Aturan L'Hopital: teori dan contoh solusi. Bagi dengan tak terhingga Sebuah angka dibagi dengan tak terhingga adalah nol

Sangat sering, banyak orang bertanya-tanya mengapa tidak mungkin menggunakan pembagian dengan nol? Dalam artikel ini, kita akan membahas secara rinci tentang dari mana aturan ini berasal, serta tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol.

dalam kontak dengan

Nol bisa disebut sebagai salah satu angka yang paling menarik. Angka ini tidak ada artinya, itu berarti kekosongan dalam arti kata yang sebenarnya. Namun, jika Anda meletakkan nol di sebelah angka apa pun, maka nilai angka ini akan menjadi beberapa kali lebih besar.

Angka itu sendiri sangat misterius. Itu digunakan oleh orang-orang Maya kuno. Untuk Maya, nol berarti "awal", dan hitungan mundur hari kalender juga dimulai dari nol.

Fakta yang sangat menarik adalah bahwa tanda nol dan tanda ketidakpastian serupa untuk mereka. Dengan ini, Maya ingin menunjukkan bahwa nol adalah tanda identik yang sama dengan ketidakpastian. Di Eropa, penunjukan nol muncul relatif baru-baru ini.

Juga, banyak orang mengetahui larangan yang terkait dengan nol. Siapapun akan mengatakan itu tidak bisa dibagi nol. Ini dikatakan oleh guru di sekolah, dan anak-anak biasanya mengambil kata mereka untuk itu. Biasanya, anak-anak hanya tidak tertarik untuk mengetahui hal ini, atau mereka tahu apa yang akan terjadi jika, setelah mendengar larangan penting, mereka langsung bertanya “Mengapa kamu tidak bisa membagi dengan nol?”. Tetapi ketika Anda bertambah tua, minat meningkat, dan Anda ingin tahu lebih banyak tentang alasan larangan semacam itu. Namun, ada bukti yang masuk akal.

Tindakan dengan nol

Pertama, Anda perlu menentukan tindakan apa yang dapat dilakukan dengan nol. ada beberapa jenis kegiatan:

Tambahan;
Perkalian;
Pengurangan;
Pembagian (nol dengan angka);
Eksponen.

Penting! Jika nol ditambahkan ke angka apa pun selama penambahan, maka angka ini akan tetap sama dan tidak akan mengubah nilai numeriknya. Hal yang sama terjadi jika Anda mengurangi nol dari angka apa pun.

Dengan perkalian dan pembagian, semuanya sedikit berbeda. Jika kalikan bilangan apa saja dengan nol, maka hasil kali juga akan menjadi nol.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Mari kita tulis ini sebagai tambahan:

Ada lima angka nol yang ditambahkan secara total, jadi ternyata

Mari kita coba kalikan satu dengan nol. Hasilnya juga akan nol.

Nol juga dapat dibagi dengan angka lain yang tidak sama dengannya. Dalam hal ini, itu akan berubah, yang nilainya juga akan menjadi nol. Aturan yang sama berlaku untuk bilangan negatif. Jika Anda membagi nol dengan angka negatif, Anda mendapatkan nol.

Anda juga dapat menaikkan nomor berapa pun ke kekuatan nol. Dalam hal ini, Anda mendapatkan 1. Penting untuk diingat bahwa ungkapan "nol pangkat nol" sama sekali tidak berarti. Jika Anda mencoba menaikkan nol ke kekuatan apa pun, Anda mendapatkan nol. Contoh:

Kami menggunakan aturan perkalian, kami mendapatkan 0.

Apakah mungkin untuk membagi dengan nol?

Jadi, di sini kita sampai pada pertanyaan utama. Apakah mungkin untuk membagi dengan nol? sama sekali? Dan mengapa tidak mungkin membagi angka dengan nol, mengingat semua operasi lain dengan nol sepenuhnya ada dan berlaku? Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu beralih ke matematika yang lebih tinggi.

Mari kita mulai dengan definisi konsep, apa itu nol? Guru sekolah mengklaim bahwa nol bukanlah apa-apa. Kekosongan. Artinya, ketika Anda mengatakan bahwa Anda memiliki 0 pena, itu berarti Anda tidak memiliki pena sama sekali.

Dalam matematika yang lebih tinggi, konsep "nol" lebih luas. Bukan berarti kosong sama sekali. Di sini, nol disebut ketidakpastian, karena jika Anda melakukan sedikit riset, ternyata dengan membagi nol dengan nol, kita bisa mendapatkan angka lain apa pun, yang belum tentu nol.

Tahukah Anda bahwa operasi aritmatika sederhana yang Anda pelajari di sekolah tidak begitu sama di antara mereka sendiri? Langkah paling dasar adalah penjumlahan dan perkalian.

Untuk matematikawan, konsep "" dan "pengurangan" tidak ada. Misalkan: jika tiga dikurangi dari lima, maka dua akan tetap ada. Ini adalah apa yang tampak seperti pengurangan. Namun, matematikawan akan menulisnya seperti ini:

Jadi, ternyata perbedaan yang tidak diketahui adalah angka tertentu yang perlu ditambahkan ke 3 untuk mendapatkan 5. Artinya, Anda tidak perlu mengurangi apa pun, Anda hanya perlu mencari angka yang sesuai. Aturan ini berlaku untuk penambahan.

Hal-hal yang sedikit berbeda dengan aturan perkalian dan pembagian. Diketahui bahwa perkalian dengan nol menghasilkan hasil nol. Misalnya, jika 3:0=x, maka jika Anda membalik catatan, Anda mendapatkan 3*x=0. Dan angka yang dikalikan dengan 0 akan menghasilkan nol pada hasil kali. Ternyata angka yang akan memberikan nilai apa pun selain nol dalam produk dengan nol tidak ada. Ini berarti bahwa pembagian dengan nol tidak ada artinya, yaitu sesuai dengan aturan kita.

Tetapi apa yang terjadi jika Anda mencoba membagi nol dengan dirinya sendiri? Mari kita ambil x sebagai bilangan tak tentu. Ternyata persamaan 0 * x \u003d 0. Hal ini dapat diselesaikan.

Jika kita mencoba mengambil nol daripada x, kita mendapatkan 0:0=0. Tampaknya logis? Tetapi jika kita mencoba mengambil bilangan lain selain x, misalnya 1, maka hasilnya adalah 0:0=1. Situasi yang sama akan terjadi jika Anda mengambil nomor lain dan masukkan ke persamaan.

Dalam hal ini, ternyata kita dapat mengambil angka lain sebagai faktor. Hasilnya akan menjadi jumlah tak terbatas dari nomor yang berbeda. Terkadang, bagaimanapun, pembagian dengan 0 dalam matematika yang lebih tinggi masuk akal, tetapi biasanya ada kondisi tertentu yang menyebabkan kita masih dapat memilih satu angka yang sesuai. Tindakan ini disebut "pengungkapan ketidakpastian". Dalam aritmatika biasa, pembagian dengan nol akan kembali kehilangan artinya, karena kita tidak akan dapat memilih satu angka pun dari himpunan.

Penting! Nol tidak dapat dibagi dengan nol.

Nol dan tak terhingga

Infinity sangat umum dalam matematika yang lebih tinggi. Karena tidak penting bagi anak sekolah untuk mengetahui bahwa masih ada operasi matematika dengan tak terhingga, guru tidak dapat menjelaskan dengan tepat kepada anak-anak mengapa tidak mungkin membagi dengan nol.

Siswa mulai mempelajari rahasia matematika dasar hanya di tahun pertama institut. Matematika yang lebih tinggi menyediakan serangkaian besar masalah yang tidak memiliki solusi. Masalah yang paling terkenal adalah masalah dengan tak terhingga. Mereka dapat diselesaikan dengan analisis matematika.

Anda juga dapat mendaftar ke infinity operasi matematika dasar: penjumlahan, perkalian dengan bilangan. Pengurangan dan pembagian juga umum digunakan, tetapi pada akhirnya mereka masih bermuara pada dua operasi sederhana.

Tapi apa yang akan jika kamu mencoba:

Kalikan tak terhingga dengan nol. Secara teori, jika kita mencoba mengalikan angka apa pun dengan nol, kita akan mendapatkan nol. Tapi infinity adalah kumpulan angka yang tidak terbatas. Karena kita tidak dapat memilih satu angka dari himpunan ini, ekspresi *0 tidak memiliki solusi dan sama sekali tidak berarti.
Nol dibagi tak terhingga. Ini adalah cerita yang sama seperti di atas. Kami tidak dapat memilih satu angka, yang berarti kami tidak tahu harus membagi apa. Ekspresinya tidak masuk akal.

Penting! Infinity sedikit berbeda dari ketidakpastian! Infinity adalah jenis ketidakpastian.

Sekarang mari kita coba membagi tak terhingga dengan nol. Tampaknya harus ada ketidakpastian. Tetapi jika kita mencoba mengganti pembagian dengan perkalian, kita mendapatkan jawaban yang sangat pasti.

Misalnya: /0=∞*1/0= *∞ = .

Ternyata seperti ini paradoks matematika.

Mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol?

Eksperimen pikiran, coba bagi dengan nol

Keluaran

Jadi, sekarang kita tahu bahwa nol tunduk pada hampir semua operasi yang dilakukan dengan, kecuali untuk satu operasi. Anda tidak dapat membagi dengan nol hanya karena hasilnya adalah ketidakpastian. Kami juga belajar bagaimana beroperasi pada nol dan tak terhingga. Hasil dari tindakan tersebut akan menjadi ketidakpastian.

Fungsi dasar utama telah disortir.

Saat pindah ke fungsi bentuk yang lebih kompleks, kita pasti akan menemukan ekspresi yang nilainya tidak ditentukan. Ekspresi seperti itu disebut ketidakpastian.

Ayo daftar semuanya jenis utama ketidakpastian: nol dibagi nol (0 dengan 0), tak terhingga dibagi tak terhingga, nol kali tak terhingga, tak terhingga dikurangi tak terhingga, satu pangkat tak terhingga, nol pangkat nol, tak terhingga pangkat nol.

SEMUA EKSPRESI LAIN BUKAN KETIDAKPASTIAN DAN MENGAMBIL NILAI TERBATAS ATAU TAK TERBATAS SEPENUHNYA.

Mengungkapkan Ketidakpastian memungkinkan:

penyederhanaan jenis fungsi (transformasi ekspresi menggunakan rumus perkalian yang disingkat, rumus trigonometri, perkalian dengan ekspresi konjugasi dengan pengurangan berikutnya, dll.);
penggunaan batas yang luar biasa;
penerapan aturan L'Hospital;
penggunaan penggantian ekspresi infinitesimal dengan ekuivalennya (menggunakan tabel infinitesimal ekuivalen).

Kami mengelompokkan ketidakpastian menjadi tabel ketidakpastian. Untuk setiap jenis ketidakpastian, kami memasukkan metode pengungkapannya ke dalam korespondensi (metode menemukan batas).

Tabel ini, bersama dengan tabel limit dari fungsi dasar dasar, akan menjadi alat utama Anda dalam menemukan limit.

Mari kita berikan beberapa contoh ketika semuanya segera diperoleh setelah mensubstitusi nilai dan ketidakpastian tidak muncul.

Contoh.

Hitung Batas

Larutan.

Kami mengganti nilainya:

Dan kami mendapat jawaban segera.

Menjawab:

Contoh.

Hitung Batas

Larutan.

Kami mengganti nilai x=0 ke dalam basis fungsi pangkat eksponensial kami:

Artinya, batas dapat ditulis ulang sebagai

Sekarang mari kita lihat indeks. Ini adalah fungsi kekuatan. Mari kita beralih ke tabel batas untuk fungsi daya dengan eksponen negatif. Dari sana kita memiliki Dan , oleh karena itu, kita dapat menulis .

Berdasarkan ini, batas kami dapat ditulis sebagai:

Sekali lagi kita beralih ke tabel batas, tetapi untuk fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu, dari mana kita mendapatkan:

Menjawab:

Mari kita lihat contoh dengan solusi terperinci pengungkapan ambiguitas dengan mengubah ekspresi.

Sangat sering, ekspresi di bawah tanda batas perlu sedikit diubah untuk menghilangkan ambiguitas.

Contoh.

Hitung Batas

Larutan.

Kami mengganti nilainya:

Datang ke ketidakpastian. Kami melihat tabel ketidakpastian untuk memilih metode solusi. Mari kita coba sederhanakan ekspresinya.

Menjawab:

Contoh.

Hitung Batas

Larutan.

Kami mengganti nilainya:

Datang ke ketidakpastian (0 oleh 0). Kami melihat tabel ketidakpastian untuk memilih metode solusi dan mencoba menyederhanakan ekspresi. Kami mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugasi ke penyebut.

Untuk penyebut, ekspresi adjoinnya adalah

Kami mengalikan penyebut sehingga kami dapat menerapkan rumus perkalian yang disingkat - selisih kuadrat dan kemudian mengurangi ekspresi yang dihasilkan.

Setelah serangkaian transformasi, ketidakpastian menghilang.

Menjawab:

KOMENTAR: untuk limit semacam ini, metode perkalian dengan ekspresi konjugasi adalah tipikal, jadi jangan ragu untuk menggunakannya.

Contoh.

Hitung Batas

Larutan.

Kami mengganti nilainya:

Datang ke ketidakpastian. Kami melihat tabel ketidakpastian untuk memilih metode solusi dan mencoba menyederhanakan ekspresi. Karena pembilang dan penyebutnya hilang di x=1, jika ekspresi ini dapat direduksi (x-1) dan ketidakpastiannya akan hilang.

Mari kita faktorkan pembilangnya:

Mari kita faktorkan penyebutnya:

Batas kami akan berbentuk:

Setelah transformasi, ketidakpastian terungkap.

Menjawab:

Pertimbangkan batas-batas di tak terhingga ekspresi kekuasaan. Jika eksponen dari ekspresi eksponensial positif, maka limit di tak hingga adalah tak hingga. Apalagi nilai utama memiliki derajat paling besar, selebihnya bisa dibuang.

Contoh.

Jika ekspresi di bawah tanda limit adalah pecahan, dan pembilang dan penyebutnya adalah ekspresi pangkat (m adalah pangkat dari pembilang, dan n adalah pangkat dari penyebut), maka ketika ada ketidakpastian bentuk tak terhingga dengan tak terhingga, dalam hal ini ketidakpastian terungkap pembagian dan pembilang dan penyebut dengan

Contoh.

Hitung Batas

Jika suatu bilangan dibagi tak terhingga, apakah hasil bagi cenderung nol? Lanjut ke dalam dan dapatkan jawaban yang lebih baik

Jawaban dari Olenka[pemula]
semua 0
Kulit Krab
Peramal
(56636)
Tidak. tepat nol. Karena pembagi cenderung tak terhingga, hasil bagi cenderung nol. Dan, jika kita membagi bukan dengan angka yang cenderung tak terhingga, tetapi dengan tak terhingga itu sendiri (omong-omong, lebih tepatnya, itu tidak secara resmi dianggap sebagai angka sama sekali, tetapi dianggap sebagai simbol khusus yang melengkapi penunjukan angka) - tepat nol.

Jawaban dari Jugeus Vladimir[guru]
Bahkan membagi nol, bahkan dikalikan dengan angka berapa pun, tetap akan menjadi nol!

Jawaban dari 1 23 [guru]
jika beberapa jenis omong kosong cenderung nol, maka mengalikannya dengan sesuatu yang terbatas (angka atau fungsi terbatas) tidak menyakitkan, karena all-rna cenderung nol.
tetapi jika Anda mengalikannya dengan sesuatu yang cenderung tidak ada habisnya, maka mungkin ada opsi.

Jawaban dari Kulit Krab[guru]
Membagi bilangan apa pun dengan tak terhingga menghasilkan nol. Tepat nol, tidak ada "menjadi nol". Dan kemudian, dengan angka berapa pun Anda mengalikannya, nol. Dan hasil membagi nol dengan angka apa pun selain nol akan menjadi nol, hanya saat membagi nol dengan nol, hasilnya tidak ditentukan, karena angka apa pun akan cocok sebagai hasil bagi.

Turunan fungsi tidak jatuh jauh, dan dalam kasus aturan L'Hospital, turun tepat di tempat fungsi aslinya jatuh. Keadaan ini membantu dalam pengungkapan ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞ dan beberapa ketidakpastian lain yang muncul dalam perhitungan. membatasi rasio dua fungsi yang sangat kecil atau sangat besar. Perhitungannya sangat disederhanakan oleh aturan ini (sebenarnya ada dua aturan dan catatan tentangnya):

Seperti yang ditunjukkan oleh rumus di atas, ketika menghitung limit rasio dua fungsi yang sangat kecil atau besar tak hingga, limit rasio dua fungsi dapat diganti dengan limit rasionya turunan dan dengan demikian mendapatkan hasil tertentu.

Mari kita beralih ke formulasi yang lebih tepat dari aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital untuk Kasus Limit Dua Nilai Tak Berhingga. Biarkan fungsi F(x) Dan G(x Sebuah. Dan pada intinya Sebuah Sebuah turunan fungsi G(x) tidak sama dengan nol ( G"(x Sebuah sama satu sama lain dan sama dengan nol:

Aturan L'Hôpital untuk kasus limit dua besaran tak terhingga. Biarkan fungsi F(x) Dan G(x) memiliki turunan (yaitu dapat diturunkan) di beberapa lingkungan titik Sebuah. Dan pada intinya Sebuah mereka mungkin atau mungkin tidak memiliki turunan. Apalagi, di sekitar titik Sebuah turunan fungsi G(x) tidak sama dengan nol ( G"(x)≠0 ) dan limit fungsi-fungsi ini karena x cenderung ke nilai fungsi di titik Sebuah sama satu sama lain dan sama dengan tak terhingga:

Maka limit rasio fungsi-fungsi ini sama dengan limit rasio turunannya:

Dengan kata lain, untuk ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞, limit rasio dua fungsi sama dengan limit rasio turunannya, jika yang terakhir ada (hingga, yaitu sama dengan a jumlah tertentu, atau tak terbatas, yaitu sama dengan tak terhingga).

Perkataan.

1. Aturan L'Hopital juga berlaku ketika fungsi F(x) Dan G(x) tidak terdefinisi pada x = Sebuah.

2. Jika, saat menghitung limit rasio turunan fungsi F(x) Dan G(x) kita kembali ke ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞, maka aturan L'Hopital harus diterapkan berulang kali (setidaknya dua kali).

3. Aturan L'Hopital juga berlaku ketika argumen fungsi (x) cenderung ke bilangan tak berhingga Sebuah, dan hingga tak terhingga ( x → ∞).

Ketidakpastian tipe lain juga dapat direduksi menjadi ketidakpastian tipe 0/0 dan /∞.

Pengungkapan ketidakpastian jenis "nol dibagi nol" dan "tak terhingga dibagi tak terhingga"

Contoh 1

x=2 mengarah ke ketidakpastian bentuk 0/0. Oleh karena itu, turunan dari setiap fungsi dan kami mendapatkan

Di pembilang, turunan polinomial dihitung, dan di penyebut - turunan dari fungsi logaritma kompleks. Sebelum tanda sama dengan terakhir, yang biasa membatasi, mengganti deuce bukan x.

Contoh 2 Hitung limit rasio dua fungsi menggunakan aturan L'Hospital:

Larutan. Substitusi ke fungsi nilai yang diberikan x

Contoh 3 Hitung limit rasio dua fungsi menggunakan aturan L'Hospital:

Larutan. Substitusi ke fungsi nilai yang diberikan x=0 mengarah ke ketidakpastian bentuk 0/0. Oleh karena itu, kami menghitung turunan dari fungsi dalam pembilang dan penyebut dan mendapatkan:

Contoh 4 Menghitung

Larutan. Mensubstitusikan nilai x sama dengan plus tak terhingga ke dalam fungsi yang diberikan menghasilkan ketidaktentuan bentuk /∞. Oleh karena itu, kami menerapkan aturan L'Hopital:

Komentar. Mari kita beralih ke contoh di mana aturan L'Hopital harus diterapkan dua kali, yaitu, untuk mencapai batas rasio turunan kedua, karena batas rasio turunan pertama adalah ketidakpastian bentuk 0/0 atau /∞.

Pengungkapan ketidakpastian dalam bentuk "nol dikalikan dengan tak terhingga"

Contoh 12. Menghitung

Larutan. Kita mendapatkan

Contoh ini menggunakan identitas trigonometri.

Pengungkapan ketidakpastian jenis "nol pangkat nol", "tak terhingga pangkat nol" dan "satu pangkat tak terhingga"

Ketidakpastian bentuk , atau biasanya direduksi menjadi bentuk 0/0 atau /∞ menggunakan logaritma fungsi bentuk

Untuk menghitung batas ekspresi, seseorang harus menggunakan identitas logaritma, kasus khusus yang merupakan properti dari logaritma .

Dengan menggunakan identitas logaritma dan sifat kontinuitas fungsi (untuk melampaui tanda limit), limit harus dihitung sebagai berikut:

Secara terpisah, seseorang harus menemukan batas ekspresi dalam eksponen dan bangun e ke tingkat yang ditemukan.

Contoh 13

Larutan. Kita mendapatkan

Contoh 14 Hitung menggunakan aturan L'Hopital

Larutan. Kita mendapatkan

Hitung batas ekspresi dalam eksponen

Contoh 15 Hitung menggunakan aturan L'Hopital