakin qeyd edək ki, $((a)_(2))$ və $((a)_(n-1))$ ədədləri bir-birinə doğru bir addım kənarda duran 2 və 42 rəqəmlərindən alınır. , yəni. ardıcıllığın mərkəzinə. Və bu o deməkdir ki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakin sonra yuxarıdakı ifadəni belə yenidən yazmaq olar:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizalayın)\]

$((a)_(3))$ və $((a)_(1))$ bilməklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sol(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ox d=5. \\ \end(hizalayın)\]

Qalan üzvləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizalayın)\]

Beləliklə, artıq 9-cu addımda biz ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə çatacağıq. Ümumilikdə cəmi 7 rəqəm daxil edilməli idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Proqressivlərlə mətn tapşırıqları

Sonda bir neçə nisbətən sadə məsələni nəzərdən keçirmək istərdim. Yaxşı, sadə olanlar kimi: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan tələbələrin əksəriyyəti üçün bu tapşırıqlar jest kimi görünə bilər. Buna baxmayaraq, riyaziyyatda OGE və İSTİFADƏ-də rast gəlinən məhz belə tapşırıqlardır, ona görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.

Tapşırıq nömrəsi 11. Komanda yanvar ayında 62 hissə istehsal edib və hər növbəti ayda əvvəlkindən 14 ədəd çox hissə istehsal edib. Noyabrda briqada neçə hissə istehsal etdi?

Həll. Aydındır ki, aylarla rənglənən hissələrin sayı artan arifmetik irəliləyiş olacaqdır. Və:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\sol(n-1 \sağ)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr ilin 11-ci ayıdır, ona görə də $((a)_(11))$ tapmalıyıq:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Buna görə də noyabrda 202 hissə istehsal olunacaq.

Tapşırıq nömrəsi 12. Cildləmə emalatxanası yanvar ayında 216 kitab cildləyib və hər ay əvvəlki ayla müqayisədə 4 daha çox kitab cildləyib. Seminar dekabrda neçə kitab cildləşdirdi?

Həll. Hamısı eyni:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\sol(n-1 \sağ)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr ilin sonuncu, 12-ci ayıdır, ona görə də biz $((a)_(12))$ axtarırıq:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildlənəcək.

Yaxşı, bura qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: arifmetik irəliləyişlərdə "gənc döyüşçü kursunu" uğurla başa vurdunuz. Təhlükəsiz şəkildə növbəti dərsə keçə bilərik, burada irəliləyiş cəmi düsturunu, eləcə də ondan vacib və çox faydalı nəticələri öyrənəcəyik.

Formulun mahiyyəti nədir?

Bu formula tapmağa imkan verir hər hansı NÖMRƏSİ İLƏ" n" .

Təbii ki, birinci termini bilmək lazımdır a 1 və irəliləyiş fərqi d, yaxşı, bu parametrlər olmadan müəyyən bir irəliləyiş yaza bilməzsiniz.

Bu düsturu əzbərləmək (və ya aldatmaq) kifayət deyil. Onun mahiyyətini mənimsəmək və formulunu müxtəlif məsələlərdə tətbiq etmək lazımdır. Bəli və doğru zamanda unutma, bəli ...) Necə unutma- Bilmirəm. Və burada necə xatırlamaq Lazım olsa, sizə bir ipucu verəcəm. Dərsi sona qədər mənimsəyənlər üçün.)

Beləliklə, arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu ilə məşğul olaq.

Ümumiyyətlə düstur nədir - təsəvvür edirik.) Arifmetik irəliləyiş, üzv sayı, irəliləyiş fərqi nədir - əvvəlki dərsdə aydın şəkildə ifadə edilmişdir. Oxumamısınızsa baxın. Orada hər şey sadədir. Nə olduğunu anlamaq qalır n-ci üzv.

Ümumilikdə irəliləyiş bir sıra nömrələr kimi yazıla bilər:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- arifmetik irəliləyişin birinci həddini bildirir; a 3- üçüncü üzv a 4- dördüncü və s. Əgər bizi beşinci dövr maraqlandırırsa, tutaq ki, işləyirik a 5, yüz iyirminci olarsa - dən 120.

Ümumiyyətlə necə müəyyənləşdirmək olar hər hansı arifmetik proqresiyanın üzvü, s hər hansı nömrə? Çox sadə! Bunun kimi:

a n

Bu budur arifmetik proqresiyanın n-ci üzvü. N hərfi altında üzvlərin bütün nömrələri bir anda gizlənir: 1, 2, 3, 4 və s.

Və belə bir rekord bizə nə verir? Düşünün, nömrə yerinə məktub yazdılar ...

Bu qeyd bizə arifmetik irəliləyişlərlə işləmək üçün güclü alət verir. Qeyddən istifadə a n, tez tapa bilərik hər hansıüzv hər hansı arifmetik irəliləyiş. Və irəliləyişlə həll ediləcək bir sıra tapşırıqlar. Daha sonra görəcəksiniz.

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturunda:

a 1- arifmetik proqresiyanın ilk üzvü;

n- üzv nömrəsi.

Formula istənilən irəliləyişin əsas parametrlərini əlaqələndirir: a n ; a 1; d Və n. Bu parametrlər ətrafında bütün bulmacalar irəliləyişlə fırlanır.

N-ci müddətli düsturdan da müəyyən irəliləyiş yazmaq üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, problemdə irəliləmənin şərtlə verildiyini söyləmək olar:

a n = 5 + (n-1) 2.

Belə bir problem hətta çaşdıra bilər ... Heç bir sıra yoxdur, heç bir fərq yoxdur ... Amma şərti düsturla müqayisə edərək, bu irəliləyişdə olduğunu başa düşmək asandır. a 1 \u003d 5 və d \u003d 2.

Və daha da qəzəbli ola bilər!) Eyni şərti götürsək: a n = 5 + (n-1) 2, bəli, mötərizələri açın və oxşarlarını verin? Yeni bir formula alırıq:

an = 3 + 2n.

Bu Yalnız ümumi deyil, müəyyən bir inkişaf üçün. Tələ buradadır. Bəzi insanlar birinci terminin üç olduğunu düşünürlər. Baxmayaraq ki, əslində birinci üzv beşdir ... Bir az aşağı, belə bir dəyişdirilmiş düsturla işləyəcəyik.

Tərəqqi üçün tapşırıqlarda başqa bir qeyd var - a n+1. Bu, təxmin etdiniz, irəliləyişin "n plus birinci" terminidir. Onun mənası sadə və zərərsizdir.) Bu, sayı n rəqəmindən birə bərabər olan irəliləyişin üzvüdür. Məsələn, əgər hansısa bir problem üçün alırıq a n sonra beşinci dövr a n+1 altıncı üzv olacaq. və s.

Çox vaxt təyinat a n+1 rekursiv düsturlarda baş verir. Bu dəhşətli sözdən qorxma!) Bu, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin terminini ifadə etmək üsuludur. əvvəlki vasitəsilə. Tutaq ki, təkrarlanan düsturdan istifadə edərək bizə bu formada arifmetik irəliləyiş verilib:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncü - üçüncü vasitəsilə, beşinci - dördüncü vasitəsilə və s. Dərhal necə saymaq olar, iyirminci müddəti deyin, a 20? Amma heç cür!) 19-cu dövr məlum olmasa da, 20-ni saymaq olmaz. Bu, rekursiv düsturla n-ci hədd düsturu arasındakı əsas fərqdir. Rekursiv yalnız vasitəsilə işləyir əvvəlki termini və n-ci həddinin düsturu - vasitəsilə birinci və imkan verir dərhal nömrəsinə görə istənilən üzvü tapın. Nömrələrin bütün seriyasını sıra ilə saymadan.

Arifmetik irəliləyişdə rekursiv düstur asanlıqla adi düstura çevrilə bilər. Ardıcıl şərtləri sayın, fərqi hesablayın d, lazım gələrsə, birinci termini tapın a 1, düsturu adi formada yazın və onunla işləyin. DİA-da belə vəzifələrə tez-tez rast gəlinir.

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturunun tətbiqi.

Əvvəlcə düsturun birbaşa tətbiqinə baxaq. Əvvəlki dərsin sonunda bir problem var idi:

Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.

Bu problemi heç bir düstur olmadan, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin mənasına əsaslanaraq həll etmək olar. Əlavə et, bəli əlavə et... Bir-iki saat.)

Və formulaya görə, həll bir dəqiqədən az vaxt aparacaq. Siz vaxt ayıra bilərsiniz.) Biz qərar veririk.

Şərtlər düsturdan istifadə üçün bütün məlumatları təqdim edir: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Nə olduğunu görmək qalır n. Problem deyil! tapmaq lazımdır a 121. Burada yazırıq:

Diqqət edin! Bir indeks əvəzinə n konkret rəqəm meydana çıxdı: 121. Bu olduqca məntiqlidir.) Bizi arifmetik proqresiyanın üzvü maraqlandırır. yüz iyirmi bir nömrə. Bu bizim olacaq n. Bu mənadır n= 121 biz mötərizədə daha sonra düsturda əvəz edəcəyik. Düsturdakı bütün rəqəmləri əvəz edin və hesablayın:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Bütün bunlar var. Necə ki, beş yüz onuncu üzvü, min üçüncü isə hər hansı birini tapmaq olar. Əvəzinə qoyuruq n hərf indeksində istədiyiniz nömrə " a" və mötərizədə və biz hesab edirik.

Mən sizə mahiyyəti xatırlatdım: bu düstur sizə tapmağa imkan verir hər hansı arifmetik irəliləyişin müddəti NÖMRƏSİ İLƏ" n" .

Problemi daha ağıllı həll edək. Deyək ki, bizdə aşağıdakı problem var:

a 17 =-2 olarsa, arifmetik irəliləyişin birinci həddi (a n) tapın; d=-0,5.

Hər hansı bir çətinlik varsa, ilk addımı təklif edəcəm. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturunu yazın! Hə hə. Əl dəftərinizə düz yazın:

İndi düsturun hərflərinə baxaraq hansı məlumatların olduğunu və nəyin çatışmadığını başa düşürük? Mövcuddur d=-0,5, on yeddinci üzv var ... Hər şey? Bütün bunlar olduğunu düşünürsənsə, problemi həll edə bilməzsən, bəli ...

Bizim də nömrəmiz var n! Vəziyyətdə a 17 =-2 gizli iki variant. Bu, həm on yeddinci üzvün (-2) qiymətidir, həm də onun sayıdır (17). Bunlar. n=17. Bu “kiçik şey” tez-tez başın üstündən sürüşüb keçir və onsuz (baş deyil, “kiçik şey” olmadan!) Problemi həll etmək mümkün deyil. Baxmayaraq ki ... və başsız da.)

İndi məlumatlarımızı düsturla sadəcə axmaqcasına əvəz edə bilərik:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Bəli, a 17-2 olduğunu bilirik. Yaxşı, onu daxil edək:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Əslində, hamısı budur. Düsturdan arifmetik irəliləyişin birinci həddini ifadə etmək və hesablamaq qalır. Cavab alırsınız: a 1 = 6.

Belə bir texnika - düsturun yazılması və sadəcə məlum məlumatları əvəz etmək - sadə tapşırıqlarda çox kömək edir. Yaxşı, əlbəttə ki, düsturdan dəyişən ifadə etməyi bacarmalısan, amma nə etməli!? Bu bacarıq olmadan riyaziyyatı heç öyrənmək mümkün deyil...

Başqa bir məşhur problem:

a 1 =2 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini (a n) tapın; a 15 =12.

Biz nə edirik? Təəccüblənəcəksiniz, düsturu biz yazırıq!)

Bildiklərimizi nəzərdən keçirək: a 1 =2; a 15 =12; və (xüsusi vurğulamaq!) n=15. Formulda əvəz etməkdən çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Gəlin hesab edək.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Bu düzgün cavabdır.

Beləliklə, tapşırıqlar a n, a 1 Və d qərar verdi. Nömrəni necə tapmağı öyrənmək qalır:

99 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 =12; d=3. Bu üzvün nömrəsini tapın.

Məlum kəmiyyətləri n-ci hədd düsturu ilə əvəz edirik:

a n = 12 + (n-1) 3

İlk baxışdan burada iki naməlum kəmiyyət var: a n və n. Amma a n sayı ilə irəliləyişin bəzi üzvüdür n... Və irəliləyişin bu üzvü biz bilirik! 99-dur. Biz onun nömrəsini bilmirik. n, ona görə də bu rəqəmi tapmaq lazımdır. Proqressiv 99-u düsturla əvəz edin:

99 = 12 + (n-1) 3

Düsturdan ifadə edirik n, düşünürük. Cavab alırıq: n=30.

İndi eyni mövzuda bir problem, lakin daha yaradıcı):

117 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub olmadığını müəyyən edin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Düsturu yenidən yazaq. Nə, seçim yoxdur? Hm... Gözlər nəyə lazımdır?) Proqresiyanın birinci üzvünü görürük? Biz görürük. Bu -3.6. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz: a 1 \u003d -3,6. Fərq d seriyasından müəyyən etmək olar? Arifmetik irəliləyişin fərqinin nə olduğunu bilsəniz, asan olar:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Bəli, biz ən sadə şeyi etdik. Naməlum bir nömrə ilə məşğul olmaq qalır n və anlaşılmaz bir rəqəm 117. Əvvəlki məsələdə ən azı irəliləyişin termini verildiyi məlum idi. Amma burada biz bunu heç bilmirik ... Necə olaq!? Yaxşı, necə olmaq, necə olmaq... Yaradıcı qabiliyyətlərinizi işə salın!)

Biz güman ki, 117, nəhayət, bizim irəliləyişimizin üzvüdür. Naməlum nömrə ilə n. Və əvvəlki problemdə olduğu kimi, gəlin bu rəqəmi tapmağa çalışaq. Bunlar. düsturunu yazırıq (bəli-bəli!)) və nömrələrimizi əvəz edirik:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yenə düsturdan ifadə edirikn, sayırıq və alırıq:

Vay! Nömrə çıxdı fraksiya! Yüz bir yarım. Proqressiyalardakı kəsr ədədləri ola bilməz. Nə nəticə çıxarırıq? Bəli! Nömrə 117 deyil inkişafımızın üzvü. 101-ci və 102-ci üzvlər arasında bir yerdədir. Nömrənin təbii olduğu ortaya çıxarsa, yəni. müsbət tam, onda ədəd tapılan ədədlə irəliləyişin üzvü olacaq. Və bizim vəziyyətimizdə problemin cavabı belə olacaq: Yox.

GIA-nın real versiyasına əsaslanan tapşırıq:

Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir:

a n \u003d -4 + 6.8n

Proqresiyanın birinci və onuncu hədlərini tapın.

Burada irəliləyiş qeyri-adi şəkildə qurulur. Bir növ düstur... Belə olur.) Ancaq bu düstur (yuxarıda yazdığım kimi) - həm də arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu! O da icazə verir Proqresiyanın istənilən üzvünü sayına görə tapın.

İlk üzvü axtarırıq. Düşünən. birinci hədisin mənfi dörd olması, ölümcül səhvdir!) Çünki məsələdəki düstur dəyişdirilib. Ondakı arifmetik irəliləyişin birinci həddi gizli. Heç nə, indi tapacağıq.)

Əvvəlki tapşırıqlarda olduğu kimi, biz əvəz edirik n=1 bu düsturla:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Budur! Birinci termin -4 deyil, 2.8-dir!

Eynilə, onuncu termini axtarırıq:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Bütün bunlar var.

İndi bu sətirləri oxuyanlar üçün vəd edilmiş bonus.)

Tutaq ki, GIA və ya Vahid Dövlət İmtahanının çətin döyüş vəziyyətində, arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün faydalı düsturunu unutmusunuz. Ağlıma bir şey gəlir, amma bir növ qeyri-müəyyən şəkildə ... İstər-istəməz n orada və ya n+1 və ya n-1... Necə olaq!?

Sakit ol! Bu formula asanlıqla əldə edilir. Çox sərt deyil, amma əminlik və düzgün qərar üçün mütləq kifayətdir!) Nəticə üçün arifmetik irəliləyişin elementar mənasını xatırlamaq və bir neçə dəqiqə vaxt ayırmaq kifayətdir. Sadəcə bir şəkil çəkmək lazımdır. Aydınlıq üçün.

Rəqəmsal bir oxu çəkirik və onun üzərində birincisini qeyd edirik. ikinci, üçüncü və s. üzvləri. Və fərqi qeyd edin düzvlər arasında. Bunun kimi:

Şəkilə baxıb fikirləşirik: ikinci termin nəyə bərabərdir? İkinci bir d:

a 2 =a 1 + 1 d

Üçüncü müddət nədir? üçüncü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir iki d.

a 3 =a 1 + 2 d

başa düşürsən? Bəzi sözləri boş yerə qalın hərflə yazmıram. Yaxşı, bir addım daha.)

Dördüncü müddət nədir? Dördüncü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir üç d.

a 4 =a 1 + 3 d

Anlamaq vaxtıdır ki, boşluqların sayı, yəni. d, Həmişə axtardığınız üzvün sayından bir az n. Yəni sayı qədər n, boşluqların sayı olacaq n-1. Beləliklə, formula belə olacaq (seçim yoxdur!):

Ümumiyyətlə, vizual şəkillər riyaziyyatda bir çox məsələlərin həllində çox kömək edir. Şəkillərə laqeyd yanaşmayın. Ancaq şəkil çəkmək çətindirsə, onda ... yalnız bir düstur!) Bundan əlavə, n-ci hədd düsturu riyaziyyatın bütün güclü arsenalını həll yolu ilə birləşdirməyə imkan verir - tənliklər, bərabərsizliklər, sistemlər və s. Şəkili bərabərliyə qoya bilməzsən...

Müstəqil qərar vermək üçün tapşırıqlar.

İstiləşmə üçün:

1. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3 tapın.

İpucu: şəklə görə problem 20 saniyəyə həll olunur... Düstura görə daha çətin çıxır. Amma düsturu mənimsəmək üçün daha faydalıdır.) 555-ci bölmədə bu məsələ həm şəkil, həm də düsturla həll olunur. Fərqi hiss edin!)

Və bu artıq istiləşmə deyil.)

2. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. 3-ü tapın.

Nə, şəkil çəkmək istəməmək?) Hələ! Daha yaxşı formula, bəli...

3. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu irəliləyişin yüz iyirmi beşinci hədini tapın.

Bu tapşırıqda gedişat təkrarlanan şəkildə verilir. Amma yüz iyirmi beşinci dövrə qədər hesabla... Hər kəs belə bir şücaət edə bilməz.) Amma n-ci hədisin düsturu hər kəsin səlahiyyətindədir!

4. Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Proqresiyanın ən kiçik müsbət üzvünün sayını tapın.

5. 4-cü tapşırığın şərtinə görə irəliləyişin ən kiçik müsbət və ən böyük mənfi üzvlərinin cəmini tapın.

6. Artan arifmetik proqresiyanın beşinci və on ikinci üzvlərinin hasili -2,5, üçüncü və on birinci hədlərin cəmi isə sıfırdır. 14 tapın.

Ən asan iş deyil, bəli ...) Burada "barmaqlarda" üsul işləməyəcək. Düsturlar yazmaq və tənlikləri həll etmək lazımdır.

Cavablar (qarışıq):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

baş verdi? gözəldir!)

Hər şey alınmır? baş verir. Yeri gəlmişkən, sonuncu tapşırıqda bir incə məqam var. Problemi oxuyarkən diqqətli olmaq tələb olunacaq. Və məntiq.

Bütün bu problemlərin həlli Bölmə 555-də ətraflı müzakirə olunur. Və dördüncü üçün fantaziya elementi və altıncı üçün incə an və n-ci müddətli düstur üçün hər hansı bir problemin həlli üçün ümumi yanaşmalar - hər şey rənglənir. Mən məsləhət görürəm.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin Məqsədləri:

• arifmetik irəliləyişdən istifadə etməklə həll olunan tapşırıqlar haqqında tələbələrin təsəvvürlərinin genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi; arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəminin düsturunu çıxararkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
• müstəqil şəkildə yeni biliklər əldə etmək, tapşırığı yerinə yetirmək üçün artıq əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarıqlarının inkişafı;
• əldə edilən faktları ümumiləşdirmək istəyi və ehtiyacının inkişafı, müstəqilliyin inkişafı.

Tapşırıqlar:

• “Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
• arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
• əldə edilmiş düsturları müxtəlif məsələlərin həllində tətbiq etməyi öyrətmək;
• tələbələrin diqqətini ədədi ifadənin qiymətini tapmaq proseduruna cəlb etmək.

Avadanlıq:

• qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
• qiymətləndirmə sənədi;
• təqdimat“Arifmetik irəliləyiş”.

I. Əsas biliklərin aktuallaşdırılması.

1. Cütlərdə müstəqil iş.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişi təyin edin. Arifmetik irəliləyişi təyin edən rekursiv düstur yazın. Arifmetik proqressiyaya misal göstərin və fərqini göstərin.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu yazın. Arifmetik irəliləyişin 100-cü həddini tapın ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman lövhənin arxasında iki tələbə eyni suallara cavab hazırlayır.
Şagirdlər partnyorun işini lövhə ilə müqayisə edərək qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqələr təhvil verilir).

2. Oyun anı.

Məşq 1.

Müəllim. Mən bəzi arifmetik irəliləyiş təsəvvür etdim. Mənə yalnız iki sual verin ki, cavablardan sonra bu irəliləyişin 7-ci üzvünü tez bir zamanda adlandıra biləsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Tələbələrin sualları.

1. Proqresiyanın altıncı müddəti nədir və fərq nədir?
2. Proqresiyanın səkkizinci müddəti nədir və fərq nədir?

Artıq suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərq) üçün "qadağa", yəni fərqin nə olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləyişin 6-cı həddi nədir və irəliləyişin 8-ci həddi nədir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 rəqəm yazılmışdır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim arxası lövhəyə söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrənin nömrəsini deyirlər, müəllim isə dərhal nömrənin özünə zəng edir. Bunu necə edə biləcəyimi izah edin?

Müəllim n-ci hədisin düsturunu xatırlayır a n \u003d 3n - 2 və n-in verilmiş qiymətlərini əvəz edərək, müvafiq dəyərləri tapır a n .

II. Təhsil tapşırığının bəyanatı.

Misir papiruslarında tapılan, eramızdan əvvəl 2-ci minilliyə aid köhnə problemi həll etməyi təklif edirəm.

Tapşırıq:“Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında bölüşdürün, hər adamla qonşusu arasındakı fərq ölçüsün 1/8-i qədərdir”.

• Bu problemin arifmetik proqressiya mövzusu ilə necə əlaqəsi var? (Hər növbəti şəxs ölçünün 1/8 hissəsini daha çox alır, buna görə də fərq d=1/8, 10 nəfərdir, yəni n=10).
• Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Proqramın bütün üzvlərinin cəmi.)
• Problemin vəziyyətinə görə arpanın bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nələri bilməlisiniz? (Tərəqqinin birinci müddəti.)

Dərsin məqsədi- proqresiyanın hədlərinin cəminin onların sayından, birinci həddən və fərqdən asılılığının əldə edilməsi və məsələnin qədim zamanlarda düzgün həll edilib-edilmədiyini yoxlamaq.

Düsturu əldə etməzdən əvvəl gəlin qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu belə həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiqat orta paylaş.
ikiqat artdı orta pay 5-ci və 6-cı şəxsin səhmlərinin cəmidir.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci şəxsin payının iki qatı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; və s., hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı alırıq:

III. Tapşırıqın həlli.

1. Qruplarda işləmək

1-ci qrup: Ardıcıl 20 natural ədədin cəmini tapın: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ümumiyyətlə

II qrup: 1-dən 100-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Qauss əfsanəsi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Nəticə:

III qrup: 1-dən 21-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Həlli: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Nəticə:

IV qrup: 1-dən 101-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Nəticə:

Baxılan məsələlərin həllinin bu üsulu “Qauss metodu” adlanır.

2. Hər qrup problemin həllini lövhədə təqdim edir.

3. İxtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1, a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bu məbləği oxşar şəkildə mübahisə edərək tapırıq:

4. Tapşırığı həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin qavranılması və məsələlərin həllində tətbiqi.

1. Köhnə məsələnin həllinin düsturla yoxlanılması.

2. Düsturun müxtəlif məsələlərin həllində tətbiqi.

3. Məsələlərin həllində düsturu tətbiq etmək bacarığının formalaşdırılması üçün tapşırıqlar.

A) 613 saylı

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tapın: S 1500

Həll: , və 1 = 1 və 1500 = 1500,

B) Verilmiş: ( və n) - arifmetik irəliləmə;
(və n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tapın: n
Həll:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer işləməyə getdi. İlk ayda onun maaşı 200 rubl idi, hər sonrakı ayda 30 rubl artdı. Bir ildə nə qədər qazandı?

Verildi :( və n) - arifmetik irəliləmə;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tapın: S 12
Həll:

Cavab: Denis il ərzində 4380 rubl aldı.

VI. Ev tapşırığı təlimatı.

1. səh 4.3 - düsturun törəməsini öyrənin.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə edərək həll olunacaq məsələni tərtib edin.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Hesab vərəqi

2. Cümlələri davam etdirin

• Bu gün dərsdə öyrəndim...
• Öyrənilmiş düsturlar...
• inanıram ki…

3. 1-dən 500-ə qədər olan ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9-cu sinif. Təhsil müəssisələri üçün dərslik. Ed. G.V. Dorofeyeva. Moskva: Maarifçilik, 2009.

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(8\); \(on bir\); \(14\)… arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləmələr deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) mənfi ədəd də ola bilər. Misal üçün, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… irəliləyiş fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən az olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləyiş qeydi

Proqressiya kiçik Latın hərfi ilə işarələnir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər ona deyilir üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin sıra ilə element nömrəsinə bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli

Prinsipcə, yuxarıda göstərilən məlumatlar arifmetik irəliləyişlə bağlı demək olar ki, hər hansı bir problemi həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə verilir. \(b_5\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişin ilk üç həddi verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə işarələnən elementin qiymətini tapın.
Həll:

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə verilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həll:

Cavab: \(d=7\).

Əhəmiyyətli Arifmetik Proqressiya Düsturları

Gördüyünüz kimi, bir çox arifmetik irəliləyiş məsələləri sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll edilə bilər - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir növbəti element əvvəlkinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir (fərq irəliləməsi).

Ancaq bəzən "alında" həll etmək çox əlverişsiz olduqda vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Nədir, biz \ (385 \) dəfə dörd əlavə edək? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaq qarışıqdır...

Buna görə də, belə hallarda, onlar "alında" həll etmirlər, ancaq arifmetik irəliləyiş üçün əldə edilən xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və birinci hədlərin \(n\) cəminin düsturudur.

\(n\)-ci üzv üçün düstur: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin ilk üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin üzvüdür.

Bu düstur bizə yalnız birinci və irəliləyiş fərqini bilməklə ən azı üç yüzüncü, hətta milyonuncu elementi tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləmə şərtlərlə verilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) son cəmlənmiş termindir;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə verilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – birinci elementlərin tələb olunan məbləği \(n\);
\(a_1\) cəmlənəcək ilk termindir;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) - cəmdəki elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin ilk \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Həll:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha çətin arifmetik irəliləyiş problemləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək mövzunu bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həll:

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə verilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-dan \(42\) element daxil olmaqla cəmini tapın.
Həll:

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün bu məqalədə praktiki faydası az olduğuna görə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.