Окружність на координатної площині. Числова окружність. Знаходження прямокутних координат точок, криволінійні координати яких кратні
слайд 2
Що будемо вивчати: Визначення. Важливі координати числової окружності. Як шукати координату числовий окружності? Таблиця основних координат числовий окружності. Приклади завдань.
слайд 3
Визначення. Розташуємо числову окружність в координатної площини так, щоб центр кола совместился з початком координат, а її радіус приймаємо за одиничний інтервал. Початкова точка числової окружності A поєднана з точкою (1; 0). Кожна точка числової окружності має в координатної площини свої координати х і у, причому: x\u003e 0, у\u003e 0 в першій чверті; х 0 у другій чверті; х 0, у
слайд 4
Нам важливо навчитися знаходити координати точок числової окружності представлених на малюнку нижче:
слайд 5
Знайдемо координату точки π / 4: Точка М (π / 4) - середина першої чверті. Опустимо з точки М перпендикуляр МР на пряму ОА і розглянемо трикутник OMP.Так як дуга АМ становить половину дуги АВ, то ∡MOP \u003d 45 ° Значить, трикутник OMP - рівнобедрений прямокутний трикутник і OP \u003d MP, тобто у точки M абсциса і ордината рівні: x \u003d y Так як координати точки M (х; y) задовольняють рівняння числовий окружності, то для їх знаходження потрібно вирішити систему рівнянь: Розв'язавши цю систему отримуємо: Отримали, що координати точки M, що відповідає числу π / 4 будуть Аналогічним чином розраховуються координати точок представлених на попередньому слайді.
слайд 6
слайд 7
Координати точок числової окружності.
слайд 8
Приклад Знайти координату точки числової окружності: Р (45π / 4) Рішення: Оскільки числах t і t + 2π k (k-ціле число) відповідає одна і теж точка числової окружності то: 45π / 4 \u003d (10 + 5/4) π \u003d 10π + 5π / 4 \u003d 5π / 4 + 2π 5 Значить, числу 45π / 4 відповідає та ж точка числової окружності, що і числу 5π / 4. Подивившись значення точки 5π / 4 в таблиці отримуємо:
слайд 9
Приклад Знайти координату точки числової окружності: Р (-37π / 3) Рішення: Оскільки числах t і t + 2π k (k-ціле число) відповідає одна і теж точка числової окружності то: -37π / 3 \u003d - (12 + 1/3) π \u003d -12π -π / 3 \u003d -π / 3 + 2π (-6) Значить, числу -37π / 3 відповідає та ж точка числової окружності, що і числу -π / 3, а числу -π / 3 відповідає та ж точка що і 5π / 3. Подивившись значення точки 5π / 3 в таблиці отримуємо:
слайд 10
Знайти на числовій окружності точки з ординатою у \u003d 1/2 і записати, яких числах t вони відповідають. Приклад Пряма у \u003d 1/2 перетинає числову окружність в точках М і Р. Точка М відповідає числу π / 6 (з даних таблиці) означає, і будь-якого числа виду π / 6 + 2π k. Точка Р відповідає числу 5π / 6, а значить, і будь-якого числа виду 5π / 6 + 2 π k Отримали, як часто говорять в таких випадках, дві серії значень: π / 6 + 2 π k і 5π / 6 + 2 π k відповідь: t \u003d π / 6 + 2 π k ІТ \u003d 5π / 6 + 2 π k Числова окружність на координатної площині.
слайд 11
Приклад Знайти на числовій окружності точки з абсцисою x≥ і записати, яких числах t вони відповідають. Пряма x \u003d 1/2 перетинає числову окружність в точках М і Р. Неравенствуx ≥ відповідають точки дуги РМ. Точка М відповідає числу 3π / 4 (з даних таблиці) означає, і будь-якого числа виду -3π / 4 + 2π k. Точка Р відповідає числу -3π / 4, а значить, і будь-якого числа виду - -3π / 4 + 2 π k Тоді отримаємо -3π / 4 + 2 π k≤t≤3π / 4 + 2 π k Відповідь: -3π / 4 + 2 π k≤t≤3π / 4 + 2 π k Числова окружність на координатної площині.
слайд 12
Числова окружність на координатної площині.
Завдання для самостійного рішення. 1) Знайти координату точки числової окружності: Р (61π / 6)? 2) Знайти координату точки числової окружності: Р (-52π / 3) 3) Знайти на числовій окружності точки з ординатою у \u003d -1/2 і записати, яких числах t вони відповідають. 4) Знайти на числовій окружності точки з ординатою у ≥-1/2 і записати, яких числах t вони відповідають. 5) Знайти на числовій окружності точки з абсцисою x≥ і записати, яких числах t вони відповідають.
Подивитися всі слайди
Числовий окружності в 10 класі приділяється досить багато часу. Це пов'язано з важливістю цього математичного об'єкта для всього курсу математики.
Величезне значення для доброго засвоєння матеріалу має правильна добірка засобів навчання. До найбільш ефективним таких засобів відносяться відеоуроки. Останнім часом вони досягають піку популярності. Тому автор не став відставати від сучасності і розробив на допомогу вчителям математики настільки чудове посібник - відеоурок по темі «Числова окружність на координатної площині».
Даний урок по тривалості займає 15:22 хвилин. Це практично максимальний час, який може витратити учитель на самостійне пояснення матеріалу по темі. Так як на пояснення нового матеріалу витрачається стільки багато часу, то на закріплення необхідно підібрати найефективніші завдання і вправи, а також виділити ще один урок, де навчаються вирішуватимуть завдання з даної теми.
Урок починається з зображення числової окружності в системі координат. Автор будує цю окружність і пояснює свої дії. Потім автор називає точки перетину числовий окружності з осями координат. Далі пояснюється, які координати матимуть точки окружності в різних чвертях.
Після цього автор нагадує, як виглядає рівняння кола. І увазі слухачів представляється два макети із зображенням деяких точок на окружності. Завдяки цьому, на наступному кроці автор показує, як знаходяться координати точок кола, які відповідають певним числам, зазначеним на шаблонах. Так виходить таблиця значень змінних xі y в рівнянні окружності.
Далі пропонується розглянути приклад, де необхідно визначити координати точок кола. Перед тим, як починати вирішувати приклад, вводиться деякий зауваження, яке допомагає при вирішенні. А потім на екрані з'являється повне, чітко структуроване і наповнене ілюстраціями рішення. Тут також присутні таблиці, які полегшують розуміння сутність прикладу.
Потім розглядаються ще шість прикладів, які менш трудомісткі, ніж перший, але не менш важливі і відображають головну ідею уроку. Тут рішення представлені в повному обсязі, з докладною розповіддю і з елементами наочності. А саме, в рішенні присутні малюнки, що ілюструють хід рішення, і математична запис, що формує математичну грамотність учнів.
Учитель може обмежитися і тими прикладами, які розглянуті в уроці, але цього може бути недостатньо для якісного засвоєння матеріалу. Тому підібрати завдання для закріплення просто вкрай важливо.
Урок може бути корисний не тільки вчителям, час яких постійно обмежена, а й навчаються. Особливо тим, хто отримує сімейне освіту або займається самоосвітою. Матеріалами можуть користуватися ті навчаються, які пропустили урок з даної теми.
ТЕКСТОВА Розшифровка:
Тема нашого уроку «ЧИСЛОВА кола на КООРДИНАТНОЇ ПЛОЩИНІ»
Ми вже знайомі з декартовій прямокутній системою координат xOy (ікс про ігрек). У цій системі координат розташуємо числову окружність так, щоб центр кола був суміщений з початком координат, а її радіус приймемо за масштабний відрізок.
Початкова точка А числовий окружності поєднана з точкою з координатами (1; 0), В - з точкою (0; 1), С - з (-1; 0) (мінус один, нуль), а D - з (0; - 1) (нуль, мінус один).
(Дивись рис 1)
Так як кожна точка числової окружності має в системі xOy (ікс про ігрек) свої координати, то для точок першої чверті ІКХ більше нуля і ігрек більше нуля;
По-другій чверті ІКХ менше нуля і ігрек більше нуля,
для точок третьої чверті ІКХ менше нуля і ігрек менше нуля,
а для четвертої чверті ІКХ більше нуля і ігрек менше нуля
Для будь-якої точки E (x; y) (з координатами ікс, ігрек) числовий окружності виконуються нерівності -1≤ х≤ 1, -1≤у≤1 (ікс більше або дорівнює мінус один, але менше або дорівнює один; ігрек більше або одно мінус один, але менше або дорівнює один).
Згадаймо, що рівняння кола радіусом R c центром на початку координат має вигляд х 2 + у 2 \u003d R 2 (ікс квадрат плюс ігрек квадрат одно ер квадрат). А для одиничному колі R \u003d 1, тому отримуємо х 2 + у 2 \u003d 1
(Ікс квадрат плюс ігрек квадрат одно один).
Знайдемо координати точок числової окружності, які представлені на двох макетах (див. Рис 2, 3)
Нехай точка E, яка відповідає
(Пі на чотири) - середина першої чверті зображена на малюнку. З точки E опустимо перпендикуляр EK на пряму ОА і розглянемо трикутник ОEK. Кут АОЄ \u003d 45 0, так як дуга АЕ становить половину дуги АВ. Отже, трикутник ОЕК - рівнобедрений прямокутний, у якого ОК \u003d ЄК. Значить, абсциса і ордината точки Е рівні, тобто ікс одно ігрек. Щоб знайти координати точки Е, вирішимо систему рівнянь: (ікс одно ігрек- перше рівняння системи і ікс квадрат плюс ігрек квадрат одно один - друге рівняння системи) .У друге рівняння системи замість х підставимо у, отримаємо 2у 2 \u003d 1 (два ігрек квадрат дорівнює одиниці), звідки у \u003d \u003d (ігрек одно один поділене на корінь з двох одно корінь з двох поділене на два) (ордината позитивна) .Це означає, що точка Е в прямокутній системі координат має координати (,) (корінь з двох поділене на два, корінь з двох поділене на два).
Міркуючи аналогічно, знайдемо координати для точок, відповідних іншим числам першого макета і отримаємо: відповідає точка з координатами (-,) (мінус корінь з двох поділене на два, корінь з двох поділене на два); для - (-, -) (мінус корінь з двох поділене на два, мінус корінь з двох поділене на два); для (сім пі на чотири) (,) (корінь з двох поділене на два, мінус корінь з двох поділене на два).
Нехай точка D відповідає (рис.5). Опустимо перпендикуляр з DР (де пе) на ОА і розглянемо трикутник ОDР. Гіпотенуза цього трикутника OD дорівнює радіусу одиничному колі, тобто одиниці, а кут DОР дорівнює тридцяти градусів, так як дуга АD \u003d диги АВ (а Де дорівнює одній третині а бе), а дуга АВ дорівнює дев'яносто градусів. Отже, DР \u003d (де пе дорівнює одній другій Про Де дорівнює одній другій) Так як катет, що лежить проти кута в тридцять градусів дорівнює половині гіпотенузи, тобто у \u003d (ігрек дорівнює одній другій). Застосовуючи теорему Піфагора, отримаємо ЗР 2 \u003d ОD 2 - D Р 2 (про пе квадрат одно про Де квадрат мінус Де пе квадрат), але ВР \u003d х (про пе одно ікс). Значить, х 2 \u003d ОD 2 - D Р 2 \u003d
значить, х 2 \u003d (ікс квадрат дорівнює трьом четвертим) і х \u003d (ікс одно корінь з трьох на два).
Ікс позитивне, тому що знаходиться в першій чверті. Отримали, що точка D в прямокутній системі координат має координати (,) корінь з трьох поділене на два, одна друга.
Міркуючи аналогічним чином, знайдемо координати для точок, відповідних іншим числам другого макета і всі отримані дані запишемо в таблиці:
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Знайдіть координати точок числової окружності: а) З 1 ();
б) З 2 (); в) З 3 (41π); г) З 4 (- 26π). (ЦЕ один відповідна тридцять п'ять пі на чотири, ЦЕ два відповідна мінус сорока дев'яти пі на три, ЦЕ три відповідна сорок одному пі, ЦЕ чотири відповідна мінус двадцяти шести пі).
Рішення. Скористаємося твердження, отриманим раніше: якщо точка D числової окружності відповідають числу t, то вона відповідає і будь-якого числа виду t + 2πk (ТЕ плюс два пі ка), де ка -будь ціле число, тобто kεZ (ка належить Зет).
а) Отримаємо \u003d ∙ π \u003d (8 +) ∙ π \u003d + 2π ∙ 4. (тридцять п'ять пі на чотири одно тридцять п'ять на чотири, помножене на пі дорівнює сумі восьми і трьох четвертих, помноженої на пі одно три пі на чотири плюс твір двох пі на чотири) .Це означає, що числу тридцять п'ять пі на чотири відповідає та ж точка числової окружності, що і числу три пі на чотири. Використовуючи таблицю 1, отримаємо З 1 () \u003d С 1 (-;).
б) Аналогічно координати З 2: \u003d ∙ π \u003d - (16 + ∙ π \u003d + 2π ∙ (- 8). Значить, числу
відповідає та ж точка числової окружності, що і числу. А числу відповідає на числової окружності та ж точка, що і числу
(Показати другий макет і таблицю 2). Для точки маємо х \u003d, у \u003d.
в) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20.Значіт, числу 41π відповідає та ж точка числової окружності, що і числу π - це точка з координатами (-1; 0).
г) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), тобто числу - 26π відповідає та ж точка числової окружності, що і числу нуль, - це точка з координатами (1; 0).
ПРИКЛАД 2. Знайти на числовій окружності точки з ординатою у \u003d
Рішення. Пряма у \u003d перетинає числову окружність в двох точках. Одна точка відповідає числу, друга точка відповідає числу,
Отже всі крапки отримуємо додаючи повний оборот 2πk де k показує скільки повних обертів робить точка, тобто отримуємо,
а будь-якого числа все числа виду + \u200b\u200b2πk. Часто в таких випадках кажуть, що отримали дві серії значень: + 2πk, + 2πk.
ПРИКЛАД 3. Знайти на числовій окружності точки з абсцисою х \u003d і записати, яких числах t вони відповідають.
Рішення. пряма х \u003d Перетинає числову окружність в двох точках. Одна точка відповідає числу (дивись другий макет),
а значить і будь-якого числа виду + \u200b\u200b2πk. А друга точка відповідає числу, а значить, і будь-якого числа виду + \u200b\u200b2πk. Ці дві серії значень можна охопити одним записом: ± + 2πk (плюс мінус два пі на три плюс два пі ка).
ПРИКЛАД 4. Знайти на числовій окружності точки з ординатою у \u003e І записати, яких числах t вони відповідають.
Пряма у \u003d перетинає числову окружність в двох точках M і P. А нерівності у\u003e відповідають точки відкритої дуги МР, це означає дуги без решт (тобто без і), при русі по колу проти годинникової стрілки, починаючи з точки М, а закінчуючи в точці Р. Значить, ядром аналітичної записи дуги МР є нерівність< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
ПРІМЕР5. Знайти на числовій окружності точки з ординатою у < и записать, каким числам t они соответствуют.
Пряма у \u003d перетинає числову окружність в двох точках М і Р. А нерівності у< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
ПРИКЛАД 6. Знайти на числовій окружності точки з абсцисою х \u003e І записати, яких числах t вони відповідають.
Пряма х \u003d перетинає числову окружність в двох точках М і Р. Нерівності х\u003e відповідають точки відкритої дуги РМ при русі по колу проти годинникової стрілки з початком в точці Р, яка відповідає, і кінцем в точці М, яка відповідає. Значить, ядром аналітичної записи дуги РМ є нерівність< t <
(ТЕ більше, ніж мінус два пі на три, але менше двох пі на три), а сама аналітична запис дуги має вигляд + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
ПРИКЛАД 7. Знайти на числовій окружності точки з абсцисою х < и записать, каким числам t они соответствуют.
Пряма х \u003d перетинає числову окружність в двох точках М і Р. Нерівності х< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(ТЕ більше, ніж два пі на три, але менше чотирьох пі на три), а сама аналітична запис дуги має вигляд + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
Якщо розташувати одиничну числову окружність на координатної площині, то для її точок можна знайти координати. Числову окружність розташовують так, щоб її центр збігся з точкою початку координат площині, т. Е. Точкою O (0; 0).
Зазвичай на одиничному числовий окружності відзначають точки відповідні від початку відліку на окружності
- чвертях - 0 або 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
- серединам чвертей - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
- третинам чвертей - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.
На координатної площині при зазначеному вище розташуванні на ній одиничному колі можна знайти координати, відповідні цим точкам окружності.
Координати кінців чвертей знайти дуже легко. У точки 0 окружності координата x дорівнює 1, а y дорівнює 0. Можна позначити так A (0) \u003d A (1; 0).
Кінець першої чверті буде розташовуватися на позитивній півосі ординат. Отже, B (π / 2) \u003d B (0; 1).
Кінець другої чверті знаходиться на негативній півосі абсцис: C (π) \u003d C (-1; 0).
Кінець третьої чверті: D ((2π) / 3) \u003d D (0; -1).
Але як знайти координати середин чвертей? Для цього будують прямокутний трикутник. Його гипотенузой є відрізок від центру кола (або початку координат) до точки середини чверті кола. Це радіус кола. Оскільки окружність одинична, то гіпотенуза дорівнює 1. Далі проводять перпендикуляр з точки окружності до будь-якої осі. Нехай буде до осі x. Виходить прямокутний трикутник, довжини катетів якого - це і є координати x і y точки окружності.
Чверть кола становить 90º. А половина чверті становить 45º. Оскільки гіпотенуза проведена до точки середини чверті, то кут між гіпотенузою і катетом, що виходять з початку координат, дорівнює 45º. Але сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180º. Отже, на кут між гіпотенузою і іншим катетом залишається також 45º. Виходить рівнобедрений прямокутний трикутник.
З теореми Піфагора отримуємо рівняння x 2 + y 2 \u003d 1 2. Оскільки x \u003d y, а 1 2 \u003d 1, то рівняння спрощується до x 2 + x 2 \u003d 1. Вирішивши його, отримуємо x \u003d √½ \u003d 1 / √2 \u003d √2 / 2.
Таким чином, координати точки M 1 (π / 4) \u003d M 1 (√2 / 2; √2 / 2).
У координатах точок центрів інших чвертей будуть змінюватися тільки знаки, а модулі значень залишатися такими ж, так як прямокутний трикутник буде тільки перевертатися. отримаємо:
M 2 ((3π) / 4) \u003d M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) \u003d M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) \u003d M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)
При визначенні координат третє частин чвертей окружності також будують прямокутний трикутник. Якщо брати точку π / 6 і проводити перпендикуляр до осі x, то кут між гіпотенузою і катетом, що лежить на осі x, складе 30º. Відомо, що катет, що лежить проти кута в 30º, дорівнює половині гіпотенузи. Значить, ми знайшли координату y, вона дорівнює ½.
Знаючи довжини гіпотенузи і одного з катетів, по теоремі Піфагора знаходимо інший катет:
x 2 + (½) 2 \u003d 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x \u003d √3 / 2
Таким чином T 1 (π / 6) \u003d T 1 (√3 / 2; ½).
Для точки другої третини першої чверті (π / 3) перпендикуляр на вісь краще провести до осі y. Тоді кут при початку координат також буде 30º. Тут вже координата x буде дорівнює ½, а y відповідно √3 / 2: T 2 (π / 3) \u003d T 2 (½; √3 / 2).
Для інших точок третин чвертей будуть змінюватися знаки і порядок значень координат. Всі точки, які ближче розташовані до осі x матимуть по модулю значення координати x, рівне √3 / 2. Ті точки, які ближче до осі y, матимуть по модулю значення y, рівне √3 / 2.
T 3 ((2π) / 3) \u003d T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) \u003d T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) \u003d T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) \u003d T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) \u003d T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) \u003d T 8 (√3 / 2; -½)
Дата: Урок1
тема: Числова окружність на координатній прямій
цілі: ввести поняття моделі числової окружності в декартовій і криволінійній системі координат; формувати вміння знаходити декартові координати точок числової окружності і виконувати зворотну дію: знаючи декартові координати точки, визначати її числове значення на числової окружності.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Пояснення нового матеріалу.
1. Розмістивши числову окружність в декартовій системі координат, детально розбираємо властивості точок числової окружності, які перебувають в різних координатних чвертях.
для точки М числовий окружності використовують запис М(t), Якщо мова йде про криволінійної координаті точки М, Або запис М (х; у), Якщо мова йде про декартових координатах точки.
2. Відшукування декартових координат «хороших» точок числової окружності. Йдеться про перехід від запису М(t) до М (х; у).
3. Відшукання знаків координат «поганих» точок числової окружності. Якщо, наприклад, М(2) = М (х; у), То х 0; у 0. (школярі вчаться визначати знаки тригонометричних функцій по чвертях числовий окружності.)
1. № 5.1 (а, б), № 5.2 (а, б), № 5.3 (а, б).
Дана група завдань спрямована на формування вміння знаходити декартові координати «хороших» точок на числовій окружності.
Рішення:
№ 5.1 (А).
2. № 5.4 (а, б), № 5.5 (а, б).
Ця група завдань спрямована на формування умінь знаходити криволінійні координати точки по її декартових координатах.
Рішення:
№ 5.5 (Б).
3. № 5.10 (а, б).
Дана вправа направлено на формування вміння знаходити декартові координати «поганих» точок.
V. Підсумки уроку.
Питання учням:
- Що собою являє модель - числова окружність на координатної площині?
- Як, знаючи криволінійні координати точки на числовій окружності, знайти її декартові координати і навпаки?
Домашнє завдання: № 5.1 (в, г) - 5.5 (в, г), № 5.10 (в, г).
Дата: Урок2
ТЕМА: Рішення задач на моделі «числова окружність на координатної площині»
цілі: продовжити формування вміння переходити від криволінійних координат точки на числовій окружності до декартових координатах; формувати вміння знаходити на числової окружності точки, координати яких задовольняють заданому рівнянню або нерівності.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
II. Усна робота.
1. Назвіть криволінійні і декартові координати точок на числовій окружності.
2. Зіставте дугу на окружності і її аналітичну запис.
III. Пояснення нового матеріалу.
2. Відшукування на числової окружності точок, координати яких задовольняють заданому рівнянню.
Розглядаємо приклади 2 і 3 з с. 41-42 підручника.
Важливість цієї «гри» очевидна: учні готуються до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь виду Для розуміння суті справи слід перш за все навчити школярів розв'язувати ці рівняння за допомогою числової окружності, не переходячи до готових формул.
При розгляді прикладу на знаходження точки з абсцисою звертаємо увагу учнів на можливість об'єднання ддвух серій відповідей в одну формулу:
3. Відшукання на числової окружності точок, координати яких задовольняють заданому нерівності.
Розглядаємо приклади 4-7 з с. 43-44 підручника. Вирішуючи подібні задачі, ми готуємо учнів до вирішення тригонометричних нерівностей виду
Після розгляду прикладів учні можуть самостійно сформулювати алгоритм рішення нерівностей зазначеного типу:
1) від аналітичної моделі переходимо до геометричної моделі - дуга МР числовий окружності;
2) складаємо ядро \u200b\u200bаналітичної записи МР; для дуги отримуємо
3) складаємо загальну запис:
IV. Формування умінь і навичок.
1-я група. Знаходження точки на числовій окружності з координатою, що задовольняє заданому рівнянню.
№ 5.6 (а, б) - № 5.9 (а, б).
В процесі роботи над цими вправами відпрацьовуємо пошаговость виконання: запис ядра точки, аналітичної записи.
2-я група. Знаходження точок на числовій окружності з координатою, що задовольняє заданому нерівності.
№ 5.11 (а, б) - 5.14 (а, б).
Головне вміння, яке повинні придбати школярі при виконанні даних вправ, - це складання ядра аналітичної записи дуги.
V. Самостійна робота.
варіант 1
1. Позначте на числової окружності точку, яка відповідає заданому числу, і знайдіть її декартові координати:
2. Знайдіть на числовій окружності точки з даної абсциссой і запишіть, яких числах t вони відповідають.
3. Позначте на числової окружності точки з ординатою, що задовольняє нерівності і запишіть за допомогою подвійного нерівності, яких числах t вони відповідають.
варіант 2
1. Позначте на числової окружності точку, яка відповідає даному числу, і знайдіть її декартові координати:
2. Знайдіть на числовій окружності точки з даної ординатою у \u003d 0,5 і запишіть, яких числах t вони відповідають.
3. Позначте на числової окружності точки з абсцисою, що задовольняє нерівності і запишіть за допомогою подвійного нерівності, яких числах t вони відповідають.
VI. Підсумки уроку.
Питання учням:
- Як знайти на колі точку, абсциса якої задовольняє заданому рівнянню?
- Як знайти на колі точку, ордината якої задовольняє заданому рівнянню?
- Назвіть алгоритм вирішення нерівностей за допомогою числової окружності.
Домашнє завдання: № 5.6 (в, г) - № 5.9 (в, г),
№ 5.11 (в, г) - № 5.14 (в, г).
числова окружність - це одиничне коло, точки якої відповідають певним дійсним числам.
Одиничної колом називають коло радіуса 1.
Загальний вигляд числовий окружності.
1) Її радіус приймається за одиницю виміру.
2) Горизонтальний і вертикальний діаметри ділять числову окружність на чотири чверті. Їх відповідно називають першою, другою, третьою і четвертою чвертю.
3) Горизонтальний діаметр позначають AC, причому А - це крайня права крапка.
Вертикальний діаметр позначають BD, причому B - це крайня верхня точка.
відповідно:
перша чверть - це дуга AB
друга чверть - дуга BC
третя чверть - дуга CD
четверта чверть - дуга DA
4) Початкова точка числової окружності - точка А.
Відлік по числовий окружності може вестися як за годинниковою стрілкою, так і проти годинникової стрілки.
Відлік від точки А проти годинникової стрілки називається позитивним напрямком.
Відлік від точки А по годинниковою стрілкою називається негативним напрямком.
Числова окружність на координатної площині.
Центр радіусу числовий окружності відповідає початку координат (числу 0).
Горизонтальний діаметр відповідає осі x, Вертикальний - осі y.
Початкова точка А числовий окружности знаходиться на осіx і має координати (1; 0).
Імена і місцезнаходження основних точок числової окружності:
Як запам'ятати імена числовий окружності.
Є кілька простих закономірностей, які допоможуть вам легко запам'ятати основні імена числовий окружності.
Перед тим як почати, нагадаємо: відлік ведеться в позитивному напрямку, тобто від точки А (2π) проти годинникової стрілки.
1) Почнемо з крайніх точок на осях координат.
Початкова точка - це 2π (найправіша на осі х, Що дорівнює 1).
Як ви знаєте, 2π - це довжина кола. Значить, половина окружності - це 1π або π. ось х ділить окружність якраз навпіл. Відповідно, крайня ліва точка на осі х, Що дорівнює -1, називається π.
Крайня верхня точка на осі у, Що дорівнює 1, ділить верхню півколо навпіл. Значить, якщо півколо - це π, то половина півкола - це π / 2.
Одночасно π / 2 - це і чверть кола. Відрахуємо три таких чверті від першої до третьої - і ми прийдемо в крайню нижню точку на осі у, Що дорівнює -1. Але якщо вона включає три чверті - значить ім'я їй 3π / 2.
2) Тепер перейдемо до решти точок. Зверніть увагу: всі протилежні точки мають однаковий знаменник - причому це протилежні точки і відносно осі у, І щодо центру осей, і щодо осі х. Це нам і допоможе знати їх значення точок без зубріння.
Треба запам'ятати лише значення точок першої чверті: π / 6, π / 4 і π / 3. І тоді ми «побачимо» деякі закономірності:
- щодо осі у
в точках другій чверті, протилежних точках першої чверті, числа в чисельнику на 1 менше величини знаменників. Наприклад, візьмемо точку π / 6. Протилежна їй точка щодо осі у теж в знаменнику має 6, а в чисельнику 5 (на 1 менше). Тобто ім'я цієї точки: 5π / 6. Точка, протилежна π / 4 теж має в знаменнику 4, а в чисельнику 3 (на 1 менше, ніж 4) - тобто це точка 3π / 4.
Точка, протилежна π / 3, теж має в знаменнику 3, а в чисельнику на 1 менше: 2π / 3.
- Щодо центру осей координат все навпаки: числа в чисельнику протилежних точок (у третій чверті) на 1 більше значення знаменників. Візьмемо знову точку π / 6. Протилежна їй щодо центру точка теж має в знаменнику 6, а в чисельнику число на 1 більше - тобто це 7π / 6.
Точка, протилежна точці π / 4, теж має в знаменнику 4, а в чисельнику число на 1 більше: 5π / 4.
Точка, протилежна точці π / 3, теж має в знаменнику 3, а в чисельнику число на 1 більше: 4π / 3.
- щодо осі х (Четверта чверть) справа складніша. Тут треба до величини знаменника додати число, яке на 1 менше - ця сума і буде дорівнює числовий частини чисельника протилежної точки. Почнемо знову з π / 6. Додамо до величини знаменника, що дорівнює 6, число, яке на 1 менше цього числа - тобто 5. Отримуємо: 6 + 5 \u003d 11. Значить, протилежна їй щодо осі х точка буде мати в знаменнику 6, а в чисельнику 11 - тобто 11π / 6.
Точка π / 4. Додаємо до величини знаменника число на 1 менше: 4 + 3 \u003d 7. Отже, протилежна їй щодо осі х точка має в знаменнику 4, а в чисельнику 7 - тобто 7π / 4.
Точка π / 3. Знаменник дорівнює 3. Додаємо до 3 на одиницю менше число - тобто 2. Отримуємо 5. Значить, протилежна їй точка має в чисельнику 5 - і це точка 5π / 3.
3) Ще одна закономірність для точок центрів чвертей. Зрозуміло, що їх знаменник дорівнює 4. Звернемо увагу на числители. Чисельник середини першої чверті - це 1π (але 1 не прийнято писати). Чисельник середини другої чверті - це 3π. Чисельник середини третьої чверті - це 5π. Чисельник середини четвертої чверті - це 7π. Виходить, що в чисельнику середин чвертей - чотири перших непарних числа в порядку їх зростання:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Це теж дуже просто. Оскільки середини всіх чвертей мають в знаменнику 4, то ми вже знаємо їх повні імена: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.
Особливості числовий окружності. Порівняння з числової прямої.
Як ви знаєте, на числової прямої кожна точка відповідає єдиному числа. Наприклад, якщо точка А на прямій дорівнює 3, то вона вже не може дорівнювати ніякому іншому числу.
На числової окружності все інакше, оскільки це коло. Наприклад, щоб з точки А окружності прийти до точки M, можна зробити це, як на прямій (тільки пройшовши дугу), а можна і обійти ціле коло, а потім вже прийти до точки M. Висновок:
Нехай точка M дорівнює якомусь числу t. Як ми знаємо, довжина кола дорівнює 2π. Значить, точку кола t ми можемо записати двояко: t або t + 2π. Це рівнозначні величини.
Тобто t \u003d t + 2π. Різниця лише в тому, що в першому випадку ви прийшли до точки M відразу, не роблячи кола, а в другому випадку ви зробили коло, але в підсумку виявилися в тій же точці M. Таких кіл можна зробити і два, і три, і двісті . Якщо позначити кількість кіл буквою n, То отримаємо новий вираз:
t \u003d t + 2π n.
Звідси формула:
