Mattelektion "Decimaler. Läsa och skriva decimaler." Decimalbråk Stafettspel: "Vem är snabbare?"

Mattelektion 5:e klass

Ämne: Läsa och skriva decimaler

Lektionens mål: Sekundär förståelse av redan kända kunskaper, utveckling av färdigheter och förmågor för deras tillämpning Genom arbete i grupp med en problemuppgift ska eleverna lära sig att omvandla ett vanligt bråk till ett decimalbråk, stärka färdigheterna att läsa och skriva decimalbråk, tala färdigheter genom förmågan att namnge siffrorna i ett decimalbråk, kommer att förklara vilka bråk som kan omvandlas till slutliga decimaler och vilka som inte kan.

Språkmål: Förstå och förklara, med hjälp av matematisk terminologi och med egna ord, vilket gängse bråktal som kan omvandlas till ett decimalbråk, namnge decimalerna.

Ämnesordförråd och terminologi: Decimalbråk - decimalbråk, komma - decimalkomma.

Decimaler, gemensamt bråktal, platsenhet, täljare, nämnare.

Bråkdelar: tiondelar, hundradelar, tusendelar etc.;

Heltal: enheter, tiotal, hundra, etc.

En serie användbara fraser för dialog/skrivande:

En decimal är en annan notation för ett bråk

För att skriva detta bråktal som en decimal behöver du...

Heltalsdelen separeras från bråkdelen med ett kommatecken

Bråket läses: ... hel, ... (tiondelar, hundradelar, etc.)

Utbildnings- och utvecklingsaspekten av lektionen: Utveckla beräkningsfärdigheter, matematiskt tal, uppmärksamhet, tänkande; utveckla etiska och estetiska normer för beteende i klassrummet, en känsla av ansvar genom själv- och ömsesidig bedömning.

Lektionstyp: Lektion för att konsolidera kunskap.

Elevernas kunskaper vid utgången: Eleverna kommer att:

kunna namnge platserna för ett decimalbråk;

kunna omvandla bråk till decimaler på två sätt;

förstå vilka bråk som kan omvandlas till slutliga decimaler och vilka som inte kan;

Använd en mikroräknare för att omvandla bråk till decimaler.

Ingjuta värden: Inskärning av värderingar - ärlighet, ansvar, respekt - utförs genom arbete i grupp och genom själv- och ömsesidig bedömning, globalt medborgarskap genom en utflykt till historien om utvecklingen av begreppet decimalbråk, förtrogenhet med moderna sätt att skriva decimalbråk.

Tvärvetenskapliga kopplingar: Tvärvetenskaplig kommunikation med det ryska språket är möjlig genom utveckling av att tala med läsning av decimaler och uttryck med decimaler. Tvärvetenskaplig integration i lektionen realiseras genom aktiviteter, genom att läsa decimaler och titta på videor.

Förhandskunskap: Vanliga bråk, egen/oegentliga bråk, samband mellan division och bråk, bråkens grundläggande egenskaper, blandade tal, siffror i naturliga tal.

Under lektionerna:

Att organisera tid. (5 minuter)

Uppdelning i 2 lag. Metod "Sätt ihop en bild". Eleverna hittar sina bitar och gör en bild. (Kan delas in i fler grupper beroende på klassens storlek)

Bild för första laget:

Bild för andra laget:

På baksidan av bilden finns en föreslagen uppgift. Lag måste lösa ett problem.

Uppgift för 1 team: Före vinterdvalan samlade björnen på sig fett och började väga 250 kg. Under vintern kommer han att gå ner i vikt. Hur många kilo kommer en björn att väga efter viloläge?

Uppgift för 1 team: Musfamiljen har förberett 70 kg spannmål för vintern. Under vintern kommer de att äta upp reserverna. Hur många kilo spannmål finns kvar efter övervintringen?

Svaret kontrolleras mot svaret som läraren utarbetat på samma bild.

Uppdatera grundläggande kunskaper och rätta till dem. (5 minuter)

Stafettspel: "Vem är snabbare?"

Eleverna kommer ut en i taget från varje lag och skriver ett bråktal eller ett blandat tal som en decimal.

Att bestämma gränserna (möjligheterna) för att tillämpa kunskap.

Vi konsoliderar algoritmerna, övningar enligt modellen och under liknande förhållanden för att utveckla färdigheterna för felfri tillämpning av kunskap.

1 . Arbeta med kort i ett team. Skapa en enda lösning på klustret:

Alternativ 1 (för 1 lag)

3, 12, 7, 14, , , 2

Skriv siffror som decimaler

a) 5 punkt 7; b) 0 punkt 3; c) 14 poäng 4 hundradelar; d) 0 poäng 72 tusendelar.

Alternativ 2 (för 2:a laget)

Skriv siffror som decimaler

5, 7, 7, 5, 2, , ,

Skriv siffror som decimaler

a) 3 punkt 7; b) 0 punkt 11; c) 12 poäng 4 hundradelar; d) 8 poäng 27 tusendelar.

Hur många siffror efter decimalkomma finns det i decimalnotationen för ett bråk?

De byter kort och förmedlar sina beslut. En ömsesidig kontroll pågår.

2 . Fyll bordet. Med efterföljande ömsesidig verifiering.

Diktering. Självkontroll och teamcheck.

a) 3 punkt 3; b) 15 poäng 55 hundradelar; c) 0 poäng 67 hundradelar;

d) 5 poäng 404 tusendelar; e) 87 poäng 1 hundradel; f) 72 poäng 12 tusendelar;

g) 6 poäng 62 tusendelar; h) 2 hela 2 hundradelar; i) 0 poäng 2 hundradelar.

Arbeta med modeller.Ömsesidig verifiering i team och team

Givet en kvadrat. Färga i den angivna delen av denna ruta.

Vilken del av torget är skuggad? Uttryck ditt svar först som ett decimalbråk och sedan som ett vanligt bråktal. Måla samma del av den intilliggande kvadraten på något annat sätt.

Problemuppgift.

"Hur skriver man ett bråk som en decimal?" 1 minut att tänka.

Led efter 1 minut eleverna till den första metoden baserad på bråklinjens värde - division.

1 sätt: Dela 1 i 2 med ett hörn. (Du kan använda videoresursen "Konvertera bråk till decimaler"

Exempel för konsolidering. Eleverna uppträder i grupper och kontrollerar provsvaret för ett av kommandona.

Skriv som en decimal:

Led eleverna till denna metod, förlita sig på den grundläggande egenskapen hos ett bråk och leda eleverna till behovet av att reducera till en ny nämnare, en sifferenhet. Var först uppmärksam på komponentmultiplikatorerna för bitenheterna.

Metod 2: multiplicera nämnaren med ett sådant tal att den minsta möjliga produkten i nämnaren är en sifferenhet - 10, 100,1000 ...

eller .

Konvertera till decimalbråk och fyll i tabellen:

Ämne: matematik Klass: 5

Lektionens ämne: " Decimal. Läsa och skriva decimaler."

Lektionens mål:

pedagogisk: studera begreppet decimalbråk, lära sig att läsa och skriva decimalbråk, utveckla förmågan att läsa och skriva decimalbråk;utvecklande: utveckla logiskt tänkande, förmågan att analysera, jämföra, generalisera, dra slutsatser, utveckla uppmärksamhet;pedagogisk: att odla i eleverna hårt arbete, noggrannhet, självkontroll färdigheter, vänlighet, ömsesidig hjälp.

Lektionstyp: lära sig nytt material.

Lär ut metoder: verbalt, praktiskt, individuellt.

Lektionsplanering:

1. Organisatoriskt ögonblick.

2. Muntlig undersökning.

3.Förklaring av nytt material.

3. Betraktelse av exempel, muntligt.

4. Konsolidering av kunskap.

5. Betyg på lektionen.

6. Göra hemuppgifter.

Under lektionerna:

1. Organisatoriskt ögonblick.

Hej grabbar! Sitt ner! (Journalen är ifylld, frånvarande elever noteras).

2. Muntlig undersökning:

a) Vilka bråk har vi studerat?

b) Vilka är de vanliga bråken?

c) Vilka operationer kan vi utföra på vanliga bråk?

Idag i lektionen kommer vi att bekanta oss med nya bråk - decimaler.

3. Studera nytt material.

Bland vanliga bråk och blandade tal finns det ofta bråk med en nämnare som är en multipel av 10. Till exempel om du uttrycker 9 mm i centimeter; 15m 2 39dm 2 – i kvadratmeter; 18 kg 327 g – i kilogram; 937895 mm 3 - i kubikmeter får vi:

Centimeter; m 2; kg; m 3.

Bråk med nämnare 10, 100, 1000 osv. skrivet utan nämnare: =0,9; =15,39; =18,327; =0,937895.

0,9; 15,39; 18,327; 0,937895 är decimaler.

De har en heltalsdel - talet före decimalkomma, och en bråkdel - det skrivs efter decimalkomma. Bråkdelen separeras från hela delen med ett kommatecken.

Blandade tal och deras ekvivalenta decimalbråk läses på samma sätt.

Till exempel 7 och 7.3 lyder: sju punkt tre.

Läsningen av ett vanligt bråk och dess ekvivalenta decimalbråk är annorlunda.

Till exempel,

Läs: sju tiondelar,

0,7 läs: noll komma sju.

Detta betyder att när du skriver decimalbråk som saknar heltalsdel, skriv 0 framför bråkdelen och läs "noll heltal."

I exemplen nedan på att skriva decimalbråk visade det sig att det finns lika många siffror i täljaren för ett gemensamt bråktal som det finns nollor i nämnaren. Antalet siffror i numret och antalet nollor i nämnaren kan vara olika.

Låt oss till exempel skriva det som ett decimaltal. I detta blandade tal har bråkdelens täljare två siffror och nämnaren har tre nollor. Därför utjämnar vi först antalet siffror i täljaren och antalet nollor i nämnaren: vi lägger till en nolla framför täljaren. Vi får:

Då = = 23,071

Betyder att,

Så här skriver du ett blandat tal eller ett gemensamt bråk vars nämnare är en multipel av 10 som ett decimalbråk:

Utjämna, om nödvändigt, antalet siffror i täljaren och antalet nollor i nämnaren genom att lägga till nollor framför täljaren;

Skriv ner heltalsdelen (den kan vara noll);

Sätt in ett kommatecken som skiljer hela delen från bråkdelen;

Skriv ner täljaren för bråkdelen.

Till exempel = =0,007;14 = =14,000423

Ett decimalbråk, som ett naturligt tal, är uppdelat i siffror. Namnen på siffrorna i decimaldelens heltalsdel är desamma som för det naturliga talet, och namnen på bråkdelen är olika. Den första decimalen till höger om decimaltecknet kallas tiondelar, är nästa siffra hundradelar, och då - tusendelar, hundra tusendelar etc.

4. Beslut om att konsolidera nytt material.

№697

Läs decimalerna:

1)25,4

2)0,136

3)103,15

4)8,234

5)1,39

6)267,267

7)1015,1

8)307,3078

№698

Läs decimalerna:

1)36,04

2)0,003

3)181,105

4)0,0809

5)200,7001

6)6,00081

№700

Skriv ner decimalbråken:

1) tre komma sexton

2) åtta punkt tre

3) noll komma tre

4) tjugoåtta komma sjuhundra tusendelar

5) fyrahundra komma femton miljondelar

5. Sammanfattning av lektionen: meddela betyg på lektionen, skriv ner uppgiften.

6. Läxor: lär dig regeln och fyll i följande siffror:

№701 (9-16), №702

Vi kommer att ägna detta material till ett så viktigt ämne som decimalbråk. Låt oss först definiera de grundläggande definitionerna, ge exempel och uppehålla oss vid reglerna för decimalnotation, samt vad siffrorna för decimalbråk är. Därefter lyfter vi fram huvudtyperna: ändliga och oändliga, periodiska och icke-periodiska bråk. I den sista delen kommer vi att visa hur punkterna som motsvarar bråktal ligger på koordinataxeln.

Vad är decimalnotation av bråktal

Den så kallade decimalnotationen av bråktal kan användas för både naturliga och bråktal. Det ser ut som en uppsättning av två eller flera siffror med ett kommatecken mellan dem.

Decimaltecknet behövs för att skilja hela delen från bråkdelen. Som regel är den sista siffran i ett decimalbråk inte en nolla, såvida inte decimaltecknet visas omedelbart efter den första nollan.

Vilka är några exempel på bråktal i decimalnotation? Detta kan vara 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9, etc.

I vissa läroböcker kan du hitta användningen av en punkt istället för ett kommatecken (5. 67, 6789. 1011, etc.) Detta alternativ anses vara likvärdigt, men det är mer typiskt för engelskspråkiga källor.

Definition av decimaler

Baserat på ovanstående koncept med decimalnotation kan vi formulera följande definition av decimalbråk:

Definition 1

Decimaler representerar bråktal i decimalnotation.

Varför behöver vi skriva bråk i denna form? Det ger oss vissa fördelar jämfört med vanliga, till exempel en mer kompakt notation, speciellt i de fall där nämnaren innehåller 1000, 100, 10, etc., eller ett blandat tal. Till exempel, istället för 6 10 kan vi ange 0,6, istället för 25 10000 - 0,0023, istället för 512 3 100 - 512,03.

Hur man korrekt representerar vanliga bråk med tiotals, hundra, tusentals i nämnaren i decimalform kommer att diskuteras i ett separat material.

Hur man läser decimaler korrekt

Det finns några regler för att läsa decimalnoteringar. Således läses de decimalbråk som motsvarar deras vanliga vanliga ekvivalenter nästan på samma sätt, men med tillägg av orden "noll tiondelar" i början. Således läses posten 0, 14, som motsvarar 14 100, som "noll komma fjorton hundradelar."

Om ett decimaltal kan associeras med ett blandat tal, så läses det på samma sätt som detta tal. Så om vi har bråktalet 56, 002, vilket motsvarar 56 2 1000, läser vi denna post som "femtiosex komma två tusendelar."

Betydelsen av en siffra i ett decimalbråk beror på var den finns (samma som i fallet med naturliga tal). Så i decimalbråket 0,7 är sju tiondelar, i 0,0007 är det tio tusendelar, och i bråktalet 70 000,345 betyder det sju tiotusentals hela enheter. I decimalbråk finns alltså också begreppet platsvärde.

Namnen på siffrorna före decimalkomma liknar de som finns i naturliga tal. Namnen på de som ligger efter visas tydligt i tabellen:

Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 1

Vi har decimalbråket 43 098. Hon har en fyra på tiotalsplatsen, en trea på enhetsplatsen, en nolla på tiondelsplatsen, 9 på hundradelsplatsen och 8 på tusendelsplatsen.

Det är vanligt att särskilja raden av decimalbråk efter prioritet. Om vi ​​rör oss genom siffrorna från vänster till höger, kommer vi att gå från det mest signifikanta till det minst signifikanta. Det visar sig att hundratals är äldre än tiotals och delar per miljon är yngre än hundradelar. Om vi ​​tar det sista decimaltalet som vi citerade som ett exempel ovan, så kommer den högsta eller högsta platsen i den att vara hundratalsplatsen och den lägsta eller lägsta platsen kommer att vara 10-tusendelsplatsen.

Varje decimalbråk kan utökas till enskilda siffror, det vill säga presenteras som en summa. Denna åtgärd utförs på samma sätt som för naturliga tal.

Exempel 2

Låt oss försöka utöka bråkdelen 56, 0455 till siffror.

Vi kommer få:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Om vi ​​kommer ihåg egenskaperna för addition kan vi representera denna bråkdel i andra former, till exempel som summan 56 + 0, 0455 eller 56, 0055 + 0, 4, etc.

Vad är efterföljande decimaler?

Alla bråk vi pratade om ovan är ändliga decimaler. Det betyder att antalet siffror efter decimalkomma är ändligt. Låt oss härleda definitionen:

Definition 1

Efterföljande decimaler är en typ av decimalbråk som har ett ändligt antal decimaler efter decimaltecknet.

Exempel på sådana fraktioner kan vara 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, etc.

Vilken som helst av dessa bråk kan konverteras antingen till ett blandat tal (om värdet på deras bråkdel skiljer sig från noll) eller till ett vanligt bråktal (om heltalsdelen är noll). Vi har ägnat en separat artikel åt hur detta går till. Här ska vi bara peka på ett par exempel: till exempel kan vi reducera det sista decimalbråket 5, 63 till formen 5 63 100, och 0, 2 motsvarar 2 10 (eller någon annan bråkdel lika med den, för exempel, 4 20 eller 1 5.)

Men den omvända processen, dvs. att skriva ett vanligt bråk i decimalform kanske inte alltid är möjligt. Så, 5 13 kan inte ersättas med en lika bråkdel med nämnaren 100, 10, etc., vilket innebär att en sista decimalbråkdel inte kan erhållas från den.

Huvudtyper av oändliga decimalbråk: periodiska och icke-periodiska bråk

Vi angav ovan att ändliga bråk kallas så eftersom de har ett ändligt antal siffror efter decimalkomma. Det kan dock mycket väl vara oändligt, i så fall kommer bråken i sig också att kallas oändliga.

Definition 2

Oändliga decimalbråk är de som har ett oändligt antal siffror efter decimalkomma.

Uppenbarligen kan sådana siffror helt enkelt inte skrivas ner i sin helhet, så vi anger bara en del av dem och lägger sedan till en ellips. Detta tecken indikerar en oändlig fortsättning på sekvensen av decimaler. Exempel på oändliga decimalbråk inkluderar 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. etc.

"Svansen" av en sådan bråkdel kan innehålla inte bara till synes slumpmässiga sekvenser av tal, utan också en konstant upprepning av samma tecken eller grupp av tecken. Bråk med alternerande tal efter decimalkomma kallas periodiskt.

Definition 3

Periodiska decimalbråk är de oändliga decimalbråken där en siffra eller en grupp med flera siffror upprepas efter decimalkomma. Den repeterande delen kallas bråkets period.

Till exempel, för bråket 3, 444444…. perioden kommer att vara siffran 4, och för 76, 134134134134... - gruppen 134.

Vilket är det minsta antalet tecken som kan finnas kvar i notationen av ett periodiskt bråk? För periodiska bråk räcker det att skriva hela perioden en gång inom parentes. Så, bråk 3, 444444…. Det skulle vara korrekt att skriva det som 3, (4) och 76, 134134134134... – som 76, (134).

I allmänhet kommer poster med flera punkter inom parentes att ha exakt samma betydelse: till exempel är det periodiska bråket 0,677777 samma som 0,6 (7) och 0,6 (77), etc. Register av formen 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), etc. är också acceptabla.

För att undvika misstag inför vi enhetlighet i notationen. Låt oss komma överens om att bara skriva ner en punkt (kortast möjliga talföljd), som är närmast decimalkomma, och sätta in den inom parentes.

Det vill säga, för ovanstående bråkdel kommer vi att betrakta huvudposten som 0, 6 (7), och, till exempel, i fallet med bråkdelen 8, 9134343434, kommer vi att skriva 8, 91 (34).

Om nämnaren för ett vanligt bråk innehåller primtalsfaktorer som inte är lika med 5 och 2, kommer de, när de konverteras till decimalnotation, att resultera i oändliga bråk.

I princip kan vi skriva vilket ändligt bråk som helst som ett periodiskt. För att göra detta behöver vi bara lägga till ett oändligt antal nollor till höger. Hur ser det ut vid inspelning? Låt oss säga att vi har den sista bråkdelen 45, 32. I periodisk form kommer det att se ut som 45, 32 (0). Denna åtgärd är möjlig eftersom att lägga till nollor till höger om vilket decimalbråk som helst resulterar i ett bråk som är lika med det.

Särskild uppmärksamhet bör ägnas åt periodiska bråk med en period på 9, till exempel 4, 89 (9), 31, 6 (9). De är en alternativ notation för liknande bråk med en period på 0, så de ersätts ofta när man skriver med bråk med en nollperiod. I det här fallet läggs en till värdet på nästa siffra och (0) anges inom parentes. Likheten mellan de resulterande talen kan enkelt verifieras genom att representera dem som vanliga bråk.

Exempelvis kan fraktionen 8, 31 (9) ersättas med motsvarande fraktion 8, 32 (0). Eller 4, (9) = 5, (0) = 5.

Oändliga decimala periodiska bråk klassificeras som rationella tal. Med andra ord, vilket periodiskt bråk som helst kan representeras som ett vanligt bråk, och vice versa.

Det finns också bråk som inte har en oändligt upprepad sekvens efter decimalkomma. I det här fallet kallas de icke-periodiska bråk.

Definition 4

Icke-periodiska decimalbråk inkluderar de oändliga decimalbråken som inte innehåller en punkt efter decimalkomma, dvs. upprepande grupp av nummer.

Ibland ser icke-periodiska bråk mycket ut som periodiska. Till exempel verkar 9, 03003000300003 ... vid första anblicken ha en punkt, men en detaljerad analys av decimalerna bekräftar att detta fortfarande är ett icke-periodiskt bråktal. Du måste vara mycket försiktig med sådana siffror.

Icke-periodiska bråk klassificeras som irrationella tal. De omvandlas inte till vanliga bråk.

Grundläggande operationer med decimaler

Följande operationer kan utföras med decimalbråk: jämförelse, subtraktion, addition, division och multiplikation. Låt oss titta på var och en av dem separat.

Att jämföra decimaler kan reduceras till att jämföra bråktal som motsvarar de ursprungliga decimalerna. Men oändliga icke-periodiska bråk kan inte reduceras till denna form, och att omvandla decimalbråk till vanliga bråk är ofta en arbetskrävande uppgift. Hur kan vi snabbt utföra en jämförelseåtgärd om vi behöver göra detta samtidigt som vi löser ett problem? Det är bekvämt att jämföra decimalbråk efter siffra på samma sätt som vi jämför naturliga tal. Vi kommer att ägna en separat artikel till denna metod.

För att lägga till några decimalbråk med andra är det praktiskt att använda kolumnadditionsmetoden, som för naturliga tal. För att lägga till periodiska decimalbråk måste du först ersätta dem med vanliga och räkna enligt standardschemat. Om vi, enligt villkoren för problemet, behöver lägga till oändliga icke-periodiska bråk, måste vi först avrunda dem till en viss siffra och sedan lägga till dem. Ju mindre siffra vi avrundar till, desto högre blir noggrannheten i beräkningen. För subtraktion, multiplikation och division av oändliga bråk är också föravrundning nödvändig.

Att hitta skillnaden mellan decimalbråk är det omvända till addition. Med hjälp av subtraktion kan vi i huvudsak hitta ett tal vars summa med bråket vi subtraherar ger oss bråket vi minimerar. Vi kommer att prata om detta mer i detalj i en separat artikel.

Att multiplicera decimalbråk görs på samma sätt som för naturliga tal. Kolumnberäkningsmetoden är också lämplig för detta. Vi reducerar återigen denna åtgärd med periodiska bråk till multiplikationen av vanliga bråk enligt de regler som redan studerats. Oändliga bråk, som vi minns, måste avrundas före beräkningar.

Processen att dividera decimaler är det omvända till att multiplicera. Vid problemlösning använder vi även kolumnära beräkningar.

Du kan fastställa en exakt överensstämmelse mellan det sista decimaltalet och en punkt på koordinataxeln. Låt oss ta reda på hur man markerar en punkt på axeln som exakt motsvarar den nödvändiga decimalfraktionen.

Vi har redan studerat hur man konstruerar punkter som motsvarar vanliga bråk, men decimalbråk kan reduceras till denna form. Till exempel är den vanliga bråkdelen 14 10 samma som 1, 4, så motsvarande punkt kommer att tas bort från origo i positiv riktning med exakt samma avstånd:

Du kan göra utan att ersätta decimalbråket med ett vanligt, men använd metoden för expansion med siffror som grund. Så om vi behöver markera en punkt vars koordinat kommer att vara lika med 15, 4008, kommer vi först att presentera detta nummer som summan 15 + 0, 4 +, 0008. Till att börja med, låt oss avsätta 15 hela enhetssegment i positiv riktning från början av nedräkningen, sedan 4 tiondelar av ett segment och sedan 8 tiotusendelar av ett segment. Som ett resultat får vi en koordinatpunkt som motsvarar bråket 15, 4008.

För en oändlig decimalfraktion är det bättre att använda den här metoden, eftersom den låter dig komma så nära den önskade punkten som du vill. I vissa fall är det möjligt att konstruera en exakt överensstämmelse med en oändlig bråkdel på koordinataxeln: till exempel 2 = 1, 41421. . . , och denna fraktion kan associeras med en punkt på koordinatstrålen, på avstånd från 0 med längden på kvadratens diagonal, vars sida kommer att vara lika med ett enhetssegment.

Om vi ​​inte hittar en punkt på axeln, utan ett decimaltal som motsvarar den, kallas denna åtgärd för decimalmåttet för ett segment. Låt oss se hur du gör detta korrekt.

Låt oss säga att vi behöver komma från noll till en given punkt på koordinataxeln (eller komma så nära som möjligt i fallet med en oändlig bråkdel). För att göra detta skjuter vi gradvis upp enhetssegment från ursprunget tills vi kommer till önskad punkt. Efter hela segment mäter vi vid behov tiondelar, hundradelar och mindre bråk så att matchningen blir så exakt som möjligt. Som ett resultat fick vi ett decimaltal som motsvarar en given punkt på koordinataxeln.

Ovan visade vi en ritning med punkt M. Titta på det igen: för att komma till denna punkt måste du mäta ett enhetssegment och fyra tiondelar av det från noll, eftersom denna punkt motsvarar decimalbråket 1, 4.

Om vi ​​inte kan komma till en punkt i processen för decimalmätning, betyder det att det motsvarar en oändlig decimalbråkdel.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Ämne: Decimalbråk. Addera och subtrahera decimaler

Lektion: Decimalnotation av bråktal

Nämnaren för ett bråk kan uttryckas med vilket naturligt tal som helst. Bråktal där nämnaren uttrycks som 10; 100; 1000;…, där n, vi kom överens om att skriva det utan en nämnare. Vilket bråktal som helst vars nämnare är 10; 100; 1000 osv. (det vill säga en etta följt av flera nollor) kan representeras i decimalnotation (som en decimal). Skriv först hela delen, sedan täljaren för bråkdelen, och hela delen skiljs från bråkdelen med ett kommatecken.

Till exempel,

Om en hel del saknas, d.v.s. Om bråket är korrekt skrivs hela delen som 0.

För att skriva en decimal korrekt måste bråktalets täljare ha lika många siffror som det finns nollor i bråket.

1. Skriv som en decimal.

2. Representera en decimal som ett bråktal eller blandat tal.

3. Läs decimalerna.

12,4 - 12 punkt 4;

0,3 - 0 poäng 3;

1,14 - 1 poäng 14 hundradelar;

2,07 - 2 poäng 7 hundradelar;

0,06 - 0 poäng 6 hundradelar;

0,25 - 0 poäng 25;

1.234 - 1 poäng 234 tusendelar;

1.230 - 1 poäng 230 tusendelar;

1.034 - 1 poäng 34 tusendelar;

1,004 - 1 poäng 4 tusendelar;

1.030 - 1 poäng 30 tusendelar;

0,010101 - 0 poäng 10101 miljondelar.

4. Flytta kommatecken i varje siffra 1 plats åt vänster och läs siffrorna.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Flytta kommatecken på varje nummer 1 plats åt höger och läs det resulterande talet.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Uttryck i meter och centimeter.

3,28 m = 3 m + .

7. Uttryck i ton och kilogram.

24.030 t = 24 t.

8. Skriv kvoten som ett decimaltal.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Express i dm.

5 dm 6 cm = 5 dm + ;

9 mm =

Av de många bråktal som finns i aritmetiken förtjänar de som har 10, 100, 1000 i nämnaren - i allmänhet vilken tiopotens som helst - särskild uppmärksamhet. Dessa bråk har ett speciellt namn och notation.

En decimal är en talfraktion vars nämnare är tiopotens.

Exempel på decimalbråk:

Varför var det överhuvudtaget nödvändigt att skilja ut sådana fraktioner? Varför behöver de ett eget inspelningsformulär? Det finns åtminstone tre anledningar till detta:

1. Decimaler är mycket lättare att jämföra. Kom ihåg: för att jämföra vanliga bråk måste du subtrahera dem från varandra och i synnerhet reducera bråken till en gemensam nämnare. I decimaler krävs inget liknande;
2. Minska beräkningen. Decimaler adderar och multiplicerar enligt sina egna regler, och med lite övning kommer du att kunna arbeta med dem mycket snabbare än med vanliga bråk;
3. Enkel inspelning. Till skillnad från vanliga bråk, skrivs decimaler på en rad utan förlust av tydlighet.

De flesta miniräknare ger också svar med decimaler. I vissa fall kan ett annat inspelningsformat orsaka problem. Till exempel, vad händer om du ber om förändring i butiken till ett belopp av 2/3 av en rubel :)

Regler för att skriva decimalbråk

Den största fördelen med decimalbråk är bekväm och visuell notering. Nämligen:

Decimalnotation är en form av att skriva decimalbråk där heltalsdelen separeras från bråkdelen med en vanlig punkt eller kommatecken. I det här fallet kallas själva avgränsaren (punkt eller komma) för en decimalkomma.

Till exempel 0,3 (läs: "nollpunkt, 3 tiondelar"); 7,25 (7 hela, 25 hundradelar); 3.049 (3 hela, 49 tusendelar). Alla exempel är hämtade från den tidigare definitionen.

I skrift används vanligtvis kommatecken som decimalkomma. Här och vidare på sidan kommer även kommatecken att användas.

För att skriva ett godtyckligt decimalbråk i det här formuläret måste du följa tre enkla steg:

1. Skriv ut täljaren separat;
2. Flytta decimaltecknet åt vänster med så många platser som det finns nollor i nämnaren. Antag att decimaltecknet initialt är till höger om alla siffror;
3. Om decimaltecknet har flyttats, och efter det finns nollor i slutet av inmatningen, måste de strykas över.

Det händer att täljaren i det andra steget inte har tillräckligt med siffror för att slutföra skiftet. I detta fall fylls de saknade positionerna med nollor. Och i allmänhet, till vänster om vilket nummer som helst kan du tilldela valfritt antal nollor utan att skada din hälsa. Det är fult, men ibland användbart.

Vid första anblicken kan denna algoritm verka ganska komplicerad. Faktum är att allt är väldigt, väldigt enkelt - du behöver bara öva lite. Ta en titt på exemplen:

Uppgift. För varje bråk, ange dess decimalnotation:

Täljaren för det första bråket är: 73. Vi flyttar decimaltecknet med en plats (eftersom nämnaren är 10) - vi får 7,3.

Täljare för det andra bråket: 9. Vi flyttar decimalkomma med två ställen (eftersom nämnaren är 100) - vi får 0,09. Jag var tvungen att lägga till en nolla efter decimalkomma och en till före den, för att inte lämna en konstig post som ".09".

Täljaren för det tredje bråket är: 10029. Vi flyttar decimaltecknet med tre platser (eftersom nämnaren är 1000) - vi får 10,029.

Täljaren för det sista bråket: 10 500. Återigen flyttar vi punkten med tre siffror - vi får 10 500. Det finns extra nollor i slutet av siffran. Stryk över dem så får vi 10,5.

Var uppmärksam på de två sista exemplen: siffrorna 10,029 och 10,5. Enligt reglerna ska nollorna till höger vara överstrukna, vilket gjordes i förra exemplet. Du bör dock aldrig göra detta med nollor inuti ett tal (som omges av andra tal). Det är därför vi fick 10,029 och 10,5, och inte 1,29 och 1,5.

Så vi kom på definitionen och formen för att skriva decimalbråk. Låt oss nu ta reda på hur man konverterar vanliga bråk till decimaler - och vice versa.

Omvandling från bråk till decimaler

Betrakta en enkel numerisk bråkdel av formen a /b. Du kan använda grundegenskapen för ett bråk och multiplicera täljaren och nämnaren med ett sådant tal att botten visar sig vara tiopotens. Men innan du gör det, läs följande:

Det finns nämnare som inte kan reduceras till tiopotenser. Lär dig att känna igen sådana bråk, eftersom de inte går att arbeta med med hjälp av algoritmen som beskrivs nedan.

Det är allt. Tja, hur förstår du om nämnaren reduceras till tiopotens eller inte?

Svaret är enkelt: räkna in nämnaren i primtalsfaktorer. Om expansionen endast innehåller faktorerna 2 och 5 kan detta tal reduceras till tiopotens. Om det finns andra siffror (3, 7, 11 - vad som helst), kan du glömma kraften av tio.

Uppgift. Kontrollera om de angivna bråken kan representeras som decimaler:

Låt oss skriva ut och faktorisera nämnarna för dessa bråk:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - det finns bara siffrorna 2 och 5. Därför kan bråket representeras som en decimal.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - det finns en "förbjuden" faktor 3. Bråket kan inte representeras som en decimal.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Allt är i sin ordning: det finns ingenting förutom siffrorna 2 och 5. Ett bråk kan representeras som en decimal.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Faktorn 3 "uppstod" igen. Den kan inte representeras som ett decimalbråk.

Så vi har sorterat ut nämnaren - låt oss nu titta på hela algoritmen för att flytta till decimalbråk:

1. Faktorisera nämnaren för det ursprungliga bråket och se till att det generellt kan representeras som en decimal. De där. kontrollera att endast faktor 2 och 5 är närvarande i expansionen, annars fungerar inte algoritmen;
2. Räkna hur många tvåor och femmor som finns i expansionen (det kommer inga andra siffror där, minns du?). Välj ytterligare en faktor så att antalet tvåor och femmor är lika.
3. Egentligen multiplicera täljaren och nämnaren för det ursprungliga bråket med denna faktor - vi får den önskade representationen, d.v.s. nämnaren blir en tiopotens.

Naturligtvis kommer den extra faktorn också att delas upp endast i tvåor och femmor. Samtidigt, för att inte komplicera ditt liv, bör du välja den minsta multiplikatorn av alla möjliga.

Och en sak till: om den ursprungliga bråkdelen innehåller en heltalsdel, var noga med att konvertera denna bråkdel till en felaktig bråkdel - och först därefter tillämpa den beskrivna algoritmen.

Uppgift. Konvertera dessa numeriska bråk till decimaler:

Låt oss faktorisera nämnaren för det första bråket: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Därför kan bråket representeras som en decimal. Expansionen innehåller två tvåor och inte en enda femma, så tilläggsfaktorn är 5 2 = 25. Med den blir antalet tvåor och femmor lika. Vi har:

Låt oss nu titta på den andra fraktionen. För att göra detta, notera att 24 = 3 8 = 3 2 3 - det finns en trippel i expansionen, så bråket kan inte representeras som en decimal.

De två sista bråken har nämnare 5 (primtal) respektive 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - bara tvåor och femmor finns överallt. Dessutom, i det första fallet, "för fullständig lycka" är en faktor på 2 inte tillräckligt, och i det andra - 5. Vi får:

Omvandling från decimaler till vanliga bråk

Den omvända konverteringen - från decimal till vanlig notation - är mycket enklare. Det finns inga begränsningar eller speciella kontroller här, så du kan alltid konvertera ett decimalbråk till det klassiska "tvåvåningsbråket".

Översättningsalgoritmen är som följer:

1. Stryk ut alla nollor på vänster sida av decimalen, såväl som decimalkomma. Detta kommer att vara täljaren för det önskade bråket. Det viktigaste är att inte överdriva det och inte stryka över de inre nollorna omgivna av andra siffror;
2. Räkna hur många decimaler det finns efter decimalkomma. Ta siffran 1 och lägg till så många nollor till höger som det finns tecken du räknar. Detta kommer att vara nämnaren;
3. Skriv faktiskt ner bråket vars täljare och nämnare vi just hittade. Om möjligt, minska den. Om det ursprungliga bråket innehöll en heltalsdel kommer vi nu att få ett oegentligt bråk, vilket är mycket bekvämt för vidare beräkningar.

Uppgift. Konvertera decimalbråk till vanliga bråktal: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Stryk över nollorna till vänster och kommatecken - vi får följande siffror (detta kommer att vara täljare): 8; 3107; 225; 72008.

I den första och andra bråkdelen finns det 3 decimaler, i den andra - 2 och i den tredje - så många som 4 decimaler. Vi får nämnare: 1000; 1000; 100; 10 000.

Låt oss slutligen kombinera täljare och nämnare till vanliga bråk:

Som framgår av exemplen kan den resulterande fraktionen mycket ofta reduceras. Låt mig återigen notera att vilket decimalbråk som helst kan representeras som ett vanligt bråk. Omvänd konvertering kanske inte alltid är möjlig.