Qatlanmış cos2x. Əsas trigonometrik düsturlar və şəxsiyyətlər günah, cos, tg, ctg. İx qrup. Tökmə düsturu

Triqonometriyanın əsas düsturları. Dərs nömrəsi 1

Triqonometriyadakı düsturların sayı olduqca böyükdür (məsələn, tgx \u003d sinx / cosx) və tipli sin2x \u003d 2sinxcosx eyni bərabərliklər deməkdir) demək istəyirik. Düsturların bolluğunu asanlaşdırmaq və tələbələri mənasız bir mikroavtobusla yorucu deyil, aralarında ən vacib olanı ayırmaq lazımdır. Onlardan çoxu - yalnız üçü var. Bu üç düsturdan başqa hər kəs izləyir. Bu, sinus və kosiniya məbləğləri və fərqlər üçün əsas trigonometrik şəxsiyyət və düsturlardır:

Sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 (1)

Günah (X ± Y) \u003d Sinxcosy ± Sinycosx (2)

COS (X ± Y) \u003d Kosxcosy ± Sinxsiny (3)

Bu üç düsturdan, sinusun və kosinanın (dövrün dövriyyəsi, dövr dövrünün dəyəri, sine 30 0 \u003d π / 6 \u003d 1/2 və s.) Məktəb proqramında bu baxımdan tamamilə bütün xüsusiyyətləri var çox rəsmi olaraq lazımsız, lazımsız məlumatlar. Beləliklə, "1-3" düsturu Triqonometrik səltənət hökumətidir. Nəticələrə müraciət edək:

1) Sinuslar və çoxsaylı künclərin kosinləri

(2) və (3) dəyərini əvəz etsək, x \u003d y

Sin2x \u003d 2sinxcosch; SIN0 \u003d SINXCOSX-SINXCOSX \u003d 0

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x; cos0 \u003d cos 2 x + sin 2 x \u003d 1

Sin0 \u003d 0 olduğunu əldə etdik. Sine və kosinanın həndəsi təfsirinə istinad etmədən Cos0 \u003d 1. Eynilə, "2-3" düsturunu iki dəfə tətbiq etmək, SIN3X üçün ifadələr gətirə bilərik; cos3x; SIN4X; Cos4x və s.

SIN3X \u003d SIN (2X + X) \u003d SIN2XCOSX + SIN2XCOSX + SINXCOS2X \u003d 2SINXCOS 2 X + SINX (COS 2 X-Sin 2 X) \u003d 2Sinx (1-Sin 2 X) + Sinx (1-2sin 2 X) \u003d 3sinx-4sin 3 X.

Tələbələr üçün tapşırıq: COS3X üçün oxşar ifadələri geri çəkin; SIN4X; cos4x.

2) Dərəcə azalma düsturları

Tərs problemi həll edərək, sinus və kosine dərəcələrini kosin və çox künclərin sinekləri ilə ifadə edir.

Məsələn: Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 2cos 2 x-1, bundan sonra: cos 2 x \u003d 1/2 + cos2x / 2

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x, bundan sonra: günah 2 x \u003d 1/2-cos2x / 2

Bu düsturlar çox tez-tez istifadə olunur. Onları daha yaxşı başa düşmək üçün sizə sol və sağ hissələrinin qrafiklərini təsvir etməyinizi məsləhət görürəm. Kosine və sinus meydanlarının kvadratları, qrafiki birbaşa "y \u003d 1/2" ətrafında "bükülmüşdür" (bu bir çox dövr üçün orta, cos 2 x və sin 2 x). Eyni zamanda, başlanğıc ilə müqayisədə (funksiyaların dövrü 2 x 2 x 2 əqli 2 f / π) ilə müqayisədə ikiqat (funksiyaların dövrü 2π / 2 \u003d π) və salınma amplituda ikiqat artır (Cos2x qarşısında 1/2) .

Tapşırıq: Express Sin 3 x; Cos 3 x; Günah 4 x; Cos 4 x kosin və çox küncdən olan sineks vasitəsilə.

3) Tökmə düsturu

Triqonometrik funksiyaların tezliyindən istifadə edərək, birinci rübdə dəyərlərə görə triqonometrik dairənin hər hansı birində dəyərlərini hesablamağa imkan verir. Orada gətirməyin düsturları "Əsas" düsturların (2-3) çox xüsusi hallar var. Məsələn: cos (x + / 2) \u003d cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 \u003d cosx * 0-sinx * 1 \u003d Sinx

Beləliklə, cos (x + / 2) \u003d sinx

Tapşırıq: Günah üçün çıxış düsturları (x + / 2); Cos (x + 3 π / 2)

4) Kosin və sinusun miqdarı və ya sinus fərqini işə və arxaya çevirmək formulaları.

Sinus üçün düsturu iki açıdan və fərqi ilə dəf etdik.

Günah (X + Y) \u003d Sinxcosy + Sinycosx (1)

Günah (X-Y) \u003d Sinxcosy-Sinycosx (2)

Bu bərabərliyin sol və sağ hissələrini hərəkət etdirir:

Günah (X + Y) + Sin (X-Y) \u003d Sinxcosy + Sinycosx + Sinxcosy -Sinycosx

Buna görə oxşar terminlər azalır, buna görə:

Günah (X + Y) + Günah (X-Y) \u003d 2SinXcosy (*)

a) Oxuda (*), sağa doğru alacağıq:

Sinxcosy \u003d 1/2 (Günah (X + Y) + Günah (X-Y)) (4)

İki küncün sineklərinin məhsulu məbləğin yarım sinusuna və bu açılar arasındakı fərqin yarısına bərabərdir.

b) Soldan sağa (*) oxuduğunuz zaman təyin etmək rahatdır:

x-y \u003d s. Buradan tapacağıq h. və w. vasitəsilə r və dən, bu iki bərabərliyin sol və sağ hissələrini qatlamaq və çıxartmaq:

x \u003d (p + c) / 2, y \u003d (r-s) / 2, (x + y) və (x-y) və (x-y) əvəzinə yeni dəyişənləri geri qaytarmaq r və dən, Mən günahuların miqdarını işlə təqdim edəcəyəm:

sINP + SINC \u003d 2SIN (P + C) / 2COS (P-C) / 2 (5)

Beləliklə, sinus üçün əsas düsturun birbaşa nəticəsi və bucaqların fərqi və fərqi iki yeni münasibət (4) və (5).

c) İndi bərabərliyin sol və sağ hissələrini qatlamaq əvəzinə (1) və (2), onları bir-birimizdən çıxartacağıq:

günah (X + Y) - Günah (X-Y) \u003d 2Sinycosx (6)

Sol tərəfdəki bu şəxsiyyəti oxuduğuna görə (4), (4) bənzər bir düstura gətirir, çünki maraqsızdır, çünki Sinusun və kosinanın əsərlərini sinusların miqdarında necə qoyacağını artıq bilirik (bax (4)). Oxumaq (6) soldan sağa, işdəki sinus fərqini çevirən bir düstur verir:

sINP - SINC \u003d 2SIN ((P-C) / 2) * COS ((P + C) / 2) (7)

Beləliklə, bir fundamental şəxsiyyətdən günah (x ± y) \u003d sinxcosy ± Sinycosx, üç yeni (4), (5), (7), (7).

Başqa bir fundamental şəxsiyyət ilə edilən oxşar işlər Cos (X ± Y) \u003d Kosxcosy ± Sinxsiny, artıq dörd yeni yola səbəb olur:

Cosxcosy \u003d ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); Cosp + COSC \u003d 2COS ((P + C) / 2) COS ((P-C) / 2);

Sinxsiny \u003d ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); CSP-COSC \u003d -2SIN ((P-C) / 2) Günah ((P + C) / 2)

Tapşırıq: İşdəki sine və kosin miqdarını çevirmək üçün:

SINX + rahat \u003d? Həll yolu: Formula çıxartmamağa çalışsanız və dərhal triqonometrik düsturların bəzi cədvəlindəki cavabı nəzərdən keçirsəniz, hazır nəticə tapa bilməyəcəksiniz. Şagirdlər başa düşməlidirlər ki, sinx + cozy \u003d ..., hər hansı bir kosin bir sine şəklində təmsil oluna bilər və əksinə, düsturların köməyi ilə təmsil oluna bilər: SINX \u003d COS (π / 2 - X), rahat \u003d günah (π / 2 - y). Buna görə: Sinx + rahat \u003d Sinx + Sin (π / 2 - Y) \u003d 2sin ((X + / 2 - Y) / 2) COS ((X - π / 2 + + + Y) / 2.

Triqonometriyanın əsas düsturları əsas trigonometrik funksiyalar arasında münasibətlər quran düsturlardır. Sine, kosine, tangent və catangenes bir çox nisbətlə bir-birinə bağlıdır. Aşağıda əsas trigonometrik düsturlar veririk və rahatlıq üçün onları nəzərdə tutulmuş məqsədlərinə görə qruplaşdırdılar. Bu düsturlardan istifadə edərək, standart trigonometriya kursundan demək olar ki, hər hansı bir işi həll edə bilərsiniz. Dərhal qeyd edirik ki, aşağıda yalnız düsturlar özləri və ayrıca məqalələrin həsr olunacağı qənaətinə gəlmir.

Triqonometriyanın əsas şəxsiyyətləri

Triqonometrik şəxsiyyətlər bir küncün sinus, kosin, tangent və küncü ilə əlaqəni digər bir funksiyanı bir funksiyanı ifadə etməyə imkan verir.

Triqonometrik şəxsiyyətlər

sin 2 a + cos 2 a \u003d 1 tg α \u003d günah α cos α, ctg α \u003d cos α α α α α α α α \u003d 1 tg 2 α α + + 1 α, ctg 2 α α, ctg 2 α α α + + + 1 \u003d 1 günah 2 α.

Bu şəxsiyyətlər birbaşa bir dairənin, sinus (günah), kosin (cos), tangent (TG) və kotangent (CTG) təriflərindən birbaşa ölçülür.

Tökmə düsturu

Aydınlaşdırma düsturları, özbaşınalı və özbaşına işləməyinizə imkan verir ki, 0-dən 90 dərəcədən dəyişən açılar ilə işləyən böyük açılarla özbaşına işləməyinizə imkan verir.

Tökmə düsturu

sin α α + 2 π z \u003d günah α, cos α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α, CTG α α α α α z \u003d ctg α z \u003d α + 2 π z \u003d - Günah, COS - α + 2 π Z \u003d cos α z \u003d α + α z \u003d - TG α z \u003d - tg α, ctg - α + α π z \u003d - ctg α Sin π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π Z \u003d - Günah α TG π 2 + α α + + + α Z \u003d - CTG α, CTG α 2 + α α α α α α + α z \u003d - TG α Sin π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + + + 2 π Z \u003d günah α TG π 2 - α + 2 π Z \u003d CTG α, CTG π 2 - α + 2 π z \u003d tg α Sin π + α + 2 π z \u003d - günah α, cos π + α + + 2 π Z \u003d - cos α α α α α α α α α α α α α α α α α π α α α α + + + + + + + z \u003d ctg α z \u003d α + 2 π z \u003d günah α, cos π - α + 2 π Z \u003d - π α Z \u003d α TG π - α α α π z \u003d - TG α, ctg π - α + 2 π z \u003d - ctg α z \u003d - ctg α Sin 3 π 2 + α α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + + 2 π Z \u003d Sin α Z \u003d α 2 + α α + α + + + + Z \u003d - CTG α, CTG 3 π 2 + α α + α α α + + z \u003d - TG α Sin 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - Günah α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

Yaranan düsturlar trigonometrik funksiyaların tezliyinin nəticəsidir.

Triqonometrik düsturlar əlavə

Triqonometriyanın əlavə düsturları bu açıların trigonometrik funksiyaları vasitəsilə bucaqların trigonometrik funksiyasını və ya fərqinin trigonometrik funksiyasını ifadə etməyə imkan verir.

Triqonometrik düsturlar əlavə

günah α α β β β · · · cos β · cos β cos ± ± ± cos · · cos α α β β α α · · Sin β cos α - β \u003d cos α · cos β + günah β · Sin α · Günah ± β \u003d TG α α TG β 1 ± TG α α α α TG β CTG α α α α \u003d - 1 ± Ctg α · Ctg β Ctg α ctg α ctg β

Əlavə düsturlarına əsasən birdən çox küncün trigonometrik düsturları əldə edilir.

Birdən çox künc düsturu: ikiqat, üçlü və s.

sin 2 α \u003d 2 · Sin α · cos α cos α cos 2 α cos 2 α α α - Günah 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \u003d 2 α \u003d 2 α TG α 1 - TG 2 α ilə TG 2 α ilə TG 2 α \u003d TG 2 α - 1 2 · C ilə TG α α - 3 α α · cos 2 α - Sin 3 α, Sin 3 α \u003d 3 Sin α - 4 Sin 3 α COS 3 α \u003d COS 3 α - 3 sin 2 α · · cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α α α α α α α α α α α α α \u003d 3 tg α - TG 3 α 1 - 3 tg 2 α α α 2 α \u003d CTG 3 α - 3 CTG α 3 CTG 2 α - 1

Yarım bucağın düsturları

Triqonometriyada yarım bucaqın düsturları ikiqat bucağın düsturlarının bir nəticəsidir və yarım bucağın və bütün bucağın kosininin əsas funksiyaları arasındakı əmsalları ifadə edir.

Yarım bucağın düsturları

günah 2 α 2 \u003d 1 - cos α 2 cos 2 α 2 \u003d 1 + cos α 2 t g 2 α 2 \u003d 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 \u003d 1 + cos α 1 - cos α 1 - cos α

Dərəcə azalma düsturları

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α \u003d 1 Sin 3 α \u003d 3 günah α - Günah 3 α 4 cos 3 α \u003d 3 cos α + + cos 3 α 4 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Tez-tez, çətin dərəcə ilə aktını hesablayarkən əlverişsizdir. Dərəcəsi azaldılması formulları birincisi arasında özbaşına böyük bir trigonometrik funksiya dərəcəsini azaltmağa imkan verir. Onların ümumi görünüşünü təqdim edirik:

Bir dərəcə azalma formulunun ümumi mənzərəsi

hətta N. üçün

sin n α \u003d c n 2 n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - K · C kn · cos ((n - 2 k) α) cos n α \u003d C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n 2 - 1 c kn · cos ((n - 2 k) α)

tək n üçün

sin n α \u003d 1 2 n - 1 σ k \u003d 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - K · c kn · Sin ((n - 2 k) α) cos n α \u003d 1 2 n - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 2 c kn · cos ((n - 2 k) α)

Trigonometrik funksiyaların məbləği və fərqi

Triqonometrik funksiyaların fərqi və cəmi məhsul kimi təmsil oluna bilər. Sinusdakı fərqin parçalanması və kosine fərqləri trigonometrik tənliklərin həllində tətbiq etmək və ifadələri sadələşdirmək üçün tətbiq etmək çox rahatdır.

Trigonometrik funksiyaların məbləği və fərqi

günah α + Sin β \u003d 2 Günah β α + β 2 · COS α - β 2 Sin α - Günah α \u003d 2 Sin α - β 2 · cos α α α 2 cos α α + β α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 günah α α α β 2 · Günah α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 günah α α α 2 · Günah β - α 2

Triqonometrik funksiyaların işi

Funksiyaların miqdarı və fərqinin düsturları məhsula getməyə imkan verirsə, onda triqonometrik funksiyaların məhsulu üçün düsturlar tərs bir keçid həyata keçirir - məhsuldan məbləğə qədər tərs bir keçid həyata keçirir. Sinuslar, kosine və sinusun cosine və sinus işlərinin düsturları nəzərdən keçirilir.

Triqonometrik funksiyaların əsərləri üçün düsturlar

günah α · Sin β \u003d 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + + β)) cos α · cos β \u003d 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) Sin α · COS β \u003d 1 2 · (Günah (α - β) + günah (α + β))

Universal Triqonometrik əvəzetmə

Bütün əsas trigonometrik funksiyalar sinus, kosin, tangent və kostyum, yarım künc tangent vasitəsilə ifadə edilə bilər.

Universal Triqonometrik əvəzetmə

günah α \u003d 2 TG α 2 1 + TG 2 α 2 α 2 α 2 α 2 α 2 1 + TG 2 α 2 α 2 α 2 TG α \u003d 2 TG α 2 1 - TG 2 α 2 CTG α \u003d 1 - TG 2 α 2 2 tg α 2

Mətndə bir səhv görsəniz, xahiş edirəm seçin və Ctrl + Enter düyməsini basın

Triqonometriyada düsturlar çoxdur.

Unutmayın ki, mexaniki olaraq çox çətin, demək olar ki, mümkün deyil. Sinifdə bir çox məktəblilər və tələbələr dərsliklər və noutbuklar, noutbukların, kralların, beşikdə plakatlar, nəhayət plakatlar üzərində izlərdən zövq alırlar. İmtahanda necə olmaq olar?

Ancaq bu düsturlara bir nəzər salsan, bunların hamısı bir-birinə bağlıdır və müəyyən bir simmetriya var. Həqiqətən ürəkdən öyrənməyə dəyər olan minimumunu müəyyən etmək üçün trigonometrik funksiyaların tərifləri və xüsusiyyətlərini nəzərə alsaq, onları təhlil edək.

Mən qrup. Böyük şəxsiyyətlər

günah 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ Sinα cosα; Ctgα \u003d. ____ cosα sinα. ;

tgα · ctgα \u003d 1;

1 + TG 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 günah 2 α.

Bu qrup ən sadə və ən populyar düsturları ehtiva edir. Əksər tələbələr onları tanıyırlar. Ancaq hələ də çətinliklər varsa, onda ilk üç düsturu xatırlamaq üçün, zehni olaraq bir hipotenuklear bərabər olan düzbucaqlı üçbucağı təsəvvür edin. Sonra onun kartetsləri, müvafiq olaraq sinin (əks catech-in hipotenuse nisbətini) və kosinini təyin etmək üçün (hipotenuse) və Cosα-nu (hipotenuse üçün hipotenusun nisbətini) müəyyənləşdirmək üçün bir şəkildə, müvafiq olaraq, Sinα olacaqdır.

Birinci düstur, bu üçbucaq üçün Pifaqor teoremidir - katletlərin meydanlarının cəmi hipotenusun meydanına bərabərdir (1 2 \u003d 1), ikinci və üçüncüsü tangentin tərifləridir (nisbəti) əksinə qonşuya uyğun) və katangen (qonşu kateqoriyanın əksinə nisbəti).
Kotangenesdə tangentin işi 1-dir, çünki bir fraksiya şəklində qeydə alınan katangent (forma üçüncü) ters çevrilmiş bir tangentdir (ikinci düstur). Son baxış, yola görə, düsturlar arasından, KoTangent ilə bütün sonrakı formulaları yadda saxlamağı zəruridir. Hər hansı bir çətin işdə CTGα qarşılaşacaqsınızsa, onu bir hissə ilə əvəz edin ___ 1 tgα. Və tangent üçün düsturlardan istifadə edin.

Son iki düsturda əzbərlənə bilməz. Daha az yaygındırlar. Və ehtiyacınız varsa, həmişə onları yenidən layihədə geri ala bilərsiniz. Bunu etmək üçün, bir fraksiya (dörddə üçü, müvafiq olaraq) bir fraksiya (dörddə üçü, müvafiq olaraq) və ifadəsini general məxrəcinə aparan bir şəkildə əvəz etmək və ya tərifləri əvəzinə əvəz etmək kifayətdir. Ancaq xatırlamaq vacibdir ki, tangent və kosine meydanlarını bağlayan bu cür düsturlar və kotangens və sinus meydanları var. Əks təqdirdə müəyyən bir işi həll etmək üçün hansı dönüşümlərin lazım olduğunu təxmin edə bilməzsiniz.

II qrup. Düsturlar əlavə

günah (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · Sinβ;

günah (α - β) \u003d Sinα · Cosβ - cosα · Sinβ;

cOS (α + β) \u003d cosα · Cosβ - Sinα · Sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · Sinβ;

tG (α + β) \u003d TGα + TGβ _________ 1 - TGα · TGβ;

tG (α - β) \u003d

Trigonometrik funksiyaların paritet / qəribliyinin düzgünlüyünü xatırlayın:

günah (-α) \u003d - Günah (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α).

Bütün trigonometrik funksiyalardan yalnız kosin bir funksiyadır və mübahisə işarəsi (bucağı) dəyişdirildikdə işarəsini dəyişdirmir, qalan funksiyalar təkdir. Funksiyanın düzgünlüyü, əslində mənfi işarənin edilə biləcəyi və funksiya işarəsini söndürə bilməsi deməkdir. Buna görə, iki açı fərqi olan bir trigonometrik ifadə ilə qarşılaşsanız, həmişə bunu müsbət və mənfi bucaqların cəmi kimi başa düşə bilərsiniz.

Misal üçün, günah ( x. - 30º) \u003d günah ( x. + (-30º)).
Sonrakı, iki cəhətin formulu cəmindən istifadə edirik və işarələrlə məşğul oluruq:
günah ( x. + (-30º)) \u003d günah x.· COS (-30º) + cos x.· Sin (-30º) \u003d
\u003d Günah etmək x.· COS30º - COS x.· Sin30º.

Beləliklə, açıların fərqini ehtiva edən bütün düsturlar sadəcə ilk yadda saxlanıla bilər. Sonra onları ümumiyyətlə, layihədə, sonra da əqli olaraq bərpa etməyi öyrənməlisiniz.

Məsələn, TG (α - β) \u003d TG (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-β) ___________ 1 - TGα · TG (-β) = TGα - TGβ _________ 1 + TGα · TGβ.

Bu, trigonometriyanın bir vəzifəsini həll etmək üçün hansı dəyişikliklərin tətbiq olunmasının lazım olduğunu təxmin etmək üçün daha da daha sürətli kömək edəcəkdir.

Sh qrupu. Çox arqumentin düsturları

sIN2α \u003d 2 · Sinα · Cosα;

cOS2α \u003d cos 2 α - Günah 2 α;

tG2α \u003d. 2tgα _______ 1 - TG 2 α;

sIN3α \u003d 3sinα - 4sin 3 α;

cOS3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα.

Sine və ikiqat bucaq üçün düsturlardan istifadə etmək ehtiyacı çox tez-tez, tangent üçün də olur. Bu düsturlar ürəklə tanınmalıdır. Üstəlik, əzbərləmələrində heç bir çətinlik yoxdur. Birincisi, düsturlar qısa. İkincisi, onlar 2α \u003d α α α α olduğuna görə əvvəlki qrupun düsturları tərəfindən asanlıqla idarə olunur.
Misal üçün:
Günah (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · Sinβ;
Günah (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · Sinα;
SIN2α \u003d 2sinα · cosα.

Bununla birlikdə, bu düsturaları daha sürətli öyrənmisinizsə və əvvəlkiləri deyil, əksinə hərəkət edə bilərsiniz: ikiqat bucaq üçün müvafiq formula görə iki açıların cəminin cəmini xatırlamaq.

Məsələn, iki açı cəminin cosine formulasına ehtiyacınız varsa:
1) İkiqat künc kosin formulunu xatırlayın: cOS2. x. \u003d Cos 2. x. - Günah 2. x.;
2) Uzun boyayırıq: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.· COS. x. - günah x.· Günah x.;
3) birini əvəz edin h. Α, ikincisi β: cOS (α + β) \u003d cosα · Cosβ - Sinα · Sinβ.

Sine cəm və tangent məbləği üçün düsturları bərpa etmək üçün oxşar şəkildə təkrarlayın. Ege kimi məsuliyyətli hallarda, tanınmış birinci rübdə azaldılmış düsturların dəqiqliyini yoxlayın: 0º, 30º, 45º, 90º, 90º.

Əvvəlki düsturu yoxlamaq (3-cü sətirdə dəyişdirmə yolu ilə əldə edilir):
ol α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
sonra cOS (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
Düsturdakı dəyərləri əvəz edirik: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, səhvlər aşkar edilmir.

Üçüncü bir bucaq üçün düsturlar, mənim fikrimcə, "alət" üçün lazım deyil. Ege imtahanlarında nadir hallarda rast gəlinir. Onlar asanlıqla daha yüksək olan düsturlardan əldə edilir sin3α \u003d günah (2α + α). Nədənsə bu düsturaları hələ də ürəkdən öyrənməli olan tələbələr, bəzi "simmetriyasına" diqqət yetirməyi və düsturların özlərini, lakin mnemonic qaydalarını unutmamağı məsləhət görürəm. Məsələn, nömrələrin iki düsturda yerləşdiyi sifariş "334333433" və s.

IV qrup. Məbləğ / fərq -

sinα + sinβ \u003d 2 · Günah α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

sinα - Sinβ \u003d 2 · Günah α - β ____ 2· COS. α + β ____ 2 ;

cOSα + COSβ \u003d 2 · COS α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

cOSα - COSβ \u003d -2 · Günah α - β ____ 2· Günah α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d günah (α + β) ________ cosα · cosβ ;

tGα - TGβ \u003d günah (α - β) ________ cosα · cosβ .

Sinus və Tangent funksiyalarının dəqiqliyindən istifadə: günah (-α) \u003d - Günah (α); TG (-α) \u003d - TG (α),
Onların məbləğləri üçün düsturları azaltmaq üçün iki funksiyanın fərqləri üçün formulalar üçün formulyasiya edə bilərsiniz. Misal üçün,

sIN90º - SIN30º \u003d SIN90º + SIN (-30º) \u003d 2 · Günah 90º + (-30º) __________ 2· COS. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · Sin30º · Cos60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Beləliklə, sinusların və tangentlərin fərqinin düsturları mütləq dərhal yadda saxlamır.
Cosine məbləği və arzusu ilə vəziyyət daha mürəkkəbdir. Bu düsturlar bir-birini əvəz edə bilməz. Yenə də, kosinin paritetindən istifadə edərək aşağıdakı qaydaları xatırlaya bilərsiniz.

COSα + Cosβ miqdarı bucaq əlamətlərindəki hər hansı bir dəyişiklik üçün işarəsini dəyişdirə bilməz, buna görə məhsul da hətta funksiyalardan ibarət olmalıdır, yəni. İki kosin.

COSα - Cosβ fərq işarəsi funksiyaların dəyərlərindən asılıdır, bu da iş nişanının bucaqların korrelyasiyasından asılı olması deməkdir, buna görə məhsul tək funksiyalardan ibarət olmalıdır, yəni I.E. iki sinin.

Buna baxmayaraq, bu qrup düsturlar yadda saxlamaq ən asan deyil. Bu, kəskinləşdirmək daha yaxşı olanda, ancaq daha çox yoxlamaqdır. Müəyyən bir imtahandakı düsturda səhvlərin qarşısını almaq üçün əvvəlcə layihədə qeyd etməyinizə və iki yolla yoxlamağınızdan əmin olun. İlk əvəzedicilər β \u003d α və β \u003d -α, sonra sadə açılar üçün funksiyaların məlum dəyərləri ilə. Bunu etmək üçün, yuxarıda göstərilən nümunədə, çünki bu dəyərlərin yarısı və çöküntüləri, çünki bu dəyərlərin yarısı və çöküntüləri olan bu dəyərlər, çünki bu dəyərlər və bu dəyərlər üçün kimin şəxsiyyətə necə çevrildiyini asanlıqla görə bilərsiniz düzgün seçim. Və ya əksinə, səhv edirsinizsə, icra olunmur.

Misalformula cosα - cosβ \u003d 2 · Günah α - β ____ 2· Günah α + β ____ 2 Cosines fərqi üçün səhvlə !

1) β \u003d α, sonra cosα - cosα \u003d 2 · günah α - α _____ 2· Günah α + α _____ 2 \u003d 2Sin0 · Sinα \u003d 0 · Sinα \u003d 0. Cosα - COSα ≡ 0.

2) β \u003d - α, sonra cosα - cos (- α) \u003d 2 · günah α - (-α) _______ 2· Günah α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα · Sin0 \u003d 0 · Sinα \u003d 0. COSα - COS (- α) \u003d COSα - COSα ≡ 0.

Bu çeklər düsturdakı funksiyaların düzgün istifadə olunduğunu, lakin şəxsiyyətin 0 ≡ 0 tipini əldə etməsi ilə əlaqədar bir işarə və ya əmsal olan bir səhv olduğu üçün göstərildi. Üçüncü bir çek edirik.

3) α \u003d 90º, β \u003d 30º, sonra Cos90º - Cos30º \u003d 2 · Günah 90º - 30º ________ 2· Günah 90º + 30º ________ 2 \u003d 2Sin30º · Sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3) _ /2) = √3_ /2.

cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Səhv həqiqətən işarə və yalnız işdən əvvəl işarədə idi.

V bant. İş - miqdarı / fərqində

sinα · Sinβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα · Cosβ \u003d 1 _ 2 · (Günah (α - β) + günah (α + β)).

Formulaların beşinci qrupunun adı özü bu düsturların əvvəlki qrupa münasibətdə tərs olduğunu göstərir. Aydındır ki, bu vəziyyətdə "başında sıyıq" yaratmaq riskini artırmaq riskini artırmaqdan daha çox, layihədəki düsturu bərpa etmək daha asandır. Düsturun daha sürətli bərpası üçün fokuslanmağı məna verən yeganə şey, bunlar aşağıdakı bərabərliklərdir (yoxlayın):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Nəzərə almaq misal: Sin5 çevirmək lazımdır x.· COS3. x. iki trigonometrik funksiyanın cəmində.
İşdə Sinus və kosin, sonra əvvəlki qrupdan artıq öyrənilmiş sinusların miqdarı üçün düsturdan götürürük və layihəyə yazırıq.

sinα + sinβ \u003d 2 · Günah α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2

Qoy 5. x. = α + β ____ 2 və 3. x. = α - β ____ 2 , sonra α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Dəyişən və dəyişənlər, dəyişənlər vasitəsilə dilə gətirilən bucaqların dəyərləri ilə dilə gətirilən bucaqların dəyərləri layihəsindəki düsturda əvəz edirik x..
Almaq sIN8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.

Hər iki ədalət hissəsini 2 üçün bölür və finala sağa sola yazırıq sin5 x.· COS3. x. = 1 _ 2 (SIN8. x. + SIN2. x.). Cavab hazırdır.

Vi qrup. Dərəcə azalma düsturları

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

günah 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosα + cos3α ____________ 4;

günah 3 α \u003d 3sinα - sin3α ____________ 4.

Bu qrupun ilk iki düsturu çox zəruridir. Tez-tez bir imtahan səviyyəsi də daxil olmaqla, trigonometrik tənliklərin həlli, habelə trigonometrik tipin elementar funksiyalarını özündə cəmləşdirən inteqralları hesablayarkən.

Aşağıdakı "bir hekayə" formada onları xatırlamaq daha asan ola bilər
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 Sin 2 α \u003d 1 - COS2α,
Həmişə 2 və ya qaralama bölüşdürə bilərsiniz.

İmtahanlarda aşağıdakı iki düsturdan (kublar olan funksiyalarla) istifadə etmək ehtiyacı daha az yaygındır. Başqa bir vəziyyətdə, həmişə qaralama istifadə etməyə vaxtınız olacaq. Aşağıdakı seçimlər mümkündür:
1) III qrupun son iki düsturunu xatırlayırsınızsa, onlardan sonra 3 α və cos 3 α sadə çevrilmə ilə onlardan istifadə edin.
2) Bu qrupun son iki düsturunda, onların əzbərləməsinə töhfə verən simmetriya elementlərini gördünüzsə, layihədəki düsturların eskizlərini yazın və əsas künclərin dəyərləri ilə yoxlayın.
3) Bundan əlavə, bu cür dərəcədə azalma düsturları mövcuddursa, onlar haqqında heç bir şey bilmirsinizsə, bu, günahın 3 α \u003d günah 2 α · · · Sinα və digər öyrənilən düsturlar olmasına əsaslanaraq mərhələlərdə problemi həll edin. Meydana və miqdarda işin dəyişdirilməsi üçün düstur üçün dərəcəsi azaldılması formulları.

VII qrup. Yarımqat

günah. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

cos. α _ 2. = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα._____

Dərsliklərdə və istinad kitablarında təqdim olunduğu formada bu formulların ürəyinin əzbərlədiyi nöqtəni görmürəm. Bunu başa düşsən α 2α yarısıdır, Bu, dərəcə endirmək üçün ilk iki düstura əsaslanan yarım arqumentin arzu olunan formulunu tez bir zamanda əldə etmək üçün kifayətdir.

Bu, eyni zamanda, sinus üçün ifadəni kosin üçün müvafiq ifadəyə bölməklə əldə edilən bir yarı bucaq tangentinə aiddir.

Bir işarə qoymaq üçün kvadrat kökü çıxararkən yalnız unutma ± .

VIII qrupu. Universal əvəzetmə

sinα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);

cosα \u003d 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).

Bu düsturlar hər növ trigonometrik vəzifələrin həlli üçün son dərəcə faydalı ola bilər. "Bir arqumentin bir funksiyasıdır" prinsipini dərk edə bilən dəyişənləri cəbr etmək üçün mürəkkəb triqonometrik ifadələri dəyişdirməyə imkan verir. Təəccüblü deyil ki, bu əvəzetmə universal deyilir.
İlk iki düstur lazım olmalıdır. Üçüncüsü, ilk ikisini bir-birinə tgα tangent təyin edərək bölməklə əldə etmək olar \u003d sinα ___ cosα.

İx qrup. İddia formulaları.

X Qrup. Əsas künclər üçün dəyərlər.

Buna görə də edin çıxış: Formulalar trigonometriyasını bilmək lazımdır. Daha böyük, daha yaxşıdır. Ancaq vaxtınızı və səyinizi nə xərcləmək üçün - düsturları əzbərləmək və ya vəzifələri həll etmək prosesində bərpa etmək üçün hər kəs müstəqil şəkildə həll edilməlidir.

Triqonometriya düsturlarından istifadə etmək vəzifəsi

İki fərqli funksiyanızın günah () və cos () və dördümüz var! Fərqli arqumentlər 5. x., 3x., 8x. və 6. x.. İlkin dəyişikliklər olmadan, trigonometrik tənliklərin ən sadə növlərini azaltmaq mümkün olmayacaqdır. Buna görə, əvvəlcə işləri və funksiyaların fərqi və fərqi ilə əvəz etməyə çalışırıq.
Yuxarıdakı nümunədəki kimi eyni şəkildə edirik (Bölmə).

günah (5. x. + 3x.) + günah (5) x. − 3x.) \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.
SIN8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.

günah (8. x. + 6x.) + günah (8) x. − 6x.) \u003d 2 · Sin8 x.· COS6. x.
SIN14. x. + SIN2. x. \u003d 2 · Sin8 x.· COS6. x.

Bu bərabərliklərdən işi ifadə edərək, onları tənliyə əvəz edirik. Alırıq:

(SIN8. x. + SIN2. x.) / 2 - (SIN14) x. + SIN2. x.)/2 = 0.

Tənliyin hər iki hissəsindən 2-i çoxalayırıq, mötərizəni aşkar edir və bu cür üzvlər veririk

SIN8. x. + SIN2. x. - SIN14. x. - SIN2. x. = 0;
SIN8. x. - SIN14. x. = 0.

Tənlik əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırıldı, ancaq bu qədər sin8 həll etmək x. \u003d Sin14. x., buna görə 8. x. = 14x. + T, burada t - dövr səhvdir, çünki bu dövrün dəyərini bilmirik. Buna görə də, hər hansı bir ifadədə çarpanları müqayisə etmək asandır, 0-a dəyər olan bərabərliyin düzgün hissəsində istifadə edirik.
SIN8-ni parçalamaq x. - SIN14. x. Çarpanlar üçün, fərqdən iş üçün getmək lazımdır. Bunu etmək üçün, sinus fərqi formulundan və ya yenidən sinusların formulu cəmindən və sinus funksiyasının fədakarlığını istifadə edə bilərsiniz (Bölmədə nümunəyə bax).

sIN8. x. - SIN14. x. \u003d sin8. x. + günah (-14) x.) \u003d 2 · Günah 8x. + (−14x.) __________ 2 · COS. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d günah (-3) x.) · Cos11 x. \u003d -Sin3 x.· Cos11 x..

Beləliklə, sinir tənliyi x. - SIN14. x. \u003d 0 SIN3 tənliyinə bərabərdir x.· Cos11 x. \u003d 0, öz növbəsində, iki sadə SIN3 tənliyinin birləşməsinə bərabərdir x. \u003d 0 və cos11 x. \u003d 0. Sonuncunu həll etmək, iki sıra cavab alırıq
x. 1 \u003d π. n./3, n.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.

Bir səhv və ya mətndə tipik bir şey aşkar etmisinizsə, e-poçt ünvanına məlumat verin [E-poçt qorunur] . Çox minnətdaram.

Diqqət, ©. riyaziyyatçı.. Digər saytlarda materialların birbaşa kopyalanması qadağandır. Links qoyun.