Perbandingan logaritma dengan asas dan petunjuk yang berbeza. Mengambil dan kaedah membandingkan logaritma. Bengkel menyelesaikan masalah

basic Properties..

logax + logay \u003d loga (x · y);
logax - Logay \u003d Loga (X: Y).

alasan yang sama

Log6 4 + Log6 9.

Sekarang sedikit merumitkan tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika di pangkalan atau hujah logaritma berharga ijazah? Kemudian penunjuk tahap ini boleh diambil dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal apabila pematuhan dengan logaritma OTZ: A\u003e 0, A ≠ 1, x\u003e

Tugas. Cari nilai ungkapan:

Peralihan ke pangkalan baru

Biarkan Logax Logax. Kemudian untuk mana-mana nombor C sedemikian rupa sehingga C\u003e 0 dan C ≠ 1, kesamaan itu benar:

Tugas. Cari nilai ungkapan:

Lihat juga:

Sifat utama logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Peserta adalah 2,718281828 .... Untuk mengingati peserta pameran itu, anda boleh meneroka peraturan: peserta pameran adalah 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolayevich Tolstoy.

Sifat utama logaritma

Mengetahui peraturan ini akan mengetahui nilai sebenar pameran, dan tarikh lahir Lion Tolstoy.

Contoh pada logarithmia.

Ekspresi prologate.

Contoh 1.
dan). x \u003d 10As ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Oleh hartanah 3.5 hitung

4. Di mana sahaja .

Contoh 2. Cari x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma ditetapkan

Kira log (x) jika

Sifat utama logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh dilipat, memotong dan menukar. Tetapi sejak logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan sendiri yang dipanggil basic Properties..

Kaedah-kaedah ini semestinya diketahui - tiada tugas logaritma yang serius diselesaikan tanpa mereka. Di samping itu, mereka agak sedikit - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi, teruskan.

Penambahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan pangkalan yang sama: logam dan logam. Kemudian mereka boleh dilipat dan ditolak, dan:

logax + logay \u003d loga (x · y);
logax - Logay \u003d Loga (X: Y).

Oleh itu, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma kerja, dan perbezaannya adalah logaritma peribadi. Sila ambil perhatian: Titik utama di sini adalah alasan yang sama. Sekiranya asasnya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individu tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "apa logaritma"). Lihatlah contoh - dan pastikan:

Sejak asas dalam logaritma adalah sama, kami menggunakan jumlah jumlah:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4 · 9) \u003d log6 36 \u003d 2.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log2 48 - log2 3.

Asas-asasnya adalah sama, menggunakan formula perbezaan:
log2 48 - log2 3 \u003d log2 (48: 3) \u003d log2 16 \u003d 4.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log3 135 - log3 5.

Sekali lagi asas-asas adalah sama, jadi kita ada:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan awal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dianggap secara berasingan secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, angka yang agak normal diperolehi. Dalam fakta ini, banyak kerja ujian dibina. Tetapi apakah kawalan - ekspresi sedemikian (kadang-kadang - hampir tidak berubah) ditawarkan pada peperiksaan.

Ijazah Eksekutif dari Logaritma

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua mereka yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya, dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal apabila pematuhan dengan logaritma OTZ: A\u003e 0, A ≠ 1, x\u003e dan banyak lagi: belajar untuk memohon semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi sebaliknya, iaitu. Anda boleh membuat nombor yang menghadap logaritma, ke logaritma itu sendiri. Yang paling kerap diperlukan.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Menyingkirkan sejauh mana dalam hujah dalam formula pertama:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Tugas. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa dalam penyebut terdapat logaritma, asas dan hujah yang merupakan ijazah yang tepat: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Kami ada:

Saya fikir contoh terkini memerlukan penjelasan. Di manakah logaritma hilang? Sehingga saat terakhir, kita hanya bekerja dengan penyebut.

Logaritma Formula. Contoh logaritma penyelesaian.

Mereka menyampaikan asas dan hujah dari logaritma di sana dalam bentuk darjah dan melakukan indikator - menerima pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan asas. Dalam pengangka dan penyebut, nombor yang sama ialah: log2 7. Sejak log2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal di dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawapannya: 2.

Peralihan ke pangkalan baru

Bercakap tentang peraturan untuk penambahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa mereka hanya bekerja dengan pangkalan yang sama. Dan bagaimana jika asasnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan darjah yang tepat dari nombor yang sama?

Formula untuk peralihan ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

Biarkan Logax Logax. Kemudian untuk mana-mana nombor C sedemikian rupa sehingga C\u003e 0 dan C ≠ 1, kesamaan itu benar:

Khususnya, jika anda meletakkan c \u003d x, kami dapat:

Dari formula kedua, ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh diubah di tempat, tetapi pada masa yang sama ungkapan "bertukar", iaitu. Logaritma ternyata berada di dalam penyebut.

Formula ini jarang berlaku dalam ekspresi berangka konvensional. Menilai seberapa mudah mereka, hanya mungkin apabila menyelesaikan persamaan logaritmik dan ketidaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang umumnya tidak diselesaikan di mana-mana sebagai peralihan ke pangkalan baru. Pertimbangkan beberapa perkara itu:

Tugas. Cari nilai ungkapan: log5 16 · log2 25.

Perhatikan bahawa hujah-hujah kedua-dua logaritma adalah tahap yang tepat. Mari kita ambil petunjuk: log5 16 \u003d log5 24 \u003d 4log5 2; Log2 25 \u003d log2 52 \u003d 2log2 5;

Dan sekarang "Invert" logaritma kedua:

Oleh kerana kerja itu tidak berubah dari penyusunan semula penggalian, kami dengan tenang menukar empat dan dua, dan kemudian disusun dengan logaritma.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log9 100 · LG 3.

Asas dan hujah logaritma pertama - ijazah yang tepat. Kami menulis dan menghilangkan penunjuk:

Sekarang hapuskan logaritma perpuluhan, dengan beralih ke pangkalan baru:

Identiti logaritma asas.

Selalunya, penyelesaiannya diperlukan untuk mengemukakan nombor sebagai logaritma untuk asas tertentu. Dalam kes ini, Formula akan membantu kita:

Dalam kes pertama, nombor N menjadi penunjuk sejauh mana dalam hujah. Nombor n boleh menjadi sama sekali, kerana ia hanya nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya merupakan definisi paraphrassed. Ia dikenali sebagai :.

Malah, apa yang akan berlaku jika nombor B adalah sejauh mana nombor B hingga tahap ini memberikan nombor A? Betul: Ternyata nombor yang sama a. Berhati-hati membaca perenggan ini sekali lagi - banyak "menggantung" di atasnya.

Seperti formula peralihan ke pangkalan baru, identiti logaritma utama kadang-kadang satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugas. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa log25 64 \u003d log5 8 - hanya membuat persegi dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk pendaraban darjah dengan asas yang sama, kita dapat:

Jika seseorang tidak sedar, ia adalah tugas sebenar Ege 🙂

Unit logaritmik dan logaritma sifar

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang sukar untuk menamakan sifat - sebaliknya, ini adalah akibat dari definisi logaritma. Mereka sentiasa dijumpai dalam tugas dan, yang mengejutkan, mewujudkan masalah walaupun untuk pelajar "maju".

loGaa \u003d 1 adalah. Ingat masa dan selama-lamanya: logaritma di mana-mana asas A dari asas yang sangat sama dengan satu.
logda 1 \u003d 0 adalah. Pangkalan A mungkin ada akal, tetapi jika hujah adalah unit - logaritma adalah sifar! Kerana A0 \u003d 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itulah semua hartanah. Pastikan anda berlatih menerapkannya dalam amalan! Muat turun buaian pada permulaan pelajaran, cetaknya - dan selesaikan tugas.

Lihat juga:

Logaritma nombor B berdasarkan pada menandakan ungkapan. Hitung logaritma bermakna untuk mencari ijazah seperti X () di mana kesamaan dilakukan

Sifat utama logaritma

Ciri-ciri ini perlu diketahui kerana, berdasarkan mereka, hampir semua tugas diselesaikan dan contoh-contoh dikaitkan dengan logaritma. Baki sifat eksotik boleh diperolehi oleh manipulasi matematik dengan formula ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Dalam pengiraan formula jumlah dan perbezaan logaritma (3.4) adalah perkara biasa. Selebihnya agak rumit, tetapi dalam beberapa tugas sangat diperlukan untuk memudahkan ekspresi kompleks dan mengira nilai mereka.

Terdapat kes-kes logaritma

Salah satu logaritma biasa adalah seperti di mana asasnya lancar sepuluh, eksponen atau dua kali.
Logaritma berdasarkan sepuluh adalah adat untuk memanggil logaritma perpuluhan dan memudahkan LG (X).

Dari rekod, jelas bahawa asas dalam rekod tidak ditulis. Sebagai contoh

Logaritma semulajadi adalah logaritma yang mana pameran itu didasarkan pada LN (X)).

Peserta adalah 2,718281828 .... Untuk mengingati peserta pameran itu, anda boleh meneroka peraturan: peserta pameran adalah 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolayevich Tolstoy. Mengetahui peraturan ini akan mengetahui nilai sebenar pameran, dan tarikh lahir Lion Tolstoy.

Dan satu logaritma yang lebih penting di pangkalan dua yang ditetapkan

Derivatif fungsi logaritma adalah sama dengan satu unit yang dibahagikan kepada pembolehubah

Logaritma integral atau primitif ditentukan oleh ketagihan

Bahan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan pelbagai tugas tugas yang berkaitan dengan logaritma dan logaritmation. Untuk asimilasi bahan, saya akan memberikan beberapa contoh biasa dari program sekolah dan universiti.

Contoh pada logarithmia.

Ekspresi prologate.

Contoh 1.
dan). x \u003d 10As ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Oleh hartanah 3.5 hitung

2.
Oleh sifat-sifat logaritma perbezaan ada

3.
Menggunakan Properties 3.5 Cari

4. Di mana sahaja .

Bentuk ungkapan yang kompleks menggunakan beberapa peraturan dipermudahkan untuk memikirkan

Mencari nilai logaritma

Contoh 2. Cari x jika

Keputusan. Untuk pengiraan, terpakai kepada tempoh terakhir 3 dan 13 hartanah

Kami menggantikan untuk menulis dan bersedih

Kerana alasannya sama, kemudian menyamakan ungkapan

Logarithmia. Tahap pertama.

Biarkan nilai logaritma

Kira log (x) jika

Penyelesaian: Progniform pembolehubah untuk cat logaritma melalui jumlah istilah

Mengenai kenalan ini dengan logaritma dan hartanah mereka bermula. Latihan dalam perhitungan, memperkayakan kemahiran praktikal - pengetahuan yang diperoleh akan diperlukan untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Selepas mengkaji kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan mengembangkan pengetahuan anda untuk satu lagi topik yang sama penting - ketidaksamaan logaritma ...

Sifat utama logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh dilipat, memotong dan menukar. Tetapi sejak logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan sendiri yang dipanggil basic Properties..

Kaedah-kaedah ini semestinya diketahui - tiada tugas logaritma yang serius diselesaikan tanpa mereka. Di samping itu, mereka agak sedikit - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi, teruskan.

Penambahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan pangkalan yang sama: logam dan logam. Kemudian mereka boleh dilipat dan ditolak, dan:

logax + logay \u003d loga (x · y);
logax - Logay \u003d Loga (X: Y).

Formula ini akan membantu mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individu tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "apa logaritma"). Lihatlah contoh - dan pastikan:

Tugas. Cari nilai ungkapan: log6 4 + log6 9.

Sejak asas dalam logaritma adalah sama, kami menggunakan jumlah jumlah:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4 · 9) \u003d log6 36 \u003d 2.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log2 48 - log2 3.

Asas-asasnya adalah sama, menggunakan formula perbezaan:
log2 48 - log2 3 \u003d log2 (48: 3) \u003d log2 16 \u003d 4.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log3 135 - log3 5.

Sekali lagi asas-asas adalah sama, jadi kita ada:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

Ijazah Eksekutif dari Logaritma

Sekarang sedikit merumitkan tugas. Bagaimana jika di pangkalan atau hujah logaritma berharga ijazah? Kemudian penunjuk tahap ini boleh diambil dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua mereka yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya, dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Yang paling kerap diperlukan.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Menyingkirkan sejauh mana dalam hujah dalam formula pertama:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Tugas. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa dalam penyebut terdapat logaritma, asas dan hujah yang merupakan ijazah yang tepat: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Kami ada:

Saya fikir contoh terkini memerlukan penjelasan. Di manakah logaritma hilang? Sehingga saat terakhir, kita hanya bekerja dengan penyebut. Mereka menyampaikan asas dan hujah dari logaritma di sana dalam bentuk darjah dan melakukan indikator - menerima pecahan "tiga tingkat".

Peralihan ke pangkalan baru

Formula untuk peralihan ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

Biarkan Logax Logax. Kemudian untuk mana-mana nombor C sedemikian rupa sehingga C\u003e 0 dan C ≠ 1, kesamaan itu benar:

Khususnya, jika anda meletakkan c \u003d x, kami dapat:

Dari formula kedua, ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh diubah di tempat, tetapi pada masa yang sama ungkapan "bertukar", iaitu. Logaritma ternyata berada di dalam penyebut.

Formula ini jarang berlaku dalam ekspresi berangka konvensional. Menilai seberapa mudah mereka, hanya mungkin apabila menyelesaikan persamaan logaritmik dan ketidaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang umumnya tidak diselesaikan di mana-mana sebagai peralihan ke pangkalan baru. Pertimbangkan beberapa perkara itu:

Tugas. Cari nilai ungkapan: log5 16 · log2 25.

Perhatikan bahawa hujah-hujah kedua-dua logaritma adalah tahap yang tepat. Mari kita ambil petunjuk: log5 16 \u003d log5 24 \u003d 4log5 2; Log2 25 \u003d log2 52 \u003d 2log2 5;

Dan sekarang "Invert" logaritma kedua:

Oleh kerana kerja itu tidak berubah dari penyusunan semula penggalian, kami dengan tenang menukar empat dan dua, dan kemudian disusun dengan logaritma.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log9 100 · LG 3.

Asas dan hujah logaritma pertama - ijazah yang tepat. Kami menulis dan menghilangkan penunjuk:

Sekarang hapuskan logaritma perpuluhan, dengan beralih ke pangkalan baru:

Identiti logaritma asas.

Selalunya, penyelesaiannya diperlukan untuk mengemukakan nombor sebagai logaritma untuk asas tertentu. Dalam kes ini, Formula akan membantu kita:

Dalam kes pertama, nombor N menjadi penunjuk sejauh mana dalam hujah. Nombor n boleh menjadi sama sekali, kerana ia hanya nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya merupakan definisi paraphrassed. Ia dikenali sebagai :.

Seperti formula peralihan ke pangkalan baru, identiti logaritma utama kadang-kadang satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugas. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa log25 64 \u003d log5 8 - hanya membuat persegi dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk pendaraban darjah dengan asas yang sama, kita dapat:

Jika seseorang tidak sedar, ia adalah tugas sebenar Ege 🙂

Unit logaritmik dan logaritma sifar

loGaa \u003d 1 adalah. Ingat masa dan selama-lamanya: logaritma di mana-mana asas A dari asas yang sangat sama dengan satu.
logda 1 \u003d 0 adalah. Pangkalan A mungkin ada akal, tetapi jika hujah adalah unit - logaritma adalah sifar! Kerana A0 \u003d 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itulah semua hartanah. Pastikan anda berlatih menerapkannya dalam amalan! Muat turun buaian pada permulaan pelajaran, cetaknya - dan selesaikan tugas.

Perbandingan nilai logaritma atau nilai logaritma dengan beberapa nombor yang terdapat dalam amalan sekolah menyelesaikan tugas bukan sahaja sebagai tugas bebas. Bandingkan akaun logaritma untuk, sebagai contoh, semasa menyelesaikan persamaan dan ketidaksamaan. Bahan-bahan artikel (tugas dan penyelesaian) disusun atas prinsip "dari mudah ke kompleks" dan boleh digunakan untuk menyediakan dan menjalankan pelajaran (pelajaran) mengenai topik ini, serta pada kelas elektif. Bilangan tugas yang sedang dipertimbangkan dalam pelajaran bergantung kepada tahap kelas, arah profilnya. Di dalam kelas dengan kajian mendalam tentang matematik, bahan ini boleh digunakan untuk pelajaran kuliah selama dua jam.

1. (Secara lisan.) Antara fungsi yang semakin meningkat, dan yang turun:

Komen. Latihan ini adalah persediaan.

2. (Secara lisan.)Bandingkan dengan sifar:

Komen. Apabila menyelesaikan latihan No. 2, anda boleh menggunakan kedua-dua sifat fungsi logaritmik dengan penglibatan fungsi logaritma, dan yang berikut harta berguna:

jika nombor positif A dan B terletak pada hak langsung angka 1 atau kiri 1 (iaitu, a\u003e 1 dan b\u003e 1 atau 0 0 ;
Jika nombor positif A dan B terletak pada angka lurus ke arah yang berbeza dari 1 (iaitu 0 0 .

Tunjukkan penggunaan harta ini Apabila membuat keputusan nombor 2 (a).

Sejak fungsi itu y \u003d log 7 t meningkat R +., 10\u003e 7, kemudian log 7 10\u003e log 7 7, i.e. log 7 10\u003e 1. Oleh itu, nombor positif SIN3 dan log 7 10 berada di sisi yang berbeza 1. Akibatnya, log Sin3 Log 7 10< 0.

3. (Secara lisan.) Mencari kesilapan dalam alasan:

Fungsi y \u003d lgt. kenaikan pada R +, maka ,

Kami berpecah kedua-dua bahagian ketidaksamaan terakhir. Kami memperoleh 2\u003e 3.

Keputusan.

Nombor positif dan 10 (asas logaritma) terletak pada arah yang berbeza dari 1. Jadi< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Secara lisan.) Bandingkan nombor:

Komen. Apabila menyelesaikan latihan No. 4 (A-C), gunakan harta benda logaritma yang monotoni. Apabila memutuskan No. 4 (d), gunakan harta itu:

jika C\u003e A\u003e 1, maka dengan b\u003e 1, log ketidaksamaan log a b\u003e log c b.

Penyelesaian 4 (d).

Sejak 1.< 5 < 7 и 13 > 1, kemudian log 5 13\u003e Log 7 13.

5. Bandingkan nombor Log 2 6 dan 2.

Keputusan.

Kaedah pertama (Menggunakan fungsi logaritma logaritma).

Fungsi y \u003d log 2 tmeningkat R +., 6\u003e 4. Jadi Log 2 6\u003e Log 2 4dan log 2 5\u003e 2.

Kaedah kedua (merangka perbezaan).

Mari buat perbezaan.

6. Bandingkan nombor dan -1.

Fungsi y \u003d. penurunan oleh R +. , 3 < 5. Значит, > dan > -1 .

7. Bandingkan nombor dan 3log 8 26. .

Fungsi y \u003d log 2 t meningkat R +., 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Cara pertama.

Multiply kedua-dua bahagian ketidaksamaan untuk 3:

Fungsi Y \u003d log 5 t meningkat R +. , 27\u003e 25. Jadi

Cara kedua.

Mari buat perbezaan
. Dari sini.

9. Bandingkan Log 4 26 Nombor dan log 6 17.

Marilah kita menganggarkan logaritma, memandangkan fungsi y \u003d log 4 t dan y \u003d log 6 t meningkat R +.:

Memandangkan fungsi itu Turun oleh R +.Kami ada:

Ia bermaksud

Komen. Kaedah perbandingan yang dicadangkan dipanggil menggunakan kaedah "dimasukkan" atau kaedah "Pemisahan" (Kami mendapati nombor 4, memisahkan data dua nombor).

11. Bandingkan Log 2 3 nombor dan Log 3 5.

Perhatikan bahawa kedua-dua logaritma lebih besar daripada 1, tetapi kurang daripada 2.

Cara pertama. Mari cuba memohon kaedah "pemisahan". Bandingkan logaritma dengan nombor.

Cara kedua ( pendaraban nombor semula jadi).

Nota 1. Intipati kaedah “pendaraban pada nombor semulajadi"Dalam hakikat bahawa kita sedang mencari nombor semulajadi k.Apabila mendarab yang membandingkan nombor a. dan b. Menerima nombor tersebut ka. dan kb.Bahawa di antara mereka adalah sekurang-kurangnya satu integer.

Nota 2. Pelaksanaan kaedah di atas adalah sangat susah payah, jika nombor dibandingkan sangat dekat antara satu sama lain.
Dalam kes ini, anda boleh mencuba perbandingan kaedah "menolak unit". Tunjukkan pada contoh berikut.

12. Bandingkan Log 7 8 nombor dan Log 6 7.

Kaedah pertama (pengurangan unit).

Langgan dari nombor berbanding dengan 1.

Dalam ketidaksamaan pertama, kami mengambil kesempatan daripada

jika C\u003e A\u003e 1, maka dengan b\u003e 1, log ketidaksamaan log a b\u003e log c b.

Dalam ketidaksamaan kedua - monotoni fungsi Y \u003d log a x.

Cara kedua. (Permohonan ketidaksamaan Cauch).

13. Bandingkan Log 24 72 Nombor dan Log 12 18.

14. Bandingkan Log 20 80 nombor dan Log 80 640.

Biarkan log 2 5 \u003d X. . Notis, itu x. > 0.

Kita mendapat ketidaksamaan.

Kami mendapati banyak penyelesaian ketidaksamaan, Keadaan Memuaskan X\u003e 0.

Didirikan kedua-dua bahagian ketidaksamaan dalam persegi (bila x. \u003e 0 Kedua-dua bahagian ketidaksamaan adalah positif). Kami mempunyai 9x 2.< 9x + 28.

Pelbagai penyelesaian ketidaksamaan terakhir adalah jurang.

Mempertimbangkan itu x. \u003e 0, kita dapat :.

Jawapan: Ketidaksamaan adalah benar.

Bengkel untuk menyelesaikan masalah.

1. Bandingkan nombor:

2. Kedudukan dalam urutan menaik nombor:

3. Menyelesaikan ketidaksamaan. 4 4 - 2 · 2 4 + 1 - 3< 0 . Adalah nombor itu √2 dengan menyelesaikan ketidaksamaan ini? (Jawab:(-∞; log 2 3); nombor √2 ia adalah penyelesaian untuk ketidaksamaan ini.)

Kesimpulan.

Terdapat banyak kaedah perbandingan logaritma. Tujuan pelajaran mengenai topik ini adalah untuk ditemui untuk menavigasi manifold kaedah, memilih dan menggunakan penyelesaian yang paling rasional untuk penyelesaian dalam setiap keadaan tertentu.

Dalam kelas dengan kajian mendalam mengenai matematik, bahan mengenai topik ini boleh dinyatakan dalam bentuk kuliah. Satu bentuk aktiviti pendidikan menunjukkan bahawa bahan kuliah harus dipilih dengan teliti, bekerja, dibina dalam urutan logik tertentu. Rekod yang dibuat oleh guru di papan mesti dipikirkan, secara matematik tepat.

Penyatuan bahan kuliah, kemahiran kerja untuk menyelesaikan masalah perlu dijalankan di bengkel. Tujuan bengkel ini bukan sahaja untuk menyatukan dan memeriksa pengetahuan yang diperoleh, tetapi juga menambahnya. Oleh itu, tugas-tugas mesti mengandungi tugas-tugas yang berbeza, dari tugas-tugas yang paling mudah untuk tugas-tugas yang meningkat. Seorang guru di bengkel tersebut bertindak sebagai perunding.

Kesusasteraan.

Galitsky M.L. Dan tahap pengajian lain mengenai algebra dan analisis matematik: kaedah. Cadangan dan Didactic Bahan: Manual Guru. - m.: Pencerahan, 1986.

Ziv B.G., Goldich v.a. Bahan didaktik di algebra dan asal analisis untuk gred ke-10. - SPB.: "Chero-na-Neva", 2003.

Litvinenko V.N., Mordkovich A. G. Bengkel Matematik Elementary. Algebra. Trigonometri: Edisi Pendidikan. - m.: Pencerahan, 1990.

Ryazanovsky A.r. Algebra dan permulaan Analisis: 500 cara dan kaedah untuk menyelesaikan masalah dalam matematik untuk anak-anak sekolah dan memasuki universiti. - m.: Drop, 2001.

Sadovnichi yu.v. Matematik. Tugas kompetitif untuk algebra dengan penyelesaian. Bahagian 4. Persamaan logaritma, ketidaksamaan, sistem. Tutorial. - Ketiga Ed., Stern.-M.: Jabatan Penerbitan UNDCO, 2003.

Sharygin I.F., Golubev v.i.Kursus Pilihan dalam Matematik: Menyelesaikan masalah: kajian. Manual untuk 11 Cl. Rabu. - M.: Pencerahan, 1991.

Mari bermula oleh S. unit logaritma unit. Perumusannya adalah seperti berikut: Unit logaritma adalah sifar, iaitu, log a 1 \u003d 0 Untuk mana-mana A\u003e 0, A ≠ 1. Bukti tidak menyebabkan kesulitan: Oleh kerana 0 \u003d 1 untuk mana-mana a, memuaskan syarat yang dinyatakan di atas\u003e 0 dan A 1, maka logam kesamaan yang didianya 1 \u003d 0 segera berikut dari definisi logaritma.

Kami memberi contoh menerapkan sifat yang dipertimbangkan: log 3 1 \u003d 0, lg1 \u003d 0 dan.

Pergi ke harta berikut: logaritma nombor yang sama dengan asas adalah sama dengan satu, i.e, log a a \u003d 1 Di A\u003e 0, A ≠ 1. Sesungguhnya, kerana 1 \u003d A untuk mana-mana a, maka dengan definisi logaritma log a \u003d 1.

Contoh-contoh menggunakan harta logaritma ini adalah Equivals Log 5 5 \u003d 1, log 5.6 5.6 dan lne \u003d 1.

Sebagai contoh, log 2 2 7 \u003d 7, LG10 -4 \u003d -4 dan .

Logaritma kerja dua nombor positif X dan Y adalah sama dengan produk logaritma nombor-nombor ini: log a (x · y) \u003d log a x + log a y, A\u003e 0, a ≠ 1. Kami membuktikan harta logaritma kerja. Berdasarkan ijazah log a x + log a y \u003d a log a x · a log a y, dan sejak identiti logaritma utama log a x \u003d x dan log a y \u003d y, maka log a x · log a y \u003d x · y. Oleh itu, log a x + log a y \u003d x · y, dari mana definisi logaritma membayangkan kesaksamaan yang terbukti.

Marilah kita menunjukkan contoh menggunakan sifat logaritma: log 5 (2 · 3) \u003d log 5 2 + log 5 3 dan .

Hartanah logaritma kerja boleh umum di atas produk nombor terhingga N nombor positif X 1, X 2, ..., X N sebagai log a (x 1 · x 2 · ... · x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n . Kesamaan ini dibuktikan tanpa masalah.

Sebagai contoh, karya logaritma semulajadi boleh digantikan dengan jumlah tiga logaritma semulajadi nombor 4, e, dan.

Logaritma dua nombor positif X dan y adalah sama dengan perbezaan dalam logaritma nombor-nombor ini. Ciri-ciri logaritma peribadi sepadan dengan formula bentuk, di mana A\u003e 0, A ≠ 1, X dan Y adalah beberapa nombor positif. Kesahihan formula ini dibuktikan sebagai formula logaritma: Sejak , Mengikut definisi logaritma.

Marilah kita memberi contoh menggunakan harta logaritma ini: .

Pergi ke K. harta ijazah logaritma. Ijazah logaritma adalah sama dengan produk ijazah dalam logaritma modul asas tahap ini. Kami menulis hartanah ini dari logaritma dalam formula: log a b p \u003d p · log a | b |di mana a\u003e 0, a ≠ 1, b dan p nombor sedemikian yang ijazah b bermaksud dan b p\u003e 0.

Pertama, kami membuktikan harta ini untuk positif b. Identiti logaritma utama membolehkan kita membentangkan nombor B sebagai log a b, kemudian b p \u003d (log a b) p, dan ekspresi yang dihasilkan oleh harta tanah ijazah adalah p · log a b. Jadi kita datang ke kesamaan B P \u003d A P · Log A B, dari mana, dengan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahawa log a b p \u003d p · log a b.

Ia tetap membuktikan harta ini untuk negatif b. Di sini kita perasan bahawa ungkapan log ABP dengan B yang negatif masuk akal hanya pada darjah P (kerana nilai ijazah B harus lebih besar daripada sifar, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam hal ini BP \u003d | B | p. Kemudian b p \u003d | b | P \u003d (log a | b |) p \u003d a p · log a | b |Di mana log a b p \u003d p · log a | b | .

Sebagai contoh, dan ln (-3) 4 \u003d 4 · Ln | -3 | \u003d 4 · LN3.

Dari aliran harta sebelumnya harta logaritma root.: Logaritma akar n-darjah adalah sama dengan produk pecahan 1 / n pada logaritma ekspresi makan, iaitu, iaitu, , di mana A\u003e 0, A ≠ 1, N adalah nombor semula jadi, lebih banyak unit, B\u003e 0.

Bukti itu berdasarkan kesamaan (lihat), yang sah untuk apa-apa positif B, dan harta logaritma: .

Berikut adalah contoh menggunakan harta ini: .

Sekarang buktikan formula untuk peralihan ke pangkalan logaritma baru Pandangan . Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk membuktikan kesahihan log kesamaan c \u003d log a b · log c a. Identiti logaritma utama membolehkan kami nombor B untuk mewakili sebagai log a b, kemudian log c b \u003d log c a b. Ia tetap mengambil kesempatan daripada harta logaritma: log c log a b \u003d log a b · log c a. Jadi membuktikan kesamaan log c b \u003d log a b · log C A, dan oleh itu formula untuk peralihan ke pangkalan baru logaritma juga dibuktikan.

Mari kita tunjukkan beberapa contoh menerapkan harta logaritma ini: dan .

Formula peralihan ke pangkalan baru membolehkan anda bergerak untuk bekerja dengan logaritma yang mempunyai asas "mudah". Sebagai contoh, menggunakannya, anda boleh pergi ke logaritma semula jadi atau perpuluhan supaya anda boleh mengira nilai logaritma di sepanjang jadual logaritma. Formula peralihan ke pangkalan baru logaritma juga membolehkan dalam beberapa kes untuk mencari nilai logaritma ini, apabila nilai-nilai beberapa logaritma dengan pangkalan lain diketahui.

Ia sering digunakan kes khas formula untuk peralihan ke pangkalan baru logaritma di C \u003d B spesies . Ia dapat dilihat bahawa log a b dan log b A. Sebagai contoh, .

Juga sering digunakan formula yang mudah apabila mencari logaritma. Untuk mengesahkan kata-kata anda, kami menunjukkan bagaimana ia dikira dengan nilai logaritma pandangan. Telah . Untuk membuktikan formula itu Ia cukup untuk mengambil kesempatan daripada peralihan ke pangkalan logaritma baru A: .

Ia tetap membuktikan sifat perbandingan logaritma.

Kami membuktikan bahawa untuk mana-mana nombor positif B 1 dan B 2, B 1 log a b 2, dan pada\u003e 1 - log ketidaksamaan A B 1
Akhirnya, ia tetap membuktikan perkara terakhir yang disenaraikan dari logaritma. Kami menyekat diri kita kepada bukti bahagian pertama, iaitu, kita membuktikan bahawa jika 1\u003e 1, 2\u003e 1 dan A 1 1 log yang adil A 1 b\u003e log a 2 b. Penyata baki harta logaritma ini dibuktikan dengan prinsip yang sama.

Kami menggunakan kaedah dari sebaliknya. Katakan bahawa pada 1\u003e 1, 2\u003e 1 dan A 1 1 Log Fair A 1 B≤log A 2 B. Menurut sifat logaritma, ketidaksamaan ini boleh menulis semula sebagai dan Oleh itu, ia mengikuti log B A 1 ≤Log B A 2 dan log B A 1 ≥Log B A 2, masing-masing. Kemudian, menurut sifat-sifat darjah dengan asas yang sama, kesaksamaan B log B A 1 ≥b log B A 2 dan B log B A 1 ≥b Log B A 2, iaitu, 1 ≥a 2. Jadi kita datang ke kontradiksi keadaan A 1
Senarai Rujukan.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn yu.p. et al. Algebra dan Mula Analisis: Buku Teks untuk 10 - 11 kelas institusi pendidikan umum.

Gusev v.a., Mordkovich A.g. Matematik (Elaun untuk Pemohon ke Sekolah Teknikal).

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh dilipat, memotong dan menukar. Tetapi sejak logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan sendiri yang dipanggil basic Properties..

Kaedah-kaedah ini semestinya diketahui - tiada tugas logaritma yang serius diselesaikan tanpa mereka. Di samping itu, mereka agak sedikit - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi, teruskan.

Penambahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan pangkalan yang sama: log a. x. dan log. a. y.. Kemudian mereka boleh dilipat dan ditolak, dan:

log. a. x. + Log. a. y. \u003d Log. a. (x. · y.);

log. a. x. - Log. a. y. \u003d Log. a. (x. : y.).

Oleh itu, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma kerja, dan perbezaannya adalah logaritma peribadi. Sila ambil perhatian: Titik utama di sini adalah alasan yang sama. Sekiranya asasnya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individu tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "apa logaritma"). Lihatlah contoh - dan pastikan:

Log 6 4 + Log 6 9.

Sejak asas dalam logaritma adalah sama, kami menggunakan jumlah jumlah:
log 6 4 + Log 6 9 \u003d Log 6 (4 · 9) \u003d Log 6 36 \u003d 2.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log 2 48 - log 2 3.

Asas-asasnya adalah sama, menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log 3 135 - log 3 5.

Sekali lagi asas-asas adalah sama, jadi kita ada:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan awal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dianggap secara berasingan secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, angka yang agak normal diperolehi. Dalam fakta ini, banyak kerja ujian dibina. Tetapi apakah kawalan - ekspresi sedemikian (kadang-kadang - hampir tidak berubah) ditawarkan pada peperiksaan.

Ijazah Eksekutif dari Logaritma

Sekarang sedikit merumitkan tugas. Bagaimana jika di pangkalan atau hujah logaritma berharga ijazah? Kemudian penunjuk tahap ini boleh diambil dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua mereka yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya, dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika pematuhan dengan logaritma OTZ: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. Dan juga: Belajar untuk memohon semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi sebaliknya, iaitu. Anda boleh membuat nombor yang menghadap logaritma, ke logaritma itu sendiri. Yang paling kerap diperlukan.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6.

Menyingkirkan sejauh mana dalam hujah dalam formula pertama:
log 7 49 6 \u003d 6 · Log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Tugas. Cari nilai ungkapan:
[Tandatangan kepada Rajah]

Perhatikan bahawa dalam penyebut ada logaritma, asas dan hujah yang merupakan ijazah yang tepat: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Kami ada:
[Tandatangan kepada Rajah]
Saya fikir contoh terkini memerlukan penjelasan. Di manakah logaritma hilang? Sehingga saat terakhir, kita hanya bekerja dengan penyebut. Mereka menyampaikan asas dan hujah dari logaritma di sana dalam bentuk darjah dan melakukan indikator - menerima pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan asas. Nombor dalam pengangka dan penyebut adalah nombor yang sama: log 2 7. Sejak log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal di dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawapannya: 2.

Peralihan ke pangkalan baru

Bercakap tentang peraturan untuk penambahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa mereka hanya bekerja dengan pangkalan yang sama. Dan bagaimana jika asasnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan darjah yang tepat dari nombor yang sama?

Formula untuk peralihan ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

LET logaritm log a. x.. Kemudian untuk sebarang nombor c. seperti itu c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, kesaksamaan yang benar:
[Tandatangan kepada Rajah]
Khususnya, jika anda meletakkan c. = x.Kami akan mendapat:
[Tandatangan kepada Rajah]

Dari formula kedua, ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh diubah di tempat, tetapi pada masa yang sama ungkapan "bertukar", iaitu. Logaritma ternyata berada di dalam penyebut.

Formula ini jarang berlaku dalam ekspresi berangka konvensional. Menilai seberapa mudah mereka, hanya mungkin apabila menyelesaikan persamaan logaritmik dan ketidaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang umumnya tidak diselesaikan di mana-mana sebagai peralihan ke pangkalan baru. Pertimbangkan beberapa perkara itu:

Tugas. Cari nilai ungkapan: log 5 16 · log 2 25.

Perhatikan bahawa hujah-hujah kedua-dua logaritma adalah tahap yang tepat. Saya akan merumuskan: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

Dan sekarang "Invert" logaritma kedua:
[Tandatangan kepada Rajah]
Oleh kerana kerja itu tidak berubah dari penyusunan semula penggalian, kami dengan tenang menukar empat dan dua, dan kemudian disusun dengan logaritma.

Tugas. Cari nilai ungkapan: log 9 100 · LG 3.

Asas dan hujah logaritma pertama - ijazah yang tepat. Kami menulis dan menghilangkan penunjuk:
[Tandatangan kepada Rajah]
Sekarang hapuskan logaritma perpuluhan, dengan beralih ke pangkalan baru:
[Tandatangan kepada Rajah]
Identiti logaritma asas.

Selalunya, penyelesaiannya diperlukan untuk mengemukakan nombor sebagai logaritma untuk asas tertentu. Dalam kes ini, Formula akan membantu kita:

Dalam kes pertama n. Ia menjadi penunjuk sejauh mana dalam hujah. Nombor n. Ia boleh menjadi sama sekali, kerana ia hanya nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya merupakan definisi paraphrassed. Ia dipanggil: identiti logaritma utama.

Malah, apa yang akan berlaku jika nombor itu b. membina sejauh mana nombor itu b. sehingga tahap ini memberikan nombor itu a.? Betul: ini yang paling banyak a.. Berhati-hati membaca perenggan ini sekali lagi - banyak "menggantung" di atasnya.

Seperti formula peralihan ke pangkalan baru, identiti logaritma utama kadang-kadang satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugas. Cari nilai ungkapan:
[Tandatangan kepada Rajah]

Perhatikan bahawa log 25 64 \u003d log 5 8 - hanya membuat persegi dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk pendaraban darjah dengan asas yang sama, kita dapat:
[Tandatangan kepada Rajah]
Jika seseorang tidak sedar, ia adalah tugas sebenar Ege :)

Unit logaritmik dan logaritma sifar

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang sukar untuk menamakan sifat - sebaliknya, ini adalah akibat dari definisi logaritma. Mereka sentiasa dijumpai dalam tugas dan, yang mengejutkan, mewujudkan masalah walaupun untuk pelajar "maju".

log. a. a. \u003d 1 adalah unit logaritma. Rekod sekali dan selama-lamanya: logaritma atas dasar a. Dari asas yang sangat sama dengan satu.

log. a. 1 \u003d 0 adalah sifar logaritma. Pangkalan a. Mungkin entah bagaimana, tetapi jika hujah itu adalah unit - logaritma adalah sifar! Kerana. a. 0 \u003d 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itulah semua hartanah. Pastikan anda berlatih menerapkannya dalam amalan! Muat turun buaian pada permulaan pelajaran, cetaknya - dan selesaikan tugas.