Hur man löser ekvationer med logaritmer korrekt. Lösa logaritmiska ekvationer. Extrahera exponenten från logaritmen

Förberedelserna för det sista provet i matematik innehåller ett viktigt avsnitt - "Logarithms". Uppgifter från detta ämne ingår nödvändigtvis i Unified State Examination. Erfarenheter från tidigare år visar att logaritmiska ekvationer orsakade svårigheter för många skolbarn. Därför måste elever med olika utbildningsnivåer förstå hur man hittar rätt svar och snabbt hanterar dem.

Klara certifieringstestet framgångsrikt med Shkolkovo utbildningsportal!

När de förbereder sig för Unified State Exam behöver gymnasieutexaminerade en pålitlig källa som ger den mest fullständiga och korrekta informationen för att framgångsrikt lösa testproblem. En lärobok finns dock inte alltid till hands, och att söka efter nödvändiga regler och formler på Internet tar ofta tid.

Shkolkovo utbildningsportal låter dig förbereda dig för Unified State Exam var som helst när som helst. Vår webbplats erbjuder det mest bekväma sättet att repetera och assimilera en stor mängd information om logaritmer, såväl som med en och flera okända. Börja med enkla ekvationer. Om du klarar av dem utan svårighet, gå vidare till mer komplexa. Om du har problem med att lösa en viss ojämlikhet kan du lägga till den i dina favoriter så att du kan återvända till den senare.

Du kan hitta de nödvändiga formlerna för att slutföra uppgiften, upprepa specialfall och metoder för att beräkna roten till en standardlogaritmisk ekvation genom att titta på avsnittet "Teoretisk hjälp". Shkolkovo-lärare samlade, systematiserade och presenterade allt material som behövs för att lyckas i den enklaste och mest begripliga formen.

För att enkelt kunna hantera uppgifter av vilken komplexitet som helst kan du på vår portal bekanta dig med lösningen av några vanliga logaritmiska ekvationer. För att göra detta, gå till avsnittet "Kataloger". Vi har ett stort antal exempel, inklusive ekvationer med profilnivån för Unified State Examination i matematik.

Elever från skolor i hela Ryssland kan använda vår portal. För att starta klasser, registrera dig helt enkelt i systemet och börja lösa ekvationer. För att konsolidera resultaten rekommenderar vi att du återvänder till Shkolkovos webbplats dagligen.

Logaritmiska ekvationer. Vi fortsätter att överväga problem från del B av Unified State Examination i matematik. Vi har redan undersökt lösningar på några ekvationer i artiklarna "", "". I den här artikeln kommer vi att titta på logaritmiska ekvationer. Jag ska genast säga att det inte kommer att bli några komplexa transformationer när man löser sådana ekvationer på Unified State Exam. De är enkla.

Det räcker att känna till och förstå den grundläggande logaritmiska identiteten, att känna till logaritmens egenskaper. Observera att efter att ha löst det, MÅSTE du göra en kontroll - ersätt det resulterande värdet i den ursprungliga ekvationen och beräkna, i slutändan bör du få rätt likhet.

Definition:

Logaritmen för ett tal till bas b är exponenten,till vilket b måste höjas för att få a.

Till exempel:

Logga 3 9 = 2, eftersom 3 2 = 9

Egenskaper för logaritmer:

Specialfall av logaritmer:

Låt oss lösa problem. I det första exemplet kommer vi att göra en kontroll. Kontrollera det själv i framtiden.

Hitta roten till ekvationen: log 3 (4–x) = 4

Eftersom log b a = x b x = a, alltså

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Undersökning:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Rätt.

Svar: – 77

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen: log 2 (4 – x) = 7

Hitta roten till ekvationen log 5(4 + x) = 2

Vi använder den grundläggande logaritmiska identiteten.

Eftersom log a b = x b x = a, alltså

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Undersökning:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Rätt.

Svar: 21

Hitta roten till ekvationen log 3 (14 – x) = log 3 5.

Följande egenskap äger rum, dess betydelse är följande: om vi på vänster och höger sida av ekvationen har logaritmer med samma bas, så kan vi likställa uttrycken under logaritmernas tecken.

14 – x = 5

x=9

Gör en kontroll.

Svar: 9

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen log 5 (5 – x) = log 5 3.

Hitta roten till ekvationen: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Om log c a = log c b, då a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Gör en kontroll.

Svar: 6

Hitta roten till ekvationen log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Gör en kontroll.

Ett litet tillägg - fastigheten används här

grader ().

Svar: – 51

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen: log 1/7 (7 – x) = – 2

Hitta roten till ekvationen log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Låt oss förvandla den högra sidan. Låt oss använda egenskapen:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Om log c a = log c b, då a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Gör en kontroll.

Svar: – 21

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Lös ekvationen log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Om log c a = log c b, då a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Gör en kontroll.

Svar: 2,75

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lös ekvationen log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Det är nödvändigt att få ett uttryck av formen på höger sida av ekvationen:

log 2 (......)

Vi representerar 1 som en bas 2-logaritm:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Vi får:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Om log c a = log c b, då a = b, då

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Gör en kontroll.

Svar: 0,4

Bestäm själv: Därefter måste du lösa andragradsekvationen. Förresten,

rötterna är 6 och – 4.

rot "-4" är ingen lösning, eftersom basen för logaritmen måste vara större än noll, och med "– 4" är det lika med " – 5". Lösningen är rot 6.Gör en kontroll.

Svar: 6.

R äta själv:

Lös ekvationsloggen x –5 49 = 2. Om ekvationen har mer än en rot, svara med den mindre.

Som du har sett, inga komplicerade transformationer med logaritmiska ekvationerNej. Det räcker att känna till logaritmens egenskaper och kunna tillämpa dem. I USE-problem relaterade till transformation av logaritmiska uttryck utförs mer seriösa transformationer och mer djupgående färdigheter i lösning krävs. Vi kommer att titta på sådana exempel, missa dem inte!Jag önskar er framgång!!!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.

I den här lektionen kommer vi att gå igenom de grundläggande teoretiska fakta om logaritmer och överväga att lösa de enklaste logaritmiska ekvationerna.

Låt oss komma ihåg den centrala definitionen - definitionen av en logaritm. Det handlar om att lösa en exponentiell ekvation. Denna ekvation har en enda rot, den kallas logaritmen av b för att basera a:

Definition:

Logaritmen för b till bas a är exponenten till vilken bas a måste höjas för att få b.

Låt oss påminna dig grundläggande logaritmisk identitet.

Uttrycket (uttryck 1) är roten till ekvationen (uttryck 2). Ersätt värdet x från uttryck 1 istället för x med uttryck 2 och få den logaritmiska huvudidentiteten:

Så vi ser att varje värde är associerat med ett värde. Vi betecknar b med x(), c med y, och får därmed en logaritmisk funktion:

Till exempel:

Låt oss komma ihåg de grundläggande egenskaperna hos den logaritmiska funktionen.

Låt oss återigen vara uppmärksamma här, eftersom det under logaritmen kan finnas ett strikt positivt uttryck, som basen för logaritmen.

Ris. 1. Graf över en logaritmisk funktion med olika baser

Grafen för funktionen vid visas i svart. Ris. 1. Om argumentet ökar från noll till oändlighet, ökar funktionen från minus till plus oändligt.

Grafen för funktionen vid visas i rött. Ris. 1.

Egenskaper för denna funktion:

Domän: ;

Värdeintervall: ;

Funktionen är monoton över hela sin definitionsdomän. När monotont (strikt) ökar, motsvarar ett större värde på argumentet ett större värde på funktionen. När monotont (strikt) minskar, motsvarar ett större värde på argumentet ett mindre värde på funktionen.

Egenskaperna för den logaritmiska funktionen är nyckeln till att lösa en mängd olika logaritmiska ekvationer.

Låt oss betrakta den enklaste logaritmiska ekvationen; alla andra logaritmiska ekvationer reduceras som regel till denna form.

Eftersom logaritmernas baser och själva logaritmerna är lika, är även funktionerna under logaritmen lika, men vi får inte missa definitionsdomänen. Endast ett positivt tal kan visas under logaritmen, vi har:

Vi fick reda på att funktionerna f och g är lika, så det räcker att välja vilken olikhet som helst för att följa ODZ.

Således har vi ett blandat system där det finns en ekvation och en olikhet:

Som regel är det inte nödvändigt att lösa en ojämlikhet, det räcker att lösa ekvationen och ersätta de hittade rötterna i ojämlikheten och på så sätt utföra en kontroll.

Låt oss formulera en metod för att lösa de enklaste logaritmiska ekvationerna:

Utjämna baserna för logaritmer;

Jämställa sublogaritmiska funktioner;

Utför kontroll.

Låt oss titta på specifika exempel.

Exempel 1 - lös ekvationen:

Logaritmernas baser är initialt lika, vi har rätt att likställa sublogaritmiska uttryck, glöm inte ODZ, vi väljer den första logaritmen för att komponera olikheten:

Exempel 2 - lös ekvationen:

Denna ekvation skiljer sig från den föregående genom att baserna för logaritmerna är mindre än en, men detta påverkar inte lösningen på något sätt:

Låt oss hitta roten och ersätta den med ojämlikheten:

Vi fick en felaktig olikhet, vilket innebär att den hittade roten inte uppfyller ODZ.

Exempel 3 - lös ekvationen:

Logaritmernas baser är initialt lika, vi har rätt att likställa sublogaritmiska uttryck, glöm inte ODZ, vi väljer den andra logaritmen för att komponera olikheten:

Låt oss hitta roten och ersätta den med ojämlikheten:

Uppenbarligen är det bara den första roten som uppfyller ODZ.

Syftet med lektionen: upprepa elevernas kunskap om logaritmen för ett tal och dess egenskaper; studera sätt att lösa logaritmiska ekvationer och konsolidera dem när du gör övningar.

Uppgifter:

Utbildning: upprepa definitionen och grundläggande egenskaper för logaritmer, kunna tillämpa dem vid beräkning av logaritmer, vid lösning av logaritmiska ekvationer;

Utvecklingsmässigt: utveckla förmågan att lösa logaritmiska ekvationer;

Utbildning: odla uthållighet, självständighet; väcka intresse för ämnet

Lektionstyp: lektion att lära sig nytt material.

Erforderlig teknisk utrustning:dator, projektor, duk.

Lektionens struktur och flöde:

1. Att organisera tid.

Lärare .

Hej, sätt dig ner! Idag är ämnet för vår lektion "Lösa logaritmiska ekvationer", där vi kommer att lära oss hur man löser dem med hjälp av logaritmers definition och egenskaper.(bild nummer 1)

1. Muntligt arbete.

Förstärker begreppet logaritm, upprepar dess grundläggande egenskaper och egenskaperna hos den logaritmiska funktionen:

1. Uppvärmning enligt teori:

1. Definiera logaritm.(bild nummer 2)

2. Kan du hitta en logaritm från vilket tal som helst?

3. Vilket tal kan stå vid basen av en logaritm?

4. Funktion y=log 0,8 Ökar eller minskar x? Varför?

5. Vilka värden kan en logaritmisk funktion ta?

6. Vilka logaritmer kallas decimal, naturlig?

7. Nämn de grundläggande egenskaperna hos logaritmer.(bild nummer 3)

8. Är det möjligt att flytta från en logaritmbas till en annan? Hur man gör det?(bild nummer 4)

2. Arbeta med kort (3-4 elever):

Kort nr 1: Beräkna: a) logga 6 4 + log 6 9 =

B) log 1/3 36 – log 1/3 12 =

Lös ekvation: logga 5 x = 4 log 5 3 – 1/3 log 5 27

Kort nr 2:

Beräkna: a) log211 – log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Lös ekvation: logga 7 x = 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 – 1/3 log 7 125.

Frontal klassundersökning (muntliga övningar)

Beräkna: (bild nummer 5)

Jämför siffror: (bild nummer 6)

1. log ½ e och log ½ π;
2. log 2 √5/2 och log 2 √3/2.

Ta reda på tecknet på uttrycket log 0,8 3 · log 6 2/3. (bild nummer 7)

1. Kontrollera läxor:

Följande övningar gavs hemma: nr 327 (icke-kap.), 331 (icke-kap.), 333 (2) och 390 (6). Kontrollera svaren på dessa uppgifter och svara på elevernas frågor.

1. Att lära sig nytt material:

Definition: En ekvation som innehåller en variabel under logaritmetecknet kallas logaritmisk.

Det enklaste exemplet på en logaritmisk ekvation är ekvationen
logga a x =c (a > 0, a≠ 1)
Metoder för att lösa logaritmiska ekvationer:(bild nummer 8)

1. Lösa ekvationer utifrån definitionen av logaritm.(bild nummer 9)

logga a x = c (a > 0, a≠ 1) har en lösning x = a Med .

Baserat på definitionen av logaritmen löses ekvationer där:

• med hjälp av de givna baserna och talet bestäms logaritmen,
• med hjälp av en given logaritm och bas, bestäms talet
• Basen bestäms utifrån det givna talet och logaritmen.

Exempel:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x = 128, x =16 ¾, x 3 =27,

2 x = 2 7, x = 2 3, x 3 = 3 3,

x=7. x = 8. x =3.

a) logg 7 (3x-1)=2 (svar: x=3 1/3)

b) logg 2 (7-8x)=2 (svar: x=3/8).

1. Potentieringsmetod.(bild nummer 10)

Med potentiering menar vi övergången från en likhet som innehåller logaritmer till en likhet som inte innehåller dem, d.v.s.

Logga a f(x) = logga a g(x), sedan f(x) = g(x), förutsatt att f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

Exempel:

Lös ekvationen =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - felaktigt

Svar: det finns inga lösningar.

lg(x 2 -2) = log x (svar: x=2)

1. Ekvationer lösas genom att tillämpa den grundläggande logaritmiska identiteten.(bild nr 11)

Exempel:

Lös ekvationen=logg 2 (6:or)

ODZ:

6x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 >0;

x 2 >0.

Systemlösning: (0;1)Ụ (1;6).

Logg 2 (6:or)

x 2 = 6:or

x 2 + x-6 = 0

x=-3 tillhör inte ODZ.

x=2 tillhör ODZ.

Svar: x=2

Lös följande ekvation som en klass:

= (svar: x=1)

1. En metod för att reducera logaritmer till samma bas.(bild nummer 12)

Exempel:

Lös logekvationen 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 log 2 x=7

log 2 x=4

x=16 – tillhör ODZ.

Svar: x=16.

Lös följande ekvation som en klass:

3 (svar: x=5/3)

1. Ekvationer lösas genom att tillämpa logaritmens egenskaper.(bild nummer 13)

Exempel:

Lös logekvationen 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Låt oss använda formeln för att konvertera skillnaden mellan logaritmer och logaritmen för kvoten, och vi får log 2 = 2, som följer= 4.

Efter att ha löst den sista ekvationen finner vi x = 3, 3>1 - korrekt

Svar: x = 3.

Lös följande ekvationer som en klass:

a)log 5 (x +1) + log 5 (x +5) = 1 (svar: x=0).

b)logg 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2х≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Logg 9 (37-12x) / log 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

Logg 3 (37-12x) = log 3 (7-2x) 2,

37-12x= 49 -28x +4x 2,

4x 2 -16x +12 =0,

X2-4x +3 =0, D=19, x1 =1, x 2 =3, 3 är en främmande rot.

Svar: x=1 roten av ekvationen.

B) log(x 2 -6x+9) - 2log(x - 7) = log9.

(x 2 -6x+9) >0, x≠ 3,

X-7 >0; x >7; x >7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7)= - 3,

x- 3 = 3x -21, x -3 =- 3x +21,

x =9. x=6 är en främmande rot.

Kontroll visar den 9:e roten av ekvationen.

Svar: 9

1. Ekvationer lösas genom att införa en ny variabel.(bild nummer 14)

Exempel:

Lös lg-ekvationen 2 x - 6lgх+5 = 0.

ODZ: x>0.

Låt logx = p, sedan p 2 -6р+5=0.

p1=1, p2=5.

Tillbaka till ersättning:

logx = 1, logx = 5

x=10, 10>0 – sant x=100000, 100000>0 – sant

Svar: 10, 100 000

Lös följande ekvation som en klass:

Log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 – x 2 ) 2 + x 2 ,

16 – x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X >0, x >0, O.D.Z. [0,4).

Logg 6 2 x + log 6 x +14 = 16 – x 2 + x 2,

Log 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Byt stock 6 x = t

T2 + t-2=0; D = 9; ti = 1, t2 = -2.

Logg 6 x = 1, x = 6 är en främmande rot.

Logg 6 x = -2, x = 1/36, kontroll visar att 1/36 är roten.

Svar: 1/36.

1. Ekvationer lösta genom faktorisering.(bild nummer 15)

Exempel:

Lös logekvationen 4 (2x-1)∙ log 4 x=2 log 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X >0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 eller log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 – tillhör ODZ

Svar: 1;16

Lös följande ekvation som en klass:

log 3 x ∙logg 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (svar: x=1)

1. Metod för att ta logaritmer för båda sidor av en ekvation.(bild nummer 16)

Exempel:

Lös ekvationer

Låt oss ta logaritmen för båda sidor av ekvationen till bas 3.

Vi får log 3 = log 3 (3x)

vi får: log 3 x 2 log 3 x = log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 log 3 2 x = log 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

ersätt log 3 x = p, x >0

2 р2 + р-2=0; D = 9; p1 = 1, p2 = -1/2

Logg 3 x = 1, x=3,

log 3 x = -1/ 2, x = 1/√3.

Svar: 3; 1/√3

Lös följande ekvation som en klass:

Logg 2 x - 1

x = 64 (svar: x=8; x=1/4)

1. Funktionell - grafisk metod.(bild nummer 17)

Exempel:

Lös ekvationerna: logga 3 x = 12:or.

Eftersom funktionen y = log 3 x ökar, och funktionen y = 12 minskar på (0; + ∞), då har den givna ekvationen på detta intervall en rot.

Låt oss konstruera grafer för två funktioner i ett koordinatsystem: y= log 3 x och y = 12:or.

När x=10 förvandlas den givna ekvationen till den korrekta numeriska likheten 1=1. Svaret är x=10.

Lös följande ekvation som en klass:

1-√х =ln x (svar: x=1).

1. Sammanfattning, reflektion (dela ut cirklar där barnen markerar sitt humör med en teckning).(bild nr 18,19)

Bestäm metoden för att lösa ekvationen:

1. Läxor: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Litteratur

1. Ryazanovsky, A.R. Matematik. 5 – 11 årskurser: Ytterligare material för matematiklektionen / A.R. Ryazanovsky, E.A. Zaitsev. – 2:a uppl., stereotyp. – M.: Bustard, 2002
2. Matematik. Tillägg till tidningen "Första september". 1997. Nr 1, 10, 46, 48; 1998. Nr 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Icke-standardiserade former av fritidsaktiviteter. För mellan- och högstadiet / N.M. Skorkina. – Volgograd: Lärare, 2004
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. Didaktiskt material om algebra och analysprinciper för årskurs 10./B.G. Ziv, V.A. Goldich. – 3:e uppl., reviderad. – St. Petersburg: "CheRo-on-Neva", 2004
5. Algebra och analysens början: matematik för tekniska skolor / red. G.N.Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

Förhandsvisning:

För att använda presentationsförhandsvisningar, skapa ett Google-konto och logga in på det: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Metoder för att lösa logaritmiska ekvationer Matematiklärare: Plotnikova T.V. MBOU "Secondary School No. 1 of Suzdal"

Definition Logaritmen för ett positivt tal b till basen a, där a >0, a≠1, är exponenten c till vilken a måste höjas för att få b.

Egenskaper för logaritmer log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Formler för att flytta till en annan bas 4

Räkna ut: 5

Jämför 6

7 Bestäm tecknet för siffran:

Grundläggande metoder för att lösa logaritmiska ekvationer

1. Använd definitionen av logaritmen l og 2 128= x log x 27= 3 Lös följande ekvationer: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Potentieringsmetod Låt oss lösa följande ekvation: log (x 2 -2) = log x 10 2

11 3. Ekvationer lösta genom att tillämpa den grundläggande logaritmiska identiteten Låt oss lösa följande ekvation: 1

12 4. Metod för att reducera logaritmer till samma bas log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Lös följande ekvation:

13 5. Ekvationer lösta genom att tillämpa egenskaperna hos logaritmen log 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2 Låt oss lösa följande ekvationer: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) = 1 b)log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1 c) log(x 2 -6x+9) - 2log(x - 7) = log9 0 1 9

6. Ekvationer lösas genom att införa en ny variabel l g 2 x - 6lgх +5 = 0 Låt oss lösa följande ekvationer: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 – x 2) 2 + x 2 14

15 7. Ekvationer lösta med faktorisering log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Låt oss lösa följande ekvationer: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x- 2) 1

8. Logaritmmetod Låt oss lösa följande ekvation: 16

9. Funktionell - grafisk metod log 3 x = 12 Låt oss lösa följande ekvation: 17 1

Bestäm metoden för att lösa ekvationen: Ekvation: Lösningsmetod för att bestämma logaritmövergången till en annan basfaktoriseringspotentiering införande av en ny variabelövergång till en annan bas med hjälp av logaritmlogaritmgrafikens egenskaper 18

Ja! Och vem kom på dessa logaritmiska ekvationer! Allt löser sig för mig!!! Behöver vi lösa ett par exempel till?! Reflektion 19

Som ni vet, när man multiplicerar uttryck med potenser, summeras deras exponenter alltid (a b *a c = a b+c). Denna matematiska lag härleddes av Arkimedes, och senare, på 800-talet, skapade matematikern Virasen en tabell med heltalsexponenter. Det var de som tjänade för vidare upptäckt av logaritmer. Exempel på användning av denna funktion finns nästan överallt där du behöver förenkla besvärlig multiplikation genom enkel addition. Om du lägger 10 minuter på att läsa den här artikeln kommer vi att förklara för dig vad logaritmer är och hur du arbetar med dem. På ett enkelt och lättillgängligt språk.

Definition i matematik

En logaritm är ett uttryck av följande form: log a b=c, det vill säga logaritmen för alla icke-negativa tal (det vill säga alla positiva) "b" till sin bas "a" anses vara potensen "c" ” till vilket basen ”a” måste höjas för att i slutändan få värdet ”b”. Låt oss analysera logaritmen med hjälp av exempel, låt oss säga att det finns ett uttryck log 2 8. Hur hittar man svaret? Det är väldigt enkelt, du måste hitta en effekt så att du får 8 från 2 till den önskade effekten. Efter att ha gjort några beräkningar i huvudet får vi siffran 3! Och det är sant, eftersom 2 i 3 potens ger svaret som 8.

Typer av logaritmer

För många elever och studenter verkar detta ämne komplicerat och obegripligt, men i själva verket är logaritmer inte så skrämmande, det viktigaste är att förstå deras allmänna innebörd och komma ihåg deras egenskaper och vissa regler. Det finns tre olika typer av logaritmiska uttryck:

1. Naturlig logaritm ln a, där basen är Eulertalet (e = 2,7).
2. Decimal a, där basen är 10.
3. Logaritm av valfritt tal b till basen a>1.

Var och en av dem löses på ett standardsätt, inklusive förenkling, reduktion och efterföljande reduktion till en enda logaritm med hjälp av logaritmiska satser. För att få de korrekta värdena på logaritmer bör du komma ihåg deras egenskaper och sekvensen av åtgärder när du löser dem.

Regler och vissa restriktioner

Inom matematiken finns det flera regler-begränsningar som accepteras som ett axiom, det vill säga de är inte föremål för diskussion och är sanningen. Det är till exempel omöjligt att dividera tal med noll, och det är också omöjligt att extrahera den jämna roten av negativa tal. Logaritmer har också sina egna regler, efter vilka du enkelt kan lära dig att arbeta även med långa och rymliga logaritmiska uttryck:

• Basen "a" måste alltid vara större än noll och inte lika med 1, annars kommer uttrycket att förlora sin betydelse, eftersom "1" och "0" i någon grad alltid är lika med deras värden;
• om a > 0, då a b >0, visar det sig att "c" också måste vara större än noll.

Hur löser man logaritmer?

Till exempel ges uppgiften att hitta svaret på ekvationen 10 x = 100. Detta är väldigt enkelt, du måste välja en potens genom att höja talet tio till vilket vi får 100. Detta är naturligtvis 10 2 = 100.

Låt oss nu representera detta uttryck i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. När man löser logaritmer konvergerar praktiskt taget alla åtgärder för att hitta den potens till vilken det är nödvändigt att ange basen för logaritmen för att få ett givet tal.

För att exakt bestämma värdet av en okänd grad måste du lära dig hur man arbetar med en tabell med grader. Det ser ut så här:

Som du kan se kan vissa exponenter gissas intuitivt om du har ett tekniskt sinne och kunskap om multiplikationstabellen. Men för större värden behöver du ett kraftbord. Det kan användas även av dem som inte vet något alls om komplexa matematiska ämnen. Den vänstra kolumnen innehåller siffror (bas a), den översta raden av siffror är värdet av potensen c som talet a höjs till. I skärningspunkten innehåller cellerna de talvärden som är svaret (a c =b). Låt oss ta till exempel den allra första cellen med talet 10 och kvadrera den, vi får värdet 100, som indikeras i skärningspunkten mellan våra två celler. Allt är så enkelt och lätt att även den mest sanna humanist kommer att förstå!

Ekvationer och ojämlikheter

Det visar sig att exponenten under vissa förhållanden är logaritmen. Därför kan alla matematiska numeriska uttryck skrivas som en logaritmisk likhet. Till exempel kan 3 4 =81 skrivas som bas 3-logaritmen av 81 lika med fyra (log 3 81 = 4). För negativa potenser är reglerna desamma: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritm, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerande delarna av matematiken är ämnet "logaritmer". Vi kommer att titta på exempel och lösningar på ekvationer nedan, omedelbart efter att ha studerat deras egenskaper. Låt oss nu titta på hur ojämlikheter ser ut och hur man kan skilja dem från ekvationer.

Följande uttryck ges: log 2 (x-1) > 3 - det är en logaritmisk olikhet, eftersom det okända värdet "x" står under det logaritmiska tecknet. Och även i uttrycket jämförs två kvantiteter: logaritmen för det önskade talet till bas två är större än talet tre.

Den viktigaste skillnaden mellan logaritmiska ekvationer och ojämlikheter är att ekvationer med logaritmer (till exempel logaritmen 2 x = √9) innebär ett eller flera specifika numeriska värden i svaret, medan vid lösning av en olikhet, både intervallet av acceptabla värdena och poängen bestäms genom att bryta denna funktion. Som en konsekvens är svaret inte en enkel uppsättning enskilda tal, som i svaret på en ekvation, utan en kontinuerlig serie eller uppsättning tal.

Grundläggande satser om logaritmer

När man löser primitiva uppgifter för att hitta logaritmens värden kanske dess egenskaper inte är kända. Men när det kommer till logaritmiska ekvationer eller olikheter är det först och främst nödvändigt att tydligt förstå och tillämpa i praktiken alla de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Vi kommer att titta på exempel på ekvationer senare; låt oss först titta på varje egenskap mer detaljerat.

1. Huvudidentiteten ser ut så här: a logaB =B. Det gäller endast när a är större än 0, inte lika med ett, och B är större än noll.
2. Produktens logaritm kan representeras i följande formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I detta fall är det obligatoriska villkoret: d, s 1 och s 2 > 0; a≠1. Du kan ge ett bevis för denna logaritmiska formel, med exempel och lösning. Låt log a s 1 = f 1 och log a s 2 = f 2, sedan a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi får att s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaper för grader ), och då per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, vilket är vad som behövde bevisas.
3. Logaritmen för kvoten ser ut så här: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Satsen i form av en formel har följande form: log a q b n = n/q log a b.

Denna formel kallas "egenskapen för graden av logaritm." Det liknar egenskaperna hos vanliga grader, och det är inte förvånande, eftersom all matematik är baserad på naturliga postulat. Låt oss titta på beviset.

Låt logga a b = t, det blir a t =b. Om vi ​​höjer båda delarna till potensen m: a tn = b n ;

men eftersom a tn = (a q) nt/q = b n, log a q b n = (n*t)/t, log a q b n = n/q log a b. Teoremet har bevisats.

Exempel på problem och ojämlikheter

De vanligaste typerna av problem på logaritmer är exempel på ekvationer och ojämlikheter. De finns i nästan alla problemböcker, och är också en obligatorisk del av matematikprov. För att komma in på ett universitet eller klara inträdesprov i matematik måste du veta hur du korrekt löser sådana uppgifter.

Tyvärr finns det ingen enskild plan eller schema för att lösa och bestämma det okända värdet på logaritmen, men vissa regler kan tillämpas på varje matematisk olikhet eller logaritmisk ekvation. Först och främst bör du ta reda på om uttrycket kan förenklas eller reduceras till en allmän form. Du kan förenkla långa logaritmiska uttryck om du använder deras egenskaper korrekt. Låt oss lära känna dem snabbt.

När vi löser logaritmiska ekvationer måste vi bestämma vilken typ av logaritm vi har: ett exempeluttryck kan innehålla en naturlig logaritm eller en decimal.

Här är exempel ln100, ln1026. Deras lösning kokar ner till det faktum att de måste bestämma den effekt som basen 10 kommer att vara lika med 100 respektive 1026. För att lösa naturliga logaritmer måste du tillämpa logaritmiska identiteter eller deras egenskaper. Låt oss titta på exempel på att lösa logaritmiska problem av olika slag.

Hur man använder logaritmformler: med exempel och lösningar

Så låt oss titta på exempel på att använda de grundläggande satserna om logaritmer.

1. Egenskapen för en produkts logaritm kan användas i uppgifter där det är nödvändigt att dekomponera ett stort värde av talet b i enklare faktorer. Till exempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret är 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, med hjälp av den fjärde egenskapen i logaritmpotensen, lyckades vi lösa ett till synes komplext och olösligt uttryck. Du behöver bara faktorisera basen och sedan ta exponentvärdena ur logaritmens tecken.

Uppgifter från Unified State Exam

Logaritmer finns ofta i antagningsprov, särskilt många logaritmiska problem i Unified State Exam (statligt prov för alla skolutexaminerade). Vanligtvis finns dessa uppgifter inte bara i del A (den enklaste testdelen av provet), utan också i del C (de mest komplexa och omfattande uppgifterna). Provet kräver noggrann och perfekt kunskap om ämnet "Naturliga logaritmer".

Exempel och lösningar på problem är hämtade från de officiella versionerna av Unified State Exam. Låt oss se hur sådana uppgifter löses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Lösning:
låt oss skriva om uttrycket och förenkla det lite log 2 (2x-1) = 2 2, enligt definitionen av logaritmen får vi att 2x-1 = 2 4, därför 2x = 17; x = 8,5.

• Det är bäst att reducera alla logaritmer till samma bas så att lösningen inte blir krånglig och förvirrande.
• Alla uttryck under logaritmetecknet indikeras som positiva, därför, när exponenten för ett uttryck som är under logaritmetecknet och som bas tas ut som en multiplikator, måste uttrycket som finns kvar under logaritmen vara positivt.