Presentation på ämnet "logaritmiska ekvationer". Presentation för en matematiklektion "lösa logaritmiska ekvationer" Lösa exponentiella och logaritmiska ekvationer presentation

1.Inledande del.

11:e klass är ett avgörande skede i din livsresa, året du tar examen från skolan och, naturligtvis, året då du summerar de viktigaste ämnena du studerade i algebra-lektionerna. Vi kommer att ägna vår lektion åt upprepning.Lektionens mål : systematisera metoder för att lösa exponentiella och logaritmiska ekvationer. Och epigrafen till vår lektion kommer att vara ordenmodern polsk matematiker Stanislav Kowal: "Ekvationer är den gyllene nyckeln som öppnar alla matematiska sesam." (BILD 2)

2. Muntlig räkning.

Den engelske filosofen Herbert Spencer sa: "Vägarna är inte den kunskap som deponeras i hjärnan som fett, vägarna är de som förvandlas till mentala muskler."(BILD 3)

(Vi arbetar med kort för 2 alternativ och kontrollerar dem sedan.)

370 + 230 3 0,3 7 – 2,1 -23 – 29 -19 + 100

: 50 + 4,1: 7: (-13) : (-3)

· 30:​100 · 1,4 · (-17) – 13

340 20 + 0,02 – 32 + 40

________ __________ __________ _________ _________

? ? ? ? ?

280 + 440 2 0,4 8 – 3,2 -35 – 33 -64 + 100

: 60 +1,2: 8: (-17) : (-2)

· 40: 100 · 1,6 · (-13) – 12

220 50 +0,04 – 48 + 30

_________ ________ _________ _________ _________

? ? ? ? ?

Drifttiden har gått ut. Byt kort med din granne.

Kontrollera att lösningen och svaren är korrekta.(BILD 4)

Och betygsätt den enligt följande kriterier. (BILD 5)

3. Upprepning av material.

a) Grafer och egenskaper för exponential- och logaritmiska funktioner. (BILD 6-9)

b) Slutför muntligt de uppgifter som skrivits på tavlan. (Från uppgiftsbanken Unified State Exam)

c) Låt oss komma ihåg lösningen av de enklaste exponential- och logaritmiska ekvationerna.

4 x – 1 = 1 27 x = 2·4 X = 64 5 X = 8 X

logga 6 x = 3logga 7 (x+3) = 2logga 11 (2x – 5) =logga 11 (x+6)logga 5 X 2 = 0

4. Arbeta i grupp.

Den antika grekiska poeten Niveus hävdade att "matematik inte kan läras genom att se din granne göra det." Därför kommer vi nu att arbeta självständigt.

En grupp svaga elever löser ekvationerna i del 1 av Unified State Exam.

1.Logaritmisk

.

.

Om en ekvation har mer än en rot, svara med den mindre.

2.Indikativ

En grupp starkare elever fortsätter att upprepa metoder för att lösa ekvationer.

Föreslå en metod för att lösa ekvationerna.

1. 4. logga 6x (X 2 – 8x) =logga 6x (2x – 9)

2. 5.lg 2 x 4 – lg x 14 = 2

3. 6. logga 3 x + log 9 x + log 81 x = 7

5. Läxor:

№ 163-165(a), 171(a), 194(a), 195(a)

6. Lektionssammanfattning.

Låt oss återgå till avsnittet om vår lektion, "Lösa ekvationer är den gyllene nyckeln som öppnar alla sesamfrön."

Jag skulle vilja önska att var och en av er hittar sin egen gyllene nyckel i livet, med vars hjälp alla dörrar öppnas för er.

Utvärdera klassens och varje elevs arbete individuellt, kontrollera bedömningsblad och sätta betyg.

7. Reflektion.

Läraren behöver veta hur självständigt och med vilket självförtroende eleven genomförde uppgifterna. För att göra detta kommer eleverna att svara på testfrågorna (enkät), och sedan kommer läraren att bearbeta resultaten.

Jag är nöjd/inte nöjd med mitt arbete i klassen

Lektionen verkade kort/lång för mig

Under lektionen var jag inte trött/trött

Mitt humör har blivit bättre/har blivit sämre

Lektionsmaterialet var tydligt/inte tydligt för mig

användbar/onyttig

intressant tråkigt

Förhandsvisning:

https://accounts.google.com

Bildtexter:

Logaritmer Lösning av logaritmiska ekvationer och ojämlikheter

Begreppet logaritm För vilken grad som helst med en godtycklig reell exponent är definierad och lika med något positivt reellt tal: Exponenten 𝑝 för graden kallas logaritmen för denna grad med basen.

Logaritmen för ett positivt tal till en positiv och ojämn bas: är den exponent som, när den höjs, till vilken talet erhålls. eller då

LOGARITMERS EGENSKAPER 1) Om då. Om då. 2) Om då. Om då.

I alla jämställdheter. 3); 4); 5); 6); 7); 8); 9); ;

10), ; elva), ; 12) om; 13), if är ett jämnt tal, if är ett udda tal.

Decimallogaritm och naturlig logaritm En decimallogaritm är en logaritm om basen är 10. Decimal logaritmnotation: . En logaritm kallas en naturlig logaritm om dess bas är lika med ett tal. Notation för naturlig logaritm: .

Exempel med logaritmer Hitta betydelsen av uttrycket: Nej. 1. ; nr 2. ; Nr 3. ; nr 4. ; nr 5. ; nr 6. ; nr 7. ; nr 8. ; nr 9. ;

№ 10. ; № 11. ; № 12. ; № 13. ; № 14. ; № 15. ; № 16. ; № 17. ; № 18. ; № 19. ; № 20. ; № 21. ;

nr 22. ; nr 23. ; nr 24. ; nr 25. ; nr 26. Hitta värdet på uttrycket if; nr 27. Hitta värdet på uttrycket if; Nr 28. Hitta värdet på uttrycket if.

Lösningsexempel med logaritmer nr 1. . Svar. . Nr 2. . Svar. . Nr 3. . Svar. . Nr 4. . Svar. . Nr 5. . Svar. .

Nr 6. . Svar. . Nr 7. . Svar. . Nr 8. . Svar. . Nr 9. . Svar. . Nr 10. . Svar. .

Nr 11. Svar. . Nr 12. . Svar. . Nr 13. . Svar. Nr 14. . Svar. .

Nr 15. . Svar. Nr 16. . Svar. Nr 17. . Svar. . Nr 18. . Svar. . Nr 19. . Svar. .

Nr 20. . Svar. . Nr 21. . Svar. . Nr 22. . Svar. . Nr 23. . Nr 24. . Svar. . Nr 25. . Svar. .

Nr 26. . E om, alltså. Svar. . Nr 27. . E om, alltså. Svar. . Nr 28. . Om. Svar. .

De enklaste logaritmiska ekvationerna Den enklaste logaritmiska ekvationen är en ekvation av formen: ; , där och är reella tal, är uttryck som innehåller.

Metoder för att lösa de enklaste logaritmiska ekvationerna 1. Per definition av logaritmen. A) Om, då är ekvationen ekvivalent med ekv. B) Ekvationen är ekvivalent med systemet

2. Potentieringsmetod. A) Om den ekvationen är ekvivalent med systemet B) Ekvationen är ekvivalent med systemet

Lösa de enklaste logaritmiska ekvationerna nr 1. Lös ekvationen. Lösning. ; ; ; ; . Svar. . #2: Lös ekvationen. Lösning. ; ; ; . Svar. .

#3: Lös ekvationen. Lösning. . Svar. .

#4: Lös ekvationen. Lösning. . Svar. .

Metoder för att lösa logaritmiska ekvationer 1. Potentieringsmetod. 2. Funktionell-grafisk metod. 3. Faktoriseringsmetod. 4. Variabel ersättningsmetod. 5. Logaritmmetod.

Funktioner för att lösa logaritmiska ekvationer Tillämpa de enklaste egenskaperna hos logaritmer. Fördela termer som innehåller okända, med hjälp av de enklaste egenskaperna hos logaritmer, på ett sådant sätt att logaritmer av kvoter inte uppstår. Tillämpa kedjor av logaritmer: kedjan utökas baserat på definitionen av en logaritm. Tillämpa egenskaperna för den logaritmiska funktionen.

Nr 1. Lös ekvationen. Lösning. Låt oss transformera denna ekvation med hjälp av logaritmens egenskaper. Denna ekvation är ekvivalent med systemet:

Låt oss lösa den första ekvationen i systemet: . Med tanke på det och, vi får. Svar. .

#2: Lös ekvationen. Lösning. . Med hjälp av definitionen av en logaritm får vi: Låt oss kontrollera genom att ersätta de hittade värdena för variabeln i det kvadratiska trinomialet, vi får därför värdena som är rötterna till denna ekvation. Svar. .

#3: Lös ekvationen. Lösning. Vi hittar definitionsdomänen för ekvationen: . Låt oss omvandla denna ekvation

Med hänsyn till ekvationens definitionsdomän får vi. Svar. .

#4: Lös ekvationen. Lösning. Ekvationsdomän: . Låt oss omvandla denna ekvation: . Lös med hjälp av variabelersättningsmetoden. Låt sedan ekvationen ta formen:

Med tanke på det får vi ekvationen Omvänd substitution: Svar.

#5: Lös ekvationen. Lösning. Du kan gissa roten till denna ekvation: . Vi kontrollerar: ; ; . Den sanna jämlikheten är därför roten till denna ekvation. Och nu: LOGARIFTH HÅRT! Låt oss ta logaritmen för båda sidor av ekvationen till basen. Vi får en ekvivalent ekvation: .

Vi har fått en andragradsekvation för vilken en rot är känd. Med hjälp av Vietas sats hittar vi summan av rötterna: , därför hittar vi den andra roten: . Svar. .

Förhandsvisning:

För att använda presentationsförhandsvisningar, skapa ett Google-konto och logga in på det: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Logaritmiska olikheter Logaritmiska ojämlikheter är ojämlikheter i formen, där uttryck innehåller. Om i olikheterna det okända står under logaritmens tecken, så klassificeras ojämlikheterna som logaritmiska olikheter.

Egenskaper hos logaritmer uttryckta av olikheter 1. Jämförelse av logaritmer: A) Om, då; B) Om, då. 2. Jämförelse av en logaritm med ett tal: A) Om, då; B) Om, då.

Egenskaper för monotoni hos logaritmer 1) Om, då och. 2) Om, då och 3) Om, då. 4) Om, då 5) Om, då och

6) Om, då och 7) Om basen för logaritmen är variabel, då

Metoder för att lösa logaritmiska ojämlikheter 1. Potentieringsmetod. 2. Tillämpning av logaritmers enklaste egenskaper. 3. Faktoriseringsmetod. 4. Variabel ersättningsmetod. 5. Tillämpning av egenskaperna hos den logaritmiska funktionen.

Lösa logaritmiska ojämlikheter #1: Lös ojämlikheten. Lösning. 1) Hitta definitionsdomänen för denna ojämlikhet. 2) Låt oss därför omvandla denna ojämlikhet.

3) Med tanke på det får vi. Svar. . #2: Lös ojämlikheten. Lösning. 1) Hitta definitionsdomänen för denna ojämlikhet

Från de två första ojämlikheterna: . Låt oss uppskatta. Låt oss överväga ojämlikhet. Följande villkor måste vara uppfyllt: . Om, då, då.

2) Låt oss omvandla denna ojämlikhet, lös därför ekvationen. Summan av koefficienterna är därför en av rötterna. Dividera fournomial med binomial, vi får.

När vi sedan löser denna ojämlikhet med intervallmetoden, bestämmer vi. Med tanke på det hittar vi värdena för den okända kvantiteten. Svar. .

#3: Lös ojämlikheten. Lösning. 1) Låt oss förvandla. 2) Denna ojämlikhet tar formen: och

Svar. . Nr 4. Lös ojämlikheten. Lösning. 1) Omvandla denna ekvation. 2) Ojämlikhet är ekvivalent med ett system av ojämlikheter:

3) Lös ojämlikheten. 4) Tänk på systemet och lös det. 5) Lösa ojämlikhet. a) Om alltså,

Lösning av ojämlikhet. b) Om alltså . Med hänsyn till vad vi har övervägt får vi en lösning på ojämlikheten. 6) Vi förstår. Svar. .

Nr 5. Lös ojämlikheten. Lösning. 1) Förvandla denna ojämlikhet 2) Ojämlikheten är likvärdig med ett system av ojämlikheter:

Svar. . Nr 6. Lös ojämlikheten. Lösning. 1) Förvandla denna ojämlikhet. 2) Med hänsyn till förändringarna av ojämlikheten är denna ojämlikhet ekvivalent med systemet med ojämlikheter:

Nr 7. Lös ojämlikheten. Lösning. 1) Hitta definitionsdomänen för denna ojämlikhet: .

2) Förvandla denna ojämlikhet. 3) Vi tillämpar variabelersättningsmetoden. Låt, då ojämlikheten kan representeras som: . 4) Låt oss utföra den omvända ersättningen:

5) Lösa ojämlikhet.

6) Lösa ojämlikhet

7) Vi får ett system av ojämlikheter. Svar. .

Ämnet för mitt metodarbete läsåret 2013–2014, och senare läsåret 2015–2016 ”Logarithms. Lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter." Detta arbete presenteras i form av en presentation för lektioner.

ANVÄNDNING AV RESURSER OCH LITTERATUR 1. Algebra och principer för matematisk analys. 10 11 betyg. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna läroanstalter (grundnivå) / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2012. 2. Algebra och analysens början. 10 11 betyg. Modulär triaktiv kurs / A.R. Ryazanovsky, S.A. Shestakov, I.V. Jasjtjenko. M.: Förlag "National Education", 2014. 3. Unified State Examination. Matematik: standardprovalternativ: 36 alternativ / utg. I.V. Jasjtjenko. M.: Förlaget "National Education", 2015.

4. Unified State Exam 2015. Matematik. 30 varianter av standardtestuppgifter och 800 uppgifter av del 2 / I.R. Vysotsky, P.I. Zakharov, V.S. Panferov, S.E. Positselsky, A.V. Semenov, M.A. Semyonova, I.N. Sergeev, V.A. Smirnov, S.A. Shestakov, D.E. Shnol, I.V. Jasjtjenko; redigerad av I.V. Jasjtjenko. M.: Förlag "Examination", förlag MTsNMO, 2015. 5. Unified State Exam-2016: Matematik: 30 alternativ för tentamen för att förbereda sig för unified state-examen: profilnivå / ed. I.V. Jasjtjenko. M.: AST: Astrel, 2016. 6. mathege.ru. Öppen bank av uppgifter i matematik.

Räkning och beräkningar är grunden för ordning i huvudet

Johann Heinrich Pestalozzi

Hitta fel:

• log 3 24 – log 3 8 = 16
• log 3 15 + log 3 3 = log 3 5
• log 5 5 3 = 2
• log 2 16 2 = 8
• 3log 2 4 = log 2 (4*3)
• 3log 2 3 = log 2 27
• log 3 27 = 4
• log 2 2 3 = 8

Beräkna:

• log 2 11 – log 2 44
• log 1/6 4 + log 1/6 9
• 2log 5 25 +3log 2 64

Hitta x:

• log 3 x = 4
• stock 3 (7x-9) = stock 3 x

Peer review

Sanna jämlikheter

Beräkna

-2

-2

22

Hitta x

Resultat av muntligt arbete:

"5" - 12-13 rätta svar

"4" - 10-11 korrekta svar

"3" - 8-9 rätta svar

"2" - 7 eller mindre

Hitta x:

• log 3 x = 4
• stock 3 (7x-9) = stock 3 x

Definition

• En ekvation som innehåller en variabel under logaritmens tecken eller i basen av logaritmen kallas logaritmisk

Till exempel eller

• Om en ekvation innehåller en variabel som inte är under logaritmiskt tecken, kommer den inte att vara logaritmisk.

Till exempel,

Är inte logaritmiska

Är logaritmiska

1. Per definition av logaritm

Lösningen till den enklaste logaritmiska ekvationen är baserad på att tillämpa definitionen av logaritm och lösa den ekvivalenta ekvationen

Exempel 1

2. Potentisering

Med potentiering menar vi övergången från en likhet som innehåller logaritmer till en likhet som inte innehåller dem:

Efter att ha löst den resulterande jämlikheten, bör du kontrollera rötterna,

eftersom användningen av potentieringsformler expanderar

ekvationsdomän

Exempel 2

Lös ekvationen

Potentierande får vi:

Undersökning:

Om

Svar

Exempel 2

Lös ekvationen

Potentierande får vi:

är roten till den ursprungliga ekvationen.

KOM IHÅG!

Logaritm och ODZ

tillsammans

arbetar

överallt!

Sött par!

Två lika!

HAN

- LOGARITM !

HON

-

ODZ!

Två i en!

Två stränder av en flod!

Vi kan inte leva

vän utan

vän!

Nära och oskiljaktiga!

3. Tillämpning av logaritmers egenskaper

Exempel 3

Lös ekvationen

4. Införande av en ny variabel

Exempel 4

Lös ekvationen

Om vi ​​går vidare till variabeln x får vi:

; X = 4 uppfyller villkoret x 0 därför

rötter till den ursprungliga ekvationen.

Bestäm metoden för att lösa ekvationerna:

Ansöker

logaritmernas heliga

A-priory

Introduktion

ny variabel

Potentiering

Kunskapens nöt är mycket svår,

Men våga inte backa.

"Orbit" hjälper dig att knäcka det,

Och klara kunskapsprovet.

№ 1 Hitta produkten av ekvationens rötter

4) 1,21

3) 0 , 81

2) - 0,9

1) - 1,21

№ 2 Ange det intervall till vilket roten till ekvationen

1) (- ∞;-2]

3)

2) [ - 2;1]

4) }