การจำลองเหตุการณ์สุ่ม การเล่นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง วิธีการฟังก์ชันผกผัน เล่นค่าที่เป็นไปได้ห้าค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

คำนิยาม 24.1ตัวเลขสุ่มตั้งชื่อค่าที่เป็นไปได้ รตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง รกระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0; 1)

1. การเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

สมมติว่าเราต้องการเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์นั่นคือรับลำดับของค่าที่เป็นไปได้โดยรู้กฎการกระจาย เอ็กซ์:

เอ็กซ์เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2 … เอ็กซ์เอ็น

ร.ร 1 ร 2 … รพี .

พิจารณาตัวแปรสุ่มที่แจกแจงสม่ำเสมอใน (0, 1) รและหารช่วงเวลา (0, 1) ด้วยจุดที่มีพิกัด ร 1, ร 1 + ร 2 , …, ร 1 + ร 2 +… +รพี-1 เปิด ปช่วงเวลาบางส่วนที่มีความยาวเท่ากับความน่าจะเป็นที่มีดัชนีเดียวกัน

ทฤษฎีบท 24.1หากตัวเลขสุ่มแต่ละตัวที่อยู่ในช่วงนั้นได้รับการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ ค่าที่กำลังเล่นจะมีกฎการแจกแจงที่กำหนด:

เอ็กซ์เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2 … เอ็กซ์เอ็น

ร.ร 1 ร 2 … รพี .

การพิสูจน์.

ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มผลลัพธ์จะตรงกับชุด เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,… เอ็กซ์เอ็นเนื่องจากจำนวนช่วงเท่ากัน ปและเมื่อโดน อาร์เจในช่วงเวลาหนึ่ง ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,… เอ็กซ์เอ็น.

เพราะ รมีการกระจายสม่ำเสมอ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะตกไปในแต่ละช่วงจะเท่ากับความยาว ซึ่งหมายความว่าแต่ละค่าจะสอดคล้องกับความน่าจะเป็น พี ฉัน- ดังนั้นตัวแปรสุ่มที่กำลังเล่นจึงมีกฎการกระจายที่กำหนด

ตัวอย่าง. เล่น 10 ค่าของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์กฎหมายว่าด้วยการจำหน่ายซึ่งมีรูปแบบดังนี้ เอ็กซ์ 2 3 6 8

ร 0,1 0,3 0,5 0,1

สารละลาย. ลองแบ่งช่วงเวลา (0, 1) ออกเป็นช่วงบางส่วน: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 – (0.9; 1) ลองเขียนตัวเลข 10 ตัวจากตารางตัวเลขสุ่ม: 0.09; 0.73; 0.25; 0.33; 0.76; 0.52; 0.01; 0.35; 0.86; 0.34. ตัวเลขตัวแรกและตัวที่เจ็ดอยู่บนช่วง D 1 ดังนั้น ในกรณีนี้ ตัวแปรสุ่มที่เล่นจะใช้ค่า เอ็กซ์ 1 = 2; ตัวเลขที่สาม, สี่, แปดและสิบตกอยู่ในช่วง D 2 ซึ่งสอดคล้องกับ เอ็กซ์ 2 = 3; ตัวเลขที่สอง, ห้า, หกและเก้าอยู่ในช่วงเวลา D 3 - ในกรณีนี้ เอ็กซ์ = x 3 = 6; ไม่มีตัวเลขในช่วงสุดท้าย ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้จึงเกิดขึ้น เอ็กซ์คือ: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3

2. การแสดงเหตุการณ์ตรงกันข้าม

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องเล่นการทดสอบซึ่งในแต่ละเหตุการณ์ กปรากฏขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นที่ทราบ ร- พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์โดยรับค่า 1 (หากเหตุการณ์ กเกิดขึ้น) ด้วยความน่าจะเป็น รและ 0 (ถ้า กไม่เกิดขึ้น) ด้วยความน่าจะเป็น ถาม = 1 – พี- จากนั้นเราจะเล่นตัวแปรสุ่มนี้ตามที่แนะนำในย่อหน้าก่อนหน้า

ตัวอย่าง. เล่น 10 การท้าทาย โดยแต่ละรายการมีกิจกรรม กปรากฏด้วยความน่าจะเป็น 0.3

สารละลาย. สำหรับตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ด้วยกฎแห่งการกระจาย เอ็กซ์ 1 0

ร 0,3 0,7

เราได้รับช่วงเวลา D 1 – (0; 0.3) และ D 2 – (0.3; 1) เราใช้ตัวเลขสุ่มตัวอย่างเดียวกันกับในตัวอย่างก่อนหน้า ซึ่งตัวเลขหมายเลข 1, 3 และ 7 อยู่ในช่วง D 1 และส่วนที่เหลือ - อยู่ในช่วง D 2 ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเหตุการณ์ดังกล่าว กเกิดขึ้นในการทดลองครั้งที่หนึ่ง สาม และเจ็ด แต่ไม่เกิดขึ้นในการทดลองที่เหลือ

3. การเล่นกิจกรรมกลุ่มให้สมบูรณ์

หากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ ก 1 , ก 2 , …, เอพีซึ่งมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ร 1 , ร 2 ,… รพีสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ จากนั้นสำหรับการเล่น (นั่นคือ การสร้างแบบจำลองลำดับการปรากฏตัวของพวกเขาในชุดการทดสอบ) คุณสามารถเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ด้วยกฎการกระจาย เอ็กซ์ 1 2 … พีโดยทำแบบเดียวกับข้อ 1 ขณะเดียวกันเราก็เชื่อเช่นนั้น

ร.ร 1 ร 2 … รพี

ถ้า เอ็กซ์คำนึงถึงคุณค่า x ฉัน = ฉันจากนั้นในการทดสอบนี้เหตุการณ์ก็เกิดขึ้น ฉัน.

4. การเล่นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ก) วิธีการฟังก์ชันผกผัน

สมมติว่าเราต้องการเล่นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เอ็กซ์นั่นคือรับลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x ฉัน (ฉัน = 1, 2, …, n) รู้ฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(x).

ทฤษฎีบท 24.2ถ้า ร ฉันเป็นตัวเลขสุ่ม แล้วจึงเป็นค่าที่เป็นไปได้ x ฉันเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์ด้วยฟังก์ชันการกระจายที่กำหนด เอฟ(x) สอดคล้องกัน ร ฉัน, คือรากของสมการ

เอฟ(x ฉัน) = ร ฉัน. (24.1)

การพิสูจน์.

เพราะ เอฟ(x) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในช่วงเวลาจาก 0 ถึง 1 จากนั้นจะมีค่า (และไม่ซ้ำกัน) ของอาร์กิวเมนต์ x ฉันซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงรับค่า ร ฉัน- ซึ่งหมายความว่าสมการ (24.1) มีคำตอบเฉพาะ: x ฉัน= เอฟ -1 (ร ฉัน), ที่ไหน เอฟ-1 - ฟังก์ชันผกผันกับ เอฟ- ให้เราพิสูจน์ว่ารากของสมการ (24.1) เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่กำลังพิจารณา เอ็กซ์ให้เราสันนิษฐานไว้ก่อนว่า x ฉันคือค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มบางตัว x และเราพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นที่ x ตกอยู่ในช่วง ( ส ดี) เท่ากับ เอฟ(ง) – เอฟ(ค- อันที่จริงเนื่องจากความน่าเบื่อหน่าย เอฟ(x) และนั่น เอฟ(x ฉัน) = ร ฉัน- แล้ว

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ x ตกอยู่ในช่วง ( ซีดี) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการแจกแจง เอฟ(x) ในช่วงเวลานี้ ดังนั้น x = เอ็กซ์.

เล่นค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (5; 8)

เอฟ(x) = นั่นคือจำเป็นต้องแก้สมการ ลองเลือกตัวเลขสุ่ม 3 ตัว: 0.23; 0.09 และ 0.56 แล้วแทนลงในสมการนี้ ลองรับค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกันกัน เอ็กซ์:

b) วิธีการซ้อนทับ

หากฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่กำลังเล่นสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันการแจกแจงสองฟังก์ชันได้:

แล้วตั้งแต่เมื่อไร เอ็กซ์®¥ เอฟ(x) ® 1.

ให้เราแนะนำตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเสริม ซีด้วยกฎแห่งการกระจาย

ซี 12 . ลองเลือกตัวเลขสุ่มอิสระ 2 ตัว ร 1 และ ร 2 และเล่นที่เป็นไปได้

พี ซี 1 ค 2

ความหมาย ซีตามหมายเลข ร 1 (ดูจุดที่ 1) ถ้า ซี= 1 จากนั้นเรามองหาค่าที่เป็นไปได้ที่ต้องการ เอ็กซ์จากสมการ และถ้า ซี= 2 แล้วเราก็แก้สมการ

สามารถพิสูจน์ได้ว่าในกรณีนี้ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่กำลังเล่นจะเท่ากับฟังก์ชันการแจกแจงที่กำหนด

c) การเล่นโดยประมาณของตัวแปรสุ่มปกติ

ตั้งแต่ รกระจายสม่ำเสมอใน (0, 1) แล้วจึงหาผลรวม ปตัวแปรสุ่มอิสระที่กระจายสม่ำเสมอในช่วง (0,1) จากนั้น โดยอาศัยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ตัวแปรสุ่มที่ทำให้เป็นมาตรฐานที่ ป® ¥ จะมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติพร้อมพารามิเตอร์ ก= 0 และ ส =1 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อได้ค่าประมาณที่ค่อนข้างดี ป = 12:

ดังนั้น เพื่อเล่นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มปกติที่ทำให้เป็นมาตรฐาน เอ็กซ์คุณต้องบวกตัวเลขสุ่มอิสระ 12 ตัวแล้วลบ 6 จากผลรวม

วิธีการฟังก์ชันผกผัน

สมมติว่าเราต้องการเล่นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เอ็กซ์นั่นคือรับลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x ฉัน (ฉัน= 1,2, ...) รู้ฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(เอ็กซ์).

ทฤษฎีบท. ถ้า ร ฉัน ,-ตัวเลขสุ่ม แล้วค่าที่เป็นไปได้x ฉัน เล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ด้วยฟังก์ชันการแจกแจงที่กำหนดเอฟ(เอ็กซ์)สอดคล้องกันร ฉัน , คือรากของสมการ

เอฟ(เอ็กซ์ ฉัน)= ร ฉัน . (»)

การพิสูจน์. ให้สุ่มเลือกหมายเลข ร ฉัน (0≤ร ฉัน <1). Так как в интервале всех возможных зна­чений เอ็กซ์ฟังก์ชั่นการกระจาย เอฟ(เอ็กซ์) เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อจาก 0 เป็น 1 จากนั้นในช่วงเวลานี้จะมีค่าอาร์กิวเมนต์เพียงค่าเดียวเท่านั้น เอ็กซ์ ฉัน , ซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงรับค่า ร ฉัน- กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการ (*) มีคำตอบเฉพาะ

เอ็กซ์ ฉัน = เอฟ - 1 (ร ฉัน),

ที่ไหน เอฟ - 1 - ฟังก์ชันผกผัน ย=เอฟ(เอ็กซ์).

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าราก เอ็กซ์ ฉันสมการ (*) คือค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องดังกล่าว (เราจะแสดงแทนชั่วคราวด้วย ξ แล้วเราจะทำให้แน่ใจว่า ξ=เอช- ด้วยเหตุนี้เราจึงพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นในการตี ξ เป็นระยะ เช่น ( กับ,ง), อยู่ในช่วงของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เอ็กซ์เท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการแจกแจง เอฟ(เอ็กซ์) ในช่วงเวลานี้:

ร(กับ< ξ < ง)= เอฟ(ง)- เอฟ(กับ).

แท้จริงแล้วตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา เอฟ(เอ็กซ์)- ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นซ้ำซากในช่วงเวลาของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เอ็กซ์,จากนั้นในช่วงเวลานี้ค่าขนาดใหญ่ของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าขนาดใหญ่ของฟังก์ชันและในทางกลับกัน ดังนั้นหาก กับ <เอ็กซ์ ฉัน < ง, ที่ เอฟ(ค)< ร ฉัน < เอฟ(ง), และในทางกลับกัน [ถือว่าเนื่องจาก (*) เอฟ(เอ็กซ์ ฉัน)=ร ฉัน ].

จากความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้จึงตามมาว่าหากเป็นตัวแปรสุ่ม ξ ที่มีอยู่ในช่วงเวลา

กับ< ξ < ง, ξ (**)

แล้วตัวแปรสุ่ม รที่มีอยู่ในช่วงเวลา

เอฟ(กับ)< ร< เอฟ(ง), (***)

และกลับมา ดังนั้น อสมการ (**) และ (***) จึงเท่ากัน ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกัน:

ร(กับ< ξ< ง)=พ[เอฟ(กับ)< ร< เอฟ(ง)]. (****)

เนื่องจากมีความคุ้มค่า รมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0,1) จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะชน รในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งที่เป็นของช่วง (0,1) เท่ากับความยาวของมัน (ดูบทที่ XI, § 6, หมายเหตุ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

ร[เอฟ(กับ)< ร< เอฟ(ง) ] = เอฟ(ง) - เอฟ(กับ).

ดังนั้นความสัมพันธ์ (****) สามารถเขียนได้ในรูป

ร(กับ< ξ< ง)= เอฟ(ง) - เอฟ(กับ).

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชน ξ ในช่วงเวลา ( กับ,ง) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการแจกแจง เอฟ(เอ็กซ์) ในช่วงเวลานี้ ซึ่งหมายความว่า ξ=X.กล่าวอีกนัยหนึ่งคือตัวเลข เอ็กซ์ ฉันกำหนดโดยสูตร (*) คือค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณ เอ็กซ์ สกำหนดฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(เอ็กซ์), Q.E.D.

กฎข้อที่ 1เอ็กซ์ ฉัน , ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,รู้จักฟังก์ชันการกระจายตัวของมัน เอฟ(เอ็กซ์), คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่ม ร ฉันเทียบฟังก์ชันการกระจายของมันแล้วแก้หา เอ็กซ์ ฉัน , สมการผลลัพธ์

เอฟ(เอ็กซ์ ฉัน)= ร ฉัน .

หมายเหตุ 1. หากไม่สามารถแก้สมการนี้ได้อย่างชัดเจน ให้หันไปใช้วิธีกราฟิกหรือตัวเลข

ตัวอย่างที่ 1เล่นค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (2, 10)

สารละลาย. ให้เราเขียนฟังก์ชันการกระจายของปริมาณ เอ็กซ์,กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา ( เอ,ข) (ดูบทที่ XI § 3 ตัวอย่าง):

เอฟ(เอ็กซ์)= (ฮา)/ (ข-ก).

ตามเงื่อนไข ก = 2, ข=10 ดังนั้น

เอฟ(เอ็กซ์)= (เอ็กซ์- 2)/ 8.

โดยใช้กฎของย่อหน้านี้ เราจะเขียนสมการเพื่อค้นหาค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์ ฉัน , ซึ่งเราถือเอาฟังก์ชันการแจกแจงเป็นตัวเลขสุ่ม:

(เอ็กซ์ ฉัน -2 )/8= ร ฉัน .

จากที่นี่ เอ็กซ์ ฉัน =8 ร ฉัน + 2.

ลองเลือกตัวเลขสุ่ม 3 ตัว เช่น ร ฉัน =0,11, ร ฉัน =0,17, ร ฉัน=0.66. ลองแทนตัวเลขเหล่านี้ลงในสมการที่แก้ได้ด้วยความเคารพ เอ็กซ์ ฉัน , เป็นผลให้เราได้รับค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกัน เอ็กซ์: เอ็กซ์ 1 =8·0.11+2==2.88; เอ็กซ์ 2 =1.36; เอ็กซ์ 3 = 7,28.

ตัวอย่างที่ 2ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กระจายตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง (ทราบพารามิเตอร์ แล > 0)

เอฟ(เอ็กซ์)= 1 - จ - λ เอ็กซ์ (x>0).

เราจำเป็นต้องค้นหาสูตรที่ชัดเจนเพื่อแสดงค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์

สารละลาย. ใช้กฎของย่อหน้านี้ เราเขียนสมการ

1 - จ - λ เอ็กซ์ ฉัน

ลองแก้สมการนี้เพื่อหา เอ็กซ์ ฉัน :

จ - λ เอ็กซ์ ฉัน = 1 - ร ฉัน, หรือ - λ เอ็กซ์ ฉัน = ln(1 - ร ฉัน).

เอ็กซ์ ฉัน =1น(1– ร ฉัน)/λ .

ตัวเลขสุ่ม ร ฉันปิดล้อมในช่วงเวลา (0,1); ดังนั้นหมายเลข 1 จึงเป็น ร ฉันยังเป็นแบบสุ่มและอยู่ในช่วงเวลา (0,1) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือปริมาณ รและ 1 - รกระจายเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงต้องหา. เอ็กซ์ ฉันคุณสามารถใช้สูตรที่ง่ายกว่า:

x ฉัน =- ln ร ฉัน /λ.

หมายเหตุ 2. เป็นที่รู้กันว่า (ดูบทที่ XI, §3)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

ตามมาว่าหากทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x) จากนั้นสำหรับการเล่น เอ็กซ์มันเป็นไปได้แทนที่จะเป็นสมการ เอฟ(x ฉัน)=ร ฉันตัดสินใจเกี่ยวกับ x ฉันสมการ

กฎข้อที่ 2เพื่อหาค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์ ฉัน (ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,ทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x) คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่ม ร ฉันและตัดสินใจเกี่ยวกับ เอ็กซ์ ฉัน , สมการ

หรือสมการ

ที่ไหน เอ-ค่าสุดท้ายที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ เอ็กซ์

ตัวอย่างที่ 3ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องจะได้รับ เอ็กซ์ฉ(เอ็กซ์)=λ (1-เลห์/2) ในช่วงเวลา (0; 2/λ); นอกช่วงเวลานี้ ฉ(เอ็กซ์)= 0. เราจำเป็นต้องค้นหาสูตรที่ชัดเจนเพื่อแสดงค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์

สารละลาย. ตามกฎข้อ 2 ให้เราเขียนสมการ

หลังจากทำการอินทิเกรตและแก้สมการกำลังสองที่ได้ผลลัพธ์แล้ว เอ็กซ์ ฉันในที่สุดเราก็ได้

ให้เราระลึกไว้ก่อนว่าหากเป็นตัวแปรสุ่ม รมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง (0,1) ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนจะเท่ากันตามลำดับ (ดูบทที่ 12, § 1, หมายเหตุ 3):

ม(ร)= 1/2, (*)

ดี(ร)= 1/2. (**)

มาทำผลรวมกันเถอะ ปตัวแปรสุ่มอิสระกระจายสม่ำเสมอในช่วง (0,1) อาร์ เจ(เจ=1, 2, ...,n):

เพื่อทำให้ผลรวมนี้เป็นปกติ ก่อนอื่นเราจะหาความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของมันก่อน

เป็นที่ทราบกันดีว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มนั้นเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข จำนวน (***) ประกอบด้วย ปเงื่อนไข ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของแต่ละรายการเนื่องจาก (*) เท่ากับ 1/2 ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวม ( *** )

เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของเงื่อนไข จำนวน (***) ประกอบด้วย nเงื่อนไขอิสระ การกระจายตัวของแต่ละรายการเนื่องจาก (**) เท่ากับ 1/12 ดังนั้นความแปรปรวนของผลรวม (***)

ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวม (***)

ให้เราทำให้จำนวนเงินที่พิจารณาเป็นปกติ โดยเราจะลบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และหารผลลัพธ์ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

โดยอาศัยทฤษฎีบทขีด จำกัด จุดศูนย์กลางที่ พี→∞การแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ทำให้เป็นมาตรฐานนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นปกติด้วยพารามิเตอร์ ก= 0 และ σ=1 ในที่สุด ปการกระจายตัวก็ประมาณปกติ โดยเฉพาะเมื่อ ป= 12 เราได้ค่าประมาณที่ค่อนข้างดีและสะดวกสำหรับการคำนวณ

กฎ.เพื่อเล่นค่าที่เป็นไปได้ x ฉันตัวแปรสุ่มปกติ เอ็กซ์ด้วยพารามิเตอร์ a=0 และ σ=1 คุณจะต้องเพิ่มตัวเลขสุ่มอิสระ 12 ตัวและลบ 6 จากผลรวมผลลัพธ์:

ตัวอย่าง,ก) เล่นค่าที่เป็นไปได้ 100 ค่าของค่าปกติ เอ็กซ์ด้วยพารามิเตอร์ a=0 และ σ=1; b) ประมาณค่าพารามิเตอร์ของมูลค่าที่เล่น

สารละลาย. ก) เลือกตัวเลขสุ่ม 12 ตัวจากแถวแรกของตาราง *) เพิ่มแล้วลบ 6 จากผลรวมผลลัพธ์ ในที่สุดเราก็มี

x ฉัน=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.

ในทำนองเดียวกัน เมื่อเลือกตัวเลข 12 ตัวแรกจากแต่ละแถวถัดไปของตาราง เราก็จะพบค่าที่เป็นไปได้ที่เหลืออยู่ เอ็กซ์

b) หลังจากทำการคำนวณแล้ว เราจะได้ค่าประมาณที่ต้องการ:

การให้คะแนนที่น่าพอใจ: เอ*ใกล้ศูนย์ σ* แตกต่างจากความสามัคคีเพียงเล็กน้อย

ความคิดเห็น หากคุณต้องการเล่นให้คุ้มค่าที่สุด ฉัน, ตัวแปรสุ่มปกติ ซีด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ จากนั้นเมื่อเล่นตามกฎของย่อหน้านี้แล้วจะได้มูลค่าที่เป็นไปได้ ซีค้นหาค่าที่เป็นไปได้ที่ต้องการโดยใช้สูตร

z ฉัน =σx ฉัน +a

สูตรนี้ได้มาจากความสัมพันธ์ ( ซี ฉัน -ก)/σ=x ผม.

งาน

1. เล่น 6 ค่าของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์,กฎการกระจายซึ่งกำหนดไว้ในรูปแบบของตาราง

บันทึก. เพื่อให้แน่ใจ สมมติว่าเลือกตัวเลขสุ่ม: 0.73; 0.75; 0.54; 0.08; 0.28; 0.53. ตัวแทน 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. เล่นการทดลอง 4 ครั้ง โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กเท่ากับ 0.52

บันทึก. เพื่อให้แน่ใจ สมมติว่าเลือกตัวเลขสุ่ม: 0;28; 0.53; 0.91; 0.89.

ตัวแทน เอ, , .

3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์จะได้รับ: ร(ก 1)=0,20, ร(ก 2)=0,32, ร(เอ 3)= 0,48. เล่น 6 การท้าทาย โดยแต่ละกิจกรรมจะมีกิจกรรมหนึ่งปรากฏขึ้น

บันทึก. เพื่อให้แน่ใจ สมมติว่าเลือกตัวเลขสุ่ม: 0.77; 0.19; 0.21; 0.51; 0.99; 0.33.

ตัวแทน เอ 3,ก 1 ,ก 2 ,ก 2 ,เอ 3,ก 2 .

4. กิจกรรม เอ และ บีเป็นอิสระและร่วมมือกัน เล่น 5 การท้าทาย โดยแต่ละรายการมีความน่าจะเป็นที่จะมีเหตุการณ์เกิดขึ้น กมีค่าเท่ากับ 0.5 และเหตุการณ์ต่างๆ ใน- 0,8.

ก 1 =เอบีเพื่อความแน่นอนให้สุ่มตัวเลข: 0.34; 0.41; 0.48; 0.21; 0.57.

ตัวแทน ก 1 ,ก 2 ,ก 2 ,ก 1 ,เอ 3.

5. กิจกรรม ก, บี, ซีเป็นอิสระและร่วมมือกัน เล่นการทดสอบ 4 รายการ โดยแต่ละการทดสอบมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น: ร(ก)= 0,4, ร(ใน)= 0,6, ร(กับ)= 0,5.

บันทึก. เขียนกลุ่มเหตุการณ์ให้ครบถ้วน: เพื่อความมั่นใจ สมมติว่าเลือกตัวเลขสุ่ม: 0.075; 0.907; 0.401; 0.344.

ตอบ ก 1 ,เอ 8,เอ 4,เอ 4.

6. กิจกรรม กและ ในขึ้นอยู่กับและให้ความร่วมมือ เล่นการทดสอบ 4 รายการ ซึ่งแต่ละรายการมีความน่าจะเป็น: ร(ก)=0,7, ร(ใน)=0,6, ร(เอบี)=0,4.

บันทึก. สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์: ก 1 =เอบีเพื่อความแน่นอนให้สุ่มตัวเลข: 0.28; 0.53; 0.91; 0.89.

ตัวแทน ก 1 , ก 2 , ก 4 , 3 .

7. เล่นค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,ซึ่งกระจายตามกฎเลขชี้กำลังและระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง เอฟ(เอ็กซ์)= 1 - อี -10 x .

บันทึก. เพื่อความชัดเจน สมมติว่าเลือกตัวเลขสุ่ม: 0.67; 0.79; 0.91.

ตัวแทน 0,04; 0,02; 0,009.

8. เล่นค่าที่เป็นไปได้ 4 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,กระจายสม่ำเสมอในช่วง (6,14)

บันทึก. เพื่อความชัดเจน สมมติว่าเลือกตัวเลขสุ่ม: 0.11: 0.04; 0.61; 0.93.

ตัวแทน 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. ค้นหาสูตรที่ชัดเจนสำหรับการเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องโดยใช้วิธีการซ้อน เอ็กซ์,กำหนดฟังก์ชันการกระจาย

เอฟ(x)=1- (1/3)(2е- 2 x +е -3 x:), 0<เอ็กซ์<∞.

ตัวแทน x= - (1/2)1ป 2 ถ้า ร 1 < 2/3; เอ็กซ์= - (1/3)1ป 2 ถ้า ร 1 ≥2/3.

10. ค้นหาสูตรที่ชัดเจนในการเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์,เมื่อพิจารณาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(เอ็กซ์)=ข/(1 +ขวาน) 2 ในช่วง 0≤ x≤1/(บี-เอ); นอกช่วงเวลานี้ f(x)=0

ตัวแทน x ฉัน= - ร ฉัน/(ข - ฉัน).

11. เล่น 2 ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มปกติด้วยพารามิเตอร์: ก) ก=0, σ =1; ข) ก =2, σ =3.

บันทึก. เพื่อความแน่นอนให้ยอมรับตัวเลขสุ่ม (จำนวนหนึ่งในร้อยระบุไว้ด้านล่าง เช่น หมายเลข 74 ตรงกับตัวเลขสุ่ม ร 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.

ตัวแทนก) x 1 = - 0,22, x 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.

บทที่ยี่สิบสอง

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เช่น รับลำดับของค่าที่เป็นไปได้ (i=1, 2, ..., n) โดยรู้ฟังก์ชันการแจกแจง F(x)

ทฤษฎีบท. ถ้า เป็นตัวเลขสุ่ม ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่เล่น X พร้อมด้วยฟังก์ชันการแจกแจงที่กำหนด F (x) ซึ่งสอดคล้องกับ คือรากของสมการ

กฎข้อที่ 1 เพื่อหาค่าที่เป็นไปได้ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เมื่อทราบฟังก์ชันการแจกแจง F (x) คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่ม เท่ากับฟังก์ชันการแจกแจงและแก้สมการผลลัพธ์ .

หมายเหตุ 1. หากไม่สามารถแก้สมการนี้ได้อย่างชัดเจน ให้หันไปใช้วิธีกราฟิกหรือตัวเลข

ตัวอย่างที่ 1 เล่นค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X โดยกระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (2, 10)

วิธีแก้ปัญหา: ลองเขียนฟังก์ชันการกระจายของค่า X โดยกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (a, b): .

ตามเงื่อนไข a=2,b=10 ดังนั้น .

เมื่อใช้กฎข้อ 1 เราจะเขียนสมการเพื่อค้นหาค่าที่เป็นไปได้ โดยเราจัดฟังก์ชันการแจกแจงให้เป็นตัวเลขสุ่ม:

จากที่นี่ .

ลองเลือกตัวเลขสุ่ม 3 ตัว เช่น - ลองแทนตัวเลขเหล่านี้ลงในสมการที่แก้ได้ด้วยความเคารพ ; เป็นผลให้เราได้รับค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกันของ X: ; - -

ตัวอย่างที่ 2 ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ได้รับการแจกแจงตามกฎเลขชี้กำลังที่ระบุโดยฟังก์ชันการแจกแจง (ทราบพารามิเตอร์แล้ว) (x > 0) เราจำเป็นต้องค้นหาสูตรที่ชัดเจนในการเล่นค่าที่เป็นไปได้ของ X

วิธีแก้ไข: เราเขียนสมการโดยใช้กฎ

ลองแก้สมการนี้เพื่อหา: หรือ

ตัวเลขสุ่มจะอยู่ในช่วงเวลา (0, 1) ดังนั้นตัวเลขจึงเป็นตัวเลขสุ่มและอยู่ในช่วง (0,1) กล่าวอีกนัยหนึ่งค่าของ R และ 1-R มีการกระจายเท่ากัน ดังนั้นหากต้องการค้นหาคุณสามารถใช้สูตรที่ง่ายกว่าได้

โน้ต 2.เป็นที่ทราบกันว่า.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, .

ตามมาว่าหากทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น หากต้องการเล่น X แทนที่จะเป็นสมการ เราสามารถแก้สมการได้

กฎข้อที่ 2 เพื่อที่จะค้นหาค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X โดยทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น จำเป็นต้องเลือกตัวเลขสุ่มและแก้สมการหรือสมการ โดยที่ a คือค่าสุดท้ายที่เป็นไปได้น้อยที่สุดของ X

ตัวอย่างที่ 3 ให้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ในช่วงเวลาที่กำหนด นอกช่วงเวลานี้ เราจำเป็นต้องค้นหาสูตรที่ชัดเจนในการเล่นค่าที่เป็นไปได้ของ X

วิธีแก้: มาเขียนสมการตามกฎข้อ 2 กัน

หลังจากทำการอินทิเกรตและแก้สมการกำลังสองที่ได้ผลลัพธ์แล้ว ในที่สุดเราก็จะได้มันมา

18.7 การเล่นโดยประมาณของตัวแปรสุ่มปกติ

ก่อนอื่นให้เราระลึกไว้ว่าหากตัวแปรสุ่ม R มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง (0, 1) ดังนั้นค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์จะเท่ากันตามลำดับ: M(R)=1/2, D(R)=1/12

ลองรวบรวมผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระที่กระจายสม่ำเสมอ n ตัวในช่วงเวลา (0, 1):

เพื่อทำให้ผลรวมนี้เป็นปกติ ก่อนอื่นเราจะหาความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของมันก่อน

เป็นที่ทราบกันดีว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มนั้นเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข ผลรวมมีคำศัพท์ n คำ ซึ่งเป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคำศัพท์แต่ละคำ โดยที่ M(R) = 1/2 มีค่าเท่ากับ 1/2 ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวม

เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของเงื่อนไข ผลรวมมีพจน์อิสระ n คำ ความแปรปรวนของพจน์แต่ละพจน์เนื่องจาก D(R) = 1/12 เท่ากับ 1/12 ดังนั้นความแปรปรวนของผลรวม

ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวม

ให้เราทำให้จำนวนเงินที่พิจารณาเป็นปกติซึ่งเราจะลบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และหารผลลัพธ์ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: .

โดยอาศัยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง การแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ทำให้เป็นมาตรฐานนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นปกติโดยมีพารามิเตอร์ a = 0 และ สำหรับไฟไนต์ n การแจกแจงจะอยู่ที่ประมาณปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ n=12 เราได้ค่าประมาณที่ค่อนข้างดีและสะดวกสำหรับการคำนวณ

การประมาณการเป็นที่น่าพอใจ: ใกล้กับศูนย์ แตกต่างจากค่าหนึ่งเล็กน้อย

รายชื่อแหล่งที่มาที่ใช้

1. กรัมเมอร์มาน วี.อี. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ – ม.: มัธยมปลาย, 2544.

2. Kalinina V.N. , Pankin V.F. สถิติทางคณิตศาสตร์ – ม.: มัธยมปลาย, 2544.

3. กรัมเมอร์มาน วี.อี. คู่มือการแก้ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ – ม.: มัธยมปลาย, 2544.

4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ – ม.:ฟอรั่ม:INFRA-M, 2003.

5. อากาปอฟ จี.ไอ. หนังสือปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น – ม.: มัธยมปลาย, 2537.

6. Kolemaev V.A., Kalinina V.N. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ – อ.: INFRA-M, 2001.

7. เวนเซล อี.เอส. ทฤษฎีความน่าจะเป็น – ม.: มัธยมปลาย, 2544.

ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

โพสต์เมื่อ http://www.allbest.ru/

บทที่ 1

การจำลองเหตุการณ์สุ่มด้วยกฎการกระจายที่กำหนด

การเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ปล่อยให้จำเป็นต้องเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเช่น รับลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x i (i = 1,2,3,...n) รู้กฎการกระจายของ X:

ให้เราแสดงด้วย R ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ค่าของ R มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง (0,1) โดย r j (j = 1,2,...) เราแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม R ให้เราหารช่วงเวลา 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

จากนั้นเราจะได้รับ:

จะเห็นได้ว่าความยาวของช่วงบางส่วนที่มีดัชนี i เท่ากับความน่าจะเป็น P ที่มีดัชนีเดียวกัน ความยาว

ดังนั้น เมื่อตัวเลขสุ่ม r i ตกอยู่ในช่วงเวลา ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่า x i ด้วยความน่าจะเป็น P i

มีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้:

หากตัวเลขสุ่มแต่ละตัวที่อยู่ในช่วงนั้นสัมพันธ์กับค่าที่เป็นไปได้ x i ค่าที่กำลังเล่นจะมีกฎการแจกแจงที่กำหนด

อัลกอริธึมสำหรับการเล่นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่ระบุโดยกฎการกระจาย

1. จำเป็นต้องแบ่งช่วงเวลา (0,1) ของแกน 0r ออกเป็น n ช่วงบางส่วน:

2. เลือก (เช่น จากตารางตัวเลขสุ่มหรือบนคอมพิวเตอร์) ตัวเลขสุ่ม r j

หาก r j ตกอยู่ในช่วงเวลา ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำลังเล่นจะใช้ค่าที่เป็นไปได้ x i

การเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X เช่น รับลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x i (i = 1,2,...) ในกรณีนี้ ทราบฟังก์ชันการแจกแจง F(X)

มีอยู่ ต่อไป ทฤษฎีบท.

ถ้า r i เป็นตัวเลขสุ่ม ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ x i ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่เล่น X โดยมีฟังก์ชันการแจกแจงที่รู้จัก F(X) ที่สอดคล้องกับ r i คือรากของสมการ

อัลกอริทึมสำหรับการเล่นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง:

1. คุณต้องเลือกตัวเลขสุ่ม r i .

2. เปรียบเทียบจำนวนสุ่มที่เลือกกับฟังก์ชันการแจกแจงที่ทราบ F(X) แล้วรับสมการ

3. แก้สมการนี้ของ x i ค่าผลลัพธ์ x i จะสอดคล้องกับตัวเลขสุ่ม r i พร้อมกัน และกฎหมายการกระจายที่กำหนด F(X)

ตัวอย่าง. เล่นค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่าของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X โดยกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (2; 10)

ฟังก์ชันการกระจายของค่า X มีรูปแบบดังนี้:

ตามเงื่อนไข a = 2, b = 10 ดังนั้น

ตามอัลกอริธึมสำหรับการเล่นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เราจะเทียบ F(X) กับตัวเลขสุ่มที่เลือก r i .. เราได้จากที่นี่:

แทนตัวเลขเหล่านี้เป็นสมการ (5.3) เราได้ค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกันของ x:

ปัญหาการสร้างแบบจำลองเหตุการณ์สุ่มด้วยกฎการกระจายที่กำหนด

1. จะต้องเล่น 10 ค่าของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น รับลำดับของค่าที่เป็นไปได้ x i (i=1,2,3,…n) รู้กฎการกระจาย X

มาเลือกตัวเลขสุ่ม r j จากตารางตัวเลขสุ่ม: 0.10; 0.12; 0.37; 0.09; 0.65; 0.66; 0.99; 0.19; 0.88; 0.59; 0.78

2. ความถี่ในการรับคำขอใช้บริการอยู่ภายใต้กฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (), x, พารามิเตอร์ l เป็นที่รู้จัก (ต่อไปนี้คือ l = 1/t - ความเข้มของการรับคำขอ)

l=0.5 คำขอ/ชั่วโมง กำหนดลำดับของค่าตามระยะเวลาระหว่างการรับใบสมัคร จำนวนการใช้งานคือ 5 หมายเลข r j: 0.10; 0.12; 0.37; 0.09; 0.65; 0.99;

บทเรียนที่ 2

ระบบคิว

ระบบซึ่งในอีกด้านหนึ่ง มีการร้องขอจำนวนมากสำหรับประสิทธิภาพของบริการทุกประเภท และในทางกลับกัน คำขอเหล่านี้ได้รับการตอบสนอง เรียกว่าระบบคิว QS ใด ๆ ทำหน้าที่ตอบสนองการไหลของคำขอ

QS ประกอบด้วย: แหล่งที่มาของคำขอ กระแสขาเข้า คิว อุปกรณ์ที่ให้บริการ กระแสคำขอขาออก

SMO แบ่งออกเป็น:

QS ที่มีการสูญเสีย (ล้มเหลว)

ต่อคิวด้วยการรอ (ไม่จำกัดความยาวคิว)

QS ที่มีความยาวคิวจำกัด

QS ที่มีระยะเวลารอคอยที่จำกัด

ขึ้นอยู่กับจำนวนช่องสัญญาณหรืออุปกรณ์บริการ ระบบ QS อาจเป็นช่องสัญญาณเดียวหรือหลายช่องสัญญาณก็ได้

ตามที่ตั้งของแหล่งที่มาของข้อกำหนด: เปิดและปิด

ตามจำนวนองค์ประกอบบริการต่อความต้องการ: เฟสเดียวและหลายเฟส

รูปแบบหนึ่งของการจำแนกประเภทคือการจำแนกประเภท D. Kendall - A/B/X/Y/Z

เอ - กำหนดการกระจายเวลาระหว่างการมาถึง

B - กำหนดการกระจายเวลาการบริการ

X - กำหนดจำนวนช่องทางการให้บริการ

Y - กำหนดความจุของระบบ (ความยาวของคิว)

Z - กำหนดลำดับการบริการ

เมื่อความจุของระบบไม่มีที่สิ้นสุดและคิวการบริการเป็นไปตามหลักการมาก่อนได้ก่อน ส่วน Y/Z จะถูกละเว้น ตัวเลขตัวแรก (A) ใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้:

การแจกแจงแบบ M มีกฎเลขชี้กำลัง

G- ไม่มีข้อสันนิษฐานใด ๆ เกี่ยวกับกระบวนการให้บริการหรือระบุด้วยสัญลักษณ์ GI ซึ่งหมายถึงกระบวนการบริการที่เกิดซ้ำ

D- กำหนด (เวลาบริการคงที่)

E n - Erlang ลำดับที่ n

NM n - ลำดับที่ n ของ Hyper-Erlang

หลักที่สอง (B) ใช้สัญลักษณ์เดียวกัน

ตัวเลขตัวที่สี่ (Y) แสดงความจุบัฟเฟอร์ เช่น จำนวนสถานที่สูงสุดในคิว

ตัวเลขตัวที่ห้า (Z) ระบุวิธีการเลือกจากคิวในระบบการรอ: ความน่าจะเป็นเท่ากับ SP, FF-เข้าก่อน-ออกก่อน, LF-เข้าก่อน-ออกก่อน, PR-priority

สำหรับงาน:

l คือจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ได้รับต่อหน่วยเวลา

µ - จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ให้บริการต่อหน่วยเวลา

ปัจจัยโหลดแชนเนล 1 หรือเปอร์เซ็นต์ของเวลาที่แชนเนลไม่ว่าง

ลักษณะสำคัญ:

1) P ปฏิเสธ - ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว - ความน่าจะเป็นที่ระบบจะปฏิเสธการให้บริการและข้อกำหนดหายไป สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อช่องหรือทุกช่องไม่ว่าง (TFoP)

สำหรับ QS P แบบหลายช่องสัญญาณ เปิด =P n โดยที่ n คือจำนวนช่องสัญญาณบริการ

สำหรับ QS ที่มีความยาวคิวจำกัด P open =P n + l โดยที่ l คือความยาวคิวที่อนุญาต

2) ความจุของระบบ q สัมพัทธ์และ A สัมบูรณ์

q= 1-P เปิด A=ql

3) จำนวนความต้องการทั้งหมดในระบบ

L sys = n - สำหรับ SMO ด้วยความล้มเหลว, n คือจำนวนช่องสัญญาณที่ใช้งานโดยการให้บริการ

สำหรับ QS ที่มีการรอและจำกัดความยาวคิว

L sys = n+L คูล

โดยที่ L cool คือจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่รอให้บริการเริ่มต้น เป็นต้น

เราจะพิจารณาคุณลักษณะที่เหลือในขณะที่เราแก้ไขปัญหา

ระบบคิวแบบช่องเดียวและหลายช่อง ระบบที่มีความล้มเหลว

โมเดลช่องทางเดียวที่ง่ายที่สุดที่มีโฟลว์อินพุตที่น่าจะเป็นและขั้นตอนการบริการคือโมเดลที่มีคุณลักษณะเฉพาะด้วยการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลของทั้งระยะเวลาของช่วงเวลาระหว่างการรับข้อกำหนดและระยะเวลาการบริการ ในกรณีนี้ความหนาแน่นของการกระจายของระยะเวลาระหว่างการรับคำขอจะมีรูปแบบ

ความหนาแน่นของการกระจายระยะเวลาการให้บริการ:

กระแสคำขอและบริการทำได้ง่าย ปล่อยให้ระบบทำงานผิดพลาด QS ประเภทนี้สามารถใช้ได้เมื่อสร้างแบบจำลองช่องสัญญาณส่งสัญญาณในเครือข่ายท้องถิ่น มีความจำเป็นต้องกำหนดปริมาณงานสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ของระบบ ลองจินตนาการถึงระบบการเข้าคิวนี้ในรูปของกราฟ (รูปที่ 2) ซึ่งมี 2 สถานะ:

S 0 - ช่องว่าง (รอ);

S 1 - ช่องไม่ว่าง (กำลังให้บริการคำขอ)

รูปที่ 2 กราฟสถานะของ QS ช่องทางเดียวที่มีความล้มเหลว

ให้เราแสดงถึงความน่าจะเป็นของรัฐ: P 0 (t) - ความน่าจะเป็นของสถานะ "ไร้ช่อง"; P 1 (t) - ความน่าจะเป็นของสถานะ "ช่องไม่ว่าง" เรารวบรวมระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของโคลโมโกรอฟสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐโดยใช้กราฟสถานะที่มีป้ายกำกับ:

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นมีวิธีแก้โดยคำนึงถึงเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน P 0 (t) + P 1 (t) = 1 วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้เรียกว่าไม่คงที่ เนื่องจากขึ้นอยู่กับ t โดยตรงและมีลักษณะดังนี้:

หน้า 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าสำหรับ QS ช่องทางเดียวที่มีความล้มเหลว ความน่าจะเป็น P 0 (t) นั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าความจุสัมพัทธ์ของระบบ q อันที่จริง P 0 คือความน่าจะเป็นที่ ณ เวลา t ช่องนั้นว่างและคำขอที่มาถึง ณ เวลา t จะได้รับบริการ ดังนั้นในช่วงเวลาที่กำหนด t อัตราส่วนเฉลี่ยของจำนวนคำขอที่ให้บริการต่อจำนวนที่ได้รับ ก็เท่ากับ P 0 (t) เช่น q = P 0 (t)

หลังจากช่วงเวลาหนึ่ง (at) เป็นเวลานาน โหมดหยุดนิ่ง (คงที่) จะเกิดขึ้น:

เมื่อทราบปริมาณงานสัมพัทธ์แล้ว จึงสามารถค้นหาค่าสัมบูรณ์ได้โดยง่าย ปริมาณงานสัมบูรณ์ (A) คือจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ระบบคิวสามารถให้บริการได้ต่อหน่วยเวลา:

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธที่จะให้บริการตามคำขอจะเท่ากับความน่าจะเป็นของสถานะ "ช่องไม่ว่าง":

ค่าของ P open นี้สามารถตีความได้ว่าเป็นส่วนแบ่งเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ไม่ได้รับบริการในบรรดาแอปพลิเคชันที่ส่งมา

ในกรณีส่วนใหญ่ ในทางปฏิบัติ ระบบคิวเป็นแบบหลายช่องทาง ดังนั้น โมเดลที่มี n ช่องทางการให้บริการ (โดยที่ n>1) จึงเป็นที่สนใจอย่างไม่ต้องสงสัย กระบวนการจัดคิวที่อธิบายโดยโมเดลนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยความเข้มข้นของโฟลว์อินพุต l ในขณะที่สามารถให้บริการไคลเอ็นต์ (แอปพลิเคชัน) ได้ไม่เกิน n รายการพร้อมกัน ระยะเวลาเฉลี่ยในการให้บริการหนึ่งคำขอคือ 1/m กระแสอินพุตและเอาต์พุตเป็นแบบปัวซอง โหมดการทำงานของช่องให้บริการเฉพาะไม่ส่งผลต่อโหมดการทำงานของช่องบริการอื่น ๆ ของระบบ และระยะเวลาของขั้นตอนการให้บริการสำหรับแต่ละช่องเป็นตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล เป้าหมายสูงสุดของการใช้ช่องทางบริการที่เชื่อมต่อแบบขนานคือการเพิ่ม (เมื่อเปรียบเทียบกับระบบช่องทางเดียว) ความเร็วในการให้บริการโดยการให้บริการลูกค้า n รายพร้อมกัน กราฟสถานะของระบบคิวแบบหลายช่องสัญญาณที่มีความล้มเหลวมีรูปแบบแสดงในรูปที่ 4

รูปที่ 4 กราฟสถานะของ QS แบบหลายช่องสัญญาณที่มีความล้มเหลว

S 0 - ทุกช่องฟรี

S 1 - ใช้งานช่องเดียวส่วนที่เหลือว่าง

S k - ช่อง k ถูกครอบครองส่วนที่เหลือเป็นอิสระ

S n - ช่องทั้งหมด n ถูกครอบครองส่วนที่เหลือเป็นอิสระ

สมการของโคลโมโกรอฟสำหรับความน่าจะเป็นของสถานะระบบ P 0 , ... , P k , ... P n จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

เงื่อนไขเริ่มต้นในการแก้ปัญหาระบบคือ:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0

วิธีแก้ปัญหาแบบคงที่ของระบบมีรูปแบบ:

สูตรคำนวณความน่าจะเป็น P k (3.5.1) เรียกว่าสูตร Erlang

ให้เราพิจารณาลักษณะความน่าจะเป็นของการทำงานของ QS หลายช่องทางที่มีความล้มเหลวในโหมดคงที่:

1) ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว:

เนื่องจากการร้องขอจะถูกปฏิเสธหากมาถึงในเวลาที่ทั้ง n ช่องไม่ว่าง ค่า P open แสดงถึงความสมบูรณ์ของการให้บริการโฟลว์ขาเข้า

2) ความน่าจะเป็นที่คำขอจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ (ซึ่งเป็นความสามารถสัมพัทธ์ของระบบ q) ส่วนเสริม P เปิดเป็นหนึ่ง:

3) ปริมาณงานที่แน่นอน

4) จำนวนช่องสัญญาณโดยเฉลี่ยที่ถูกครอบครองโดยบริการ () มีดังนี้:

ค่านี้แสดงถึงระดับการโหลดของ QS

งานสำหรับบทเรียนที่ 2

1. สาขาการสื่อสารที่มีหนึ่งช่องทางได้รับโฟลว์ข้อความที่ง่ายที่สุดโดยมีความเข้มข้น l = 0.08 ข้อความต่อวินาที เวลาในการส่งสัญญาณจะกระจายตามกฎหมาย exp การให้บริการข้อความเดียวเกิดขึ้นที่ความเข้มข้น µ=0.1 ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ช่องทางการให้บริการไม่ว่างในการส่งข้อความที่ได้รับก่อนหน้านี้ได้รับความล้มเหลวในการส่ง

คอฟฟ์. โหลดช่องสัมพัทธ์ (ความน่าจะเป็นของการใช้ช่อง)

P ปฏิเสธความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้รับข้อความ

ความจุสัมพัทธ์ Q ของสาขาปล้อง

และปริมาณงานสัมบูรณ์ของสาขาการสื่อสาร

2. สาขาสื่อสารมี 1 ช่องทางและรับข้อความทุกๆ 10 วินาที เวลาให้บริการสำหรับหนึ่งข้อความคือ 5 วินาที เวลาในการส่งข้อความจะถูกกระจายตามกฎเลขชี้กำลัง ข้อความที่มาถึงในขณะที่ช่องไม่ว่างจะถูกปฏิเสธการให้บริการ

กำหนด

Rzan - ความน่าจะเป็นของการใช้ช่องทางการสื่อสาร (ปัจจัยโหลดสัมพันธ์)

Q - ปริมาณงานสัมพัทธ์

เอ - ความสามารถสัมบูรณ์ของสาขาการสื่อสาร

4. สาขาปล้องของเครือข่ายการสื่อสารรองมี n = 4 ช่องสัญญาณ การไหลของข้อความที่มาถึงเพื่อส่งผ่านช่องทางสาขาการสื่อสารมีความเข้มข้น = 8 ข้อความต่อวินาที เวลาในการส่งโดยเฉลี่ยของหนึ่งข้อความคือ t = 0.1 วินาที ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ทั้ง n ช่องไม่ว่างได้รับความล้มเหลวในการส่งตามสาขาการสื่อสาร ค้นหาคุณลักษณะของ SMO:

บทเรียนที่ 3

ระบบช่องสัญญาณเดียวพร้อมสแตนด์บาย

ให้เราพิจารณา QS ช่องทางเดียวที่มีการรอ ระบบคิวมีช่องทางเดียว โฟลว์คำขอบริการที่เข้ามาเป็นโฟลว์ที่ง่ายที่สุดและเข้มข้น ความเข้มข้นของกระแสการบริการเท่ากัน (เช่น โดยเฉลี่ยแล้ว ช่องทางที่มีการใช้งานอย่างต่อเนื่องจะออกคำขอรับบริการ) ระยะเวลาการให้บริการเป็นตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล โฟลว์บริการเป็นโฟลว์เหตุการณ์ปัวซองที่ง่ายที่สุด คำขอที่ได้รับเมื่อช่องไม่ว่างอยู่ในคิวและรอการบริการ QS นี้เป็นเรื่องธรรมดาที่สุดในการสร้างแบบจำลอง ด้วยการประมาณระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง ก็สามารถใช้เพื่อจำลองโหนดใดๆ ของเครือข่ายคอมพิวเตอร์ท้องถิ่น (LAN) ได้

ให้เราสมมติว่าไม่ว่าคำขอจะมาถึงอินพุตของระบบการให้บริการจำนวนเท่าใด ระบบนี้ (คิว + ไคลเอนต์ที่ให้บริการ) ไม่ได้รองรับมากกว่าข้อกำหนด N (แอปพลิเคชัน) กล่าวคือ ลูกค้าที่ไม่ได้ถูกระงับจะถูกบังคับให้ต้องไปให้บริการที่อื่น ระบบ M/M/1/N สุดท้ายนี้ คำขอบริการที่สร้างต้นทางมีความจุไม่จำกัด (ขนาดใหญ่ไม่จำกัด) กราฟสถานะของ QS ในกรณีนี้มีแบบฟอร์มแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3 กราฟสถานะของ QS ช่องทางเดียวที่มีการรอคอย (รูปแบบการตายและการสืบพันธุ์)

รัฐ QS มีการตีความดังต่อไปนี้:

S 0 - "ช่องฟรี";

S 1 - "ช่องไม่ว่าง" (ไม่มีคิว);

S 2 - "ช่องไม่ว่าง" (คำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว)

S n - "ช่องไม่ว่าง" (แอปพลิเคชัน n -1 อยู่ในคิว);

S N - "ช่องไม่ว่าง" (แอปพลิเคชัน N - 1 อยู่ในคิว)

กระบวนการคงที่ในระบบนี้จะอธิบายโดยระบบสมการพีชคณิตต่อไปนี้:

โดยที่ p=ปัจจัยโหลด

n - หมายเลขสถานะ

การแก้ระบบสมการข้างต้นสำหรับแบบจำลอง QS ของเรามีรูปแบบ:

ค่าความน่าจะเป็นเริ่มต้นสำหรับ QS ที่มีความยาวคิวจำกัด

สำหรับ QS ที่มีคิวไม่สิ้นสุด Н =? -

P 0 =1- วิ (3.4.7)

ควรสังเกตว่าการปฏิบัติตามเงื่อนไขการหยุดนิ่งสำหรับ QS ที่กำหนดนั้นไม่จำเป็น เนื่องจากจำนวนแอปพลิเคชันที่ยอมรับในระบบการให้บริการถูกควบคุมโดยการแนะนำข้อ จำกัด เกี่ยวกับความยาวของคิวซึ่งต้องไม่เกิน (N - 1) และไม่ใช่อัตราส่วนระหว่างความเข้มของการไหลเข้า กล่าวคือ ไม่ใช่อัตราส่วน c = l/m

แตกต่างจากระบบช่องทางเดียวซึ่งได้รับการพิจารณาข้างต้นและมีคิวไม่ จำกัด ในกรณีนี้มีการกระจายจำนวนคำขอแบบคงที่สำหรับค่าจำกัดใด ๆ ของปัจจัยโหลด c

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของ QS ช่องทางเดียวที่มีการรอและความยาวคิวที่จำกัดเท่ากับ (N - 1) (M/M/1/N) เช่นเดียวกับ QS ช่องทางเดียวที่มีบัฟเฟอร์ความจุไม่จำกัด (ม/ม/1/?). สำหรับ QS ที่มีคิวไม่สิ้นสุด เงื่อนไขด้วย<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธที่จะให้บริการแอปพลิเคชัน:

หนึ่งในคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของระบบที่อาจสูญเสียคำขอได้คือความน่าจะเป็นที่สูญเสีย P ที่คำขอโดยอำเภอใจจะสูญหาย ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จะสูญเสียคำขอโดยพลการนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นที่สถานที่รอทั้งหมดจะถูกครอบครองในช่วงเวลาที่กำหนดนั่นคือ สูตร P จาก k = P N ใช้ได้

2) ความจุของระบบสัมพัทธ์:

สำหรับ SMO แบบไม่จำกัดคิวที่ คิว =1,เพราะ คำขอทั้งหมดจะได้รับการบริการ

3) ปริมาณงานสัมบูรณ์:

4) จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ:

แอลเอสไม่จำกัดคิว

5) เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ:

เพื่อคิวไม่จำกัด

6) ระยะเวลาการเข้าพักเฉลี่ยของลูกค้า (แอปพลิเคชัน) ในคิว:

พร้อมคิวไม่จำกัด

7) จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ย (ไคลเอนต์) ในคิว (ความยาวคิว):

พร้อมคิวไม่จำกัด

การเปรียบเทียบนิพจน์สำหรับเวลารอโดยเฉลี่ยในคิว T och และสูตรสำหรับความยาวเฉลี่ยของคิว L och รวมถึงเวลาพักเฉลี่ยของคำขอในระบบ T S และจำนวนเฉลี่ยของคำขอในระบบ L S เราเห็นสิ่งนั้น

L och =l*T och L s =l* T s

โปรดทราบว่าสูตรเหล่านี้ใช้ได้กับระบบคิวหลายระบบที่มีความทั่วไปมากกว่าระบบ M/M/1 ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา และเรียกว่าสูตรของ Little ความสำคัญในทางปฏิบัติของสูตรเหล่านี้คือไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของ T och และ T โดยตรงด้วยค่าที่ทราบของค่า L och และ L s และในทางกลับกัน

งานช่องทางเดียว เอสเอ็มโอด้วยความคาดหวัง, กับรอและความยาวคิวที่จำกัด

1. กำหนด QS บรรทัดเดียวพร้อมพื้นที่จัดเก็บคิวไม่จำกัด ได้รับแอปพลิเคชันทุกๆ t = 14 วินาที เวลาส่งเฉลี่ยของหนึ่งข้อความคือ t=10 วินาที ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ช่องทางการให้บริการไม่ว่างจะได้รับในคิวโดยไม่ต้องออกไปก่อนที่จะเริ่มการบริการ

กำหนดตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพต่อไปนี้:

2. สาขาการสื่อสารระหว่างโหนดซึ่งมีหนึ่งช่องสัญญาณและที่เก็บคิวสำหรับข้อความที่รอดำเนินการ m=3 (N-1=m) ได้รับโฟลว์ข้อความที่ง่ายที่สุดโดยมีความเข้มข้นของข้อความ l=5 เป็นวินาที เวลาในการส่งข้อความจะถูกกระจายตามกฎเลขชี้กำลัง เวลาส่งเฉลี่ยของหนึ่งข้อความคือ 0.1 วินาที ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ช่องทางการให้บริการไม่ว่างในการส่งข้อความที่ได้รับก่อนหน้านี้ และไม่มีพื้นที่ว่างในไดรฟ์จะถูกปฏิเสธ

P ปฏิเสธ - ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้รับข้อความ

ระบบ L - จำนวนข้อความทั้งหมดโดยเฉลี่ยในคิวและส่งไปตามสาขาการสื่อสาร

T och - เวลาเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในคิวก่อนเริ่มการส่งข้อมูล

T syst - เวลารวมเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในระบบ ประกอบด้วยเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวและเวลาส่งเฉลี่ย

Q - ปริมาณงานสัมพัทธ์

เอ - ปริมาณงานสัมบูรณ์

3. สาขา internode ของเครือข่ายการสื่อสารรอง ซึ่งมีหนึ่งช่องสัญญาณและที่เก็บคิวสำหรับข้อความรอ m = 4 (N-1=4) ได้รับโฟลว์ข้อความที่ง่ายที่สุดด้วยความเข้มข้น = 8 ข้อความต่อวินาที เวลาในการส่งข้อความจะถูกกระจายตามกฎเลขชี้กำลัง เวลาส่งเฉลี่ยของหนึ่งข้อความคือ t = 0.1 วินาที ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ช่องทางการให้บริการไม่ว่างในการส่งข้อความที่ได้รับก่อนหน้านี้ และไม่มีพื้นที่ว่างในไดรฟ์จะถูกปฏิเสธโดยคิว

P open - ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวในการรับข้อความสำหรับการส่งสัญญาณผ่านช่องทางการสื่อสารของสาขาปล้อง;

L och - จำนวนข้อความโดยเฉลี่ยในคิวไปยังสาขาการสื่อสารของเครือข่ายรองของคิว

ระบบ L - จำนวนข้อความทั้งหมดโดยเฉลี่ยในคิวและส่งไปตามสาขาการสื่อสารของเครือข่ายรอง

T och - เวลาเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในคิวก่อนที่จะเริ่มการส่งสัญญาณ

Rzan - ความน่าจะเป็นที่ช่องทางการสื่อสารไม่ว่าง (สัมประสิทธิ์การโหลดช่องสัญญาณสัมพัทธ์)

Q คือความสามารถสัมพัทธ์ของสาขาภายใน

A คือความสามารถสัมบูรณ์ของสาขาภายใน

4. สาขาการสื่อสารระหว่างโหนดซึ่งมีหนึ่งช่องสัญญาณและที่เก็บคิวสำหรับข้อความที่รอ m=2 จะได้รับโฟลว์ข้อความที่ง่ายที่สุดโดยมีความเข้มข้นของข้อความ l=4 เป็นวินาที เวลาในการส่งข้อความจะถูกกระจายตามกฎเลขชี้กำลัง เวลาส่งเฉลี่ยของหนึ่งข้อความคือ 0.1 วินาที ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ช่องทางการให้บริการไม่ว่างในการส่งข้อความที่ได้รับก่อนหน้านี้ และไม่มีพื้นที่ว่างในไดรฟ์จะถูกปฏิเสธ

กำหนดตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพต่อไปนี้ของสาขาการสื่อสาร:

P ปฏิเสธ - ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้รับข้อความ

L och - จำนวนข้อความโดยเฉลี่ยในคิวไปยังสาขาการสื่อสาร

ระบบ L - จำนวนข้อความทั้งหมดโดยเฉลี่ยในคิวและส่งไปตามสาขาการสื่อสาร

T och - เวลาเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในคิวก่อนเริ่มการส่งข้อมูล

T syst - เวลารวมเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในระบบ ประกอบด้วยเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวและเวลาส่งเฉลี่ย

R zan - ความน่าจะเป็นของการใช้ช่องสัญญาณการสื่อสาร (สัมประสิทธิ์การโหลดช่องสัญญาณสัมพัทธ์ c)

Q - ปริมาณงานสัมพัทธ์

เอ - ปริมาณงานสัมบูรณ์

5. สาขา internode ของเครือข่ายการสื่อสารรองซึ่งมีหนึ่งช่องทางและคิวการรอข้อความที่เก็บข้อมูลปริมาณไม่ จำกัด ได้รับโฟลว์ข้อความที่ง่ายที่สุดด้วยความเข้มข้น l = 0.06 ข้อความต่อวินาที เวลาส่งเฉลี่ยของหนึ่งข้อความคือ t = 10 วินาที ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ช่องทางการสื่อสารไม่ว่างจะได้รับในคิวและอย่าทิ้งไว้จนกว่าจะเริ่มให้บริการ

พิจารณาตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพต่อไปนี้ของสาขาการสื่อสารเครือข่ายรอง:

L och - จำนวนข้อความเฉลี่ยในคิวไปยังสาขาการสื่อสาร

ระบบ L - จำนวนข้อความทั้งหมดโดยเฉลี่ยในคิวและส่งไปตามสาขาการสื่อสาร

T och - เวลาเฉลี่ยที่ข้อความอยู่ในคิว

T syst คือเวลารวมเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในระบบ ซึ่งเป็นผลรวมของเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวและเวลาส่งเฉลี่ย

Rzan คือความน่าจะเป็นที่ช่องทางการสื่อสารไม่ว่าง (ปัจจัยโหลดช่องสัญญาณสัมพัทธ์)

Q - ความสามารถสัมพัทธ์ของสาขาภายใน

เอ - ความจุสัมบูรณ์ของสาขาภายใน

6. กำหนด QS บรรทัดเดียวพร้อมพื้นที่จัดเก็บคิวไม่จำกัด ได้รับแอปพลิเคชันทุกๆ t = 13 วินาที เวลาเฉลี่ยในการส่งข้อความหนึ่งข้อความ

เสื้อ=10 วินาที. ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ช่องทางการให้บริการไม่ว่างจะได้รับในคิวโดยไม่ต้องออกไปก่อนที่จะเริ่มการบริการ

กำหนดตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพต่อไปนี้:

L och - จำนวนข้อความโดยเฉลี่ยในคิว

ระบบ L - จำนวนข้อความทั้งหมดโดยเฉลี่ยในคิวและส่งไปตามสาขาการสื่อสาร

T och - เวลาเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในคิวก่อนเริ่มการส่งข้อมูล

T syst - เวลารวมเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในระบบ ประกอบด้วยเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวและเวลาส่งเฉลี่ย

Rzan - ความน่าจะเป็นของการเข้าพัก (ค่าสัมประสิทธิ์การโหลดช่องสัญญาณสัมพัทธ์ c)

Q - ปริมาณงานสัมพัทธ์

เอ - ปริมาณงานสัมบูรณ์

7. โพสต์การวินิจฉัยเฉพาะคือ QS ช่องทางเดียว จำนวนที่จอดรถสำหรับรถยนต์ที่รอการวินิจฉัยมีจำนวนจำกัด และเท่ากับ 3 [(N - 1) = 3] หากพื้นที่จอดรถเต็มแล้ว กล่าวคือ มีรถอยู่ในคิวอยู่แล้วสามคัน รถคันถัดไปที่มาถึงเพื่อการวินิจฉัยจะไม่อยู่ในคิวเพื่อรับบริการ การไหลของรถยนต์ที่เข้ารับการตรวจวินิจฉัยมีการกระจายตามกฎของปัวซอง และมีความเข้มข้น = 0.85 (คันต่อชั่วโมง) เวลาในการวินิจฉัยรถยนต์จะกระจายตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลและเฉลี่ย 1.05 ชั่วโมง

จำเป็นต้องกำหนดคุณลักษณะความน่าจะเป็นของสถานีวินิจฉัยที่ทำงานในโหมดหยุดนิ่ง: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P เปิด, q,A, L och, L sys, T och, T sys

บทเรียนที่ 4

QS หลายช่องทางพร้อมการรอคอย พร้อมการรอคอยและความยาวคิวที่จำกัด

ลองพิจารณาระบบคิวแบบหลายช่องทางด้วยการรอ QS ประเภทนี้มักใช้เมื่อสร้างแบบจำลองกลุ่มเทอร์มินัลสมาชิก LAN ที่ทำงานในโหมดโต้ตอบ กระบวนการเข้าคิวมีลักษณะดังต่อไปนี้: กระแสอินพุตและเอาต์พุตคือปัวซองที่มีความเข้มข้นและตามลำดับ สามารถให้บริการลูกค้าพร้อมกันได้ไม่เกิน n เครื่อง ระบบไม่มีช่องทางการให้บริการ ระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยสำหรับลูกค้าหนึ่งรายคือ 1/นาที สำหรับแต่ละช่องทาง ระบบนี้ยังหมายถึงกระบวนการตายและการสืบพันธุ์ด้วย

c=l/nm - อัตราส่วนของความเข้มของการไหลขาเข้าต่อความเข้มรวมของการบริการ คือปัจจัยโหลดของระบบ

(กับ<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

โดยที่ P 0 คือความน่าจะเป็นของสถานะอิสระของทุกช่องสัญญาณที่มีคิวไม่จำกัด k คือจำนวนคำขอ

หากเราใช้ c = l / m ดังนั้น P 0 สามารถกำหนดได้ไม่จำกัดคิว:

สำหรับคิวที่จำกัด:

โดยที่ m คือความยาวของคิว

ด้วยคิวไม่จำกัด:

ความจุสัมพัทธ์ q=1,

ความจุสัมบูรณ์ A=l,

จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย Z=A/m

ด้วยจำนวนคิวที่จำกัด

1 สาขา internode ของเครือข่ายการสื่อสารรองมี n = 4 ช่องสัญญาณ การไหลของข้อความที่มาถึงเพื่อส่งผ่านช่องทางสาขาการสื่อสารมีความเข้มข้น = 8 ข้อความต่อวินาที เวลาเฉลี่ย t = 0.1 สำหรับการส่งข้อความหนึ่งข้อความโดยแต่ละช่องทางการสื่อสารคือ t/n = 0.025 วินาที ระยะเวลารอข้อความในคิวไม่จำกัด ค้นหาคุณลักษณะของ SMO:

P open - ความน่าจะเป็นของการส่งข้อความล้มเหลว

Q คือความสามารถสัมพัทธ์ของสาขาการสื่อสาร

A คือทรูพุตสัมบูรณ์ของสาขาการสื่อสาร

Z - จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย

L och - จำนวนข้อความโดยเฉลี่ยในคิว

T = เวลารอโดยเฉลี่ย;

T syst - เวลารวมโดยเฉลี่ยของข้อความที่อยู่ในคิวและการส่งผ่านสาขาการสื่อสาร

2. การประชุมเชิงปฏิบัติการเกี่ยวกับเครื่องจักรกลของโรงงานที่มีสามเสา (ช่อง) ดำเนินการซ่อมแซมเครื่องจักรขนาดเล็ก การไหลของกลไกที่ผิดปกติที่มาถึงโรงงานคือปัวซอง และมีความเข้มข้น = 2.5 กลไกต่อวัน ระยะเวลาการซ่อมแซมเฉลี่ยสำหรับกลไกหนึ่งจะกระจายตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลและเท่ากับ = 0.5 วัน สมมติว่าไม่มีโรงปฏิบัติงานอื่นที่โรงงาน ดังนั้น คิวของกลไกที่ด้านหน้าโรงปฏิบัติงานจึงสามารถเติบโตได้แทบจะไร้ขีดจำกัด จำเป็นต้องคำนวณค่าจำกัดต่อไปนี้ของลักษณะความน่าจะเป็นของระบบ:

ความน่าจะเป็นของสถานะของระบบ

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวเพื่อรับบริการ

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ

ระยะเวลาโดยเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว

ระยะเวลาเฉลี่ยของการอยู่ในระบบของแอปพลิเคชัน

3. สาขา internode ของเครือข่ายการสื่อสารรองมี n=3 ช่องสัญญาณ การไหลของข้อความที่มาถึงเพื่อส่งผ่านช่องทางสาขาการสื่อสารมีความเข้มข้น l = 5 ข้อความต่อวินาที เวลาในการส่งโดยเฉลี่ยของหนึ่งข้อความคือ t=0.1, t/n=0.033 วินาที การจัดเก็บคิวของข้อความที่รอการส่งสามารถมีได้สูงสุด m= 2 ข้อความ ข้อความที่มาถึงในเวลาที่ทุกตำแหน่งในคิวถูกครอบครองได้รับความล้มเหลวในการส่งข้อมูลไปตามสาขาการสื่อสาร ค้นหาคุณลักษณะของ QS: P open - ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในการส่งข้อความ, Q - ปริมาณงานสัมพัทธ์, A - ปริมาณงานสัมบูรณ์, Z - จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย, L och - จำนวนข้อความโดยเฉลี่ยในคิว, T ดังนั้น - การรอโดยเฉลี่ย เวลา ระบบ T - เวลารวมเฉลี่ยที่ข้อความยังคงอยู่ในคิวและถูกส่งไปตามสาขาการสื่อสาร

บทที่ 5

ปิด QS

ลองพิจารณารูปแบบการให้บริการเครื่องจักรซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของระบบคิวแบบปิด จนถึงขณะนี้ เราได้พิจารณาเฉพาะระบบการจัดคิวเท่านั้นที่ความเข้มข้นของโฟลว์คำขอที่เข้ามาไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะของระบบ ในกรณีนี้ แหล่งที่มาของคำขออยู่ภายนอก QS และสร้างโฟลว์คำขอแบบไม่จำกัด ลองพิจารณาระบบการจัดคิวซึ่งขึ้นอยู่กับสถานะของระบบ และแหล่งที่มาของข้อกำหนดนั้นเป็นระบบภายในและสร้างกระแสคำขอที่จำกัด ตัวอย่างเช่น การจอดเครื่องจักรที่ประกอบด้วยเครื่องจักร N ได้รับการบริการโดยทีมงานช่าง R (N > R) และแต่ละเครื่องสามารถให้บริการโดยช่างเครื่องเพียงคนเดียวเท่านั้น ในที่นี้ เครื่องจักรเป็นแหล่งที่มาของข้อกำหนด (คำขอรับบริการ) และช่างเครื่องเป็นช่องทางการให้บริการ หลังจากซ่อมบำรุงแล้ว เครื่องจักรที่ชำรุดจะถูกนำมาใช้ตามวัตถุประสงค์ที่ตั้งใจไว้ และกลายเป็นแหล่งข้อกำหนดในการบริการที่เป็นไปได้ แน่นอนว่าความเข้มข้นนั้นขึ้นอยู่กับจำนวนเครื่องจักรที่ใช้งานอยู่ในปัจจุบัน (N - k) และจำนวนเครื่องจักรที่กำลังเข้ารับบริการหรือยืนรอคิวรับบริการ (k) ในแบบจำลองที่กำลังพิจารณา ความสามารถของแหล่งความต้องการควรได้รับการพิจารณาว่ามีจำกัด กระแสความต้องการที่เข้ามานั้นมาจากเครื่องจักรที่ใช้งานได้ในจำนวนจำกัด (N - k) ซึ่งจะพังแบบสุ่มและจำเป็นต้องได้รับการบำรุงรักษาตามเวลาที่กำหนด นอกจากนี้แต่ละเครื่องจาก (N - k) ยังใช้งานอยู่ สร้างโฟลว์ปัวซองของข้อกำหนดด้วยความเข้ม X โดยไม่คำนึงถึงวัตถุอื่นๆ การไหลขาเข้าทั้งหมด (ทั้งหมด) จะมีความเข้มข้น คำขอที่เข้าสู่ระบบเมื่อมีช่องว่างอย่างน้อยหนึ่งช่องจะถูกประมวลผลทันที หากคำขอพบว่าทุกช่องไม่ว่างในการให้บริการคำขออื่นๆ คำขอนั้นจะไม่ออกจากระบบ แต่จะเข้าสู่คิวและรอจนกว่าช่องใดช่องหนึ่งจะว่าง ดังนั้นในระบบคิวแบบปิด กระแสความต้องการที่เข้ามาจะถูกสร้างขึ้นจากกระแสที่ส่งออกไป สถานะของระบบ S k มีลักษณะเป็นจำนวนคำขอทั้งหมดที่ให้บริการและอยู่ในคิวเท่ากับ k สำหรับระบบปิดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เห็นได้ชัดว่า k = 0, 1, 2, ... , N ยิ่งไปกว่านั้น หากระบบอยู่ในสถานะ S k จำนวนวัตถุที่ทำงานอยู่จะเท่ากับ (N - k) . ถ้า คือความเข้มข้นของการไหลของความต้องการต่อเครื่องจักร ดังนั้น:

ระบบสมการพีชคณิตที่อธิบายการทำงานของ QS แบบวงปิดในโหมดคงที่มีดังนี้:

เมื่อแก้ระบบนี้ เราจะพบความน่าจะเป็นของสถานะ k:

ค่าของ P 0 ถูกกำหนดจากเงื่อนไขของการทำให้ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นมาตรฐานโดยใช้สูตรสำหรับ P k , k = 0, 1, 2, ... , N. ให้เราพิจารณาลักษณะความน่าจะเป็นของระบบดังต่อไปนี้:

จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในคิวเพื่อรับบริการ:

จำนวนคำขอเฉลี่ยในระบบ (การให้บริการและการเข้าคิว)

จำนวนกลไกโดยเฉลี่ย (ช่อง) “ไม่ได้ใช้งาน” เนื่องจากขาดงาน

อัตราส่วนความไม่ได้ใช้งานของวัตถุที่ให้บริการ (เครื่องจักร) ในคิว

อัตราการใช้สิ่งอำนวยความสะดวก (เครื่องจักร)

อัตราส่วนการหยุดทำงานของช่องทางบริการ (ช่างเครื่อง)

ระยะเวลารอรับบริการโดยเฉลี่ย (ระยะเวลารอรับบริการตามคิว)

ปัญหา QS ที่ปิดแล้ว

1. จัดสรรวิศวกรสองคนที่มีประสิทธิผลเท่ากันเพื่อให้บริการคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล (PC) จำนวน 10 เครื่อง การไหลของความล้มเหลว (ทำงานผิดปกติ) ของคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งคือปัวซอง โดยมีความเข้มข้น = 0.2 เวลาบำรุงรักษาพีซีเป็นไปตามกฎหมายเอ็กซ์โปเนนเชียล เวลาเฉลี่ยในการให้บริการพีซีหนึ่งเครื่องโดยวิศวกรหนึ่งคนคือ: = 1.25 ชั่วโมง ตัวเลือกองค์กรบริการต่อไปนี้เป็นไปได้:

วิศวกรทั้งสองคนให้บริการคอมพิวเตอร์ทั้ง 10 เครื่อง ดังนั้นหากพีซีเครื่องใดเสีย วิศวกรอิสระคนใดคนหนึ่งจะให้บริการเครื่องดังกล่าว ในกรณีนี้ R = 2, N = 10;

วิศวกรทั้งสองคนดูแลพีซีห้าเครื่องที่ได้รับมอบหมายให้เขา ในกรณีนี้ R = 1, N = 5

จำเป็นต้องเลือกตัวเลือกที่ดีที่สุดสำหรับการจัดการบำรุงรักษาพีซี

มีความจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นทั้งหมดของรัฐ P k: P 1 - P 10 โดยคำนึงถึงว่าการใช้ผลลัพธ์ของการคำนวณ P k เราคำนวณ P 0

บทที่ 6

การคำนวณการจราจร

ทฤษฎีการจราจรทางไกลเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการเข้าคิว รากฐานของทฤษฎีการรับส่งข้อมูลทางไกลถูกวางโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวเดนมาร์ก A.K. เออร์หลาง ผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2452-2471 ให้เราให้คำจำกัดความที่สำคัญที่ใช้ในทฤษฎีการจราจรทางไกล (TT) คำว่า "การจราจร" ตรงกับคำว่า "ปริมาณโทรศัพท์" นี่หมายถึงภาระที่สร้างขึ้นโดยกระแสการโทร ความต้องการ และข้อความที่มาถึงอินพุตของ QS ปริมาณการรับส่งข้อมูลคือจำนวนช่วงเวลารวมทั้งหมดที่ผ่านโดยทรัพยากรหนึ่งหรืออีกแหล่งหนึ่งในระหว่างที่ทรัพยากรนี้ถูกครอบครองในช่วงเวลาที่วิเคราะห์ หน่วยงานถือได้ว่าเป็นอาชีพที่สองของทรัพยากร บางครั้งคุณสามารถอ่านงานได้ประมาณหนึ่งชั่วโมง และบางครั้งก็อ่านเป็นวินาทีหรือชั่วโมงก็ได้ อย่างไรก็ตาม คำแนะนำของ ITU จะให้มิติปริมาณการรับส่งข้อมูลเป็นชั่วโมง Erlango เพื่อให้เข้าใจถึงความหมายของหน่วยวัดดังกล่าว เราต้องพิจารณาพารามิเตอร์การรับส่งข้อมูลอื่น - ความหนาแน่นของการรับส่งข้อมูล ในกรณีนี้ พวกเขามักจะพูดถึงความเข้มข้นเฉลี่ยของการรับส่งข้อมูล (โหลด) ของกลุ่มทรัพยากรที่กำหนด (ชุด) หากในแต่ละช่วงเวลา t จากช่วงเวลาที่กำหนด (t 1,t 2) จำนวนทรัพยากรจากชุดที่กำหนดที่ถูกครอบครองพร้อมกับการรับส่งข้อมูลการให้บริการเท่ากับ A(t) ดังนั้นความเข้มข้นของการรับส่งข้อมูลโดยเฉลี่ยจะเป็น

ค่าความหนาแน่นของการรับส่งข้อมูลมีลักษณะเป็นจำนวนทรัพยากรโดยเฉลี่ยที่ถูกครอบครองโดยการให้บริการการรับส่งข้อมูลในช่วงเวลาที่กำหนด หน่วยวัดความเข้มของโหลดคือหนึ่ง Erlang (1 Erl, 1 E) เช่น 1 Erlang คือความหนาแน่นของการรับส่งข้อมูลที่ต้องใช้งานทรัพยากรหนึ่งรายการอย่างเต็มรูปแบบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทรัพยากรดังกล่าวทำงานโดยมีมูลค่าการทำงานหนึ่งวินาทีในหนึ่งวินาที ในวรรณคดีอเมริกัน บางครั้งคุณจะพบหน่วยวัดอื่นที่เรียกว่า CCS-Centrum (หรือร้อย) Calls Second หมายเลข CCS แสดงถึงเวลาการทำงานของเซิร์ฟเวอร์ในช่วงเวลา 100 วินาทีต่อชั่วโมง ความเข้มที่วัดได้ใน CCS สามารถแปลงเป็น Erlang ได้โดยใช้สูตร 36CCS=1 Erl

การรับส่งข้อมูลที่สร้างโดยแหล่งเดียวและแสดงเป็นชั่วโมง-อาชีพ เท่ากับผลคูณของจำนวนความพยายามในการโทร c สำหรับช่วงเวลาหนึ่ง T และระยะเวลาเฉลี่ยของการโทรหนึ่งครั้ง t: y = c t (h-z) การเข้าชมสามารถคำนวณได้สามวิธี:

1) ให้จำนวนการโทร c ต่อชั่วโมงเท่ากับ 1800 และระยะเวลาเฉลี่ยของเซสชัน t = 3 นาที จากนั้น Y = 1800 สาย /ชม. 0.05 ชั่วโมง = 90 เอิร์ล;

2) ปล่อยให้ระยะเวลา t i ของอาชีพทั้งหมด n เอาท์พุตของบันเดิลบางอันได้รับการแก้ไขในช่วงเวลา T จากนั้นการรับส่งข้อมูลจะถูกกำหนดดังนี้:

3) ปล่อยให้จำนวนเอาท์พุตที่ถูกครอบครองพร้อมกันของลำแสงหนึ่งๆ ถูกตรวจสอบในช่วงเวลาที่เท่ากันในช่วงเวลา T; ขึ้นอยู่กับผลการสังเกต จะมีการสร้างฟังก์ชันขั้นตอนของเวลา x(t) (รูปที่ 8)

รูปที่ 8 ตัวอย่างลำแสงที่ถูกครอบครองพร้อมกัน

การจราจรในช่วงเวลา T สามารถประมาณได้เป็นค่าเฉลี่ยของ x(t) ในช่วงเวลานั้น:

โดยที่ n คือจำนวนตัวอย่างของเอาต์พุตที่ถูกครอบครองพร้อมกัน ค่า Y คือจำนวนเฉลี่ยของเอาท์พุตลำแสงที่ใช้งานพร้อมกันในช่วงเวลา T

ความผันผวนของการจราจร การรับส่งข้อมูลบนเครือข่ายโทรศัพท์รองมีความผันผวนอย่างมากเมื่อเวลาผ่านไป ในระหว่างวันทำงาน โค้งจราจรจะมีจุดสูงสุด 2 หรือ 3 จุด (รูปที่ 9)

รูปที่ 9 ความผันผวนของการจราจรในระหว่างวัน

ชั่วโมงของวันที่การจราจรสังเกตเป็นเวลานานที่สำคัญที่สุดเรียกว่าชั่วโมงที่พลุกพล่านที่สุด (BHH) ความรู้เกี่ยวกับการรับส่งข้อมูลใน CNN มีความสำคัญขั้นพื้นฐาน เนื่องจากจะกำหนดจำนวนช่องสัญญาณ (สาย) ปริมาณอุปกรณ์ของสถานีและโหนด การเข้าชมในวันเดียวกันของสัปดาห์มีการเปลี่ยนแปลงตามฤดูกาล หากวันในสัปดาห์เป็นก่อนวันหยุด NNN ของวันนี้จะสูงกว่าวันหลังวันหยุด เมื่อจำนวนบริการที่เครือข่ายรองรับเพิ่มขึ้น ปริมาณการรับส่งข้อมูลก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ดังนั้นจึงเป็นปัญหาในการทำนายปริมาณการเข้าชมสูงสุดด้วยความมั่นใจเพียงพอ การรับส่งข้อมูลได้รับการตรวจสอบอย่างใกล้ชิดโดยองค์กรบริหารเครือข่ายและการออกแบบ กฎการวัดการรับส่งข้อมูลได้รับการพัฒนาโดย ITU-T และใช้งานโดยฝ่ายบริหารเครือข่ายระดับชาติเพื่อให้เป็นไปตามข้อกำหนดด้านคุณภาพของบริการสำหรับทั้งสมาชิกของเครือข่ายและสมาชิกของเครือข่ายอื่นที่เชื่อมต่ออยู่ ทฤษฎีการจราจรทางไกลสามารถนำมาใช้ในการคำนวณการสูญเสียหรือปริมาตรของอุปกรณ์ของสถานี (โหนด) ได้ก็ต่อเมื่อการจราจรหยุดนิ่ง (คงที่ทางสถิติ) เงื่อนไขนี้ได้รับความพึงพอใจโดยประมาณจากการรับส่งข้อมูลใน CHNN จำนวนโหลดที่มาถึงการแลกเปลี่ยนโทรศัพท์อัตโนมัติต่อวันส่งผลต่อการป้องกันและการซ่อมแซมอุปกรณ์ ความไม่สม่ำเสมอของภาระที่เข้าสู่สถานีในระหว่างวันจะถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ความเข้มข้น

คำจำกัดความที่เข้มงวดยิ่งขึ้นของ NNN มีดังต่อไปนี้ ข้อแนะนำของ ITU E.500 กำหนดให้วิเคราะห์ข้อมูลความเข้มข้นเป็นเวลา 12 เดือน เลือกวันที่ยุ่งที่สุด 30 วัน ค้นหาชั่วโมงที่ยุ่งที่สุดในวันนั้น และหาค่าเฉลี่ยของการวัดความเข้มข้นในช่วงเวลาเหล่านี้ การคำนวณความหนาแน่นของการจราจร (โหลด) นี้เรียกว่าการประมาณความหนาแน่นของการจราจรตามปกติใน CHN หรือระดับ A การประมาณการที่เข้มงวดมากขึ้นสามารถเฉลี่ยในช่วง 5 วันที่ยุ่งที่สุดของช่วง 30 วันที่เลือก เกรดนี้เรียกว่าเกรดที่เพิ่มขึ้นหรือเกรดที่ระดับ B

กระบวนการสร้างทราฟฟิก ดังที่ผู้ใช้เครือข่ายโทรศัพท์ทุกคนรู้ดีว่าความพยายามในการสร้างการเชื่อมต่อกับผู้สมัครสมาชิกที่ถูกเรียกนั้นไม่ประสบความสำเร็จทั้งหมด บางครั้งคุณต้องพยายามหลายครั้งแต่ไม่สำเร็จก่อนที่จะสร้างการเชื่อมต่อที่ต้องการ

รูปที่ 10 แผนผังของเหตุการณ์เมื่อสร้างการเชื่อมต่อระหว่างสมาชิก

พิจารณาเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เมื่อจำลองการสร้างการเชื่อมต่อระหว่างสมาชิก A และ B (รูปที่ 10) สถิติการโทรในเครือข่ายโทรศัพท์มีดังนี้ ส่วนแบ่งการสนทนาที่เสร็จสิ้นคือ 70-50% ส่วนแบ่งการโทรที่ล้มเหลวคือ 30-50% ความพยายามใด ๆ ของผู้สมัครสมาชิกจะใช้อินพุต QS เมื่อพยายามสำเร็จ (เมื่อการสนทนาเกิดขึ้น) เวลาการเข้าใช้งานของอุปกรณ์สวิตชิ่งที่สร้างการเชื่อมต่อระหว่างอินพุตและเอาต์พุตจะนานกว่าการพยายามที่ไม่สำเร็จ สมาชิกสามารถขัดจังหวะความพยายามในการสร้างการเชื่อมต่อได้ตลอดเวลา การลองใหม่อาจเกิดจากสาเหตุต่อไปนี้:

หมายเลขถูกหมุนไม่ถูกต้อง

สันนิษฐานว่ามีข้อผิดพลาดในเครือข่าย

ระดับความเร่งด่วนของการสนทนา

ความพยายามครั้งก่อนล้มเหลว

รู้นิสัยของสมาชิก B;

สงสัยจะกดเลขถูก

การลองใหม่อาจทำได้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่อไปนี้:

ระดับความเร่งด่วน;

การประเมินสาเหตุของความล้มเหลว

การประเมินความเป็นไปได้ของความพยายามซ้ำ

การประมาณช่วงเวลาที่ยอมรับได้ระหว่างความพยายาม

การไม่ลองอีกครั้งอาจเนื่องมาจากมีความเร่งด่วนน้อย มีการรับส่งข้อมูลหลายประเภทที่เกิดจากการโทร: ขาเข้า (เสนอ) Y n และไม่ได้รับ Y n การรับส่งข้อมูล Y n รวมถึงความพยายามที่สำเร็จและไม่สำเร็จทั้งหมด การรับส่งข้อมูล Y n ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ Y n รวมถึงความพยายามที่สำเร็จและที่ไม่สำเร็จบางส่วน:

Y pr = Y r + Y np

โดยที่ Y p คือการรับส่งข้อมูลการสนทนา (มีประโยชน์) และ Y np คือการรับส่งข้อมูลที่เกิดจากความพยายามที่ไม่สำเร็จ ความเท่าเทียมกัน Y p = Y p เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่เหมาะสมที่สุดหากไม่มีการสูญเสีย ข้อผิดพลาดจากการโทรหาสมาชิก และไม่มีการตอบสนองจากสมาชิกที่ถูกเรียก

ความแตกต่างระหว่างโหลดขาเข้าและโหลดที่ส่งในช่วงระยะเวลาหนึ่งจะเป็นโหลดที่สูญเสียไป

การพยากรณ์การจราจร ทรัพยากรที่จำกัดนำไปสู่ความจำเป็นในการขยายสถานีและเครือข่ายอย่างค่อยเป็นค่อยไป การบริหารเครือข่ายคาดการณ์ปริมาณการรับส่งข้อมูลที่เพิ่มขึ้นในระหว่างขั้นตอนการพัฒนา โดยคำนึงถึงว่า:

รายได้ถูกกำหนดโดยส่วนหนึ่งของการรับส่งข้อมูล Y p - ต้นทุนจะถูกกำหนดโดยคุณภาพของบริการที่มีการรับส่งข้อมูลสูงสุด

การสูญเสียส่วนใหญ่ (คุณภาพต่ำ) เกิดขึ้นในบางกรณีซึ่งเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก และเป็นเรื่องปกติเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาการพัฒนา

ปริมาณการรับส่งข้อมูลที่พลาดมากที่สุดเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ไม่มีการสูญเสียจริง ๆ - หากการสูญเสียน้อยกว่า 10% สมาชิกจะไม่ตอบสนองต่อสิ่งเหล่านั้น เมื่อวางแผนการพัฒนาสถานีและเครือข่าย ผู้ออกแบบจะต้องตอบคำถามว่าข้อกำหนดด้านคุณภาพการให้บริการ (การสูญเสีย) คืออะไร ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องวัดการสูญเสียการจราจรตามกฎที่ใช้ในประเทศ

ตัวอย่างการวัดปริมาณการเข้าชม

ขั้นแรก มาดูกันว่าคุณสามารถแสดงการทำงานของ QS ที่มีทรัพยากรหลายอย่างที่รองรับการรับส่งข้อมูลพร้อมกันได้อย่างไร เราจะพูดคุยเพิ่มเติมเกี่ยวกับทรัพยากรเช่นเซิร์ฟเวอร์ที่รองรับโฟลว์ของแอปพลิเคชันหรือข้อกำหนด หนึ่งในวิธีที่มองเห็นได้และใช้บ่อยที่สุดในการแสดงกระบวนการให้บริการคำขอโดยกลุ่มเซิร์ฟเวอร์คือแผนภูมิแกนต์ แผนภาพนี้คือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมซึ่งมีแกน x ที่แสดงเวลา และแกน y ทำเครื่องหมายจุดแยกที่สอดคล้องกับเซิร์ฟเวอร์พูล รูปที่ 11 แสดงแผนภูมิแกนต์สำหรับระบบสามเซิร์ฟเวอร์

ในสามช่วงเวลาแรก (เรานับเป็นหนึ่งวินาที) เซิร์ฟเวอร์ตัวแรกและตัวที่สามไม่ว่าง สองวินาทีถัดไป - เฉพาะเซิร์ฟเวอร์ที่สาม จากนั้นเซิร์ฟเวอร์ที่สองจะทำงานเป็นเวลาหนึ่งวินาที จากนั้นเซิร์ฟเวอร์ที่สองและเซิร์ฟเวอร์แรกจะทำงานเป็นเวลาสองวินาที และสองวินาทีสุดท้าย - เฉพาะวินาทีแรกเท่านั้น

แผนภาพที่สร้างขึ้นช่วยให้คุณสามารถคำนวณปริมาณการรับส่งข้อมูลและความเข้มข้นได้ แผนภาพแสดงเฉพาะการรับส่งข้อมูลที่ให้บริการหรือที่ไม่ได้รับ เนื่องจากไม่ได้ระบุสิ่งใดว่าคำขอเข้าสู่ระบบที่เซิร์ฟเวอร์ไม่สามารถให้บริการได้หรือไม่

ปริมาณการเข้าชมที่ผ่านจะคำนวณเป็นความยาวรวมของทุกส่วนของแผนภูมิแกนต์ ปริมาณใน 10 วินาที:

เราเชื่อมโยงกับแต่ละช่วงเวลา โดยลงจุดบน Abscissa ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเท่ากับจำนวนเซิร์ฟเวอร์ที่ใช้งานในช่วงเวลาของหน่วยนี้ ค่านี้ A(t) คือความเข้มที่เกิดขึ้นทันที สำหรับตัวอย่างของเรา

ก(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

ให้เราค้นหาความหนาแน่นของการเข้าชมโดยเฉลี่ยในช่วง 10 วินาที

ดังนั้นความหนาแน่นเฉลี่ยของการรับส่งข้อมูลที่ส่งผ่านระบบของเซิร์ฟเวอร์สามตัวที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือ 1.5 Erl

พารามิเตอร์โหลดพื้นฐาน

การสื่อสารทางโทรศัพท์ถูกใช้โดยสมาชิกประเภทต่างๆ ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

จำนวนแหล่งโหลด - N,

จำนวนการโทรโดยเฉลี่ยจากแหล่งเดียวในช่วงเวลาหนึ่ง (ปกติ NNN) - c,

ระยะเวลาเฉลี่ยของหนึ่งเซสชันของระบบสวิตชิ่งเมื่อให้บริการการโทรหนึ่งครั้งคือ t

ความเข้มของการโหลดจะเป็น

เรามาระบุแหล่งที่มาของการโทรต่างๆ กัน ตัวอย่างเช่น,

จำนวนการโทรโดยเฉลี่ยไปยัง CHN จากโทรศัพท์สำนักงานหนึ่งเครื่อง

จำนวนการโทรโดยเฉลี่ยจากโทรศัพท์ในอพาร์ทเมนต์หนึ่งเครื่อง สุ่มเหตุการณ์บริการมวลชนโทรเลข

ด้วยการนับ - เหมือนกันจากอุปกรณ์สำหรับการใช้งานโดยรวม

กับ ma - เหมือนกันจากเครื่องหยอดเหรียญเครื่องเดียว

ด้วย sl - เหมือนกันจากสายเชื่อมต่อเส้นเดียว

ดังนั้นจำนวนการโทรโดยเฉลี่ยจากแหล่งเดียว:

มีข้อมูลโดยประมาณสำหรับจำนวนการโทรโดยเฉลี่ยจากแหล่งหนึ่งของหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้อง:

3.5 - 5, =0.5 - 1 โดยมีจำนวน = 1.5 - 2 โดยมี ma =15 - 30 โดยมี sl =10 - 30

มีการเชื่อมต่อประเภทต่างๆ ต่อไปนี้ ซึ่งขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการเชื่อมต่อ จะสร้างปริมาณการใช้โทรศัพท์ที่แตกต่างกันที่สถานี:

k р - สัมประสิทธิ์แสดงสัดส่วนของการเชื่อมต่อที่สิ้นสุดในการสนทนา

k з - การเชื่อมต่อที่ไม่สิ้นสุดในการสนทนาเนื่องจากความยุ่งของผู้สมัครสมาชิกที่ถูกเรียก

k และ - สัมประสิทธิ์แสดงสัดส่วนของการเชื่อมต่อที่ไม่ได้สิ้นสุดในการสนทนาเนื่องจากการไม่ตอบสนองของผู้สมัครสมาชิกที่ถูกเรียก

k osh - การเชื่อมต่อที่ไม่ได้สิ้นสุดในการสนทนาเนื่องจากข้อผิดพลาดของผู้โทร

k เหล่านั้น - การโทรที่ไม่สิ้นสุดในการสนทนาเนื่องจากเหตุผลทางเทคนิค

ในระหว่างการทำงานของเครือข่ายปกติ ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะเท่ากับ:

kพี =0.60-0.75; kz =0.12-0.15; k และ =0.08-0.12; k osh =0.02-0.05; k เหล่านั้น =0.005-0.01.

ระยะเวลาเฉลี่ยของเซสชันขึ้นอยู่กับประเภทของการเชื่อมต่อ ตัวอย่างเช่น หากการเชื่อมต่อสิ้นสุดลงด้วยการสนทนา ระยะเวลาเฉลี่ยของสถานะการครอบครองอุปกรณ์จะเท่ากับ

ระยะเวลาของการสร้างการเชื่อมต่อคือที่ไหน

ทีคอมพ์ - การสนทนาที่เกิดขึ้น

เสื้อ ใน - ระยะเวลาของการโทรไปยังโทรศัพท์ของผู้สมัครสมาชิกที่ถูกเรียก;

t r - ระยะเวลาของการสนทนา

โดยที่ t co คือสัญญาณตอบรับของสถานี

1.5n - เวลาในการหมุนหมายเลขของผู้สมัครสมาชิกที่เรียกว่า (n - จำนวนอักขระในหมายเลข)

t คือเวลาที่ต้องใช้ในการสร้างการเชื่อมต่อโดยการสลับกลไกและตัดการเชื่อมต่อหลังจากสิ้นสุดการสนทนา ค่าโดยประมาณของปริมาณที่พิจารณา:

t co = 3 วินาที, t c = 1-2.5 วินาที, t b = 8-10 วินาที, t p = 90-130 วินาที

การโทรที่ไม่สิ้นสุดในการสนทนายังทำให้เกิดภาระทางโทรศัพท์ด้วย

เวลาเฉลี่ยในการครอบครองอุปกรณ์เมื่อผู้สมัครสมาชิกที่ถูกเรียกไม่ว่างคือ

การเชื่อมต่อการติดตั้งอยู่ที่ไหน กำหนดโดย (4.2.3)

t зз - เวลาที่ได้ยินเสียงสัญญาณไม่ว่าง t зз =6 วินาที

ระยะเวลาเฉลี่ยของการครอบครองอุปกรณ์เมื่อผู้สมัครสมาชิกที่ไม่รับสายคือ

โดยที่ t pv - เวลาในการฟังสัญญาณย้อนกลับ t pv = 20 วินาที

หากไม่มีการสนทนาเนื่องจากข้อผิดพลาดของสมาชิก โดยเฉลี่ย t osh = 30 วินาที

ไม่ได้กำหนดระยะเวลาของชั้นเรียนที่ไม่สิ้นสุดในการสนทนาเนื่องจากเหตุผลทางเทคนิค เนื่องจากเปอร์เซ็นต์ของชั้นเรียนดังกล่าวมีน้อย

จากที่กล่าวมาทั้งหมด ปริมาณงานทั้งหมดที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มแหล่งที่มาเบื้องหลัง CNN เท่ากับผลรวมของปริมาณงานของกิจกรรมแต่ละประเภท

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงเงื่อนไขเป็นหุ้น

บนเครือข่ายโทรศัพท์ที่มีหมายเลขเจ็ดหลัก การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์อัตโนมัติได้รับการออกแบบ องค์ประกอบโครงสร้างของสมาชิกมีดังนี้:

บัญชี N = 4000, N ind = 1,000, จำนวน N = 2000, N ma = 400, N sl = 400

จำนวนการโทรโดยเฉลี่ยที่ได้รับจากแหล่งเดียวใน CHNN เท่ากับ

การใช้สูตร (4.2.3) และ (4.2.6) เราค้นหาโหลด

1.10.62826767 วินาที = 785.2 เฮิร์ตซ์

ระยะเวลาบทเรียนเฉลี่ย t จากสูตร Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3.8=95.4 วินาที

โหลดงาน

1. บนเครือข่ายโทรศัพท์ที่มีหมายเลขเจ็ดหลัก การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์อัตโนมัติได้รับการออกแบบ องค์ประกอบโครงสร้างของสมาชิกมีดังนี้:

N uchr =5,000, Nind=1500, จำนวน N =3000, N ma =500, N sl =500

กำหนดภาระที่มาถึงสถานี - Y ระยะเวลาเฉลี่ยของการยึดครอง t หากทราบเช่นนั้น

โดย ind =4, โดย ind =1, โดยนับ =2, โดย ma =10, โดยมี sl =12, t r =120 วินาที, t ใน =10 วินาที, k r =0.6, t s =1 วินาที, =1.1 .

โพสต์บน Allbest.ru

เอกสารที่คล้ายกัน

แนวคิดของตัวแปรสุ่มแบบกระจายสม่ำเสมอ วิธีการคูณที่เท่ากันทุกประการ การสร้างแบบจำลองตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง อัลกอริทึมสำหรับการจำลองความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจระหว่างผู้ให้กู้และผู้ยืม

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 01/03/2011


แนวคิดทั่วไปของทฤษฎีการเข้าคิว คุณสมบัติของระบบคิวการสร้างแบบจำลอง กราฟแสดงสถานะของระบบ QS สมการที่อธิบาย ลักษณะทั่วไปของประเภทของแบบจำลอง วิเคราะห์ระบบคิวซุปเปอร์มาร์เก็ต

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 11/17/2552


องค์ประกอบของทฤษฎีการเข้าคิว การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบคิว การจำแนกประเภท การสร้างแบบจำลองจำลองระบบคิว การประยุกต์ทฤษฎีเชิงปฏิบัติ การแก้ปัญหาด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 05/04/2011


แนวคิดของกระบวนการสุ่ม ปัญหาทฤษฎีคิว การจำแนกประเภทของระบบคิว (QS) แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็น อิทธิพลของปัจจัยสุ่มต่อพฤติกรรมของวัตถุ QS ช่องทางเดียวและหลายช่องทางพร้อมการรอคอย

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 25/09/2014


ศึกษาแง่มุมทางทฤษฎีของการสร้างและการทำงานของระบบคิวที่มีประสิทธิผล องค์ประกอบหลัก การจำแนกประเภท ลักษณะ และประสิทธิภาพการดำเนินงาน การสร้างแบบจำลองระบบคิวโดยใช้ภาษา GPSS

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 24/09/2010


การพัฒนาทฤษฎีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก การวางแผนเครือข่าย และการจัดการการผลิตผลิตภัณฑ์ องค์ประกอบของทฤษฎีเกมในปัญหาการสร้างแบบจำลองกระบวนการทางเศรษฐกิจ องค์ประกอบของการประยุกต์ทฤษฎีคิวในทางปฏิบัติ

งานภาคปฏิบัติเพิ่มเมื่อ 01/08/2554


แนวคิดเบื้องต้นเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่ม ปริมาณ และฟังก์ชัน ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ประเภทของการกระจายไม่สมมาตร การประเมินทางสถิติของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม การแก้ปัญหาการระบุโครงสร้าง-พารามิเตอร์

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 03/06/2012


การสร้างแบบจำลองกระบวนการเข้าคิว ช่องทางการเข้าคิวประเภทต่างๆ วิธีแก้ปัญหาโมเดลการจัดคิวช่องทางเดียวที่มีความล้มเหลว ความหนาแน่นของการกระจายระยะเวลาการให้บริการ การกำหนดปริมาณงานสัมบูรณ์

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 15/03/2559


ลักษณะการทำงานของระบบคิวในด้านการขนส่งทางถนน โครงสร้าง และองค์ประกอบหลัก ตัวบ่งชี้เชิงปริมาณของคุณภาพการทำงานของระบบคิวลำดับและขั้นตอนหลักของการพิจารณา

งานห้องปฏิบัติการ เพิ่มเมื่อ 03/11/2554


การตั้งเป้าหมายของการสร้างแบบจำลอง การระบุวัตถุจริง การเลือกประเภทของแบบจำลอง โครงร่างทางคณิตศาสตร์ การสร้างแบบจำลองสุ่มต่อเนื่อง แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีการเข้าคิว กำหนดกระแสของเหตุการณ์ การตั้งค่าอัลกอริทึม