Membangun angka dengan penggaris dan kompas. Membangun segmen yang sama dengan produk atau rasio dua lainnya dengan bantuan kompas dan penggaris adalah karya kreatif. Mempelajari materi baru

Jika cukup wajar bahwa, dengan asumsi variasi alat yang lebih besar, ternyata dimungkinkan untuk memecahkan serangkaian masalah konstruksi yang lebih besar, maka orang dapat memperkirakan bahwa, sebaliknya, di bawah pembatasan yang dikenakan pada alat, kelas masalah yang dapat dipecahkan akan menyempit. Yang lebih luar biasa adalah penemuan yang dibuat oleh Mascheroni Italia (1750-1800): semua konstruksi geometris yang dapat dilakukan dengan kompas dan penggaris lurus dapat dilakukan hanya dengan satu kompas. Tentu saja harus ditentukan bahwa sebenarnya tidak mungkin menggambar garis lurus melalui dua titik yang diberikan tanpa penggaris, jadi konstruksi dasar ini tidak tercakup dalam teori Mascheroni. Sebaliknya, kita harus berasumsi bahwa sebuah garis diberikan jika dua titiknya diberikan. Tetapi dengan bantuan kompas saja, dimungkinkan untuk menemukan titik potong dua garis yang diberikan dengan cara ini, atau titik potong garis dengan lingkaran.

Mungkin contoh paling sederhana dari konstruksi Mascheroni adalah penggandaan segmen yang diberikan.Solusinya sudah diberikan pada hal.185. Selanjutnya, pada hal.186, kita belajar bagaimana membagi segmen yang diberikan menjadi dua. Sekarang mari kita lihat bagaimana membagi dua busur lingkaran dengan pusat O. Berikut adalah deskripsi konstruksi ini. Dengan jari-jari kami menggambar dua busur dengan pusat Dari titik O kami menyisihkan dua busur seperti itu pada busur ini dan itu Kemudian kami menemukan titik perpotongan busur dengan pusat P dan jari-jari dan busur dengan pusat dan jari-jari Akhirnya , mengambil segmen sebagai jari-jari, kami menggambarkan busur dengan pusat P atau sampai persimpangan dengan busur adalah titik persimpangan dan merupakan titik tengah busur yang diinginkan.Pembuktian diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Beras. 48. Perpotongan lingkaran dan garis yang tidak melalui pusat

Mustahil untuk membuktikan pernyataan utama Mascheroni dengan menunjukkan, untuk setiap konstruksi yang dapat dilakukan dengan kompas dan penggaris, bagaimana hal itu dapat dilakukan dengan kompas tunggal: bagaimanapun, ada banyak kemungkinan konstruksi yang tak terbatas. Tetapi kita akan mencapai tujuan yang sama jika kita menetapkan bahwa setiap konstruksi dasar berikut ini layak dengan kompas tunggal:

1. Gambarlah sebuah lingkaran jika pusat dan jari-jarinya diberikan.

2. Temukan titik potong dua lingkaran.

3. Temukan titik potong garis dan lingkaran.

4. Temukan titik potong dua garis.

Setiap konstruksi geometris (dalam pengertian biasa, dengan asumsi kompas dan penggaris lurus) terdiri dari urutan terbatas dari konstruksi dasar ini. Bahwa dua yang pertama layak dengan kompas tunggal segera jelas. Konstruksi yang lebih sulit 3 dan 4 dilakukan dengan menggunakan properti inversi yang dibahas dalam paragraf sebelumnya.

Mari kita beralih ke konstruksi 3: menemukan titik potong lingkaran tertentu C dengan garis lurus yang melalui titik-titik ini Kita menggambar busur dengan pusat dan jari-jari, masing-masing, sama dengan dan kecuali untuk titik O, mereka berpotongan di titik P. Kemudian kita membangun sebuah titik yang berlawanan dengan titik P terhadap lingkaran C (lihat konstruksi yang dijelaskan pada halaman 186). Akhirnya, kami menggambar lingkaran dengan pusat dan jari-jari (pasti akan berpotongan dengan C): titik persimpangannya dengan lingkaran C akan menjadi yang diinginkan. Untuk membuktikannya, cukup untuk menetapkan bahwa masing-masing titik berada pada jarak yang sama dari (untuk titik, properti analognya segera mengikuti dari konstruksi). Memang, cukup untuk merujuk pada keadaan bahwa titik yang terbalik dengan titik dipisahkan dari titik-titik dengan jarak yang sama dengan jari-jari lingkaran C (lihat hal. 184). Perlu dicatat bahwa lingkaran yang melalui titik-titik adalah garis terbalik dalam inversi terhadap lingkaran C, karena lingkaran ini dan garis berpotongan

Beras. 49. Perpotongan lingkaran dan garis lurus yang melalui pusat

dengan C di titik yang sama. (Saat dibalik, titik lingkaran dasar tetap.)

Konstruksi yang ditunjukkan tidak mungkin hanya jika garis melewati pusat C. Tetapi kemudian titik-titik persimpangan dapat ditemukan dengan konstruksi yang dijelaskan pada halaman 188, seperti yang diperoleh ketika kita menggambar lingkaran sembarang dengan pusat B berpotongan dengan C di titik-titik. terbalik dengan garis lurus yang menghubungkan dua titik yang diberikan segera memberikan konstruksi yang menyelesaikan Soal 4. Biarkan garis diberikan oleh titik (Gbr. 50).

Beras. 50. Persimpangan dua garis

Kami menggambar lingkaran sembarang C dan, dengan menggunakan metode di atas, buat lingkaran yang terbalik dengan garis dan Lingkaran ini berpotongan di titik O dan di satu titik lagi Titik X, kebalikan dari titik, adalah titik persimpangan yang diinginkan: bagaimana cara membangunnya sudah dijelaskan di atas. Bahwa X adalah titik yang diinginkan jelas dari fakta bahwa ada satu titik terbalik ke titik yang secara bersamaan milik kedua garis dan, oleh karena itu, titik X, kebalikannya harus terletak secara bersamaan di dan di

Kedua konstruksi ini melengkapi bukti kesetaraan antara konstruksi Mascheroni, di mana hanya kompas yang diperbolehkan, dan konstruksi geometris biasa dengan kompas dan penggaris.

Kami tidak peduli dengan keanggunan pemecahan masalah individu yang telah kami pertimbangkan di sini, karena tujuan kami adalah untuk memperjelas makna batin dari konstruksi Mascheroni. Tetapi sebagai contoh, kami juga akan menunjukkan konstruksi segilima biasa; lebih tepatnya, kita berbicara tentang menemukan sekitar lima titik pada lingkaran yang dapat berfungsi sebagai simpul dari pentagon bertulisan biasa.

Biarkan A menjadi sembarang titik pada lingkaran K. Karena sisi segi enam beraturan sama dengan jari-jari lingkaran, maka tidak akan sulit untuk menyisihkan K titik sedemikian rupa sehingga

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Buku pelajaran: Geometri, 7-9: buku teks untuk lembaga pendidikan / (L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, dan lainnya) - edisi ke-16. – M.: Pencerahan, 2011.

Tujuan Pelajaran:

1. untuk memberikan gambaran tentang kelas baru masalah konstruksi;
2. pertimbangkan tugas paling sederhana untuk konstruksi;
3. mengajar siswa untuk memecahkan masalah seperti itu.

Tugas:

Aspek pendidikan:

• berikan gambaran tentang kelas masalah baru - konstruksi masalah geometris menggunakan kompas dan penggaris tanpa pembagian skala;
• untuk membentuk keterampilan kerja praktis;
• memperluas pengetahuan tentang sejarah geometri.

Aspek pengembangan:

• pengembangan keterampilan pengendalian diri;
• pembentukan kompetensi TIK;
• pembentukan pemikiran logis.

Aspek pendidikan:

• pendidikan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir dalam studi topik;
• menumbuhkan minat dalam sejarah matematika sebagai ilmu.

Jenis pelajaran: digabungkan.

Bentuk organisasi kegiatan pendidikan: individu, kolektif.

Langkah-langkah pelajaran:

• persiapan kegiatan belajar aktif;
• penerapan pengetahuan;
• pembekalan dan refleksi;
• informasi pekerjaan rumah.

Peralatan:

• Buku teks, buku catatan, pensil, pulpen, penggaris, kompas, handout (KIM);
• Komputer, dengan persyaratan teknis minimum: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7.
• Proyektor multimedia, layar.

Sumber pelajaran:

• tugas tes (KIM) Lampiran 1;
• presentasi;
• penilaian tingkat asimilasi materi lampiran 3.

Rencana belajar:

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi:

Topik pelajaran hari ini adalah "Contoh Tugas Konstruksi" (slide 1).

Tujuan dari pelajaran ini adalah untuk mempertimbangkan masalah konstruksi paling sederhana yang hanya dapat diselesaikan dengan bantuan kompas dan penggaris tanpa pembagian; pelajari cara menyelesaikannya (slide 2).

2. Pengulangan. Memeriksa pekerjaan rumah:

Kami telah mempelajari topik "Lingkaran" dan hari ini kami akan menguji pengetahuan Anda dengan bantuan tes. Selesaikan tugas tes (masing-masing diberi KIM dengan tugas tes). Untuk setiap pertanyaan, pilih jawaban yang benar. Evaluasi sendiri pengetahuan Anda dengan menghitung jumlah jawaban yang benar. Jika ada 6 jawaban yang benar, skornya adalah “5”, jika ada 5 jawaban yang benar, skornya adalah “4”, jika ada 4 jawaban yang benar, skornya adalah “3”, jumlah jawaban yang benar yang lebih sedikit adalah skor "2".

(Jawaban yang benar pada slide 3 presentasi).

3. Mempersiapkan siswa untuk persepsi materi baru:

Kata pengantar guru:

Kami telah berurusan dengan konstruksi geometris: kami menggambar garis lurus, menyisihkan segmen yang sama dengan data, menggambar sudut, segitiga, dan bentuk lainnya menggunakan berbagai alat. Saat membangun segmen dengan panjang tertentu, penggaris dengan pembagian milimeter digunakan, dan ketika membangun sudut dengan ukuran derajat tertentu, busur derajat digunakan.

Dalam pekerjaan rumah Anda, Anda memiliki tugas berikut:

Gambarlah segitiga ABC sehingga AB = 3,6 cm, AC = 2,7 cm, A = 48°. Jenis apa st Alat apa yang Anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Jadi, kami menggunakan penggaris dengan pembagian milimeter dan busur derajat. Tetapi ada tugas-tugas seperti itu di mana kadang-kadang ditentukan alat mana yang harus digunakan untuk membangun sosok geometris yang diusulkan (slide 4-5).

Tugas 1. Dengan bantuan kompas dan penggaris tanpa pembagian pada sinar tertentu sejak awal, sisihkan segmen yang sama dengan yang diberikan. Gambar layar.

(Siswa menawarkan solusi).

Dan sekarang mari kita periksa solusi Anda (lihat slide 6)

Dengan demikian, banyak konstruksi dalam geometri dapat dilakukan hanya dengan menggunakan kompas dan penggaris tanpa pembagian (slide 7).

Berikut ini, ketika berbicara tentang masalah konstruksi, kita hanya akan memikirkan konstruksi seperti itu.

Soal bangunan dengan kompas dan penggaris adalah materi tradisional yang dipelajari dalam mata kuliah planimetri. Biasanya tugas-tugas ini diselesaikan menurut skema yang terdiri dari empat bagian (lihat hlm. 95-96 dari buku teks). Pertama, menggambar (draw) sosok yang diinginkan dan membangun hubungan antara data masalah dan elemen yang diinginkan. Bagian dari solusi ini disebut analisis. Ini memungkinkan Anda untuk membuat rencana untuk memecahkan masalah.

Kemudian, sesuai dengan rencana yang direncanakan, konstruksi kompas dan penggaris.

Setelah itu Anda perlu membuktikan bahwa gambar yang dibangun memenuhi kondisi masalah.

Dan akhirnya, itu perlu riset, untuk data apa pun, apakah masalahnya memiliki solusi, dan jika demikian, berapa banyak solusi.

Dalam kasus di mana tugasnya cukup sederhana, bagian individu, seperti analisis atau penelitian, dapat dihilangkan (slide 8).

Di kelas 7 kami akan menyelesaikan tugas paling sederhana untuk membangun dengan kompas dan penggaris, di kelas lain kami akan memecahkan masalah yang lebih kompleks.

4. Mempelajari materi baru:

Jadi, tugas kita adalah menyelesaikan tugas konstruksi hanya dengan menggunakan dua alat: kompas dan penggaris tanpa pembagian skala.

Apa yang bisa dilakukan dengan mereka? Sudah jelas itu penggaris memungkinkan Anda menggambar garis lurus sewenang-wenang, serta membuat garis lurus yang melewati dua titik tertentu. Dengan menggunakan kompas, Anda dapat menggambar lingkaran dengan radius sembarang, serta lingkaran dengan pusat pada titik tertentu dan radius yang sama dengan segmen tertentu.(slide 9).

Dengan melakukan operasi sederhana ini, kita dapat menyelesaikan banyak masalah bangunan yang menarik (slide 10):

1. Pada sinar tertentu dari awal, sisihkan segmen yang sama dengan yang diberikan.
2. Sisihkan dari sinar yang diberikan sudut yang sama dengan yang diberikan.
3. Bangun garis-bagi dari sudut tidak rata yang diberikan.
4. Buatlah garis yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap garis di mana titik tersebut berada.
5. Bangun titik tengah segmen ini.

Kami telah memecahkan masalah nomor 1.

Sekarang, dengan bantuan komputer, kami akan mempertimbangkan solusi dari masalah No. 2. Lakukan konstruksi yang sesuai di notebook Anda (slide 11-12).

Dan sekarang mari kita pertimbangkan tugas No. 3 - 5 (slide 13-18).

(konstruksi yang sesuai dan deskripsi tugas dilakukan di buku catatan)

Setelah menyelesaikan pekerjaan, guru menarik perhatian siswa pada fakta bahwa tugas-tugas seperti itu dianggap di zaman kuno(slide 19).

Sekarang mari kita beralih ke sejarah geometri. Matematikawan Yunani kuno mencapai keterampilan yang sangat hebat dalam konstruksi geometris dengan bantuan kompas dan penggaris. Mereka membuktikan bahwa suatu sudut juga dapat dibagi menjadi empat sudut yang sama besar. Untuk melakukan ini, Anda perlu membaginya menjadi dua, dan kemudian membangun garis bagi masing-masing setengah. Apakah mungkin untuk membagi sudut menjadi tiga bagian yang sama dengan menggunakan kompas dan penggaris? Tugas ini, disebut masalah segitiga sudut, telah menarik perhatian matematikawan selama berabad-abad. Namun, dia tidak menyerah pada upaya mereka. Baru pada abad terakhir terbukti bahwa konstruksi seperti itu tidak mungkin untuk sudut yang sewenang-wenang.

Ada masalah konstruksi lain yang diketahui tidak dapat diselesaikan dengan kompas dan penggaris. Saya menyarankan agar Anda secara mandiri menemukan materi yang berisi informasi untuk membiasakan diri dengan tugas-tugas ini.

5. Menyimpulkan pelajaran:

Kami belajar banyak hal baru, mempelajari masalah apa yang bisa diselesaikan hanya dengan bantuan kompas dan penggaris. Masing-masing dari Anda memiliki lembar pertanyaan. Nilai pekerjaan Anda dalam pelajaran hari ini dengan memilih salah satu jawaban yang disarankan.

1. Beri nilai tingkat kesulitan pelajaran. Anda berada di kelas:
   • dengan mudah;
   • biasanya;
   • keras
2. Nilai tingkat asimilasi Anda terhadap materi:
   • dipelajari sepenuhnya, dapat menerapkan;
   • dipelajari sepenuhnya, tetapi merasa sulit untuk menerapkannya;
   • dipelajari sebagian;
   • tidak mengerti.

Kumpulkan selebaran untuk menilai tingkat asimilasi materi pelajaran hari ini untuk mengatur pekerjaan di pelajaran berikutnya dengan benar. Nilai pelajaran dilaporkan, termasuk nilai ujian pada topik "Lingkaran".

6. Pekerjaan rumah:

• jawab pertanyaan 17–21 di halaman 50;
• memecahkan masalah No. 153, 154 (slide 20).

Petunjuk

Tempatkan jarum kompas pada titik yang ditandai. Gambarlah lingkaran dengan stylus dengan radius terukur.

Tempatkan sebuah titik di mana saja di sepanjang keliling busur yang ditarik. Ini akan menjadi simpul B kedua dari segitiga yang sedang dibuat.

Tempatkan kaki di simpul kedua dengan cara yang sama. Gambarlah lingkaran lain sehingga berpotongan dengan yang pertama.

Titik ketiga C dari segitiga yang dibuat terletak di titik persimpangan kedua busur yang ditarik. Tandai pada gambar.

Setelah memperoleh ketiga simpul, hubungkan dengan garis lurus menggunakan permukaan datar apa pun (lebih baik dari penggaris). Segitiga ABC dibangun.

Jika sebuah lingkaran menyentuh ketiga sisi segitiga tertentu, dan pusatnya berada di dalam segitiga, maka lingkaran itu disebut tertulis dalam segitiga.

Anda akan perlu

• penggaris, lingkaran

Petunjuk

Dari simpul segitiga (sisi yang berlawanan dengan sudut yang dapat dibagi), busur lingkaran dengan jari-jari arbitrer digambar dengan kompas hingga berpotongan satu sama lain;

Titik perpotongan busur di sepanjang penggaris terhubung ke bagian atas sudut yang dapat dibagi;

Hal yang sama dilakukan dengan sudut lainnya;

Jari-jari lingkaran dalam segitiga akan menjadi rasio luas segitiga dan setengah kelilingnya: r=S/p, di mana S adalah luas segitiga, dan p=(a+ b+c)/2 adalah setengah keliling segitiga.

Jari-jari lingkaran yang terdapat pada segitiga sama jaraknya dari semua sisi segitiga.

Sumber:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Pertimbangkan masalah membangun segitiga, asalkan tiga sisinya atau satu sisi dan dua sudutnya diketahui.

Anda akan perlu

• - kompas
• - penggaris
• - busur derajat

Petunjuk

Katakanlah ada tiga sisi: a, b dan c. Menggunakan, tidak sulit dengan pihak seperti itu. Pertama, mari kita pilih yang terpanjang dari sisi-sisi ini, biarkan menjadi sisi c, dan gambarlah. Kemudian kita mengatur bukaan kompas ke nilai sisi lain, sisi a, dan menggambar dengan kompas lingkaran jari-jari a berpusat di salah satu ujung sisi c. Sekarang atur bukaan kompas ke nilai sisi b dan gambar sebuah lingkaran yang berpusat di ujung sisi c yang lain. Jari-jari lingkaran tersebut adalah b. Kami menghubungkan titik persimpangan lingkaran dengan pusat dan mendapatkan segitiga dengan sisi yang diinginkan.

Gunakan busur derajat untuk menggambar segitiga dengan sisi tertentu dan dua sudut yang berdekatan. Gambarlah sisi dengan panjang yang ditentukan. Di tepinya, sisihkan sudutnya dengan busur derajat. Di persimpangan sisi sudut, dapatkan simpul ketiga dari segitiga.

Video yang berhubungan

catatan

Untuk sisi-sisi segitiga, pernyataan berikut ini benar: jumlah panjang setiap dua sisi harus lebih besar dari sisi ketiga. Jika ini tidak benar, maka tidak mungkin untuk membangun segitiga seperti itu.

Lingkaran pada langkah 1 berpotongan di dua titik. Anda dapat memilih apa saja, segitiga akan sama.

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang. Berdasarkan definisi ini, konstruksi semacam segitiga bukanlah tugas yang sulit.

Anda akan perlu

• Penggaris, selembar kertas bergaris, pensil

Petunjuk

Dengan menggunakan penggaris, hubungkan titik-titik yang ditandai pada lembaran secara seri, satu demi satu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

catatan

Pada segitiga beraturan (sama sisi), semua sudutnya 60 derajat.

Saran yang berguna

Segitiga sama sisi juga merupakan segitiga sama kaki. Jika segitiga sama kaki, maka ini berarti bahwa 2 dari 3 sisinya sama, dan sisi ketiga dianggap alas. Setiap segitiga beraturan adalah sama kaki, sedangkan kebalikannya tidak benar.

Setiap segitiga sama sisi tidak hanya memiliki sisi yang sama, tetapi juga sudut, yang masing-masing sama dengan 60 derajat. Namun, gambar segitiga seperti itu, yang dibuat menggunakan busur derajat, tidak akan terlalu akurat. Karena itu, untuk membangun sosok ini, lebih baik menggunakan kompas.

Anda akan perlu

• Pensil, penggaris, kompas

Petunjuk

Kemudian ambil kompas, atur di ujungnya (simpul masa depan segitiga) dan gambar lingkaran dengan jari-jari yang sama dengan panjang segmen ini. Anda tidak dapat menggambar seluruh lingkaran, tetapi hanya menggambar seperempatnya, dari tepi segmen yang berlawanan.

Sekarang pindahkan kompas ke ujung segmen yang lain dan gambar lagi lingkaran dengan jari-jari yang sama. Di sini akan cukup untuk membangun sebuah lingkaran yang memanjang dari ujung terjauh segmen ke persimpangan dengan busur yang sudah dibangun. Titik yang dihasilkan akan menjadi simpul ketiga dari segitiga Anda.

Untuk menyelesaikan konstruksi, sekali lagi ambil penggaris dengan pensil dan hubungkan titik persimpangan dua lingkaran dengan kedua ujung segmen. Anda akan mendapatkan segitiga, ketiga sisinya benar-benar sama - ini dapat dengan mudah diperiksa dengan penggaris.

Video yang berhubungan

Segitiga adalah poligon dengan tiga sisi. Segitiga sama sisi atau beraturan adalah segitiga yang semua sisi dan sudutnya sama besar. Pertimbangkan bagaimana Anda dapat menggambar segitiga biasa.

Anda akan perlu

• Penguasa, lingkaran.

Petunjuk

Dengan menggunakan kompas, buat lingkaran lain, yang pusatnya berada di titik B, dan jari-jarinya sama dengan ruas garis BA.

Lingkaran akan berpotongan di dua titik. Pilih salah satu dari mereka. Beri nama C. Ini akan menjadi simpul ketiga dari segitiga.

Hubungkan simpul bersama-sama. Segitiga yang dihasilkan akan benar. Verifikasi ini dengan mengukur sisi-sisinya dengan penggaris.

Pertimbangkan metode untuk membangun segitiga biasa menggunakan dua penggaris. Gambarlah segmennya OK, itu akan menjadi salah satu sisi segitiga, dan titik O dan K akan menjadi simpulnya.

Tanpa menggerakkan penggaris setelah membuat segmen OK, pasang penggaris lain yang tegak lurus dengannya. Gambar garis m yang memotong segmen OK di tengah.

Dengan menggunakan penggaris, ukur ruas OE, sama dengan ruas OK sehingga salah satu ujungnya berimpit dengan titik O, dan ujung lainnya pada garis m. Titik E akan menjadi simpul ketiga dari segitiga.

Selesaikan konstruksi segitiga dengan menghubungkan titik E dan K. Periksa konstruksi dengan penggaris.

catatan

Anda dapat memastikan bahwa segitiga itu benar menggunakan busur derajat dengan mengukur sudut.

Saran yang berguna

Segitiga sama sisi juga dapat digambar pada selembar kertas di dalam sangkar menggunakan penggaris tunggal. Alih-alih penggaris lain, gunakan garis tegak lurus.

Sumber:

• Klasifikasi segitiga. segitiga sama sisi
• Apa itu segitiga?
• konstruksi segitiga siku-siku

Segitiga bertulis adalah segitiga yang semua titik sudutnya berada pada lingkaran. Anda dapat membangunnya jika Anda mengetahui setidaknya satu sisi dan satu sudut. Lingkaran itu disebut dibatasi, dan itu akan menjadi satu-satunya untuk segitiga ini.

Anda akan perlu

• - lingkaran;
• - sisi dan sudut segitiga;
• - kertas;
• - kompas;
• - penggaris;
• - busur derajat;
• - Kalkulator.

Petunjuk

Dari titik A, gunakan busur derajat untuk menyisihkan sudut yang diberikan. Lanjutkan sisi sudut ke persimpangan dengan lingkaran dan beri titik C. Hubungkan titik B dan C. Anda memiliki segitiga ABC. Itu bisa dari jenis apa pun. Pusat lingkaran pada segitiga lancip berada di luarnya, pada segitiga tumpul terletak di luar, dan pada segitiga siku-siku terletak pada sisi miring. Jika Anda tidak diberikan sudut, tetapi, misalnya, tiga sisi segitiga, hitung salah satu sudut dari jari-jari dan sisi yang diketahui.

Jauh lebih sering kita harus berurusan dengan konstruksi terbalik ketika sebuah segitiga diberikan dan sebuah lingkaran harus dijelaskan di sekitarnya. Hitung radiusnya. Ini dapat dilakukan menurut beberapa formula, tergantung pada apa yang diberikan kepada Anda. Jari-jari dapat ditemukan, misalnya, di sisi dan sinus dari sudut yang berlawanan. Dalam hal ini, itu sama dengan panjang sisi dibagi dua kali sinus dari sudut yang berlawanan. Yaitu, R=a/2sinCAB. Itu juga dapat dinyatakan melalui produk sisi, dalam hal ini R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Tentukan pusat lingkaran. Bagi semua sisi menjadi dua dan gambar tegak lurus ke tengah. Titik persimpangan mereka akan menjadi pusat lingkaran. Gambarlah sehingga memotong semua simpul sudut.

Dua sisi pendek dari segitiga siku-siku, yang disebut kaki, menurut definisi harus tegak lurus satu sama lain. Properti figur ini sangat memudahkan konstruksinya. Namun, tidak selalu mungkin untuk secara akurat menentukan tegak lurus. Dalam kasus seperti itu, Anda dapat menghitung panjang semua sisi - mereka akan memungkinkan Anda untuk membangun segitiga dengan satu-satunya cara yang mungkin, dan karena itu benar.

Anda akan perlu

• Kertas, pensil, penggaris, busur derajat, kompas, persegi.

Video tutorial "Bangunan dengan kompas dan penggaris" berisi materi pendidikan, yang merupakan dasar untuk memecahkan masalah konstruksi. Konstruksi geometris adalah bagian penting dalam menyelesaikan banyak tugas praktis. Hampir tidak ada tugas geometris yang dapat dilakukan tanpa kemampuan untuk mencerminkan kondisi pada gambar dengan benar. Tujuan utama dari pelajaran video ini adalah untuk memperdalam pengetahuan siswa tentang penggunaan alat menggambar untuk membangun bentuk geometris, untuk mendemonstrasikan kemampuan alat tersebut, dan untuk mengajarkan cara menyelesaikan masalah konstruksi sederhana.

Pembelajaran dengan bantuan video lesson memiliki banyak keunggulan, antara lain kejelasan, kejelasan konstruksi yang dihasilkan, karena materi didemonstrasikan menggunakan sarana elektronik yang mendekati konstruksi sebenarnya di papan tulis. Konstruksi terlihat jelas dari mana saja di kelas, poin penting disorot dalam warna. Dan iringan suara menggantikan presentasi guru tentang blok standar materi pendidikan.

Video tutorial dimulai dengan pengumuman nama topik. Siswa diingatkan bahwa mereka telah memiliki beberapa keterampilan dalam membangun bentuk geometris. Pada pelajaran sebelumnya, ketika siswa mempelajari dasar-dasar geometri dan menguasai konsep garis lurus, titik, sudut, segmen, segitiga, mereka menggambar segmen yang sama dengan data, mereka menyelesaikan konstruksi bentuk geometris paling sederhana. Konstruksi seperti itu tidak memerlukan keterampilan yang rumit, tetapi pelaksanaan tugas yang benar penting untuk pekerjaan lebih lanjut dengan objek geometris dan memecahkan masalah geometris yang lebih kompleks.

Siswa diberikan daftar alat utama yang digunakan untuk melakukan konstruksi ketika memecahkan masalah geometri. Gambar menunjukkan penggaris skala, kompas, segitiga siku-siku, busur derajat.

Untuk memperluas pemahaman siswa tentang bagaimana berbagai jenis konstruksi dilakukan, mereka disarankan untuk memperhatikan konstruksi yang dilakukan tanpa penggaris skala, dan bagi mereka hanya kompas dan penggaris tanpa pembagian yang dapat digunakan. Perlu dicatat bahwa kelompok tugas konstruksi seperti itu, di mana hanya penggaris dan kompas yang digunakan, dipilih secara terpisah dalam geometri.

Untuk menentukan masalah geometris apa yang dapat diselesaikan menggunakan penggaris dan kompas, diusulkan untuk mempertimbangkan kemampuan alat gambar ini. Penggaris membantu untuk menggambar garis sewenang-wenang, untuk membangun garis yang melewati titik-titik tertentu. Kompas dirancang untuk menggambar lingkaran. Hanya dengan bantuan kompas lingkaran sewenang-wenang dibangun. Dengan bantuan kompas, segmen yang sama dengan ini juga digambar. Kemungkinan yang ditunjukkan dari alat gambar memungkinkan untuk melakukan sejumlah tugas konstruksi. Di antara tugas konstruksi tersebut:

1. konstruksi sudut yang sama dengan yang diberikan;
2. menggambar garis tegak lurus dengan yang diberikan, melewati titik yang ditentukan;
3. membagi segmen menjadi dua bagian yang sama;
4. sejumlah tugas konstruksi lainnya.

Selanjutnya, diusulkan untuk menyelesaikan tugas konstruksi menggunakan penggaris dan kompas. Layar menunjukkan kondisi masalah, yang terdiri dari menempatkan segmen pada sinar tertentu sama dengan segmen tertentu dari awal sinar. Solusi dari masalah ini dimulai dengan pembangunan segmen sembarang AB dan ray OS. Sebagai solusi dari masalah ini, diusulkan untuk membuat lingkaran dengan jari-jari AB dan berpusat di titik O. Setelah konstruksi, lingkaran yang dibangun berpotongan dengan sinar OS di beberapa titik D. Dalam hal ini, bagian dari sinar diwakili oleh segmen OD adalah segmen yang sama dengan segmen AB. Masalah terpecahkan.

Pelajaran video "Konstruksi dengan kompas dan penggaris" dapat digunakan ketika guru menjelaskan dasar-dasar pemecahan masalah praktis untuk konstruksi. Selain itu, metode ini dapat dikuasai dengan mempelajari materi ini secara mandiri. Pelajaran video ini juga dapat membantu guru dengan pengiriman materi jarak jauh tentang topik ini.

Membangun dengan kompas dan penggaris

Konstruksi dengan kompas dan penggaris- bagian geometri Euclidean, yang dikenal sejak zaman kuno. Dalam tugas konstruksi, kompas dan penggaris dianggap sebagai alat yang ideal, khususnya:

• Penggaris tidak memiliki divisi dan memiliki sisi dengan panjang tak terbatas, tetapi hanya satu.
• Kompas dapat memiliki bukaan besar atau kecil yang sewenang-wenang (yaitu, dapat menggambar lingkaran dengan radius sewenang-wenang).

Contoh

Membagi garis menjadi dua

Masalah bagi dua. Gunakan kompas dan penggaris untuk membagi segmen ini AB menjadi dua bagian yang sama. Salah satu solusi ditunjukkan pada gambar:

• Kompas menggambar lingkaran yang berpusat di titik SEBUAH Dan B radius AB.
• Menemukan titik persimpangan P Dan Q dua lingkaran yang dibangun (busur).
• Pada penggaris, gambarlah segmen atau garis yang melalui titik-titik P Dan Q.
• Menemukan titik tengah segmen AB- titik persimpangan AB Dan PQ.

Definisi formal

Masalah konstruksi mempertimbangkan himpunan semua titik pesawat, himpunan semua garis pesawat, dan himpunan semua lingkaran pesawat, di mana operasi berikut diperbolehkan:

1. Pilih titik dari kumpulan semua titik:
   1. titik sewenang-wenang
   2. titik sewenang-wenang pada garis tertentu
   3. titik sewenang-wenang pada lingkaran tertentu
   4. titik potong dua garis yang diberikan
   5. titik potong/singgung garis tertentu dan lingkaran tertentu
   6. titik potong/singgung dua lingkaran yang diberikan
2. "Melalui penguasa» pilih satu baris dari kumpulan semua baris:
   1. garis sewenang-wenang
   2. garis sembarang yang melalui suatu titik tertentu
   3. garis yang melalui dua titik tertentu
3. "Melalui kompas» pilih lingkaran dari kumpulan semua lingkaran:
   1. lingkaran sewenang-wenang
   2. lingkaran sewenang-wenang berpusat pada titik tertentu
   3. lingkaran sembarang dengan jari-jari sama dengan jarak antara dua titik yang diberikan
   4. lingkaran yang berpusat di suatu titik tertentu dan berjari-jari sama dengan jarak antara dua titik tertentu

Dalam kondisi masalah, satu set poin tertentu ditentukan. Diperlukan, dengan menggunakan sejumlah operasi yang terbatas, untuk membangun kumpulan titik lain dari antara operasi yang diizinkan di atas, yang berada dalam hubungan tertentu dengan himpunan aslinya.

Solusi dari masalah konstruksi mengandung tiga bagian penting:

1. Deskripsi metode untuk membangun himpunan yang diberikan.
2. Sebuah bukti bahwa himpunan yang dibangun dengan cara yang dijelaskan memang dalam hubungan tertentu dengan himpunan aslinya. Biasanya pembuktian konstruksi dilakukan sebagai pembuktian teorema biasa, dengan mengandalkan aksioma dan teorema terbukti lainnya.
3. Analisis metode konstruksi yang dijelaskan untuk penerapannya pada varian yang berbeda dari kondisi awal, serta untuk keunikan atau non-keunikan solusi yang diperoleh dengan metode yang dijelaskan.

Masalah Dikenal

• Masalah Apollonius dalam membangun sebuah lingkaran yang bersinggungan dengan tiga lingkaran yang diberikan. Jika tidak ada lingkaran yang terletak di dalam lingkaran yang lain, maka masalah ini memiliki 8 solusi yang pada dasarnya berbeda.
• Masalah Brahmagupta dalam membangun segi empat bertulisan di keempat sisinya.

Konstruksi poligon biasa

Geometri kuno tahu bagaimana membangun yang benar n-gon untuk , , dan .

Konstruksi yang mungkin dan tidak mungkin

Semua konstruksi tidak lebih dari solusi untuk beberapa persamaan, dan koefisien persamaan ini terkait dengan panjang segmen yang diberikan. Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk berbicara tentang konstruksi angka - solusi grafis untuk persamaan jenis tertentu. Dalam kerangka persyaratan di atas, konstruksi berikut dimungkinkan:

• Konstruksi Solusi Persamaan Linier.
• Konstruksi solusi persamaan kuadrat.

Dengan kata lain, dimungkinkan untuk membuat hanya bilangan yang sama dengan ekspresi aritmatika menggunakan akar kuadrat dari bilangan asli (panjang segmen). Sebagai contoh,

Variasi dan Generalisasi

• Konstruksi dengan kompas tunggal. Menurut teorema Mohr-Mascheroni, dengan bantuan satu kompas, Anda dapat membuat bangun apa pun yang dapat dibuat dengan kompas dan penggaris. Dalam hal ini, sebuah garis dianggap dibangun jika dua titik diberikan padanya.
• Konstruksi dengan penggaris tunggal. Sangat mudah untuk melihat bahwa hanya konstruksi proyektif invarian yang dapat dilakukan dengan bantuan satu penggaris. Secara khusus, bahkan tidak mungkin untuk membagi segmen menjadi dua bagian yang sama, atau untuk menemukan pusat lingkaran yang digambar. Tetapi jika ada lingkaran yang telah digambar sebelumnya pada bidang dengan pusat yang ditandai, menggunakan penggaris, Anda dapat menggambar konstruksi yang sama seperti dengan kompas dan penggaris (teorema Poncelet-Steiner ( bahasa Inggris)), 1833. Jika ada dua serif pada penggaris, maka konstruksi dengan bantuan itu setara dengan konstruksi dengan bantuan kompas dan penggaris (Napoleon membuat langkah penting dalam membuktikan ini).
• Konstruksi dengan alat terbatas. Dalam masalah semacam ini, alat (berlawanan dengan rumusan masalah klasik) dianggap tidak ideal, tetapi terbatas: garis lurus melalui dua titik dapat ditarik menggunakan penggaris hanya jika jarak antara titik-titik ini tidak melebihi batas tertentu. nilai; jari-jari lingkaran yang digambar dengan kompas dapat dibatasi dari atas, bawah, atau keduanya di atas dan di bawah.
• Bangunan dengan origami datar. lihat aturan Khujit

Lihat juga

• Program geometri dinamis memungkinkan Anda menggambar dengan kompas dan penggaris di komputer.

Catatan

literatur

• A. Adler Teori konstruksi geometris / Diterjemahkan dari bahasa Jerman oleh G. M. Fikhtengolts. - Edisi ketiga. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 hal.
• I.I. Alexandrov Kumpulan masalah geometri untuk konstruksi. - Edisi kedelapan belas. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 hal.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Edisi kedua. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 hal.
• A.M. Voronets Geometri kompas. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 hal. - (Perpustakaan Matematika Populer, diedit oleh L.A. Lyusternik).
• V.A. Geiler Masalah konstruksi yang tidak terpecahkan // pendingin. - 1999. - No. 12. - S. 115-118.
• V.A. Kirichenko Konstruksi dengan kompas dan penggaris dan teori Galois // Sekolah Musim Panas "Matematika Modern". - Dubna, 2005.
• Yu. I. Manin Buku IV. Geometri // Ensiklopedia matematika dasar. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 hal.
• Y. Petersen Metode dan teori untuk memecahkan masalah konstruksi geometris. - M.: Percetakan E. Lissner dan Yu.Roman, 1892. - 114 hal.
• V.V. Prasolov Tiga masalah bangunan klasik. Menggandakan kubus, membagi tiga sudut, mengkuadratkan lingkaran. - M.: Nauka, 1992. - 80 hal. - (Kuliah populer tentang matematika).
• J. Steiner Konstruksi geometris dilakukan dengan menggunakan garis lurus dan lingkaran tetap. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 hal.
• Kursus opsional dalam matematika. 7-9 / Komp. I.L.Nikolskaya. - M.: Pendidikan, 1991. - S.80. - 383 hlm. - ISBN 5-09-001287-3

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa "Konstruksi dengan kompas dan penggaris" di kamus lain:

Bagian geometri Euclidean, dikenal sejak zaman kuno. Dalam tugas konstruksi, operasi berikut mungkin dilakukan: Tandai titik sembarang pada bidang, titik pada salah satu garis yang dibuat, atau titik perpotongan dari dua garis yang dibuat. Dengan bantuan ... ... Wikipedia

Konstruksi dengan bantuan kompas dan penggaris Sebuah bagian dari geometri Euclidean dikenal sejak zaman kuno. Dalam tugas konstruksi, operasi berikut dimungkinkan: Tandai titik sembarang pada bidang, titik pada salah satu garis yang dibuat, atau titik ... ... Wikipedia

Mis., s., gunakan. komp. sering Morfologi: (tidak) apa? konstruksi untuk apa? konstruksi, (lihat) apa? membangun apa? bangunan, tentang apa? tentang bangunan; hal. apa? konstruksi, (tidak) apa? konstruksi, mengapa? konstruksi, (lihat) apa? konstruksi dari? ... ... Kamus Dmitriev

Lingkaran dan persegi dengan luas yang sama Mengkuadratkan lingkaran adalah masalah yang terdiri dari menemukan konstruksi menggunakan kompas dan penggaris bujur sangkar yang luasnya sama dengan ... Wikipedia

Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat berbagai bentuk (titik, garis, sudut, benda dua dimensi dan tiga dimensi), ukuran dan posisi relatifnya. Untuk kenyamanan mengajar, geometri dibagi menjadi planimetri dan geometri padat. DI DALAM… … Ensiklopedia Collier

Dalam pengertian yang paling umum, sebuah teori yang mempelajari matematika tertentu objek berdasarkan kelompok automorfismenya. Jadi, misalnya, medan t yang heterogen, cincin, dan struktur topologi dimungkinkan. spasi, dan seterusnya. Dalam arti sempit, G.T. dipahami sebagai bidang G.T. Ini muncul… Ensiklopedia Matematika

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Kuadrat. Kuadrat (bahasa Latin quadratura, kuadrat) adalah istilah matematika yang awalnya dilambangkan untuk menemukan luas suatu bangun atau permukaan tertentu. Di masa depan ... ... Wikipedia

Aturan Khujita adalah seperangkat tujuh aturan yang secara formal menggambarkan konstruksi geometris menggunakan origami datar, mirip dengan konstruksi menggunakan kompas dan penggaris. Faktanya, mereka menjelaskan semua cara yang mungkin untuk mendapatkan satu lipatan baru ... ... Wikipedia