Солітони в звуковій хвилі. Солітони. Рівняння Кортевега - де Фриса

Після розрахунків і пошуку аналогій ці вчені встановили, що рівняння, яке використовували Фермі, Паста і Улам, при зменшенні відстані між грузиками і при необмеженій зростанні їх числа переходить в рівняння Кортевега-де Фриса. Тобто по суті завдання, запропонована Фермі, зводилася до чисельного вирішення рівняння Кортевега-де Фриса, запропонованого в 1895 році для опису окремої хвилі Рассела. Приблизно в ті ж роки було показано, що для опису іонно-звукових хвиль в плазмі використовується також рівняння Кортевега-де Фриса. Тоді стало ясно, що це рівняння зустрічається в багатьох областях фізики і, отже, відокремлена хвиля, яка описується цим рівнянням, є широко поширеним явищем.

Продовжуючи обчислювальні експерименти з моделювання поширення таких хвиль, Круськала і Забузький розглянули їх зіткнення. Зупинимося докладніше на обговоренні цього чудового факту. Нехай є дві відокремлені хвилі, описувані рівнянням Кортевега-де Фриса, які розрізняються амплітудами і рухаються один за одним в одному напрямку (рис. 2). З формули для відокремлених хвиль (8) випливає, що швидкість руху таких хвиль тим вище, чим більше їх амплітуда, а ширина піку зменшується з ростом амплітуди. Таким чином, високі відокремлені хвилі рухаються швидше. Хвиля з більшою амплітудою наздожене рухому попереду хвилю з меншою амплітудою. Далі протягом деякого часу дві хвилі будуть рухатися разом як єдине ціле, взаємодіючи між собою, а потім вони роз'єднати. Чудовим властивістю цих-хвиль є те, що після свого взаємодії форма і

Мал. 2. Два солітону, описувані рівнянням Кортевега-де Фриса,

до взаємодії (вгорі) і після (внизу)

швидкість цих хвиль відновлюються. Обидві хвилі після зіткнення лише зміщуються на деяку відстань в порівнянні з тим, як якщо б вони рухалися без взаємодії.

Процес, у якого після взаємодії хвиль зберігаються форма і швидкість, нагадує пружне зіткнення двох частинок. Тому Круськала і Забузький такі відокремлені хвилі назвали Солітони (від англ. Solitary- відокремлений). Це спеціальну назву відокремлених хвиль, співзвучне електрону, протону і багатьом іншим елементарних частинок, в даний час загальноприйнято.

Відокремлені хвилі, які були відкриті Расселом, і справді поводяться як частки. Велика хвиля не проходить через малу при їх взаємодії. Коли відокремлені хвилі стикаються, то велика хвиля сповільнюється і зменшується, а хвиля, яка була малою, навпаки, прискорюється і підростає. І коли мала хвиля доростає до розмірів великої, а велика зменшується до розмірів малої, солітони поділяються і більший йде вперед. Таким чином, солітони поводяться як пружні тенісні м'ячі.

Дамо визначення солітону. солітони називається нелінійна відокремлена хвиля, яка зберігає свою форму і швидкість при своєму русі і зіткненні з собі подібними відокремленими хвилями, тобто являє собою стійке утворення. Єдиним результатом взаємодії солітонів може бути деяке зрушення фаз.

Відкриття, пов'язані з рівнянням Кортевега - де Фриса, не закінчилися відкриттям солітону. Наступним важливим кроком, що має відношення до цього чудового рівняння, було створення нового методу розв'язання нелінійних рівнянь в приватних похідних. Добре відомо, що знайти рішення нелінійних рівнянь дуже складно. До 60-х років нашого століття вважалося, що такі рівняння можуть мати тільки деякі приватні рішення, що задовольняють спеціально заданим початковим умовам. Однак рівняння Кортевега-де Фриса і в цьому випадку виявилося у винятковому становищі.

У 1967 році американські фізики К.С. Гарднер, Дж.М. Грін, М. Круськала і Р. Міура показали, що рішення рівняння Кортевега-де Фриса може бути в принципі отримано для всіх початкових умов, які певним чином звертаються в нуль при прагненні координати до нескінченності. Вони використовували перетворення рівняння Кортевега - де Фриса до системи двох рівнянь, що називається тепер парою Лакса (по імені американського математика Пітера Лакса, який зробив великий внесок у розвиток теорії солітонів), і відкрили новий метод вирішення ряду дуже важливих нелінійних рівнянь в приватних похідних. Цей метод отримав назву методу оберненої задачі розсіювання, оскільки в ньому істотно використовується рішення задачі квантової механіки про відновлення потенціалу за даними розсіювання.

2.2. груповий солітон

Вище ми говорили, що на практиці хвилі, як правило, поширюються групами. Подібні групи хвиль на воді люди спостерігали з незапам'ятних часів. На питання про те, чому для хвиль на воді так типові "зграї" хвиль, вдалося відповісти Т. Бенжаменом і Дж. Фейєра тільки в 1967 році. Теоретичними розрахунками вони показали, що проста періодична хвиля на глибокій воді нестійка (тепер це явище називається нестійкістю Бенжамена-фейєра), і тому хвилі на воді з-за нестійкості розбиваються на групи. Рівняння, за допомогою якого описується поширення груп хвиль на воді, було отримано В.Є. Захаровим в 1968 році. На той час це рівняння вже було відомо у фізиці і носило назву нелінійного рівняння Шредінгера. У 1971 році В.Є. Захаров і А.Б. Шабат показали, що це нелінійне рівняння має рішення також у вигляді солітонів, більш того, нелінійне рівняння Шредінгера, так само як і рівняння Кортевега-де Фриса, може бути проінтегрувати методом оберненої задачі розсіювання. Солітони нелінійного рівняння Шредінгера відрізняються від обговорюваних вище солитонов Кортевега-де Фриса тим, що вони відповідають формі огинає групи хвиль. Зовні вони нагадують модульовані радіохвилі. Ці солітони називаються груповими Солітони, а іноді Солітони обвідної. Ця назва відображає збереженість при взаємодії обвідної хвильового пакету (аналог штриховий лінії, представленої на рис. 3), хоча самі хвилі під обвідної рухаються зі швидкістю, відмінною від групової. При цьому форма обвідної описується

Мал. 3. Приклад групового солітону (штрихова лінія)

залежністю

a (x, t) \u003d a 0 ch -1 ()

де а а - амплітуда, а l - половина розміру солітону. Зазвичай під обвідної солітону знаходиться від 14 до 20 хвиль, причому середня хвиля найбільша. З цим пов'язаний добре відомий факт, що найвища хвиля в групі на воді знаходиться між сьомою та десятої (дев'ятий вал). Якщо в групі хвиль утворилося більшу кількість хвиль, то відбудеться її розпад на кілька груп.

Нелінійне рівняння Шредінгера, як і рівняння Кортевега- де Фриса, також має широку поширеність при описі хвиль в різних областях фізики. Це рівняння було запропоновано в 1926 році видатним австрійським фізиком Е. Шредінгер для аналізу фундаментальних властивостей квантових систем і спочатку використано при описі взаємодії внутрішньоатомних частинок. Узагальнене або нелінійне рівняння Шредінгера описує сукупність явищ у фізиці хвильових процесів. Наприклад, воно використовується для опису ефекту самофокусіровкі при впливі потужного лазерного променя на нелінійну діелектричну середу і для опису поширення нелінійних хвиль в плазмі.

3. Постановка завдання

3.1. Опис моделі.В даний час спостерігається значно зростаючий інтерес до дослідження нелінійних хвильових процесів в різних галузях фізики (наприклад, в оптиці, фізиці плазми, радіофізики, гідродинаміки і т.д.). Для вивчення хвиль малої, але кінцевої амплітуди в дисперсійних середовищах в якості модельного рівняння часто використовують рівняння Кортевега-де Фріза (КдФ):

u t + Ії х + b і ххх \u003d 0 (3.1)

Рівняння КдФ було використано для опису магнітозвукових хвиль, що поширюються строго поперек магнітного поля або під кутами, близькими до

Основні припущення, які робляться при виводі рівняння: 1) мала, але кінцева амплітуда, 2) довжина хвилі велика в порівнянні з довжиною дисперсії.

Компенсуючи дію нелінійності, дисперсія дає можливість формуватися в дисперсійному середовищі стаціонарним хвилях кінцевої амплітуди - відокремленим і періодичним. Відокремлені хвилі для рівняння КдФ після роботи стали називатися Солітони. Періодичні хвилі звуться кноідальних хвиль. Відповідні формули для їх описи дані в.

3.2. Постановка диференціальної задачі.В роботі досліджується чисельне рішення задачі Коші для рівняння Кортевега-де Фріза з періодичними умовами по простору в прямокутнику Q T ={( t , x ):0< t < T , x Î [0, l ].

u t + Ії х + b і ххх \u003d 0 (3.2)

u (x, t) | x \u003d 0 \u003d u (x, t) | x \u003d l (3.3)

з початковою умовою

u (x, t) | t \u003d 0 \u003d u 0 (x) (3.4)

4. Властивості рівняння Кортевега - де Фріза

4.1. Короткий огляд результатів по рівнянню КдФ.Задача Коші для рівняння КдФ при різних припущеннях щодо u 0 (Х) розглядалася в багатьох роботах. Завдання про існування та єдиності розв'язку з умовами періодичності як крайових умов була вирішена в роботі за допомогою методу скінченних різниць. Пізніше, при менш сильних припущеннях, існування і єдиність були доведена в статті в просторі L ¥ (0, T, H s (R \u200b\u200b1)), де s\u003e 3/2, а в разі періодичної завдання - в просторі L ¥ (0 , T, H ¥ (C)) де С - окружність довжини, що дорівнює періоду, російською мовою ці результати представлені в книзі.

Доктор технічних наук А. ГОЛУБЄВ.

Людині навіть без спеціального фізичного або технічної освіти безсумнівно знайомі слова "електрон, протон, нейтрон, фотон". А ось співзвучне з ними слово "солітон" багато, ймовірно, чують вперше. Це й не дивно: хоча те, що позначається цим словом, відомо понад півтора століття, належну увагу Солітони стали приділяти лише з останньої третини ХХ століття. Солітони явища виявилися універсальними і виявилися в математиці, гідромеханіки, акустиці, радіофізиці, астрофізиці, біології, океанографії, оптичної техніки. Що ж це таке - солітон?

Картина І. К. Айвазовського "Дев'ятий вал". Хвилі на воді поширюються подібно груповим Солітони, в середині яких, в інтервалі від сьомої до десятої, йде найвища хвиля.

Звичайна лінійна хвиля має форму правильної синусоїди (а).

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Так поводиться нелінійна хвиля на поверхні води при відсутності дисперсії.

Так виглядає груповий солітон.

Ударна хвиля перед кулею, що летить в шість разів швидше звуку. На слух вона сприймається як гучний хлопок.

У всіх перерахованих вище областях є одна спільна риса: в них або в окремих їх розділах вивчаються хвильові процеси, а простіше кажучи - хвилі. У найбільш загальному сенсі хвиля - це поширення обурення будь-якої фізичної величини, що характеризує речовину або поле. Це поширення зазвичай відбувається в якійсь середовищі - воді, повітрі, твердих тілах. І тільки електромагнітні хвилі можуть поширюватися в вакуумі. Все, безсумнівно, бачили, як від кинутого у воду каменя, "обурив" спокійну поверхню води, розходяться сферичні хвилі. Це приклад поширення "одиночного" обурення. Дуже часто обурення є коливальний процес (зокрема, періодичний) в самих різних формах - хитання маятника, коливання струни музичного інструменту, стиснення і розширення кварцової пластинки під дією змінного струму, коливання в атомах і молекулах. Хвилі - поширюються коливання - можуть мати різну природу: хвилі на воді, звукові, електромагнітні (в тому числі світлові) хвилі. Різниця фізичних механізмів, що реалізують хвильової процес, тягне за собою різні способи його математичного опису. Але хвилях різного походження притаманні і деякі загальні властивості, для опису яких використовують універсальний математичний апарат. А це означає, що можна вивчати хвильові явища, відволікаючись від їх фізичної природи.

В теорії хвиль так зазвичай і роблять, розглядаючи такі властивості хвиль, як інтерференція, дифракція, дисперсія, розсіювання, відбиття і заломлення. Але при цьому має місце одна важлива обставина: такий єдиний підхід правомірний за умови, що досліджувані хвильові процеси різної природи лінейни.О тому, що під цим розуміється, ми поговоримо трохи пізніше, а зараз лише зазначимо, що лінійними можуть бути тільки хвилі з не занадто великою амплітудою. Якщо ж амплітуда хвилі велика, вона стає нелінійної, і це має пряме відношення до теми нашої статті - солітонів.

Оскільки ми весь час говоримо про хвилях, неважко здогадатися, що солітони - теж щось з області хвиль. Це дійсно так: Солітони називають вельми незвичайна зона - "відокремлене" хвилю (solitary wave). Механізм її виникнення довгий час залишався загадкою для дослідників; здавалося, що природа цього явища суперечить добре відомим законам освіти і поширення хвиль. Ясність з'явилася порівняно недавно, і зараз вивчають солітони в кристалах, магнітних матеріалах, волоконних световодах, в атмосфері Землі і інших планет, в галактиках і навіть в живих організмах. Виявилося, що і цунамі, і нервові імпульси, і дислокації в кристалах (порушення періодичності їх решіток) - все це солітони! Солитон воістину "багатоликий". До речі, саме так і називається прекрасна науково-популярна книга А. Філіппова "Багатоликий солітон". Її ми рекомендуємо читачеві, що не боящемуся досить великої кількості математичних формул.

Щоб зрозуміти основні ідеї, пов'язані з Солітони, і при цьому обійтися практично без математики, доведеться поговорити в першу чергу про згадуваної вже нелінійності і про дисперсії - явища, що лежать в основі механізму утворення солітонів. Але спочатку розповімо про те, як і коли був виявлений солітон. Він вперше з'явився людині в "образі" окремої хвилі на воді.

Це сталося в 1834 році. Джон Скотт Рассел, шотландський фізик і талановитий інженер-винахідник, отримав пропозицію дослідити можливості навігації парових судів по каналу, що з'єднує Единбург і Глазго. У той час перевезення по каналу здійснювалися за допомогою невеликих барж, які тягли коні. Щоб з'ясувати, як потрібно переобладнати баржі при заміні кінної тяги на парову, Рассел почав вести спостереження за баржами різної форми, що рухаються з різними швидкостями. І в ході цих дослідів він несподівано зіткнувся з абсолютно незвичним явищем. Ось як він описав його в своєму "Доповіді про хвилях":

"Я стежив за рухом баржі, яку швидко тягнула по вузькому каналу пара коней, коли баржа несподівано зупинилася. Але маса води, яку баржа привела в рух, зібралася біля носа судна в стані скаженого руху, потім несподівано залишила його позаду, котячись вперед з величезною швидкістю і приймаючи форму великого одиночного піднесення - округлого, гладкого і чітко вираженого водяного пагорба. він продовжував свій шлях уздовж каналу, анітрохи не змінюючи своєї форми і не знижуючи швидкості. Я пішов за ним верхи, і коли наздогнав його, він як і раніше котився вперед зі швидкістю приблизно 8-9 миль на годину, зберігши свій первісний профіль піднесення довжиною близько тридцяти футів і висотою від фута до півтора футів. його висота поступово зменшувалася, і після однієї або двох миль погоні я втратив його в вигинах каналу ".

Рассел назвав виявлене ним явище "відокремленої хвилею трансляції". Однак його повідомлення зустріли скепсисом визнані авторитети в області гідродинаміки - Джордж Ейрі і Джордж Стокс, які вважали, що хвилі при русі на великі відстані не можуть зберігати свою форму. Для цього у них були всі підстави: вони виходили із загальноприйнятих у той час рівнянь гідродинаміки. Визнання "відокремленої" хвилі (яка була названа Солітони набагато пізніше - в 1965 році) відбулося ще за життя Рассела працями кількох математиків, які показали, що існувати вона може, і, крім того, були повторені і підтверджені досліди Рассела. Але суперечки навколо солітону все ж довго не припинялися - занадто великий був авторитет Ейрі і Стокса.

Остаточну ясність в проблему внесли голландський вчений Дідерик Иоханнес Кортевега і його учень Густав де Фриз. У 1895 році, через тринадцять років після смерті Рассела, вони знайшли точне рівняння, хвильові рішення якого повністю описують процеси, що відбуваються. У першому наближенні це можна пояснити наступним чином. Хвилі Кортевега - де Фріза мають несинусоїдальну форму і стають синусоїдальними тільки в тому випадку, коли їх амплітуда дуже мала. При збільшенні довжини хвилі вони набувають вигляду далеко рознесених один від одного горбів, а при дуже великій довжині хвилі залишається один горбик, який і відповідає "відокремленої" хвилі.

Рівняння Кортевега - де Фріза (так зване КдФ-рівняння) зіграло дуже велику роль в наші дні, коли фізики зрозуміли його універсальність і можливість застосування до хвиль різної природи. Саме чудове, що воно описує нелінійні хвилі, і тепер слід більш детально зупинитися на цьому понятті.

В теорії хвиль фундаментальне значення має хвильове рівняння. Не наводячи його тут (для цього потрібно знайомство з вищою математикою), відзначимо лише, що шукана функція, що описує хвилю, і пов'язані з нею величини містяться в першого ступеня. Такі рівняння називаються лінійними. Хвильове рівняння, як і будь-яка інша, має рішення, тобто математичне вираз, при підстановці якого звертається в тотожність. Рішенням хвильового рівняння служить лінійна гармонійна (синусоїдальна) хвиля. Підкреслимо ще раз, що термін "лінійна" вживається тут не в геометричному сенсі (синусоїда - не пряма лінія), а в сенсі використання першого ступеня величин в хвильовому рівнянні.

Лінійні хвилі підкоряються принципу суперпозиції (складання). Це означає, що при накладенні декількох лінійних хвиль форма результуючої хвилі визначається простим додаванням вихідних хвиль. Це відбувається тому, що кожна хвиля поширюється в середовищі незалежно від інших, між ними немає ні обміну енергією, ні іншого взаємодії, вони вільно проходять одна через іншу. Іншими словами, принцип суперпозиції означає незалежність хвиль, і саме тому їх можна складати. При звичайних умовах це справедливо для звукових, світлових і радіохвиль, а також для хвиль, які розглядаються в квантової теорії. Але для хвиль в рідині це не завжди вірно: складати можна лише хвилі дуже малої амплітуди. Якщо спробувати скласти хвилі Кортевега - де Фріза, то ми взагалі не отримаємо хвилю, яка може існувати: рівняння гідродинаміки нелінійні.

Тут важливо підкреслити, що властивість лінійності акустичних і електромагнітних хвиль дотримується, як було вже зазначено, при звичайних умовах, під якими маються на увазі, перш за все, невеликі амплітуди хвиль. Але що значить - "невеликі амплітуди"? Амплітуда звукових хвиль визначає гучність звуку, світлових - інтенсивність світла, а радіохвиль - напруженість електромагнітного поля. Радіомовлення, телебачення, телефонний зв'язок, комп'ютери, освітлювальні прилади і багато інших пристроїв працюють в тих самих "звичайних умовах", маючи справу з різноманітними хвилями малої амплітуди. Якщо ж амплітуда різко збільшується, хвилі втрачають лінійність і тоді виникають нові явища. В акустиці давно відомі ударні хвилі, що поширюються з надзвуковою швидкістю. Приклади ударних хвиль - гуркіт грому під час грози, звуки пострілу і вибуху і навіть ляскання батога: його кінчик рухається швидше звуку. Нелінійні світлові хвилі отримують за допомогою потужних імпульсних лазерів. Проходження таких хвиль через різні середовища змінює властивості самих середовищ; спостерігаються абсолютно нові явища, що становлять предмет вивчення нелінійної оптики. Наприклад, виникає світлова хвиля, довжина якої в два рази менше, а частота, відповідно, вдвічі більше, ніж у падаючого світла (відбувається генерація другої гармоніки). Якщо направити на нелінійний кристал, скажімо, потужний лазерний пучок з довжиною хвилі l 1 \u003d 1,06 мкм (інфрачервоне випромінювання, невидиме оком), то на виході кристала виникає крім інфрачервоного зелене світло з довжиною хвилі l 2 \u003d 0,53 мкм.

Якщо нелінійні звукові і світлові хвилі утворюються тільки в особливих умовах, то гідродинаміка нелінійна за самою своєю природою. А оскільки гідродинаміка проявляє нелінійність вже в найпростіших явища, майже століття вона розвивалася в повній ізоляції від "лінійної" фізики. Нікому просто не приходило в голову шукати щось схоже на "відокремлене" хвилю Рассела в інших хвильових явищах. І тільки коли були розроблені нові галузі фізики - нелінійні акустика, радіофізика і оптика, - дослідники згадали про солітон Рассела і задалися питанням: чи тільки в воді може спостерігатися таке явище? Для цього треба було зрозуміти загальний механізм утворення солітону. Умова нелінійності виявилося необхідним, але недостатнім: від середовища потрібно ще щось, щоб в ній змогла народитися "відокремлена" хвиля. І в результаті досліджень стало ясно - відсутньою умовою виявилося наявність дисперсії середовища.

Нагадаємо коротко, що це таке. Дисперсією називається залежність швидкості поширення фази хвилі (так званої фазової швидкості) від частоти або, що те ж саме, довжини хвилі (див. "Наука і життя" №). Несинусоїдальну хвилю будь-якої форми по відомій теоремі Фур'є можна представити сукупністю простих синусоїдальних складових з різними частотами (довжинами хвиль), амплітудами і початковими фазами. Ці складові через дисперсії поширюються з різними фазовими швидкостями, що призводить до "розмивання" форми хвилі при її поширенні. Але солітон, який теж можна уявити як суму зазначених складових, як ми вже знаємо, при русі свою форму зберігає. Чому? Згадаймо, що солітон - хвиля нелінійна. І ось тут-то і лежить ключ до розкриття його "таємниці". Виявляється, що солітон виникає тоді, коли ефект нелінійності, що робить "горб" солітону більш крутим і прагне його перекинути, врівноважується дисперсією, що робить його більш пологим і прагне його розмити. Тобто солітон виникає "на стику" нелінійності і дисперсії, що компенсують один одного.

Пояснимо це на прикладі. Припустимо, що на поверхні води утворилася горбик, який почав переміщатися. Подивимося, що буде, якщо не враховувати дисперсію. Швидкість нелінійної хвилі залежить від амплітуди (у лінійних хвиль такої залежності немає). Швидше за всіх буде рухатися вершина горбика, і в певний наступний момент його передній фронт стане крутіше. Крутизна фронту збільшується, і з плином часу відбудеться "перекидання" хвилі. Подібне перекидання хвиль ми бачимо, спостерігаючи прибій на морському березі. Тепер подивимося, до чого призводить наявність дисперсії. Початковий горбик можна уявити сумою синусоїдальних складових з різними довжинами хвиль. Довгохвильові складові біжать з більшою швидкістю, ніж короткохвильові, і, отже, зменшують крутизну переднього фронту, в значній мірі вирівнюючи його (див. "Наука і життя" № 8, 1992 р). При певній формі та швидкості горбика може наступити повне відновлення первісної форми, і тоді утворюється солітон.

Одне з дивних властивостей "відокремлених" хвиль полягає в тому, що вони багато в чому подібні до частинок. Так, при зіткненні два солітону не проходять один через одного, як звичайні лінійні хвилі, а як би відштовхуються одна від одної подібно тенісним м'ячам.

На воді можуть виникати солітони і іншого типу, названі груповими, так як їх форма дуже схожа з групами хвиль, які в реальності спостерігаються замість нескінченної синусоїдальної хвилі і переміщаються з груповою швидкістю. Груповий солітон вельми нагадує амплітудно-модульовані електромагнітні хвилі; його огинає несинусоїдальний, вона описується більш складною функцією - гіперболічним Секанс. Швидкість такого солітону не залежить від амплітуди, і цим він відрізняється від КдФ-солітонів. Під обвідної зазвичай знаходиться не більше 14-20 хвиль. Середня - найвища - хвиля в групі виявляється, таким чином, в інтервалі від сьомої до десятої; звідси відомий вислів "дев'ятий вал".

Рамки статті не дозволяють розглянути багато інших типів солитонов, наприклад солітони в твердих кристалічних тілах - так звані дислокації (вони нагадують "дірки" в кристалічній решітці і теж здатні переміщатися), споріднені з ними магнітні солітони в феромагнетиках (наприклад, в залозі), солітоноподобние нервові імпульси в живих організмах і багато інших. Обмежимося розглядом оптичних солітонів, які останнім часом привернули увагу фізиків можливістю їх використання в дуже перспективні лінії оптичного зв'язку.

Оптичний солітон - типовий груповий солітон. Його освіту можна усвідомити на прикладі одного з нелінійно-оптичних ефектів - так званої самоіндуцірованной прозорості. Цей ефект полягає в тому, що навколишнє середовище, що поглинає світло невеликої інтенсивності, тобто непрозора, раптово стає прозорою при проходженні крізь неї потужного світлового імпульсу. Щоб зрозуміти, чому це відбувається, згадаємо, чим обумовлено поглинання світла в речовині.

Світловий квант, взаємодіючи з атомом, віддає йому енергію і переводить на більш високий енергетичний рівень, тобто в збуджений стан. Фотон при цьому зникає - середовище поглинає світло. Після того як всі атоми середовища порушуються, поглинання світлової енергії припиняється - середовище стає прозорою. Але такий стан не може тривати довго: фотони, що летять слідом, змушують атоми повертатися в початковий стан, випускаючи кванти тієї ж частоти. Саме це і відбувається, коли через таке середовище направляється короткий світловий імпульс великої потужності відповідної частоти. Передній фронт імпульсу перекидає атоми на верхній рівень, частково при цьому поглощаясь і стаючи слабкіше. Максимум імпульсу поглинається вже менше, а задній фронт імпульсу стимулює зворотний перехід з порушеної рівня на основний. Атом випромінює фотон, його енергія повертається імпульсу, який і проходить через середовище. При цьому форма імпульсу виявляється відповідної групового Солітони.

Зовсім недавно в одному з американських наукових журналів з'явилася публікація про що ведуться відомою фірмою "Белл" (Bell Laboratories, США, штат Нью-Джерсі) розробках передачі сигналів на надвеликі відстані по оптичних волоконних світловодів з використанням оптичних солітонів. При звичайній передачі по оптико-волоконних лініях зв'язку сигнал може бути піддано посилення через кожні 80-100 кілометрів (підсилювачем може служити сам світловод при його накачуванні світлом певної довжини хвилі). А через кожні 500-600 кілометрів доводиться встановлювати ретранслятор, що перетворює оптичний сигнал в електричний зі збереженням всіх його параметрів, а потім знову в оптичний для подальшої передачі. Без цих заходів сигнал на відстані, що перевищує 500 кілометрів, спотворюється до невпізнання. Вартість цього обладнання дуже висока: передача одного терабіта (10 12 біт) інформації з Сан-Франциско в Нью-Йорк обходиться в 200 мільйонів доларів на кожну ретрансляційну станцію.

Використання оптичних солітонів, що зберігають свою форму при поширенні, дозволяє здійснити повністю оптичну передачу сигналу на відстані до 5-6 тисяч кілометрів. Однак на шляху створення "солітонної лінії" є істотні труднощі, які вдалося подолати тільки в самий останній час.

Можливість існування солітонів в оптичному волокні передбачив в 1972 році фізик-теоретик Акіра Хасегава, співробітник фірми "Белл". Але в той час ще не було світловодів з низькими втратами в тих областях довжин хвиль, де можна спостерігати солітони.

Оптичні солітони можуть поширюватися тільки в световоде з невеликим, але кінцевим значенням дисперсії. Однак оптичного волокна, що зберігає необхідне значення дисперсії у всій спектральної ширині багатоканального передавача, просто не існує. А це робить "звичайні" солітони непридатними для використання в мережах з довгими лініями передачі.

Відповідна Солітони технологія створювалася протягом ряду років під керівництвом Лінна Молленауера, провідного спеціаліста Відділу оптичних технологій все тієї ж фірми "Белл". В основу цієї технології лягла розробка оптичних волокон з керованою дисперсією, яка дозволила створити солітони, форма імпульсів яких може підтримуватися необмежено довго.

Метод управління полягає в наступному. Величина дисперсії по довжині волоконного світловода періодично змінюється між негативним і позитивним значеннями. У першій секції світловода імпульс розширюється і зсувається в одному напрямку. У другій секції, що має дисперсію протилежного знаку, відбуваються стиснення імпульсу і зрушення в зворотному напрямку, в результаті чого його форма відновлюється. При подальшому русі імпульс знову розширюється, потім входить в наступну зону, що компенсує дію попередньої зони, і так далі - відбувається циклічний процес розширень і стиснень. Імпульс відчуває пульсацію по ширині з періодом, рівним відстані між оптичними підсилювачами звичайного світловода - від 80 до 100 кілометрів. В результаті, за заявою Молленауера, сигнал при обсязі інформації більше 1 терабіта може пройти без ретрансляції щонайменше 5 - 6 тисяч кілометрів зі швидкістю передачі 10 гігабіт на секунду на канал без будь-яких спотворень. Подібна технологія наддалекої зв'язку по оптичних лініях вже близька до стадії реалізації.

формат: doc

Дата створення: 31.05.2003

Розмір: 125.1 KB

1. Введення

Хвилі в природі

Зі шкільного курсу фізики добре відомо, що якщо в будь-якій точці пружного середовища (твердому, рідкому або газоподібному) порушити коливання, то вони будуть передаватися в інші місця. Ця передача збуджень обумовлена \u200b\u200bтим, що близькі ділянки середовища пов'язані один з одним. При цьому коливання, збуджені в одному місці, поширюються в просторі з певною швидкістю. Хвилею прийнято називати процес передачі збуджень середовища (зокрема, коливального процесу) від однієї точки до іншої.

Природа механізму поширення хвилі може бути різною. У найпростішому випадку зв'язку між ділянками в середовищі можуть бути обумовлені силами пружності, які виникають через деформації в середовищі. При цьому у твердій пружною середовищі можуть розповсюджуватися як поздовжні хвилі, при яких зміщення частинок середовища здійснюються в напрямку поширення хвилі, так і поперечні хвилі, у яких зміщення частинок перпендикулярні поширенню хвилі. У рідині або газі на відміну від твердих тіл немає сил опору зрушенню, тому можуть поширюватися тільки поздовжні хвилі. Добре відомий приклад поздовжніх хвиль в природі - звукові хвилі, які виникають через пружності повітря.

Серед хвиль іншої природи особливе місце займають електромагнітні хвилі, передача збуджень у яких відбувається через коливання електричного і магнітного полів. Середовище, в якому поширюються електромагнітні хвилі, як правило, робить істотний вплив на процес поширення хвиль, однак електромагнітні хвилі на відміну від пружних можуть поширюватися навіть в порожнечі. Зв'язок між різними ділянками в просторі при поширенні таких хвиль обумовлена \u200b\u200bтим, що зміна електричного поля викликає появу магнітного поля і навпаки.

З явищами поширення електромагнітних хвиль ми часто стикаємося в нашому повсякденному житті. До цих явищ належать радіохвилі, застосування яких в технічних додатках загальновідомо. У зв'язку з цим можна згадати роботу радіо і телебачення, яка заснована на прийомі радіохвиль. До електромагнітних явищ, тільки в іншому частотному діапазоні, відноситься також світло, за допомогою якого ми бачимо навколишні нас предмети.

Дуже важливим і цікавим типом хвиль є хвилі на поверхні води. Це один з найпоширеніших видів хвиль, який кожен спостерігав ще в дитинстві і який зазвичай демонструється в рамках шкільного курсу фізики. Однак, за висловом Річарда Фейнмана, "більш невдалого прикладу для демонстрації хвиль придумати важко, бо ці хвилі анітрохи не схожі ні на звук, ні на світло; тут зібралися всі труднощі, які можуть бути в хвилях".

Якщо розглянути досить глибокий басейн, наповнений водою, і на його поверхні створити деяке обурення, то по поверхні води почнуть розповсюджуватися хвилі. Виникнення їх пояснюється тим, що частинки рідини, які знаходяться поблизу западини, при створенні обурення будуть прагнути заповнити западину, перебуваючи під дією сили тяжіння. Розвиток цього явища з часом і призведе до поширення хвилі на воді. Частинки рідини в такій хвилі рухаються не вгору-вниз, а приблизно по колах, тому хвилі на воді не є ні поздовжніми, ні поперечними. Вони як би суміш тих і інших. З глибиною радіуси кіл, по яких рухаються частинки рідини, зменшуються до тих пір, поки вони не стануть рівними нулю.

Якщо аналізувати швидкість поширення хвилі на воді, то виявляється, що вона залежить від її довжини. Швидкість довгих хвиль пропорційна кореню квадратному з прискорення вільного падіння, помноженому на довжину хвилі. Причиною виникнення таких хвиль є сила тяжіння.

Для коротких хвиль відновлює сила обумовлена \u200b\u200bсилою поверхневого натягу, і тому швидкість таких хвиль пропорційна кореню квадратному з приватного, в чисельнику якого стоїть коефіцієнт поверхневого натягу, а в знаменнику - твір довжини хвилі на щільність води. Для хвиль середньої довжини хвилі швидкість їх поширення залежить від перерахованих вище параметрів завдання. Зі сказаного ясно, що хвилі на воді і справді досить складне явище.

1.2. Відкриття окремої хвилі

Хвилі на воді здавна привертали до себе увагу дослідників. Це пов'язано з тим, що вони являють собою широко відоме явище в природі і, крім того, супроводжують переміщення суден по воді.

Цікаву хвилю на воді спостерігав шотландський вчений Джон Скотт Рассел в 1834 році. Він займався дослідженням переміщення по каналу баржі, яку тягнула пара коней. Несподівано баржа зупинилася, але маса води, яку баржа привела в рух, не зупинилася, а зібралася у носа судна, а потім відірвалася від нього. Далі ця маса води покотилася по каналу з великою швидкістю у вигляді відокремленого піднесення, не змінюючи своєї форми і не знижуючи швидкості.

Протягом усього життя Рассел неодноразово повертався до спостереження за цією хвилею, оскільки вірив, що відкрита ним відокремлена хвиля грає важливу роль у багатьох явищах в природі. Він встановив деякі властивості цієї хвилі. По-перше, зауважив, що вона рухається з постійною швидкістю і без зміни форми. По-друге, знайшов залежність швидкості З цієї хвилі від глибини каналу h і висоти хвилі а:

де g - прискорення вільного падіння, причому a < h . По-третє, Рассел виявив, що можливий розпад однієї великої хвилі на кілька хвиль. По-четверте, він зазначив, що в експериментах спостерігаються тільки хвилі піднесення. Одного разу він також звернув увагу, що відкриті їм відокремлені хвилі проходять один через одного без будь-яких змін, Як і малі хвилі, утворені на поверхні води. Однак на останній дуже важлива властивість він не звернув достатньої уваги.

Робота Рассела, опублікована в 1844 році як "Доповідь про хвилях", викликала обережну реакцію в середовищі вчених. На континенті її не помітили зовсім, а в самій Англії на неї звернули увагу Г.Р. Ейрі і Дж.Г. Стоці. Ейрі піддав критиці результати експериментів, які спостерігав Рассел. Він відзначав, що з теорії довгих хвиль на мілководді висновки Рассела не вдаються, і стверджував, що довгі хвилі не можуть зберігати незмінну форму. І в кінцевому підсумку поставив під сумнів правильність спостережень Рассела. Один із засновників сучасної гідродинаміки, Джордж Габріель Стоке, також не погодився з результатами спостережень, отриманими Расселом, і критично поставився до факту існування окремої хвилі.

Після настільки негативного ставлення до відкриття окремої хвилі довгий час про неї просто не згадували. Певну ясність у спостереження Рассела внесли Дж. Буссінеска (1872 рік) і Дж.У. Релей (1876 рік), які незалежно один від одного знайшли аналітичну формулу для піднесення вільної поверхні на воді у вигляді квадрата гіперболічного секанса і вирахували швидкість поширення окремої хвилі на воді.

Пізніше досліди Рассела були повторені іншими дослідниками і отримали підтвердження.

1.3. Лінійні і нелінійні хвилі

В якості математичних моделей при описі поширення хвиль в різних середовищах часто використовують рівняння в приватних похідних. Це такі рівняння, які містять в якості невідомих похідні від характеристик даного явища. Причому оскільки характеристика (наприклад, щільність повітря при поширенні звуку) залежить від відстані до джерела і від часу, то і в рівнянні використовуються не одна, а дві (а іноді і більше) похідні. Просте хвилеве рівняння має вигляд

u tt = c 2 u xx (1.1)

характеристика хвилі ів цьому рівнянні залежить від просторової координати хі часу t , а індекси у змінної іпозначають другу похідну від іпо часу ( u tt ) І другу похідну від іпо змінній x (u xx ). Рівняння (1) описує плоску одновимірну хвилю, аналогом якої може служити хвиля в струні. У цьому рівнянні як іможна прийняти щільність повітря, якщо мова йде, наприклад, про звукової хвилі в повітрі. Якщо розглядають електромагнітні хвилі, то під іслід розуміти напруженість електричного або магнітного поля.

Рішення хвильового рівняння (1), яке вперше було отримано Ж. Д "Аламбером в 1748 році, має вигляд

u (x, t) \u003d f (x-ct) + g (x + ct) (1.2)

тут функції f і gзнаходять з початкових умов для і.Рівняння (1.1) містить другу похідну від іпо t , тому для нього слід задавати два початкових умови: значення іпри t \u003d 0 і похідну і,при t = 0.

Хвильове рівняння (1.1) має дуже важливе властивість, суть якого полягає в наступному. Виявилося, що якщо взяти два будь-яких вирішення цього рівняння, то їх сума знову буде вирішенням цього ж рівняння. Це властивість відображає принцип суперпозиції рішень рівняння (1.1) і відповідає лінійності явища, яке воно описує. Для нелінійних моделей це властивість не виконується, що призводить до суттєвих відмінностей протікання процесів в відповідних моделях. Зокрема, з виразу для швидкості окремої хвилі, яку спостерігав Рассел, слід, що її значення залежить від амплітуди, а для хвилі, описуваної рівнянням (1.1), такої залежності немає.

Безпосередньою підстановкою в рівняння (1.1) можна переконатися, що залежність

u (x, t) \u003d a cos (kx-  t) (1.3)

в якій а,k і  - постійні, при  =± k є рішенням рівняння (1). У цьому рішенні а -амплітуда, k - хвильове число, а  - частота. Наведене рішення є монохроматичну хвилю, стерпну в середовищі з фазової швидкістю

c p = (1.4)

На практиці монохроматичну хвилю створити важко, і звичайно мають справу з цугом (пакетом) хвиль, в якому кожна хвиля поширюється зі своєю швидкістю, а швидкість поширення пакета характеризується груповий швидкістю

C g = , (1.5)

яка визначається через похідну від частоти  за хвильовим числом k .

Визначити, з якою (лінійної або нелінійної) моделлю має справу дослідник, не завжди легко, але коли математична модель сформульована, то рішення цього питання спрощується і виконання принципу суперпозиції рішень можна перевірити.

Повертаючись до хвиль на воді, зауважимо, що їх можна аналізувати використовуючи добре відомі рівняння гідродинаміки, про які відомо, що вони нелінійні. Тому і хвилі на воді в загальному випадку є нелінійними. Тільки в граничному випадку малих амплітуд ці хвилі можуть вважатися лінійними.

Відзначимо, що і поширення звуку не у всіх випадках описується лінійним рівнянням. Ще Рассел при обгрунтуванні своїх спостережень за відокремленої хвилі зазначив, що звук від пострілу гармати поширюється в повітрі швидше, ніж команда провести цей постріл. Це пояснюється тим, що поширення потужного звуку описується вже не хвильовим рівнянням, а рівняннями газової динаміки.

1. Рівняння Кортевега - де Фриса

Остаточна ясність в проблемі, яка виникла після дослідів Рассела по відокремленій хвилі, настала після роботи датських вчених Д.Д. Кортевега і Г. де Фриса, які спробували розібратися в суті спостережень Рассела. Узагальнивши метод Релея, ці вчені в 1895 році вивели рівняння для опису довгих хвиль на воді. Кортевега і де Фріс, використовуючи рівняння гідродинаміки, розглянули відхилення і (х,t ) від положення рівноваги поверхні води при відсутності вихорів і при сталості щільності води. Зроблені ними початкові наближення були природні. Вони також припустили, що при поширенні хвилі виконуються дві умови для безрозмірних параметрів

= <<1,  = (2.1)

тут а -амплітуда хвилі, h - глибина басейну, в якому розглядаються хвилі, l - довжина хвилі (рис. 1).

Суть наближень полягала в тому, що амплітуда розглянутих хвиль була набагато меншою, ніж

Мал. 1. Відокремлена хвиля, що розповсюджується по каналу, і її параметри

глибина басейну, але в той же час довжина хвилі була багато більше, ніж глибина басейну. Таким чином, Кортевега і де Фріс розглядали довгі хвилі.

Рівняння, яке було ними отримано, має вигляд

u t + 6uu x + u xxx = 0. (2.2)

тут u (X, t) -відхилення від положення рівноваги поверхні води (форма хвилі) - залежить від координати x і часу t. Індекси у характеристики u означають відповідні похідні по t і по x . Це рівняння, як і (1), є рівнянням в приватних похідних. Досліджувана характеристика у нього (в даному випадку u ) залежить від просторової координати x і часу t .

Вирішити рівняння такого типу - значить знайти залежність u від xі t,після підстановки якої в рівняння ми прийдемо до тотожності.

Рівняння (2.2) має хвильовий рішення, відоме з кінця минулого століття. Воно виражається через спеціальну еліптичну функцію, вивчену Карлом Якобі, яка носить тепер його ім'я.

При деяких умовах еліптична функція Якобі переходить в гіперболічний секанс і рішення має вигляд

u (x, t) \u003d 2k 2 ch -2 (K (x-4k 2 t) +  0 } , (2.3)

де  0 - довільна постійна.

Рішення (8) рівняння (7) є граничним випадком нескінченно великого періоду хвилі. Саме цей граничний випадок є відокремленій хвилею, відповідної спостереження Рассела в 1834 році.

Рішення (8) рівняння Кортевега- де Фриса є хвилею, що біжить. Це означає, що воно залежить від координати x і часу t через змінну  = x - c 0 t . Ця змінна характеризує положення точки координат, що рухається зі швидкістю хвилі С0, тобто вона позначає положення спостерігача, який постійно знаходиться на гребені хвилі. Таким чином, рівняння Кортевега- де Фриса на відміну від рішення Д "Аламбера (1.2) хвильового рішення (1.1) має хвилю, що поширюється лише в одному напрямку. Однак воно враховує прояв більш складних ефектів внаслідок додаткових доданків uu x і u xxx .

Насправді це рівняння є також наближеним, оскільки при його виведенні використані малі параметри (2.1)  і . Якщо знехтувати впливом цих параметрів, спрямовуючи їх до нуля, ми отримаємо одну з частин рішення Д "Аламбера.

Звичайно, при виведенні рівняння для довгих хвиль на воді вплив параметрів е і 6 може бути враховано більш точно, але тоді вийде рівняння, що містить набагато більше доданків, ніж рівняння (2.2), і з похідними вищого порядку. Зі сказаного випливає, що рішення рівняння Кортевега-де Фриса для опису хвиль справедливо тільки на певній відстані від місця утворення хвилі і на певному проміжку часу. На дуже великих відстанях нелінійні хвилі вже не будуть описуватися рівнянням Кортевега-де Фриса, і для опису процесу буде потрібно більш точна модель. Рівняння Кортевега-де Фриса в цьому сенсі слід розглядати як деяке наближення (математичну модель), відповідне з певним ступенем точності реального процесу поширення хвиль на воді.

Використовуючи спеціальний підхід, можна переконатися, що принцип суперпозиції рішень для рівняння Кортевега-де Фриса не виконується, і тому це рівняння є нелінійним і описує нелінійні хвилі.

2.1. Солітони Кортевега - де Фриса

В даний час здається дивним, що відкриття Рассела і його подальше підтвердження в роботі Кортевега і де Фриса не отримали помітного резонансу в науці. Ці роботи виявилися забутими майже на 70 років. Один з авторів рівняння, Д.Д. Кортевега, прожив довге життя і був відомим вченим. Але коли в 1945 році наукова громадськість відзначала його 100-річний ювілей, то в списку кращих публікацій робота, виконана їм з де Фрісом, навіть не значилася. Укладачі списку визнали цю роботу Кортевега не заслуговує уваги. Тільки через чверть століття саме ця робота стала вважатися головним науковим досягненням Кортевега.

Однак якщо подумати, то така неувага до відокремленої хвилі Рассела стає зрозумілим. Справа в тому, що в силу своєї специфічності це відкриття довгий час вважалося досить приватним фактом. Справді, в той час фізичний світ здавався лінійним і принцип суперпозиції вважався одним з фундаментальних принципів більшості фізичних теорій. Тому ніхто з дослідників не надав відкриттю екзотичної хвилі на воді серйозного значення.

Повернення до відкриття окремої хвилі на воді сталося в якійсь мірі випадково і спочатку, здавалося, не мало до нього ніякого відношення. Винуватцем цієї події став найбільший фізик нашого століття Енріко Фермі. У 1952 році Фермі попросив двох молодих фізиків С. Улама і Д. Паста вирішити одну з нелінійних задач на ЕОМ. Вони повинні були розрахувати коливання 64 важків, пов'язаних один з одним пружинками, які при відхиленні від положення рівноваги на  l набували возвращающуюся силу, рівну k  l + a( l ) 2. тут k і a - постійні коефіцієнти. При цьому нелінійна добавка передбачалася малої в порівнянні з основною силою k  l . Створюючи початкове коливання, дослідники хотіли подивитися, як ця початкова мода буде розподілятися по всіх інших мод. Після проведення розрахунків цього завдання на ЕОМ очікуваного результату вони не отримали, але виявили, що перекачування енергії в дві або три моди на початковому етапі розрахунку дійсно відбувається, але потім спостерігається повернення до початкового стану. Про це парадоксі, пов'язаному з поверненням початкового коливання, стало відомо кільком математикам і фізикам. Зокрема, про це завдання дізналися американські фізики М. Круськала і Н. Забузький, які вирішили продовжити обчислювальні експерименти з моделлю, запропонованою Фермі.

Після розрахунків і пошуку аналогій ці вчені встановили, що рівняння, яке використовували Фермі, Паста і Улам, при зменшенні відстані між грузиками і при необмеженій зростанні їх числа переходить в рівняння Кортевега-де Фриса. Тобто по суті завдання, запропонована Фермі, зводилася до чисельного вирішення рівняння Кортевега-де Фриса, запропонованого в 1895 році для опису окремої хвилі Рассела. Приблизно в ті ж роки було показано, що для опису іонно-звукових хвиль в плазмі використовується також рівняння Кортевега-де Фриса. Тоді стало ясно, що це рівняння зустрічається в багатьох областях фізики і, отже, відокремлена хвиля, яка описується цим рівнянням, є широко поширеним явищем.

Продовжуючи обчислювальні експерименти з моделювання поширення таких хвиль, Круськала і Забузький розглянули їх зіткнення. Зупинимося докладніше на обговоренні цього чудового факту. Нехай є дві відокремлені хвилі, описувані рівнянням Кортевега-де Фриса, які розрізняються амплітудами і рухаються один за одним в одному напрямку (рис. 2). З формули для відокремлених хвиль (8) випливає, що швидкість руху таких хвиль тим вище, чим більше їх амплітуда, а ширина піку зменшується з ростом амплітуди. Таким чином, високі відокремлені хвилі рухаються швидше. Хвиля з більшою амплітудою наздожене рухому попереду хвилю з меншою амплітудою. Далі протягом деякого часу дві хвилі будуть рухатися разом як єдине ціле, взаємодіючи між собою, а потім вони роз'єднати. Чудовим властивістю цих-хвиль є те, що після свого взаємодії форма і

Мал. 2. Два солітону, описувані рівнянням Кортевега-де Фриса,

до взаємодії (вгорі) і після (внизу)

швидкість цих хвиль відновлюються. Обидві хвилі після зіткнення лише зміщуються на деяку відстань в порівнянні з тим, як якщо б вони рухалися без взаємодії.

Процес, у якого після взаємодії хвиль зберігаються форма і швидкість, нагадує пружне зіткнення двох частинок. Тому Круськала і Забузький такі відокремлені хвилі назвали Солітони (від англ. Solitary - відокремлений). Це спеціальну назву відокремлених хвиль, співзвучне електрону, протону і багатьом іншим елементарних частинок, в даний час загальноприйнято.

Відокремлені хвилі, які були відкриті Расселом, і справді поводяться як частки. Велика хвиля не проходить через малу при їх взаємодії. Коли відокремлені хвилі стикаються, то велика хвиля сповільнюється і зменшується, а хвиля, яка була малою, навпаки, прискорюється і підростає. І коли мала хвиля доростає до розмірів великої, а велика зменшується до розмірів малої, солітони поділяються і більший йде вперед. Таким чином, солітони поводяться як пружні тенісні м'ячі.

Дамо визначення солітону. солітониназивається нелінійна відокремлена хвиля, яка зберігає свою форму і швидкість при своєму русі і зіткненні з собі подібними відокремленими хвилями, тобто являє собою стійке утворення. Єдиним результатом взаємодії солітонів може бути деяке зрушення фаз.

Відкриття, пов'язані з рівнянням Кортевега - де Фриса, не закінчилися відкриттям солітону. Наступним важливим кроком, що має відношення до цього чудового рівняння, було створення нового методу розв'язання нелінійних рівнянь в приватних похідних. Добре відомо, що знайти рішення нелінійних рівнянь дуже складно. До 60-х років нашого століття вважалося, що такі рівняння можуть мати тільки деякі приватні рішення, що задовольняють спеціально заданим початковим умовам. Однак рівняння Кортевега-де Фриса і в цьому випадку виявилося у винятковому становищі.

У 1967 році американські фізики К.С. Гарднер, Дж.М. Грін, М. Круськала і Р. Міура показали, що рішення рівняння Кортевега-де Фриса може бути в принципі отримано для всіх початкових умов, які певним чином звертаються в нуль при прагненні координати до нескінченності. Вони використовували перетворення рівняння Кортевега - де Фриса до системи двох рівнянь, що називається тепер парою Лакса (по імені американського математика Пітера Лакса, який зробив великий внесок у розвиток теорії солітонів), і відкрили новий метод вирішення ряду дуже важливих нелінійних рівнянь в приватних похідних. Цей метод отримав назву методу оберненої задачі розсіювання, оскільки в ньому істотно використовується рішення задачі квантової механіки про відновлення потенціалу за даними розсіювання.

2.2. груповий солітон

Вище ми говорили, що на практиці хвилі, як правило, поширюються групами. Подібні групи хвиль на воді люди спостерігали з незапам'ятних часів. На питання про те, чому для хвиль на воді так типові "зграї" хвиль, вдалося відповісти Т. Бенжаменом і Дж. Фейєра тільки в 1967 році. Теоретичними розрахунками вони показали, що проста періодична хвиля на глибокій воді нестійка (тепер це явище називається нестійкістю Бенжамена-фейєра), і тому хвилі на воді з-за нестійкості розбиваються на групи. Рівняння, за допомогою якого описується поширення груп хвиль на воді, було отримано В.Є. Захаровим в 1968 році. На той час це рівняння вже було відомо у фізиці і носило назву нелінійного рівняння Шредінгера. У 1971 році В.Є. Захаров і А.Б. Шабат показали, що це нелінійне рівняння має рішення також у вигляді солітонів, більш того, нелінійне рівняння Шредінгера, так само як і рівняння Кортевега-де Фриса, може бути проінтегрувати методом оберненої задачі розсіювання. Солітони нелінійного рівняння Шредінгера відрізняються від обговорюваних вище солитонов Кортевега-де Фриса тим, що вони відповідають формі огинає групи хвиль. Зовні вони нагадують модульовані радіохвилі. Ці солітони називаються груповими Солітони, а іноді Солітони обвідної. Ця назва відображає збереженість при взаємодії обвідної хвильового пакету (аналог штриховий лінії, представленої на рис. 3), хоча самі хвилі під обвідної рухаються зі швидкістю, відмінною від групової. При цьому форма обвідної описується

Мал. 3. Приклад групового солітону (штрихова лінія)

залежністю

a (x, t) \u003d a 0 ch -1 (
)

де аа - амплітуда, а l - половина розміру солітону. Зазвичай під обвідної солітону знаходиться від 14 до 20 хвиль, причому середня хвиля найбільша. З цим пов'язаний добре відомий факт, що найвища хвиля в групі на воді знаходиться між сьомою та десятої (дев'ятий вал). Якщо в групі хвиль утворилося більшу кількість хвиль, то відбудеться її розпад на кілька груп.

Нелінійне рівняння Шредінгера, як і рівняння Кортевега- де Фриса, також має широку поширеність при описі хвиль в різних областях фізики. Це рівняння було запропоновано в 1926 році видатним австрійським фізиком Е. Шредінгер для аналізу фундаментальних властивостей квантових систем і спочатку використано при описі взаємодії внутрішньоатомних частинок. Узагальнене або нелінійне рівняння Шредінгера описує сукупність явищ у фізиці хвильових процесів. Наприклад, воно використовується для опису ефекту самофокусіровкі при впливі потужного лазерного променя на нелінійну діелектричну середу і для опису поширення нелінійних хвиль в плазмі.

3. Постановка завдання

3.1. Опис моделі.В даний час спостерігається значно зростаючий інтерес до дослідження нелінійних хвильових процесів в різних галузях фізики (наприклад, в оптиці, фізиці плазми, радіофізики, гідродинаміки і т.д.). Для вивчення хвиль малої, але кінцевої амплітуди в дисперсійних середовищах в якості модельного рівняння часто використовують рівняння Кортевега-де Фріза (КдФ):

ut + іїх +  іххх = 0 (3.1)

Рівняння КдФ було використано для опису магнітозвукових хвиль, що поширюються строго поперек магнітного поля або під кутами, близькими до .

Основні припущення, які робляться при виводі рівняння: 1) мала, але кінцева амплітуда, 2) довжина хвилі велика в порівнянні з довжиною дисперсії.

Компенсуючи дію нелінійності, дисперсія дає можливість формуватися в дисперсійному середовищі стаціонарним хвилях кінцевої амплітуди - відокремленим і періодичним. Відокремлені хвилі для рівняння КдФ після роботи стали називатися Солітони. Періодичні хвилі звуться кноідальних хвиль. Відповідні формули для їх описи дані в.

3.2. Постановка диференціальної задачі.В роботі досліджується чисельне рішення задачі Коші для рівняння Кортевега-де Фріза з періодичними умовами по простору в прямокутнику Q T ={(t , x ):0< t < T , x [0, l ].

ut + іїх +  іххх = 0 (3.2)

u (x, t) | x \u003d 0 \u003d U (x, t) | x \u003d l (3.3)

з початковою умовою

u (x, t) | t \u003d 0 \u003d u 0 (x) (3.4)

4. Властивості рівняння Кортевега - де Фріза

4.1. Короткий огляд результатів по рівнянню КдФ.Задача Коші для рівняння КдФ при різних припущеннях щодо u 0 (Х)розглядалася в багатьох роботах. Завдання про існування та єдиності розв'язку з умовами періодичності як крайових умов була вирішена в роботі за допомогою методу скінченних різниць. Пізніше, при менш сильних припущеннях, існування і єдиність були доведена в статті в просторі L  (0, T, H s (R \u200b\u200b1)), де s\u003e 3/2, а в разі періодичної завдання - в просторі L  (0 , T, H  (C)) де С - окружність довжини, що дорівнює періоду, російською мовою ці результати представлені в книзі.

Випадок, коли не передбачається будь-яка гладкість початкової функції u 0  L 2 (R 1 ) , Розглянуто в роботі. Там вводиться поняття узагальненого рішення задачі (3.2), (3.4), встановлюється існування узагальненого рішення і (t , Х)  L  (0, T , L 2 (R 1 )) в разі довільної початкової функції u 0  L 2 (R 1 ) ; при цьому і (t , Х) L 2 (0, Т; H -1 (- r , r )) для будь-якого r\u003e 0, І якщо для деякого  > 0 (x  u 0 2 (x ))  L 1 (0,+  ) , то

(4.1)

Використовуючи звернення лінійної частини рівняння за допомогою фундаментального рішення G (T, x) відповідного лінійного оператора
, Вводиться клас коректності завдання (3.2), (1.4) і встановлюються теореми єдиності і безперервної залежності рішень цього завдання від початкових даних. Також досліджуються питання регулярності узагальнених рішень. Одним з основних результатів є достатня умова існування безперервної по Гельдерен при t > 0 похідною
в термінах існування моментів для початкової функції, для будь-яких k і l .

Завдання Коші для рівняння КдФ досліджувалася також методом оберненої задачі розсіювання, запропонованому в роботі. За допомогою цього методу були отримані результати про існування і гладкості рішень при досить швидко відбувають початкових функціях, причому в установлений, зокрема, результат про можливості розв'язання задачі (3.2), (3.4) в просторі C  (О, Т; S (R 1 )) .

Найбільш повний огляд сучасних результатів по рівнянню КдФ можна знайти в.

4.2. Закони збереження для рівняння КдФ.Як відомо, для рівняння КдФ існує нескінченне число законів сохраненя. У роботі наводиться суворе доказ цього факту.У роботах, різні закони збереження застосовувалися для доказательства нелокальних теорем існування рішення задачі (3.2), (3.4) з відповідних просторів.

Продемонструємо висновок перших трьох законів збереження для задачі Коші на R 1 і періодичної задачі.

Для отримання першого закону збереження досить проінтегріровать рівняння (3.2) по просторової змінної. Получим:

звідси і випливає перший закон збереження:

Тут в якостіa і b виступають +  і -  для задачі Коші і кордони основного періоду для періодичної завдання. Томудруге і третє складові звертаються в 0.

(4.2)

Для виведення другого закону збереження слід помножити уравненя (3.2) на 2 u (T, x) і проинтегрировать по просторової перетимчасової. Тоді, використовуючи формулу інтегрування частинами підлозічим:

але в силу "крайових" умов все складові крім першого зновускорочуються

Таким чином другий інтегральний закон збереження має вигляд:

(4.3)

Для виведення третього закону збереження потрібно помножити наше рівняння (3.2) на (і 2 + 2  і хх ), таким чином отримаємо:

Після застосування кілька разів інтегрування частинами третій і четвертий інтеграли скорочуються. Друге і третє складовімие зникають через граничних умов. Таким чином з першогоінтеграла отримуємо:

що еквівалентно

А це і є третій закон збереження для рівняння (3.2).Під фізичним змістом перших двох інтегральних законів ззберігання в деяких моделях можна розуміти закони збереженняімпульсу і енергії, для третьої і наступних законів збереження фізичний зміст охарактеризувати вже важче, але з точки зору математики ці закони дають додаткову інформацію про рішення, яка використовується потім для доказів теорем існування та єдиності розв'язку, дослідження його властивостей і виведення апріорних оцінок.

5. Різницеві схеми для вирішення рівняння КдФ

3.1. Позначення і постановка разностной завдання.В області ={( x , t ):0  x  l ,0  t  T } звичайним чином введеморівномірні сітки, де

Введемо лінійне простір h сіткових функцій, визначених на сітці
зі значеннями в вузлах сіткиy i = y h ( x i ). перед покладається, що виконані умови періодичностіy 0 = y N . Крім того, формально вважаємоy i + N = y i для i  1 .

Введемо скалярне твір в просторі  h

(5.1)

Забезпечимо лінійне простір П / г нормою:

Оскільки в простір h входять періодичні функції, тоце скалярний твір еквівалентно скалярному произведению:

Будемо будувати різницеві схеми для рівняння (3.2) на сітці з періодичними крайовими умовами. Нам будуть потрібні позначення різницевих апроксимацій. Введемо їх.

Використовуємо стандартні позначення для вирішення рівняння на черговому (n-м) часовому шарі, тобто

Введемо позначення для різницевих апроксимацій похідних.Для першої похідної за часом:

Аналогічно для першої похідної за простором:

Тепер введемо позначення для других похідних:

Третю просторову похідну будемо апроксимувати наступним чином:

Також нам потрібно апроксимація у 2 , Яку ми позначимобуквою Q і введемо в такий спосіб:

(5.2)

Для запису рівняння на підлозі цілих шарах використовуватимемоврівноважену апроксимацію, тобто

за винятком апроксимаціїу 2 на підлозі цілому шарі. Наведемоодну з можливих аппроксимацийу 2 на підлозі цілому шарі:

зауваження 2. Варто відзначити, що для 1 виконується рівність:

Визначення 1. Дотримуючись разностную схему для рівняння КдФбудемо називати консервативної, якщо для неї має місце сеточний аналог першого інтегрального закону збереження, справедливо

Визначення 2. Дотримуючись разностную схему для рівняння КдФ будемо називатиL2 -консерватівной, якщо для неї має місце сеточний аналог другого інтегрального закону збереження, справедливого для диференціальної задачі.

5.2. Явні різницеві схеми (огляд).При побудові разностних схем будемо орієнтуватися на найпростішу разностнуюсхему з роботи для лінеаризованого рівняння КдФ, которої зберігає властивості самого рівняння КдФ в сенсі двох першихзаконів збереження.

(5.3)

Досліджуємо тепер схему (5.4) на властивості консервативності. виконання першого закону збереження очевидно. досить простопомножити це рівняння скалярно на 1. Тоді друге і третє слагаєм схеми (5.4) дадуть 0, а від першого залишиться:

(5.4)

Це сітковий аналог першого закону збереження.

Для виведення другого закону збереження помножимо скалярно рівняння (5.3) на 2  у. Приходимо до енергетичногототожності

(5.5)

Наявність негативного дисбалансу говорить не тільки про невиконаненіі відповідного закону збереження, а й ставить під сумнів питання взагалі про стійкість схеми в найбільш слабкою норміL 2 (). ) - У роботі показано, що схеми сімейства (3.18) єабсолютно нестійкими в норміL 2 ().

В даний момент найбільш популярними схемами для рівнянняКдФ вважаються тришарові схеми через їх простоти, точності ізручності реалізації.

(5.6)

Цю ж схему можна представити у вигляді явної формули

Найпростішою тришарової схемою є наступна схема:

Ця схема була використана при отриманні перших чисельних рішень КдФ. Ця схема апроксимує диференціальну задачу з порядком О ( 2 + h 2 ). Згідно, схема є підвалиначівой при виконанні умови (при малих Ь):

Наведемо ще кілька схем. Тришарова явна схема з порядкому апроксимаціїO (  2 + h 4 ) :

Третя похідна по простору апроксимується на семиточковому шаблоні, а перша будується по п'яти точках. згідно,ця схема стійка при виконанні умови (при малихh ):

Легко бачити, що для цієї схеми з більш високим порядком апроксимації умова стійкості є більш жорстким.

У роботі пропонується наступна явна різницева схема зпорядком апроксимації О ( 2 + h 2 ) :

(5.8)

Так як різницеве \u200b\u200bрівняння (5.8) можна записати в Дивергентном вигляді

то, скалярно помноживши рівняння (5.9) на 1, отримаємо

отже, виконується співвідношення:

яке можна вважати сітковим аналогом першого закону сохраненя. Таким чином, схема (5.8) є консервативною. Вдоведено, що схема (5.8) єL 2 -консерватівной і її рішеннязадовольняє сіткового аналогу інтегрального закону збереження

5.3. Неявні різницеві схеми (огляд).У цьому параграфі мирозглянемо неявні різницеві схеми для рівняння Кортевега-де Фріза.

Варіант двошарової схеми - неявна абсолютно стійка схема з порядком апроксимації О ( 2, h 4 ) :

Рішення різницевої схеми (3.29) обчислюється за допомогою семи діагональной циклічної прогонки. Питання про консервативністьцієї схеми не досліджувався.

У роботі пропонується неявна тришарова схема з вагами:

(5.10)

Разностная схеми (5.10) з періодичними по простору рішеннями, консервативна,L2 -консерватівна при =1/2 і  =1/4 для її рішення мають місце сіткові аналоги інтегральнихзаконів збереження.

6. Чисельне рішення

Чисельне рішення для (3.2), (3.3), (3.4) було зроблено з використанням явної схеми

Вирішувалася початково-крайова задача на відрізку. В якості вихідних умов бралася функція

u 0 (x) \u003d sin (x).

Явно було отримано рішення.

Програма для розрахунків була написана на мові Turbo Pascal 7.0. Текст основних частин програми додається.

Розрахунки велися на обчислювальній машині з процесором AMD -K 6-2 300 МГц з технологією 3DNOW!, Розмір оперативної пам'яті 32 Мб.

7. Висновок

Справжня робота присвячена дослідженню рівняння Кортевега - де Фріза. Проведено великий літературний огляд по темі дослідження. Вивчено різні різницеві схеми для рівняння КдФ. Виконано практичний рахунок з використанням явної п'яти точкової розносної схеми

Як показав аналіз літературних джерел, явні схеми для вирішення рівнянь типу КдФ найбільш застосовні. У даній роботі також рішення було отримано з використанням явної схемою.

8. Література

1. Ландсберг Г.С. Елементарний підручник фізики. М .: Наука, 1964. Т. 3.

2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекції з фізики. М .: Світ, 1965. Вип.4.

3. Філіппов А. Г Багатоликий солітон. М .: Наука, 1986. (Б-чка "Квант"; Вип. 48).

4. рубанки В.Н. Солітони, нове в житті, науці, техніці. М .: Знание, 1983. (Фізика; Вип. 12).

5. Korteweg D.J., de Vries G. On the change form of long waves advancing in a rectangular channel and on new type of long stationary waves.//Phyl.May. 1895. e5. P. 422-443.

6. Сагдеев Р.З. Колективні процеси і ударні хвилі в розрідженій плазме.-В кн .: Питання теорії плазми, Вип.4. М .: Атоміз-дат, 1964, с.20-80.

7. Березін Ю.О., Карпман В.І. До теорії нестаціонарних хвиль кінцевої амплітуди в розрідженій плазмі. // ЖЕТФ, 1964, т.46, Вип.5, с. 1880-1890.

8. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interactions of "solitons" in a collisionless plasma and the reccurence of initial states // Phys.Rev.Lett. 1965. V.15. еб. Р.240-243.

9. Буллаф Р., Кодрі Ф. Солітони. М .: Світ; 1983

10. Sjoberg A. On the Korteweg-de Vries equation, existence and uniqueness, Uppsala University, Department of Computers, 1967

11. Temam R. Sur un probleme non lineare // J.Math.Pures Anal. 1969 V.48, 2, P. 159-172.

12. Ліоні Ж.-Л. Деякі методи вирішення нелінійних крайових задач. М .: Мир, 1972.

13. Кружків С.Н. Фаминский А.В. Узагальнені рішення для рівняння Кортевега-де Фріза .// Мат. збірник, 1983, т. 120 (162), ЕЗ, с.396-445

14 .. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

15. Шабат А.Б. Про рівнянні Кортевега-де Фріза // ДАН СРСР, 1973, т.211, еб, с.1310-1313.

16. Фаминский А.В. Граничні задачі для рівняння Кортевега-де Фріза і його узагальнень: Дисс .... докт. фіз.-матем. наук, М: РУДН, 2001.

17. Miura R.M., Gardner C.S., Kruscal M.D. Korteweg-de Vries equation and generlization. II. Existence of conservation laws and constants of motion. // J.Math.Phys. 1968. V.9. P. 1204-1209.

18. Амосов А.А., Злотник А.А. Різницева схема для рівнянь рухів газу.

19. Самарський А.А., Мажукін В.І., Матус П.П., Михайлик І.А. Z / 2-консервативні схеми для рівняння Кортевега-де Фриса .// ДАН, 1997, т.357, є4, с.458-461

20. Березін Ю.О. Моделювання нелінійних хвильових процесів. Новосибірськ: Наука. 1 982.

21. Березін Ю.О., Про чисельних рішеннях рівняння Кортевега-де Вріз .// Чисельні методи механіки суцільного середовища. Новосибірськ, 1973, т.4, е2, с.20-31

22. Самарський А.А., Миколаїв Методи рішення сіткових рівнянь. М: Наука, 1978

23. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. М: Наука, 1989

24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Чисельні методи. М: Наука, 1987

Солітони бувають різної природи:

Математична модель

Рівняння Кортевега - де Фріза

Однією з найпростіших і найбільш відомих моделей, що допускають існування солітонів в рішенні, є рівняння Кортевега - де Фріза:

u_t - 6 u u_x + u_ (xxx) \u003d 0

Одним з можливих рішень даного рівняння є відокремлений солітон:

$u\; (x,\; t)\; \backslash u003d\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (2\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2)\; (\backslash \backslash \; mathrm\; (ch)\; ^\; 2\; \backslash \backslash ,\; \backslash \backslash \; varkappa\; (x-4\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2\; t-\; \backslash \backslash \; varphi))$

де $2\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2$ - амплітуда солітону, $\backslash \backslash \; varphi$ - фаза. Ефективна ширина підстави солітону дорівнює $\backslash \backslash \; Varkappa\; ^\; (-\; 1)$. Такий солітон рухається зі швидкістю $v\; \backslash u003d\; 4\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2$. Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються більш вузькими і рухаються швидше.

У більш загальному випадку можна показати, що існує клас многосолітонних рішень, таких що асимптотично при $t\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; pm\; \backslash \backslash \; infty$ рішення розпадається на кілька віддалених одиночних солитонов, що рухаються з попарно різними швидкостями. Загальна N-солітонів рішення можна записати у вигляді

$u\; (x,\; t)\; \backslash u003d\; -2\; \backslash \backslash \; frac\; (d\; ^\; 2)\; (dx\; ^\; 2)\; \backslash \backslash \; ln\; \backslash \backslash \; det\; A\; (x,\; t)$

де матриця $A\; (x,\; t)$ дається виразом

$A\_\; (nm)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; delta\_\; (nm)\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; beta\_n)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; mathrm\; (e)\; ^\; (8\; \backslash \backslash \; varkappa\_n\; ^\; 3\; t\; -\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; x)$

тут $\backslash \backslash \; Beta\_n,\; n\; \backslash u003d\; 1,\; \backslash \backslash \; dots,\; N$ і $\backslash \backslash \; Varkappa\_n\backslash u003e\; 0,\; n\; \backslash u003d\; 1,\; \backslash \backslash \; dots,\; N$ - довільні речові постійні.

Чудовим властивістю многосолітонних рішень є безвідбивачевий: При дослідженні відповідного одновимірного рівняння Шредінгера

$-\; \backslash \backslash \; partial\; ^\; 2\_x\; \backslash \backslash \; psi\; (x)\; +\; u\; (x)\; \backslash \backslash \; psi\; (x)\; \backslash u003d\; E\; \backslash \backslash \; psi\; (x)$

з потенціалом $u\; (x)$, Убутним на нескінченності швидше ніж $|\; X\; |\; ^\; (-\; 1\; \backslash \backslash \; varepsilon)$, Коефіцієнт відбиття дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли потенціал є деякий многосолітонное рішення рівняння КдФ в певний момент часу $t$.

Інтерпретація солитонов як деяких пружно взаємодіючих квазічастинок заснована на наступному властивості рішень рівняння КдФ. нехай при $t\; \backslash \backslash \; to\; -\; \backslash \backslash \; infty$ рішення має асимптотичний вид $N$ солитонов, тоді при $t\; \backslash \backslash \; to\; +\; \backslash \backslash \; infty$ воно також має вигляд $N$ солитонов з тими ж самими швидкостями, але іншими фазами, причому багаточастинкові ефекти взаємодії повністю відсутні. Це означає, що повний зсув фази $k$-го солітону дорівнює

$\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\_k\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; sum\; \_\; (\backslash \backslash \; stackrel\; (n\; \backslash u003d\; 1)\; (n\; \backslash \backslash \; ne\; k))\; ^\; (N)\; \backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\_\; (nk)$

нехай $n$-ий солітон рухається швидше, ніж $m$-ий, тоді

$\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (+)\; \_\; (n)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\_\; (kn)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n)\; \backslash \backslash \; ln\; \backslash \backslash \; left\; |\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n-\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; right\; |$ $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (-)\; \_\; (k)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\_\; (nk)\; \backslash u003d\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; ln\; \backslash \backslash \; left\; |\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n-\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; right\; |$

тобто фаза швидшого солітону при парному зіткненні збільшується на величину $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (+)\; \_\; (n)$, А фаза повільнішого - зменшується на $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (-)\; \_\; (k)$, Причому повний зсув фази солітону після взаємодії дорівнює сумі зрушень фаз від попарного взаємодії з кожним іншим солітонів.

Нелінійне рівняння Шредінгера

при значенні параметра $\backslash \backslash \; Nu\backslash u003e\; 0$ допустимі відокремлені хвилі у вигляді:

$u\; \backslash \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \backslash \; right)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; left\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (2\; \backslash \backslash \; alpha)\; (\backslash \backslash \; nu))\; \backslash \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; mathrm\; (ch)\; ^\; (-\; 1)\; \backslash \backslash \; left\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; alpha\; )\; (x\; -\; Ut)\; \backslash \backslash \; right)\; e\; ^\; (i\; (r\; x-st)),$

де $r,\; s,\; \backslash \backslash \; alpha,\; U$ - деякі постійні, пов'язані співвідношеннями:

$U\; \backslash u003d\; 2r$ $s\; \backslash u003d\; r\; ^\; 2\; \backslash \backslash \; alpha$

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Солітон"

Примітки

1. J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311-390, Plates XLVII-LVII)
2. J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
3. Абловіц М., Сигур Х. Солітони і метод оберненої задачі. М .: Мир, 1987, с.12.
4. N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240-243.
5. Дж. Л. Лем. . - М.: Світ, 1983. - 294 с.
6. А. Т. Філіппов. Багатоликий солітон. - С. 40-42.
7. А. Т. Філіппов. Багатоликий солітон. - С. 227-23.
8. - стаття з Фізичної енциклопедії
9. Vladimir Belinski, Enric Verdaguer. . - Cambridge University Press, 2001. - 258 с. - (Cambridge monographs on mathematical physics). - ISBN 0521805864.
10. Н. Н. Розанов // Природа. - 2007. - № 6.
11. А. Т. Філіппов. Багатоликий солітон. - С. 241-246.
12. А. І. Маймістов // Квантова електроніка. - 2010. - Т. 40, № 9. - С. 756-781.
13. Andrei I Maimistov (Англ.) // Quantum Electronics. - 2010. - Vol. 40. - P. 756. - DOI: 10.1070 / QE2010v040n09ABEH014396.
15. Сазонов С. В. Оптичні солітони в середовищах з дворівневих атомів // Науково-технічний вісник інформаційних технологій, механіки і оптики. 2013. Т. 5. № 87. С. 1-22.

література

• Абловіц М., Сигур Х. Солітони і метод оберненої задачі. - М.: Світ, 1987. - 480 с.
• Додд Р., Ейлбек Дж., Гібон Дж., Морріс Х. Солітони і нелінійні хвильові рівняння. - М.: Світ, 1988. - 696 с.
• Захаров В. Є., Мінаков С. В., Новіков С. П., Пітаєвський Л. П. Теорія солитонов: Метод оберненої задачі. - М.: Наука, 1980. - 320 с.
• Інфельд Е., Роуландс Дж. Нелінійні хвилі, солітони і хаос. - М.: Физматлит, 2006. - 480 с.
• Лем Дж. Л. Введення в теорію солітонів. - М.: Світ, 1983. - 294 с.
• Ньюелл А. Солітони в математиці і фізиці. - М.: Світ, 1989. - 328 с.
• Самарський А. А., Попов Ю. П. Різницеві методи розв'язування задач газової динаміки. - М.: URSS, 2004. - 424 с.
• Уізем Дж. Лінійні і нелінійні хвилі. - М.: Світ, 1977. - 624 с.
• Філіппов А. Т. Багатоликий солітон // Бібліотечка "Квант". - Изд. 2, перераб. і доп .. - М.: Наука, 1990. - 288 с.
• Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner (Англ.) // Reviews of Modern Physics. - 2011. - Vol. 83. - P. 247-306.
• (Англ.) // Physics. - 2013. - Vol. 6. - P. 15. - DOI: 10.1103 / Physics.6.15.

посилання

Уривок, що характеризує Солитон

СОЛІТОНце відокремлена хвиля в середовищах різної фізичної природи, яка зберігає незмінною свою форму і швидкість при распространеніі.От англ. solitary відокремлена (solitary wave відокремлена хвиля), «-він» типове закінчення термінів такого роду (наприклад, електрон, фотон, і т.д.), що означає подібність частки.

Поняття солітон введено в 1965 американцями Норманом Забузький і Мартіном Крускалом, але честь відкриття солітону приписують британському інженеру Джону Скотту Расселу (1808 1882). У 1834 їм вперше дано опис спостереження солітону ( «великий окремої хвилі»). У той час Рассел вивчав пропускну здатність каналу Юніон близь Единбурга (Шотландія). Ось як сам автор відкриття розповідав про нього: «Я стежив за рухом баржі, яку швидко тягнула по вузькому каналу пара коней, коли баржа несподівано зупинилася; але маса води, яку баржа привела в рух, не зупинилася; замість цього вона зібралася біля носа судна в стані скаженого руху, потім несподівано залишила його позаду, котячись вперед з величезною швидкістю і приймаючи форму великого одиночного піднесення, тобто округлого, гладкого і чітко вираженого водяного пагорба, який продовжував свій шлях уздовж каналу, анітрохи не змінюючи своєї форми і не знижуючи швидкості. Я пішов за ним верхи, і коли я наздогнав його, він як і раніше котився вперед зі швидкістю приблизно вісім або дев'ять миль на годину, зберігши свій первісний профіль піднесення довжиною близько тридцяти футів і висотою від фута до фута з половиною. Його висота поступово зменшувалася, і після однієї або двох миль погоні я втратив його в вигинах каналу. Так в серпні 1834 мені вперше довелося зіткнутися з надзвичайним і красивим явищем, яке я назвав хвилею трансляції ... ».

Згодом Рассел експериментальним шляхом, провівши ряд дослідів, знайшов залежність швидкості окремої хвилі від її висоти (максимальної висоти над рівнем вільної поверхні води в каналі).

Можливо, Рассел передбачав ту роль, яку відіграють солітони в сучасній науці. В останні роки свого життя він завершив книгу Хвилі трансляції в водному, повітряному і ефірному океанах, Яка опублікована посмертно в 1882. Ця книга містить передрук Доповіді про хвилях перший опис окремої хвилі, і ряд припущень про будову матерії. Зокрема, Рассел вважав, що звук є відокремлені хвилі (насправді це не так), інакше, на його думку, поширення звуку відбувалося б з спотвореннями. Грунтуючись на цій гіпотезі і використовуючи знайдену їм залежність швидкості окремої хвилі, Рассел знайшов товщину атмосфери (5 миль). Більш того, зробивши припущення, що світло це теж відокремлені хвилі (що теж не так), Рассел знайшов і протяжність всесвіту (5 · 10 17 миль).

Мабуть, в своїх розрахунках, відносяться до розмірів всесвіту, Рассел припустився помилки. Проте, результати, отримані для атмосфери, виявилися б правильними, будь її щільність рівномірною. расселовского ж Доповідь про хвилях вважається тепер прикладом ясності викладу наукових результатів, ясності, до якої далеко багатьом сьогоднішнім вченим.

Реакція на наукове повідомлення Рассела найбільш авторитетних в той час англійських механіків Джорджа Байделя Ейрі (1801 1892) (професора астрономії в Кембриджі з 1828 по 1835, астронома королівського двору з 1835 по 1881) і Джорджа Габріеля Стокса (1819 1903) (професора математики в Кембриджі з 1849 по 1903) була негативною. Через багато років солітон був перевідкритий при зовсім інших обставинах. Цікаво, що і відтворити спостереження Рассела виявилося не просто. Учасникам конференції «Солітон-82», що з'їхалися в Едінбург на конференцію, приурочену до сторіччя з дня смерті Рассела і намагалися отримати відокремлену хвилю на тому самому місці, де її спостерігав Рассел, нічого побачити не вдалося, при всьому їхньому досвіді і обширних знаннях про солитонах .

У 1871 1872 були опубліковані результати французького вченого Жозефа Валента Буссінеска (1842 1929), присвячених теоретичним дослідженням відокремлених хвиль в каналах (подібних відокремленої хвилі Рассела). Буссінеска отримав рівняння:

Описує такі хвилі ( uзміщення вільної поверхні води в каналі, d глибина каналу, c 0 швидкість хвилі, t час, x просторова змінна, індекс відповідає диференціювання за відповідною змінною), і визначив їх форму (гіперболічний секанс, см. Мал. 1) і швидкість.

Досліджувані хвилі Буссінеска називав Спучування і розглянув спучування позитивної та негативної висоти. Буссінеска обґрунтував стійкість позитивних спучування тим, що їх малі обурення, виникнувши, швидко згасають. У разі негативного спучування освіту стійкої форми хвилі неможливо, як і для довгого і позитивного дуже короткого спучування. Трохи пізніше, в 1876, опублікував результати своїх досліджень англієць лорд Релей.

Наступним важливим етапом у розвитку теорії солітонів стала робота (1895) голландців Дідерик Йоганна Кортевега (1848 1941) і його учня Густава де Вріз (точні дати життя невідомі). Мабуть, ні Кортевега, ні де Вріз робіт Буссінеска не читали. Ними було виведено рівняння для хвиль в досить широких каналах постійного поперечного перерізу, що носить нині їх ім'я рівняння Кортевега-де Вріз (КдВ). Рішення такого рівняння і описує свого часу виявлену Расселом хвилю. Основні досягнення цього дослідження полягали в розгляді більш простого рівняння, що описує хвилі, що біжать в одному напрямку, такі рішення більш наочні. Через те, що в рішення входить еліптична функція Якобі cn, Ці рішення були названі «кноідальнимі» хвилями.

В нормальній формі рівняння КдВ для шуканої функції і має вид:

Здатність солітону зберігати при поширенні свою форму незмінною пояснюється тим, що поведінка його визначається двома діючими взаємно протилежно процесами. По-перше, це, так зване, нелінійне укрученія (фронт хвилі досить великої амплітуди прагне перекинутися на ділянках наростання амплітуди, оскільки задні частки, що мають велику амплітуду, рухаються швидше попереду біжать). По-друге, виявляється такий процес як дисперсія (залежність швидкості хвилі від її частоти, яка визначається фізичними і геометричними властивостями середовища; при дисперсії різні ділянки хвилі рухаються з різними швидкостями і хвиля розпливається). Таким чином, нелінійне укрученія хвилі компенсується її распливанія за рахунок дисперсії, що і забезпечує збереження форми такої хвилі при її поширенні.

Відсутність вторинних хвиль при поширенні солітону свідчить про те, що енергія хвилі не розсіюється по простору, а зосереджена в обмеженому просторі (локалізована). Локалізація енергії є відмінна якість частинки.

Ще однією дивовижною особливістю солитонов (зазначеної ще Расселом) є їх здатність зберігати свої швидкість і форму при проходженні один через одного. Єдиним нагадуванням про який відбувся взаємодії є постійні зміщення спостережуваних солитонов від положень, які вони займали б, якби не зустрілися. Є думка, що солітони не проходять один через одного, а відображаються подібно зіткнулися пружним шарам. У цьому також проявляється аналогія солитонов з частинками.

Довго вважалося, що відокремлені хвилі пов'язані тільки з хвилями на воді і вивчалися вони фахівцями гідродинаміки. У 1946 М.А.Лаврентьев (СРСР), а в 1954 К.О.Фрідріхс і Д.Г.Хайерс США опублікували теоретичні докази існування відокремлених хвиль.

Сучасний розвиток теорії солітонів почалося з 1955, коли була опублікована робота вчених з Лос Аламоса (США) Енріко Фермі, Джона Пасти і Стіна Улама, присвячена дослідженню нелінійних дискретно навантажених струн (така модель використовувалася для вивчення теплопровідності твердих тіл). Довгі хвилі, що біжать по таким струнах, виявилися Солітони. Цікаво, що методом дослідження в цій роботі став чисельний експеримент (розрахунки на одній з перших створених до цього часу ЕОМ).

Відкриті теоретично спочатку для рівнянь Буссінеска і КдВ, що описують хвилі на мілкій воді, солітони до теперішнього часу знайдені також як рішення ряду рівнянь в інших областях механіки і фізики. Найбільш часто зустрічаються є (нижче у всіх рівняннях u шукані функції, коефіцієнти при u деякі константи)

нелінійне рівняння Шредінгера (Нуш)

Рівняння було отримано при вивченні оптичної самофокусіровкі і розщеплення оптичних пучків. Це ж рівняння застосовувалося при дослідженні хвиль на глибокій воді. З'явилося узагальнення Нуш для хвильових процесів в плазмі. Цікаво застосування Нуш в теорії елементарних частинок.

Рівняння sin-Гордона (СГ)

описує, наприклад, поширення резонансних ультракоротких оптичних імпульсів, дислокації в кристалах, процеси в рідкому гелії, хвилі зарядової щільності в провідниках.

Солітони рішення мають і так звані, родинні КдВ рівняння. До таких рівнянь відносяться,

модифіковане рівняння КдВ

рівняння Бенджаміна, Бона і Магона (ББМ)

вперше з'явилося при описі бори (хвилі на поверхні води, що виникає при відкриванні воріт шлюзів, при «замиканні» течії річки);

рівняння Бенджаміна Воно

отримане для хвиль всередині тонкого шару неоднорідною (стратифікованої) рідини, розташованого усередині іншої однорідної рідини. До рівняння Бенджаміна Воно призводить і дослідження трансзвукового прикордонного шару.

До рівнянь з Солітони рішеннями відноситься і рівняння Борна Инфельда

має додатки в теорії поля. Є й інші рівняння з Солітони рішеннями.

Солітон, описуваний рівнянням КдВ, однозначно характеризується двома параметрами: швидкістю і положенням максимуму в фіксований момент часу.

Солітон, описуваний рівнянням Хірото

однозначно характеризується чотирма параметрами.

Починаючи з 1960, на розвиток теорії солітонів вплинув ряд фізичних задач. Була запропонована теорія самоіндуцірованной прозорості та наведені експериментальні результати, її підтверджують.

У 1967 Крускалом і співавторами був знайдений метод отримання точного рішення рівняння КдВ метод так званої оберненої задачі розсіювання. Суть методу оберненої задачі розсіювання полягає в заміні решаемого рівняння (наприклад, рівняння КдВ) системою інших, лінійних рівнянь, рішення яких легко знаходиться.

Цим же методом в 1971 радянськими вченими В.Е.Захаровим і А.Б.Шабатом було вирішено Нуш.

Додатки солітонної теорії в даний час знаходять застосування при дослідженнях ліній передачі сигналів з нелінійними елементами (діоди, котушки опору), прикордонного шару, атмосфер планет (Велика червона пляма Юпітера), хвиль цунамі, хвильових процесів в плазмі, в теорії поля, фізики твердого тіла , теплофізики екстремальних станів речовин, при вивченні нових матеріалів (наприклад, джозефсоновских контактів, що складаються з розділених діелектриком двох шарів надпровідного металу), при створенні моделей решіток кристалів, в оптиці, біології і багатьох інших. Висловлено думку, що біжать по нервах імпульси солітони.

В даний час описані різновиди солитонов і деякі комбінацій з них, наприклад:

антісолітон солітон негативною амплітуди;

брізер (дублет) пара солітон антісолітон (рис. 2);

мультісолітон кілька солитонов, що рухаються як єдине ціле;

флюксон квант магнітного потоку, аналог солітону в розподілених джозефсоновских контактах;

кінк (монополь), від англійського kink перегин.

Формально Кінк можна ввести як рішення рівнянь КдВ, Нуш, СГ, що описується гіперболічним тангенсом (рис. 3). Зміна знака рішення типу «Кінк» на протилежний дає «антікінк».

Кінкі були виявлені в 1962 англійцями Перрінг і Скірма при чисельному (на ЕОМ) вирішенні рівняння СГ. Таким чином, Кінкі були виявлені раніше, ніж з'явилася назва солітон. Виявилося, що зіткнення Кінк не привело ні до їх взаємного знищення, ні до подальшого виникнення інших хвиль: Кінкі, таким чином, проявили властивості солітонів, проте назва Кінк закріпилося за хвилями такого роду.

Солітони можуть бути також двовимірними і тривимірними. Вивчення неодномерность солитонов ускладнювалося труднощами докази їх стійкості, однак останнім часом отримані експериментальні спостереження неодномерность солитонов (наприклад, підковоподібні солітони на плівці стікає в'язкої рідини, що вивчалися В.І.Петвіашвілі і О.Ю.Цвелодубом). Двовимірні солітони рішення має рівняння Кадомцева Петвіашвілі, що використовується, наприклад, для опису акустичних (звукових) хвиль:

Серед відомих рішень цього рівняння нераспливающіеся вихори або солітони-вихори (вихровим є протягом середи, при якому її частки мають кутову швидкість обертання щодо деякої осі). Солітони такого роду, знайдені теоретично і змодельовані в лабораторії, можуть спонтанно виникати в атмосферах планет. За своїми властивостями і умов існування солітон-вихор подібний чудової особливості атмосфери Юпітера велика червона пляма.

Солітони є істотно нелінійними утвореннями і настільки ж фундаментальні, як лінійні (слабкі) хвилі (наприклад, звук). Створення лінійної теорії, в значній мірі, працями класиків Бернхарда Рімана (1826 1866), Огюстена Коші (1789 1857), Жана Жозефа Фур'є (1768 1830) дозволило вирішити важливі завдання, які стояли перед природознавством того часу. За допомогою солитонов вдається з'ясувати нові принципові питання при розгляді сучасних наукових проблем.

Андрій Богданов