Як довести паралельність прямих. Паралельні прямі, ознаки та умови паралельності прямих Ознака паралельності двох прямих за відповідними кутами

РОЗДІЛ ІІІ.
ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

§ 35. Ознаки Паралельності двох прямих.

Теорема про те, що два перпендикуляри до однієї прямої паралельні (§ 33), дає ознаку паралельності двох прямих. Можна вивести загальні ознаки паралельності двох прямих.

1. Перша ознака паралельності.

Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і / 1 = / 2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL секучою ЕF (чорт. 189).

Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину із прямою СD, АВ_|_МN. Доведемо, як і СD_|_МN.
Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: / 1 = / 2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;
/ МОL = / NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, /\ МОL = /\ NОК, а звідси і
/ LМО = / КNО, але / LМО прямий, отже, і / КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і СD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже вони паралельні (§ 33), що і потрібно довести.

Примітка. Перетин прямих МО і СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.

2. Друга ознака паралельності.

Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.

Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад / 3 = / 2 (чорт. 190);
/ 3 = / 1, як кути вертикальні; значить, / 2 дорівнюватиме / 1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежачі кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.

Прикладемо трикутник до лінійки так, як це показано на кресленні 191. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по якійсь іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.

3. Третя ознака паралельності.

Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (чорт. 192).

Нехай / 1 та / 2-внутрішні односторонні кути та в сумі складають 2 d.
Але / 3 + / 2 = 2dяк кути суміжні. Отже, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Звідси / 1 = / 3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d, то ці дві прямі паралельні.

Вправа.

Довести, що прямі паралельні:
а) якщо зовнішні навхрест лежачі кути рівні (чорт. 193);
б) якщо сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(чорт. 194).

Ця глава присвячена вивченню паралельних прямих. Так називаються дві прямі на площині, які не перетинаються. Відрізки паралельних прямих ми бачимо у навколишній обстановці - це два краї прямокутного столу, два краї обкладинки книги, дві штанги тролейбуса і т.д. Паралельні прямі грають у геометрії дуже важливу роль. У цьому розділі ви дізнаєтеся про те, що таке аксіоми геометрії і в чому полягає аксіома паралельних прямих - одна з найвідоміших аксіом геометрії.

У п. 1 ми зазначали, що дві прямі або мають одну загальну точку, тобто перетинаються, або не мають жодної спільної точки, тобто не перетинаються.

Визначення

Паралельність прямих і b позначають так: а || b.

На малюнку 98 зображені прямі а та b, перпендикулярні до прямої с. У п. 12 ми встановили, що такі прямі а і b не перетинаються, тобто вони є паралельними.

Мал. 98

Поряд із паралельними прямими часто розглядають паралельні відрізки. Два відрізки називаються паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих. На малюнку 99 а відрізки АВ і CD паралельні (АВ || CD), а відрізки MN і CD не паралельні. Аналогічно визначається паралельність відрізка та прямої (рис. 99, б), променя та прямої, відрізка та променя, двох променів (рис. 99, в).

Мал. 99Ознаки паралельності двох прямих

Пряма з називається січучоїпо відношенню до прямих а та b, якщо вона перетинає їх у двох точках (рис. 100). При перетині прямих а і b січної утворюється вісім кутів, які на малюнку 100 позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:

навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6;
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7.

Мал. 100

Розглянемо три ознаки паралельності двох прямих, пов'язані з цими парами кутів.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути рівні: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).

Доведемо, що а || b. Якщо кути 1 і 2 прямі (рис. 101 б), то прямі а і b перпендикулярні до прямої АВ і, отже, паралельні.

Мал. 101

Розглянемо випадок, коли кути 1 та 2 не прямі.

Із середини О відрізка АВ проведемо перпендикуляр ВІН до прямої а (рис. 101, в). На прямій b від точки відкладемо відрізок ВН 1 , рівний відрізку АН, як показано на малюнку 101, в, і проведемо відрізок ВІН 1 . Трикутники ВОНА і ВІН 1 В рівні по двох сторонах і куті між ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), тому ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6. З рівності ∠3 = ∠4 випливає, що точка Н 1 лежить на продовженні променя ВІН, тобто точки Н, Про і Н 1 лежать на одній прямій, а з рівності ∠5 = ∠6 випливає, що кут 6 - прямий (оскільки кут 5 - прямий). Отже, прямі а та b перпендикулярні до прямої HH 1 тому вони паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січе з відповідні кути рівні, наприклад ∠1 =∠2 (рис. 102).

Мал. 102

Так як кути 2 і 3 - вертикальні, то ∠2 = ∠3. З цих двох рівностей випливає, що ∠1 = ∠3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січучою сума односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠1 + ∠4 = 180° (див. рис. 102).

Оскільки кути 3 і 4 суміжні, то ∠3 + ∠4 = 180°. З цих двох рівностей випливає, що навхрест кути, що лежать 1 і 3 рівні, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Практичні способи побудови паралельних прямих

Мал. 103На малюнку 104 показаний спосіб побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини. Цим способом користуються у креслярській практиці.

Мал. 104Аналогічний спосіб застосовується під час виконання столярних робіт, де для розмітки паралельних прямих використовується малка (дві дерев'яні планки, скріплені шарніром, рис. 105).

Мал. 105

Завдання

186. На малюнку 106 прямі а та b перетнуті прямий с. Доведіть, що а || b, якщо:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а кут 7 утричі більший за кут 3.

Мал. 106

187. За даними малюнка 107, доведіть, що АВ || DE.

Мал. 107

188. Відрізки АВ і CD перетинаються у їхній спільній середині. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

189. Використовуючи дані малюнка 108, доведіть, що НД || AD.

Мал. 108

190. На малюнку 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Доведіть, що DE || АС.

Мал. 109

191. Відрізок ВК - бісектриса трикутника АВС. Через точку К проведено пряму, що перетинає бік ВС у точці М так, що ВМ = МК. Доведіть, що прямі КМ та АВ паралельні.

192. У трикутнику АВС кут А дорівнює 40 °, а кут ВСЕ, суміжний з кутом АСВ, дорівнює 80 °. Доведіть, що бісектриса кута ВСІ паралельна прямій АВ.

193. У трикутнику ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину проведена пряма BD так, що промінь ВС - бісектриса кута ABD. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

194. Накресліть трикутник. Через кожну вершину цього трикутника за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть пряму, паралельну протилежній стороні.

195. Накресліть трикутник АВС та позначте точку D на стороні АС. Через точку D за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть прямі, паралельні двом іншим сторонам трикутника.

У цій статті ми розповімо про паралельні прямі, дамо визначення, позначимо ознаки та умови паралельності. Для наочності теоретичного матеріалу будемо використовувати ілюстрації та вирішення типових прикладів.

Паралельні прямі на площині- Дві прямі на площині, що не мають спільних точок.

Визначення 2

Паралельні прямі у тривимірному просторі- Дві прямі в тривимірному просторі, що лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Необхідно звернути увагу, що для визначення паралельних прямих у просторі вкрай важливе уточнення «що лежать в одній площині»: дві прямі в тривимірному просторі, що не мають спільних точок і не лежать в одній площині, є не паралельними, а схрещуються.

Щоб позначити паралельність прямих, загальноприйнято використовувати символ . Тобто якщо задані прямі a і b паралельні, коротко записати цю умову потрібно так: a ‖ b . Словесно паралельність прямих позначається так: прямі a і b паралельні, або пряма а паралельна прямий b , або пряма b паралельна прямий а.

Сформулюємо твердження, що грає важливу роль у темі, що вивчається.

Аксіома

Через точку, що не належить заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна заданій. Це твердження неможливо довести з урахуванням відомих аксіом планіметрії.

У випадку, коли йдеться про простір, вірна теорема:

Теорема 1

Через будь-яку точку простору, що не належить заданій прямій, проходитиме єдина пряма, паралельна заданій.

Цю теорему легко довести з урахуванням вищевказаної аксіоми (програма геометрії 10 - 11 класів).

Ознака паралельності є достатньою умовою, при виконанні якої гарантовано паралельність прямих. Інакше висловлюючись, виконання цієї умови достатньо, щоб підтвердити факт паралельності.

У тому числі, мають місце необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у просторі. Пояснимо: необхідне – означає умова, виконання якого необхідне паралельності прямих; якщо його не виконано – прямі є паралельними.

Резюмуючи, необхідну та достатню умову паралельності прямих – така умова, дотримання якої необхідно і достатньо, щоб прямі були паралельні між собою. З одного боку, це ознака паралельності, з іншого – властивість, властива паралельним прямим.

Перед тим, як дати точне формулювання необхідної та достатньої умови, нагадаємо ще кілька додаткових понять.

Визначення 3

Поточна пряма- Пряма, що перетинає кожну з двох заданих неспівпадаючих прямих.

Перетинаючи дві прямі, січна утворює вісім нерозгорнутих кутів. Щоб сформулювати необхідну та достатню умову, будемо використовувати такі типи кутів, як навхрест лежачі, відповідні та односторонні. Продемонструємо їх на ілюстрації:

Теорема 2

Якщо дві прямі на площині перетинаються січною, то для паралельності заданих прямих необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівними, або були рівними відповідні кути, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Проілюструємо графічно необхідну та достатню умову паралельності прямих на площині:

Доказ зазначених умов є у програмі геометрії за 7 - 9 класи.

Загалом, ці умови застосовні і для тривимірного простору при тому, що дві прямі та січна належать одній площині.

Вкажемо ще кілька теорем, які часто використовуються при доказі факту паралельності прямих.

Теорема 3

На площині дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Ця ознака доводиться на основі аксіоми паралельності, зазначеної вище.

Теорема 4

У тривимірному просторі дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Доказ ознаки вивчається у програмі геометрії 10 класу.

Дамо ілюстрацію зазначених теорем:

Вкажемо ще одну пару теорем, що є доказом паралельності прямих.

Теорема 5

На площині дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

Сформулюємо аналогічне для тривимірного простору.

Теорема 6

У тривимірному просторі дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

Проілюструємо:

Усі зазначені вище теореми, ознаки та умови дозволяють зручно довести паралельність прямих методами геометрії. Тобто, щоб навести доказ паралельності прямих, можна показати, що рівні відповідні кути, або продемонструвати факт, що дві задані прямі перпендикулярні до третьої і т.д. Але зазначимо, що найчастіше для доказу паралельності прямих на площині чи тривимірному просторі зручніше використовувати метод координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат

У заданій прямокутній системі координат пряма визначається рівнянням прямої на площині одного з можливих видів. Так і прямий лінії, заданої у прямокутній системі координат у тривимірному просторі, відповідають деякі рівняння прямої у просторі.

Запишемо необхідні та достатні умови паралельності прямих у прямокутній системі координат залежно від типу рівняння, що описує задані прямі.

Почнемо з умови паралельності прямих на площині. Воно базується на визначеннях напрямного вектора прямої та нормального вектора прямої на площині.

Теорема 7

Щоб на площині дві несхожі прямі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори заданих прямих були колінеарними, або колінеарними нормальні вектори заданих прямих, або напрямний вектор однієї прямий був перпендикулярний нормальному вектору іншої прямої.

Стає очевидно, що умова паралельності прямих на площині базується на умові колінеарності векторів або перпендикулярності умов двох векторів. Тобто, якщо a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) є напрямними векторами прямих a і b;

і n b → = (n b x , n b y) є нормальними векторами прямих a і b , то зазначену вище необхідну та достатню умову запишемо так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y або n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y або a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , де t – деяке дійсне число. Координати напрямних чи прямих векторів визначаються за заданими рівняннями прямих. Розглянемо основні приклади.

1. Пряма a у прямокутній системі координат визначається загальним рівнянням прямої: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; пряма b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (А1, В1) і (А2, В2) відповідно. Умову паралельності запишемо так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

1. Пряма a описується рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом виду y = k 1 x + b 1 . Пряма b - y = k 2 x + b 2 . Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (k 1 -1) і (k 2 -1) відповідно, а умову паралельності запишемо так:

k 1 = t · k 2 - 1 = t · (- 1) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким чином, якщо паралельні прямі на площині прямокутної системі координат задаються рівняннями з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти заданих прямих будуть рівні. І вірне зворотне твердження: якщо неспадні прямі на площині прямокутної системі координат визначаються рівняннями прямої з однаковими кутовими коефіцієнтами, ці задані прямі паралельні.

1. Прямі a і b у прямокутній системі координат задані канонічними рівняннями прямої на площині: x - x 1 a x = y - y 1 a y і x - x 2 b x = y - y 2 b y або параметричними рівняннями прямої на площині: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y та x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тоді напрямні вектори заданих прямих будуть: a x , a y і b x , b y відповідно, а умову паралельності запишемо так:

a x = t · b x a y = t · b y

Розберемо приклади.

Приклад 1

Задано дві прямі: 2 x - 3 y + 1 = 0 та x 1 2 + y 5 = 1 . Необхідно визначити, чи вони паралельні.

Рішення

Запишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Ми бачимо, що n a → = (2 , - 3) - нормальний вектор прямий 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2 , 1 5 - нормальний вектор прямий x 1 2 + y 5 = 1 .

Отримані вектори є колінеарними, т.к. не існує такого значення t, при якому буде вірна рівність:

2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Таким чином, не виконується необхідна і достатня умова паралельності прямих на площині, а отже, задані прямі не паралельні.

Відповідь:задані прямі не паралельні.

Приклад 2

Задані прямі y = 2 x + 1 та x 1 = y - 4 2 . Чи паралельні вони?

Рішення

Перетворимо канонічне рівняння прямої x 1 = y - 4 2 до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Ми, що рівняння прямих y = 2 x + 1 і y = 2 x + 4 є однаковими (якщо було інакше, прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже задані прямі є паралельними.

Спробуємо розв'язати задачу інакше. Спочатку перевіримо, чи збігаються задані прямі. Використовуємо будь-яку точку прямої y = 2 x + 1 наприклад, (0 , 1) , координати цієї точки не відповідають рівнянню прямої x 1 = y - 4 2 , а значить прямі не збігаються.

Наступним кроком визначимо виконання умови паралельності заданих прямих.

Нормальний вектор прямий y = 2 x + 1 це вектор n a → = (2 , - 1) , а напрямний вектор другої заданої прямої є b → = (1 , 2) . Скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 = 0

Таким чином, вектори перпендикулярні: це демонструє нам виконання необхідної та достатньої умови паралельності вихідних прямих. Тобто. задані прямі паралельні.

Відповідь:дані прямі паралельні.

Для доказу паралельності прямих у прямокутній системі координат тривимірного простору використовується така необхідна та достатня умова.

Теорема 8

Щоб дві несхожі прямі в тривимірному просторі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб вектори напрямних векторів цих прямих були колінеарними.

Тобто. при заданих рівняннях прямих у тривимірному просторі у відповідь питання: паралельні вони чи ні, перебуває з допомогою визначення координат напрямних векторів заданих прямих, і навіть перевірки умови їх коллинеарности. Інакше кажучи, якщо a → = (a x , a y , a z) і b → = (b x , b y , b z) є напрямними векторами прямих a і b відповідно, то для того щоб вони були паралельні, необхідно існування такого дійсного числа t , щоб виконувалася рівність:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Приклад 3

Задані прямі x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 і x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необхідно довести паралельність цих прямих.

Рішення

Умовами завдання задані канонічні рівняння однієї прямої у просторі та параметричні рівняння іншої прямої у просторі. Напрямні вектори a → і b → заданих прямих мають координати: (1 , 0 , - 3) та (2 , 0 , - 6) .

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Отже, необхідну та достатню умову паралельності прямих у просторі виконано.

Відповідь:паралельність заданих прямих доведено.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

1. Перша ознака паралельності.

Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і ∠1 = ∠2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL секучою ЕF (рис.).

Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину із прямою СD, АВ ⊥ МN. Доведемо, що й CD ⊥ МN.

Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: ∠1 = ∠2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;

∠МОL = ∠NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, ΔМОL = ΔNОК, а звідси і ∠LМО = ∠КNО,
але ∠LМО прямий, отже, і ∠КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і CD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже, вони паралельні, що і потрібно довести.

Примітка. Перетин прямих МО і СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.

2. Друга ознака паралельності.

Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.

Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад ∠3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, як кути вертикальні; отже, ∠2 дорівнюватиме ∠1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежачі кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.

Прикладемо трикутник до лінійки так, як показано на рис. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по будь-якій іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.

3. Третя ознака паралельності.

Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (рис.).

Нехай ∠1 та ∠2-внутрішні односторонні кути і в сумі становлять 2 d.

Але ∠3 + ∠2 = 2 dяк кути суміжні. Отже, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Звідси ∠1 = ∠3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d (або 180°), ці дві прямі паралельні.

Ознаки паралельних прямих:

1. Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

2.Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

3. Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то ці дві прямі паралельні.

4. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.

5. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою.

Аксіома паралельності Евкліда

Завдання. Через точку М, взяту поза прямою АВ, провести пряму, паралельну до прямої АВ.

Користуючись доведеними теоремами про ознаки паралельності прямих, можна це завдання розв'язати різними способами,

Рішення. 1-й спосіб (черт. 199).

Проводимо МN⊥АВ і через точку М проводимо СD⊥МN;

отримуємо СD⊥МN та АВ⊥МN.

На підставі теореми ("Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні") укладаємо, що СD | АВ.

2-й запит (чорт. 200).

Проводимо МК, що перетинає АВ під будь-яким кутом α, і через точку М проводимо пряму ЕF, що утворює з прямої МК кут ЕМК, що дорівнює куту α. З теореми () укладаємо, що ЕF || АВ.

Розв'язавши це завдання, можемо вважати доведеним, що через будь-яку точку М, взяту поза прямою АВ, можна провести пряму, їй паралельну. Виникає питання, скільки ж прямих, паралельних даній прямий і проходять через цю точку, може існувати?

Практика побудов дозволяє припускати, що існує тільки одна така пряма, так як при ретельно виконаному кресленні прямі, проведені різними способами через ту саму точку паралельно одній і тій же прямій, зливаються.

Теоретично у відповідь поставлене питання дає так звана аксіома паралельності Евкліда; вона формулюється так:

Через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій.

На кресленні 201 через точку проведена пряма СК, паралельна прямий АВ.

Будь-яка інша пряма, що проходить через точку О, вже не буде паралельна прямий АВ, а її перетинатиме.

Прийнята Евклідом у його "Початках" аксіома, яка стверджує, що на площині через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій, називається аксіомою паралельності Евкліда.

Більше двох тисячоліть після Евкліда багато вчених-математиків намагалися довести цю математичну пропозицію, але завжди їхні спроби виявлялися безуспішними. Тільки в 1826 р. великий російський учений, професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський довів, що, використовуючи всі інші аксіоми Евкліда, цю математичну пропозицію довести не можна, що вона дійсно має бути прийнята за аксіому. М. І. Лобачевський створив нову геометрію, яка на відміну геометрії Евкліда названа геометрією Лобачевського.

Визначення 1

Пряму $с$ називають січучоїдля прямих $а$ і $b$, якщо вона перетинає в двох точках.

Розглянемо дві прямі $a$ і $b$ і пряму пряму $с$.

При їхньому перетині виникають кути, які позначимо цифрами від $1$ до $8$.

У кожного з цих кутів є назва, яку часто доводиться вживати в математиці:

• пари кутів $3$ і $5$, $4$ і $6$ називаються навхрест лежачими;
• пари кутів $1$ і $5$, $4$ і $8$, $2$ і $6$, $3$ і $7$ називають відповідними;
• пари кутів $4$ і $5$, $5$ і $6$ називають односторонніми.

Ознаки паралельності прямих

Теорема 1

Рівність пари навхрест лежачих кутів для прямих $a$ і $b$ і сіючої $с$ говорить про те, що прямі $a$ і $b$ – паралельні:

Доведення.

Нехай навхрест кути, що лежать, для прямих $а$ і $b$ і сіючої $с$ рівні: $∠1=∠2$.

Покажемо, що $a \parallel b$.

За умови, що кути $1$ і $2$ будуть прямими, отримаємо, що прямі $а$ і $b$ будуть перпендикулярними щодо прямої $АВ$, а отже – паралельними.

За умови, що кути $1$ і $2$ є прямими, проведемо з точки $О$ – середини відрізка $АВ$, перпендикуляр $ОН$ до прямої $а$.

На прямий $b$ відкладемо відрізок $BH_1=AH$ і проведемо відрізок $OH_1$. Отримуємо два рівні трикутники $ОНА$ і $ОH_1В$ по обидва боки і кут між ними ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), тому $∠3=∠4$ і $ ∠5=∠6$. Т.к. $∠3=∠4$, то точка $H_1$ лежить на промені $ОН$, таким чином точки $Н$, $О$ і $H_1$ належать одній прямій. Т.к. $∠5=∠6$, то $∠6=90^(\circ)$. Таким чином, прямі $а$ та $b$ є перпендикулярними щодо прямої $HH_1$ є паралельними. Теорему доведено.

Теорема 2

Рівність пари відповідних кутів для прямих $a$ і $b$ і січень $с$ говорить про те, що прямі $a$ і $b$ – паралельні:

якщо $∠1=∠2$, то $a \parallel b$.

Доведення.

Нехай відповідні кути для прямих $а$ і $b$ і сікної $с$ дорівнюють: $∠1=∠2$. Кути $2$ і $3$ є вертикальними, тому $∠2=∠3$. Отже $∠1=∠3$. Т.к. кути $1$ і $3$ – навхрест лежачі, то прямі $а$ і $b$ є паралельними. Теорему доведено.

Теорема 3

Якщо сума двох односторонніх кутів для прямих $a$ і $b$ і січної $с$ дорівнює $180^(\circ)C$, то прямі $a$ і $b$ – паралельні:

якщо $∠1+∠4=180^(\circ)$, то $a \parallel b$.

Доведення.

Нехай односторонні кути для прямих $а$ і $b$ і січе $s$ в сумі дають $180^(\circ)$, наприклад

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

Кути $3$ і $4$ є суміжними, тому

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

З отриманих рівностей видно, що навхрест кути, що лежать $∠1=∠3$, з чого випливає, що прямі $а$ і $b$ є паралельними.

Теорему доведено.

З розглянутих ознак випливає паралельність прямих.

Приклади розв'язання задач

Приклад 1

Точка перетину ділить відрізки $АВ$ і $CD$ навпіл. Довести $AC \parallel BD$.

Дано: $AO=OB$, $CO=OD$.

Довести: $AC \parallel BD$.

Доведення.

З умови задачі $AO=OB$, $CO=OD$ і рівності вертикальних кутів $∠1=∠2$ згідно з I ознакою рівності трикутників випливає, що $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$. Отже, $∠3=∠4$.

Кути $3$ і $4$ – навхрест лежачі у двох прямих $AC$ і $BD$ та січній $AB$. Тоді згідно з I ознакою паралельності прямих $AC \parallel BD$. Твердження доведене.

Приклад 2

Даний кут $∠2=45^(\circ)$, а $∠7$ у $3$ рази більше за цей кут. Довести $a \parallel b$.

Дано: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

Довести: $a \parallel b$.

Доведення:

1. Знайдемо значення кута $7$:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

1. Вертикальні кути $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
2. Знайдемо суму внутрішніх кутів $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

Згідно з III ознакою паралельності прямих $a \parallel b$. Твердження доведене.

Приклад 3

Дано: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Довести: $AC \parallel BD$, $AD \parallel BC$.

Доведення:

У рисунків сторона $АВ$ - загальна.

Т.к. трикутники $АВС$ і $ADB$ рівні, $AD=CB$, $AC=BD$, а також відповідні кути рівні $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠5=∠6 $.

Пара кутів $3$ і $4$ – навхрест лежать для прямих $АС$ і $BD$ і відповідної січної $АВ$, тому згідно з I ознакою паралельності прямих $AC \parallel BD$.

Пара кутів $5$ і $6$ – навхрест лежать для прямих $AD$ і $BC$ і відповідної січної $АВ$, тому згідно з I ознакою паралельності прямих $AD \parallel BC$.