Dummies üçün kompleks törəmələr. Bir törəmə tapın: alqoritm və həllərin nümunələri. Mürəkkəb bir funksiya nədir

Çox asan xatırlayın.

Yaxşı, uzaqlaşmayaq ki, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirəcəyik. Göstərici funksiyası üçün tərs budur? Logarithm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas budur:

Belə bir logaritm (yəni bir baza olan bir loqarifmə) "təbii" adlanır və bunun üçün xüsusi bir təyinatdan istifadə edirik: yazmaq əvəzinə.

Nə bərabərdir? Əlbəttə, .

Təbii logaritmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

Əldə edilmiş funksiyanı tapın.
Daxil olan funksiya nədir?

Cavablar: İştirakçı və təbii logarithm - funksiyalar törəmə baxımından bənzərsiz sadədir. Hər hansı digər baza ilə mübadilə və logaritmik funksiyalar, diferatika qaydalarını keçdikdən sonra daha sonra sizinlə təhlil edəcəyimiz başqa bir törəmə olacaq.

Fərqləndirmə qaydaları

Qaydaları nədir? Yenə yeni termin, yenidən?! ...

Fərqləndirmə - Bu bir törəmə tapmaq prosesidir.

Yalnız və hər şey. Bu prosesi bir sözlə necə adlandırmaq üçün necə? İstehsalı deyil ... riyaziyyatın diferensialı funksiyanın ən çox artması adlanır. Bu termin Latın fərqidən baş verir - fərq. Burada.

Bütün bu qaydaları göstərərkən, məsələn, iki funksiyanı istifadə edəcəyik və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Cəmi 5 qayda var.

Daimi törəmənin işarəsindən hazırlanmışdır.

Əgər - bir növ davamlı say (daimi), sonra.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün işləyir :.

Biz sübut edirik. Və ya daha asan olsun.

Nümunələr.

Daxil olan funksiyaları tapın:

nöqtədə;
nöqtədə;
nöqtədə;
nöqtədə.

Həlllər:

(Törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki bu xətti bir funksiya, çünki xatırlayın?);

Əldə edilmiş iş

Burada hər şey oxşardır: yeni bir funksiyanı təqdim edirik və artımını tapırıq:

Törəmə:

Nümunələr:

Funksiyaların törəmələrini tapın və;
Funksiya törəməsini nöqtədə tapın.

Həlllər:

Törəmə göstərici funksiyası

İndi bilikləriniz hər hansı bir göstərici funksiyasını necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir və yalnız iştirakçılar deyil (nə olduğunu unutmadı?).

Beləliklə, bəzi nömrələr haradadır.

Artıq törəmə funksiyasını bilirik, buna görə funksiyamızı yeni bir bazaya gətirməyə çalışaq:

Bunu etmək üçün sadə bir qayda istifadə edirik :. Sonra:

Yaxşı, çıxdı. İndi bir törəmə tapmağa çalışın və bu xüsusiyyətin mürəkkəb olduğunu unutma.

Baş verdi?

Burada özünüzü yoxlayın:

Formula törəmə sərgiyə çox bənzəyən, çünki olduğu kimi, qaldı, yalnız bir nömrə olan, ancaq dəyişən deyil, yalnız bir çarpan ortaya çıxdı.

Nümunələr:
Daxil olan funksiyaları tapın:

Cavablar:

Bu, sadəcə bir kalkulyator olmadan sayıla bilməyən bir sıra, yəni daha sadə bir formada qeyd etməməkdir. Buna görə də, bu formada və buraxın.

Qeyd edək ki, burada özəl iki funksiya var, buna görə müvafiq fərqləndirmə qaydasını tətbiq edin:

Bu misalda iki funksiyanın məhsulu:

Törəmə logaritmik funksiyası

Budur oxşardır: Təbii logaritmdən törəməni artıq bilirsiniz:

Buna görə, loqarifmdən başqa bir səbəblə özbaşına bir ixtiyari tapmaq, məsələn:

Bu loqarifliyi bazaya gətirməlisiniz. Və loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu düsturu xatırlayırsınız:

Yalnız indi yazacağıq:

Dinominatorda, sadəcə sabit (dəyişkən olmayan bir sıra) çıxdı. Törəmə çox sadədir:

Göstərici və logaritmik funksiyalarının törəmələri imtahanda demək olar ki, tapılmır, ancaq onları bilmək üçün artıq olmayacaqdır.

Törəmə kompleks funksiyası.

Bir "mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu, bir logarithm deyil və artı olmayanlar deyil. Bu funksiyalar dərk etmək üçün mürəkkəb ola bilər (loqarifm sizə çətin görünsə də, "logarifms" mövzusunu oxuyun və hər şey keçəcək), ancaq riyaziyyat baxımından "mürəkkəb" sözü "çətin" demək deyil.

Kiçik bir konveyer təsəvvür edin: iki nəfər oturur və bəzi obyektlərlə bir növ hərəkət edir. Məsələn, sarğıda bir şokolad, ikincisi onu lentlə nəzərdə tutur. Bu cür ayrılmaz bir obyekt çıxır: şokolad, bükülmüş və lentlə örtülmüşdür. Bir şokolad yemək üçün tərs qaydada tərs hərəkət etməlisiniz.

Bənzər bir riyazi konveyer yaradaq: əvvəlcə bir kosin tapacağıq, sonra meydana gələn nömrəni bir kvadrata salacaq. Beləliklə, bir nömrə (şokolad) veririk, cosine (sarın) tapıram, sonra sən nə etdiklərim, bir kvadratda (lentə bağlanmaq) ilə ucaldılacaqsınız. Nə olub? Funksiya. Bu, mürəkkəb bir funksiyanın nümunəsidir: mənasını tapanda ilk hərəkəti birbaşa dəyişən ilə etdiyimiz, sonra birincisi nəticəsində baş verənlər ilə başqa bir hərəkət edirik.

Başqa sözlə, mürəkkəb bir funksiya, bir funksiyadır, bu, başqa bir xüsusiyyətdir.: .

Nümunə üçün.

Eyni hərəkətləri tamamilə və tərs qaydada edə bilərik: Əvvəlcə bir kvadratda ucaldılacaqsınız və sonra nəticədə bir kosin axtarıram :. Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Mürəkkəb funksiyaların vacib bir xüsusiyyəti: prosedur dəyişdikdə funksiya dəyişir.

İkinci nümunə: (eyni). .

İkincisini etdiyimiz hərəkətə zəng edəcək "Xarici" funksiyavə hərəkət əvvəlcə - müvafiq olaraq həyata keçirildi "Daxili" funksiyası (Bunlar qeyri-rəsmi adlardır, onları yalnız sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici olduğunu və daxili olanı özümə təyin etməyə çalışın:

Cavablar:Daxili və xarici funksiyaların ayrılması dəyişənlərin dəyişdirilməsinə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada

Əvvəlcə hansı hərəkətləri yerinə yetirəcəyik? Birincisi, sinus düşünün, ancaq daha sonra kubaya çevrildi. Beləliklə, daxili funksiya və xarici biri.
Və ilkin funksiya onların tərkibidir :.
Daxili :; Xarici:.
Yoxlayın :.
Daxili :; Xarici:.
Yoxlayın :.
Daxili :; Xarici:.
Yoxlayın :.
Daxili :; Xarici:.
Yoxlayın :.

dəyişənlərin dəyişdirilməsi və bir funksiya əldə edirik.

Yaxşı, indi şokolad şokoladımızı çıxaracağıq - bir törəmə axtar. Prosedur həmişə tərsdir: əvvəlcə xarici funksiya törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə artırırıq. Orijinal nümunəyə gəlincə, bu belə görünür:

Başqa bir nümunə:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydalarını formalaşdırdıq:

Bir törəmə kompleks funksiyası tapmaq üçün alqoritm:

Hər şeyin sadə olduğu görünür, bəli?

Nümunələri yoxlayın:

Həlllər:

1) daxili:;

Xarici :;

2) daxili:;

(Yalnız indi kəsilməsini düşünməyin! Cosine altından heç bir şey edilmir, yadda saxla?)

3) daxili:;

Xarici :;

Budur, üç səviyyəli mürəkkəb bir funksiyanı burada aydındır: bu, artıq mürəkkəb funksiyanın özü dədir və hələ də kökü çıxarır, yəni üçüncü hərəkət (sarğıdakı şokolad) portfelə qoyulan lent). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: bu funksiyanı eyni "açın" bu funksiyanı həmişəki kimi eyni qaydada olacaq: sonundan.

Yəni əvvəlcə kökdən, sonra kosin və yalnız sonra mötərizədə ifadə etməkdir. Və sonra bütün bu dəyişənlər.

Belə hallarda, sayılan hərəkətlər üçün əlverişlidir. Yəni məlum olduğumuzu düşünün. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hansı qaydada hərəkətlər aparacağıq? Nümunə baxacağıq:

Sonradan hərəkət baş verir, daha çox "xarici" müvafiq funksiya olacaqdır. Aksiyaların ardıcıllığı - əvvəlki kimi:

Burada yuva ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Proseduru təyin edək.

1. məcburi ifadə. .

2. Kök. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hər şeyi bir dəstə toplayırıq:

Törəmə. Qısaca əsas şey haqqında

Almış funksiya - funksiyanın artımının artqanının artımının arqumentin sonsuz kiçik bir artması ilə nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqlənmə qaydaları:

Daimi törəmənin əlaməti üçün edilir:

Giriş məbləği:

İstehsal işi:

Şəxsi törəmə:

Törəmə kompleksi funksiyası:

Kompleks funksiyasının törəməsini tapmaq üçün alqoritm:

"Daxili" funksiyasını müəyyənləşdiririk, onun törəməsini tapırıq.
"Xarici" funksiyanı müəyyənləşdiririk, onun törəməsini tapırıq.
Birinci və ikinci maddələrin nəticələrini çoxaldın.

Kompleks bir növün funksiyaları tamamilə "mürəkkəb funksiyanı" termini tamamilə düzgün deyilmir. Məsələn, çox təsir edici görünür, amma bu xüsusiyyət fərqli deyil, fərqli deyil.

Bu yazıda, mürəkkəb bir funksiya anlayışı ilə məşğul olacağıq, bunu elementar funksiyaların tərkibində müəyyənləşdirməyi öyrənəcəyik, onu törəmə və xarakterik nümunələrin həllini ətraflı nəzərdən keçirmək üçün bir düstur verəcəyik.

Nümunələri həll edərkən daim bir törəmələr və fərqləndirici qaydalar cədvəlindən istifadə edəcəyik, buna görə də gözləriniz qarşısında saxlayacağıq.

Mürəkkəb funksiya - Bu bir funksiya, mübahisə də bir funksiya.

Görünüşümüzdən bu tərif ən aydındır. Şərti olaraq f (g (x) kimi işarələnə bilər. Yəni g (x), olduğu kimi, mübahisə funksiyası f (g (x)).

Məsələn, Arcangenin funksiyası ol, G (X) \u003d LNX, təbii loqarifmənin funksiyasıdır, sonra mürəkkəb funksiyası f (g Başqa bir misal: F - dördüncü dərəcənin funksiyası və - Bütün rasional funksiya (bax), sonra .

Öz növbəsində g (x) də mürəkkəb bir funksiya ola bilər. Misal üçün, . Şərti olaraq belə bir ifadə olaraq təyin edilə bilər . Burada f - sinus funksiyası - kvadrat kökün çıxarılması funksiyası, - Fraksiya rasional funksiyası. Toxunulma yuvası dərəcəsinin hər hansı bir son dərəcə təbii bir nömrə ola biləcəyini güman etmək məntiqlidir.

Tez-tez mürəkkəb funksiyanın adlandırıldığını eşidə bilərsiniz funksiyaların tərkibi.

Törəmə kompleks funksiyası tapmaq üçün düstur.

Misal.

Derivativ kompleks funksiyanı tapın.

Qərar.

Bu misalda f - meydanın tikinti funksiyası, g (x) \u003d 2x + 1 xətti funksiyadır.

Budur, bir törəmə kompleks funksiyasının formulundan istifadə edərək ətraflı bir həll yolu var:

Mənbə funksiyasının növünü əvvəlcədən sadələşdirən bu törəməni tapaq.

Beləliklə,

Gördüyünüz kimi, nəticələr üst-üstə düşür.

Çaşılmamağa çalışın, f funksiyası f funksiyası və hansı g (x).

Diqqətlilik üçün nümunəni izah edək.

Misal.

Mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapın və.

Qərar.

Birinci halda f - bu meydanın inşasının funksiyasıdır və g (x) sinus funksiyasıdır
.

İkinci halda, f sinusun funksiyası və güc funksiyasıdır. Nəticə etibarilə, mürəkkəb bir funksiyanın düsturu tərəfindən var

Bir funksiya üçün düsturlu bir funksiya forması var

Misal.

Funksiyanı fərqləndirmək .

Qərar.

Bu misalda mürəkkəb bir funksiya şərti olaraq yazıla bilər , harada - sinus funksiyası, üçüncü dərəcəyə qədər tikinti funksiyası, e baza üçün logarithming funksiyası, Arctgennes və xətti funksiyanın ələ keçirilməsi funksiyası, müvafiq olaraq.

Bir törəmə kompleks funksiyasının düsturu ilə

İndi tapıldı

Aralıq nəticələrini bir araya gətiririk:

Dəhşətli bir şey yoxdur, Matryoshki kimi mürəkkəb funksiyaları sökün.

Bu məqaləni bitirmək mümkün olardı ...

Fərqlənmə qaydalarını və törəməsi cədvəlini tətbiq edərkən və törəmə kompleks funksiyasının formulasında olduqda dəqiq başa düşmək məqsədəuyğundur.

İndi xüsusilə diqqətli olun. Mürəkkəb bir mənzərənin funksiyaları arasındakı fərqlər haqqında mürəkkəb funksiyalardan danışacağıq. Bu fərqi nə qədər gördüyünüzdən və uğurlar tapıldıqda uğurdan asılı olacaq.

Sadə nümunələrdən başlayaq. Funksiya kompleks olaraq qəbul edilə bilər: g (x) \u003d TGX, . Buna görə dərhal törəmə kompleks funksiyasının formulunu dərhal tətbiq edə bilərsiniz

Ancaq funksiya Onsuz da ad çəkmək çətin deyil.

Bu xüsusiyyət, üç funksiyanın, 3TGX və 1-in cəmidir. Kompleks bir funksiya olsa da: - Bir güc funksiyası (kvadrat parabola) və f tangenin bir funksiyasıdır. Buna görə əvvəlcə fərqləndirmə formulunun miqdarını tətbiq edin:

Törəmə kompleks funksiyanı tapmaq qalır:

Buna görə.

Ümid edirik ki, tutduğunun mahiyyəti.

Daha çox baxsanız, mürəkkəb bir növün funksiyalarının mürəkkəb funksiyalara daxil edilə biləcəyini və mürəkkəb funksiyalara daxil edilə biləcəyini və mürəkkəb növlərin funksiyalarının hissələrini əhatə edə biləcəyini iddia etmək olar.

Nümunə olaraq, komponent hissələri funksiyasını təhlil edəcəyik .

Əvvəl, bu, f 3-ə əsaslanan loqarifmə funksiyası olan formada təmsil oluna bilən mürəkkəb bir funksiyadır və g (x) iki funksiyanın cəmidir və . I.e, .

İkincisi, H (X) bir funksiyanı götürün. Bu münasibətdir .

Bu iki funksiyanın cəmidir və harada - 3 ədədi əmsalı olan mürəkkəb bir funksiya. - Kubdakı tikinti funksiyası kosin funksiyasıdır, - xətti funksiya.

Bu iki funksiyanın cəmidir və harada - Kompleks funksiyası, - eksponensial funksiyası, güc funksiyasıdır.

Bu minvalla, .

Üçdəbir, Mürəkkəb bir funksiya parçası olan, gedin və bütün rasional funksiya

Runoff funksiyası E-ni əsaslanan logarithming funksiyasıdır.

Beləliklə,.

Gəlin ümumiləşdirək:

İndi quruluş quruluşu aydındır və hansı düsturlar və onun fərqləndirilməsi zamanı tətbiq olunan ardıcıllığın tətbiq olunduğu görünür.

Funksiyanın fərqləndirmə hissəsində (bir törəmə tapmaq), bu cür vəzifələrin həlli ilə tanış ola bilərsiniz.

Derivativ kompleks funksiyasının formulasından istifadə edərək törəmələrin hesablanması nümunələri verilmişdir.

Məzmun

Həmçinin bax: Törəmə kompleks funksiyasının formulunun sübutu

Əsas düsturlar

Burada bu funksiyalardan törəmələri hesablamaq nümunələrini təqdim edirik:
; ; ; ; .

Funksiya aşağıdakı formada mürəkkəb bir funksiya kimi təmsil oluna bilərsə:
,
Formula tərəfindən törəməsi ilə müəyyən edilir:
.
Aşağıdakı nümunələrdə bu düsturu aşağıdakı kimi qeyd edəcəyik:
.
harada.
Budur aşağı göstəricilər və ya törəmə işarəsi altında olan, fərqlənmənin aparıldığı dəyişənləri ifadə edir.

Adətən, törəmələr masalarında, dəyişən x-dən funksiyaların törəmələri verilir. Ancaq x rəsmi bir parametrdir. X dəyişən hər hansı digər dəyişən ilə əvəz edilə bilər. Buna görə, bir funksiyanı dəyişəndən fərqləndirərkən, dəyişən X-də dəyişən x-ni, dəyişən x-ni tədris cədvəlində dəyişirik.

Sadə nümunələr

Misal 1.

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsini tapın
.

Göstərilən funksiyanı ekvivalent şəklində yazırıq:
.
Terivativlər cədvəlində tapırıq:
;
.

Törəmə kompleks funksiyasının düsturu ilə:
.
Burada.

Misal 2.

Törədici tapmaq
.

Biz törəmə və törəmələrin bir əlaməti üçün daimi 5, tapdığımız törəmələr cədvəlində aparırıq:
.

.
Burada.

Misal 3.

Törədici tapmaq
.

Daimi dözürük -1 Törəmə və törəmələr cədvəlindən gələn işarə üçün, tapırıq:
;
Terivativlər cədvəlindən tapırıq:
.

Bir törəmə kompleks funksiyasının formulunu tətbiq edin:
.
Burada.

Daha mürəkkəb nümunələr

Daha mürəkkəb nümunələrdə bir neçə dəfə mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik. Eyni zamanda, törəməni sonundan hesablayırıq. Yəni funksiyanı komponentlərə bölür və istifadə edərək ən sadə hissələrin törəmələrini tapırıq masa törəmələri . Biz də müraciət edirik məbləğin fərqləndirmə qaydaları , iş və fraksiyalar. Sonra əvəzedicilər edin və törəmə kompleks funksiyasının formulunu tətbiq edin.

Misal 4.

Törədici tapmaq
.

Düsturun ən sadə hissəsini vurğulayırıq və törəməsini tapırıq. .

.
Burada təyinatı istifadə etdik
.

Əldə edilən nəticələrdən istifadə edərək, mənbə funksiyasının növbəti hissəsinin törəməsini tapırıq. Məbləğin fərqləndirmə qaydasını tətbiq edin:
.

Bir daha mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik.

.
Burada.

Misal 5.

Bir törəmə funksiyanı tapın
.

Düsturun ən sadə hissəsini vurğulayırıq və törəmələrinin süfrəsindən verəcəyik. .

Mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirmə qaydasını tətbiq edin.
.
Buradaca
.

Əldə edilən nəticələr tətbiq etməklə aşağıdakı hissəni fərqləndirmək.
.
Buradaca
.

Aşağıdakı hissəni fərqləndirmək.

.
Buradaca
.

İndi istədiyiniz funksiyanın törəməsini tapırıq.

.
Buradaca
.

Həmçinin bax:

Buraya gəldikdən sonra, bu düsturu dərsliyində görmək üçün vaxt keçirdi

və belə bir insanı etmək üçün:

Dost, narahat olmayın! Əslində, hər şey rüsvay etmək çox sadədir. Hər şeyi mütləq başa düşəcəksiniz. Yalnız bir sorğu - məqaləni oxuyun yavaşca, hər addımı başa düşməyə çalışın. Mümkün qədər sadə və aydın yazdım, amma bir fikrə tüpürmək lazımdır. Və məqalənin vəzifəsini həll etdiyinizə əmin olun.

Çətin bir funksiya nədir?

Başqa bir mənzilə köçdüyünüzü və buna görə də böyük qutularda əşyalar topladığınızı düşünün. Məktəb yazılı aksesuarları kimi hər hansı bir kiçik əşyanı toplamaq lazımdır. Onları yalnız böyük bir qutuya atarsanız, digər şeylər arasında itirilirlər. Bunun qarşısını almaq üçün əvvəlcə onları, məsələn, böyük bir qutuya yerləşdirilən bir paketdə onları möhürləyin, sonra möhürləyin. Bu "ən ağır" proses aşağıdakı diaqramda göstərilir:

Görünür, riyaziyyat haradadır? Bəli, mürəkkəb funksiyanın eyni şəkildə formalaşmasına baxmayaraq! Yalnız "Paket" Biz noutbuklar və tutacaqlar deyil, \\ (X \\), "paketlər" və "qutular" ilə "qutular" fərqlidir.

Məsələn, x götürün və funksiyaya "fırladın":

Nəticədə, \\ (\\ cos\u2061x \\) aydınlaşırıq. Bu bizim "əşyalarla paketimiz" dir. İndi onu "qutuya" qoyun - məsələn, kub funksiyasında qablaşdırırıq.

Sonda nə olur? Bəli, doğrudur, bu, "Kubada kubada" kosinus ikki "də" qutuda olan şeylər "olacaq.

Yaranan dizayn mürəkkəb bir funksiyadır. Bu sadə şeydən fərqlənir bir ICSU-ya tətbiq olunan bir sıra "təsir" (paketlər) Və "funksiya funksiyası" - "Paketdə qablaşdırma" çıxır.

Bu ən çox "paketlər" növlərinin tədris ilində yalnız dörd, yalnız dörddür:

Gəlin indi Baza 7 ilə, sonra trigonometrik funksiyada bir göstərici funksiyasında IX-ni "qablaşdıraq". Alırıq:

\\ (X → 7 ^ x → TG\u2061 (7 ^ x) \\)

İndi trigonometrik funksiyalarda iki dəfə "Paket" x -

\\ (X → Sin\u2061x → Ctg\u2061 (sin\u2061x) \\)

Sadəcə, doğru?

İndi X: X-nin olduğu funksiyanı yazın:
- əvvəlcə kosinə "qablaşdırılır", sonra baza ilə indikativ funksiyada \\ (3 \\);
- Əvvəlcə beşinci dərəcədə və sonra Tangentdə;
- Əsas əsasında yenidən logaritmdə \\ (4 \\) , sonra dərəcəyə \\ (- 2 \\).

Bu tapşırığın cavabları məqalənin sonuna baxın.

İki "paketi" deyil, üç dəfə "qablaşdıra bilərikmi?" Problem deyil! Dörd və beş, iyirmi beş dəfə. Məsələn, x-nin "qablaşdırılan" \\ (4 \\) dəfə olan funksiyası:

\\ (y \u003d 5 ^ (\\ log_2\u2061 (\\ sin\u2061 (x ^ 4))))

Lakin məktəb praktikasında bu cür düsturlar görüşməyəcək (tələbələr daha şanslıdırlar - daha mürəkkəb ola bilər).

Kompleks funksiyasını "Çıxartmaq"

Yenidən əvvəlki xüsusiyyətə baxın. "Qablaşdırma" ardıcıllığını anlaya bilərsinizmi? Əvvəlcə bir x doldurulur, nə qədər sonu və s. Yəni - nə funksiyaya nə qoyulur? Bir yarpaq götürün və düşündüyünüz kimi yazın. Yuxarıda yazdıqca və ya başqa bir şəkildə yazdıqca oxlarla bir zəncir edə bilərsiniz.

İndi düzgün cavab budur: ilk IKS-də "qablaşdırılan" \\ (4 \\) - Bu dərəcədə, nəticədə Nəticə, öz növbəsində \\ (2 \\) əsasında loqarifliyə yerləşdirildi və Sonda bütün bu dizayn beş dərəcə ilişdi.

Yəni, tərs qaydada ardıcıllığı açmaq lazımdır. Və sonra ucunu necə etmək olar: dərhal x-ə baxın - ondan və rəqs etmək lazımdır. Bir neçə nümunəyə baxaq.

Məsələn, bu bir funksiya: \\ (Y \u003d TG\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\). X-ə baxırıq - əvvəlcə onunla nə baş verir? Ondan alır. Daha sonra? Nəticədən Tangent alınır. Burada və ardıcıllıq eyni olacaq:

\\ (X → \\ \\ log_2\u2061x → TG\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\)

Başqa bir misal: \\ (Y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\). Təhlil edirik - əvvəlcə x kuba yüksəlir və sonra kosin nəticədən alındı. Beləliklə, ardıcıllıq olacaq: \\ (x → x ^ 3 → \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\). Diqqət yetirin, funksiyanın ilk ilk (şəkillərlə olduğu yerdə) oxşar görünür. Ancaq bu, tamamilə fərqli bir funksiyadır: burada Kuba x (yəni \\ (\\ x \\ x \\ ((x · x · x))) və orada Kuba Kosinus \\ (X \\) (\\ cos) \u2061 X \\ \\ cos\u2061x · \\ cos\u2061x \\))). Bu fərq "qablaşdırma" nin fərqli ardıcıllığı səbəbindən baş verir.

Son nümunə (İT vacib məlumatı olan): \\ (Y \u003d \\ Sin\u2061 ((2x + 5)) \\). X-nin arifmetik hərəkəti burada ilk olaraq hazırlanmışdır, sonra Sinus nəticədən götürdü: \\ (X → 2x + 5 → \\ Sin\u2061 ((2x + 5)). Və bu vacib bir məqamdır: Arifmetik fəaliyyətin özləri olmadığına baxmayaraq, burada "qablaşdırma" üsulu da rolunu oynayırlar. Gəlin bu incəlikə keçək.

Yuxarıda dediyim kimi, bir dəfə "qablaşdırılır" və çətin bir şəkildə - iki və ya daha çox olan sadə funksiyalarda. Bu vəziyyətdə sadə funksiyaların hər hansı bir birləşməsi (yəni onların məbləği, fərq, vurma və ya bölmə) də sadə bir funksiyadır. Məsələn, \\ (x ^ 7 \\) sadə bir funksiya və \\ (CTG X \\) - də. Beləliklə, bütün birləşmələri sadə funksiyalardır:

\\ (x ^ 7 + ctg x \\) sadə,
\\ (x ^ 7 · Ctg x \\) - Sadə,
\\ (\\ Frac (x ^ 7) (CTG X) \\) - Sadə və s.

Bununla birlikdə, belə bir birləşmənin başqa bir funksiyasından istifadə etsəniz - mürəkkəb bir funksiya olacaq, çünki "paketlər" ikisinə çevriləcəkdir. Sxemə baxın:

Yaxşı, indi özünüzə gəlin. "Sarma" funksiyalarının ardıcıllığı yazın:
\\ (y \u003d cos (\u2061 (sin\u2061x)) \\)
\\ (y \u003d 5 ^ (x ^ 7) \\)
\\ (y \u003d arctg\u2061 (11 ^ x) \\)
\\ (Y \u003d log_2\u2061 (1 + x) \\)
Məqalənin sonunda yenidən cavablar.

Daxili və xarici funksiyalar

Niyə funksiyaların yuvasını başa düşməliyik? Bunu nə verir? Fakt budur ki, belə bir analiz olmadan, bu funksiyaların üstündəki törəmələri sökülməmiş törəmələri etibarlı şəkildə tapa bilməyəcəyik.

Və davam etmək üçün daha iki anlayışa ehtiyacımız var: daxili və xarici funksiyalar. Bu, çox sadə bir şeydir, üstəlik, bundan sonra artıq onları sökmüşük, əgər əvvəllər bənzətməni xatırlamışıq. Daxili funksiya "paket" və xarici "qutu" dır. Bunlar. X-nin əvvəlcə "bükülməsi" olması - bu daxili bir funksiyadır və sonra "sarın" nə qədər xaricidir. Yaxşı, bunun səbəbi aydındır - çöldədir, xarici deməkdir.

Burada bu nümunədə: \\ (Y \u003d TG\u2061 (Log_2\u2061x) \\), Funksiya \\ (\\ log_2\u2061x \\) daxili və
- Xarici.

Bu da: \\ (Y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3 + 2x + 1))), \\ (x ^ 3 + 2x + 1 + 1 \\) - Daxili və
- Xarici.

Mürəkkəb funksiyaların təhlili təhlilinin ən son təcrübəsini yerinə yetirmək və yandıraq, nəhayət, hər şeyin müalicə olunduğu üçün - mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapacağıq:

Keçidləri cədvəldə doldurun:

Törəmə kompleks funksiyası

Bravo, bizi hələ də bu mövzunun "patronu" nın "patronuna" sahib olduq - əslində mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi və xüsusən, məqalənin əvvəlindən çox dəhşətli formula qədər.

\\ (((G (x))) "\u003d f" (g (x)) \\ cdot g "(x) \\)

Bu formul bu kimi oxunur:

Kompleks funksiyasının törəməsi, daxili funksiyanın törəməsi olan daxili funksiyaya görə xarici funksiyanın törəmənin törəməsinin məhsulu ilə bərabərdir.

Və dərhal "görə," nəyə görə "anlamaq üçün" analiz sxeminə baxın:

Ümid edirəm ki, "törəmə" və "iş" şərtləri çətinliklərə səbəb olmur. "Kompleks funksiyası" - artıq sökümük. "Dəyişməz daxili" xarici funksiyanın törəməsi "in snag. Nədir?

Cavab: Bu, yalnız xarici funksiyanın dəyişdiyi xarici bir funksiyanın adi törəməsidir və daxili eyni qalır. Aydın deyil? Yaxşı, nümunəyə gəlin.

Bir funksiyamız olsun \\ (Y \u003d \\ Sin\u2061 (X ^ 3) \\). Burada daxili funksiyanın (x ^ 3 \\) və xarici olduğu aydındır
. İndi xarici olanların dörvalını dəyişməz daxili tapırıq.

Bu dərsdə tapmağı öyrənəcəyik törəmə kompleks funksiyası. Dərs dərslərin məntiqi davamıdır Bir törəməni necə tapmaq olar?Ən sadə törəmələri sökdüyümüz yerlərdə, həm də fərqləndirmə qaydaları və törəmələri tapmağın bəzi texniki üsulları ilə tanış olduğumuz yerlər. Beləliklə, funksiyaların törəmələri ilə çox aydın deyilsinizsə, tamamilə aydın olmayacaqsınız, sonra əvvəlcə yuxarıdakı dərsləri oxuyun. Xahiş edirəm ciddi bir şəkildə qurun - material sadə deyil, amma yenə də onu sadəcə və əlçatan qurmağa çalışıram.

Təcrübədə, mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi çox tez-tez üzləşməlidir, demək olar ki, həmişə də həmişə də həmişə törəmələri tapmaq tapşırığını taparkən.

Mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirilməsinin bir qayda (5 nömrəli) masaya baxırıq:

Biz başa düşürük. Əvvəlcə rekordun diqqət yetirin. Burada iki funksiyanız var - və bundan sonra funksiyaya, funksiyanı, funksiyaya qoyulur. Bu tip funksiyası (bir funksiya digərinə daxil olduqda) və mürəkkəb bir funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiyavə funksiya - Daxili (və ya yuva) funksiyası.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların piston dizaynında görünməməlidir. Mən qeyri-rəsmi ifadələrdən "xarici funksiya", "daxili" funksiyası yalnız materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün nəzərə alın:

Misal 1.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Sinusun altında biz yalnız "X" hərfi deyil, tam bir ifadədir, buna görə dərhal masada bir törəməni tapmaq mümkün olmayacaq. Burada ilk dörd qaydada tətbiq etmək mümkün deyil, fərq var, amma faktı, sinusun "hissələrə ayrılmayan" olmasıdır.

Bu misalda, izahatlarımdan, funksiyanın mürəkkəb bir funksiyası olduğu və polinomial daxili funksiyadır və xarici bir funksiyadır.

İlk addımBir törəmə kompleks funksiyası taparkən yerinə yetirməkdir hansı funksiyanın daxili olduğunu və xarici nədir.

Sadə nümunələr halında, görünür ki, bir polinomialın sine altına qoyulur. Bəs hər şey açıq deyilsə nə olar? Hansı funksiyanın xarici olduğunu necə müəyyənləşdirmək olar və daxili nədir? Bunu etmək üçün, əqli və ya layihədə həyata keçirilə bilən növbəti qəbuldan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edin ki, kalkulyatordakı bir ifadə dəyərinin dəyərini hesablamalıyıq (vahidin əvəzinə istənilən nömrə ola bilər).

Əvvəlcə nə hesablayırıq? İlk növbədə Aşağıdakıları yerinə yetirməlisiniz: buna görə də, polinomial və daxili funksiya olacaq:

İkincisi Tapmaq lazım olacaq, buna görə sinus - xarici bir funksiya olacaq:

Bizdən sonra Anlamaq Daxili və xarici funksiyalarla mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək vaxtı gəldi.

Həll etməyə başlayırıq. Dərsdən Bir törəməni necə tapmaq olar? Xatırladaq ki, hər hansı bir törəmənin həllinin bəzəyi həmişə belə başlayır - mötərizədə bir ifadə bağlayırıq və barkodun başında sağa qoyuruq:

Birinci Xarici funksiyanı törəməni (sinus) tapırıq, biz törəmə elementar funksiyaları cədvəlinə baxırıq və bildirin. Bütün cədvəl düsturları tətbiq olunur və halda "X" mürəkkəb bir ifadə ilə əvəz olunarsa, bu halda:

Daxili funksiya qeyd edin dəymədi, ona toxunmuruq.

Yaxşı, bu olduqca açıqdır

Piston dizaynındakı düsturun tətbiqinin nəticəsi belə görünür:

Daimi bir çarpan ümumiyyətlə ifadələrə dözür:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq qalırsa, qərarı kağızla yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Misal 3.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Həmişə olduğu kimi, yazın:

Xarici funksiyamızın harada olduğunu və daxili harada olduğunu başa düşürük. Bunu etmək üçün, ifadənin dəyərini hesablamaq üçün (zehni və ya qaralama) cəhd edin. Əvvəlcə nə etmək lazımdır? Əvvəla, bazaya nə bərabər olduğunu saymaq lazımdır: bu, polinomiyanın daxili funksiyası olduğunu göstərir:

Və yalnız onda məşq dərəcədə aparılır, buna görə də güc funksiyası xarici bir funksiyadır:

Formula görə, əvvəlcə xarici funksiyadan, bu vəziyyətdə bir törəmədən bir törəmə tapmalısınız. Cədvəldəki zəruri formula istədik :. Yenidən təkrar edirik: hər hansı bir cədvəl düsturu yalnız "x" üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirilməsinin tətbiq edilməsi nəticəsində aşağıdakılardır:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici bir funksiyanın törəməsini alanda daxili funksiya bizimlə dəyişmir:

İndi daxili funksiyadan tamamilə sadə bir törəməni və nəticəni bir az "birləşdirən" tapmaq qalır:

Misal 4.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Bu müstəqil bir qərar üçün bir nümunədir (dərsin sonunda cavab).

Törəmə kompleks funksiyasını anlamaq üçün bir nümunə, şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, özünüzü, boya, harada olduğunu, daxili funksiyanı harada anlamağa çalışacağam, niyə bu şəkildə niyə həll olunur?

Misal 5.

a) törəmə funksiyanı tapın

b) bir törəmə funksiyası tapın

Misal 6.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Burada bir kök var və kökü laqeyd etmək üçün bir dərəcə şəklində təmsil olunmalıdır. Beləliklə, əvvəlcə funksiyanı lazımi formaya verin:

Funksiyanı təhlil edərək, üç terminin cəminin daxili funksiyasının və xarici funksiyanın xarici funksiyası olduğunu başa düşürük. Kompleks bir funksiyanın fərqləndirmə qaydasını tətbiq edin:

Yenidən radikal (kök) şəklində və daxili funksiyanın törəməsi şəklində dərəcəni təmsil edir, fərqləndirici məbləğin sadə bir qaydasını istifadə edir:

Hazır. Ayrıca ifadəni ümumi məxrəcə qoyub mötərizədə bir fraksiya ilə yaza bilərsiniz. Gözəl, əlbəttə ki, əlbətdə ki, böyük uzun törəmələr əldə edildikdə, bunu etməmək daha yaxşıdır (qarışıq olmaq asandır, lazımsız bir səhvə icazə vermək asandır və müəllimin əlverişsiz şəkildə yoxlanılacaq).

Misal 7.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Bu müstəqil bir qərar üçün bir nümunədir (dərsin sonunda cavab).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirilməsi qaydası əvəzinə, nisbət fərqləndirmə qaydasından istifadə edə bilərsiniz , Amma belə bir həll pozğunluğa bənzəyəcək. Budur xarakterik bir nümunə:

Misal 8.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Burada nisbətin fərqləndirmə qaydasını istifadə edə bilərsiniz Ancaq mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirmə qaydası ilə törəməni tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı fərqləndirmə üçün hazırlayırıq - törəmənin bir əlaməti başına mənfi alırıq və kosin numeratora çevrilir:

Cosine daxili bir funksiyadır, xarici funksiya xarici bir funksiyadır.
Qayamızdan istifadə edirik:

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq, kosin yenidən imtina edir:

Hazır. İmtahan nümunədə əlamətlərdə qarışıq olmamaq vacibdir. Yeri gəlmişkən, qaydanı istifadə edərək həll etməyə çalışın. Cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Bu müstəqil bir qərar üçün bir nümunədir (dərsin sonunda cavab).

İndiyə qədər yalnız bir investisiya mürəkkəb funksiyamızda olacağı halları nəzərdən keçirdik. Praktik tapşırıqlarda tez-tez bir-birinə, bir-birinə, bir anda matryoshki olduğu kimi, bir anda 3 və ya hətta 4-5 funksiyanı yerinə yetirir.

Misal 10.

Bir törəmə funksiyanı tapın

Bu funksiyanın investisiyalarında başa düşürük. Eksperimental dəyərindən istifadə edərək ifadəni hesablamağa çalışırıq. Kalkulyatora necə inanırıq?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, o deməkdir ki, Arksinus ən dərin sərmayədir:

Sonra bu arxinus bölmələri meydanda qurulmalıdır:

Və nəhayət, yeddi dərəcəyə salınır:

Yəni bu nümunədə, üç fərqli funksiyanız və iki əlavimiz var, daxili funksiya isə Arxinus, xarici funksiyanın özü bir göstərici funksiyasıdır.

Qərar verməyə başlayırıq

Qaydaya görə, əvvəlcə xarici funksiyadan bir törəmə götürməlisiniz. Terivativlər cədvəlinə baxırıq və göstərici funksiyasının törəməsini tapırıq: yeganə fərq "X" əvəzinə bu düsturun etibarlılığını ləğv etməyən çətin bir ifadə var. Beləliklə, mürəkkəb bir funksiyanın fərqləndirilmə işləməsinin tətbiqinin nəticəsi belədir:

Zərbə altında yenidən mürəkkəb bir funksiyanız var! Ancaq daha asandır. Daxili funksiyanın Arxinus olduğundan əmin olmaq asandır, xarici funksiya bir dərəcədir. Kompleks bir funksiyanın fərqliliyinə görə, əvvəlcə bir törəmə götürməlisiniz.