Formula Labrender onlayn olaraq törəmə. İki funksiyanın işinin n-ci törəməsi üçün Formula Leibniz. Müəyyən bir inteqralda dəyişənləri əvəz etmək
İşin mətni şəkillər və düsturlar olmadan yerləşdirilmişdir.
İşin tam versiyası PDF formatında "iş faylları" sekmesinde mövcuddur
"Mən də mənə, Binin Newton!»
"Master və Margarita" romanından
"Paskalın üçbucağı o qədər sadədir ki, hətta on yaşlı uşağın da yaza biləcəyi. Eyni zamanda, o, tükənməz xəzinələr ödəyir və ilk baxışdan heç bir iş görməyən riyaziyyatın müxtəlif aspektlərini bağlayır. Bu cür qeyri-adi xüsusiyyətlər Paskal üçbucağını bütün riyaziyyatdakı ən zərif sxemlərdən biri hesab etməyə imkan verir "
Martin Gardner.
İşin məqsədi: Qısaldılmış vurma formulunu ümumiləşdirmək üçün onların problemlərini həll etmək üçün tətbiqlərini göstərin.
Tapşırıqlar:
1) bu məsələ ilə bağlı məlumatları araşdırmaq və sistemləşdirmək;
2) Newton Binomanın istifadəsi və dərəcə miqdarı və fərqlərin düsturlarından istifadə üçün tapşırıqların nümunələrini sökün.
Tədqiqat obyektləri: Binin Newton, dərəcənin miqdarı və fərqinin düsturu.
Tədqiqat metodları:
Təhsil və populyar ədəbiyyat, internet resursları ilə işləyin.
Hesablamalar, müqayisə, analiz, bənzətmə.
Uyğunluq.Bir insan tez-tez bəzi maddələrin yerləşdirilməsi və ya bəzi hərəkətləri həyata keçirmək üçün mümkün olan bütün metodların sayını hesablamalı olduğunuz tapşırıqlarla məşğul olmalıdır. Fərqli yollar və ya bir insanı seçməli olduğunuz seçimlər müxtəlif birləşmələrə qatlanmışdır. Kombinatorika adlanan riyaziyyatın bütün hissəsi suallara cavab axtarır: bir və ya digərində neçə birləşmə var.
Kombinatorlar bir çox ixtisaslarla məşğul olmalıdırlar: Kimya alimi, bioloq, inşaatçı, dispetçer və s.
Giriş
Həmsöhbətin qarşılaşdığı vəzifələrin mürəkkəbliyini şişirtdiyini vurğulamaq istədikdə, "Mənə, Binin Newton!" De, burada Bin Nudon, çətindir və hansı problemləriniz var! Maraqları Riyaziyyatla əlaqəli olmayan insanlar da Nyutonun biinoması haqqında eşidildi.
"Bin" sözü Biccoon, I.E. deməkdir. İki termin cəmi. Dərs ilindən etibarən qısaldılmış vurma sözləri məlumdur:
( amma + b) 2 \u003d A. 2 + 2ab + b 2 , (A + b) 3 \u003d A. 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + B. 3 .
Bu düsturların ümumiləşdirilməsi Nyutonun Binomin Formulu adlı bir formuladır. Məktəbdə və kvadrat fərqlərin, miqdarı və kubların fərqləri olan multiplijerlər haqqında məktəb və düsturlar parçalanması. Digər dərəcələr üçün ümumiləşdirmə varmı? Bəli, bu cür düsturlar var, onlar tez-tez müxtəlif vəzifələri həll etməkdə istifadə olunur: bölünmənin sübutu, fraksiyaların azaldılması, təxmini hesablamalar.
Ümumiləşdirilmiş düsturların tədqiqi deduktiv-riyazi düşüncə və ümumi düşünmə qabiliyyətlərini inkişaf etdirir.
Bölmə 1. Newton Binoma Formulu
Birləşmələr və onların xüsusiyyətləri
X elementlərindən ibarət bir dəst ola bilər. K set x-nin hər hansı bir alt hissəsi, K elementləri olan X-nin, k elementlərinin birləşməsi deyil, k ≤ n.
N-dən K elementlərinin fərqli birləşmələrinin sayı N k ilə işarələnmişdir. Kombinatoriya üçün ən vacib düsturlardan biri N K ilə nömrənin aşağıdakı formuludur:
Göründüyü kimi açıq sancarlardan sonra qeyd edilə bilər:
Xüsusilə,
Bu, Sınmış X-də, 0 elementin yalnız bir alt hissəsinin - boş bir alt hissə olduğuna uyğundur.
C n k nömrələri bir sıra gözəl xüsusiyyətlərə malikdir.
Formula n k \u003d ilə n - k n ilə etibarlıdır (3)
Formulanın (3) mənası budur ki, X-dən olan bütün K-membran alt alt hissəsi və bütün (n - k) dəstləri arasında olan birmənalı birmənalı yazışmalar var. Hər K-üzvü olan alt y-a əlavə X-də.
Formula C 0 N + C 1 N + C 2 N + ... + N N \u003d 2 N (4) ilə
Sol tərəfdə dayanan məbləğ, set x-nin bütün alt hissələrinin sayını ifadə edir (C 0 n 0 üzvlü alt növlərin sayıdır, C 1 N tək alt hissələrin sayı və s.).
Hər hansı bir K, 1≤ K≤ n ilə bərabərlik ədalətlidir
C k n \u003d c n -1 k + c n -1 k -1 (5)
Bu bərabərliyi formula (1) köməyi ilə əldə etmək asandır. Həqiqətən,
1.2. Binomanın Newton Formula çıxışı
Sıçrayış dərəcələrini nəzərdən keçirək A +.b. .
n \u003d 0, (a +)b. ) 0 = 1
n \u003d 1, (a +)b. ) 1 \u003d 1a + 1b.
n \u003d 2,(A +.b. ) 2 \u003d 1a. 2 + 2a.b. +1 b. 2
n \u003d 3,(A +.b. ) 3 \u003d 1 A. 3 + 3a. 2 b. + 3a.b. 2 +1 b. 3
n \u003d 4,(A +.b. ) 4 \u003d 1a. 4 + 4a. 3 b. + 6a. 2 b. 2 + 4a.b. 3 +1 b. 4
n \u003d 5,(A +.b. ) 5 = 1a. 5 + 5a. 4 b. + 10a. 3 b. 2 + 10a. 2 b. 3 + 5a.b. 4 + 1 b. 5
Aşağıdakı monomerities qeyd edin:
Yaranan polinomiya üzvlərinin sayının sayı Binomanın dərəcəsinin göstəricisindən daha böyükdür;
İlk müddətin dərəcəsinin göstəricisi N-dən 0-a qədər azalır, ikinci müddətin dərəcəsinin göstəricisi 0-dan n-ə qədər artır;
Bütün tək panellərin dərəcələri vəziyyətində sıçrayan dərəcəsinə bərabərdir;
Hər bir qanad, müxtəlif dərəcələrdə və bir sıra bir sıra birinci və ikinci ifadənin məhsuludur - bitomin əmsalı;
Parçalanmanın əvvəlinə və sonuna bərabər olan binomal əmsalları bərabərdir.
Bu düsturların ümumiləşdirilməsi Nyutonun Binomin Formulu adlı aşağıdakı formuladır:
(a. + b. ) n. = C. 0 n. a. n. b. 0 + C. 1 n. a. n. -1 b. + C. 2 n. a. n. -2 b. 2 + ... + C. n. -1 n. abqırmaq n. -1 + C. n. n. a. 0 b. n. . (6)
Bu düsturda n. Bəlkə hər hansı bir təbii nömrə.
Formula (6) əldə edirik. Əvvəlcə yazırıq:
(a. + b. ) n. = (a. + b. )(a. + b. ) ... (a. + b. ), (7)
dəyişən mötərizələrin sayı bərabərdir n.. Məbləğdə olan məbləğin adi bir şəkildə çoxalma qaydasından ifadəin (7) hər cür işlərin cəminə bərabər olduğunu göstərir, bunlar aşağıdakı kimi ola bilər: hər kəsin xülasəsi a + B. hər kəsin ikinci məbləğində çoxaldı a + B., hər kəsin üçüncü məbləği və s.
Üçün ifadə müddəti olan şeydən (a. + b. ) n. Məktublardan ibarət N-nin (qarşılıqlı birmənalı) ipləri a və b. Komponentlər arasında belə üzvlərə cavab veriləcək; Aydındır ki, bu cür üzvlər eyni sayda məktubu olan iplərə uyğundur. amma. Ancaq tam K dəfə məktubu olan xətlərin sayı ammaEyni dərəcədə n k ilə. Məktubu ehtiva edən bütün üzvlərin və çarpanın cəminin tam k dəfə, n k-ə bərabərdir a. n. - k. b. k. . K, 1, 1, 2, ..., n - 1, n, sonra formula (6) dəyərləri əldə edə bilmədiyi üçün (6) arqumentimizdən sonra. Qeyd edək ki (6) Qısa rekord edə bilərsiniz: (8)
Formula (6) Nyutonun adı adlanır, əslində Nyutondan əvvəl ortaya çıxdı (məsələn, Paskal bunu bilir). Newtonun ləyaqəti budur ki, bütün göstəricilər olmasa bu düsturun ümumiləşdirilməsidir. 1664-1665-ci illərdə i.nyutondur. O, ixtiyari fraksiya və mənfi göstəricilər üçün bükülmüş düsturu gətirdi.
Formula (6) daxil olan c 0 n, c 1 n, c 1 n, c 1 n, C n N, aşağıdakı kimi müəyyən edilmiş binomial əmsallar deyilir:
Formula (6), bu əmsalların bir sıra xüsusiyyətlərini əldə edə bilərsiniz. Məsələn, inanırdı amma \u003d 1, b \u003d 1, alırıq:
2 n \u003d c 0 n + c 1 n + c 2 n + c 3 n + ... + c n N,
bunlar. Formula (4). Qoyulursa amma \u003d 1, b \u003d -1, sonra:
0 \u003d C 0 n - c 1 n + c 2 n - c 3 n + ... + (-1) n c n c n c
və ya 0 n + c 2 n + c 4 n + ... \u003d c 1 n + c 3 n + + c 5 n + ...
Bu o deməkdir ki, aktiv parçalanma üzvlərinin əmsallarının məbləğinin tək parçalanma üzvləri əmsallarının cəminin cəminə bərabərdir; Onların hər biri 2 N -1-dir.
Parçalanmanın uclarından bərabər olan üzvlərin əmsalları bərabərdir. Bu xassələr əlaqədən irəli gəlir: n k \u003d ilə n n - k ilə
Şəxsi bir iddia
(x + 1) n \u003d c 0 n x n + c 1 n x n x N-1 + ... + C k n X N - K + ... + C N N X 0
və ya qısa müddətdə (x +1) n \u003d σc n k x n - k.
1.3. Polinomial teorem.
Teorem.
Dəlil.
Beləliklə, açıqlanmadan sonra mötərizələr səssiz olduğu ortaya çıxdı, götürülən bu mötərizələri, alınan mötərizələri seçməlisiniz və s. Və götürülən mötərizələr. Eyni zamanda əmsal, belə üzvlər gətirdikdən sonra, belə bir seçimin həyata keçirilməsinin sayına bərabərdir. Seçki ardıcıllığının ilk addımı metodlarla, ikinci addım -, üçüncüsü - və s., - yollarındakı addımlarla həyata keçirilə bilər. İstədiyiniz əmsal işə bərabərdir
Bölmə 2. Daha yüksək sifarişlərin törəmələri.
Daha yüksək sifarişlərin törəmələri anlayışı.
Funksiya bəzi intervalda fərqləndirsin. Sonra onun törəməsi ümumiyyətlə danışır, asılıdır h.yəni bir funksiya h.. Nəticə etibarilə, bununla əlaqədar olaraq törəmənin mövcudluğu məsələsini qaldırmaq mümkündür.
Tərif . Birinci törəmənin törəməsi adlanır ikinci dərəcəli törəmə və ya ikinci bir törəmə və simvol tərəfindən göstərilmişdir və ya bu,
Tərif . İkinci törəmənin törəməsi üçüncü dərəcəli törəmə və ya üçüncü bir törəmə və ya simvol tərəfindən göstərilmişdir və ya göstərilir.
Tərif . Törəmən. əmrfunksiyalar törəmənin ilk törəməsini çağırdı (n. -1) - bu funksiyanın sifarişi və simvol və ya:
Tərif . Birincilərdən yuxarı sifariş əmri verildi ən yüksək törəmələr.
Şərh. Eynilə, bir düstur ala bilərsiniz n. Törəmə funksiyası:
Parametrik olaraq göstərilən funksiyanın ikinci törəməsi
Funksiya parametrik tənliklər tərəfindən qurulursa, ilk törəmə terciativi, müstəqil dəyişənin mürəkkəb bir funksiyası olaraq ikinci dərəcəli törəməni tapmaq üçün ifadədən istifadə etmək lazımdır.
O vaxtdan bəri
və bunun həqiqəti nəzərə alaraq
Alırıq, yəni.
Eynilə, üçüncü törəməni tapa bilərsiniz.
Diferensial məbləğ, iş və özəl.
Diferensial müstəqil dəyişkən bir vurma törəməsindən əldə edildiyi üçün, əsas ibtidai funksiyaların törəmələrini, habelə törəmələri tapmaq qaydalarını bildirmək, differensial tapmaq üçün eyni qaydalara gəlmək üçün eyni qaydalara gəlmək olar.
1 0 . Diferensial Daimi sıfırdır.
2 0 . Finifyasiyanın cəbrlərin cəbrlərinin fərqliliyi bu funksiyaların analizinin cəbrinin miqdarına bərabərdir .
3 0 . İki fərqli funksiyanın işinin fərqi ilk funksiyasının birinci funksiyasının əsərlərinin birinci və ikinci funksiyasının diferensialının fərqinə bərabərdir .
Korolyary. Daimi bir çarpan diferensial işarədən çıxarıla bilər.
2.3. Funksiyaları parametrik olaraq, onların fərqləndirilməsi.
Tərif . Hər iki dəyişən varsa, funksiyanı verilmiş parametrik adlanır h. və eS eyni köməkçi dəyişəndən birmənalı funksiyalar kimi hər biri fərdi olaraq müəyyənləşdirilir - parametrt. :
haradat. içərisində dəyişir.
Şərh . Parametrik dairəni və ellips tənliklərini təqdim edirik.
a) Koordinatların və radiusun əvvəlində mərkəzlə süni hala gəldi r. Parametrik tənliklər var:
b) Ellips üçün parametrik tənliklər yazırıq:
Parametr istisna olmaqla t. Baxılan xətlərin parametrik tənliklərindən, onların kanonik tənliklərinə gəlmək mümkündür.
Teorem . Funksiya varsa u mübahisədən x parametrik tənliklər, harada və fərqlənən tərəfindən verilirt. Funksiyaları və sonra.
2.4. Formula Leibniza
Bir törəmə tapmaq n. - İki funksiyanın işindən sifariş, labitsa düsturunun böyük bir praktik dəyəridir.
Ol u. və v. - Dəyişəndən bəzi funksiyalar h.hər hansı bir sifarişin törəmələri və y. = uv. . Ekspress n. Törədilmiş funksiyalar vasitəsilə törəmələr u. və v. .
Ardıcıllığımız var
İkinci və üçüncü dərəcəli, ikinci və üçüncü dərəcələrdə yeni və üçüncü törəmələri və dekorasiya göstəricilərinin əvəzinə, törəmə prosedurunu müəyyən edən nömrənin əvəzinə başa çatan sayın əvəzinə başa çatan bir analogiya arasında bənzətmə hiss etmək asandır Və funksiyalar özləri "sıfır sifariş törəmələri" kimi qəbul edilə bilər. Bunu nəzərə alsaq, bir formula leibnitsa alırıq:
Bu düstur riyazi induksiya ilə sübut edilə bilər.
Bölmə 3. Labant düsturunun tətbiqi.
İki funksiyanı iki funksiyanın məhsulu hesabını hesablamaq üçün düsturun ardıcıl istifadəsini keçərək iki funksiyanın məhsulundan hər hansı bir sifarişin törəməsini hesablamaq formula Leibniza.
Bu düsturdan istifadə edərək, iki funksiyanın məhsulundan n-th sifariş törəməsinin hesablanması nümunələrini nəzərdən keçirin.
Misal 1.
İkinci sifariş törəmə funksiyasını tapın
Tərifinə görə, ikinci törəmə ilk törəmənin ilk törəməsidir, yəni
Buna görə də, əvvəlcə bir funksiyadan birinci dərəcəli törəməni ilk sırada tapırıq fərqləndirmə qaydaları və istifadə masa törəmələri:
İndi ilk sifariş törəmənin törəməsini tapırıq. Bu, istədiyiniz ikinci sifariş törəməsi olacaq:
Cavab:
Misal 2.
Funksiya qaydasının törəməsini tapın
Qərar.
Ardıcıl olaraq birinci, ikinci, üçüncüsünün törəmələrini və buna görə bir törəmə tərəfindən ümumiləşdirilə bilən bir nümunə yaratmaq üçün göstərilən funksiyanın əmri ilə ardıcıl olaraq tapacağıq.
İlk sifariş törəməsi necə tapın xüsusi törəmə:
Burada ifadə faktorial nömrə adlanır. Nömrənin faktorialı bir-birdən olan nömrələrin məhsuluna bərabərdir
İkinci sifariş törəməsi ilk törəmənin ilk törəməsidir, yəni
Üçüncü sifariş törəməsi:
Dördüncü törəmə:
Nümunəyə diqqət yetirin: Numeratorda, törəmənin qaydasına bərabər olan və məxrəcdə olan bir sıra faktorial var, vahid başına görə ifadə törəmə qaydasından daha çoxdur
Cavab.
Misal 3.
Nöqtədə üçüncü törəmə funksiyasının dəyərini tapın.
Qərar.
Görə daha yüksək sifarişlərin masa törəmələriBizdə var:
Baxılan nümunədə, yəni alırıq
Qeyd edək ki, belə bir nəticəni törəmələrin ardıcıl tapması ilə əldə edilə bilər.
Verilmiş bir nöqtədə, üçüncü törəməsi bərabərdir:
Cavab:
Misal 4.
İkinci törəmə funksiyasını tapın
Qərar. Başlamaq üçün ilk törəməni tapırıq:
İkinci törəməni tapmaq üçün ilk törəmə üçün ifadə bir daha laqeyd olmasıdır:
Cavab:
Misal 5.
Tap
Göstərilən funksiya iki funksiyanın məhsuludur, onda dördüncü sifarişin törəməsini tapmaq üçün, Formula Leibniza tətbiq etmək tövsiyə ediləcəkdir:
Bütün törəmələri tapırıq və komponentləri olan əmsalları nəzərdən keçiririk.
1) Şərtlərdə əmsalları nəzərdən keçirin:
2) Funksiyadan törəmələri tapacağıq:
3) Funksiyadan törəmələri tapırıq:
Cavab:
Misal 6.
Y \u003d x 2 cos3x funksiyası verilir. Üçüncü sifariş törəməsini tapın.
Siz \u003d cos3x, v \u003d x 2 olsun . Sonra, tapdığımız labitsa formulu tərəfindən:
Bu ifadədəki törəmələr var:
(Cos3x) '\u003d - 3sin3x,
(cos3x) '' \u003d (- 3sin3x) '\u003d - - 9cos3x,
(cos3x) '' '\u003d (- 9cos3x)' \u003d 27sin3x,
(x2) '\u003d 2x,
(x2) '' \u003d 2,
(x2) '' '\u003d 0.
Nəticə etibarilə göstərilən funksiyanın üçüncü törəməsi bərabərdir
1 ⋅ 27sin3x ⋅ X2 + 3 ⋅ (-9COS3X) ⋅ 2x + 3 ⋅ (-3sin3x) ⋅ 2 + 1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x-54xcos3x-18sin3x \u003d (27x2-18) SIN3X-54XCOS3X.
Misal 7.
Törədici tapmaqn. -O sifariş funksiyasıy \u003d x 2 cosx.
Formula Leibnitsa, inanaraq istifadə ediriku \u003d cosx., v \u003d x. 2 . Sonra
Qalan rolun qalan üzvləri sıfırdır, çünki(x2) (i) \u003d 0 at i\u003e 2.
N. törəmə - Sifariş kosino funksiyası:
Nəticə etibarilə funksiyamızın törəməsi bərabərdir
Rəy
Məktəbi təhvil vermə və qısaldılmış vurma formullarından istifadə edir: kvadrat fərqin və iki ifadənin çarpanları və iki ifadənin miqdarı və fərqləri olan iki ifadənin və parçalanma formulu. Bu düsturların ümumiləşdirilməsi Newton Binoma Formulu adlı bir formuladır və dərəcə miqdarının miqdarı və fərqi olanların parçalanması üçün düsturdur. Bu düsturlar tez-tez müxtəlif vəzifələri həll etməkdə istifadə olunur: bölünmənin sübutu, fraksiyaların azaldılması, təxmini hesablamalar. Binom Nyutonla sıx əlaqəli olan Paskal üçbucağının maraqlı xüsusiyyətləri nəzərdən keçirilir.
Mövzuyla əlaqədar məlumatlar, işdə sistemləşdirilir, Newton Binomanın istifadəsi üçün nümunələr və dərəcələrin düsturları və dərəcə fərqi verilir. İş riyaziyyatı riyaziyyatı sevənlərin özünü öyrənməsi üçün bir riyazi dairənin işində istifadə edilə bilər.
İstifadə olunan mənbələrin siyahısı
1.Vilenkin N.Ya. Kombinatorika. - Ed. "Elm". - M., 1969
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif: Tədqiqatlar. Ümumi təhsil üçün. Təşkilatların əsas və dərin səviyyələri - m .: Maarifenment, 2014. - 431 s.
3. Statistika, kombinatorika və ehtimal nəzəriyyəsi üçün tullantılar. 7-9 CL. / Müəllif - Kompilyator V.N. Tələbə. - ed. 2-ci, SN., - Volqoqrad: Müəllim, 2009
4.Savushkina I.A., Hugaev K.D., Tishkin S.B. İnterunive Hazırlıq şöbəsinin dinləyiciləri üçün daha yüksək dərəcəli və metodik təlimatının cəbr tənlikləri. - Sankt-Peterburq, 2001.
5. Şarynin I.F. Riyaziyyatdakı isteğe bağlı kurs: Problemləri həll etmək. 10 CL üçün təlimat. Ali məktəb. - m .: Maarifenment, 1989.
6.Elm və həyat, Binin Newton və Üçbucaq Paskal [Elektron Resurs]. - Giriş rejimi: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
İki funksiyanın məhsulunun n-ci törəməsini hesablamaq üçün leiber düsturu verilir. Bu onun sübutu iki şəkildə verilir. N-Sifariş törəməsinin hesablanması nümunəsi nəzərə alınır.
MəzmunHəmçinin bax: İki funksiyanın törəmə işləri
Formula Leibnitsa
Laboratoriya formulundan istifadə edərək, iki funksiyanın məhsulundan nB-nin əmri törəməsini hesablaya bilərsiniz. Aşağıdakı formaya malikdir:
(1)
,
Harada
- Binomial əmsallar.
Binomial əmsallar, Binomanın dərəcə və dərəcələrdə parçalanma əmsallarıdır.
.
Ayrıca, nömrə n-dən n-dən birləşmələrin sayıdır.
Formula Leibnizin sübutu
İki funksiyanın işinin törəməsi üçün düsturu tətbiq edirik:
(2)
.
Formula (2) aşağıdakı formada yenidən yazdıq:
.
Yəni, bir funksiya dəyişkən X, digəri isə dəyişkən Y-dən asılıdır. Hesablamanın sonunda güman edirik. Sonra əvvəlki formula aşağıdakı kimi yazıla bilər:
(3)
.
Törəmə üzvlərin miqdarına bərabər olduğundan, hər bir üzvün iki funksiyasının məhsuludur, sonra ən yüksək sifarişin törəmələrini hesablamaq üçün ardıcıl olaraq qaydaya tətbiq edilə bilər (3).
Sonra N-Sifariş törəməsi üçün:
.
Nəzərə alsaq ki, Formula Leibnitsa alırıq:
(1)
.
İnduksiya ilə sübut
Leiberin formulunun riyazi induksiya üsulu ilə sübutunu təqdim edirik.
Bir daha, Formula Leibnitsa-nu dəf edin:
(4)
.
N \u003d 1 üçün:
.
Bu, iki funksiyanın törəməsi məhsulu üçün bir formuladır. O, ədalətlidir.
Tutaq ki, Formula (4) N-Sifarişin törəməsi üçün etibarlıdır. Derivativ N + üçün etibarlı olduğunu sübut edirik 1 -O sifariş.
Diferiasis (4):
;
.
Beləliklə, tapdıq:
(5)
.
(5) -də əvəz edin və düşünün ::
.
Formula (4) törəmə n + üçün eyni görünüşün olduğunu görmək olar 1
-O sifariş.
Beləliklə, formula (4) n \u003d üçün etibarlıdır 1
. Göründüyü ehtimaldan, n \u003d m üçün n \u003d m + üçün yerinə yetirildiyi üçün izləyir 1
.
Formula Leibnitsa sübut olunur.
Misal
N-ci törəmə funksiyasını hesablayın
.
Formula Leibnica tətbiq edin
(2)
.
Bizim vəziyyətimizdə
;
.
Stolüstü törəmələrində bizim var:
.
Triqonometrik funksiyaların xüsusiyyətlərini tətbiq edin:
.
Sonra
.
Sine funksiyasının fərqliliyinin onun sürüşməsinə səbəb olduğunu görmək olar. Sonra
.
Funksiyadan törəmələri tapırıq.
;
;
;
,
.
Nə vaxtdan bəri, düsturda Leiber yalnız ilk üç üzvdən sıfırdan fərqlidir. Binomial əmsalları tapırıq.
;
.
Formula tərəfindən Leibnia var:
.
Tətbiq olunan tapşırıqların həlli ayrılmazlığın hesablanmasına qədər azalır, lakin tam olaraq etmək həmişə mümkün deyil. Bəzən müəyyən dərəcədə dəqiqliklə, məsələn, mininci üçün müəyyən bir inteqralın dəyərini bilmək lazımdır.
Lazımi dəqiqliklə müəyyən bir inteqralın təxmini bir dəyərini tapmağın mümkün olduğu zaman tapşırıqlar var, onda ədədi inteqrasiya sadəlik, trapezoidlər, düzbucaqlılar metodu kimi istifadə olunur. Bütün hallar müəyyən bir dəqiqliklə hesablamağa imkan vermir.
Bu yazı Nyuton-Labrender Formulunun tətbiqini nəzərdən keçirir. Bu, müəyyən bir inteqral hesablamaq üçün lazımdır. Ətraflı nümunələr veriləcək, dəyişənin müəyyən bir inteqralda dəyişdirilməsi nəzərə alınacaq və hissələrdə birləşdirərkən müəyyən bir inteqralın dəyərlərini tapacaqdır.
Formula Newton Labitsa
Tərif 1.Y \u003d y (x) funksiyası seqmentdən davamlı olduqda [a; b] və f (x) bu seqmentin ilk funksiyalarından biridir, sonra formula Newton Labitsa Hesab olunur. Biz bunu belə yazırıq ki, ∫ a b f (x) d x \u003d f (b) - f (a).
Bu formula inanır İnteqral hesablama əsas formulu.
Bu düsturun sübutu hazırlamaq üçün mövcud dəyişən yuxarı hədd ilə ayrılmaz anlayışından istifadə etmək lazımdır.
Y \u003d f (x) funksiyası seqmentdən davamlı olduqda [A; b], sonra arqumentin dəyəri x ∈ a; B və ayrılmaz, bir X f (T) D t forması var və yuxarı hədd funksiyası hesab olunur. Funksiyanın təyin edilməsini qəbul etmək lazımdır ∫ AXF (T) DT \u003d φ (x), davamlıdır və bunun üçün, formanın bərabərsizliyi ∫ Axf (t) dt "\u003d φ" ( x) \u003d f (x) doğrudur.
Funksiyanın artımının φ (x) arqumentin artmasına uyğun olduğunu düzəldirik, müəyyən bir inteqralın beşinci ibtidai əmlakından istifadə etmək lazımdır və əldə etmək lazımdır
Φ (x δ x) - φ x \u003d ∫ Axü (t) δ XF (t) dt - ∫ axf (t) dt \u003d \u003d ∫ Axü (t) δ XF (t) δ XF (c) \u003d F (c) · δ x
c ∈ x dəyəri haradadır; X + δ x.
Formada bərabərliyi düzəldin φ (x + δ x) - φ (x) δ x \u003d f (c). Törəmə funksiyasını tərifinə görə, δ X → 0-də həddinə keçmək lazımdır, sonra φ "(x) \u003d f (x) formulunun formulunu əldə edirik. Bunu φ (x) birdən biri əldə edirik [A; b] -də yerləşən Y \u003d F (X) funksiyası üçün ibtidai növlər. Əks təqdirdə ifadə yazmaq olar
F (x) \u003d φ (x) + c \u003d ∫ a x f (t) d t + c, c dəyəri sabit olduğu yer.
Xüsusi bir ayrılmazın ilk əmlakından istifadə edərək f (a) hesablayın. Sonra bunu alırıq
F (a) \u003d φ (a) + + + + ∫ a a f (t) d t + c \u003d 0 + c \u003d c, buna görə də bu c \u003d f (a) əldə edirik. Nəticə F (b) hesablayarkən tətbiq olunur və əldə edin:
F (b) \u003d φ (b) + + + + + + abf (t) dt + c \u003d ∫ abf (t) dt + f (a), başqa sözlə, f (b) \u003d ∫ abf (t) dt + f (a). Bərabərlik Newton Labnica ∫ a b f (x) d x + f (b) f (a) formulunu sübut edir.
Funksiyanın artımı f x a b \u003d f (b) - f (a) kimi qəbul edilir. Nyuton-leibnia düsturunun təyin edilməsi ilə, forma ∫ a b f (x) d x \u003d f x a b \u003d f (b) - f (a).
Formula tətbiq etmək üçün, seqmentdən olan y \u003d f (x), İbrahi Y \u003d F (X) birinin, seqmentdən (A; b], bu seqmentdən ibtidai artımını hesablayın. Newton-Labrender Formula istifadə edərək bir az hesablama nümunəsinə baxın.
Misal 1.
Newton-Labrender Formuluna görə müəyyən bir inteqral ∫ 1 3 x 2 d x hesablayın.
Qərar
Forma y \u003d x 2 formasının inteqrasiya olunmuş funksiyası seqmentdən davamlıdır [1; 3] Sonra bu seqmentə inteqrasiya edin. Qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinə görə, Y \u003d X 2-nin bütün etibarlı dəyərlər üçün bir çox ibtidai olduğunu görürük, bu x ∈ 1; 3 f (x) \u003d ∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c kimi qeyd ediləcəkdir. C \u003d 0 ilə ibtidai olmaq lazımdır, sonra bu f (x) \u003d x 3 3 əldə edirik.
Newton Labnik Formulundan istifadə edirik və müəyyən bir inteqralın hesablanmasının forma alacağını əldə edirik ∫ 1 3 x 2 d x \u003d x 3 3 1 \u003d 3 3 3 - 1 3 3 \u003d 26 3.
Cavab: ∫ 1 3 x 2 d x \u003d 26 3
Misal 2.
Xüsusi bir inteqral hesablayın ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x Newton-lehli formulası.
Qərar
Göstərilən funksiya seqmentdən davamlıdır [- 1; 2] Bu, onun inteqrasiya olunduğu deməkdir. Diferensial işarəyə təqdimetmə metodundan istifadə edərək qeyri-müəyyən bir inteqral ∫ + 1 dx dəyərini tapmaq lazımdır, sonra ∫ X · ex 2 + 1 dx \u003d 1 2 ∫ ex 2 + 1 d əldə edirik ( x 2 + 1) \u003d 1 2 2 + 1 + c.
Buradan, bütün X, x ∈ - 1 üçün etibarlı olan Y \u003d X · E X 2 + 1-in bir çox ibtidai funksiyaları çoxdur; 2.
C \u003d 0 olanda ibtidai olmaq və Newton-Labrender formulunu tətbiq etmək lazımdır. Sonra ifadəni alırıq
∫ - 1 2 x · ex 2 + 1 dx \u003d 1 2/ 1 2 + 1 - 1 2 \u003d 1 2 e 2 2 2 2 + 1 - 1/ e (- 1) 2 + 1 \u003d 1 \u003d 1 2 e (- 1) 1 \u003d 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Cavab: ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x \u003d 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Misal 3.
İnteqralları hesablayın ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x və ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.
Qərar
Kəsmə - 4; - 1 2, ayrılmaz işarə altında funksiyanın davamlı olduğunu göstərir, bu, inteqrasiya olunduğunu göstərir. Buradan y \u003d 4 x 3 + 2 x 2-dən çox ibtidai funksiyaları tapacağıq. Biz bunu alırıq
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d 4 ∫ x D x + 2 ∫ X - 2 d x \u003d 2 x 2 - 2 x + c
İbtidai f (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, sonra Newton-Labrender Formula tətbiq etməklə, hesablanmasını təmin etmək üçün bir installation əldə etmək lazımdır.
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 x 2 dx \u003d 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 \u003d 2 - 1 2 - 2 - 2 - 2 - 4 - 2 - 2 - 2 - 4 \u003d 1 \u003d 1 2 + + 4 - 32 - 1 2 \u003d - 28
İkinci inteqralın hesablanmasına keçid hazırlayırıq.
Seqmentdən [- 1; 1] Bizim var ki, inteqrasiya olunmuş funksiya məhdudiyyətsiz sayılır, çünki lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 \u003d + ∞, seqmentdən inteqrasiya üçün zəruri bir şərtdir. Sonra f (x) \u003d 2 x 2 - 2 x seqmentdən y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 üçün ibtidai deyil [- 1; 1], o, seqmentə aid olan, ancaq tərif sahəsinə daxil deyil. Bu o deməkdir ki, seqmentdən y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 funksiyası üçün Riemann və Newton Leiberin müəyyən bir inteqralının var [- 1; biri].
Cavab: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,riemann və seqmentin 4 x 3 + 2 x 2 funksiyası üçün Riemann və Newton Labnice'nin konkret bir ayrılmaz hissəsi var [- 1; bir].
Nyuton-labitsa düsturundan istifadə etməzdən əvvəl, müəyyən bir inteqralın mövcudluğunu dəqiq bilməlisiniz.
Müəyyən bir inteqralda dəyişən dəyişdirin
Y \u003d f (x) funksiyası olduqda, seqmentdən davamlı və davamlı olduqda [A; b], onda mövcud set [A; b] seqmentdə müəyyən edilmiş X \u003d g (z) funksiyasının dəyərlərinin sahəsi hesab olunur; Mövcud davamlı bir törəməsi olan, burada g (α) \u003d a və g β \u003d b, bu ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z) (g (z) d z əldə edirik.
Bu düstur, qeyri-müəyyən ayrılmaz olan foru ∫ f (x) d x formada olan inteqral ∫ a b (x) d x hesablamaq üçün istifadə olunur.
Misal 4.
Formanın müəyyən bir inteqral hesablayın ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.
Qərar
İnteqrasiya, interkomda davamlı inteqrasiya hesab olunur, yəni müəyyən bir inteqralın mövcudluğu baş verməsi deməkdir. 2 x - 9 \u003d z ⇒ x \u003d g (z) \u003d z 2 + 9 2-nin təyinatını veririk. X \u003d 9, o deməkdir ki, z \u003d 2 · 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 və x \u003d 18-də o z \u003d 2 · 18 - 27 \u003d 3 3, sonra g α \u003d g (3) \u003d 9, g β \u003d g 3 3 \u003d 18. Düsturda əldə edilən dəyərləri əvəz edərkən ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z, biz bunu əldə edirik
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx \u003d ∫ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + 9 · Z + 9 + 9 2 "DZ \u003d ∫ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 · Z · Zdz \u003d ∫ 3 3 3 2 Z 2 + 9 DZ
Qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinə görə, bu ibtidai funksiyalardan biri 2 Z 2 + 9 dəyəri 2 3 a r c t g z 3 alır. Sonra, Newton-Labitsa Formula tətbiq edərkən bunu alırıq
∫ 3 3 3 3 2 Z 2 + 9 d z \u003d 2 3 Arctgz 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3/3 arctg 3 - Arctg 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18
Formula ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) istifadə etmədən əldə edilə bilər (g (z) · g "(z) d z.
Dəyişdirmə üsulu ilə, formanın ayrılmazdan istifadə edin ∫ 1 x 2 x - 9 d x, sonra nəticəyə gələ bilərsiniz ∫ 1 x 2 x \u003d 9 3 - 2 3 qövs tg 2 x - 9 3 + c.
Buradan, Newton Etiketlərinin düsturunu hesablayacağıq və xüsusi bir ayrılmaz hesablayacağıq. Biz bunu alırıq
∫ 9 18 2 + 9 + 9 + 9 DZ \u003d 2 3 Arctgz 3 9 18 \u003d 2 3 3 Arctg 2 · 4 3 - Arctg 2 · 9 - 9 3 \u003d 2 3 3 3 - Arctg 3 - Arctg 1 \u003d 2 3 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18
Nəticələr üst-üstə düşdü.
Cavab: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x \u003d π 18
Xüsusi bir ayrılmaz hesablayarkən hissələrdə inteqrasiya
Seqmentdə olduqda [A; b] Müəyyən edilmiş və davamlı funksiyaları U (x) və v (x), onda "(x) · u (x) · u (x), beləliklə, bu seqmentdən bu seqmentdəndir" (x) · v (x) bərabərlik ∫ abv "(x) · U (x) dx \u003d (U (x) · v (x)) ab - ∫ abu" (x) · · v (x) dx etibarlıdır.
Düsturdan sonra istifadə edilə bilər, inteqral ∫ a b f (x) d x hesablamaq lazımdır və ∫ f (x) d x hissələrdə inteqrasiya istifadə etmək lazımdır.
Misal 5.
Müəyyən bir inteqral hesablayın ∫ - π 2 3 π 2 x · Sin x 3 + π 6 d x.
Qərar
X · Sin X 3 + π 6 funksiyası seqmentdə birləşdirilə bilər - π 2; 3 π 2, bu davamlıdır.
İcazə verin (x) \u003d x, sonra d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + + π 6 dx, və d (U (X)) \u003d U" (X) DX \u003d DX, və v (x) \u003d - 3 cos π 3 + π 6. Formula ∫ a b v "(x) · u (x) d x \u003d (U (x) · v (x)) a b - ∫ a b u" (x) · · v (x) d x
∫ - π 2 3 π 2 x · Sin x 3 + π π 6 dx \u003d - 3 x · cos X 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + + 2 + π 6 - 3 · - π 2 · π 6 + π 6 + 9 + 9 + + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 2 \u003d 9 - 3 π 2 + 9 günah π 2 + π 6 - Günah - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 + 9 3 2 \u003d 3 × 4 + 9 3 2 3 2
Nümunə məhlulu fərqli bir şəkildə həyata keçirilə bilər.
Newton-Leibnia Formula istifadə edərək hissələrə inteqrasiya istifadə edərək bir çox ibtidai funksiyaları tapın.
∫ X · Sin XX 3 + π 6 DX \u003d U \u003d X, DV \u003d SIN X 3 + π 6 Dx ⇒ DU \u003d DX, V \u003d - 3 COS X 3 + π 6 \u003d \u003d - 3 COS X 3 + 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx \u003d - 3 x cos x 3 + π + π + π + π 6 + + + + + π π π π π π π ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ · Sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 cos \u003d - 3 cos \u003d - 3 cos \u003d - 3 cos X 3 + π 6 + 9 Sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · π 6 + π 6 + 9 + 9 + + + 6 \u003d 9 π 6 \u003d 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 4 + 9 - 3 × 2 - 0 \u003d 3 × 4 + 9 3 2
Cavab: ∫ X · Sin x x 3 + π 6 d x \u003d 3 × 4 + 9 3 2
Mətndə bir səhv görsəniz, xahiş edirəm seçin və Ctrl + Enter düyməsini basın
Daha yüksək sifarişlərin törəmələri
Bu dərsdə daha yüksək sifarişlərin törəmələrini tapmağı, habelə Anna törəməsinin ümumi formulunu qeyd etməyi öyrənəcəyik. Bundan əlavə, Leibniyanın düsturu nəzərə alınacaq və çoxsaylı sorğular üzrə - daha yüksək sifarişlərin törəmələri açıq göstərilmiş funksiya. Dərhal mini testdən keçməyi təklif edirəm:
Budur bir funksiya: 
Və burada onun ilk törəməsi:
Bu nümunəyə dair hər hansı bir çətinlik / anlaşılmazlıq olduğunuz halda, kursumun iki əsas məqaləsi ilə başlayın: Bir törəməni necə tapmaq olar? və Törəmə kompleks funksiyası. İbtidai törəmələrin inkişafından sonra dərslə tanış olmağı məsləhət görürəm Törəmə ilə ən sadə vəzifələrXüsusilə anladığımız yerdə İkinci törəmə.
İkinci törəmənin 1-ci törəmənin törəməsi olduğunu təxmin etmək asandır:
Prinsipcə, ikinci törəmə artıq ən yüksək nizamın törəməsi hesab olunur.
Eynilə: Üçüncü törəmə 2-ci törəmənin törəməsidir:
Dördüncü törəmə 3-cü törəmədən yaranmışdır: 
Beşinci törəməsi: 
Və daha yüksək sifarişlərin bütün törəmələri də sıfırın olduğu aydındır:
Təcrübədə Roma nömrəsinə əlavə olaraq, aşağıdakı nota tez-tez istifadə olunur:
"Enyn" əmrinin törəməsi ilə ifadə olunur. Eyni zamanda, Mərasim indeksi mötərizədə konfiqurasiya edilməlidir - bir törəməni "oyunlardan" dərəcəyə ayırmaq.
Bəzən belə bir giriş var: 
- Üçüncüsü, dördüncü, beşinci, ..., "Enons" törəmələri, müvafiq olaraq.
Qorxu və şübhə olmadan irəli:
Misal 1.
Dana xüsusiyyəti. Tapmaq .
Qərar: Nə inciyirsən ... - dördüncü törəmə üçün irəli :) 
Dörd vuruş artıq qəbul edilmir, buna görə də rəqəmli göstəricilərə gedirik:
Cavab vermək:
Yaxşı və indi belə bir sual barədə düşünün: Nə etməli, vəziyyətə görə, 4-cü deyilsə, 4-cü, lakin 20-ci törəmə? 3-4 illik törəməsi üçün (maksimum, 6-7) Qərarın proseduru olduqca tez hazırlanmışdır, sonra daha yüksək sifarişlərin törəmələrindən əvvəl "Etməyəcəyik", nə qədər tezliklə. Əslində 20 xətt yazmayın! Belə bir vəziyyətdə bir neçə fərqli törəməni təhlil etməliyik, naxışı görmək və annna törəmənin düsturunu etmək lazımdır. Beləliklə, 1 nömrəli 1 nömrəli, exponentin "açılmadan" əlavə "troika" başlamazdan əvvəl "populyar" və hər hansı bir addımda "Troika" dərəcəsi ilə bərabər olduğunu başa düşmək asandır törəmə sayı, buna görə:
Harada - ixtiyari bir təbii nömrə.
Həqiqətən, əgər, 1-ci törəmənin tam olaraq ortaya çıxırsa: 
Əgər - sonra 2-ci: və s. Beləliklə, iyirminci törəməsi dərhal müəyyənləşdirilir: - və "kilometrlik bir kilometrlik"!
Özünüzü istiləşdiririk:
Misal 2.
Funksiyaları tapın. Törəmə qərarı qoyun
Həll və dərs sonunda cavab.
Canlandırıcı bir məşqdən sonra yuxarıdakı həll alqoritmini işləyəcəyimiz daha mürəkkəb nümunələri nəzərdən keçiririk. Dərslə tanış olmağı bacaranlar Ardıcıllıq həddibiraz daha asan olacaq:
Misal 3.
Bir funksiya üçün tapın.
Qərar: Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün bir neçə törəməni tapacaq:
Alınan nömrələr tələsmədən çoxalır! ;-) 
Bəlkə də kifayətdir. ... hətta bir az hərəkət etdi.
Növbəti addımda, "Anna" törəməsi bir düstur etmək yaxşıdır (Tezliklə, vəziyyət bunu tələb etmir, onda Chernivik edə bilərsiniz). Bunun üçün nəticələrə baxırıq və hər növbəti törəmənin alındığı nümunələri ortaya qoyuruq.
Birincisi, onlar alternativdirlər. Alignment təmin edir "Sönən"1-ci törəmələr müsbət olduğundan, aşağıdakı çarpan ümumi formulaya daxil olacaq: 
. Seçim üçün uyğun və ekvivalenti, amma şəxsən bir optimist olaraq "Plus" işarəsini sevirəm
İkincisi, "dolama" rəqəmli faktorialVə o, vahid başına törəmənin sayından "geridə qoyur":
Üçüncüsü, "iki" dərəcəsi, numerdə olan nummerdə artır, bu da törəmə sayına bərabərdir. Eyni şeyi denominator dərəcəsi haqqında da demək olar. Nəhayət: 
Test məqsədləri üçün, məsələn, bir neçə "EN" dəyərlərini əvəz edəcəyik və: 
Gözəl, indi səhv etməyə icazə verin - sadəcə bir günah:
Cavab vermək: 
Self həllər üçün daha sadə bir xüsusiyyət:
Misal 4.
Funksiyaları tapın.
Və vəzifə artır:
Misal 5.
Funksiyaları tapın.
Bir daha proseduru təkrarlayırıq:
1) Əvvəlcə bir neçə törəməni tapırıq. Nümunələri tutmaq üçün ümumiyyətlə üç-dörd tutur.
2) sonra güclənməyi tövsiyə edin (ən azı layihədə) "Anna" törəməsi - səhvləri xilas etmək üçün zəmanət veriləcəkdir. Ancaq onsuz edə bilərsiniz, i.E. Məsələn, iyirmi və ya səkkizinci törəməni əqli olaraq qiymətləndirməyə və dərhal yandırmaq üçün. Üstəlik, bəzi insanlar ümumiyyətlə şifahi olaraq vəzifələri həll edə bilirlər. Bununla birlikdə, "sürətli" metodların dolu olduğunu xatırlamaq lazımdır və təmkinli olmaq daha yaxşıdır.
3) Final mərhələsində "Enna" törəməsi bir yoxlama aparın - bir neçə "EN" dəyərləri (daha yaxşı bitişik) və əvəz etməyi həyata keçirin. Daha da etibarlıdır - əvvəllər tapılmış bütün törəmələri yoxlayın. Bundan sonra, istədiyiniz dəyəri, məsələn, və ya səliqəli şəkildə əvəz edirik.
Dərsin sonunda 4 və 5 nümunənin xülasəsi.
Bəzi vəzifələrdə, problemlərin qarşısını almaq üçün funksiyanın üstündə oturmaq lazımdır:
Misal 6.
Qərar: Təklif olunan funksiyanı fərqləndirmək ümumiyyətlə istəmir, çünki aşağıdakı törəmələri çox yaxşı tapacaq bir "pis" bir fraksiya ortaya çıxır.
Bununla əlaqədar, ilkin dəyişikliklər etmək məsləhətdir: istifadə edin kvadrat fərq formulu və mülkiyyət loqarifliyi 
:
Başqa şeylər:
Və köhnə qız yoldaşları: 
Düşünürəm ki, hər şey görünür. Unutmayın ki, 2-ci hissə dəyişdirilib, 1-ci - yox. Törəmə sifariş qurmaq: 
Nəzarət: 
Yaxşı, gözəllik üçün mötərizələr üçün faktorial gətirəcəyəm:
Cavab vermək: 
Self həlləri üçün maraqlı bir vəzifə:
Misal 7.
Bir funksiya üçün bir törəmə sifariş üçün bir prosedur yazın
İndi də italiyalı mafiyanın həsəd aparacağı olan sarsılmaz dairəvi sifariş haqqında:
Misal 8.
Dana xüsusiyyəti. Tapmaq
On səkkizinci törəmə nöqtədə. Sadəcə.
Qərar: Birincisi, açıq-aydın, tapmaq lazımdır. Get: 
Sinus sinusa başladı və gəldi. Aydındır ki, daha da fərqlənmə ilə bu dövr qeyri-müəyyən davam edəcək və aşağıdakı sual yaranır: on səkkizinci törəməyə "almaq" üçün nə qədər yaxşıdır?
"Həvəskar" üsulu: Sonrakı törəmələrin sayında sağa sürətlə qeyd olunur: 
Bu minvalla:
Ancaq törəmənin əmri çox böyük deyilsə işləyir. Əgər yüz törəməni tapmaq lazımdırsa, onda bir bölgüdən 4-ə qədər istifadə etməlisiniz. Yüz yüz qalığı olmadan 4-ə bölünür və belə nömrələrin alt xəttdə yerləşdiyini görmək asandır:.
Yeri gəlmişkən, 18-ci törəmə də oxşar mülahizələrdən müəyyən edilə bilər:
İkinci sətirdə 4 qalığı 2 ilə 4-ə bölünən nömrələr var.
Digər, daha çox akademik metod əsaslanır sinusun tezliyi və tökmə düsturu. Sine'nin "Enna" törəməsinin bitmiş formulundan istifadə edirik 
İstədiyiniz nömrənin sadəcə dəyişdirildiyi. Misal üçün:
(tökmə düsturu 
)
;
(tökmə düsturu 
)
Bizim vəziyyətimizdə:
(1) Sinus bir dövrlə dövri bir funksiyadan bəri, arqument ağrısız şəkildə 4 dövrü (yəni) "aça bilər (I.E.).
İki funksiyanın işindən əmrin törəməsi formula görə bilərsiniz:
Xüsusilə: 
Heç bir şey yadda saxlamayın, çünki daha çox düsturlar - nə qədər az başa düşsəniz. İlə tanış olmaq daha faydalıdır binom NewtonFormula Leibnia ona çox bənzəyir. Yaxşı, 7-ci və ya daha yüksək sifarişlərin törəməsini alacaq olanlar (Ancaq nə, mümkün deyil)bunu etməyə məcbur olacaq. Ancaq çerodların çatacağı zaman kombinatoriya - yenə də olacaq \u003d)
Üçüncü törəmə funksiyasını tapın. Formula Leibnitsa istifadə edirik:
Bu halda: 
. Törəmələri asanlaşdırmaq asandır: 
İndi səliqəli və diqqətlə əvəzedicini yerinə yetirin və nəticəni sadələşdirin:
Cavab vermək:
Self həllər üçün oxşar vəzifə:
Misal 11.
Funksiyaları tapın
Əvvəlki misalda, "alnında" qərarı hətta Leibnitsanın düsturu ilə yarışdı, sonra burada həqiqətən xoşagəlməz olacaq. Daha da xoşagəlməz - daha yüksək sifariş törəməsi halında:
Misal 12.
Göstərilən sifarişin törəməsini tapın
Qərar: Birinci və zəruri bir qeyd - buna qərar vermək, ehtimal ki, lazım deyil \u003d) \u003d)
5-ci sifariş daxil olana qədər funksiyaları yazır və törəmələrini tapırıq. Güman edirəm ki, sağ sütunun törəmələri sizin üçün şifahi oldu: 
Sol sütunda "Yaşayan" törəmələr tez "bitdi" və çox yaxşıdır - düsturda Leibnia üç terminlə köçürülür:
Haqqında məqalədə görünən dilemma üzərində yenidən dayanacağam mürəkkəb törəmələr: Nəticəni sadələşdirin? Prinsipcə, tərk edə bilərsiniz və belə - müəllim yoxlamaq daha asan olacaq. Ancaq ağlıma qərar verməsi lazım ola bilər. Digər tərəfdən, öz təşəbbüsü ilə sadələşdirmə Cəbr səhvləri ilə doludur. Ancaq "ibtidai" üsulu ilə əldə edilən bir cavabımız var \u003d) (əvvəlində istinad baxın)Və ümid edirəm ki, düzgündür:
Əla, hər şey çıxdı.
Cavab vermək: 
Self həllər üçün xoşbəxt bir vəzifə:
Misal 13.
Funksiya üçün:
a) birbaşa fərqləndirmə tapın;
b) labitsa düsturunu tapmaq;
c) hesablamaq.
Xeyr, mən bütün sadist deyiləm - burada "A" maddə olduqca sadədir \u003d)
Ardıcıl fərqliliyin "Direct" həlli də "Həyat hüququ" da var - bəzi hallarda mürəkkəbliyi labent düsturunun mürəkkəbliyi ilə müqayisə olunur. Uyğun hesab edirsinizsə istifadə edin - qüsurlu vəzifələr üçün əsas olması mümkün deyil.
Dərsin sonunda qısa bir həll və cavab.
Bacardığınız üçün son paraqrafı qaldırmaq üçün gizli funksiyaları fərqləndirmək:
Funksiyalardan daha yüksək əmrlərin törəmələri açıq şəkildə müəyyən edilmişdir
Bir çoxumuz, öyrənmək üçün uzun saatlar, günlər və həftələrdən keçdi dair, parabol, hiperbol - Və bəzən ümumiyyətlə bir cəza kimi görünürdü. Beləliklə, qisas alaq və bunları aşağıdakı kimi uyğunlaşdıraq!
Onun içindəki "məktəb" parabolası ilə başlayaq karonik mövqe:
Misal 14.
Bir tənlik verilir. Tapmaq .
Qərar: İlk addım yaxşı tanışdır:
Funksiyanın və onun törəməsinin işin mahiyyətini açıq şəkildə gizli olması, ikinci törəmənin 1-ci törəmənin törəməsidir: 
Bununla birlikdə, onların oyun qaydaları var: 2-ci və daha yüksək sifarişlərin törəmələri ifadə etmək üçün qəbul edilir yalnız "X" və "Igarek" vasitəsilə. Buna görə, nəticədə 2 törəmə əvəzində: 
Üçüncü törəmə 2-ci törəmədən yaranmışdır:
Eynilə, əvəz edəcəyik: 
Cavab vermək:
"Məktəb" hiperbolu karonik mövqe - Müstəqil iş üçün:
Misal 15.
Bir tənlik verilir. Tapmaq .
Təkrar edirəm ki, 2-ci törəmə və nəticəni yalnız "X" / "ikrar" vasitəsilə ifadə etmək lazımdır!
Dərsin sonunda qısa bir həll və cavab.
Uşaqların oyunlarından sonra Alman Subparthrix @ Fiu-a baxacağıq ki, başqa bir vacib həllərin daha bir vacib texnikasını öyrəndiyimiz daha çox böyüklər nümunələrini nəzərdən keçirək:
Misal 16.
Ellips özü.
Qərar: 1-ci törəməni tapın: 
İndi də növbəti anı dayandıracağıq və təhlil edəcəyik, fraksiya fərqlənməlidir ki, ümumiyyətlə xoşbəxt deyil. Bu vəziyyətdə, əlbəttə ki, sadədir, lakin bu hədiyyələrin əsl vəzifələrində iki dəfə və ətrafa çevrildi. Üurlu bir törəməni tapmamaq üçün bir yol varmı? Var! 1-ci törəməni tapdığım zaman tənliyi və eyni qəbuldan istifadə edirik - hər iki hissədə "asma" vuruşları tapıram: 
İkinci törəmə yalnız və indi də ifadə edilməlidir (Hazırda) 1-ci törəmədən qurtulmaq rahatdır. Bunu etmək üçün, nəticədə yaranan tənliyi əvəz edirik: 
Lazımsız texniki çətinliklərin qarşısını almaq üçün hər iki hissəni vurun: 
Və yalnız final mərhələsində fraksiya bəzədik: 
İndi ilkin tənliyə baxırıq və əldə edilən nəticənin sadələşdirildiyini bildiririk:
Cavab vermək:
İstənilən nöqtədə 2-ci törəmənin dəyərini necə tapmaq olar (bu, aydındır, elliptə aiddir), məsələn, nöqtədə 
? Çox asan! Bu səbəb artıq dərsdə görüşdü tənlik normal: 2-ci törəmənin ifadəsində əvəz etməlisiniz 
:
Əlbəttə ki, hər üç halda açıq şəkildə göstərilən funksiyaları əldə etmək və onları fərqləndirmək mümkündür, lakin sonra kökləri olan iki funksiya ilə işləmək üçün mənəvi cəhətdən uyğunlaşır. Məncə, həll yolu "gizli şəkildə" keçirmək üçün daha əlverişlidir.
Self həllər üçün son nümunə:
Misal 17.
Tamamilə müəyyən edilmiş bir funksiyanı tapın
