වස සූත්රය සහ වස බෙදා හැරීමේ නීතිය. විෂ බෙදාහැරීම විෂ බෙදා හැරීම මධ්යන්ය
අපි Poisson ව්යාප්තිය සලකා බලමු, එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව, විචලනය සහ මාදිලිය ගණනය කරන්න. MS EXCEL ශ්‍රිතය POISSON.DIST() භාවිතා කරමින්, අපි බෙදා හැරීමේ ශ්රිතයේ සහ සම්භාවිතා ඝනත්වයේ ප්‍රස්ථාර ගොඩනඟමු. අපි බෙදාහැරීමේ පරාමිතිය, එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ සම්මත අපගමනය තක්සේරු කරමු.
පළමුව, අපි බෙදා හැරීම පිළිබඳ වියළි විධිමත් නිර්වචනයක් ලබා දෙන්නෙමු, පසුව අපි අවස්ථා පිළිබඳ උදාහරණ දෙන්නෙමු විෂ බෙදා හැරීම(ඉංග්රීසි) විෂබෙදා හැරීම) යනු අහඹු විචල්‍යයක් විස්තර කිරීම සඳහා ප්රමාණවත් ආකෘතියකි.
අහඹු සිදුවීම් සාමාන්ය සංඛ්‍යාතයක් සමඟ දී ඇති කාල සීමාවක් තුළ (හෝ යම් ද්රව්ය පරිමාවක) සිදුවුවහොත් λ( lambda), ඉන්පසු සිදුවීම් ගණන x, මෙම කාල පරිච්ඡේදය තුළ සිදුවනු ඇත විෂ බෙදා හැරීම.
විෂ බෙදා හැරීමේ යෙදුම
විට උදාහරණ විෂ බෙදා හැරීමප්රමාණවත් ආකෘතියකි:
- නිශ්චිත කාලයක් තුළ දුරකථන හුවමාරුවේ ලැබුණු ඇමතුම් ගණන;
- නිශ්චිත කාලයක් තුළ විකිරණශීලී ක්ෂය වීමකට ලක් වූ අංශු සංඛ්යාව;
- ස්ථාවර දිගකින් යුත් රෙදි කැබැල්ලක ඇති දෝෂ ගණන.
විෂ බෙදා හැරීමපහත සඳහන් කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම් එය ප්රමාණවත් ආකෘතියකි:
- සිදුවීම් එකිනෙකින් ස්වාධීනව සිදු වේ, i.e. පසුකාලීන සිදුවීමක සම්භාවිතාව පෙර සිදුවීම මත රඳා නොපවතී;
- සාමාන්ය සිදුවීම් අනුපාතය නියත වේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, සිදුවීමක සම්භාවිතාව නිරීක්ෂණ පරතරයේ දිගට සමානුපාතික වේ;
- සිදුවීම් දෙකක් එකවර සිදු විය නොහැක;
- සිදුවීම් ගණන 0 අගය ගත යුතුය; 1; 2…
සටහන: හොඳ ඉඟියක් නම් නිරීක්ෂිත අහඹු විචල්‍යයට තිබීමයි විෂ බෙදා හැරීම,එය ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ (පහත බලන්න).
පහත දැක්වෙන අවස්ථා සඳහා උදාහරණ වේ විෂ බෙදා හැරීම බැහැයෙදිය යුතුය:
- පැයක් ඇතුළත විශ්ව විද්‍යාලයෙන් පිටවන සිසුන් සංඛ්යාව (සිසුන්ගේ සාමාන්ය ප්රවාහය නියත නොවන බැවින්: පන්ති අතරතුර සිසුන් ස්වල්පයක් සිටින අතර පන්ති අතර විවේකයේදී සිසුන් සංඛ්යාව තියුනු ලෙස වැඩිවේ);
- කැලිෆෝනියාවේ වසරකට ලක්ෂ්‍ය 5 ක විස්තාරයක් සහිත භූමිකම්පා ගණන (එක් භූමිකම්පාවක් සමාන විස්තාරයක පසු කම්පන ඇති කළ හැකි බැවින් - සිදුවීම් ස්වාධීන නොවේ);
- රෝගීන් දැඩි සත්කාර ඒකකයේ ගත කරන දින ගණන (රෝගීන් දැඩි සත්කාර ඒකකයේ ගත කරන දින ගණන සෑම විටම 0 ට වඩා වැඩි බැවින්).
සටහන: විෂ බෙදා හැරීමවඩාත් නිවැරදි විවික්ත බෙදාහැරීම් ආසන්න වශයෙන්: සහ .
සටහන: සම්බන්ධය ගැන විෂ බෙදා හැරීමසහ ද්විපද ව්‍යාප්තියලිපියෙහි කියවිය හැකිය. සම්බන්ධය ගැන විෂ බෙදා හැරීමසහ ඝාතීය ව්යාප්තියගැන ලිපියෙන් කියවිය හැක.
MS EXCEL හි විෂ බෙදා හැරීම
MS EXCEL හි, 2010 අනුවාදයෙන් ආරම්භ වේ බෙදාහැරීම් විෂ POISSON.DIST(), ඉංග්රීසි නම - POISSON.DIST() ශ්‍රිතයක් ඇත, එමඟින් යම් කාල සීමාවක් තුළ සිදු වන සම්භාවිතාව පමණක් නොව ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. xසිදුවීම් (කාර්යය සම්භාවිතා ඝනත්වය p(x), ඉහත සූත්රය බලන්න), නමුත් (අවම වශයෙන් දී ඇති කාල සීමාව තුළ සම්භාවිතාව xසිද්ධීන්).
MS EXCEL 2010 ට පෙර, EXCEL හට POISSON() ශ්‍රිතය තිබුණි, එය ඔබට ගණනය කිරීමටද ඉඩ සලසයි. බෙදා හැරීමේ කාර්යයසහ සම්භාවිතා ඝනත්වය p(x) POISSON() MS EXCEL 2010 හි ගැළපුම සඳහා ඉතිරි වේ.
උදාහරණ ගොනුවේ ප්‍රස්ථාර අඩංගු වේ සම්භාවිතා ඝනත්වය ව්යාප්තියසහ සමුච්චිත බෙදාහැරීමේ කාර්යය.
විෂ බෙදා හැරීමවිකෘති හැඩයක් ඇත (සම්භාවිතා ශ්රිතයේ දකුණු පැත්තේ දිගු වලිගයක්), නමුත් පරාමිතිය λ වැඩි වන විට, එය වැඩි වැඩියෙන් සමමිතික වේ.
සටහන: සාමාන්යයසහ විසුරුම(හතරැස්) පරාමිතියට සමාන වේ විෂ බෙදා හැරීම- λ (බලන්න උදාහරණ පත්‍ර ගොනු උදාහරණය).
කාර්ය
සාමාන්ය යෙදුම විෂ බෙදාහැරීම්තත්ත්ව පාලනය යනු උපකරණයක හෝ උපාංගයක ඇති විය හැකි දෝෂ ගණනේ ආකෘතියකි.
උදාහරණයක් ලෙස, චිපයක සාමාන්ය දෝෂ සංඛ්යාවක් λ (ලැම්ඩා) 4 ට සමාන වන විට, අහඹු ලෙස තෝරාගත් චිපයකට දෝෂ 2ක් හෝ ඊට අඩු ප්‍රමාණයක් තිබීමේ සම්භාවිතාව: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381
ශ්රිතයේ තුන්වන පරාමිතිය සකසා ඇත = සත්‍ය, එබැවින් ශ්‍රිතය නැවත පැමිණේ සමුච්චිත බෙදාහැරීමේ කාර්යය, එනම් අහඹු සිදුවීම් සංඛ්යාව 0 සිට 4 දක්වා පරාසයක පැවතීමේ සම්භාවිතාවයි.
මෙම නඩුවේ ගණනය කිරීම් සූත්රය අනුව සිදු කරනු ලැබේ:
අහඹු ලෙස තෝරාගත් ක්ෂුද්ර පරිපථයක හරියටම දෝෂ 2ක් තිබීමේ සම්භාවිතාව වන්නේ: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465
ශ්රිතයේ තුන්වන පරාමිතිය සකසා ඇත = FALSE, එබැවින් ශ්‍රිතය සම්භාවිතා ඝනත්වය නැවත ලබා දෙනු ඇත.
අහඹු ලෙස තෝරාගත් ක්ෂුද්ර පරිපථයක දෝෂ 2කට වඩා තිබීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535
සටහන: නම් xනිඛිලයක් නොවේ, එවිට සූත්රය ගණනය කිරීමේදී . සූත්ර =POISSON.DIST( 2 ; 4; බොරු)සහ =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; බොරු)එම ප්රතිඵලය නැවත ලබා දෙනු ඇත.
අහඹු සංඛ්යා උත්පාදනය සහ λ ඇස්තමේන්තු කිරීම
λ හි අගයන් සඳහා >15 , විෂ බෙදා හැරීමහොඳින් ආසන්න සාමාන්ය බෙදාහැරීමේපහත පරාමිතීන් සමඟ: μ =λ , σ 2 =λ .
මෙම බෙදාහැරීම් අතර සම්බන්ධතාවය පිළිබඳ වැඩි විස්තර ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය. ආසන්නයේ උදාහරණ ද ඇත, එය කළ හැකි අවස්ථා සහ කුමන නිරවද්‍යතාවයෙන් පැහැදිලි කර තිබේද යන්න සඳහා කොන්දේසි.
උපදෙස්: ඔබට ලිපියේ අනෙකුත් MS EXCEL බෙදාහැරීම් ගැන කියවිය හැක.
ද්විපද බෙදාහැරීමේ නීතිය ස්ථාවර ප්රමාණයක නියැදියක් ගත් අවස්ථා සඳහා අදාළ වේ. විෂ බෙදා හැරීම අදාළ වන්නේ අවස්ථා සඳහා ය අහඹු සිදුවීම් සංඛ්යාව නිශ්චිත දිගක්, ප්රදේශයක්, පරිමාවක් හෝ වේලාවක් තුළ සිදු වන අතර බෙදා හැරීමේ නිර්ණය කිරීමේ පරාමිතිය සාමාන්ය සිදුවීම් සංඛ්යාව වේ , නියැදි ප්රමාණය නොවේ පීසහ සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව ආර්.උදාහරණයක් ලෙස, නියැදියක ඇති නොගැලපීම් සංඛ්යාව හෝ නිෂ්පාදන ඒකකයකට අනුකූල නොවන සංඛ්යාව.
සාර්ථකත්වයන් ගණන සඳහා සම්භාවිතාව බෙදා හැරීම xපහත පෝරමය ඇත:
එසේත් නැතිනම් විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් යැයි අපට පැවසිය හැකිය xඑහි හැකි අගයන් 0.1, 2 නම්, Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ. ...t, ...p,සහ එවැනි අගයන් ඇතිවීමේ සම්භාවිතාව සම්බන්ධය මගින් තීරණය වේ:
කොහෙද එම් හෝ λ යනු Poisson බෙදාහැරීමේ පරාමිතිය ලෙස හඳුන්වන යම් ධන අගයකි.
Poisson's නීතිය "කලාතුරකින්" සිදුවන සිදුවීම් සඳහා අදාළ වන අතර, ඊළඟ සාර්ථකත්වයේ (උදාහරණයක් ලෙස, අසාර්ථකත්වය) ඇති හැකියාව අඛණ්ඩව පවතින අතර, නියත වන අතර පෙර සාර්ථකත්වයන් හෝ අසාර්ථකත්වයන් ගණන මත රඳා නොපවතී (අපි වර්ධනය වන ක්‍රියාවලීන් ගැන කතා කරන විට. කාලය, මෙය "අතීතයේ ස්වාධීනත්වය" ලෙස හැඳින්වේ). Poisson නීතිය ක්‍රියාත්මක වන සම්භාව්‍ය උදාහරණයක් නම්, යම් කාල පරතරයක් තුළ දුරකථන හුවමාරුවක ඇති දුරකථන ඇමතුම් ගණනයි. වෙනත් උදාහරණ නම්, අලස ලෙස ලියා ඇති අත්පිටපතක පිටුවේ ඇති තීන්ත පැල්ලම් ගණන හෝ මෝටර් රථයක් පින්තාරු කිරීමේදී එහි බඳ මත පතිත වන පැල්ලම් ගණන විය හැකිය. විෂ බෙදා හැරීමේ නීතියෙන් මනිනු ලබන්නේ දෝෂ ගණන මිස දෝෂ සහිත නිෂ්පාදන ගණන නොවේ.
Poisson ව්යාප්තිය පාලනය වන්නේ නියමිත කාල අන්තරවල හෝ ස්ථාවර අවකාශයක සිදුවන අහඹු සිදුවීම් සංඛ්යාව මගිනි. λ සඳහා<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 අගය P(m) වැඩි වීම ටී උපරිම ආසන්නයක් හරහා ගමන් කරයි /
Poisson ව්යාප්තියේ ලක්ෂණයක් වන්නේ විචලනය ගණිතමය අපේක්ෂාවට සමාන වීමයි. විෂ බෙදා හැරීමේ පරාමිතීන්
M(x) = σ 2 = λ (15)
Poisson ව්යාප්තියේ මෙම ලක්ෂණය අපට ප්රායෝගිකව ප්‍රකාශ කිරීමට ඉඩ සලසයි අහඹු විචල්‍යයක පර්යේෂණාත්මකව ලබාගත් ව්යාප්තිය ගණිතමය අපේක්ෂාවේ සහ විචල්‍යතාවයේ නියැදි අගයන් ආසන්න වශයෙන් සමාන නම් Poisson ව්‍යාප්තියට යටත් වේ.
නිමි භාණ්ඩවල වරණාත්මක පාලනය සඳහා යාන්ත්‍රික ඉංජිනේරු විද්‍යාවේදී දුර්ලභ සිදුවීම් පිළිබඳ නීතිය භාවිතා කරනු ලැබේ, තාක්ෂණික තත්ත්වයන් අනුව, පිළිගත් නිෂ්පාදන කාණ්ඩයේ යම් යම් අඩුපාඩු (සාමාන්යයෙන් කුඩා) ප්‍රතිශතයකට ඉඩ දෙනු ලැබේ q<<0.1.
A සිදුවීමේ q සම්භාවිතාව ඉතා කුඩා නම් (q≤0.1), සහ අත්හදා බැලීම් සංඛ්යාව විශාල නම්, A සිදුවීම n අත්හදා බැලීම් වලදී m වාරයක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ.
මෙහි λ = M(x) = nq
Poisson ව්යාප්තිය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබට පහත පුනරාවර්තන සම්බන්ධතා භාවිතා කළ හැකිය
Poisson ව්යාප්තිය සංඛ්යානමය තත්ත්ව සහතික කිරීමේ ක්‍රමවල වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි, මන්ද එය අධි ජ්යාමිතික සහ ද්විපද ව්යාප්තිය ආසන්න කිරීමට භාවිතා කළ හැකි බැවිනි.
qn හි සීමිත සීමාවක් සහ q ඇති විට එවැනි ආසන්න කිරීමක් පිළිගත හැකිය<0.1. Когда p →∞, ඒ r → 0, සාමාන්යය n r = t = const.
දුර්ලභ සිදුවීම් නීතිය භාවිතා කරමින්, ඔබට n ඒකකවල නියැදියක අඩංගු වන සම්භාවිතාව ගණනය කළ හැකිය: 0,1,2,3, ආදිය. දෝෂ සහිත කොටස්, i.e. m වාරයක් ලබා දී ඇත. එවැනි නියැදියක දිස්වන m හෝ ඊට වැඩි දෝෂ සහිත කොටස්වල සම්භාවිතාව ද ඔබට ගණනය කළ හැකිය. මෙම සම්භාවිතාව, සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ රීතිය මත පදනම්ව, සමාන වනු ඇත:
උදාහරණ 1. කාණ්ඩයේ දෝෂ සහිත කොටස් අඩංගු වන අතර එහි අනුපාතය 0.1 කි. කොටස් 10 ක් අනුපිළිවෙලින් ගෙන පරීක්ෂා කරනු ලැබේ, පසුව ඒවා කණ්ඩායමට ආපසු යවනු ලැබේ, i.e. පරීක්ෂණ ස්වාධීන වේ. කොටස් 10 ක් පරීක්ෂා කිරීමේදී එකක් දෝෂ සහිත වීමට ඇති සම්භාවිතාව කුමක්ද?
විසඳුමක්ගැටළු කොන්දේසි වලින් q=0.1; n=10; m=1.නිසැකවම, p=1-q=0.9.
ලබාගත් ප්‍රති result ලය නැවත කණ්ඩායමට ආපසු නොගෙන පේළියක කොටස් 10 ක් ඉවත් කරන විට නඩුවට ද යෙදිය හැකිය. ප්රමාණවත් තරම් විශාල කණ්ඩායමක් සමඟ, උදාහරණයක් ලෙස, කෑලි 1000 ක්, කොටස් නිස්සාරණය කිරීමේ සම්භාවිතාව නොසැලකිලිමත් ලෙස වෙනස් වනු ඇත. එබැවින්, එවැනි තත්වයන් යටතේ, දෝෂ සහිත කොටසක් ඉවත් කිරීම පෙර පරීක්ෂණවල ප්රතිඵල මත රඳා නොපවතින සිදුවීමක් ලෙස සැලකිය හැකිය.
උදාහරණ 2.කාණ්ඩයේ 1% දෝෂ සහිත කොටස් අඩංගු වේ. කණ්ඩායමකින් නිෂ්පාදන ඒකක 50 ක නියැදියක් ගන්නා විට එහි දෝෂ සහිත කොටස් 0, 1, 2, 3, 4 අඩංගු වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?
විසඳුමක්.මෙහි q=0.01, nq=50*0.01=0.5
මේ අනුව, ද්විපදයේ ආසන්න වශයෙන් විෂ ව්යාප්තිය ඵලදායී ලෙස භාවිතා කිරීම සඳහා, සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව අවශ්‍ය වේ. ආර්සැලකිය යුතු ලෙස අඩු විය qඒ n r = tඑකක (හෝ ඒකක කිහිපයක) අනුපිළිවෙලක් විය.
මේ අනුව, සංඛ්යානමය තත්ත්ව සහතික කිරීමේ ක්‍රමවල
අධි ජ්යාමිතික නීතියඕනෑම ප්රමාණයක සාම්පල සඳහා අදාළ වේ පී සහ අනුකූල නොවන ඕනෑම මට්ටමක q ,
ද්විපද නීතිය සහ Poisson නීතිය එහි විශේෂ අවස්ථා, පිළිවෙලින්, n/N ලබා දී ඇත<0,1 и
හැදින්වීම
අහඹු සංසිද්ධි කිසියම් නීතියකට යටත්ද? ඔව්, නමුත් මෙම නීති අපට හුරුපුරුදු භෞතික නීති වලින් වෙනස් වේ. දන්නා පර්යේෂණාත්මක තත්වයන් යටතේ වුවද SV හි අගයන් පුරෝකථනය කළ නොහැක; අපට දැක්විය හැක්කේ SV එකක් හෝ තවත් අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාවන් පමණි. නමුත් SV වල සම්භාවිතා ව්යාප්තිය දැන ගැනීමෙන්, මෙම අහඹු විචල්‍යයන් සහභාගී වන සිදුවීම් පිළිබඳව අපට නිගමනවලට එළඹිය හැකිය. ඇත්ත, මෙම නිගමන ද සම්භාවිතා ස්වභාවය වනු ඇත.
සමහර SV විවික්ත වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e. Xi ස්ථාවර අගයන් පමණක් ගත හැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙම ප්‍රමාණයේ සියලුම (i=1…n) අවසර ලත් අගයන් සඳහා P(Xi) සම්භාවිතා අගයන් මාලාව එහි බෙදා හැරීමේ නියමය ලෙස හැඳින්වේ.
SV බෙදා හැරීමේ නීතිය යනු SV හි විය හැකි අගයන් සහ මෙම අගයන් පිළිගනු ලබන සම්භාවිතාවන් අතර සම්බන්ධතාවයක් ඇති කරන සම්බන්ධතාවයකි. බෙදා හැරීමේ නීතිය SV සම්පූර්ණයෙන්ම සංලක්ෂිත කරයි.
සංඛ්යානමය උපකල්පනයක් පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ගණිතමය ආකෘතියක් තැනීමේදී, SV බෙදා හැරීමේ නීතිය (ආකෘතිය ගොඩනැගීමේ පරාමිතික ආකාරය) පිළිබඳ ගණිතමය උපකල්පනයක් හඳුන්වා දීම අවශ්‍ය වේ.
ගණිතමය ආකෘතිය විස්තර කිරීමේ පරාමිතික නොවන ප්‍රවේශය (SV හි පරාමිතික බෙදා හැරීමේ නීතියක් නොමැත) අඩු නිරවද්‍ය නමුත් පුළුල් විෂය පථයක් ඇත.
අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව සඳහා මෙන්ම, SV හි බෙදා හැරීමේ නීතිය සඳහා එය සොයා ගැනීමට ඇත්තේ ක්‍රම දෙකක් පමණි. එක්කෝ අපි අහඹු සිදුවීමක රූප සටහනක් ගොඩනඟා සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම සඳහා විශ්ලේෂණාත්මක ප්‍රකාශනයක් (සූත්රය) සොයා ගනිමු (සමහර විට යමෙකු දැනටමත් අප වෙනුවෙන් මෙය කර හෝ කරනු ඇත!), නැතහොත් අපට අත්හදා බැලීමක් සහ සංඛ්‍යාත මත පදනම්ව භාවිතා කිරීමට සිදුවනු ඇත. නිරීක්ෂණ, නීතිය බෙදාහැරීම් පිළිබඳව යම් උපකල්පන (උපකල්පන ඉදිරිපත් කරන්න) කරන්න.
ඇත්ත වශයෙන්ම, එක් එක් “සම්භාව්‍ය” බෙදාහැරීම් සඳහා මෙම කාර්යය දිගු කාලයක් තිස්සේ සිදු කර ඇත - බහුලව දන්නා සහ ව්‍යවහාරික සංඛ්‍යාලේඛනවල බහුලව භාවිතා වන්නේ ද්විපද සහ බහුපද ව්යාප්තිය, ජ්යාමිතික සහ අධි ජ්යාමිතික, පැස්කල් සහ පොයිසන් බෙදාහැරීම් සහ තවත් බොහෝ ය.
සියලුම සම්භාව්‍ය බෙදාහැරීම් සඳහා, විශේෂ සංඛ්යාලේඛන වගු වහාම ඉදිකර ප්‍රකාශයට පත් කරන ලදී, ගණනය කිරීම් වල නිරවද්‍යතාවය වැඩි වන විට එය පිරිපහදු කරන ලදී. මෙම වගු වල බොහෝ වෙළුම් භාවිතයෙන් තොරව, ඒවා භාවිතා කිරීම සඳහා නීති රීති පුහුණු කිරීමකින් තොරව, පසුගිය ශතවර්ෂ දෙක තුළ සංඛ්යාලේඛන ප්රායෝගිකව භාවිතා කළ නොහැකිය.
අද තත්වය වෙනස් වී ඇත - සූත්ර භාවිතා කරමින් ගණනය කිරීමේ දත්ත ගබඩා කිරීමට අවශ්‍ය නැත (දෙවැන්න කෙතරම් සංකීර්ණ වුවත්!), බෙදා හැරීමේ නීතිය පුහුණුවීම් සඳහා භාවිතා කිරීමට කාලය මිනිත්තු හෝ තත්පර දක්වා අඩු කර ඇත. මෙම අරමුණු සඳහා දැනටමත් ප්රමාණවත් විවිධ යෙදුම් මෘදුකාංග පැකේජ ප්‍රමාණයක් ඇත.
සියලුම සම්භාවිතා බෙදාහැරීම් අතර, විශේෂයෙන් බොහෝ විට ප්රායෝගිකව භාවිතා කරන ඒවා තිබේ. මෙම බෙදාහැරීම් සවිස්තරාත්මකව අධ්යයනය කර ඇති අතර ඒවායේ ගුණාංග හොඳින් දනී. මෙම බෙදාහැරීම් බොහොමයක් පෝලිම් න්යාය, විශ්වසනීයත්ව න්යාය, තත්ත්ව පාලනය, ක්‍රීඩා න්යාය යනාදිය වැනි දැනුමේ සමස්ත ක්ෂේත්‍රවලට යටින් පවතී.
ඔවුන් අතර, ජේකබ් බර්නූලිට වඩා විශාල සංඛ්යා නීතියේ සාමාන්ය ස්වරූපයක් ඔප්පු කළ සහ පළමු වරට වෙඩි තැබීමේ ගැටළු සඳහා සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්යාය යෙදූ පොයිසන්ගේ (1781-1840) කෘති කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීම වළක්වා ගත නොහැක. . පොයිසන්ගේ නම සම්භාවිතා න්යාය සහ එහි යෙදීම් වල වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරන බෙදා හැරීමේ නීති වලින් එකක් සමඟ සම්බන්ධ වේ.
මෙම පාඨමාලා කාර්යය කැප කර ඇත්තේ මෙම බෙදාහැරීමේ නීතියයි. අපි නීතිය ගැන, එහි ගණිතමය ලක්ෂණ, විශේෂ ගුණාංග සහ ද්විපද ව්යාප්තිය සමඟ සම්බන්ධ වීම ගැන කෙලින්ම කතා කරමු. ප්රායෝගික යෙදුම ගැන වචන කිහිපයක් පවසන අතර ප්රායෝගිකව උදාහරණ කිහිපයක් ලබා දෙනු ඇත.
අපගේ රචනයේ පරමාර්ථය වන්නේ බර්නූලි සහ පොයිසන් බෙදා හැරීමේ ප්‍රමේයවල සාරය පැහැදිලි කිරීමයි.
කාර්යය වන්නේ රචනයේ මාතෘකාව පිළිබඳ සාහිත්යය අධ්යයනය කිරීම සහ විශ්ලේෂණය කිරීමයි.
1. ද්විපද ව්යාප්තිය (බර්නූලි ව්යාප්තිය)
ද්විපද ව්යාප්තිය (Bernoulli ව්යාප්තිය) - එක් එක් අත්හදා බැලීමේදී මෙම සිදුවීම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව p (0) ට සමාන නම්, නැවත නැවත ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් වලදී යම් සිදුවීමක සිදුවීම් සංඛ්‍යාවේ සම්භාවිතා ව්යාප්තිය
SV X 0 සහ 1 සම්භාවිතාවන් සහිත pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x අගයන් ගන්නේ නම් p පරාමිතිය සමඟ බර්නූලිගේ නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ඇතැයි කියනු ලැබේ; p+q=1; x=0.1.
ද්විපද ව්යාප්තිය පැන නගින්නේ ප්‍රශ්නය අසන අවස්ථා වලදී: යම් සිදුවීමක් එකම කොන්දේසි යටතේ සිදු කරන ලද ස්වාධීන නිරීක්ෂණ (අත්හදා බැලීම්) මාලාවක කොපමණ වාර ගණනක් සිදු වේද.
පහසුව සහ පැහැදිලිකම සඳහා, අපි p අගය දන්නා බව උපකල්පනය කරමු - ගබඩාවට ඇතුළු වන අමුත්තෙක් ගැනුම්කරුවෙකු බවට පත්වීමේ සම්භාවිතාව සහ (1- p) = q - ගබඩාවට ඇතුළු වන අමුත්තෙකු නොවන සම්භාවිතාව ගැනුම්කරුවෙක්.
X යනු මුළු n නරඹන්නන් සංඛ්‍යාවෙන් ගැනුම්කරුවන් සංඛ්යාව නම්, n අමුත්තන් අතර k ගැනුම්කරුවන් සිටීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ
P(X= k) = , මෙහි k=0,1,...n 1)
සූත්රය (1) බර්නූලි සූත්රය ලෙස හැඳින්වේ. පරීක්ෂණ විශාල සංඛ්යාවක් සමඟ, ද්විපද ව්යාප්තිය සාමාන්ය වේ.
බර්නූලි පරීක්ෂණයක් යනු සාමාන්යයෙන් "සාර්ථකත්වය" (සාමාන්යයෙන් සංකේතය 1 මගින් දක්වනු ලැබේ) සහ "අසාර්ථකත්වය" (පිළිවෙලින් 0 මගින් දැක්වෙන) ප්රතිඵල දෙකක් සහිත සම්භාවිතා පරීක්ෂණයකි. සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව සාමාන්යයෙන් p අකුරින්, අසාර්ථකත්වය - q අකුරෙන්; ඇත්ත වශයෙන්ම q=1-p. p අගය බර්නූලි පරීක්ෂණ පරාමිතිය ලෙස හැඳින්වේ.
ද්විපද, ජ්යාමිතික, පැස්කල් සහ සෘණ ද්විපද සසම්භාවී විචල්‍යයන් ස්වාධීන බර්නූලි අත්හදා බැලීම් අනුපිළිවෙලකින් ලබා ගනු ලබන්නේ අනුක්‍රමය එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින් අවසන් කළහොත්, උදාහරණයක් ලෙස nth අත්හදා බැලීමෙන් හෝ xth සාර්ථකත්වයෙන් පසුවය. පහත පාරිභාෂිතය බහුලව භාවිතා වේ:
- බර්නූලි පරීක්ෂණ පරාමිතිය (තනි පරීක්ෂණයක සාර්ථකත්වයේ සම්භාවිතාව);
- පරීක්ෂණ සංඛ්යාව;
- සාර්ථකත්වයන් ගණන;
- අසාර්ථක සංඛ්යාව.
ද්විපද සසම්භාවී විචල්‍යය (m|n,p) - n අත්හදා බැලීම්වල m සාර්ථකත්වයන් ගණන.
ජ්යාමිතික අහඹු විචල්ය G(m|p) - පළමු සාර්ථකත්වය (පළමු සාර්ථකත්වය ඇතුළුව) තෙක් අත්හදා බැලීම් ගණන m.
පැස්කල් සසම්භාවී විචල්‍යය C(m|x,p) - x-th සාර්ථකත්වය තෙක් අත්හදා බැලීම් ගණන m (ඇත්ත වශයෙන්ම, x-th සාර්ථකත්වයම ඇතුළත් නොවේ).
සෘණ ද්විපද සසම්භාවී විචල්‍යය Y(m|x,p) - x-th සාර්ථකත්වයට පෙර අසාර්ථක වූ m ගණන (x-th සාර්ථකත්වය ඇතුළුව නොවේ).
සටහන: සමහර විට සෘණ ද්විපද ව්යාප්තිය පැස්කල් ව්යාප්තිය ලෙස හඳුන්වන අතර අනෙක් අතට.
විෂ බෙදා හැරීම
2.1 පොයිසන්ගේ නීතියේ අර්ථ දැක්වීම
බොහෝ ප්රායෝගික ගැටළු වලදී, Poisson's නියමය ලෙස හඳුන්වන විශේෂිත නීතියකට අනුව බෙදා හරින අහඹු විචල්‍යයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ.
නිඛිල, සෘණ නොවන අගයන් පමණක් ගත හැකි අඛණ්ඩ සසම්භාවී විචල්ය X සලකා බලමු: 0, 1, 2, ... , m, ... ; එපමණක් නොව, මෙම අගයන්ගේ අනුපිළිවෙල න්‍යායාත්මකව අසීමිත වේ. සසම්භාවී විචල්ය X සූත්‍රයෙන් යම් අගයක් ගන්නා බවට සම්භාවිතාව ප්‍රකාශ කළහොත් එය Poisson නියමයට අනුව බෙදා හරිනු ඇතැයි කියනු ලැබේ:
මෙහි a යනු Poisson ගේ නියම පරාමිතිය ලෙස හඳුන්වන යම් ධන ප්‍රමාණයකි.
සසම්භාවී විචල්ය X හි බෙදාහැරීමේ මාලාව, Poisson නියමය අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ, මේ වගේ:
| xm | … | එම් | … | |||
| ප.ව | ඊ-ඒ | … | … |
2.2. Poisson ව්යාප්තියේ ප්රධාන ලක්ෂණ
පළමුව, සම්භාවිතා අනුපිළිවෙල බෙදාහැරීමේ මාලාවක් විය හැකි බව තහවුරු කර ගනිමු, i.e. සියලුම සම්භාවිතාවන්හි එකතුව Рm එකකට සමාන වේ.
අපි Maclaurin ශ්‍රේණියේ ex ශ්රිතයේ ප්‍රසාරණය භාවිතා කරමු:
මෙම ශ්‍රේණිය x හි ඕනෑම අගයක් සඳහා අභිසාරී වන බව දන්නා කරුණකි, එබැවින් x = a ගැනීමෙන් අපට ලැබේ
එහෙයින්
Poisson නියමය අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්ය X හි ප්රධාන ලක්ෂණ - ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විසරණය - අපි තීරණය කරමු. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව යනු එහි ඇති විය හැකි සියලු අගයන් සහ ඒවායේ සම්භාවිතාවන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුවයි. නිර්වචනය අනුව, විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් ගණන් කළ හැකි අගයන් සමූහයක් ගන්නා විට:
එකතුවේ පළමු පදය (m=0 ට අනුරූප වන) ශුන්‍යයට සමාන වේ, එබැවින්, සමාකලනය m=1 සමඟ ආරම්භ විය හැක:
මේ අනුව, a පරාමිතිය අහඹු විචල්ය X හි ගණිතමය අපේක්ෂාවට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.
සසම්භාවී විචල්ය X හි විචලනය යනු එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් අහඹු විචල්‍යයක වර්ග අපගමනයෙහි ගණිතමය අපේක්ෂාවයි:
කෙසේ වෙතත්, සූත්රය භාවිතයෙන් එය ගණනය කිරීම වඩාත් පහසු වේ:
එබැවින්, අපි පළමුව X අගයෙහි දෙවන ආරම්භක මොහොත සොයා ගනිමු:
කලින් ඔප්පු කර ඇති පරිදි
ඊට අමතරව,
2.3. විෂ බෙදා හැරීමේ අතිරේක ලක්ෂණ
I. සසම්භාවී විචල්ය X හි අනුපිළිවෙල k හි ආරම්භක මොහොත Xk අගයෙහි ගණිතමය අපේක්ෂාවයි:
විශේෂයෙන්, පළමු අනුපිළිවෙලෙහි ආරම්භක මොහොත ගණිතමය අපේක්ෂාවට සමාන වේ:
II. සසම්භාවී විචල්ය X හි අනුපිළිවෙලෙහි කේන්ද්රීය මොහොත k අගයෙහි ගණිතමය අපේක්ෂාවයි:
විශේෂයෙන්, 1 වන අනුපිළිවෙල මධ්යම මොහොත 0 වේ:
μ1=M=0,
2 වන අනුපිළිවෙලෙහි කේන්ද්රීය මොහොත විසරණයට සමාන වේ:
μ2=M2=a.
III. Poisson නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්ය X සඳහා, එය ලබා දී ඇති k ට නොඅඩු අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව අපි සොයා ගනිමු. අපි මෙම සම්භාවිතාව Rk මගින් දක්වන්නෙමු:
නිසැකවම, Rk සම්භාවිතාව එකතුව ලෙස ගණනය කළ හැක
කෙසේ වෙතත්, ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාවෙන් එය තීරණය කිරීම වඩාත් පහසු වේ:
විශේෂයෙන්ම, X හි අගය ධන අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ
දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, බොහෝ ප්රායෝගික ගැටළු Poisson බෙදා හැරීමට හේතු වේ. මේ ආකාරයේ සාමාන්ය ගැටළු වලින් එකක් සලකා බලමු.
|
ලකුණු අහඹු ලෙස x-අක්ෂයේ Ox මත බෙදා හැරීමට ඉඩ දෙන්න (රූපය 2). ලකුණුවල අහඹු ව්යාප්තිය පහත කොන්දේසි සපුරාලන බව අපි උපකල්පනය කරමු:
1) l කොටසකට වැටෙන නිශ්චිත ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවක සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ මෙම කොටසේ දිග මත පමණි, නමුත් abscissa අක්ෂය මත එහි පිහිටීම මත රඳා නොපවතී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලක්ෂ්‍ය එකම සාමාන්ය ඝනත්වයකින් x-අක්ෂයේ බෙදා හැරේ. අපි මෙම ඝනත්වය දක්වන්නෙමු, i.e. λ හරහා ප්‍රකාශිත ඒකක දිගකට ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව.
2) ලකුණු x-අක්ෂය මත එකිනෙකින් ස්වාධීනව බෙදා හරිනු ලැබේ, i.e. දී ඇති කොටසකට නිශ්චිත ලකුණු සංඛ්යාවක් වැටීමේ සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ ඒවායින් කීයක් එය සමඟ අතිච්ඡාදනය නොවන වෙනත් අංශයකට වැටේ ද යන්න මත නොවේ.
3) එක් ලක්ෂ්‍යයක් වැටීමේ සම්භාවිතාව හා සසඳන විට Δx කුඩා ප්‍රදේශයකට ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වැටීමේ සම්භාවිතාව නොසැලකිය හැකිය (මෙම කොන්දේසිය යනු ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් සමපාත වීම ප්රායෝගික නොහැකියාවයි).
අපි abscissa අක්ෂය මත දිග l යම් කොටසක් තෝරා සහ විවික්ත අහඹු විචල්ය X සලකා බලමු - මෙම කොටස මත වැටෙන ලකුණු සංඛ්යාව. ප්‍රමාණයේ විය හැකි අගයන් වනුයේ 0,1,2,...,m,... ලක්ෂ්‍ය එකිනෙකින් ස්වාධීනව ඛණ්ඩයට වැටෙන බැවින්, න්‍යායාත්මකව ඒවායින් තරම් ප්‍රමාණයක් එහි තිබිය හැකිය. කැමති, i.e. මෙම මාලාව දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම පවතී.
අහඹු X විචල්‍යය Poisson නියමයට අනුව බෙදා හරින බව අපි ඔප්පු කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ හරියටම m ලකුණු කොටස මත වැටෙන Pm සම්භාවිතාව ගණනය කළ යුතුය.
අපි මුලින්ම සරල ගැටලුවක් විසඳා ගනිමු. අපි Ox අක්ෂය මත කුඩා ප්රදේශයක් Δx සලකා බලමු සහ මෙම ප්රදේශය මත අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක් වැටෙන සම්භාවිතාව ගණනය කරමු. අපි පහත පරිදි තර්ක කරන්නෙමු. මෙම කොටස මත වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව පැහැදිලිවම λ·Δх ට සමාන වේ (සාමාන්යයෙන් ඒකක දිගකට λ ලක්ෂ්‍ය වැටෙන බැවින්). කොන්දේසිය 3 ට අනුව, කුඩා කොටස Δx සඳහා අපට එය මත ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වැටීමේ හැකියාව නොසලකා හැරිය හැක. එබැවින්, Δх ප්රදේශය මත වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව λ·Δх එය මත එක් ලක්ෂ්‍යයක් වැටීමේ සම්භාවිතාවට ආසන්න වශයෙන් සමාන වනු ඇත (හෝ, මෙම තත්වයන්ට සමාන වන, අවම වශයෙන් එකක්).
මේ අනුව, Δx→0 සඳහා, Δx→0 සඳහා අපට Δx λ·Δx ට සමාන Δx කොටස මත එක් (අවම වශයෙන් එක්) ලක්ෂ්‍යයක් වැටෙන සම්භාවිතාව සහ කිසිවක් 1 -c ට සමාන නොවැටීමේ සම්භාවිතාව සලකා බැලිය හැකිය. ·Δx.
l කොටසට වැටෙන හරියටම m ලක්ෂ්‍යවල Pm සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට මෙය භාවිතා කරමු. අපි l කොටස n සමාන දිග කොටස් වලට බෙදමු, මූලික කොටස Δx එහි තනි ලක්ෂ්‍යයක් නොමැති නම් "හිස්" ලෙසත්, අඩුම තරමින් එකක් සිදුවුවහොත් "හිස්" ලෙසත් හැඳින්වීමට අපි එකඟ වෙමු. ඉහත සඳහන් පරිදි, Δх ඛණ්ඩය “අල්ලාගෙන” තිබීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් λ·Δх= ට සමාන වේ; එය "හිස්" වීමේ සම්භාවිතාව 1- වේ. 2 වන කොන්දේසියට අනුව, අතිච්ඡාදනය නොවන කොටස් වලට වැටෙන ලක්ෂ්‍ය ස්වාධීන වන බැවින්, අපගේ n කොටස් n ස්වාධීන “අත්හදා බැලීම්” ලෙස සැලකිය හැකි අතර, ඒ සෑම කොටසකම p= සම්භාවිතාව සමඟ කොටස “වාඩි වී” ගත හැකිය. n ඛණ්ඩ අතර හරියටම m "අල්ලාගෙන" තිබීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගනිමු. නැවත නැවතත් ස්වාධීන අත්හදා බැලීම්වල ප්රමේයය අනුව, මෙම සම්භාවිතාව සමාන වේ
,
නැතහොත් අපි λl=a:
.
ප්රමාණවත් තරම් විශාල n සඳහා, මෙම සම්භාවිතාව l කොටස මත වැටෙන හරියටම m ලක්ෂ්‍යවල සම්භාවිතාවට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ. Δx කොටස මත ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වැටීමේ සම්භාවිතාව නොසැලකිය හැකිය. Рm හි නියම අගය සොයා ගැනීමට, ඔබ n→∞ ලෙස සීමාවට යා යුතුය:
ඒ ගැන සලකා බලමින්
,
අපේක්ෂිත සම්භාවිතාව සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වන බව අපට පෙනී යයි
එහිදී a=λl, i.e. X හි අගය a=λl පරාමිතිය සමඟ Poisson නියමය අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ.
අර්ථයෙන් a අගය නියෝජනය කරන්නේ l කොටසකට සාමාන්ය ලක්ෂ්‍ය සංඛ්යාව බව සටහන් කළ යුතුය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී R1 අගය (X අගය ධන අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව) ප්‍රකාශ කරන්නේ l: R1=1-e-a ඛණ්ඩය මත අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක්වත් වැටීමේ සම්භාවිතාවයි.
මේ අනුව, සමහර ලක්ෂ්‍ය (හෝ වෙනත් මූලද්‍රව්‍ය) එකිනෙකින් ස්වායත්තව අහඹු ස්ථානයක් ගන්නා විට, යම් ප්‍රදේශයකට වැටෙන මෙම ලක්ෂ්‍ය සංඛ්යාව ගණනය කරන විට Poisson ව්යාප්තිය සිදුවන බව අපට ඒත්තු ගොස් ඇත. අපගේ නඩුවේදී, එවැනි ප්රදේශයක් abscissa අක්ෂය මත කොටස l විය. කෙසේ වෙතත්, මෙම නිගමනය පහසුවෙන් තලයේ (ලකුණුවල අහඹු පැතලි ක්ෂේත්‍රය) සහ අභ්‍යවකාශයේ (ලකුණුවල අහඹු අවකාශීය ක්ෂේත්‍රය) ලක්ෂ්‍ය බෙදා හැරීමේ අවස්ථාව දක්වා ව්‍යාප්ත කළ හැකිය. කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම් ඔප්පු කිරීම අපහසු නැත:
1) සාමාන්ය ඝනත්වය λ සහිත ක්ෂේත්රයේ සංඛ්යානමය වශයෙන් ඒකාකාරව ලකුණු බෙදා හැරේ;
2) ලකුණු ස්වාධීනව අතිච්ඡාදනය නොවන කලාපවලට වැටේ;
3) තිත් තනිව දිස්වන අතර යුගල වශයෙන්, ත්‍රිත්ව ආදියෙන් නොවේ.
එවිට ඕනෑම කලාපයකට වැටෙන X ලක්ෂ්‍ය සංඛ්යාව D (පැතලි හෝ අවකාශීය) Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ:
,
මෙහි a යනු D ප්‍රදේශයට වැටෙන සාමාන්ය ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවයි.
පැතලි නඩුවක් සඳහා a=SD λ, SD යනු D කලාපයේ ප්රදේශය වේ,
අවකාශීය a= VD λ සඳහා, VD යනු D කලාපයේ පරිමාවයි.
ඛණ්ඩයකට හෝ කලාපයකට වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ Poisson ව්යාප්තිය සඳහා, නියත ඝනත්වයේ (λ=const) තත්ත්වය වැදගත් නොවේ. අනෙක් කොන්දේසි දෙක සපුරා ඇත්නම්, පොයිසන්ගේ නියමය තවමත් පවතී, එහි ඇති පරාමිතිය a පමණක් වෙනස් ප්‍රකාශනයක් ගනී: එය ලබා ගන්නේ දිග, ප්රදේශය හෝ පරිමාවෙන් ඝනත්වය λ ගුණ කිරීමෙන් නොව, විචල්ය ඝනත්වය අනුකලනය කිරීමෙනි. කොටස, ප්රදේශය හෝ පරිමාව හරහා.
භෞතික විද්‍යාව, සන්නිවේදන න්යාය, විශ්වාසනීයත්ව න්යාය, පෝලිම් න්යාය යනාදී ගැටලු රැසකදී Poisson ව්යාප්තිය වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. කිසියම් කාල සීමාවක් තුළ අහඹු සිදුවීම් සංඛ්යාවක් (විකිරණශීලී ක්ෂයවීම්, දුරකථන ඇමතුම්, උපකරණ දෝෂ, අනතුරු ආදිය) සිදුවිය හැකි ඕනෑම තැනක.
Poisson ව්යාප්තිය පැන නගින වඩාත් සාමාන්ය තත්වය සලකා බලමු. සමහර සිදුවීම් (සාප්පු මිලදී ගැනීම්) අහඹු වේලාවන්හිදී සිදුවීමට ඉඩ දෙන්න. 0 සිට ටී දක්වා කාල පරතරය තුළ එවැනි සිදුවීම් ඇති වූ ගණන අපි තීරණය කරමු.
0 සිට T දක්වා කාලය තුළ සිදු වූ අහඹු සිදුවීම් සංඛ්යාව පොයිසන්ගේ නීතියට අනුව l=aT පරාමිතිය සමඟ බෙදා හරිනු ලැබේ, එහිදී a>0 යනු සාමාන්ය සිදුවීම් සංඛ්‍යාතය පිළිබිඹු කරන ගැටළු පරාමිතියකි. විශාල කාල පරතරයක් (උදාහරණයක් ලෙස, දිනක්) හරහා k මිලදී ගැනීම්වල සම්භාවිතාව වනු ඇත
නිගමනය
අවසාන වශයෙන්, පොයිසන් ව්යාප්තිය සම්භාවිතා න්යාය සහ එහි යෙදීම් සහ ගණිතමය සංඛ්යාලේඛන යන දෙකෙහිම යෙදුම් ඇති තරමක් පොදු සහ වැදගත් ව්‍යාප්තියක් බව සටහන් කිරීමට කැමැත්තෙමි.
බොහෝ ප්රායෝගික ගැටලු අවසානයේ පැමිණෙන්නේ වස බෙදා හැරීමටය. ගණිතමය අපේක්ෂාවේ සහ විචල්‍යතාවයේ සමානාත්මතාවයෙන් සමන්විත එහි විශේෂ ගුණය, අහඹු විචල්‍යයක් පොයිසන්ගේ නියමයට අනුව බෙදා හරිනු ලබන්නේද නැද්ද යන ප්‍රශ්නය විසඳීම සඳහා බොහෝ විට ප්රායෝගිකව භාවිතා වේ.
එසේම වැදගත් වන්නේ, පරීක්ෂණයේ පුනරාවර්තන විශාල සංඛ්යාවක් සහ කුඩා තනි සම්භාවිතාවක් සහිත පුනරාවර්තන ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් වලදී සිදුවීමක සම්භාවිතාව සොයා ගැනීමට පොයිසන්ගේ නීතිය කෙනෙකුට ඉඩ සලසයි.
කෙසේ වෙතත්, බර්නූලි ව්යාප්තිය ආර්ථික ගණනය කිරීම් වල භාවිතා වන අතර, විශේෂයෙන්, ස්ථායීතා විශ්ලේෂණයේ දී, අතිශයින් කලාතුරකින් භාවිතා වේ. මෙයට හේතුව ගණනය කිරීමේ දුෂ්කරතා සහ බර්නූලි ව්යාප්තිය විවික්ත ප්‍රමාණ සඳහා වීම සහ සම්භාව්‍ය යෝජනා ක්‍රමයේ කොන්දේසි (ස්වාධීනත්වය, ගණන් කළ හැකි පරීක්ෂණ සංඛ්යාව, සිදුවීමක් සිදුවීමේ හැකියාවට බලපාන තත්වයන් වෙනස් වීම) යන කාරනයයි. සෑම විටම ප්රායෝගික තත්වයන් තුළ හමු නොවේ . 18-19 සියවස් වලදී සිදු කරන ලද බර්නූලි යෝජනා ක්‍රමයේ විශ්ලේෂණ ක්ෂේත්රයේ වැඩිදුර පර්යේෂණ. Laplace, Moivre, Poisson සහ වෙනත් අය විසින් අනන්තය වෙත නැඹුරු වන පරීක්ෂණ විශාල සංඛ්යාවක් සම්බන්ධයෙන් Bernoulli යෝජනා ක්රමය භාවිතා කිරීමේ හැකියාව නිර්මාණය කිරීම අරමුණු කර ඇත.
සාහිත්යය
1. Ventzel E.S. සම්භාවිතා න්යාය. - එම්, "උසස් පාසල" 1998
2. Gmurman V.E. සම්භාවිතා න්යාය සහ ගණිතමය සංඛ්යාලේඛන වල ගැටළු විසඳීම සඳහා මාර්ගෝපදේශයකි. - එම්, "උසස් පාසල" 1998
3. විද්‍යාල සඳහා ගණිතයේ ගැටලු එකතු කිරීම. එඩ්. එෆිමෝවා ඒ.වී. - එම්, විද්‍යාව 1990
බොහෝ ප්රායෝගික ගැටලු වලදී Poisson's නියමය නමින් හැඳින්වෙන සුවිශේෂී නියමයකට අනුව බෙදා හරින අහඹු විචල්‍යයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ.
නිඛිල, සෘණ නොවන අගයන් පමණක් ගත හැකි අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක් සලකා බලන්න:
එපමණක් නොව, මෙම අගයන්ගේ අනුපිළිවෙල න්‍යායාත්මකව අසීමිත වේ.
අහඹු විචල්‍යයක් යම් අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ කළහොත් එය පොයිසන් නියමයට අනුව බෙදා හරින බව කියනු ලැබේ.
මෙහි a යනු Poisson ගේ නියම පරාමිතිය ලෙස හඳුන්වන යම් ධන ප්‍රමාණයකි.
Poisson ගේ නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියේ ආකෘතිය ඇත:
අපි පළමුව, සූත්රය (5.9.1) මගින් ලබා දී ඇති සම්භාවිතා අනුක්‍රමය බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියක් විය හැකි බව සහතික කර ගනිමු, i.e. සියලු සම්භාවිතාවන්හි එකතුව එකකට සමාන බව. අපිට තියෙනවා:
.
රූපයේ. 5.9.1 පරාමිතියේ විවිධ අගයන්ට අනුරූප වන Poisson නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ බහුඅස්‍ර පෙන්වයි. උපග්රන්ථය වගුව 8 විවිධ සඳහා අගයන් පෙන්වයි.
Poisson නියමය අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක ප්රධාන ලක්ෂණ - ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය - අපි තීරණය කරමු. ගණිතමය අපේක්ෂාව අර්ථ දැක්වීම අනුව
.
එකතුවේ පළමු පදය (අනුරූපී) ශුන්‍යයට සමාන වේ, එබැවින් සමාකලනය ආරම්භ කළ හැක්කේ:
අපි සටහන් කරමු; ඉන්පසු
. (5.9.2)
මේ අනුව, පරාමිතිය යනු අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාවට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.
විසරණය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි මුලින්ම ප්‍රමාණයේ දෙවන ආරම්භක මොහොත සොයා ගනිමු:
කලින් ඔප්පු කර ඇති පරිදි
ඊට අමතරව,
මේ අනුව, Poisson ගේ නියමය අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක විචලනය එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට සමාන වේ.
අහඹු විචල්‍යයක් පොයිසන්ගේ නියමයට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ යන කල්පිතය පිළිගත හැකිද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා Poisson ව්යාප්තියේ මෙම ගුණය බොහෝ විට භාවිතා වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අහඹු විචල්‍යයක සංඛ්යානමය ලක්ෂණ - ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විසරණය - අත්දැකීමෙන් තීරණය වේ. ඔවුන්ගේ අගයන් සමීප නම්, මෙය Poisson බෙදාහැරීමේ කල්පිතයට පක්ෂව තර්කයක් ලෙස සේවය කළ හැකිය; මෙම ලක්ෂණවල තියුණු වෙනස, ඊට පටහැනිව, උපකල්පනයට එරෙහිව තර්ක කරයි.
පොයිසන්ගේ නියමයට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා එය ලබා දී ඇති අගයට නොඅඩු අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව තීරණය කරමු. අපි මෙම සම්භාවිතාව දක්වන්නෙමු:
නිසැකවම, සම්භාවිතාව එකතුව ලෙස ගණනය කළ හැකිය
කෙසේ වෙතත්, ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාවෙන් එය තීරණය කිරීම වඩාත් පහසු වේ:
(5.9.4)
විශේෂයෙන්, ප්‍රමාණයක් ධන අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ
(5.9.5)
අපි දැනටමත් සඳහන් කර ඇත්තේ බොහෝ ප්රායෝගික ගැටළු නිසා Poisson බෙදා හැරීමක් සිදු වන බවයි. මේ ආකාරයේ සාමාන්ය ගැටළු වලින් එකක් සලකා බලමු.
ලකුණු අහඹු ලෙස x-අක්ෂයේ Ox මත බෙදා හැරීමට ඉඩ දෙන්න (රූපය 5.9.2). ලකුණුවල අහඹු ව්යාප්තිය පහත කොන්දේසි සපුරාලන බව අපි උපකල්පනය කරමු:
1. ඛණ්ඩයක් මත නිශ්චිත ලක්ෂ්‍ය සංඛ්යාවක් වැටීමේ සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ මෙම කොටසේ දිග මත පමණක් වන නමුත්, abscissa අක්ෂය මත එහි පිහිටීම මත රඳා නොපවතී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලක්ෂ්‍ය එකම සාමාන්ය ඝනත්වයකින් x-අක්ෂයේ බෙදා හැරේ. අපි මෙම ඝනත්වය (එනම්, ඒකක දිගකට ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව) මගින් දක්වන්නෙමු.
2. ලකුණු x-අක්ෂය මත එකිනෙකින් ස්වාධීනව බෙදා හරිනු ලැබේ, i.e. දී ඇති කොටසකට එක් හෝ තවත් ලක්ෂ්‍ය සංඛ්යාවක් වැටීමේ සම්භාවිතාව රඳා පවතින්නේ ඒවායින් කීයක් එය සමඟ අතිච්ඡාදනය නොවන වෙනත් අංශයකට වැටේ ද යන්න මත නොවේ.
3. කුඩා ප්‍රදේශයකට ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වැදීමේ සම්භාවිතාව එක් ලක්ෂයක් වැදීමේ සම්භාවිතාව හා සසඳන විට නොසැලකිය හැකිය (මෙම තත්ත්වයෙන් අදහස් වන්නේ ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් සමපාත වීමේ ප්රායෝගික නොහැකියාවයි).
අපි abscissa අක්ෂය මත නිශ්චිත දිග කොටසක් තෝරා විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් සලකා බලමු - මෙම කොටස මත වැටෙන ලකුණු ගණන. විය හැකි අගයන් වනු ඇත
ලකුණු එකිනෙකින් ස්වාධීනව ඛණ්ඩයට වැටෙන බැවින්, න්‍යායාත්මකව ඒවායින් අවශ්‍ය තරම් ප්‍රමාණයක් එහි තිබිය හැකිය, i.e. මාලාව (5.9.6) දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම පවතී.
අහඹු විචල්‍යයට Poisson බෙදා හැරීමේ නියමයක් ඇති බව අපි ඔප්පු කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි කොටසේ හරියටම ලකුණු ඇති බවට සම්භාවිතාව ගණනය කරමු.
අපි මුලින්ම සරල ගැටලුවක් විසඳා ගනිමු. අපි Ox අක්ෂය මත කුඩා ප්රදේශයක් සලකා බලමු සහ මෙම ප්රදේශය මත අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක් වැටෙන සම්භාවිතාව ගණනය කරමු. අපි පහත පරිදි තර්ක කරන්නෙමු. මෙම කොටස මත වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව පැහැදිලිවම සමාන වේ (ලකුණු වල සාමාන්යය ඒකක දිගකට වැටෙන බැවින්). 3 වන කොන්දේසියට අනුව, කුඩා කොටසකට ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් ඒ මත වැටීමේ හැකියාව නොසලකා හැරිය හැක. එබැවින්, ප්රදේශය මත වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව එය මත එක් ලක්ෂ්‍යයක් වැටීමේ සම්භාවිතාවට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ (හෝ, අපගේ තත්වයන් තුළ එය සමාන වේ, අවම වශයෙන් එකක්).
මේ අනුව, ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අනන්තය දක්වා නිරවද්‍යතාවයකින්, වෙබ් අඩවියට එක් (අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂ්‍යයක් වත්) වැටීමේ සම්භාවිතාව සමාන වන අතර කිසිවක් නොවැටීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ යැයි උපකල්පනය කළ හැකිය.
කොටසකට හරියටම වැටෙන ලකුණු සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට මෙය භාවිතා කරමු. කොටස දිගේ සමාන කොටස් වලට බෙදන්න. මූලික ඛණ්ඩයක් එහි තනි ලක්ෂ්‍යයක් නොමැති නම් "හිස්" ලෙසත්, අවම වශයෙන් එකක් සිදු වන්නේ නම් "හිස්" ලෙසත් ඇමතීමට අපි එකඟ වෙමු. ඉහත සඳහන් පරිදි, කොටස "කාර්යබහුල" වීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ; එය "හිස්" වීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ. 2 වන කොන්දේසියට අනුව, අතිච්ඡාදනය නොවන කොටස් වලට වැටෙන ලක්ෂ්‍ය ස්වාධීන වන බැවින්, අපගේ n කොටස් ස්වාධීන “අත්හදා බැලීම්” ලෙස සැලකිය හැකිය, ඒ සෑම එකක් තුළම කොටස සම්භාවිතාව සමඟ “වාඩි වී” ගත හැකිය. කොටස් අතර හරියටම "හිඳගෙන" ඇති බවට සම්භාවිතාව සොයා බලමු. අත්හදා බැලීම්වල පුනරාවර්තනය පිළිබඳ ප්රමේයය අනුව, මෙම සම්භාවිතාව සමාන වේ
හෝ, දැක්වීම,
(5.9.7)
ප්රමාණවත් තරම් විශාල වූ විට, මෙම සම්භාවිතාව ඛණ්ඩයකට වැටෙන ලකුණුවල සම්භාවිතාවට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ, මන්ද ඛණ්ඩයක් මත ලකුණු දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වැටීමේ සම්භාවිතාව නොසැලකිය හැකි බැවිනි. නිශ්චිත අගය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ ප්‍රකාශනයේ (5.9.7) සීමාවට යා යුතුය:
(5.9.8)
සීමාව ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරමු:
(5.9.9)
සඳහා ප්‍රකාශනයේ (5.9.9) පළමු භාගය සහ අවසාන භාගයේ හරය, පැහැදිලිවම එකමුතුවට නැඹුරු වේ. ප්රකාශනය රඳා නොපවතී. අවසාන භාගයේ සංඛ්යාංකය පහත පරිදි පරිවර්තනය කළ හැකිය:
(5.9.10)
විට සහ ප්රකාශනය (5.9.10) නැඹුරු වේ. මේ අනුව, නිශ්චිත ලක්ෂ්‍ය කොටසකට වැටීමේ සම්භාවිතාව සූත්රය මගින් ප්‍රකාශ වන බව ඔප්පු වී ඇත.
කොහෙද, i.e. X හි අගය පරාමිතිය සමඟ Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ.
අගය යනු එක් කොටසකට ඇති සාමාන්ය ලකුණු සංඛ්යාව බව සලකන්න.
අගය (X හි අගය ධන අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාව) මෙම අවස්ථාවෙහිදී අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක්වත් කොටස මත වැටෙන සම්භාවිතාව ප්‍රකාශ කරයි:
මේ අනුව, සමහර ලක්ෂ්‍ය (හෝ වෙනත් මූලද්‍රව්‍ය) එකිනෙකින් ස්වායත්තව අහඹු ස්ථානයක් ගන්නා විට, යම් ප්‍රදේශයකට වැටෙන මෙම ලක්ෂ්‍ය සංඛ්යාව ගණනය කරන විට Poisson ව්යාප්තිය සිදුවන බව අපට ඒත්තු ගොස් ඇත. අපගේ නඩුවේදී, එවැනි "කලාපයක්" abscissa අක්ෂය මත කොටසකි. කෙසේ වෙතත්, අපගේ නිගමනය පහසුවෙන් තලයේ (ලකුණුවල අහඹු පැතලි ක්ෂේත්‍රය) සහ අභ්‍යවකාශයේ (ලකුණුවල අහඹු අවකාශීය ක්ෂේත්‍රය) ලක්ෂ්‍ය බෙදා හැරීමේ අවස්ථාවට පහසුවෙන් දිගු කළ හැකිය. කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම් ඔප්පු කිරීම අපහසු නැත:
1) ලකුණු සාමාන්ය ඝනත්වය සහිත ක්ෂේත්රයේ සංඛ්යානමය වශයෙන් ඒකාකාරව බෙදා හරිනු ලැබේ;
2) ලකුණු ස්වාධීනව අතිච්ඡාදනය නොවන කලාපවලට වැටේ;
3) ලකුණු තනිව දිස්වන අතර යුගල වශයෙන්, ත්‍රිත්ව ආදියෙන් නොවේ, එවිට ඕනෑම ප්‍රදේශයකට වැටෙන ලකුණු ගණන (පැතලි හෝ අවකාශීය) Poisson නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ:
ප්‍රදේශයට වැටෙන සාමාන්ය ලකුණු සංඛ්යාව කොහිද?
පැතලි නඩුව සඳහා
කලාපයේ ප්රදේශය කොහිද; අවකාශීය සඳහා
කලාපයේ පරිමාව කොහෙද.
කොටසකට හෝ කලාපයකට වැටෙන ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවේ Poisson ව්යාප්තිය සඳහා නියත ඝනත්වයේ () තත්ත්වය වැදගත් නොවන බව සලකන්න. අනෙක් කොන්දේසි දෙක සපුරා ඇත්නම්, පොයිසන්ගේ නියමය තවමත් පවතී, එහි ඇති පරාමිතිය a පමණක් වෙනස් ප්‍රකාශනයක් ගනී: එය ලබා ගන්නේ කලාපයේ දිග, ප්රදේශය හෝ පරිමාවෙන් ඝනත්වය සරලව ගුණ කිරීමෙන් නොව, ඒකාබද්ධ කිරීමෙනි. කොටස, ප්රදේශය හෝ පරිමාව මත විචල්ය ඝනත්වය. (මේ පිළිබඳ වැඩි විස්තර සඳහා, n° 19.4 බලන්න)
රේඛාවක්, තලයක් හෝ පරිමාවක් මත විසිරී ඇති අහඹු ලක්ෂ්‍ය තිබීම විෂ ව්‍යාප්තියක් සිදු වන එකම කොන්දේසිය නොවේ. නිදසුනක් වශයෙන්, පොයිසන්ගේ නීතිය ද්විපද ව්යාප්තිය සඳහා සීමා කරන බව කෙනෙකුට ඔප්පු කළ හැකිය:
, (5.9.12)
ඒ සමගම අත්හදා බැලීම් ගණන අනන්තයට නැඹුරු නම් සහ සම්භාවිතාව ශුන්‍යයට ගියහොත් සහ ඒවායේ නිෂ්පාදනය නියත අගයක් රඳවා ගනී.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ද්විපද ව්යාප්තියේ මෙම සීමාකාරී ගුණය මෙසේ ලිවිය හැකිය:
. (5.9.14)
නමුත් කොන්දේසියෙන් (5.9.13) එය අනුගමනය කරයි
(5.9.15) (5.9.14) බවට ආදේශ කිරීම, අපි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු
, (5.9.16)
අපි තවත් අවස්ථාවක ඔප්පු කර ඇත.
ද්විපද නීතියේ මෙම සීමාකාරී දේපල බොහෝ විට ප්රායෝගිකව භාවිතා වේ. ස්වාධීන අත්හදා බැලීම් විශාල සංඛ්යාවක් සිදු කරන බව අපි උපකල්පනය කරමු, එක් එක් සිද්ධිය ඉතා අඩු සම්භාවිතාවක් ඇත. සිදුවීමක් හරියටම එක් වරක් දිස්වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට, ඔබට ආසන්න සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය:
, (5.9.17)
ද්විපද ව්යාප්තිය ආසන්න වශයෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන Poisson නීතියේ පරාමිතිය කොහිද?
Poisson's නීතියේ මෙම ගුණාංගයෙන් - විශාල අත්හදා බැලීම් සංඛ්යාවක් සහ සිදුවීමක අඩු සම්භාවිතාවක් සහිත ද්විපද ව්‍යාප්තියක් ප්‍රකාශ කිරීමට - එහි නම පැමිණේ, බොහෝ විට සංඛ්යාලේඛන පෙළපොත් වල භාවිතා වේ: දුර්ලභ සංසිද්ධි නීතිය.
ව්‍යවහාරයේ විවිධ ක්ෂේත්‍රවලින් විෂ ව්යාප්තිය සම්බන්ධ උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.
උදාහරණ 1. ස්වයංක්‍රීය දුරකථන හුවමාරුවකට පැයකට සාමාන්ය ඇමතුම් ඝනත්වයකින් ඇමතුම් ලැබේ. පොයිසන්ගේ නීතියට අනුව ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක ඇමතුම් ගණන බෙදා හරින බව උපකල්පනය කළහොත්, මිනිත්තු දෙකකින් හරියටම ඇමතුම් තුනක් දුම්රිය ස්ථානයට පැමිණීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගන්න.
විසඳුමක්. මිනිත්තු දෙකකට සාමාන්ය ඇමතුම් ගණන:
වර්ග මීටර්. ඉලක්කයකට පහර දීමට, එයට පහර දීමට අවම වශයෙන් එක් කැබැල්ලක්වත් ප්රමාණවත් වේ. විවේක ලක්ෂ්‍යයේ දී ඇති ස්ථානයක ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
විසඳුමක්. . සූත්රය (5.9.4) භාවිතා කිරීමෙන් අපි අවම වශයෙන් එක් කැබැල්ලකට හෝ පහර දීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගනිමු:
(ඝාතීය ශ්රිතයේ අගය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි උපග්රන්ථයේ 2 වගුව භාවිතා කරමු).
උදාහරණ 7. වාතයේ ඝන මීටරයක් තුළ ව්යාධිජනක ක්ෂුද්ර ජීවීන්ගේ සාමාන්ය ඝනත්වය 100. ඝන මීටර් 2 ක නියැදියක් ගනු ලැබේ. වාතය dm. අවම වශයෙන් එක් ක්ෂුද්ර ජීවියෙකුවත් එහි ඇති සම්භාවිතාව සොයන්න.
විසඳුමක්. පරිමාවක ඇති ක්ෂුද්ර ජීවීන් සංඛ්‍යාවේ විෂ ව්යාප්තිය පිළිබඳ උපකල්පනය පිළිගනිමින්, අපි සොයා ගන්නේ:
උදාහරණ 8. යම් ඉලක්කයකට ස්වාධීන වෙඩි 50 ක් නිකුත් කෙරේ. එක් පහරකින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.04 කි. ද්විපද ව්යාප්තියේ සීමාකාරී ගුණය භාවිතා කරමින් (සූත්රය (5.9.17)), ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් සොයන්න: තනි ප්‍රක්ෂේපණයක්, එක් ප්‍රක්ෂේපණයක්, ප්‍රක්ෂේපණ දෙකක් නොවේ.
විසඳුමක්. අපිට තියෙනවා. උපග්රන්ථයේ 8 වගුව භාවිතා කිරීමෙන් අපි සම්භාවිතාව සොයා ගනිමු.
ඉල්ලීම් පැමිණීමට පටන් ගත් වහාම: “පොයිසන් කොහෙද? පොසොන් සූත්රය භාවිතා කරන ගැටළු කොහිද? සහ යනාදි. ඉතින් මම පටන් ගන්නම් පුද්ගලික භාවිතයවිෂ බෙදා හැරීම - ද්රව්ය සඳහා ඉහළ ඉල්ලුමක් හේතුවෙන්.
කාර්යය වේදනාකාරී ලෙස හුරුපුරුදු ය:
ඊළඟ කාර්යයන් දෙක පෙර ඒවාට වඩා මූලික වශයෙන් වෙනස් ය:
උදාහරණය 4
අහඹු විචල්‍යය ගණිතමය අපේක්ෂාව සමඟ පොයිසන්ගේ නියමයට යටත් වේ. දී ඇති අහඹු විචල්‍යයක් එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට වඩා අඩු අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාව සොයන්න.
වෙනස තමයි මෙතනදි අපි හරියටම කතා කරන්නේ Poisson බෙදාහැරීම ගැන.
විසඳුමක්: සසම්භාවී විචල්ය අගයන් ගනී 
සම්භාවිතාවන් සමඟ:
කොන්දේසිය අනුව, , සහ මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි: සිද්ධිය තුනකින් සමන්විත වේ නොගැලපෙන ප්රතිඵල:
අහඹු විචල්‍යයක් එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට වඩා අඩු අගයක් ගැනීමේ සම්භාවිතාව.
පිළිතුර:
සමාන අවබෝධතා කාර්යයක්:
උදාහරණ 5
අහඹු විචල්‍යය ගණිතමය අපේක්ෂාව සමඟ පොයිසන්ගේ නියමයට යටත් වේ. දී ඇති අහඹු විචල්‍යයක් ධන අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාව සොයන්න.
විසඳුම සහ පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.
ඊට අමතරව ළං වෙනවාද්විපද ව්යාප්තිය(උදාහරණ 1-3), Poisson ව්යාප්තිය පුළුල් යෙදුමක් සොයාගෙන ඇත පෝලිම් න්යායසම්භාවිතා ලක්ෂණ සඳහා සරලමසිදුවීම් ධාරාව. මම සංක්ෂිප්ත වීමට උත්සාහ කරමි:
සමහර පද්ධතියට ඉල්ලීම් ලැබීමට ඉඩ දෙන්න (දුරකථන ඇමතුම්, පැමිණෙන සේවාදායකයින්, ආදිය). යෙදුම් ප්රවාහය ලෙස හැඳින්වේ සරලම, එය කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන්නේ නම් ස්ථාවරත්වය, ප්රතිවිපාක නැතසහ සාමාන්ය බව. ස්ථාවරත්වය යනු ඉල්ලීම්වල තීව්‍රතාවයයි නියතසහ දවසේ වේලාව, සතියේ දිනය හෝ වෙනත් කාල රාමු මත රඳා නොපවතී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, "කඩිමුඩියේ පැය" නොමැති අතර "මළ පැය" නොමැත. ප්රතිවිපාක නොමැතිකම යනු නව යෙදුම්වල සම්භාවිතාව "ප්රාග් ඓතිහාසික" මත රඳා නොපවතින බවයි, i.e. “එක ආච්චි කෙනෙක් කිව්වා” සහ අනෙක් අය “ඉහළට දිව්වා” (හෝ, ඊට පටහැනිව, පලා ගියා) වැනි දෙයක් නැත. අවසාන වශයෙන්, සාමාන්‍යත්වයේ දේපල සංලක්ෂිත වන්නේ එයයි ප්රමාණවත් තරම් කුඩාකාල විරාමය පාහේ කළ නොහැක්කකි යෙදුම් දෙකක හෝ වැඩි ගණනක පෙනුම. "දොර ළඟ වයසක ගෑනු දෙන්නෙක්ද?" - නැහැ, සමාවෙන්න, එය පිළිවෙලට කැපීම වඩාත් පහසු වේ.
එබැවින්, සමහර පද්ධතියට සරලම යෙදුම් ප්රවාහය ලබා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න මධ්යම තීව්රතාවයකින්නිශ්චිත කාල ඒකකයක් තුළ යෙදුම් (මිනිත්තු, පැය, දින හෝ වෙනත් ඕනෑම). එවිට සම්භාවිතාව යම් කාලයක් සඳහා, පද්ධතියට හරියටම ඉල්ලීම් ලැබෙනු ඇත:
උදාහරණය 6
කුලී රථ යැවීමේ මධ්‍යස්ථානය වෙත ලැබෙන ඇමතුම් පැයකට ඇමතුම් 30 ක සාමාන්ය තීව්‍රතාවයකින් යුත් සරල පොයිසන් ප්‍රවාහයකි. සම්භාවිතාව සොයන්න: a) විනාඩි 1 කින්. ඇමතුම් 2-3 ක් පැමිණෙනු ඇත, ආ) විනාඩි පහක් ඇතුළත අවම වශයෙන් එක් ඇමතුමක්වත් ලැබෙනු ඇත.
විසඳුමක්: අපි Poisson සූත්රය භාවිතා කරමු:
අ) ප්‍රවාහයේ ස්ථාවරත්වය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි විනාඩි 1 කට සාමාන්ය ඇමතුම් ගණන ගණනය කරමු:
ඇමතුම - සාමාන්යයෙන් විනාඩියකින්.
නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්රමේයය අනුව:
- මිනිත්තු 1 කින් පාලක මැදිරියට ඇමතුම් 2-3 ක් ලැබීමේ සම්භාවිතාව.
ආ) මිනිත්තු පහකට සාමාන්ය ඇමතුම් ගණන ගණනය කරන්න: 
