Qrafik funksiyası üçün şaquli asimptotes görünüşü var. Asimptotes qrafik qrafikası. Funksiya cədvəlində neçə asimpt ola bilər

Asimptotes qrafik qrafikası

Ghost asimptotes, saytdan çoxdan dolaşdı ki, nəhayət ayrı bir məqalədə reallaşdırın və oxucuların xüsusi zövqünə səbəb olma funksiyanın tam öyrənilməsi. Krafiklərin asimptlərini tapmaq - məktəb kursunda yalnız nisbi qaydada işıqlandırılmış, çünki hadisələrin hesablanması ətrafında fırlandığına qədər olan müəyyən edilmiş vəzifənin bir neçə hissəsindən biridir funksiyaların hüdudlarıVə onlar hələ də ən yüksək riyaziyyat üçündür. Riyazi analizdə zəif sökülən qonaqlar, bir işarə, düşünürəm ki, başa düşüləndir ;-) ... dayanma, sən haradasan? Məhdudiyyət - Bu asandır!

Asimptin nümunələri dərhal ilk dərsdə görüşdü İbtidai funksiyaların qrafikləriİndi mövzu ətraflı bir fikir alır.

Bəs asimptota nədir?

Təsəvvür etmək dəyişkən nöqtəfunksiyanın qrafikasına görə "sürücülük". Asimptota düz, whcih üçün limitsiz yaxındır Dəyişən nöqtəsini sonsuzluğa çıxararkən funksiyanın qrafiki yaxınlaşır.

Qeyd : Tərif, riyazi analizin simvollarında sözlərə ehtiyacınız varsa, dərslikə baxın.

Təyyarədə asimptotlar təbii məkana görə təsnif edilir:

1) Şaquli asimptatlar"Alpha" ın etibarlı say olduğu növlərin tənliyi ilə müəyyən edilir. Populyar nümayəndə təyin olunan bayquşu müəyyənləşdirir
Yüngül ürək bulanması hücumu ilə Hiperbolanı xatırlayırıq.

2) Meylli asimptlər Ənənəvi olaraq qeyd edildi tənlik birbaşa bucaqlı bir əmsal ilə. Bəzən ayrı bir qrup xüsusi bir iş ayırır - Üfüqi asimptotlar. Məsələn, asimptota ilə eyni hiperbola.

Mən çox yerə getdim, sürtdüm, Mövzuya qısa bir avtomobil növbəsi:

Neçə asimpte bir funksiya cədvəli ola bilər?

Bir, bir, iki, üç, ... və ya sonsuz bir şey deyil. Nümunələr üçün uzaqlaşmayacaq, yadda saxla İbtidai funksiyaları. Parabola, Kub Parabola, sinusoid heç də asimpte yoxdur. Eksponensial, logaritmik funksiyasının qrafiki yalnız asimptota var. Arcthangence, Arkkothencence, onlardan ikisi var və tangens, Kotangenes, sonsuzdur. Cədvəl üfüqi və şaquli asimptlər ilə təchiz olunduqda nadir deyil. Hiperbole, həmişə sizi sevəcəkdir.

Nə deməkdir?

Şaquli asimptotes qrafika funksiyaları

Şaquli asimptota qrafikası ümumiyyətlə yerləşir sonsuz yırtığın sonunda Funksiyaları. Hər şey sadədir: nöqtədə funksiya sonsuz bir boşluq dözürsə, tənliklə göstərilən düz xətt qrafikin şaquli asimptotasıdır.

Qeyd : Xahiş edirəm qeyd edin ki, qeyd iki tamamilə fərqli anlayış təyin etmək üçün istifadə olunur. Məsələ düşünülür və ya tənlik birbaşadir - kontekstdən asılıdır.

Beləliklə, nöqtədə şaquli asimptlərin varlığını qurmaq üçün bunu göstərmək kifayətdir ən azı bir Birtərəfli həddən sonsuz. Ən çox bu funksiyanın denominatorunun sıfır olduğu bir nöqtədir. Əslində, dərsin son nümunələrində şaquli asimptləri tapmışıq. funksiyanın davamlılığı haqqında. Ancaq bəzi hallarda yalnız birtərəfli həddi var və əgər o, sonsuzdursa, yenə də - şaquli asimptini sevin və şikayət edin. Ən sadə illüstrasiya: və tənzimləmə oxu (bax) İbtidai funksiyaların qrafikləri və xüsusiyyətləri).

Yuxarıda göstəriləndən, bu da açıq bir həqiqətdir: funksiya davamlıdırsa, sonra şaquli asimptotlar yoxdur. Nədənsə parabola ağla gəldi. Həqiqətən, "yapışdı" haradadır? ... bəli ... başa düşürəm ... freyd freud beat histerics-də davamçıları \u003d)

Tərs ifadəsi ümumiyyətlə səhvdir: Beləliklə, funksiya bütün ədədi sətirdə müəyyənləşdirilmir, lakin tamamilə asimptlər tərəfindən məhrumdur.

Funksiya qrafiklərinin meylli asimptləri

Meylli (xüsusi bir iş yeri - üfüqi) asimptotes, funksiya mübahisəsi "üstəlik" və ya "mənfi sonsuzluğa" meylli olarsa, tərtib edilə bilər. buna görə funksiyanın qrafikində iki meylli asempte ola bilməz. Məsələn, eksponensial funksiyanın bir qrafiki, yeganə üfüqi asempte və iki asimpt ilə arkodent cədvəlinə malikdir.

Cədvəli və orada və yalnız meylli asimptota ilə yaxınlaşdıqda, "Sonsuzluq" bir rekord altında birləşdirmək üçün hazırlanmışdır. Məsələn, ... düzgün təxmin edildi :.

Ümumi praktik qayda:

İkisi varsa sonsuz məhdudlaşdırmaq , sonra birbaşa funksiyanın qrafikinin meylli asimptotasıdır. Əgər a ən azı bir Siyahıda göstərilən hədlər sonsuz, meylli asimptota yoxdur.

Qeyd : Düsturalar "X" yalnız "üstəlik sonsuzluğa" və ya yalnız "mənfi sonsuzluğa" axtarırsa, etibarlı qalır.

Parabolaların meylli asimpt olmadığını göstəririk:

Limit sonsuzdur, bu, meylli asimptotanın olmaması deməkdir. Qeyd edək ki, həddi tapmaq Cavab artıq alındığı üçün ehtiyac yox idi.

Qeyd : "Plus-mənfi", "Minus-Plus" əlamətlərini başa düşməklə çətinlikləriniz varsa (və ya yaranarsa), xahiş edirəm dərsin əvvəlində sertifikata baxın
sonsuz kiçik funksiyalar haqqındaBu əlamətləri necə düzgün şərh edəcəyimi söylədim.

Aydındır ki, hər hansı bir kvadrat, kub funksiyası, 4-cü və ən yüksək dərəcələrin polinomiyası, meylli asimpt də yoxdur.

İndi qrafikin asempte də olmadığı zaman əmin olacaqsınız. Qeyri-müəyyənlik istifadəsini açıqlamaq lopital qayda:
Yoxlamaq üçün nə tələb olunurdu.

Funksiya getdikcə artır, lakin onun cədvəlinin yaxınlaşacağı üçün belə düz bir xətt yoxdur sonsuz yaxındır.

Dərsin praktik hissəsinə gedin:

Asimptotes qrafik qrafiklərini necə tapmaq olar?

Tipik bir işin necə qurulduğunu və bu, qrafiklərin (şaquli, meylli / üfüqi) bütün asimptlərini tapmaqdan ibarətdir. Məsələnin formalaşdırılmasında daha dəqiqdirsə, asimptlərin olması üçün araşdırma haqqında danışırıq (çünki bunlar ümumiyyətlə ola bilməz). Sadə bir şeydən başlayaq:

Misal 1.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar İki nöqtəyə bölmək rahatdır:

1) Əvvəlcə şaquli asimptlərin olub olmadığını yoxlayın. Maye sıfıra çəkilir və dərhal aydındır ki, bu anda funksiya dözür sonsuz fasiləvə tənliklə müəyyən edilmiş düz xətt funksiyanın funksiyasının şaquli asimptotasıdır. Ancaq belə bir nəticə verməzdən əvvəl bir tərəfli həddi tapmaq lazımdır:

Məqalədə dayandığım hesablama texnikasını xatırladıram Davamlılıq funksiyası. Sprey nöqtələri. "IKSA" əvəzinə həddinin işarəsi altında ifadədə əvəz edə bilərik. Numeratorda maraqlı bir şey yoxdur:
.

Lakin denominatorda çıxır sonsuz kiçik mənfi nömrə:
, həddin taleyini müəyyənləşdirir.

Sol tərəfli həddi sonsuzdur və prinsipcə, şaquli asimptlərin iştirakı ilə artıq hökmü dözə bilərsiniz. Ancaq tək tərəfli hədlər yalnız bunun üçün lazım deyil - başa düşməyə kömək edir Kimibir funksiyanın bir qrafiki yerləşdirin və qurun Düzgün. Buna görə mütləq sağ tərəfli həddi hesablayırıq:

Çıxış: Bir tərəfli məhdudiyyətlər sonsuzdur, o deməkdir ki, birbaşa funksiya qrafiklərinin şaquli asimptotasıdır.

İlk məhdudiyyət sonsuzBeləliklə, "Söhbəti davam etdirmək" və ikinci həddi tapmağınız lazımdır:

İkinci məhdudiyyət də sonsuz.

Beləliklə, asimptlərimiz:

Çıxış: Tənliklə verilən düz xətt, funksiya qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

Üfüqi asimptləri tapmaq
sadələşdirilmiş bir düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

Varsa sonsuz Limit, sonra birbaşa funksiya qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

Numerator və denominator funksiyasını hiss etmək asandır bir böyümə qaydasıBeləliklə, istədiyiniz həddə son olacaq:

Cavab vermək:

Vəziyyəti altında rəsm çəkmək lazım deyil, ancaq tam sürətlə tədqiqat funksiyası, sonra Chernovik'də dərhal eskizlər düzəldin:

Tapılan üç həddə əsaslanaraq, cədvəlin necə yerləşə biləcəyini müstəqil qiymətləndirməyə çalışın. Tamamilə çətindir? 5-6-7-8 bal tapın və rəsmdə qeyd edin. Bununla birlikdə, bu funksiyanın cədvəli istifadə olunur elementary funksiyası qrafik dəyişiklikləriVə bu maddənin 21 nümunəsini diqqətlə nəzərdən keçirən oxucular asanlıqla hansı əyri olduğunu təxmin edəcəklər.

Misal 2.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bu müstəqil bir həll üçün bir nümunədir. Proses, xatırladıram ki, iki nöqtəyə - şaquli asimpt və meylli asimptlərə bölünmək rahatdır. Nümunə məhlulunda üfüqi asimptota sadələşdirilmiş bir sxemdə tapıldı.

Təcrübədə fraksiya rasional funksiyaları ən çox rast gəlinir və hiperboles üzərində təlimdən sonra tapşırığı çətinləşdirir:

Misal 3.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar: Bir dəfə, iki və hazırdır:

1) Şaquli asimptlər yerləşir sonsuz fasilənin nöqtələrindəBuna görə, denominatorun sıfıra çevrildiyini yoxlamaq lazımdır. Qətiyyətli kvadrat tənlik:

Ayrı-seçkilik müsbətdir, buna görə tənliyin iki etibarlı kökü var və iş əhəmiyyətli dərəcədə əlavə olunur \u003d)

Birtərəfli məhdudiyyətləri daha da tapmaq üçün, kvadrat trotter çarpanları parçalamaq üçün əlverişlidir.:
(Yığcam bir qeyd "mənfi" üçün ilk mötərizəyə töhfə verildi). Süspansiyon üçün, bir çek, ya da zehni olaraq açılış mötərizəsi üzərində bir çeki yerinə yetiririk.

Funksiyanı formada yenidən yazın

Nöqtədə bir tərəfli məhdudiyyətlər tapın:

Və nöqtədə:

Beləliklə, düz xətlər, hesab olunan funksiyanın qrafik asimptləridir.

2) Funksiyaya baxsanız , həddinin sonlu olacağı və üfüqi asimptota var ki, olduqca aydındır. Bunu qısa bir şəkildə göstərək:

Beləliklə, düz xətt (Abscissa Axis) bu funksiyanın qrafikinin üfüqi asimpttipidir.

Cavab vermək:

Tapılan məhdudiyyətlər və asimptlər cədvəl funksiyası haqqında çox məlumat verir. Aşağıdakı faktları nəzərə alaraq rəsmləri zehni təsəvvür etməyə çalışın:

Qaralama qrafikin versiyasını sxematik olaraq təsvir edin.

Əlbətdə ki, məhdudiyyətlər birmənalı şəkildə qrafik növünü müəyyənləşdirdi və bəlkə də bir səhv etməyə icazə verilir, amma məşqdə özü də əvəzsiz kömək olacaqdır funksiyanın tam funksiyası. Doğru şəkil dərsin sonundadır.

Misal 4.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Misal 5.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bunlar müstəqil bir həll üçün vəzifələrdir. Hər iki qrafika yenidən aşağıdakı xüsusiyyətlər tərəfindən dərhal aşkar edilmiş üfüqi asimptote var: nümunə 4 hündürlük məmur daha çoxNumeratorun böyüməsi qaydasından və məsələn 5 ədəd və denominator bir böyümə qaydası. Həll nümunəsində ilk funksiya meylli asimptlərin olması üçün öyrənilir, ikincisi isə həddindən artıqdır.

Üfüqi asimptotlar, subyektiv təəssüratımda, "həqiqətən meylli" olduğundan daha çox nəzərə çarpır. Çoxdan gözlənilən ümumi dava:

Misal 6.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar: Janrın klassikləri:

1) məxrəcə müsbət olduğundan, onda funksiya davamlı Bütün ədədi birbaşa birbaşa və şaquli asimptlər yoxdur. ... yaxşıdır? Söz deyil - əla! 1 nömrəli bənd bağlandı.

2) meylli asimptlərin varlığını yoxlayın:

İlk məhdudiyyət sonsuz, buna görə daha da irəli gedirik. Aradan qaldırmaq üçün ikinci həddi hesablamaq zamanı qeyri-müəyyənlik "sonsuzluq sonsuzluğu" General məxrəcə bir ifadə veririk:

İkinci məhdudiyyət də sonsuzBuna görə də, baxılan funksiyanın qrafikində meylli asimptee var:

Çıxış:

Beləliklə, funksiya cədvəli ilə sonsuz yaxındır birbaşa yaxınlaşır:

Qeyd edək ki, koordinatların başında meylli asimptotomu keçir və bu cür kəsişmə nöqtələri olduqca məqbuldur - "hər şey yaxşı idi" vacibdir (əslində asimptlər haqqında danışırıq və orada çıxırıq).

Misal 7.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar: Şərh üçün heç bir şey yoxdur, buna görə nümunəvi bir nümunə həlli verəcəyəm:

1) şaquli asimptatlar. Məsələni araşdırırıq.

Direct qrafika üçün şaquli asimptotadır.

2) meylli asimptlər:

Direct qrafika üçün asimptota meyllidir.

Cavab vermək:

Birtərəfli məhdudiyyətləri tapdı və yüksək etibarlılıq olan asimptlər bu funksiyanın qrafikinin necə göründüyünü güman etməyə imkan verir. Dərsin sonunda düzgün rəsm.

Misal 8.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bu, müstəqil bir həll üçün bir nümunə, bəzi məhdudiyyətlərin hesablanması rahatlığı üçün rəqəmli rəqəmini denominatora bölmək olar. Yenə də alınan nəticələrin təhlil edilməsi, bu xüsusiyyətin cədvəlini çəkməyə çalışın.

Aydındır ki, "Real" meylli asimptlərin sahibləri daha yüksək dərəcəsi olan fraksiyalı rasional funksiyaların qrafikləridir vahid başına daha çox böyük denominatorun yüksək dərəcəsi. Daha çox - meylli asimptatlar artıq (məsələn,) olmayacaqdır.

Ancaq həyatda digər möcüzələr yaranır:

Misal 9.

Misal 11.

Asimptin olması üçün funksiyanın qrafikini araşdırın

Qərar: bəllidir , Buna görə də, bir funksiya cədvəli olduğu yerdə yalnız sağ yarısını hesab edirik.

Beləliklə, düz (tənzimləmə oxu) funksiya qrafikası üçün şaquli asimptotadır.

2) meylli asimptotium üzrə tədqiqatlar tam sxemdə həyata keçirilə bilər, lakin məqalədə Lopital qaydalar Buna görə logaritmikdən daha yüksək bir böyümə sifarişinin xətti funksiyasını bildik. (Eyni dərsdən 1-ə baxın).

Nəticə: Abscissa Axis, funksiya qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

Cavab vermək:
, əgər varsa;
, əgər a.

Aydınlıq üçün rəsm:

Maraqlıdır ki, bənzər bir asimpt funksiyası kimi görünür, yox (yoxlamaq istəyən) yoxdur.

Özünü öyrənmək üçün iki son nümunə:

Misal 12.

Asimptin olması üçün funksiyanın qrafikini araşdırın

1. Asimpton anlayışı

Funksiyaların qrafiklərinin qurulmasının vacib mərhələlərindən biri asimpt axtarmaqdır. Asimptlər ilə dəfələrlə tanış olduq: funksiyaların qrafiklərini qurarkən, y \u003d tgx., y \u003d ctgx. Onları funksiyanın qrafikini "axtar", ancaq heç vaxt keçməyəcəyi xətlər kimi təyin etdik. Asimptin dəqiq bir tərifi verməyin vaxtı gəldi.

Asimptotlar üç növdür: şaquli, üfüqi və meyllidir. Rəsm asimptotes, nöqtəli xətləri təyin etmək adətdir.

Bütün növ asimptin növlərinin aydın şəkildə göründüyü funksiyanın (Şəkil 16.1) tərəfindən hazırlanmış süni şəkildə tərtib edilmiş cədvəlini nəzərdən keçirin:

Asimptin hər növünü müəyyənləşdirək:

1. düz x \u003d A. adlı Şaquli asimptota Funksiyaları varsa.

2. düz y \u003d s adlı Üfüqi asimptota Funksiyaları varsa.

3. düz y \u003d kx + badlı meylli asimpto Funksiyaları varsa.

Meylli asimptlərin həndəsi olaraq təyin edilməsi deməkdir ki, → ∞, funksiyanın qrafiki düz bir xəttə yaxından yaxındır y \u003d kx + b. Praktik olaraq üst-üstə düşürlər. Demək olar ki, eyni ifadələr arasındakı fərq sıfır axtarır.

Qeyd edək ki, üfüqi və meylli asimptlər yalnız vəziyyətə əsasən hesab olunur → ∞. Bəzən onlar üfüqi və meylli asempte-də → + ∞ və → -∞-də fərqlənir.

1. Axtarış asimpt üçün alqoritm

Asimpt axtarmaq üçün aşağıdakı alqoritmdən istifadə edə bilərsiniz:

Şaquli asimptlər bir, bir qədər və ya tamamilə olmaya bilər.

• C bir nömrə varsa y \u003d s - üfüqi asimptota;
• İlə - sonsuzluq, onda üfüqi asimpt yoxdur.

Funksiya iki hüceyrənin nisbətidirsə, funksiyanın üfüqi asimptotes varsa, meylli asimptlər axtarmayacaq - onlar deyil.

Asemptotes funksiyalarının tapılması nümunələrini nəzərdən keçirin:

Misal 16.1. Əyrinin asimptlərini tapın.

Qərar h.-1≠0; h.≠1.

Düz olub olmadığını yoxlayın x \u003d1 şaquli asimptota. Bunu etmək üçün, nöqtədə funksiyanın həddini hesablayın x \u003d1: .

x \u003d1 - şaquli asimptota.

dən= .

dən\u003d \u003d. Çünki dən\u003d 2 (sayı), sonra y \u003d 2. - üfüqi asimptota.

Funksiya polinomiyaların əlaqəsi olduğundan, onda üfüqi asimptlərin iştirakı ilə, meylli asimptin olmadığını iddia edirik.

x \u003d1 və üfüqi asimptot y \u003d 2.Aydınlıq üçün bu xüsusiyyətin qrafiki Şəkildə göstərilir. 16.2.

Misal 16.2.. Əyrinin asimptlərini tapın.

Qərar. 1. Funksiya tərifi sahəsini tapın: h.-2≠0; h.≠2.

Düz olub olmadığını yoxlayın x \u003d2 şaquli asimptlər. Bunu etmək üçün, nöqtədə funksiyanın həddini hesablayın x \u003d2: .

Buna görə aldı x \u003d2 - şaquli asimptota.

2. Tapdığımız üfüqi asimptləri axtarırıq: dən= .

Məhdudiyyətin qeyri-müəyyənliyi göründüyü üçün, LOPITAL QAYDALARI İSTƏYİRİK: dən\u003d \u003d. Çünki dən- Sonsuzluq, onda üfüqi asimpt yoxdur.

3. meylli asimptləri axtarmaq üçün tapırıq:

Növlərin qeyri-müəyyənliyini aldı, LOPITAL QAYDASININI istifadə edirik: \u003d \u003d 1. Beləliklə, 1. tapın b.düstura görə: .

b \u003d. = =

Aldı B \u003d. 2. Sonra y \u003d kx + b -meylli asimptota. Bizim vəziyyətimizdə forma var: y \u003d x + 2.

Nəzarət sualları:

Mühazirə 17. Ümumi tədqiqat sxemi funksiyası və tikinti qrafikası

Bu mühazirədə ən əvvəllər öyrənilən materialları ümumiləşdirəcəyik. Uzun yolumuzun son məqsədi hər hansı bir analitik olaraq müəyyən edilmiş funksiyanı araşdıra və cədvəlini qurmağı bacarmaqdır. Tədqiqatımızın vacib bağlantılarımız həddindən artıq, monotoniyaların, konveksiya və təmkinli qrafiklərin, funksiyanın qrafikinin asimptlərini axtararaq, monotoniyaların, konvekslik və təmkinli qrafiklərin təyini, konveksiya və təmkinli qrafiklərin öyrənilməsi olacaqdır.

Yuxarıda göstərilən bütün cəhətləri nəzərə alsaq, veririk sxem Tədris funksiyası və tikinti cədvəli .

1. Sahə tərifi sahəsini tapın.

2. Dəqiqlik funksiyasını araşdırın:

· Əgər, onda funksiya hətta (hətta funksiyanın funksiyaları oxa münasibətdə simmetrikdir) Oğul);

· Əgər funksiyalar təkdirsə (qəribə bir funksiyanın bir cədvəli koordinatların başlanmasına simmetrik qohumu);

· Əks təqdirdə, funksiya nə, nə də qəribə deyil.

3. Tezlik funksiyasını araşdırın (bizimlə öyrənilən funksiyalar arasında yalnız trigonometrik funksiyalar ola bilər).

4. Koordinatların oxları ilə funksiyanın qrafiklərinin kəsişməsinin nöqtəsini tapın:

· Oh: w.\u003d 0 (yalnız bizə məlum olan metodlardan istifadə edə bilsək tənliyin həlli);

· Oğul: h.=0.

5. İlk təvazökar funksiyanı və ilk növün tənqidi nöqtələrini tapın.

6. Monotoniyanın fasilələri və ekstremal funksiyalarını tapın.

7. İkinci növün ikinci törəmə funksiyasını və kritik nöqtələrini tapın.

8. Funksiyanın və fonceksiya nöqtəsinin konveksity-uyğunlaşma qrafiklərinin aralıqlarını tapın.

9. Funksiyanın qrafiklərinin asimptlərini tapın.

10. Bir funksiya qrafiki qurun. Qurulma nəzərə alınmalıdır asimptin yaxınlığında mümkün cədvəl halları :

11. Lazım gələrsə, daha dəqiq tikinti üçün nəzarət nöqtələrini seçin.

Funksiya üçün bir tədqiqat sxemini nəzərdən keçirin və cədvəlini müəyyən nümunələr üzərində qurun:

Misal 17.1.. Funksiyanın bir qrafiki qurun.

Qərar. 1. Bu funksiya istisna olmaqla, bütün ədədi birbaşa müəyyən edilir h.\u003d 3, çünki Bu nöqtədə, denominator sıfıra çəkir.

2. Funksiyanın pariteti və qəribə olduğunu müəyyən etmək üçün tapırıq:

Nəticədə funksiya nə, nə də qəribə deyil.

3. Ortadan olmayan funksiya.

4. Kəskin balta ilə kəsişmə nöqtələrini tapın. Axis ilə kəsişmə nöqtəsini tapmaq Oh institut w.\u003d 0. Tənliyi əldə edirik :. Beləliklə, nöqtə (0; 0) koordinat baltaları ilə kəsişmə nöqtəsidir.

5. Fraksiyanın fərqləndirilməsi qaydasına görə törəmə funksiyanı tapın: \u003d \u003d \u003d \u003d.

Tənqidi nöqtələri tapmaq üçün, törəmə funksiyasının 0-a bərabər olduğu və ya mövcud olmayan nöqtələri tapırıq.

Əgər \u003d 0, buna görə də. Bundan sonra məhsul 0-a bərabərdir, ən azı çarpanlardan biri 0: və ya.

h.-3) 2, 0, i.E. Mövcud deyil h.=3.

Beləliklə, funksiyanın ilk növünün üç kritik nöqtəsi var :; Açıqlayır; .

6. Rəqəmsal oxda, ilk növün kritik nöqtələrini qeyd edirik və nöqtə boya nöqtəsi deyil, çünki Bunda müəyyənləşdirilməyib.

Derivativin əlamətlərini \u003d hər bir intervalda qoyduq:

Interval ilə, harada, ilkin funksiya artır ((-∞; 0]), harada - azalır (nə vaxt).

Fəhm h.\u003d 0 funksiyanın maksimal nöqtəsidir. Maksimum funksiyanı tapmaq üçün funksiyanın dəyərini 0-da tapırıq:.

Fəhm h.\u003d 6 minimum bir funksiyanın bir nöqtəsidir. Minimum funksiyanı tapmaq üçün funksiyanın dəyərini 6-da tapırıq:.

Tədqiqat nəticələri masaya əlavə edilə bilər. Masadakı satırların sayı dördə bərabərdir və dördə bərabərdir və sütunların sayı təhsil altında olan funksiyadan asılıdır. Birinci sətirin hüceyrələrində, fasilələr kritik nöqtələrin tənqidi xalları da daxil olmaqla funksiyanı müəyyənləşdirmək funksiyasını bölüşdürən. Tərif sahəsinə aid olmayan bir nöqtəni qurmağın səhvlərinin qarşısını almaq üçün cədvəl daxil edə bilməzsiniz.

Cədvəlin ikinci sətirində, nəzərə alınan fasilələrin hər birində törəmə əlamətləri və kritik nöqtələrin törəməsinin dəyəri müəyyən edilmişdir. Üçüncü sətirdə törəmə funksiyasının əlamətlərinə uyğun olaraq, artan, enmə, həddindən artıq funksiyanın boşluqları qeyd olunur.

Son sətir maksimum və minimum funksiyanı təyin etməyə xidmət edir.

7. İkinci törəmə funksiyanı ilk törəmədən törəmə kimi tapacağıq: \u003d \u003d

Numerator gətirəcəyəm h.Mötərizədə və azaldılması üçün -3:

Bənzər şərtlərə görə nummerə veririk :.

İkinci növün tənqidi nöqtələrini tapacağıq: ikinci törəmə funksiyasının sıfır və ya mövcud olmadığı nöqtələr.

0, əgər \u003d 0. Bu fraksiya sıfıra bərabər ola bilməz, buna görə ikinci törəmə funksiyasının sıfır, yox, xeyr.

Dinominator varsa yoxdur ( h.-3) 3, 0, i.E. Mövcud deyil h.\u003d 3. : Oh, Oğul, istinad başlanğıcı, hər ox üçün ölçü vahidləri.

Bir funksiya cədvəli qurmadan əvvəl:

· Nöqtəli xətləri olan asimptlər keçirin;

· Kəsişmə nöqtələrini koordinat baltaları ilə işarələyin;

· Artan, enən, konvekslik və konkretlik boşluqlarında əldə edilən məlumatlardan istifadə edərək funksiyanın bir qrafiki yaradın. Qrafikin budaqları asimptama "səy göstərməlidir", ancaq onları keçməyin.

· Cədvəlin iş funksiyasına uyğun olub olmadığını yoxlayın: funksiya hətta və ya qəribədirsə, onda simmetriya müşahidə olunur; Bu, artan və enən, qabarıqlıq və konkretlik, infeksiya nöqtəsinin nəzərə çarpan boşluqları ilə uyğun gəlir.

11. Daha dəqiq tikinti üçün birdən çox keçid məntəqələrini seçə bilərsiniz. Məsələn, funksiyanın dəyərlərini nöqtə -2 və 7-də tapın:

İstinad nöqtələri olan cədvəli düzəldin.

Nəzarət sualları:

1. Bir funksiya cədvəli qurmaq üçün alqoritm nədir?
2. Bir funksiyanın tərif sahəsinə aid olmayan nöqtələrdə ekstremalı ola bilərmi?

Fəsil 3. 3. İnteqrasiya olunmuş funksional

Həll iki nöqtəni vurmaq üçün əlverişlidir:

1) Əvvəlcə şaquli asimptlərin olub olmadığını yoxlayın. Məxari sıfıra çəkilir və dərhal aydındır ki, bu nöqtədə funksiya sonsuz fasilədən əziyyət çəkir və tənliklə verilən düz, funksiyanın funksiyasının şaquli asimptotudur. Ancaq belə bir nəticə verməzdən əvvəl bir tərəfli həddi tapmaq lazımdır:

Hesablama texnikasını xatırladıram ki, bu, funksiyanın əslinin davamlılığı ilə dayandım. Yırtığın nöqtəsi. "IKSA" əvəzinə həddinin işarəsi altında ifadədə əvəz edə bilərik. Numeratorda maraqlı bir şey yoxdur:

Ancaq məxrəcdə sonsuz kiçik bir mənfi bir nömrə çıxır:

Həddinin taleyini müəyyənləşdirir.

Sol tərəfli həddi sonsuzdur və prinsipcə, şaquli asimptlərin iştirakı ilə artıq hökmü dözə bilərsiniz. Ancaq birtərəfli hədlər yalnız bunun üçün deyil - qrafikin necə yerləşdiyini və düzgün qurulmasını başa düşməyə kömək edir. Buna görə mütləq sağ tərəfli həddi hesablayırıq:

Nəticə: Birtərəfli məhdudiyyətlər sonsuzdur, düz xəttin funksiya qrafiklərinin şaquli asimptotası olduğu deməkdir.

Birinci hədd sonudur, o deməkdir ki, "Söhbəti davam etdirmək" və ikinci həddi tapmaq lazımdır:

İkinci hədd də sona çatır.

Beləliklə, asimptlərimiz:

Nəticə: Tənlik tərəfindən göstərilən düz xətt funksiya qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

Üfüqi asimptləri tapmaq üçün sadələşdirilmiş bir düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

Son bir məhdudiyyət varsa, onda birbaşa iş qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

İstədiyiniz məhdudiyyətin final olacağını ifadə edən bir sərəncamın funksiyasının rəqəmsal və məxrəcinin rəqəmsallaşdırıcı olduğunu görmək asandır:

Vəziyyəti ilə, bir rəsm aparmaq lazım deyil, amma funksiyanın öyrənilməsinin ortasında, layihədə dərhal eskizlər düzəltsəm.

Tapılan üç həddə əsaslanaraq, cədvəlin necə yerləşə biləcəyini müstəqil qiymətləndirməyə çalışın. Tamamilə çətindir? 5-6-7-8 bal tapın və rəsmdə qeyd edin. Bununla birlikdə, bu funksiyanın cədvəli, elementar funksiyasının cədvəl çevrilməsindən istifadə edərək qurulmuşdur və bu maddənin 21 nümunəsini diqqətlə nəzərdən keçirən oxucular asanlıqla bu cür əyri olduğunu təxmin edəcəklər.

Bu müstəqil bir həll üçün bir nümunədir. Proses, xatırladıram ki, iki nöqtəyə - şaquli asimpt və meylli asimptlərə bölünmək rahatdır. Həll nümunəsində, üfüqi asimptota sadələşdirilmiş bir sxemdə tapıldı.

Təcrübədə fraksiya rasional funksiyaları ən çox rast gəlinir və hiperboles üzərində təlimdən sonra tapşırığı çətinləşdirir:

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Həll yolu: Bir dəfə, iki və hazırdır:

1) Şaquli asimptlər sonsuz fasilə nöqtəsində yerləşir, buna görə denominatorun sıfıra çevrildiyini yoxlamaq lazımdır. Spest Kvadrat tənliyi:

Ayrı-seçkilik müsbətdir, buna görə tənliyin iki etibarlı kökü var və iş əhəmiyyətli dərəcədə əlavə olunur

Birtərəfli məhdudiyyətləri daha da tapmaq üçün meydanda üçlü çarxda sürtmək üçün əlverişlidir:

(Yığcam bir qeyd "mənfi" üçün ilk mötərizəyə töhfə verildi). Süspansiyon üçün, bir çek, ya da zehni olaraq açılış mötərizəsi üzərində bir çeki yerinə yetiririk.

Funksiyanı formada yenidən yazın

Nöqtədə bir tərəfli məhdudiyyətlər tapın:

asimptota qrafik funksiyası limiti

Və nöqtədə:

Beləliklə, düz xətlər, hesab olunan funksiyanın qrafik asimptləridir.

2) Funksiyaya baxsanız, həddinin sonlu olacağına və üfüqi asimptotamızın olması olduqca aydın görünür. Bunu qısa bir şəkildə göstərək:

Beləliklə, düz xətt (Abscissa Axis) bu funksiyanın qrafikinin üfüqi asimpttipidir.

Tapılan məhdudiyyətlər və asimptlər cədvəl funksiyası haqqında çox məlumat verir. Aşağıdakı faktları nəzərə alaraq rəsmləri zehni təsəvvür etməyə çalışın:

Qaralama qrafikin versiyasını sxematik olaraq təsvir edin.

Əlbəttə ki, məhdudiyyətlər birmənalı şəkildə qrafik növünü müəyyənləşdirdi və bəlkə də bir səhv etməyə imkan verir, amma məşqin özü funksiyanın tam öyrənilməsi zamanı əvəzsiz kömək olacaqdır. Doğru şəkil dərsin sonundadır.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bunlar müstəqil bir həll üçün vəzifələrdir. Hər iki qrafika, dərhal aşağıdakı xüsusiyyətlərə görə dərhal aşkarlanan üfüqi asimptotlara malikdir: denominatorun böyüməsinin 4 çağırışı, rəqəmin böyüməsi qaydasında və bir böyümənin domominatoru Sifariş verin. Həll nümunəsində ilk funksiya meylli asimptlərin olması üçün öyrənilir, ikincisi isə həddindən artıqdır.

Üfüqi asimptotlar, subyektiv təəssüratımda, "həqiqətən meylli" olduğundan daha çox nəzərə çarpır. Çoxdan gözlənilən ümumi dava:

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Həll yolu: Klassik janr:

• 1) məxrəcdən bəri müsbət olduğundan funksiya bütün ədədi birbaşa davamlıdır və şaquli asempte yoxdur. ... yaxşıdır? Söz deyil - əla! 1 nömrəli bənd bağlandı.
• 2) meylli asimptlərin varlığını yoxlayın:

İkinci hədd, həmçinin sondur, buna görə də nəzərə alınan funksiyanın qrafiki, meylli asimptota var:

Beləliklə, qrafik olduqda, funksiya düz xəttə sonsuz yaxındır.

Qeyd edək ki, koordinatların başında meylli asimptotomu keçir və bu cür kəsişmə nöqtələri olduqca məqbuldur - "hər şey yaxşı idi" vacibdir (əslində asimptlər haqqında danışırıq və orada çıxırıq).

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Həll yolu: şərh etmək üçün bir şey yoxdur, buna görə son həll yolunun nümunəvi bir nümunəsini icra edəcəyəm:

1) şaquli asimptatlar. Məsələni araşdırırıq.

Direct qrafika üçün şaquli asimptotadır.

2) meylli asimptlər:

Direct qrafika üçün asimptota meyllidir.

Birtərəfli məhdudiyyətləri tapdı və yüksək etibarlılıq olan asimptlər bu funksiyanın qrafikinin necə göründüyünü güman etməyə imkan verir.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bu, müstəqil bir həll üçün bir nümunə, bəzi məhdudiyyətlərin hesablanması rahatlığı üçün rəqəmli rəqəmini denominatora bölmək olar. Yenə də alınan nəticələrin təhlil edilməsi, bu xüsusiyyətin cədvəlini çəkməyə çalışın.

Aydındır ki, "Real" meylli asimptlərin sahibləri, bir vahidin böyük dərəcəsindən çox olan bir vahid başına daha çox sayma fraksiya funksiyalarının qrafikləridir. Daha çox - meylli asimptatlar artıq (məsələn,) olmayacaqdır.

Ancaq həyatda digər möcüzələr də var.

Cavabları görə biləcəyiniz müstəqil bir həll üçün tapşırıqlar olacaq.

Asimptlərin anlayışı

Əyri asimptlərin asimptlərini əvvəlcədən qurursan, onda funksiyanın qrafikini qurursan.

Asimptlərin taleyi faciə ilə doludur. Təsəvvür edin: Bütün həyatınız, əziz məqsədə doğru bir yerə düz bir yerə keçin, mümkün qədər yaxınlaşın, ancaq buna nail olmamaq. Məsələn, həyat yolunuzu pis bir insanla birləşdirməyə çalışın, bir anda, demək olar ki, yaxınlaşır, ancaq ona toxunmur. Və ya bir milyard qazanmağa çalışın, ancaq bu məqsədə çatmadan və onun münasibəti üçün Ginnes qeydlərini qeyd etməzdən əvvəl yüzdən yüzə çatmır. Və s. Beləliklə, Asimptota ilə: Daim bir funksiyalı qrafik əyrisinə nail olmağa çalışır, minimum mümkün məsafəyə yaxınlaşır, ancaq buna aid deyil.

Tərif 1. Asimptlər, dəyişən sonsuzluğa və ya sonsuzluğa meyl etdikdə, funksiyanın qrafikinə yaxından yaxın olan bu birbaşa adlanır.

Tərif 2. Direct dəyişəndən məsafə olduqda funksiya qrafiklərinin asimpttipi adlanır M. Bu düz funksiyanın qrafikası, nöqtənin sınırsız çıxarılması ilə sıfıra meyllidir M. Koordinatların əvvəlindən funksiyanın qrafiklərinin istənilən filialında.

Üç növ asimpte var: şaquli, üfüqi və meyllidir.

Şaquli asimptatlar

Şaquli asimptlər haqqında məlumat əldə etməyiniz lazım olan ilk şey: oxuna paraleldirlər Oy. .

Tərif. Düz x. = a. bir şaquli asimptota qrafik qrafikası Əgər nöqtə varsa x. = a. bir İkinci növ yırtılması nöqtəsi Bu funksiya üçün.

Tərifdən bu birbaşa budur x. = a. bir funksiya qrafikasının şaquli asimpttipidir f.(x.) Ən azı şərtlər edilərsə:

Bu funksiyada f.(x.) müvafiq olaraq müəyyən edilə bilməz x. ≥ a. və x. ≤ a. .

Şərh:

Misal 1.Cədvəl funksiyası y.\u003d ln. x. Şaquli asimpt var x. \u003d 0 (I.E. oxuna təsadüf etmək Oy. ) Tərif sahəsinin sərhədində, ICA sıfıra sıfıra qədər sıfıra qədər sıfır olacağı zaman funksiyasının həddi sonsuzdur:

(Əncir yuxarıdan).

Tək və sonra həll yollarına baxın

Misal 2.Asimptotes qrafik qrafiklərini tapın.

Misal 3.Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Üfüqi asimptotlar

Üfüqi asimptlər haqqında məlumat əldə etməyiniz lazım olan ilk şey: oxaya paraleldirlər Öküz. .

Əgər mübahisə üstəgəl və ya sonsuzluğa səbəb olduqda (məhdudiyyətin sonsuzluğa bərabər olduqda (məhdud funksiyası funksiyası b.), T. y. = b. – Üfüqi asimptta əyri y. = f.(x. ) (ICC-də sonsuzluğa qədər, sonsuzluğundan, sonsuzluğa qədər sol, sonsuzluq və ikitərəfli olmaq istəyən, ICA-nın arzusu və ya minus sonsuzluğuna bərabər olduqda, sonsuzluğa və ikitərəfli istəyən, bir IKS-də sola, solğunuzu, sonsuzluğa və ikitərəfli olmağa çalışır).

Misal 5.Cədvəl funksiyası

üçün a. \u003e 1 üfüqi asimptləri tərk etdi y. \u003d 0 (I.E. oxuna təsadüf etmək Öküz. ), "IKSA" ın arzusu olan funksiyanın sonsuzluğuna qədər sıfırdır:

Əyridə düzgün üfüqi asimptlər deyil, çünki sonsuzluğa qədər "Icse" sonsuzluğunun sonsuzluğu olduqda funksiyanın həddi deyil:

Meylli asimptlər

Yuxarıda baxdığımız şaquli və üfüqi asimptotlar koordinatların baltalarına paraleldir, buna görə də, yalnız müəyyən bir nömrəyə ehtiyacımız var - ASMPTOTA'nın keçdiyi Abscissa ox və ya sabitlik. Meylli asimptlər üçün daha çox - bucaqlı əmsal lazımdır k.meyl bucağını düz və pulsuz sik b.mənşəyinin nə qədər dəyişdiyini və ya altından nə qədər olduğunu göstərir. Analitik həndəsə və bundan unutmaq üçün vaxt yox idi - tənliklər düzdür, meylli asimptlərin tapıldığına diqqət yetirin bucaqlı bir əmsal ilə düz tənlik . Meylli asimptlərin mövcudluğu, yalnız amilləri tapdıqları əsasında aşağıdakı teorem tərəfindən müəyyən edilir.

Teorem.Əyilmək üçün y. = f.(x.) asimpt idi y. = kx. + b. , son məhdudiyyətləri mövcud olmaq lazımdır və kifayətdir k. və b. Dəyişən səy göstərildiyi zaman funksiya x. Üzvleri və mənfi sonsuzluğu ilə:

(1)

(2)

Bu şəkildə tapıldı k. və b. Və meylli asimptlərin əmsallarıdır.

Birinci halda (IKSA-nın sonsuzluğuna qədər izzəti ilə), düzgün meylli asimptota, ikincisində (minus sonsuzluğunun istəyi ilə) əldə edilir. Doğru meylli asimptota Şəkildə göstərilir. alt.

Meyllakı asimptlərin tənliyi olduqda, ICA və sonsuzluğun arzusunu və sonsuzluğunun arzusunu nəzərə almaq lazımdır. Bəzi funksiyalarda, məsələn, fraksiya rasionalda, bu məhdudiyyətlər üst-üstə düşür, lakin bir çox funksiya bu həddə var və onlardan yalnız biri də ola bilər.

Sonsuzluğun və sonsuzluğun mənfi olması üçün IKS-dəki məhdudiyyətlərin təsadüfi ilə y. = kx. + b. Bu ikitərəfli asimptota əyrisidir.

Ən azı asimptləri təyin edən həddən ən azı biri y. = kx. + b. Mövcud deyil, onda funksiya cədvəli asimptlərə meylli deyil (lakin şaquli ola bilər).

Bu üfüqi asimptota görmək çətin deyil y. = b. xüsusi meylli bir haldır y. = kx. + b. üçün k. = 0 .

Buna görə, əyri hər hansı bir istiqamətdə üfüqi asimptlər varsa, meylli və əksinə yoxdur.

Misal 6.Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar. Funksiya istisna olmaqla, bütün ədədi birbaşa olaraq müəyyən edilir x. \u003d 0, i.E.

Buna görə də, fasilə nöqtəsində x. \u003d 0 əyri şaquli asimpte ola bilər. Həqiqətən, ICA-nın soldan sıfıra qədər sıfıra qədər olan funksiyanın həddi isə sonsuzluğa bərabərdir:

Beləliklə, x. \u003d 0 - bu funksiyanın şaquli asimptota qrafikası.

Üfüqi asimptotlar Bu funksiyanın qrafiki yoxdur, çünki ICA sonsuzluğunun üstəgəl sonsuzluğunun sonsuzluğuna bərabər olduqda funksiyanın həddi var:

Gəlin asimptlərin varlığını tapaq:

Son həddi aldı k. \u003d 2 I. b. \u003d 0. Düz y. = 2x. Bu funksiyanın qrafikinin iki tərəfli asimpttipi (nümunənin içərisində Şəkil).

Misal 7.Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar. Funksiyanın bir fasilə nöqtəsi var x. \u003d -1. Birtərəfli hədləri hesablayırıq və boşluq növünü müəyyənləşdiririk:

Nəticə: x. \u003d -1 - ikinci növ qırılma nöqtəsi, belə düz x. \u003d -1 bu funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotasıdır.

Meylli asimpte axtarırıq. Bu funksiya fraksiya ilə rasional, məhdudiyyətlər olduqda və nə vaxt üst-üstə düşəcək. Beləliklə, birbaşa - meylli asimptlərin tənliyinin əvəzlənməsi üçün əmsalları tapırıq:

Tapılan əmsalları birbaşa açısal əmsalı ilə tənliyə əvəz etməklə meylli asimptlərin tənliyini əldə edirik:

y. = −3x. + 5 .

Şəkildə, qrafik qrafiki tünd qırmızı ilə qeyd olunur və asimptlər qara rəngdədir.

Misal 8.Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar. Bu funksiya davamlı olduğundan, onun cədvəlində şaquli asimpt yoxdur. Meylli asimpte axtarırıq:

.

Beləliklə, bu funksiyanın cədvəli asimptlər var y. \u003d 0 nə vaxt və olmur.

Misal 9.Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar. Əvvəlcə şaquli asimpte axtarırıq. Bunu etmək üçün funksiya tərifi sahəsini tapın. Funksiya, bərabərsizliyin və eyni zamanda edildikdə müəyyən edilir. Dəyişənin işarəsi x. İşarəsi ilə üst-üstə düşür. Buna görə ekvivalent bərabərsizliyi düşünün. Bundan sahə tərifi sahəsini alırıq: . Şaquli asimptota yalnız funksiyanı müəyyənləşdirmək funksiyasının sərhədində ola bilər. Amma x. \u003d 0 şaquli asimptota ola bilməz, çünki funksiya nə vaxt təyin olundu x. = 0 .

Sağ tərəfli həddi düşünün (sol həddə yoxdur):

.

Fəhm x. \u003d 2 - ikinci növ qırılma nöqtəsi, belə düz x. \u003d 2 - bu funksiyanın şaquli asimptota qrafikası.

Meylli asimpte axtarırıq:

Belə ki, y. = x. + 1 - Bu funksiyanın meylli asimptota qrafiki. Meylli asimpte axtarırıq:

Belə ki, y. = −x. − 1 - asimptota.

Misal 10.Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar. Funksiyanın tərif sahəsi var . Bu funksiyanın qrafik asimptotası yalnız tərif sahəsinin sərhədində ola bilər, nə zaman funksiyanın birtərəfli hədlərini tapacağıq.

Tipik bir işin necə qurulduğunu və bu, qrafiklərin (şaquli, meylli / üfüqi) bütün asimptlərini tapmaqdan ibarətdir. Məsələnin formalaşdırılmasında daha dəqiqdirsə, asimptlərin olması üçün araşdırma haqqında danışırıq (çünki bunlar ümumiyyətlə ola bilməz).

Sadə bir şeydən başlayaq:

Misal 1.

Qərar İki nöqtəyə bölmək rahatdır:

1) Əvvəlcə şaquli asimptlərin olub olmadığını yoxlayın. Maye sıfıra çəkilir və dərhal aydındır ki, bu anda funksiya dözür sonsuz fasiləvə tənliklə müəyyən edilmiş düz xətt funksiyanın funksiyasının şaquli asimptotasıdır. Ancaq belə bir nəticə verməzdən əvvəl bir tərəfli həddi tapmaq lazımdır:

Məqalədə dayandığım hesablama texnikasını xatırladıram davamlılıq funksiyası. Sprey nöqtələri. "IKSA" əvəzinə həddinin işarəsi altında ifadədə əvəz edə bilərik. Numeratorda maraqlı bir şey yoxdur:
.

Lakin denominatorda çıxır sonsuz kiçik mənfi nömrə:
, həddin taleyini müəyyənləşdirir.

Sol tərəfli həddi sonsuzdur və prinsipcə, şaquli asimptlərin iştirakı ilə artıq hökmü dözə bilərsiniz. Ancaq tək tərəfli hədlər yalnız bunun üçün lazım deyil - başa düşməyə kömək edir Kimibir funksiyanın bir qrafiki yerləşdirin və qurun Düzgün. Buna görə mütləq sağ tərəfli həddi hesablayırıq:

Çıxış: Bir tərəfli məhdudiyyətlər sonsuzdur, o deməkdir ki, birbaşa funksiya qrafiklərinin şaquli asimptotasıdır.

İlk məhdudiyyət sonsuzBeləliklə, "Söhbəti davam etdirmək" və ikinci həddi tapmağınız lazımdır:

İkinci məhdudiyyət də sonsuz.

Beləliklə, asimptlərimiz:

Çıxış: Tənliklə verilən düz xətt, funksiya qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

Üfüqi asimptləri tapmaq sadələşdirilmiş bir düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

Son bir məhdudiyyət varsa, onda birbaşa iş qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

Numerator və denominator funksiyasını hiss etmək asandır bir böyümə qaydasıBeləliklə, istədiyiniz həddə son olacaq:

Cavab vermək:

Vəziyyəti altında rəsm çəkmək lazım deyil, ancaq tam sürətlə tədqiqat funksiyası, sonra Chernovik'də dərhal eskizlər düzəldin:

Tapılan üç həddə əsaslanaraq, cədvəlin necə yerləşə biləcəyini müstəqil qiymətləndirməyə çalışın. Tamamilə çətindir? 5-6-7-8 bal tapın və rəsmdə qeyd edin. Bununla birlikdə, bu funksiyanın cədvəli istifadə olunur elementary funksiyası qrafik dəyişiklikləriVə bu maddənin 21 nümunəsini diqqətlə nəzərdən keçirən oxucular asanlıqla hansı əyri olduğunu təxmin edəcəklər.

Misal 2.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bu müstəqil bir həll üçün bir nümunədir. Proses, xatırladıram ki, iki nöqtəyə - şaquli asimpt və meylli asimptlərə bölünmək rahatdır. Həll nümunəsində, üfüqi asimptota sadələşdirilmiş bir sxemdə tapıldı.

Təcrübədə fraksiya rasional funksiyaları ən çox rast gəlinir və hiperboles üzərində təlimdən sonra tapşırığı çətinləşdirir:

Misal 3.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar: Bir dəfə, iki və hazırdır:

1) Şaquli asimptlər yerləşir sonsuz fasilənin nöqtələrindəBuna görə, denominatorun sıfıra çevrildiyini yoxlamaq lazımdır. Qətiyyətli kvadrat tənlik :

Ayrı-seçkilik müsbətdir, buna görə tənliyin iki etibarlı kökü var və iş əhəmiyyətli dərəcədə əlavə olunur \u003d)

Birtərəfli məhdudiyyətləri daha da tapmaq üçün, kvadrat trotter çarpanları parçalamaq üçün əlverişlidir.:
(Yığcam bir qeyd "mənfi" üçün ilk mötərizəyə töhfə verildi). Süspansiyon üçün, bir çek, ya da zehni olaraq açılış mötərizəsi üzərində bir çeki yerinə yetiririk.

Funksiyanı formada yenidən yazın

Nöqtədə bir tərəfli məhdudiyyətlər tapın:

Və nöqtədə:

Beləliklə, düz xətlər, hesab olunan funksiyanın qrafik asimptləridir.

2) Funksiyaya baxsanız , həddinin sonlu olacağı və üfüqi asimptota var ki, olduqca aydındır. Bunu qısa bir şəkildə göstərək:

Beləliklə, düz xətt (Abscissa Axis) bu funksiyanın qrafikinin üfüqi asimpttipidir.

Cavab vermək:

Tapılan məhdudiyyətlər və asimptlər cədvəl funksiyası haqqında çox məlumat verir. Aşağıdakı faktları nəzərə alaraq rəsmləri zehni təsəvvür etməyə çalışın:

Qaralama qrafikin versiyasını sxematik olaraq təsvir edin.

Əlbətdə ki, məhdudiyyətlər birmənalı şəkildə qrafik növünü müəyyənləşdirdi və bəlkə də bir səhv etməyə icazə verilir, amma məşqdə özü də əvəzsiz kömək olacaqdır funksiyanın tam funksiyası. Doğru şəkil dərsin sonundadır.

Misal 4.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Misal 5.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bunlar müstəqil bir həll üçün vəzifələrdir. Hər iki qrafika yenidən aşağıdakı xüsusiyyətlər tərəfindən dərhal aşkar edilmiş üfüqi asimptote var: nümunə 4 hündürlük Denominator, rəqəmlərin böyüməsi qaydasından daha böyükdür və məsələn 5 ədəd və məxrəc bir böyümə qaydası. Həll nümunəsində ilk funksiya meylli asimptlərin olması üçün öyrənilir, ikincisi isə həddindən artıqdır.

Üfüqi asimptotlar, subyektiv təəssüratımda, "həqiqətən meylli" olduğundan daha çox nəzərə çarpır. Çoxdan gözlənilən ümumi dava:

Misal 6.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar: Janrın klassikləri:

1) məxrəcə müsbət olduğundan, onda funksiya davamlı Bütün ədədi birbaşa birbaşa və şaquli asimptlər yoxdur. ... yaxşıdır? Söz deyil - əla! 1 nömrəli bənd bağlandı.

2) meylli asimptlərin varlığını yoxlayın:

İlk məhdudiyyət sonsuz, buna görə daha da irəli gedirik. Aradan qaldırmaq üçün ikinci həddi hesablamaq zamanı qeyri-müəyyənlik "sonsuzluq sonsuzluğu" General məxrəcə bir ifadə veririk:

İkinci məhdudiyyət də sonsuzBuna görə də, baxılan funksiyanın qrafikində meylli asimptee var:

Çıxış:

Beləliklə, funksiya cədvəli ilə sonsuz yaxındır birbaşa yaxınlaşır:

Qeyd edək ki, koordinatların başında meylli asimptotomu keçir və bu cür kəsişmə nöqtələri olduqca məqbuldur - "hər şey yaxşı idi" vacibdir (əslində asimptlər haqqında danışırıq və orada çıxırıq).

Misal 7.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Qərar: Şərh üçün heç bir şey yoxdur, buna görə nümunəvi bir nümunə həlli verəcəyəm:

1) şaquli asimptatlar. Məsələni araşdırırıq.

Direct qrafika üçün şaquli asimptotadır.

2) meylli asimptlər:

Direct qrafika üçün asimptota meyllidir.

Cavab vermək:

Birtərəfli məhdudiyyətləri tapdı və yüksək etibarlılıq olan asimptlər bu funksiyanın qrafikinin necə göründüyünü güman etməyə imkan verir. Dərsin sonunda düzgün rəsm.

Misal 8.

Asimptotes qrafik funksiyalarını tapın

Bu, müstəqil bir həll üçün bir nümunə, bəzi məhdudiyyətlərin hesablanması rahatlığı üçün rəqəmli rəqəmini denominatora bölmək olar. Yenə də alınan nəticələrin təhlil edilməsi, bu xüsusiyyətin cədvəlini çəkməyə çalışın.

Aydındır ki, "Real" meylli asimptlərin sahibləri daha yüksək dərəcəsi olan fraksiyalı rasional funksiyaların qrafikləridir vahid başına daha çox böyük denominatorun yüksək dərəcəsi. Daha çox - meylli asimptatlar artıq (məsələn,) olmayacaqdır.

Ancaq həyatda digər möcüzələr yaranır:

Misal 9.

Qərar: Funksiya davamlı Bütün ədədi birbaşa olaraq, şaquli asimptlərin olmaması deməkdir. Lakin meylli ola bilər. Yoxlayın:

Universitetin də oxşar bir funksiya ilə necə qarşılaşdığını və sadəcə meylli asimptota olduğuna inana bilmədiyini xatırlayıram. Nə qədər ki, ikinci həddi hesablamadı:

Ciddi danışan, burada iki qeyri-müəyyənlik var: və ancaq bir və ya digər şəkildə, nümunələrdə 5-6 məqalədə sökülən bir həll üsulundan istifadə etməlisiniz artan mürəkkəblik hədləri haqqında. Formuladan faydalanmaq üçün birləşmə ifadəsini çox artırırıq və bölüşürük.

Cavab vermək:

Bəlkə də ən populyar meylli asimptota.

İndiyə qədər, sonsuzluq "bir tarağı kəsib", lakin bu cədvəlin funksiyası olur İki fərqli Meylli asimptlər:

Misal 10.

Asimptin olması üçün funksiyanın qrafikini araşdırın

Qərar: Məcburi ifadə müsbət, bu deməkdir domain - Həqiqətən rəqəm və şaquli çubuqlar ola bilməz.

Meylli asimptlərin olub olmadığını yoxlayın.

"X" "mənfi sonsuzluğa", sonra:
("IKSA" kvadrat kökü altında "IKSA" edərkən, denominatorun mənfi cəhətlərini itirməmək üçün "mənfi" işarəsi əlavə etməlisiniz)

Qeyri-adi görünür, amma burada qeyri-müəyyənlik "sonsuzluq sonsuzluğu". Numeratoru və məxrəcini birləşdirin ifadəsində çoxaldırırıq:

Beləliklə, birbaşa qrafikin meylli asimptotasıdır.

"Plus sonsuzluğu" ilə hər şey mənasızdır:

Və düz - ilə.

Cavab vermək:

Əgər a;
, əgər a.

Qrafik görüntüyə qarşı durmayın:


Bu filiallardan biridir. hiperbol .

Asimptin potensial olması əvvəlcə məhdud olduqda qeyri-adi deyil funksiya tərifi sahəsi:

Misal 11.

Asimptin olması üçün funksiyanın qrafikini araşdırın

Qərar: bəllidir , Buna görə də, bir funksiya cədvəli olduğu yerdə yalnız sağ yarısını hesab edirik.

1) funksiya davamlı Aralıqda və buna görə də şaquli asimptota varsa, yalnız tənzimlənən ox ola bilər. Nöqtənin yaxınlığında funksiyanın davranışını araşdırın sağ-salamat:

Qeyd, burada heç bir qeyri-müəyyənlik yoxdur (Belə hallarda, məqalənin əvvəlinə diqqət yönəldilmişdir. Limitləri həll etmək üsulları).

Beləliklə, düz (tənzimləmə oxu) funksiya qrafikası üçün şaquli asimptotadır.

2) meylli asimptotium üzrə tədqiqatlar tam sxemdə həyata keçirilə bilər, lakin məqalədə Lopital qaydalar Buna görə logaritmikdən daha yüksək bir böyümə sifarişinin xətti funksiyasını bildik. (Eyni dərsdən 1-ə baxın).

Nəticə: Abscissa Axis, funksiya qrafiklərinin üfüqi asimptotasıdır.

Cavab vermək:

Əgər a;
, əgər a.

Aydınlıq üçün rəsm:

Maraqlıdır ki, bənzər bir asimpt funksiyası kimi görünür, yox (yoxlamaq istəyən) yoxdur.

Özünü öyrənmək üçün iki son nümunə:

Misal 12.

Asimptin olması üçün funksiyanın qrafikini araşdırın

Şaquli asimptləri yoxlamaq üçün əvvəlcə tapmaq lazımdır funksiya tərifi sahəsiVə sonra "şübhəli" nöqtələrində bir neçə tərəfli həddi hesablayın. Meylli asimptlər də istisna edilmir, çünki funksiya "üstəgəl" və "mənfi" sonsuzluğunda.

Misal 13.

Asimptin olması üçün funksiyanın qrafikini araşdırın

Və burada yalnız meylli asimptlər ola bilər və istiqamətlər ayrıca nəzərə alınmalıdır.

Ümid edirəm ki, lazımi asimpte taparsan \u003d)

Sənə uğurlar arzu edirəm!

Həll və cavablar:

Misal 2:Qərar :
. Bir tərəfli həddi tapın:

Düz nə vaxt bir funksiyalı bir funksiyalı asimpttipidir .
2) meylli asimptlər.

Düz .
Cavab vermək:

Rəsm məsələn 3:

Misal 4:Qərar :
1) şaquli asimptatlar. Funksiya nöqtədə sonsuz boşluqlara dözür . Birtərəfli hədləri hesablayırıq:

Qeyd: Sonsuz kiçik bir mənfi bir ədəd eyni dərəcədə sonsuz kiçik bir müsbət nömrədir: .

Düz Bir funksiya qrafikasının şaquli asimpttipidir.
2) meylli asimptlər.


Düz (abscissa oxu) nə zaman funksiya qrafiklərinin üfüqi asimpttipidir .
Cavab vermək: