Тригонометричні рівняння - формули, рішення, приклади. Урок "Арктангенс і арккотангенс. Рішення рівнянь tgx \u003d а, ctgx \u003d a" Рішення рівняння ctg x a

З центром в точці A.
α - кут, виражений в радіанах.

тангенс ( tg α) - це тригонометрическая функція, що залежить від кута α між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини протилежного катета | BC | до довжини прилеглого катета | AB | .

котангенс ( ctg α) - це тригонометрическая функція, що залежить від кута α між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета | AB | до довжини протилежного катета | BC | .

тангенс

де n - ціле.

У західній літературі тангенс позначається так:
.
;
;
.

Графік функції тангенс, y \u003d tg x

котангенс

де n - ціле.

У західній літературі котангенс позначається так:
.
Також прийняті наступні позначення:
;
;
.

Графік функції котангенс, y \u003d ctg x

Властивості тангенса і котангенс

періодичність

Функції y \u003d tg x і y \u003d ctg x періодичні з періодом π.

парність

Функції тангенс і котангенс - непарні.

Області визначення та значень, зростання, спадання

Функції тангенс і котангенс безперервні на своїй області визначення (див. Доказ безперервності). Основні властивості тангенса і котангенс представлені в таблиці ( n - ціле).

формули

Вирази через синус і косинус

; ;
; ;
;

Формули тангенса і котангенс від суми і різниці

Інші формули легко отримати, наприклад

твір тангенсов

Формула суми і різниці тангенсів

В даній таблиці представлені значення тангенсів і котангенсів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні числа

Вирази через гіперболічні функції

;
;

похідні

; .

.
Похідна n-го порядку по змінній x від функції:
.
Висновок формул для тангенса\u003e\u003e\u003e; для котангенс\u003e\u003e\u003e

інтеграли

Розкладання в ряди

Щоб отримати розкладання тангенса за ступенями x, потрібно взяти кілька членів розкладання в статечної ряд для функцій sin x і cos x і розділити ці многочлени один на одного,. При цьому виходять такі формули.

При.

при.
де B n - числа Бернуллі. Вони визначаються або з рекурентного співвідношення:
;
;
де.
Або за формулою Лапласа:

Зворотні функції

Зворотними функціями до тангенсу і котангенс є арктангенс і арккотангенс, відповідно.

Арктангенс, arctg

, де n - ціле.

Арккотангенс, arcctg

, де n - ціле.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.
Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.

Раніше за програмою учні отримали уявлення про рішення тригонометричних рівнянь, ознайомилися з поняттями арккосинуса і арксинуса, прикладами рішень рівнянь cos t \u003d a і sin t \u003d a. У цьому відеоуроці розглянемо рішення рівнянь tg x \u003d a і ctg x \u003d a.

На початку вивчення даної теми розглянемо рівняння tg x \u003d 3 і tg x \u003d - 3. Якщо рівняння tg x \u003d 3 будемо вирішувати за допомогою графіка, то побачимо, що перетин графіків функцій y \u003d tg x і y \u003d 3 має безліч рішень, де x \u003d x 1 + πk. Значення x 1 - це координата x точки перетину графіків функцій y \u003d tg x і y \u003d 3. Автор вводить поняття арктангенса: arctg 3 це число, tg якого дорівнює 3, і це число належить інтервалу від -π / 2 до π / 2. Використовуючи поняття арктангенса, рішення рівняння tg x \u003d 3 можна записати у вигляді x \u003d arctg 3 + πk.

За аналогією вирішується рівняння tg x \u003d - 3. За побудованим графікам функцій y \u003d tg x і y \u003d - 3 видно, що точки перетину графіків, а отже, і рішеннями рівнянь, буде x \u003d x 2 + πk. За допомогою арктангенса рішення можна записати як x \u003d arctg (- 3) + πk. На наступному малюнку побачимо, що arctg (- 3) \u003d - arctg 3.

Загальне визначення арктангенса виглядає наступним чином: арктангенсом а називається таке число з проміжку від -π / 2 до π / 2, тангенс якого дорівнює а. Тоді рішенням рівняння tg x \u003d a є x \u003d arctg a + πk.

Автор наводить приклад 1. Знайти рішення вираження arctg.Введем позначення: арктангенс числа дорівнює x, тоді tg x буде дорівнює даному числу, де x належить відрізку від -π / 2 до π / 2. Як в прикладах в попередніх темах, скористаємося таблицею значень. З цієї таблиці тангенсу даного числа відповідає значення x \u003d π / 3. Запишемо рішення рівняння арктангенс заданого числа дорівнює π / 3, π / 3 належить і інтервалу від -π / 2 до π / 2.

Приклад 2 - обчислити арктангенс негативного числа. Використовуючи рівність arctg (- a) \u003d - arctg a, введемо значення x. Аналогічно прикладу 2 запишемо значення x, яке належить відрізку від -π / 2 до π / 2. По таблиці значень знайдемо, що x \u003d π / 3, отже, - tg x \u003d - π / 3. Відповіддю рівняння буде - π / 3.

Розглянемо приклад 3. Вирішимо рівняння tg x \u003d 1. Запишемо, що x \u003d arctg 1 + πk. У таблиці значенням tg 1 відповідає значення x \u003d π / 4, отже, arctg 1 \u003d π / 4. Підставами це значення у вихідну формулу x і запишемо відповідь x \u003d π / 4 + πk.

Приклад 4: обчислити tg x \u003d - 4,1. В даному випадку x \u003d arctg (- 4,1) + πk. Оскільки знайти значення arctg в даному випадку немає можливості, відповідь буде виглядати як x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

У прикладі 5 розглядається рішення нерівності tg x\u003e 1. Для вирішення побудуємо графіки функцій y \u003d tg x і y \u003d 1. Як видно на малюнку, ці графіки перетинаються в точках x \u003d π / 4 + πk. Оскільки в даному випадку tg x\u003e 1, на графіку виділимо область тангенсоіди, яка знаходиться вище графіка y \u003d 1, де x належить інтервалу від π / 4 до π / 2. Відповідь запишемо як π / 4 + πk< x < π/2 + πk.

Далі розглянемо рівняння ctg x \u003d a. На малюнку зображені графіки функцій у \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, які мають безліч точок перетину. Рішення можна записати як x \u003d x 1 + πk, де x 1 \u003d arcctg a і x \u003d x 2 + πk, де x 2 \u003d arcctg (- a). Відзначено, що x 2 \u003d π - x 1. З цього випливає рівність arcctg (- a) \u003d π - arcctg a. Далі дається визначення арккотангенса: арккотангенса а називається таке число з проміжку від 0 до π, котангенс якого дорівнює а. Рішення рівняння сtg x \u003d a записується у вигляді: x \u003d arcctg a + πk.

В кінці видеоурока робиться ще один важливий висновок - вираз ctg x \u003d a можна записати у вигляді tg x \u003d 1 / a, за умови, що a не дорівнює нулю.

ТЕКСТОВА Розшифровка:

Розглянемо рішення рівнянь tg х \u003d 3 і tg х \u003d - 3. Вирішуючи перше рівняння графічно, ми бачимо, що графіки функцій у \u003d tg х і у \u003d 3 мають нескінченно багато точок перетину, абсциси яких запишемо у вигляді

х \u003d х 1 + πk, де х 1 - це абсциса точки перетину прямої у \u003d 3 з головною гілкою тангенсоіди (рис.1), для якої було придумано позначення

arctg 3 (арктангенс трьох).

Як же розуміти arctg 3?

Це число, тангенс якого дорівнює 3 і це число належить інтервалу (-;). Тоді все коріння рівняння tg х \u003d 3 можна записати формулою х \u003d arctg 3 + πk.

Аналогічно рішення рівняння tg х \u003d - 3 можна записати у вигляді х \u003d х 2 + πk, де х 2 - це абсциса точки перетину прямої у \u003d - 3 з головною гілкою тангенсоіди (рис.1), для якої було придумано позначення arctg (- 3) (арктангенс мінус трьох). Тоді все коріння рівняння можна записати формулою: х \u003d arctg (-3) + πk. За малюнком видно, що arctg (- 3) \u003d - arctg 3.

Сформулюємо визначення арктангенса. Арктангенсом а називається таке число з проміжку (-;), тангенс якого дорівнює а.

Часто використовують рівність: arctg (-а) \u003d -arctg а, яке справедливо для будь-якого а.

Знаючи визначення арктангенса, зробимо загальний висновок про рішення рівняння

tg х \u003d a: рівняння tg х \u003d a має рішення х \u003d arctg а + πk.

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД 1.Вичісліть arctg.

Рішення. Нехай arctg \u003d х, тоді tgх \u003d і хε (-;). Показати таблицю значень Отже, х \u003d, так як tg \u003d і ε (-;).

Отже, arctg \u003d.

ПРИКЛАД 2. Обчислити arctg (-).

Рішення. Використовуючи рівність arctg (- а) \u003d - arctg а, запишемо:

arctg (-) \u003d - arctg. Нехай - arctg \u003d х, тоді - tgх \u003d і хε (-;). Отже, х \u003d, так як tg \u003d і ε (-;). Показати таблицю значень

Значить - arctg \u003d - tgх \u003d -.

ПРИКЛАД 3. Вирішити рівняння tgх \u003d 1.

1. Запишемо формулу рішень: х \u003d arctg 1 + πk.

2. Знайдемо значення арктангенса

так як tg \u003d. Показати таблицю значень

Значить arctg1 \u003d.

3. Поставимо знайдене значення в формулу рішень:

ПРИКЛАД 4. Вирішити рівняння tgх \u003d - 4,1 (тангенс ікс одно мінус чотири цілі одна десята).

Рішення. Запишемо формулу рішень: х \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Обчислити значення арктангенса ми не можемо, тому рішення рівняння залишимо в отриманому вигляді.

ПРИКЛАД 5. Вирішити нерівність tgх 1.

Рішення. Будемо вирішувати графічно.

1. побудуємо тангенсоіду

у \u003d tgх і пряму у \u003d 1 (рис.2). Вони перетинаються в точках виду х \u003d + πk.

2. Виділимо проміжок осі ікс, на якому головна гілка тангенсоіди розташована вище прямої у \u003d 1, так як за умовою tgх 1. Це інтервал (;).

3. Використовуємо періодичність функції.

Своійство 2. у \u003d tg х - періодична функція з основним періодом π.

З огляду на періодичність функції у \u003d tgх, запишемо відповідь:

(;). Відповідь можна записати у вигляді подвійної нерівності:

Перейдемо до рівняння ctg х \u003d a. Уявімо графічну ілюстрацію рішення рівняння для позитивного і негативного а (рис.3).

Графіки функцій у \u003d ctg х і у \u003d а а також

у \u003d ctg х і у \u003d -а

мають нескінченно багато спільних точок, абсциси яких мають вигляд:

х \u003d х 1 +, де х 1 - це абсциса точки перетину прямої у \u003d а з головною гілкою тангенсоіди і

х 1 \u003d arcсtg а;

х \u003d х 2 +, де х 2 - це абсциса точки перетину прямої

у \u003d - а з головною гілкою тангенсоіди і х 2 \u003d arcсtg (- а).

Зауважимо, що х 2 \u003d π - х 1. Значить, запишемо важливе рівність:

arcсtg (-а) \u003d π - arcсtg а.

Сформулюємо визначення: арккотангенса а називається таке число з інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а.

Рішення рівняння ctg х \u003d a записуються у вигляді: х \u003d arcсtg а +.

Звернемо увагу, що рівняння ctg х \u003d a можна перетворити до вигляду

tg х \u003d, за виключення, коли а \u003d 0.

Ви можете замовити докладний рішення вашого завдання !!!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції ( `sin x, cos x, tg x` або` ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми і розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, де` x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коренів.

1. Рівняння `sin x \u003d a`.

При `| a |\u003e 1` не має рішень.

При `| a | \\ Leq 1` має нескінченне число рішень.

Формула коренів: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. Рівняння `cos x \u003d a`

При `| a |\u003e 1` - як і у випадку з синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `| a | \\ Leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z`

Окремі випадки для синуса і косинуса в графіках.

3. Рівняння `tg x \u003d a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

4. Рівняння `ctg x \u003d a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь в таблиці

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса і котангенс:
Формули рішення рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи рішення тригонометричних рівнянь

Рішення будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

• за допомогою перетворити його до найпростішого;
• вирішити отримане просте рівняння, використовуючи вище написані формули коренів і таблиці.

Розглянемо на прикладах основні методи вирішення.

Алгебраїчний метод.

У цьому методі робиться заміна змінної та її підстановка в рівність.

Приклад. Вирішити рівняння: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

робимо заміну: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, тоді` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

знаходимо коріння: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2`, звідки йдуть два випадки:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 ',` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Розкладання на множники.

Приклад. Вирішити рівняння: `sin x + cos x \u003d 1 '.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Використовуючи, перетворимо і розкладемо на множники ліву частину:

`Sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2sin x / 2) \u003d 0`,

1. `Sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `Cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1 ', `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно дане тригонометрическое рівняння привести до одного з двох видів:

`A sin x + b cos x \u003d 0` (однорідне рівняння першого ступеня) або` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \\ ne 0` - для першого випадку, і на` cos ^ 2 x \\ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`:` a tg x + b \u003d 0` і `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, які потрібно вирішити відомими способами.

Приклад. Вирішити рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1 '.

Рішення. Запишемо праву частину, як `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`Sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву і праву частини на `cos ^ 2 x \\ ne 0`, отримаємо:

`\\ Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Введемо заміну `tg x \u003d t`, в результаті` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Коріння цього рівняння: `t_1 \u003d -2` і` t_2 \u003d 1 '. тоді:

1. `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `Tg x \u003d 1 ',` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Перехід до половинному куті

Приклад. Вирішити рівняння: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `` 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 `

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Застосувавши описаний вище алгебраїчний метод, отримаємо:

1. `Tg x / 2 \u003d 2`, `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`,
2. `Tg x / 2 \u003d 3/4`, `x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x \u003d c`, де a, b, c - коефіцієнти, а x - змінна, розділимо обидві частини на` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса і косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 і їх модулі не більш 1. Позначимо їх наступним чином: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, тоді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Детальніше розглянемо на наступному прикладі:

Приклад. Вирішити рівняння: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, отримаємо:

`\\ Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Позначимо `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Так як `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, то в якості допоміжного кута візьмемо `\\ varphi \u003d arcsin 4/5`. Тоді наше рівність запишемо у вигляді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо наше рівність в наступному вигляді:

`Sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5`,

`X + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`,

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Дрібно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробом, в чисельнику і знаменниках яких є тригонометричні функції.

Приклад. Розв'язати рівняння. `\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Рішення. Помножимо і розділимо праву частину рівності на `(1 + cos x)`. В результаті отримаємо:

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

З огляду на, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Тоді `sin x \u003d 0` або` 1-sin x \u003d 0`.

1. `Sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

З огляду на, що `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`, рішеннями будуть` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in Z` і `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Тригонометрія, і тригонометричні рівняння зокрема, застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати все формули тригонометричних рівнянь - вони вам точно знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть, і вміти вивести. Це не так і складно, як здається. Переконайтеся самі, переглянувши відео.

На цьому уроці ми продовжимо вивчення арктангенса і рішення рівнянь виду tg x \u003d a для будь-якого а. На початку уроку вирішимо рівняння з табличним значенням і проілюструємо рішення на графіку, а потім і на колі. Далі вирішимо рівняння tgx \u003d aв загальному вигляді та виведемо загальну формулу відповіді. Проілюструємо обчислення на графіку і на колі і розглянемо різні форми відповіді. В кінці уроку вирішимо кілька завдань з ілюстрацією рішень на графіку і на колі.

Тема: Тригонометричні рівняння

Урок: Арктангенс і рішення рівняння tgx \u003d a (продовження)

1. Тема уроку, введення

На цьому уроці ми розглянемо рішення рівняння для будь-якого дійсного

2. Рішення рівняння tgx \u003d √3

Завдання 1. Вирішити рівняння

Знайдемо рішення за допомогою графіків функцій (Рис. 1).

Розглянемо проміжок На цьому проміжку функція монотонна, значить, досягається тільки при одному значенні функції.

відповідь:

Вирішимо це ж рівняння за допомогою числової окружності (рис. 2).

відповідь:

3. Рішення рівняння tgx \u003d a в загальному вигляді

Вирішимо рівняння в загальному вигляді (рис. 3).

На проміжку рівняння має єдине рішення

Найменший позитивний період

Проілюструємо на числової окружності (рис. 4).

4. Рішення задач

Завдання 2. Вирішити рівняння

Зробимо заміну змінної

Завдання 3. Вирішити систему:

Рішення (рис. 5):

У точці значення тому рішенням системи є тільки точка

відповідь:

Завдання 4. Вирішити рівняння

Вирішимо методом заміни змінної:

Завдання 5. Знайти число рішень рівняння на проміжку

Вирішимо задачу за допомогою графіка (рис. 6).

Рівняння має три рішення на заданому проміжку.

Проілюструємо на числової окружності (рис. 7), хоча це не так наочно, як на графіку.

Відповідь: Три рішення.

5. Висновок, висновок

Ми вирішували рівняння для будь-якого дійсного використовуючи поняття арктангенс. На наступному уроці ми познайомимося з поняттям арккотангенс.

Список літератури

1. Алгебра і початки аналізу, 10 клас (в двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) під ред. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина 2009.

2. Алгебра і початки аналізу, 10 клас (в двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) під ред. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Івашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. І. Алгебра і математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики) .- М .: Просвещение, 1996..

4. Галицький М. Л., Мошковіч М. М., Шварцбурд С. І. Поглиблене вивчення алгебри і математичного анализа.-М .: Просвещение, 1997.

5. Збірник завдань з математики для вступників у втузах (під ред. М. І.Сканаві) .- М.: Вища школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебраїчний тренажер.-К .: А. С. К., 1997..

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Завдання з алгебри і початків аналізу (посібник для учнів 10-11 класів общеобразов. Установ) .- М .: Просвещение, 2003.

8. Короп А. П. Збірник задач з алгебри і початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглиблений. изуч. математікі.-М .: Просвещение, 2006.

Домашнє завдання

Алгебра і початки аналізу, 10 клас (в двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) під ред. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Додаткові веб-ресурси

1. Математика.

2. Інтернет-портал Problems. ru.

3. Освітній портал для підготовки до іспитів.

\u003e\u003e Арктангенс і арккотангенс. Рішення рівнянь tgx \u003d а, ctgx \u003d a

§ 19. Арктангенс і арккотангенс. Рішення рівнянь tgx \u003d а, ctgx \u003d a

У прикладі 2 §16 ми не змогли вирішити три рівняння:

Два з них ми вже вирішили - перше в § 17 і друге в § 18, для цього нам довелося ввести поняття арккосинуса і арксинуса. Розглянемо третє рівняння х \u003d 2.
Графіки функцій у \u003d tg х і у \u003d 2 мають нескінченно багато спільних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд - абсциса точки перетину прямої у \u003d 2 з головною гілкою тангенсоіди (рис. 90). Для числа х1 математики придумали позначення агсtg 2 (читається «арктангенс двох»). Тоді все коріння рівняння х \u003d 2 можна описати формулою х \u003d агсtg 2 + пк.
Що ж таке агсtg 2? Це - число, тангенс якого дорівнює 2 і яке належить інтервалу
Розглянемо тепер рівняння tg х \u003d -2.
графіки функцій мають нескінченно багато спільних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд абсциса точки перетину прямої у \u003d -2 з головною гілкою тангенсоіди. Для числа х 2 математики придумали позначення агсtg (-2). Тоді все коріння рівняння х \u003d -2 можна описати формулою

Що ж таке агсtg (-2)? Це-число, тангенс якого дорівнює -2 і яке належить інтервалу. Зверніть увагу (див. Рис. 90): х 2 \u003d х 2. Це означає, що агсtg (-2) \u003d - агсtg 2.
Сформулюємо визначення арктангенса в загальному вигляді.

Визначення 1. агсtg а (арктангенс а) - це таке число з інтервалу, тангенс якого дорівнює а. Отже,

Тепер ми в змозі зробити загальний висновок про рішення рівняння х \u003d а: рівняння х \u003d а має рішення

Вище ми відзначили, що агсtg (-2) \u003d -агсtg 2. Взагалі, для будь-якого значення а справедлива формула

Приклад 1. обчислити:

Приклад 2. Вирішити рівняння:

А) Складемо формулу рішень:

Обчислити значення арктангенса в даному випадку ми не можемо, тому запис рішень рівняння залишимо в отриманому вигляді.
відповідь:
Приклад 3. Вирішити нерівності:
Нерівність виду можна вирішувати графічно, дотримуючись наступного планам
1) побудувати тангенсоіду у \u003d tg х і пряму у \u003d а;
2) виділити для головної гілки тангейсоіди проміжок осі х, на якому виконується заданий нерівність;
3) враховуючи періодичність функції у \u003d tg х, записати відповідь в загальному вигляді.
Застосуємо цей план до вирішення заданих нерівностей.

: А) Побудуємо графіки функцій у \u003d tgх і у \u003d 1. На головній гілці тангенсоіди вони перетинаються в точці

Виділимо проміжок осі х, на якому головна гілка тангенсоіди розташована нижче прямої у \u003d 1, - це інтервал
З огляду на періодичність функції у \u003d tgх, робимо висновок, що заданий нерівність виконується на будь-якому інтервалі виду:

Об'єднання всіх таких інтервалів і являє собою загальне рішення заданої нерівності.
Відповідь можна записати і по-іншому:

б) Побудуємо графіки функцій у \u003d tg х і у \u003d -2. На головній гілці тангенсоіди (рис. 92) вони перетинаються в точці х \u003d агсtg (-2).

Виділимо проміжок осі х, на якому головна гілка тангенсоіди

Розглянемо рівняння з tg х \u003d а, де а\u003e 0. Графіки функцій у \u003d сtg х і у \u003d а мають нескінченно багато спільних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд: х \u003d х 1 + пк, де х 1 \u003d агссtg а - абсциса точки перетину прямої у \u003d а з головною гілкою тангенсоіди (рис . 93). Значить, агссtg a - це число, котангенс якого дорівнює а і яке належить інтервалу (0, п); на цьому інтервалі будується головна гілка графіка функції у \u003d сtg х.

На рис. 93 представлена \u200b\u200bі графічна ілюстрація рішення рівняння с1tg \u003d -а. Графіки функцій у \u003d сtg х і у \u003d -а мають нескінченно багато спільних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд х \u003d х 2 + пк, де х 2 \u003d агссtg (- а) - абсциса точки перетину прямої у \u003d -а з головною гілкою тангенсоіди. Значить, агссtg (-а) - це число, котангенс якого дорівнює а і яке належить інтервалу (О, п); на цьому інтервалі будується головна гілка графіка функції У \u003d сtg х.

Визначення 2.агссtg а (арккотангенс а) - це таке число з інтервалу (0, п), котангенс якого дорівнює а.
Отже,

Тепер ми в змозі зробити загальний висновок про рішення рівняння сtg х \u003d а: рівняння ctg х \u003d а має рішення:

Зверніть увагу (див. Рис. 93): х 2 \u003d п-х 1. Це означає що

Приклад 4. обчислити:

А) Покладемо,

Рівняння сtg х \u003d а практично завжди можна перетворити до вигляду Виняток становить рівняння сtg х \u003d 0. Але в цьому випадку, скориставшись тим, що можна перейти до
рівняння соs x \u003d 0. Таким чином, рівняння виду х \u003d а самостійного інтересу не представляє.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн, Математика в школі скачати