Riyazi gözləntiyə və dağılmasına bərabər olan şey. Təsadüfi dəyişənlər. Diskret təsadüfi dəyəri. Riyazi gözlənti. Təsadüfi bir dəyişənin riyazi gözlənilməsinin xüsusiyyətləri

1. Daimi bir dəyərin riyazi gözləntisi ən sabitliyə bərabərdir M (c) \u003d ilə .
2. Riyazi gözlənti əlaməti üçün daimi bir çarpan edilə bilər: M (cx) \u003d sm (x)
3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənlərin işinin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərinin məhsuluna bərabərdir: M (xy) \u003d m (x) m (y).
4. İki təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Teorem. M (x) riyazi gözləntisi hadisələrin sayı və N Müstəqil testləri hər testdə hadisələrin ehtimalı olan bu testlərin məhsuluna bərabərdir: m (x) \u003d np.

Ol H. - Təsadüfi dəyər və M (x) - riyazi gözləntisi. Yeni təsadüfi dəyişən kimi düşünün X - m (x).

Sapma təsadüfi dəyişən və riyazi gözləntisi arasındakı fərq deyilir.

Sapma aşağıdakı paylama qanunu var:

Həll yolu: Riyazi bir gözləmə tapın:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Kvadrat sapmasının qanun paylanmasını yazacağıq:

Həll yolu: Riyazi bir gözlənti tapmaq m (x): m (x) \u003d 2 0,1 + 3 0.6 + 5 0.3 \u003d 3.5 \u003d 3.5

Wew akt paylanması təsadüfi x 2

Riyazi gözləntini tapırıq M (x 2): m (x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

İstədiyiniz dispersiya D (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

Dispersiya xüsusiyyətləri:

1. Daimi ölçülü dispersiya Dən sıfıra bərabərdir: D (c) \u003d 0
2. Bir dispersiya işarəsi üçün daimi bir çarpan etmək, bir kvadratda yemək üçün edilə bilər. D (cx) \u003d c 2 d (x)
3. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dağılması bu dəyərlərin dağılmasının miqdarına bərabərdir. D (x 1 + x 2 + + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)
4. Binomial paylamasının dağılması, bir testdə hadisənin görünüşü və günahı olan testlərin sayının məhsulu bərabərdir D (x) \u003d npq

Dağıtma ilə yanaşı, orta dəyəri ətrafında təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərinin səpilməsini qiymətləndirmək üçün, dispersiyaya əlavə olaraq digər xüsusiyyətlər də xidmət olunur. Bunlara orta kvadratatik sapma daxildir.

Təsadüfi dəyişənin orta kvadratatik sapması H. Dispersiyadan kvadrat kökü çağırın:

σ (x) \u003d √d (x) (4)

Misal. Təsadüfi dəyər x dəsti paylama qanunu

Orta kvadratatik sapma tap σ (x)

Həll yolu: Riyazi bir gözlənti tap X: m (x) \u003d 2 0,1 + 3 0.4 + 10 0.5 \u003d 6.4
Riyazi gözləntini tapırıq x 2: m (x 2) \u003d 2 2 0,1 + 3 2 0.4 + 10 2 0.5 \u003d 54
Dispersiya tapın: D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04
İstədiyiniz ikincil kvadratik sapma σ (x) \u003d √d (x) \u003d √13.04≈3.61

Teorem. Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin son sayının məbləğinin orta kvadratatik sapması bu miqdarın orta kvadratatik sapmalarının meydanlarının cəmindən bərabər dərəcədə kvadrat kökdür:

Misal. 6 kitabın rəfində 3 riyaziyyat və 3 fizikada 3 kitab. Üç kitab çox seçin. Seçilən kitablar arasında riyaziyyatdakı kitabların sayının paylanması qanunu tapın. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi bir gözləməsi və dağılması tapın.

D (x) \u003d m (x 2) - m (x) 2 \u003d 2.7 - 1.5 2 \u003d 0.45

Dağıtım qanunu təsadüfi bir məbləği tam xarakterizə edir. Bununla birlikdə, paylanmanın qanunu məlum deyil və daha az məlumatla məhdudlaşmalıdır. Bəzən təsadüfi bir dəyəri izah edən nömrələrdən istifadə etmək daha da sərfəlidir, bu nömrələr adlanır rəqəmsal xüsusiyyətlər Təsadüfi dəyişən. Əhəmiyyətli bir ədədi xarakterik bir riyazi gözlənti daxildir.

Riyazi gözləntilər, daha sonra göstəriləcək, təsadüfi dəyişənin orta dəyərinə bərabərdir. Bir çox vəzifəni həll etmək üçün riyazi gözləntini bilmək kifayətdir. Məsələn, ilk oxundakı qırılan nöqtələrin sayının riyazi gözləntisi ikinciyə nisbətən, ilk oxlar ikincisindən daha çox nöqtəni vurdu və buna görə daha yaxşı tumurcuqludur.

Tərif4.1: Riyazi gözləntilər Diskret təsadüfi dəyişkənlik, ehtimallar üçün bütün mümkün dəyərlərin miqdarını dəyişdirin.

Təsadüfi bir dəyər verin X. yalnız dəyərləri ala bilər x 1, x 2, ... x nehtimalı müvafiq olaraq bərabərdir p 1, p 2, ... p n.Sonra riyazi gözlənti M (x.) Təsadüfi dəyişən X. Bərabərlik ilə müəyyən edilir

M (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Esley diskret təsadüfi dəyəri X. mümkün olan dəyərlər dəsti, sonra

,

Üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sətir də tamamilə birləşirsə, riyazi gözlənti mövcuddur.

Misal.Hadisələrin sayının riyazi gözləntisi tapın A.bir testdə, bir hadisənin ehtimalı varsa A. bərabər p..

Qərar: Təsadüfi dəyər X. - Hadisələrin sayı A. Bernoulli'nin paylanması var

Bu minvalla, bir testdə hadisələrin sayının riyazi gözləntisi bu hadisənin ehtimalına bərabərdir..

Riyazi gözlənilənin ehtimalı mənası

İstehsal etmək n. Təsadüfi bir dəyəri olan testlər X. Qəbul edilmiş m 1. Bir dəfə dəyər x 1, m 2. Bir dəfə dəyər x 2 ,…, m k. Bir dəfə dəyər x K., və m 1 + m 2 + + ... + m k \u003d n. Sonra qəbul edilən bütün dəyərlərin cəmi X., bərabərdir x 1 m 1 + x 2 m 2 + + + x k m k .

Təsadüfi bir dəyişən tərəfindən qəbul edilən bütün dəyərlərin arifmetik ortalama

Münasibət m i / n- nisbi tezliyi W i. Dəyər x I.təxminən hadisələrin ehtimalına bərabərdir p I.harada , belə ki

Əldə edilən nəticənin ehtimal mənası: riyazi gözlənti təxminən bərabərdir (Daha doğrusu, testlərin sayı nə qədər çox olarsa) orta hesablama təsadüfi dəyərləri müşahidə etdi.

Riyazi gözləntinin xüsusiyyətləri

Əmlak1:Daimi bir dəyərin riyazi gözləntisi ən sabitliyə bərabərdir

Əmlak2:Daimi çarpan riyazi gözlənti əlaməti üçün edilə bilər.

Tərif4.2: İki təsadüfi dəyişən adlı müstəqilOnlardan birinin paylanması qanunu alınan digər dəyərin mümkün dəyərlərindən asılı deyilsə. Əks halda təsadüfi dəyişənlər asılıdır.

Tərif4.3: Bir neçə təsadüfi dəyişən Zəng etmək qarşılıqlı müstəqilİstənilən sayının paylanmasının qanunları mümkün dəyərlərin qalan dəyərlərin olduğu yerdən asılı deyildir.

Əmlak3:İki müstəqil təsadüfi dəyişənlərin işinin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərinin məhsuluna bərabərdir.

Nəticəsi: Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin işinin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərinin məhsuluna bərabərdir.

Əmlak4:İki təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Nəticəsi: Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Misal.Binomial təsadüfi dəyişənin riyazi gözlənilənini hesablayın X -tədbirin sayı A. içində n. təcrübələr.

Qərar: Ümumi say X. Hadisə Görünüşləri A. Bu testlərdə fərdi testlərdə hadisələrin saylarından ibarətdir. Təsadüfi dəyişənləri təqdim edirik X I. - Hadisələrin sayı i.- Riyazi gözləntilərlə bernoule'li təsadüfi dəyərlər olan testlər . Riyazi gözləntinin əmlakı ilə var

Bu minvalla, n və P parametrləri ilə binomial paylamanın riyazi gözləntisi NP məhsuluna bərabərdir.

Misal.Silahdan atəş edərkən hədəfə vurma ehtimalı p \u003d 0.6.10 atış istehsal olunarsa, hitlərin ümumi sayının riyazi gözlənilməsini tapın.

Qərar: Hər vuruş digər görüntülərin nəticələrindən asılı deyil, buna görə baxılan hadisələr müstəqildir və buna görə də istənilən riyazi gözləntidir

Hər biri ayrıca alınan bir dəyər, onun paylama funksiyası ilə tam olaraq müəyyən edilir. Ayrıca, praktik tapşırıqları həll etmək üçün bir neçə ədədi xüsusiyyətini bilmək üçün kifayət qədər, qısa formada təsadüfi dəyişənin əsas xüsusiyyətlərini təqdim etmək imkanı var.

Bu dəyərlər ilk növbədə istinad edilir. gözlənilən dəyər və dağılma .

Gözlənilən dəyər - ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişkənliyin orta dəyəri. Necə işarə edir.

Təsadüfi dəyişən riyazi gözlənilənin ən asan yolu X (w), kimi tapın ayrılmazLebesgue ehtimal ilə əlaqədar R mənbəyi ehtimalgah

Hələ kəmiyyətin riyazi gözləntini tapır İnteqral lebesgue dən h. Ehtimallar paylanması ilə R H. Dəyər X.:

harada - bütün mümkün dəyərlər dəsti X..

Təsadüfi dəyişəndən funksiyaların riyazi gözləntisi X. Paylama yolu ilə yerləşir R H.. misal üçün, əgər a X. - və dəyərləri olan təsadüfi dəyər f (x) - birmənalı borelevskayafunksiya H. , sonra:

Əgər a F (x) - Dağıtma funksiyası X.Sonra riyazi gözləntli təsəvvür edilir ayrılmazLebesga - Stilletes (və ya riemann - stily):

bu vəziyyətdə, inteqrasiya X. baxımından ( * ) əzanın inteqralına uyğundur

Xüsusi hallarda, əgər X. Ehtimal olunan dəyərlərlə diskret paylamasına malikdir x K., k \u003d 1, 2. və ehtimallar, sonra

əgər a X. Ehtimal sıxlığı ilə tamamilə davamlı paylama var p (x)T.

eyni zamanda, riyazi gözləntinin mövcudluğu müvafiq seriyanın və ya ayrılmaz olanın mütləq yaxınlaşmasına bərabərdir.

Təsadüfi dəyişən riyazi gözləntinin xüsusiyyətləri.

• Daimi bir dəyərin riyazi gözləntisi bu böyüklüyə bərabərdir:

C.- Sabit;

• M \u003d C.M [x]

• Təsadüfi alınan dəyərlərin miqdarının riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

• Müstəqil görülənlərin işinin riyazi gözləntisi \u003d riyazi gözləntilərinin məhsulu:

M \u003d m [x] + m [y]

əgər a X. və Y. Müstəqil.

bir sıra birləşirsə:

Riyazi gözləntini hesablamaq üçün alqoritm.

Diskret təsadüfi dəyişənlərin xüsusiyyətləri: Bütün dəyərləri təbii nömrələrlə icarəyə götürülə bilər; Sıfırdan başqa ehtimalını bərabərləşdirmək üçün hər bir dəyər.

1. Öz növbəsində cütü çevirin: x I. üstündə p I..

2. Hər cütün məhsulunu qatlayırıq x i p i.

Keçmişüçün n. = 4 :

Diskret təsadüfi paylama funksiyası Addım, ehtimalı müsbət bir işarə olan bu nöqtələrdə bir atlama ilə artır.

Misal:Formula tərəfindən riyazi bir gözləmə tapın.

Təsadüfi dəyişən Əvvəlcədən hər bir test nəticəsində bir naməlum dəyəri götürən dəyişən adlandırdı, bu da təsadüfi səbəblərdən asılıdır. Təsadüfi dəyişənlər kapital latın hərfləri ilə işarələnir: $ X, \\ y, \\ z, \\ \\ \\ \\ \\ nöqtələri $ Təsadüfi dəyişənlər növünə görə diskrap və davamlı.

Diskret təsadüfi dəyişkənliyi - Bu, dəyərləri sayıla bilən, bu, ya da sayıla bilən təsadüfi bir dəyişəndir. Hesablama, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin artırıla biləcəyi deməkdir.

Misal 1. . Diskret təsadüfi dəyişənlərin nümunələrini veririk:

a) $ N $ atışları olan hədəfdəki hitlərin sayı, burada $ 0, \\ 1, \\ \\ n $ \\ n $.

b) Sikkələrin boş sikkələrinin sayı, burada $ 0, \\ 1, \\ \\ N $ \\ n $.

c) Gəmidə gələn gəmilərin sayı (bir çox dəyərləri saymaq).

d) PBX-ə daxil olan zənglərin sayı (sayıla bilən bir çox dəyər).

1. Ehtimalın ayrıca dəyişkənliyinin bölüşdürülməsi qanunu.

Diskret təsadüfi birinci $ X $ dəyər ala bilər $ X_1, \\ nöqtələr, \\ x_n $ Sol \\ \\ X_N $ Sol (X_1 \\ sağ), \\ \\ nöqtə, \\ p \\ Sol (X_N \\ sağ) $. Bu dəyərlər və onların ehtimalları arasındakı uyğunluq deyilir diskret təsadüfi dəyişən. Bir qayda olaraq, bu yazışmalar $ x_1 dəyərləri \\ nöqtələr \\ $ x_n müəyyən olan ilk sıra, masa istifadə edərək müəyyən edilir, ikinci xətt ehtimalı bu dəyərlərə uyğun $ p_1, \\ nöqtələr, \\ p_n $.

$ \\ başlamaq (massiv) (| C | C |)
\\ hinl
X_i & x_1 & x_2 \\\\ nöqtələr və x_n \\\\
\\ hinl
P_i & p_1 & p_2 & \\ nöqtə və p_n \\\\
\\ hinl
\\ Son (massiv) $

Misal 2. . $ X $ -ın təsadüfi bir dəyəri - oynayan kub qəbul edərkən eynəklərin sayı düşdü. $ X $ -ın belə bir təsadüfi dəyəri aşağıdakı dəyərləri 1 $, \\ 2, \\ 3, \\ 5, \\ 6 $. Bütün bu dəyərlərin ehtimalı 1/6 $ -a bərabərdir. Sonra $ X $ -ın təsadüfi dəyişkənliyinin paylanması qanunu

$ \\ başlamaq (massiv) (| C | C |)
\\ hinl
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hinl

\\ hinl
\\ Son (massiv) $

Şərh. diskret təsadüfi dəyişən $ X $ hadisələr $ 1 \\ 2 \\ \\ nöqtələr \\ $ 6 forma hadisələrin tam qrupunun paylanması qanunu olduğundan, ehtimallar məbləği, yəni $ \\ məbləğ (p_i birlik bərabər olmalıdır ) \u003d 1 $.

2. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi.

Təsadüfi bir dəyişənin riyazi gözləntisi "Mərkəzi" dəyərini göstərir. diskret təsadüfi dəyişən üçün riyazi wait $ p_1 ehtimalı bu dəyərləri \\ nöqtələr üçün $ x_n \\ $ x_1 dəyərləri \\ nöqtələr məhsulları məbləği kimi hesablanır \\ p_n $ , ki,: sol $ m \\ (x \\ sağda) \u003d \\ Sum ^ n_ (i 1 \u003d) (p_ix_i) $. İngilis dilli ədəbiyyatda, başqa bir təyinat $ e \\ sol (x \\ sağ) $ istifadə edin.

Riyazi gözləntinin xüsusiyyətləri $ M \\ sol (x \\ sağ) $:

1. $ M \\ sol (x \\ sağ) $, $ X $ -ı bir təsadüfi bir dəyərin ən kiçik və ən böyük dəyərləri arasında bağlanır.
2. Daimi riyazi gözləntii daim özünə bərabərdir, I.E. $ M \\ sol (c \\ sağ) \u003d c $.
3. Riyazi gözlənti əlaməti üçün daimi bir çarpan edilə bilər: $ m \\ sol (CX \\ sağ) \u003d sm \\ sol (x \\ sağ) $.
4. Təsadüfi dəyişənlərin miqdarının riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: $ m \\ sol (x + sağ) \u003d m \\ sol (x \\ sağ) + m \\ sol (Y \\ sağ) $.
5. müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsul riyazi gözləməsi onların riyazi gözləmələri məhsul bərabərdir: $ M \\ (xy \\ sağda) \u003d m \\ sol (x \\ sağda) M \\ sol (y \\ sağ) $ ayrıldı.

Misal 3. . $ 2 $ -ın bir nümunəsindən bir X $ olan bir təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapırıq.

$$ m \\ sol (x \\ sağ) \u003d \\ cəmi ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) \u003d 1 \\ cdot ((1) \\ \\ \\ \\ CDOT ((1) \\ CDOT ((1) \\ (6) ) +3 \\ CDOT ((1) \\ OVER (6)) + 4 \\ CDOT ((1) \\ OVER (6)) + 5 \\ CDOT ((1) \\ OVER (6)) + 6 \\ CDOT ((1 ) \\ Bitdi (6)) \u003d 3.5. $$

Biz qeyd edə bilər ki, $ M \\ Sol (X \\ sağ) $ $ x $ təsadüfi dəyər dəyərləri kiçik ($ 1 $) və böyük ($ 6 $) arasında bağlanır.

Misal 4. . Təsadüfi bir dəyişənin riyazi gözləntinin $ x $ m $ m \\ sol (x \\ sağ) \u003d $ 2-ə bərabər olduğu məlumdur. 3x + $ 5 olan təsadüfi dəyişən bir riyazi bir gözləmə tapın.

yuxarıda xassələri istifadə edərək, get $ M \\ sol (3x + 5 \\ doğru) \u003d M \\ sol (3x \\ sağ) + M \\ sol (5 \\ sağda) \u003d 3M \\ sol (X \\ sağ) + 5 \u003d 3 \\ CDOT 2 + 5 \u003d 11 $.

Misal 5. . Bir təsadüfi dəyişənin riyazi gözləməsinin $ x $ $ \\ sol (x \\ sağ) \u003d 4 dollardır. $ 2x-9 $ olan təsadüfi bir müxtəlifliyin riyazi bir gözləməsini tapın.

Yuxarıda xüsusiyyətləri istifadə edərək, $ M \\ Sol əldə (2x-9 \\ Right) \u003d M \\ Sol (2x \\ sağ) m \\ sol (9 \\ Sağ) \u003d 2m \\ sol (x \\ sağda) -9 \u003d 2 \\ CDOT 4 -9 \u003d -1 $.

3. Diskret təsadüfi dəyişənin dağılması.

Bərabər gözləntilər olan təsadüfi dəyişənlərin mümkün dəyərləri orta dəyərləri ətrafında fərqli şəkildə fərqlənə bilər. Məsələn, iki tələbə qrupunda, ehtimal nəzəriyyəsi ilə bağlı imtahan üçün orta hesab 4-ə bərabər idi, lakin bir qrupda hamısı horosist, digər qrupda - yalnız troexniki və fərqlənmə idi. Buna görə də, riyazi gözləntisi ətrafında təsadüfi dəyərlərin səpilməsini göstərəcək təsadüfi bir dəyişən üçün belə bir ədədi xarakteristikaya ehtiyac var. Bu xarakterik dispersiya.

Dispersiya diskret təsadüfi dəyişən $ X bərabəri:

$$ d \\ sol (x \\ sağ) \u003d \\ cəmi ^ n_ (i \u003d 1) (\\ sol (x \\ sol (x \\ sağ) \\ sağ)) ^ 2). ^ $)

İngilis ədəbiyyatında, $ v \\ sol (x \\ sağ), \\ var \\ sol (x \\ sağ) $ istifadə olunur. Çox vaxt dispersiya $ d \\ sol (x \\ sağ) $ düstur $ d \\ sol (x \\ sağ) \u003d \\ Sum ^ n_ (I \u003d 1) (P_ix ^ 2_i) - (\\ sol (\\ (x \\ Sağ) \\ Right)) ^ $ 2 ayrıldı.

Dispersiya xüsusiyyətləri $ D \\ sol (x \\ sağ) $:

1. Dispersiya həmişə sıfırdan çox və ya bərabərdir, I.E. $ D \\ sol (x \\ sağ) \\ ge 0 $.
2. Daimi dispersiya sıfırdır, yurddur. $ D \\ sol (c \\ sağ) \u003d 0 $.
3. Daimi çarpan, dispersiya işarəsi üçün, meydanda inşaatına tabe olan I.E. $ D \\ sol (cx \\ sağ) \u003d c ^ 2d \\ sol (x \\ sağ) $.
4. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin miqdarının dağılması onların dağıntılarının cəminə bərabərdir, I.E. $ D \\ sol (x + y \\ sağ) \u003d d \\ sol (x \\ sağ) + d \\ sol (Y \\ sağ) $.
5. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin fərqinin dağılması onların dağıntılarının cəminə bərabərdir, I.E. $ D \\ sol (x-y \\ sağ) \u003d d \\ sol (x \\ sağ) + d \\ sol (Y \\ sağ) $.

Misal 6. . $ 2 $ -ın bir nümunəsindən X $ -ın təsadüfi dəyərinin dağılmasını hesablayırıq.

$$ D \\ sol (x \\ Sağ) \u003d \\ Sum ^ n_ (i \u003d 1) (sol p_i (\\ sol (x_i-m \\ (x \\ doğru) \\ doğru)) ^ 2) \u003d ((1) \\ OVER (6)) \\ CDOT (\\ sol (1-3.5 \\ RIGHT)) ^ 2 + ((1) \\ OVER (6)) \\ CDOT (\\ sol (2-3.5 \\ RIGHT)) ^ 2 + \\ DOTS + ( (1) \\ \\ bitdi (6)) \\ CDOT (\\ sol (6-3.5 \\ sağ)) ^ 2 \u003d ((35) \\ yuxarı (12)) \\ təxminən 2.92. $$

Misal 7. . Məlumdur ki, təsadüfi dəyişən bir $ x $ -ın dağılması $ D \\ sol (x \\ sağ) \u003d 2 $. $ 4x + $ 1 olan təsadüfi dəyişən bir dispersiya tapın.

Yuxarıdakı xüsusiyyətlərdən istifadə edərək, $ d \\ sol (4x + 1 \\ sağ) \u003d d \\ sol (4x \\ sağ) + d \\ sol (1 \\ sağ) \u003d 4 ^ 2d \\ sol (X ^ sağ) + 0 \u003d 16D \\ Sol (X \\ Sağ) \u003d 16 \\ CDOT 2 \u003d 32 $.

Misal 8. . Məlumdur ki, bir təsadüfi dəyişənin dağılması $ x $ $ d \\ sol (x \\ sağ) \u003d 3. 3-2x $ olan təsadüfi dəyişən bir dağıntı tapın.

Yuxarıdakı xüsusiyyətlərdən istifadə edərək, $ d \\ sol (3-2x \\ sağ) \u003d d \\ sol (3 \\ sağ) + d \\ sol (2x \\ sağ) \u003d 0 + 2 ^ 2d \\ sol (X \\ sağ) \u003d 4D \\ Sol (X \\ Sağ) \u003d 4 \\ CDOT 3 \u003d 12 $.

4. Diskret təsadüfi dəyişənin paylanması funksiyası.

Diskret təsadüfi dəyişənin bir sıra paylanması şəklində təmsil olunması metodu, tək deyil və əsas şey universal deyil, çünki davamlı təsadüfi dəyər bir sıra paylama istifadə edərək müəyyən edilə bilməz. Təsadüfi bir dəyişənin - paylama funksiyasını təmsil etmək üçün başqa bir yol var.

Paylama funksiyası $ $ X $ təsadüfi dəyəri $ x $ sabit dəyərindən az bir dəyər olacaq ki ehtimalını müəyyən $ F \\ Sol (x \\ sağ) funksiyası adlanır ki, x $ təsadüfi dəyər , $ F \\ sol (X \\ RIGHT) \u003d P \\ sol (x< x\right)$

Dağıtım funksiyasının xüsusiyyətləri:

1. $ 0 \\ le f \\ sol (x \\ sağ) \\ le $ 1.
2. $ X $ təsadüfi dəyəri $ \\ sol interval dəyərlər olacaq ehtimalı (\\ alfa; \\ doğru \\ beta \\) $, ucunda paylama funksiyası dəyərlər fərq bərabər Bu interval: $ p \\ sol (\\ alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \\ sol (x \\ sağ) $ uyğunsuzdur.
4. $ (\\ Mathop (Lim) _ (x \\ to - \\ ucu) f \\ sol (x \\ sağ) \u003d 0 \\), \\ (\\ Mathop (Lim) _ (x \\ to + + + + + + + + \\ ucu) f \\ sol (X \\ Sağ) \u003d 1 \\) $.

Misal 9. . $ 2 $ 2 $ bir misaldan Diskret təsadüfi dəyişənin paylama qanunu üçün paylama funksiyasını (X \\ sağ) $.

$ \\ başlamaq (massiv) (| C | C |)
\\ hinl
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hinl
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\\ hinl
\\ Son (massiv) $

$ Varsa x \\ le $ 1 $, sonra açıq-aydın, $ F \\ sol (x \\ doğru) \u003d 0 $ ($ x \u003d 1 $ F \\ sol (1 \\ sağda) \u003d p \\ sol (x, o cümlədən< 1\right)=0$).

$ 1 varsa.< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

$ 2 olarsa.< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3 dollar olarsa.< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4 dollar olarsa.< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5 dollar varsa.< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

sonra $ x\u003e $ 6, əgər $ f \\ sol (x \\ sağda) \u003d p \\ sol (x \u003d 1 \\ doğru) + p \\ sol (x \u003d 2 \\ sağ) + p \\ sol (x \u003d 3 \\ RIGHT) (x \u003d 6 \\ sağ) sol + P \\ sol (x \u003d 4 \\ sağ) + p \\ sol (x \u003d 5 \\ sağ) + p \\ \u003d 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 \u003d 1 $.

Beləliklə, $ f (x) \u003d \\ qalıb \\ (\\ başlayın (Matrix)
0, \\ x \\ x \\ le 1, \\\\
1/6, \\ 1-də< x\le 2,\\
1/3, \\ 2 ilə \\< x\le 3,\\
1/2, \\ 3-də< x\le 4,\\
2/3, \\ 4 ilə< x\le 5,\\
5/6, \\ 4 ilə \\< x\le 5,\\
1, \\ x\u003e 6 ilə.
\\ Son (Matrix) \\ Sağ. $

Riyazi gözlənti anlayışı bir tökmə kubu ilə nümunə olaraq nəzərdən keçirilə bilər. Hər atışla, parlaq eynəklər düzəldilir. Onların ifadələri üçün təbii dəyərlər 1 - 6 aralığında istifadə olunur.

Müəyyən sayda atışdan sonra, mürəkkəb olmayan hesablamalardan istifadə edərək, aşağı düşən balların orta hesab dəyərini tapa bilərsiniz.

Ayrıca, hər hansı bir sıra dəyərlərinin itirilməsi kimi, bu dəyər təsadüfi olacaqdır.

Bir neçə dəfə atışların sayını artırırsınız? salır böyük miqdarda üçün bal orta hesab dəyəri ehtimallar nəzəriyyəsi riyazi gözləməsi adı yaxınlaşdı ki, müəyyən sayda müraciət edəcək.

Beləliklə, riyazi gözləntin altında təsadüfi dəyişənin orta dəyəri kimi başa düşülür. Bu göstərici də ehtimal olunan dəyərin ölçülmüş dəyərləri kimi də təqdim edilə bilər.

Bu konsepsiyada bir neçə sinonim var:

• deməkdir;
• orta dəyər;
• mərkəzi trend dərəcəsi;
• İlk an.

Başqa sözlə, təsadüfi dəyişkənliyin dəyərlərinin paylanması ətrafında fərqli bir şey deyil.

İnsan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində, riyazi gözləntini başa düşmək üçün yanaşmalar bir qədər fərqli olacaq.

Bu sayıla bilər:

• belə bir qərarın çox say nəzəriyyəsi nəzəriyyəsi baxımından nəzərə alındığı halda qərarın qəbul edilməsi ilə alınan orta fayda;
• qazanan və ya zərərin mümkün miqdarı (qumar nəzəriyyəsi), hər biri üçün orta hesabla hazırlanmışdır. Slangda, onlar "oyunçunun üstünlüyü" (oyunçu üçün müsbət) və ya "kazino üstünlüyü" (player üçün mənfi) kimi səslənirlər;
• qazanan mənfəətin faizi.

Tamamilə bütün təsadüfi dəyişənlər üçün materializasiya məcburi deyil. Müvafiq məbləğ və ya ayrılmaz arasında uyğunsuzluq olanlar üçün itkin düşür.

Riyazi gözləntinin xüsusiyyətləri

Hər hansı bir statistik parametrdə olduğu kimi, riyazi gözləntinin xüsusiyyətləri var:

Riyazi gözlənti üçün əsas düsturlar

Riyazi gözləntiin hesablanması həm davamlılıq, həm də həmin davamlılığı (Formula A) və seçimi (Formula B) tərəfindən xarakterizə olunan hər iki təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirilə bilər:

1. M (x) \u003d σi \u003d 1nxi⋅pi, burada XI - təsadüfi dəyişən, pi - ehtimalın dəyəri:
2. M (x) \u003d ∫ + ∫-∞f (x) ⋅xdx, burada f (x) bir ehtimal sıxlığıdır.

Riyazi gözləntinin hesablanması nümunələri

Misal A.

Gnomes'in qar ağı haqqında bir nağılda orta böyüməsini öyrənmək mümkündür. Məlumdur ki, 7 Gnomların hər birinin müəyyən bir hündürlüyü var: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 və 0.81 m.

Hesablama alqoritmi olduqca sadədir:

• bütün böyümə göstərici dəyərlərinin cəmini (təsadüfi dəyər) tapırıq:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• yaranan məbləğ Gnomes sayına görə bölünür:
  6,31:7=0,90.

Belə ki, bir nağıl gnomes orta artım 90 sm-dir. Başqa sözlə, gnomes inkişafı üçün riyazi gözləmə.

İş formulu - m (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

Riyazi gözləntinin praktik tətbiqi

Riyazi gözləntilərin statistik göstəricisinin hesablanması praktik fəaliyyətin müxtəlif sahələrinə əl atır. Əvvəlcə kommersiya sahəsindən bəhs edirik. Axı, bu göstərici Guigensin tətbiqi, bəzi hadisə üçün əlverişsiz və ya əksinə ola biləcək şansların tərifi ilə əlaqələndirilir.

Bu parametr riskləri qiymətləndirmək üçün geniş istifadə olunur, xüsusən də maliyyə sərmayələri haqqında danışırıqsa.
Beləliklə, riyazi gözləntinin hesablanmasında sahibkarlığı qiymətin hesablanmasında riski qiymətləndirmək üçün bir üsul kimi xidmət edir.

Ayrıca, bu və ya digər fəaliyyətlərin səmərəliliyini, məsələn, əməyin mühafizəsi barədə səmərəliliyi hesab edərkən bu göstərici istifadə edilə bilər. Onun sayəsində bir hadisənin ehtimalını hesablamaq mümkündür.

Bu parametrin başqa bir tətbiq dairəsi idarəetmədir. Məhsul keyfiyyətinə nəzarət edərkən də hesablana bilər. Məsələn, matın köməyi ilə. İstehsal qüsurlu hissələrinin mümkün miqdarını hesablaya biləcəyinizi gözləyirəm.

Əvəzolunmaz bir mat. Adı elmi tədqiqat zamanı əldə edilən nəticələrin statistik işlənməsi zamanı da verilir. Məqsədin əldə olunmasının səviyyəsindən asılı olaraq təcrübənin və ya araşdırmanın arzuolunan və ya istenmeyen nəticəsi ehtimalını hesablamağa imkan verir. Axı, onun nailiyyəti qazanma və fayda ilə əlaqələndirilə bilər və bir nailiyyət deyil - zərər və ya itki kimi.

Forex üçün riyazi gözləntinin istifadəsi

Bu statistik parametrin praktik tətbiqi xarici valyuta bazarında əməliyyatlar apararkən mümkündür. Bununla ticarət əməliyyatlarının uğurunu təhlil edə bilərsiniz. Gözləyənlərin dəyərinin artması uğurlarının artmasını nə göstərir.

Riyazi gözləntinin treyderin işini təhlil etmək üçün istifadə olunan yeganə statistik parametr kimi qəbul edilməməsi də yaddır. Bir neçə statistik parametrlərin istifadəsi orta dəyərlə birlikdə analizin analizinin dəqiqliyini dəfələrlə artırır.

Bu parametr ticarət hesablarının monitorinqi ilə özünü sübut etdi. Onun sayəsində depozit hesabında aparılan işin tez qiymətləndirilməsi aparılır. Treyderin fəaliyyətinin uğurlu olduğu hallarda və itkilərdən qaçınır, riyazi gözlənilənin hesablanmasından zövq almaq tövsiyə edilmir. Bu hallarda, təhlilin effektivliyini azaldan risklər nəzərə alınmır.

Tədqiq olunan işlər taktik tacirləri bunu göstərir:

• təsadüfi girişdə olan taktikalardan ən təsirli növbədə;
• strukturlaşdırılmış girişlərə əsaslanan ən təsirli - taktika.

Müsbət nəticələrə nail olmaq üçün daha da vacib deyil:

• kapital idarəetmə taktikası;
• Çıxış strategiyaları.

Belə bir göstərici riyazi bir gözləmə kimi istifadə edərək, 1 dollar bağlayarkən mənfəətin nə itkinin olacağını güman etmək olar. Məlumdur ki, bu göstərici, institutun xeyrinə kazinoda tətbiq olunan bütün oyunlar üçün hesablanır. Pul qazanmağa imkan verən budur. Uzun bir sıra oyun vəziyyətində, müştəri tərəfindən pul itkisi ehtimalı xeyli artır.

Peşəkar oyunçular kiçik müvəqqəti fasilələrlə məhdudlaşır, bu da qazanma ehtimalını artırır və itirmə riskini azaldır. Eyni nümunə investisiya əməliyyatlarının həyata keçirilməsində müşahidə olunur.

İnvestor, kiçik bir müddət ərzində çox sayda əməliyyat və çox sayda əməliyyat etməklə əhəmiyyətli bir miqdar qazana bilər.

Gözləmə, orta mənfəət (AW) və orta zərər (AL) başına (AL) bir zərər (PL) mənfəət faizinin (PW) mənfəətinin (PW) qazancının fərqi kimi qəbul edilə bilər.

Nümunə olaraq aşağıdakıları nəzərdən keçirə bilərsiniz: mövqe - 12,5 min dollar, portfel - 100 min dollar, depozit riski - 1%. Əməliyyatların gəlirliliyi 40% -dir 40%, orta mənfəətdə 20% təşkil edir. Zərər olduqda, orta itkilər 5% -dir. Əməliyyat üçün riyazi gözləntinin hesablanması 625 dollar dəyərində bir dəyər verir.