Ruang vektor: dimensi dan basis, penguraian suatu vektor menjadi basis. Ketergantungan linier. Dasar sistem vektor Dasar sistem vektor
Ketika kami memeriksa konsep vektor berdimensi n dan memperkenalkan operasi pada vektor, kami menemukan bahwa himpunan semua vektor berdimensi n menghasilkan ruang linier. Pada artikel ini kita akan membahas tentang konsep terkait yang paling penting - dimensi dan basis ruang vektor. Kita juga akan mempertimbangkan teorema tentang perluasan vektor sembarang menjadi suatu basis dan hubungan antara berbagai basis dalam ruang berdimensi-n. Mari kita periksa secara rinci solusi dari contoh-contoh tipikal.
Navigasi halaman.
Konsep dimensi ruang vektor dan basisnya.
Konsep dimensi dan basis ruang vektor berkaitan langsung dengan konsep sistem vektor bebas linier, oleh karena itu bila perlu sebaiknya Anda merujuk pada artikel ketergantungan linier suatu sistem vektor, sifat-sifat ketergantungan dan kemandirian linier. .
Definisi.
Dimensi ruang vektor adalah bilangan yang sama dengan jumlah maksimum vektor bebas linier dalam ruang tertentu.
Definisi.
Dasar ruang vektor adalah himpunan vektor-vektor bebas linier pada ruang tertentu, yang jumlahnya sama dengan dimensi ruang.
Mari kita berikan beberapa alasan berdasarkan definisi ini.
Pertimbangkan ruang vektor berdimensi n.
Mari kita tunjukkan bahwa dimensi ruang ini adalah n.
Mari kita ambil sistem dengan n vektor satuan berbentuk
Mari kita ambil vektor-vektor ini sebagai baris-baris matriks A. Dalam hal ini, matriks A adalah matriks identitas berdimensi n kali n. Pangkat matriks ini adalah n (lihat artikel jika perlu). Oleh karena itu, sistem vektor 
bebas linier, dan tidak ada satu vektor pun yang dapat ditambahkan ke sistem ini tanpa melanggar independensi liniernya. Karena banyaknya vektor dalam sistem sama dengan n, maka dimensi ruang vektor berdimensi n adalah n, dan vektor satuan adalah dasar dari ruang ini.
Dari pernyataan terakhir dan definisi dasar kita dapat menyimpulkan bahwa sistem apa pun dengan vektor berdimensi n, yang jumlah vektornya kurang dari n, bukan merupakan basis.
Sekarang mari kita menukar vektor pertama dan kedua dari sistem . Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sistem yang dihasilkan adalah vektor 
juga merupakan basis dari ruang vektor berdimensi n. Mari kita membuat matriks dengan mengambil vektor-vektor dari sistem ini sebagai baris-barisnya. Matriks ini dapat diperoleh dari matriks identitas dengan cara menukar baris pertama dan kedua sehingga ranknya menjadi n. Jadi, sistem n vektor bebas linier dan merupakan basis dari ruang vektor berdimensi n.
Jika kita mengatur ulang vektor-vektor lain dari sistem , lalu kita mendapatkan dasar lain.
Jika kita mengambil sistem vektor non-satuan yang bebas linier, maka sistem tersebut juga merupakan basis dari ruang vektor berdimensi-n.
Dengan demikian, ruang vektor berdimensi n mempunyai basis yang sama banyaknya dengan sistem vektor berdimensi n yang bebas linear.
Jika kita berbicara tentang ruang vektor dua dimensi (yaitu bidang), maka basisnya adalah dua vektor yang tidak segaris. Basis ruang tiga dimensi adalah tiga vektor non-coplanar.
Mari kita lihat beberapa contoh.
Contoh.
Apakah vektor merupakan dasar dari ruang vektor tiga dimensi?
Larutan.
Mari kita periksa sistem vektor ini untuk ketergantungan linier. Untuk melakukannya, mari buat matriks yang baris-barisnya akan menjadi koordinat vektor-vektornya, dan cari pangkatnya: 
Jadi, vektor-vektor a, b, dan c bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor, oleh karena itu vektor-vektor tersebut merupakan basis dari ruang tersebut.
Menjawab:
Iya itu mereka.
Contoh.
Dapatkah sistem vektor menjadi basis ruang vektor?
Larutan.
Sistem vektor ini bergantung linier, karena jumlah maksimum vektor tiga dimensi yang bebas linier adalah tiga. Akibatnya, sistem vektor ini tidak dapat menjadi basis dari ruang vektor tiga dimensi (meskipun subsistem dari sistem vektor asli adalah basisnya).
Menjawab:
Tidak, dia tidak bisa.
Contoh.
Pastikan vektornya 
dapat menjadi basis ruang vektor empat dimensi.
Larutan.
Mari kita membuat matriks dengan mengambil vektor asli sebagai barisnya: 
Mari temukan: 
Jadi, sistem vektor a, b, c, d bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor, oleh karena itu a, b, c, d adalah basisnya.
Menjawab:
Vektor asli memang merupakan dasar dari ruang empat dimensi.
Contoh.
Apakah vektor membentuk basis ruang vektor berdimensi 4?
Larutan.
Sekalipun sistem vektor aslinya bebas linier, jumlah vektor di dalamnya tidak cukup untuk menjadi basis ruang empat dimensi (basis ruang tersebut terdiri dari 4 vektor).
Menjawab:
Tidak, tidak.
Penguraian suatu vektor menurut basis ruang vektornya.
Biarkan vektor sewenang-wenang adalah basis dari ruang vektor berdimensi n. Jika kita menambahkan beberapa vektor berdimensi n x ke dalamnya, maka sistem vektor yang dihasilkan akan bergantung linier. Dari sifat-sifat ketergantungan linier kita mengetahui bahwa paling sedikit satu vektor dari suatu sistem yang bergantung linier dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor lainnya. Dengan kata lain, setidaknya salah satu vektor dari sistem bergantung linier diperluas ke vektor-vektor lainnya.
Hal ini membawa kita pada teorema yang sangat penting.
Dalil.
Setiap vektor dari ruang vektor berdimensi n dapat didekomposisi secara unik menjadi basis.
Bukti.
Membiarkan - dasar ruang vektor berdimensi n. Mari tambahkan vektor berdimensi n x ke vektor-vektor ini. Maka sistem vektor yang dihasilkan akan bergantung linier dan vektor x dapat dinyatakan secara linier dalam vektor : , di mana beberapa nomornya. Beginilah cara kita memperoleh pemuaian vektor x terhadap basis. Masih perlu dibuktikan bahwa dekomposisi ini unik.
Mari kita asumsikan ada dekomposisi lain, dimana 
- beberapa nomor. Mari kita kurangi ruas kiri dan kanan persamaan terakhir masing-masing dengan ruas kiri dan kanan persamaan:
Karena sistem vektor basis bebas linier, maka menurut definisi kemandirian linier suatu sistem vektor, persamaan yang dihasilkan hanya mungkin terjadi jika semua koefisien sama dengan nol. Oleh karena itu, , yang membuktikan keunikan penguraian vektor terhadap basis.
Definisi.
Koefisiennya disebut koordinat vektor x pada basis .
Setelah mengenal teorema penguraian vektor menjadi basis, kita mulai memahami inti dari ungkapan “kita diberi vektor berdimensi n 
" Ungkapan ini berarti bahwa kita sedang mempertimbangkan vektor ruang vektor berdimensi x n, yang koordinatnya ditentukan dalam beberapa basis. Pada saat yang sama, kita memahami bahwa vektor x yang sama pada basis lain dari ruang vektor berdimensi n akan memiliki koordinat yang berbeda dari .
Mari kita perhatikan permasalahan berikut ini.
Mari kita diberikan suatu sistem yang terdiri dari n vektor bebas linier dalam suatu basis ruang vektor berdimensi n 
dan vektor . Kemudian vektornya juga merupakan dasar dari ruang vektor ini.
Mari kita cari koordinat vektor x di basisnya . Mari kita nyatakan koordinat ini sebagai .
Vektor x dalam basis punya ide. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat:
Persamaan ini setara dengan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui :
Matriks utama sistem ini berbentuk 
Mari kita nyatakan dengan huruf A. Kolom-kolom matriks A mewakili vektor-vektor dari sistem vektor-vektor yang bebas linier , jadi rank matriks tersebut adalah n, maka determinannya bukan nol. Fakta ini menunjukkan bahwa sistem persamaan mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode apapun, misalnya atau.
Dengan cara ini koordinat yang diperlukan akan ditemukan vektor x di basis .
Mari kita lihat teorinya menggunakan contoh.
Contoh.
Dalam beberapa basis ruang vektor tiga dimensi, vektor 
Pastikan sistem vektor juga merupakan basis dari ruang ini dan temukan koordinat vektor x dalam basis ini.
Larutan.
Agar suatu sistem vektor menjadi basis ruang vektor tiga dimensi, sistem tersebut harus bebas linier. Mari kita cari tahu dengan menentukan rank matriks A yang baris-barisnya merupakan vektor. Mari kita cari ranknya menggunakan metode Gaussian 
oleh karena itu, Rank(A) = 3, yang menunjukkan independensi linier dari sistem vektor.
Jadi, vektor adalah basisnya. Biarkan vektor x memiliki koordinat pada basis ini. Kemudian, seperti yang kami tunjukkan di atas, hubungan antara koordinat vektor ini diberikan oleh sistem persamaan 
Mengganti nilai-nilai yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, kita memperoleh 
Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer: 
Jadi, vektor x pada basis memiliki koordinat 
.
Menjawab:
Contoh.
Atas dasar tertentu 
dari ruang vektor empat dimensi, diberikan sistem vektor bebas linier 
Diketahui bahwa 
. Temukan koordinat vektor x di basis .
Larutan.
Sejak sistem vektor 
bebas linier dengan syarat, maka ia merupakan basis ruang empat dimensi. Lalu kesetaraan berarti vektor x pada basisnya memiliki koordinat. Mari kita nyatakan koordinat vektor x pada basis Bagaimana .
Sistem persamaan yang mendefinisikan hubungan antara koordinat vektor x dalam basis Dan seperti 
Kami mengganti nilai yang diketahui ke dalamnya dan menemukan koordinat yang diperlukan: 
Menjawab:
.
Hubungan antar pangkalan.
Misalkan dua sistem vektor bebas linier diberikan dalam suatu basis ruang vektor berdimensi n 
Dan
artinya, mereka juga merupakan basis dari ruang ini.
Jika 
- Koordinat vektor di pangkalan , lalu koneksi koordinat 
Dan diberikan oleh sistem persamaan linear (kita membicarakan hal ini di paragraf sebelumnya): 
, yang dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai 
Demikian pula untuk vektor kita dapat menulis 
Persamaan matriks sebelumnya dapat digabungkan menjadi satu, yang pada dasarnya mendefinisikan hubungan antara vektor-vektor dari dua basis yang berbeda 
Demikian pula, kita dapat menyatakan semua vektor basis melalui dasar 
:
Definisi.
Matriks 
ditelepon matriks transisi dari basis ke pangkalan , maka persamaan tersebut benar 
Mengalikan kedua ruas persamaan ini dari kanan dengan
kita mendapatkan 
Mari kita cari matriks transisi, tetapi kita tidak akan membahas secara rinci tentang mencari matriks invers dan mengalikan matriks (lihat artikel dan jika perlu): 
Masih mencari hubungan antara koordinat vektor x pada basis yang diberikan.
Misalkan vektor x mempunyai koordinat pada basisnya 
dan pada basis vektor x mempunyai koordinat , maka 
Karena ruas kiri dari dua persamaan terakhir adalah sama, kita dapat menyamakan ruas kanannya: 
Jika kita mengalikan kedua ruas di sebelah kanan dengan
lalu kita dapatkan 
Di sisi lain 
(temukan sendiri matriks inversnya).
Dua persamaan terakhir memberi kita hubungan yang diperlukan antara koordinat vektor x pada basis dan .
Menjawab:
Matriks transisi dari basis ke basis memiliki bentuk 
;
koordinat vektor x dalam basis dan dihubungkan oleh relasi 
atau .
Kami memeriksa konsep dimensi dan basis ruang vektor, mempelajari penguraian vektor menjadi basis, dan menemukan hubungan antara basis berbeda dari ruang vektor berdimensi n melalui matriks transisi.
Definisi dasar. Suatu sistem vektor membentuk basis jika:
1) bebas linier,
2) vektor ruang apa pun dapat dinyatakan secara linier melalui vektor tersebut.
Contoh 1. Dasar ruang: .
2.
Dalam sistem vektor 
basisnya adalah vektor: , karena 
dinyatakan secara linear dalam bentuk vektor.
Komentar. Untuk mencari basis sistem vektor tertentu, Anda perlu:
1) tuliskan koordinat vektor-vektor tersebut ke dalam matriks,
2) menggunakan transformasi dasar, bawa matriks ke bentuk segitiga,
3) baris matriks yang bukan nol akan menjadi basis sistem,
4) jumlah vektor pada basis sama dengan pangkat matriks.
Teorema Kronecker-Capelli
Teorema Kronecker – Capelli memberikan jawaban komprehensif terhadap pertanyaan tentang kesesuaian sistem persamaan linear arbitrer dengan persamaan linear yang tidak diketahui.
Teorema Kronecker – Capelli. Suatu sistem persamaan aljabar linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut sama dengan pangkat matriks utama, .
Algoritme untuk mencari semua solusi sistem persamaan linear simultan mengikuti teorema Kronecker – Capelli dan teorema berikut.
Dalil. Jika peringkat suatu sistem gabungan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik.
Dalil. Jika rank suatu sistem gabungan lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.
Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sembarang:
1. Temukan pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas dari sistem. Jika tidak sama (), maka sistem tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jika peringkatnya sama ( , maka sistem tersebut konsisten.
2. Untuk sistem gabungan, kita menemukan suatu minor, yang urutannya menentukan pangkat matriks (minor seperti itu disebut dasar). Mari kita buat sistem persamaan baru di mana koefisien-koefisien yang tidak diketahui dimasukkan dalam minor dasar (yang tidak diketahui ini disebut yang tidak diketahui utama), dan membuang persamaan yang tersisa. Kami akan meninggalkan yang tidak diketahui utama dengan koefisien di sebelah kiri, dan memindahkan sisa yang tidak diketahui (disebut tidak diketahui bebas) ke sisi kanan persamaan.
3. Mari kita temukan ekspresi untuk hal-hal yang tidak diketahui dalam bentuk yang bebas. Kami memperoleh solusi umum dari sistem.
4. Dengan memberikan nilai arbitrer pada hal-hal yang tidak diketahui bebas, kita memperoleh nilai-nilai yang sesuai dari hal-hal yang tidak diketahui utama. Dengan cara ini kita menemukan solusi parsial terhadap sistem persamaan asli.
Pemrograman linier. Konsep dasar
Pemrograman linier adalah cabang pemrograman matematika yang mempelajari metode penyelesaian masalah ekstrem yang bercirikan hubungan linier antar variabel dan kriteria linier.
Kondisi yang diperlukan untuk menimbulkan masalah program linier adalah pembatasan ketersediaan sumber daya, jumlah permintaan, kapasitas produksi perusahaan dan faktor produksi lainnya.
Inti dari pemrograman linier adalah menemukan titik-titik nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi tertentu di bawah serangkaian batasan tertentu yang dikenakan pada argumen dan generator. sistem pembatasan , yang biasanya memiliki jumlah solusi tak terhingga. Setiap kumpulan nilai variabel (argumen fungsi F ) yang memenuhi sistem kendala disebut rencana yang valid masalah pemrograman linier. Fungsi F , maksimum atau minimum yang ditentukan disebut fungsi sasaran tugas. Suatu rencana yang layak dimana fungsi maksimum atau minimum dapat dicapai F , ditelepon rencana optimal tugas.
Sistem pembatasan yang menentukan banyak rencana ditentukan oleh kondisi produksi. Masalah pemrograman linier ( ZLP ) adalah pilihan yang paling menguntungkan (optimal) dari serangkaian rencana yang layak.
Secara umum rumusan masalah program linier terlihat seperti ini:
Apakah ada variabel? x = (x 1, x 2, ... xn) dan fungsi dari variabel-variabel tersebut f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , yang disebut target fungsi. Tugasnya ditetapkan: menemukan ekstrem (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x) asalkan variabelnya X milik suatu daerah G :
Tergantung pada jenis fungsinya f(x)
dan wilayah G
dan membedakan bagian-bagian pemrograman matematika: pemrograman kuadrat, pemrograman cembung, pemrograman bilangan bulat, dll. Pemrograman linier dicirikan oleh fakta bahwa
sebuah fungsi f(x)
adalah fungsi linier dari variabel x 1, x 2, … xn
b) wilayah G
ditentukan oleh sistem linier
persamaan atau ketidaksetaraan.
Dalam geometri, vektor dipahami sebagai segmen berarah, dan vektor-vektor yang diperoleh satu sama lain melalui translasi paralel dianggap sama. Semua vektor yang sama diperlakukan sebagai vektor yang sama. Titik asal vektor dapat ditempatkan pada titik mana pun dalam ruang atau bidang.
Jika koordinat ujung-ujung vektor diberikan dalam ruang: A(X 1 , kamu 1 , z 1), B(X 2 , kamu 2 , z 2), lalu
= (X 2 – X 1 , kamu 2 – kamu 1 , z 2 – z 1). (1)
Rumus serupa juga berlaku di pesawat. Artinya vektor dapat dituliskan sebagai garis koordinat. Operasi pada vektor, seperti penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan, pada string dilakukan secara komponen. Hal ini memungkinkan untuk memperluas konsep vektor, memahami vektor sebagai rangkaian angka apa pun. Misalnya, solusi sistem persamaan linier, serta himpunan nilai variabel sistem, dapat dipandang sebagai vektor.
Pada string yang panjangnya sama, operasi penjumlahan dilakukan sesuai aturan
(sebuah 1 , sebuah 2 , … , sebuah N) + (b 1 , b 2 , … , b N) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a N+b N). (2)
Mengalikan string dengan angka mengikuti aturan
aku(sebuah 1 , sebuah 2 , … , sebuah N) = (la 1 , la 2 , … , la N). (3)
Himpunan vektor baris dengan panjang tertentu N dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian dengan bilangan yang ditunjukkan, struktur aljabar disebut ruang linier berdimensi n.
Kombinasi linear vektor adalah vektor 
, dimana λ 1 , ... , λ M– koefisien sewenang-wenang.
Suatu sistem vektor disebut bergantung linier jika terdapat kombinasi linier sama dengan , yang paling sedikit terdapat satu koefisien bukan nol.
Suatu sistem vektor disebut bebas linier jika dalam sembarang kombinasi linier yang sama dengan , semua koefisiennya nol.
Dengan demikian, penyelesaian pertanyaan tentang ketergantungan linier suatu sistem vektor direduksi menjadi penyelesaian persamaan
X 1 + X 2 + … + xm = . (4)
Jika persamaan ini mempunyai solusi bukan nol, maka sistem vektornya bergantung linier. Jika solusi nolnya unik, maka sistem vektornya bebas linier.
Untuk menyelesaikan sistem (4), agar lebih jelas, vektor dapat ditulis bukan sebagai baris, tetapi sebagai kolom.
Kemudian, setelah melakukan transformasi pada ruas kiri, kita sampai pada sistem persamaan linier yang ekuivalen dengan persamaan (4). Matriks utama sistem ini dibentuk oleh koordinat vektor-vektor asli yang disusun dalam kolom-kolom. Kolom anggota bebas tidak diperlukan di sini, karena sistemnya homogen.
Dasar sistem vektor (berhingga atau tak terbatas, khususnya, seluruh ruang linier) adalah subsistem bebas linier tak kosong yang melaluinya vektor apa pun dari sistem dapat dinyatakan.
Contoh 1.5.2. Tentukan basis sistem vektor = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) dan nyatakan vektor-vektor yang tersisa melalui basis.
Larutan. Kami membangun sebuah matriks di mana koordinat vektor-vektor ini disusun dalam kolom. Ini adalah matriks sistem X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Kami mengurangi matriks menjadi bentuk bertahap:
~ 
~ 
~
Dasar dari sistem vektor ini dibentuk oleh vektor-vektor , , , yang bersesuaian dengan elemen-elemen utama dari baris-baris tersebut, yang disorot dalam lingkaran. Untuk menyatakan vektor, kita menyelesaikan persamaannya X 1 + X 2 + X 4 = . Ini direduksi menjadi sistem persamaan linier, yang matriksnya diperoleh dari matriks asli dengan menata ulang kolom yang bersesuaian dengan , menggantikan kolom suku bebas. Oleh karena itu, ketika direduksi menjadi bentuk bertahap, transformasi yang sama seperti di atas akan dilakukan pada matriks. Ini berarti bahwa Anda dapat menggunakan matriks yang dihasilkan dalam bentuk bertahap, membuat penataan ulang kolom yang diperlukan di dalamnya: kita menempatkan kolom dengan lingkaran di sebelah kiri garis vertikal, dan kolom yang sesuai dengan vektor ditempatkan di sebelah kanan. dari bar.
Kami secara konsisten menemukan:
X 4 = 0;
X 2 = 2;
X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;
Komentar. Jika perlu untuk menyatakan beberapa vektor melalui basis, maka untuk masing-masing vektor tersebut dibangun sistem persamaan linear yang bersesuaian. Sistem ini hanya akan berbeda pada kolom anggota bebasnya. Selain itu, setiap sistem diselesaikan secara independen satu sama lain.
Latihan 1.4. Temukan basis sistem vektor dan nyatakan vektor-vektor lainnya melalui basis:
a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);
b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);
c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).
Dalam sistem vektor tertentu, suatu basis biasanya dapat diidentifikasi dengan cara yang berbeda-beda, tetapi semua basis mempunyai jumlah vektor yang sama. Banyaknya vektor pada basis suatu ruang linier disebut dimensi ruang. Untuk N ruang linier -dimensi N– ini adalah dimensi ruang, karena ruang ini mempunyai basis baku = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0 , ... , 1). Melalui basis ini sembarang vektor = (a 1 , a 2 , … , a N) dinyatakan sebagai berikut:
= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a N) =
SEBUAH 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a N(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a N .
Jadi, komponen-komponen pada baris vektor tersebut = (a 1 , a 2 , … , a N) adalah koefisiennya dalam perluasan melalui basis standar.
Garis lurus pada bidang
Tugas geometri analitik adalah penerapan metode koordinat pada permasalahan geometri. Dengan demikian, permasalahan tersebut diterjemahkan ke dalam bentuk aljabar dan diselesaikan melalui aljabar.
Contoh 8
Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis dalam ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis tersebut.
Larutan: Pertama, mari kita atasi kondisinya. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang Anda lihat, vektor-vektor tersebut sudah memiliki koordinat pada basis tertentu. Apa dasar ini tidak menarik bagi kami. Dan hal berikut ini menarik: tiga vektor mungkin akan membentuk basis baru. Dan tahap pertama sepenuhnya bertepatan dengan solusi Contoh 6; perlu untuk memeriksa apakah vektor-vektor tersebut benar-benar bebas linier:
Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor: 
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi.
! Penting: koordinat vektor Perlu tuliskan menjadi kolom penentu, bukan dalam string. Jika tidak, akan terjadi kebingungan dalam algoritma solusi selanjutnya.
Sekarang mari kita ingat bagian teoretisnya: jika vektor membentuk suatu basis, maka vektor apa pun dapat diperluas ke basis tertentu dengan cara yang unik: , di mana adalah koordinat vektor dalam basis.
Karena vektor kita membentuk basis ruang tiga dimensi (hal ini telah dibuktikan), vektor dapat diperluas dengan cara yang unik pada basis ini: 
, dimana koordinat vektor pada basisnya.
Sesuai dengan kondisi dan perlu dicari koordinatnya.
Untuk memudahkan penjelasan, saya akan menukar bagian-bagiannya: 
. Untuk menemukannya, Anda harus menuliskan persamaan koordinat demi koordinat ini: 
Atas dasar apa koefisien ditetapkan? Semua koefisien di ruas kiri dipindahkan secara tepat dari determinan 
, koordinat vektor ditulis di sisi kanan.
Hasilnya adalah sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Biasanya diselesaikan dengan rumus Cramer, seringkali bahkan dalam rumusan masalah terdapat persyaratan seperti itu.
Penentu utama sistem telah ditemukan:
, yang berarti sistem memiliki solusi unik.
Berikut ini soal tekniknya: 
Dengan demikian:
– penguraian vektor menurut basisnya.
Menjawab: 
Seperti yang sudah saya catat, masalahnya bersifat aljabar. Vektor-vektor yang dipertimbangkan belum tentu vektor-vektor yang dapat digambar dalam ruang, tetapi, pertama-tama, vektor-vektor abstrak dari mata kuliah aljabar linier. Untuk kasus vektor dua dimensi, masalah serupa dapat dirumuskan dan diselesaikan; penyelesaiannya akan jauh lebih sederhana. Namun, dalam praktiknya saya belum pernah menemui tugas seperti itu, itulah sebabnya saya melewatkannya di bagian sebelumnya.
Masalah yang sama dengan vektor tiga dimensi untuk solusi independen:
Contoh 9
Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis dan tentukan koordinat vektor-vektor tersebut. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.
Solusi lengkap dan contoh perkiraan desain akhir di akhir pelajaran.
Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan empat dimensi, lima dimensi, dan seterusnya. ruang vektor, dimana vektor masing-masing mempunyai 4, 5 atau lebih koordinat. Untuk ruang vektor ini juga ada konsep ketergantungan linier, kemandirian linier vektor, ada basis, termasuk basis ortonormal, perluasan suatu vektor terhadap suatu basis. Ya, ruang seperti itu tidak dapat digambar secara geometris, tetapi semua aturan, properti, dan teorema kasus dua dan tiga dimensi berlaku di dalamnya - aljabar murni. Sebenarnya saya sudah tergoda untuk membicarakan persoalan filosofis di artikel tersebut Turunan parsial dari fungsi tiga variabel, yang muncul sebelum pelajaran ini.
Cintai vektor, dan vektor akan mencintaimu!
Solusi dan jawaban:
Contoh 2: Larutan: mari kita membuat proporsi dari koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:
Menjawab:
pada
Contoh 4: Bukti: Rekstok gantung Segi empat disebut segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.
1) Mari kita periksa kesejajaran sisi-sisi yang berhadapan dan .
Mari kita cari vektornya:
, artinya vektor-vektor tersebut tidak segaris dan sisi-sisinya tidak sejajar.
2) Periksa kesejajaran sisi-sisi yang berhadapan dan .
Mari kita cari vektornya:
Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris, dan .
Kesimpulan:
Dua sisi suatu segi empat sejajar, tetapi dua sisi lainnya tidak sejajar, yang berarti segi empat menurut definisinya adalah trapesium. Q.E.D.
Contoh 5: Larutan:
b) Mari kita periksa apakah terdapat koefisien proporsionalitas untuk koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:
Sistem tidak mempunyai solusi, artinya vektor-vektornya tidak segaris.
Desain yang lebih sederhana:
– koordinat kedua dan ketiga tidak proporsional, artinya vektor-vektornya tidak segaris.
Menjawab:
vektor-vektornya tidak segaris.
c) Kami memeriksa vektor untuk kolinearitas 
. Mari kita buat sistem:
Koordinat vektor-vektor yang bersesuaian adalah proporsional, artinya
Di sinilah metode desain “foppish” gagal.
Menjawab:
Contoh 6: Larutan: b) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor (determinan terungkap pada baris pertama):
, artinya vektor-vektor tersebut bergantung linier dan tidak membentuk basis ruang tiga dimensi.
Menjawab
: vektor-vektor ini tidak membentuk basis
Contoh 9: Larutan: Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
Jadi, vektor-vektornya bebas linier dan membentuk basis.
Mari kita nyatakan vektor sebagai kombinasi linier dari vektor basis:
Secara koordinatif:
Mari selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer:
, yang berarti sistem memiliki solusi unik.
Menjawab:Vektor membentuk basis,
Matematika yang lebih tinggi untuk siswa korespondensi dan banyak lagi >>>
(Buka halaman utama)
Perkalian silang vektor.
Produk campuran vektor
Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor. Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk skalar, tugas-tugas tipikal bahkan akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)
Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek
Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!
Dalam artikel tentang vektor berdimensi n, kita sampai pada konsep ruang linier yang dihasilkan oleh himpunan vektor berdimensi n. Sekarang kita harus mempertimbangkan konsep yang sama pentingnya, seperti dimensi dan basis ruang vektor. Mereka berhubungan langsung dengan konsep sistem vektor bebas linier, jadi disarankan juga untuk mengingatkan diri Anda sendiri tentang dasar-dasar topik ini.
Mari kita perkenalkan beberapa definisi.
Definisi 1
Dimensi ruang vektor– bilangan yang sesuai dengan jumlah maksimum vektor bebas linier dalam ruang tertentu.
Definisi 2
Dasar ruang vektor– himpunan vektor-vektor bebas linier, terurut dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang.
Mari kita pertimbangkan ruang tertentu yang terdiri dari n -vektor. Dimensinya juga sama dengan n. Mari kita ambil sistem vektor n-satuan:
e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)
Kami menggunakan vektor-vektor ini sebagai komponen matriks A: ini akan menjadi matriks satuan dengan dimensi n kali n. Rank matriks ini adalah n. Oleh karena itu, sistem vektor e (1) , e (2) , . . . , e(n) bebas linier. Dalam hal ini, tidak mungkin menambahkan satu vektor pun ke sistem tanpa melanggar independensi liniernya.
Karena banyaknya vektor dalam sistem adalah n, maka dimensi ruang dari vektor berdimensi n adalah n, dan vektor satuannya adalah e (1), e (2), . . . , e (n) adalah basis dari ruang yang ditentukan.
Dari definisi yang dihasilkan kita dapat menyimpulkan: setiap sistem vektor berdimensi n yang jumlah vektornya kurang dari n bukanlah basis ruang.
Jika kita menukar vektor pertama dan kedua, kita mendapatkan sistem vektor e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Ini juga akan menjadi basis dari ruang vektor berdimensi n. Mari kita membuat matriks dengan mengambil vektor-vektor dari sistem yang dihasilkan sebagai baris-barisnya. Matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas dengan menukar dua baris pertama, ranknya menjadi n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) bebas linier dan merupakan basis dari ruang vektor berdimensi n.
Dengan menata ulang vektor-vektor lain dalam sistem asli, kita memperoleh basis lain.
Kita dapat mengambil sistem vektor non-satuan yang bebas linier, dan sistem tersebut juga akan mewakili basis ruang vektor berdimensi-n.
Definisi 3
Ruang vektor berdimensi n mempunyai basis sebanyak banyaknya sistem vektor berdimensi n yang bebas linier dengan bilangan n.
Bidang adalah ruang dua dimensi - basisnya adalah dua vektor non-sejajar. Basis ruang tiga dimensi adalah tiga vektor non-coplanar.
Mari kita pertimbangkan penerapan teori ini dengan menggunakan contoh-contoh spesifik.
Contoh 1
Data awal: vektor
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)
Penting untuk menentukan apakah vektor-vektor tertentu merupakan basis dari ruang vektor tiga dimensi.
Larutan
Untuk memecahkan masalah ini, kita mempelajari sistem vektor ketergantungan linier yang diberikan. Mari kita buat sebuah matriks, dimana baris-barisnya adalah koordinat vektor-vektornya. Mari kita tentukan rank matriksnya.
A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3
Oleh karena itu, vektor-vektor yang ditentukan oleh kondisi soal adalah bebas linier, dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor - vektor-vektor tersebut adalah basis dari ruang vektor.
Menjawab: vektor-vektor yang ditunjukkan adalah basis dari ruang vektor.
Contoh 2
Data awal: vektor
a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)
Penting untuk menentukan apakah sistem vektor tertentu dapat menjadi dasar ruang tiga dimensi.
Larutan
Sistem vektor yang ditentukan dalam rumusan masalah bergantung linier, karena jumlah maksimum vektor bebas linier adalah 3. Jadi, sistem vektor yang ditunjukkan tidak dapat dijadikan sebagai basis untuk ruang vektor tiga dimensi. Namun perlu diperhatikan bahwa subsistem dari sistem asli a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) adalah basis.
Menjawab: sistem vektor yang ditunjukkan bukanlah basis.
Contoh 3
Data awal: vektor
a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)
Bisakah mereka menjadi dasar ruang empat dimensi?
Larutan
Mari kita membuat matriks menggunakan koordinat vektor-vektor tertentu sebagai baris
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
Dengan menggunakan metode Gaussian, kita menentukan rank matriks:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4
Akibatnya, sistem vektor-vektor tertentu adalah bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor - vektor-vektor tersebut adalah basis dari ruang vektor empat dimensi.
Menjawab: vektor-vektor yang diberikan adalah dasar dari ruang empat dimensi.
Contoh 4
Data awal: vektor
a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)
Apakah mereka membentuk dasar ruang berdimensi 4?
Larutan
Sistem vektor yang asli adalah bebas linier, namun jumlah vektor di dalamnya tidak cukup untuk menjadi basis ruang empat dimensi.
Menjawab: tidak, mereka tidak melakukannya.
Penguraian vektor menjadi basis
Mari kita asumsikan bahwa vektor sembarang e (1) , e (2) , . . . , e (n) adalah basis dari ruang vektor berdimensi n. Mari kita tambahkan vektor berdimensi n tertentu x →: sistem vektor yang dihasilkan akan menjadi bergantung linier. Sifat-sifat ketergantungan linier menyatakan bahwa setidaknya salah satu vektor suatu sistem dapat dinyatakan secara linier melalui vektor lainnya. Dengan merumuskan kembali pernyataan ini, kita dapat mengatakan bahwa setidaknya salah satu vektor dari sistem bergantung linier dapat diperluas ke vektor-vektor lainnya.
Jadi, kita sampai pada rumusan teorema yang paling penting:
Definisi 4
Setiap vektor dari ruang vektor berdimensi n dapat didekomposisi secara unik menjadi basis.
Bukti 1
Mari kita buktikan teorema ini:
mari kita tentukan basis dari ruang vektor berdimensi n - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Mari kita buat sistem bergantung linier dengan menambahkan vektor berdimensi n x → ke dalamnya. Vektor ini dapat dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor asal e:
x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , di mana x 1 , x 2 , . . . , x n - beberapa angka.
Sekarang kami membuktikan bahwa dekomposisi seperti itu unik. Mari kita asumsikan bahwa hal ini tidak terjadi dan ada dekomposisi serupa lainnya:
x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , di mana x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - beberapa angka.
Mari kita kurangi masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan ini dengan ruas kiri dan kanan persamaan x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Kita mendapatkan:
0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - xn) e (2)
Sistem vektor basis e (1) , e (2) , . . . , e(n) bebas linier; menurut definisi independensi linier suatu sistem vektor, persamaan di atas hanya mungkin terjadi jika semua koefisiennya adalah (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) akan sama dengan nol. Dari mana adilnya: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Dan ini membuktikan satu-satunya pilihan untuk menguraikan vektor menjadi basis.
Dalam hal ini, koefisien x 1, x 2, . . . , x n disebut koordinat vektor x → pada basis e (1) , e (2) , . . . , e (n) .
Teori yang telah terbukti memperjelas ungkapan “diberikan vektor berdimensi n x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: sebuah vektor x → ruang vektor berdimensi n dipertimbangkan, dan koordinatnya ditentukan dalam a dasar tertentu. Jelas juga bahwa vektor yang sama pada basis lain dari ruang berdimensi n akan memiliki koordinat yang berbeda.
Perhatikan contoh berikut: misalkan dalam beberapa basis ruang vektor berdimensi n, diberikan sistem yang terdiri dari n vektor bebas linier
dan juga vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) diberikan.
Vektor e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) dalam hal ini juga merupakan basis dari ruang vektor ini.
Misalkan perlu menentukan koordinat vektor x → pada basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , dilambangkan sebagai x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.
Vektor x → akan direpresentasikan sebagai berikut:
x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)
Mari kita tulis ekspresi ini dalam bentuk koordinat:
(x 1 , x 2 , . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n), . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))
Persamaan yang dihasilkan setara dengan sistem n ekspresi aljabar linier dengan n variabel linier yang tidak diketahui x ~ 1, x ~ 2, . . . ,x~n:
x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n
Matriks sistem ini akan berbentuk sebagai berikut:
e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)
Misalkan matriks A, dan kolom-kolomnya adalah vektor-vektor dari sistem vektor bebas linier e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Pangkat matriksnya adalah n, dan determinannya bukan nol. Hal ini menunjukkan bahwa sistem persamaan memiliki solusi unik, ditentukan dengan metode apa pun yang mudah digunakan: misalnya, metode Cramer atau metode matriks. Dengan cara ini kita dapat menentukan koordinat x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → pada basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .
Mari kita terapkan teori yang dibahas pada contoh spesifik.
Contoh 6
Data awal: vektor ditentukan berdasarkan ruang tiga dimensi
e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)
Perlu dipastikan fakta bahwa sistem vektor e (1), e (2), e (3) juga berfungsi sebagai basis suatu ruang tertentu, dan juga untuk menentukan koordinat vektor x pada basis tertentu.
Larutan
Sistem vektor e (1), e (2), e (3) akan menjadi basis ruang tiga dimensi jika bebas linier. Mari kita cari tahu kemungkinan ini dengan menentukan rank matriks A, yang baris-barisnya merupakan vektor-vektor tertentu e (1), e (2), e (3).
Kami menggunakan metode Gaussian:
A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5
R a n k (A) = 3 . Jadi, sistem vektor e (1), e (2), e (3) bebas linier dan merupakan basis.
Misalkan vektor x → mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 pada basisnya. Hubungan antara koordinat-koordinat tersebut ditentukan oleh persamaan:
x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)
Mari kita terapkan nilai-nilai sesuai dengan kondisi masalah:
x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7
Mari kita selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Cramer:
∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1
Jadi, vektor x → pada basis e (1), e (2), e (3) mempunyai koordinat x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.
Menjawab: x = (1 , 1 , 1)
Hubungan antar pangkalan
Mari kita asumsikan bahwa dalam beberapa basis ruang vektor berdimensi n, diberikan dua sistem vektor bebas linier:
c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))
e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))
Sistem ini juga merupakan basis dari suatu ruang tertentu.
Misalkan c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinat vektor c (1) pada basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) , maka hubungan koordinat akan diberikan oleh sistem persamaan linier:
c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)
Sistem dapat direpresentasikan sebagai matriks sebagai berikut:
(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)
Mari kita membuat entri yang sama untuk vektor c (2) dengan analogi:
(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)
(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)
Mari gabungkan persamaan matriks menjadi satu ekspresi:
c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)
Ini akan menentukan hubungan antara vektor-vektor dari dua basis yang berbeda.
Dengan menggunakan prinsip yang sama, semua vektor basis dapat dinyatakan e(1), e(2), . . . , e (3) melalui basis c (1) , c (2) , . . . , c (n):
e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ cn (n)
Mari kita berikan definisi berikut:
Definisi 5
Matriks c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) merupakan matriks transisi dari basis e (1) , e (2) , . . . , dan (3)
ke dasar c (1) , c (2) , . . . , c (n) .
Definisi 6
Matriks e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) merupakan matriks transisi dari basis c (1) , c (2) , . . . , c(n)
ke dasar e (1) , e (2) , . . . , dan (3) .
Dari persamaan tersebut terlihat jelas bahwa
c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
itu. matriks transisi bersifat timbal balik.
Mari kita lihat teorinya menggunakan contoh spesifik.
Contoh 7
Data awal: perlu dicari matriks transisi dari basisnya
c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) c (3) = (3 , 7 , 1)
e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)
Anda juga perlu menunjukkan hubungan antara koordinat vektor sembarang x → pada basis yang diberikan.
Larutan
1. Misalkan T adalah matriks transisi, maka persamaannya benar:
3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1
Kalikan kedua ruas persamaan dengan
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
dan kami mendapatkan:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
2. Definisikan matriks transisi:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
3. Mari kita definisikan hubungan antara koordinat vektor x → :
Mari kita asumsikan bahwa pada basis c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → mempunyai koordinat x 1 , x 2 , x 3 , maka:
x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,
dan pada basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, maka:
x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Karena Jika ruas kiri persamaan tersebut sama, maka ruas kanan juga dapat disamakan:
(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Kalikan kedua ruas di sebelah kanan dengan
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
dan kami mendapatkan:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Di sisi lain
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara koordinat vektor x → di kedua basis.
Menjawab: matriks transisi
27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Koordinat vektor x → pada basis-basis tertentu dihubungkan oleh relasi:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
