Soliton dalam gelombang suara. Soliton. Persamaan Korevega - De Fris

Setelah perhitungan dan mencari analogi, para ilmuwan ini menemukan bahwa persamaan yang digunakan oleh Fermi, pasta dan ulam, dengan penurunan jarak antara bobot dan dengan pertumbuhan jumlah mereka yang tidak terbatas pergi ke persamaan Korteweg de FRIS. Itu pada dasarnya, tugas yang diusulkan oleh Fermi telah berkurang menjadi larutan numerik dari persamaan Korteweg de Fris yang diusulkan pada tahun 1895 untuk menggambarkan gelombang soliter Russell. Pada tahun-tahun yang sama, ditunjukkan bahwa untuk menggambarkan gelombang suara ion dalam plasma, Korteweg de Fris juga digunakan. Kemudian menjadi jelas bahwa persamaan ini ditemukan di banyak bidang fisika dan, oleh karena itu, gelombang soliter, yang dijelaskan oleh persamaan ini, adalah fenomena yang tersebar luas.

Eksperimen komputasi berkelanjutan pada pemodelan penyebaran ombak tersebut, bengkok dan biaya tambahan dianggap sebagai tabrakan mereka. Mari kita memikirkan diskusi tentang fakta yang luar biasa ini. Misalkan ada dua gelombang soliter yang dijelaskan oleh persamaan Korteweg-de FRIS, yang berbeda dalam amplitudo dan bergerak satu sama lain dalam satu arah (Gbr. 2). Dari formula untuk ombak terpencil (8) Ini mengikuti bahwa kecepatan pergerakan gelombang tersebut lebih tinggi dari amplitudo mereka, dan lebar puncak menurun dengan meningkatnya amplitudo. Dengan demikian, ombak yang terpencil tinggi bergerak lebih cepat. Gelombang dengan amplitudo yang lebih besar akan menyusul gelombang yang bergerak di depan dengan amplitudo yang lebih kecil. Selanjutnya, untuk beberapa waktu, dua gelombang akan bergerak bersama secara keseluruhan, berinteraksi satu sama lain, dan kemudian mereka terputus. Properti indah dari ombak ini adalah setelah bentuk interaksi dan

Ara. 2. Dua soliton yang dijelaskan oleh persamaan Korteweg de FRIS,

sebelum interaksi (di bagian atas) dan setelah (di bawah)

kecepatan gelombang ini dipulihkan. Kedua gelombang setelah tabrakan hanya bergeser untuk jarak tertentu dibandingkan dengan bagaimana jika mereka bergerak tanpa interaksi.

Proses di mana, setelah interaksi gelombang, bentuk dan kecepatan tetap, menyerupai tabrakan elastis dari dua partikel. Oleh karena itu, dikutuk dan biaya tambahan gelombang terpencil disebut soliton (dari soliter Inggris-soliter). Ini adalah nama khusus gelombang soliter, elektron konsonan, proton dan banyak partikel elementer lainnya, saat ini diterima secara umum.

Gelombang sendirian yang terbuka untuk Russell, dan sebenarnya berperilaku seperti partikel. Gelombang besar tidak melewati interaksi kecil. Ketika gelombang terpencil bersentuhan, gelombang besar melambat dan berkurang, dan gelombang yang kecil, sebaliknya, dipercepat dan tumbuh. Dan ketika gelombang kecil tumbuh hingga ukuran besar, dan besar berkurang hingga ukuran kecil, soliton dipisahkan dan semakin besar maju. Dengan demikian, soliton berperilaku seperti bola tenis elastis.

Kami memberikan definisi soliton. Soliton. Gelombang soliter non-linear disebut, yang mempertahankan bentuk dan kecepatannya dengan gerakannya sendiri dan bertabrakan dengan sendirinya dengan gelombang terpencil, yaitu, adalah pendidikan berkelanjutan. Satu-satunya hasil dari interaksi soliton dapat berupa beberapa fase bergeser.

Penemuan yang terkait dengan persamaan Korteweg-de Frisi tidak berakhir dengan penemuan Soliton. Langkah penting berikutnya yang terkait dengan persamaan yang luar biasa ini adalah untuk membuat metode baru untuk menyelesaikan persamaan nonlinier dalam turunan swasta. Diketahui bahwa menemukan solusi persamaan nonlinear sangat sulit. Sampai tahun 60-an abad kita diyakini bahwa persamaan tersebut hanya dapat memiliki beberapa solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal yang ditentukan secara khusus. Namun, persamaan Korteweg de FRIS dan dalam hal ini ternyata berada dalam posisi yang luar biasa.

Pada tahun 1967, fisikawan Amerika K. Gardner, J.M. Hijau, M. Kruskal dan R. Miura menunjukkan bahwa solusi persamaan Korteweg de FRIS pada prinsipnya dapat diperoleh untuk semua kondisi awal, yang dengan cara tertentu berlaku untuk nol dalam keinginan koordinat hingga tak terbatas. Mereka menggunakan konversi persamaan Korteweg - de FRIS dengan sistem dua persamaan yang disebut pasangan lax (bernama American Mathematics Peter Lax, yang memberikan kontribusi besar untuk pengembangan teori soliton), dan menemukan metode baru untuk memecahkan a Jumlah persamaan nonlinier yang sangat penting dalam turunan swasta. Metode ini disebut metode masalah hamburan terbalik, karena secara signifikan menggunakan solusi tugas mekanika kuantum untuk memulihkan potensi sesuai dengan data hamburan.

2.2. Grup Soliton

Di atas, kami mengatakan bahwa dalam praktiknya, ombak, sebagai suatu peraturan, didistribusikan oleh kelompok. Kelompok-kelompok gelombang seperti itu di atas air, orang-orang mengamati dari waktu dahulu. Pada pertanyaan mengapa ombak di atas air sangat khas dari "kawanan domba" ombak, saya berhasil menjawab Benjan dan J. Feyer hanya pada tahun 1967. Perhitungan teoretis, mereka menunjukkan bahwa gelombang periodik sederhana pada air yang dalam tidak stabil (sekarang fenomena ini disebut peradangan Benemyman-Faeier), dan oleh karena itu gelombang air dibagi menjadi kelompok-kelompok karena ketidakstabilan. Persamaan dimana distribusi kelompok gelombang pada air dijelaskan, v.e. Zakharov pada tahun 1968. Pada saat itu, persamaan ini sudah dikenal dalam fisika dan merupakan nama persamaan Schrödinger nonlinear. Pada tahun 1971 V.E. Zakharov dan A.B. Shabby menunjukkan bahwa persamaan nonlinier ini memiliki solusi juga dalam bentuk soliton, apalagi, persamaan Schrödinger nonlinear, serta persamaan Korteweg de FRIS, dapat diintegrasikan oleh tugas hamburan terbalik. Soliton persamaan nonlinear Schrödinger berbeda dari Korteweg de FRIS yang dibahas di atas fakta bahwa mereka sesuai dengan bentuk amplop kelompok gelombang. Secara eksternal, mereka menyerupai gelombang radio yang dimodulasi. Soliton ini disebut grup solitones, dan kadang-kadang dengan soliton bergulir. Nama ini mencerminkan keterkasitan dalam interaksi amplop paket gelombang (analog garis putus-putus yang ditunjukkan pada Gambar. 3), meskipun ombak amplop bergerak pada kecepatan selain kelompok. Dalam hal ini, bentuk amplop dijelaskan

Ara. 3. Contoh Grup Soliton (Dowry)

kecanduan

a (x, t) \u003d a 0 CH -1 ()

dimana sEBUAH - amplitudo, A. l. - ukuran setengah soliton. Biasanya di bawah amplop soliton adalah dari 14 hingga 20 gelombang, dan ombak rata-rata adalah yang terbesar. Fakta yang terkenal terhubung dengan ini bahwa gelombang tertinggi dalam kelompok di air adalah antara ketujuh dan kesepuluh (poros kesembilan). Jika gelombang yang lebih besar dibentuk pada kelompok gelombang, itu akan hancur dengan beberapa kelompok.

Persamaan Schrödinger nonlinear, serta persamaan Korteweg-de FRIS, juga tersebar luas ketika menggambarkan ombak di berbagai bidang fisika. Persamaan ini diusulkan pada tahun 1926 oleh seorang fisikawan Austria yang luar biasa E. Schrödinger untuk menganalisis sifat fundamental sistem kuantum dan awalnya digunakan dalam menggambarkan interaksi partikel intra-industri. Persamaan Schrödinger umum atau nonlinier menggambarkan serangkaian fenomena dalam fisika proses gelombang. Misalnya, digunakan untuk menggambarkan efek fokus diri ketika terkena sinar laser yang kuat pada media dielektrik non-linear dan untuk menggambarkan perambatan gelombang plasma nonlinier.

3. Pernyataan tugas

3.1. Deskripsi model. Saat ini diamati secara signifikan meningkatkan minat dalam studi proses gelombang nonlinier di berbagai bidang fisika (misalnya, dalam optik, fisika plasma, radiofisika, hidrodinamika, dll.) Untuk mempelajari ombak amplitudo kecil, tetapi terbatas di media dispersi sebagai persamaan model, persamaan Korteweg-de Frize (CDF) sering digunakan:

u. T. + i x + dgn B. dan xxx \u003d 0 (3.1)

Persamaan KDF digunakan untuk menggambarkan gelombang magnetosonik yang diperbanyak secara ketat di medan magnet atau pada sudut yang dekat dengan

Asumsi utama yang dibuat dalam output persamaan: 1) amplitudo kecil, tetapi akhir, 2) panjang gelombangnya besar dibandingkan dengan panjang dispersi.

Mengimbangi efek nonlinier, dispersi memungkinkan untuk terbentuk dalam media dispersi dengan gelombang stasioner dari amplitudo akhir - soliter dan periodik. Gelombang sendirian untuk persamaan KDF setelah bekerja mulai disebut soliton. Gelombang periodik memakai nama ombak dadih. Rumus yang sesuai untuk deskripsi mereka diberikan.

3.2. Perumusan tugas diferensial. Dalam pekerjaan, solusi numerik dari masalah Cauchy untuk persamaan Korteweg-de Frize dengan kondisi berkala di ruang dalam persegi panjang T T. ={( t. , x. ):0< t. < T. , X. Î [0, l. ].

u. T. + i x + dgn B. dan xxx \u003d 0 (3.2)

u (x, t) | x \u003d 0 \u003d u (x, t) | x \u003d L. (3.3)

dengan kondisi awal

u (x, t) | T \u003d 0 \u003d u 0 (x) (3.4)

4. Properti Persamaan Korteweg - De Frize

4.1. Tinjauan singkat tentang hasil oleh persamaan KDF. Cauchy untuk persamaan CDF untuk berbagai asumsi relatif u. 0 (x) Dipertimbangkan dalam banyak karya. Tugas keberadaan dan keunikan solusi dengan kondisi frekuensi karena kondisi batas diselesaikan dalam operasi menggunakan metode perbedaan yang terbatas. Kemudian, dengan asumsi yang kurang kuat, keberadaan dan keunikan terbukti dalam artikel di ruang l ¥ (0, t, hs (R 1)), di mana s\u003e 3/2, dan dalam kasus masalah berkala - di ruang angkasa L ¥ (0, t, h ¥ (c)) di mana C adalah keliling panjang, sama dengan periode, dalam bahasa Rusia hasil ini disajikan dalam buku.

Doctor of Technical Sciences A. Golubev.

Seseorang bahkan tanpa pendidikan fisik atau teknis khusus tidak diragukan lagi akrab dengan kata-kata "elektron, proton, neutron, foton". Tetapi kata "soliton" yang konsonan dengan mereka, mungkin mendengar untuk pertama kalinya. Ini tidak mengherankan: Meskipun apa yang ditunjukkan oleh kata ini, diketahui lebih dari satu setengah abad, perhatian yang tepat pada soliton mulai diberikan hanya dari sepertiga terakhir abad kedua puluh. Fenomena Soliton universal dan ditemukan dalam matematika, hidromekanik, akustik, radiofisika, astrofisika, biologi, oseanografi, teknik optik. Apa ini - Soliton?

Lukisan I. K. Aivazovsky "Ninth Val". Gelombang pada penyebaran air seperti soliton kelompok, di tengah-tengahnya, dalam kisaran dari ketujuh hingga kesepuluh, ada gelombang tertinggi.

Gelombang linear yang biasa memiliki bentuk sinusoid yang benar (a).

Ilmu Pengetahuan dan Kehidupan // Ilustrasi

Ilmu Pengetahuan dan Kehidupan // Ilustrasi

Ilmu Pengetahuan dan Kehidupan // Ilustrasi

Ini berarti gelombang non-linear pada permukaan air dengan tidak adanya dispersi.

Jadi kelompok Soliton terlihat seperti.

Gelombang kejut di depan bola terbang enam kali lebih cepat daripada suara. Untuk rumor, itu dianggap sebagai kapas keras.

Di semua area di atas ada satu fitur umum: di dalamnya atau di beberapa bagian mereka, proses gelombang dipelajari, dan hanya berbicara - ombak. Dalam pengertian paling umum, gelombang adalah penyebaran gangguan ukuran fisik apa pun yang mengkarakterisasi zat atau bidang. Distribusi ini biasanya terjadi pada beberapa medium - air, udara, benda padat. Dan hanya gelombang elektromagnetik yang dapat menyebar di Vacuo. Segala sesuatu, tidak diragukan lagi, melihat bagaimana dari batu itu ditinggalkan ke dalam air, "marah" permukaan tenang air, ombak bulat berbeda. Ini adalah contoh distribusi gangguan "tunggal". Sangat sering, kemarahan adalah proses osilasi (khususnya, periodik) dalam berbagai bentuk - swing pendulum, osilasi string alat musik, kompresi dan ekspansi pelat kuarsa di bawah aksi arus bolak-balik, fluktuasi pada atom dan molekul. Gelombang - Perbankan osilasi - dapat memiliki sifat yang berbeda: ombak pada gelombang air, suara, elektromagnetik (termasuk cahaya). Perbedaan mekanisme fisik yang menerapkan proses gelombang mensyaratkan berbagai metode untuk deskripsi matematisnya. Tetapi beberapa sifat umum juga melekat pada gelombang asal yang berbeda, untuk menggambarkan apa yang digunakan alat matematika universal. Dan ini berarti bahwa fenomena gelombang dapat dipelajari, terganggu oleh sifat fisik mereka.

Dalam teori ombak, biasanya dilakukan, mengingat sifat-sifat gelombang seperti campur tangan, difraksi, dispersi, hamburan, refleksi dan refraksi. Tetapi pada saat yang sama, satu keadaan penting terjadi: seperti itu pendekatan tunggal Ini sah, asalkan proses gelombang yang dipelajari dari berbagai sifat linear. Itulah fakta bahwa itu dipahami oleh ini, kita akan berbicara sedikit kemudian, dan sekarang kita hanya mencatat bahwa hanya amplitudo yang tidak terlalu besar bisa linier. Jika amplitudo gelombang besar, itu menjadi nonlinier, dan secara langsung terkait dengan topik artikel kami - Soliton.

Karena kita berbicara tentang ombak sepanjang waktu, tidak sulit untuk menebak bahwa soliton juga merupakan sesuatu dari area gelombang. Ini benar: Soliton disebut pendidikan yang sangat tidak biasa - gelombang "terpencil" (gelombang soliter). Mekanisme kejadiannya telah lama tetap menjadi misteri bagi para peneliti; Tampaknya sifat fenomena ini bertentangan dengan undang-undang yang terkenal tentang pembentukan dan distribusi ombak. Kejelasan tampak relatif baru-baru ini, dan sekarang soliton dalam kristal, bahan magnetik, film serat, di atmosfer bumi dan planet-planet lain, di galaksi dan bahkan dalam organisme hidup dipelajari. Ternyata baik tsunami dan impuls saraf, dan dislokasi kristal (pelanggaran frekuensi kisi mereka) - semua soliton ini! Soliton benar-benar "banyak." Ngomong-ngomong, inilah yang disebut buku ilmiah dan populer yang indah oleh A. Filippova "Menidic Soliton". Kami merekomendasikannya kepada pembaca, tidak takut dengan sejumlah besar rumus matematika.

Untuk memahami ide-ide dasar yang terkait dengan soliton, dan pada saat yang sama praktis tanpa matematika, itu harus berbicara terutama tentang nonlinier yang sudah disebutkan pada dispersi - fenomena yang mendasari mekanisme pembentukan soliton. Tetapi pertama-tama kita akan menceritakan tentang bagaimana dan kapan Soliton ditemukan. Dia pertama kali muncul pada seseorang dalam "kebesaran" dari gelombang terpencil di atas air.

Itu terjadi pada tahun 1834. John Scott Russell, ahli fisika Skotlandia dan seorang insinyur penemu berbakat, menerima tawaran untuk mengeksplorasi kemungkinan menavigasi kapal uap pada saluran yang menghubungkan Edinburgh dan Glasgow. Pada saat itu, transportasi di kanal dilakukan dengan bantuan tongkang kecil yang menyeret kuda. Untuk mengetahui cara melengkapi kembali tongkang saat mengganti dorongan berkuda di atas uap, Russell mulai memantau tongkang berbagai bentuk bergerak dengan kecepatan yang berbeda. Dan selama percobaan ini, dia tiba-tiba mengalami fenomena yang sama sekali tidak biasa. Ini adalah bagaimana dia menggambarkannya dalam "Laporan Gelombang":

"Aku menyaksikan lalu lintas tongkang, yang dengan cepat ditarik can Can. Beberapa kuda ketika tongkang tiba-tiba berhenti. Tetapi massa air, yang menyebabkan tongkang mengarah, berkumpul di dekat hidung kapal dalam keadaan gila, maka secara tak terduga meninggalkannya, naik ke depan dengan kecepatan yang sangat besar dan mengambil bentuk elevasi tunggal besar - halus, halus dan bukit air yang dinyatakan baik. Dia melanjutkan jalannya di sepanjang kanal, sama sekali tanpa mengubah bentuknya dan tidak mengurangi kecepatan. Aku mengikutinya dengan menunggang kuda, dan ketika aku menangkapnya, dia masih menggulung ke depan dengan kecepatan sekitar 8-9 mil per jam, mempertahankan profil elevasi awalnya dengan panjang sekitar tiga puluh kaki dan tinggi kaki hingga satu setengah kaki ke satu setengah kaki hingga satu setengah kaki ke satu setengah kaki ke satu setengah kaki ke satu setengah kaki. Ketinggiannya secara bertahap menurun, dan setelah satu atau dua mil dari pengejaran saya kehilangan itu di tikungan kanal. "

Russell menyebut mereka fenomena "gelombang siaran yang terpencil". Namun, pesannya dipenuhi oleh skeptisisme yang diakui otoritas di bidang hidrodinamika - George Airy dan George Stokes, yang percaya bahwa ombak ketika bergerak terlalu jauh tidak dapat mempertahankan bentuknya. Untuk ini, mereka memiliki semua fondasi: mereka melanjutkan dari persamaan hidrodinamika yang diterima secara umum. Pengakuan gelombang "terpencil" (yang dinamai Soliton jauh kemudian - pada tahun 1965) terjadi selama kehidupan Russell oleh karya beberapa ahli matematika, yang menunjukkan bahwa itu bisa ada, dan, terlebih lagi, eksperimen Russell diulang dan dikonfirmasi. Tetapi perselisihan di sekitar soliton masih tidak berhenti lama - otoritas Eiri dan Stokes terlalu besar.

Kejelasan akhir dalam masalah disimpan oleh ilmuwan Belanda Didric Iohannes Korevan dan muridnya Gustav de Fris. Pada tahun 1895, tiga belas tahun setelah kematian Russell, mereka menemukan persamaan yang akurat yang solusi ombaknya sepenuhnya menggambarkan proses yang terjadi. Pada perkiraan pertama, ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Gelombang corteweg-de frize memiliki bentuk non-sinusoidal dan menjadi sinusoidal hanya ketika amplitudo mereka sangat kecil. Dengan peningkatan panjang gelombang, mereka memperoleh bentuk yang jauh dari punuk, dan dengan panjang gelombang yang sangat panjang, satu punuk tetap, yang sesuai dengan gelombang "terpencil".

Persamaan Korteweg-de Frize (persamaan CDF yang disebut) memainkan peran yang sangat besar di zaman kita, ketika fisikawan memahami keserbagunaannya dan kemungkinan aplikasi untuk ombak berbagai alam. Hal paling luar biasa yang menggambarkan gelombang nonlinier, dan sekarang harus direprotkan secara lebih rinci tentang konsep ini.

Dalam teori ombak, persamaan gelombang memiliki nilai fundamental. Jangan memimpinnya di sini (ini memerlukan kenalan dengan matematika tertinggi), kami hanya mencatat bahwa fungsi yang diinginkan menggambarkan gelombang dan nilai-nilai terkait terkandung pada tingkat pertama. Persamaan seperti itu disebut linear. Persamaan gelombang, seperti yang lain, memiliki solusi, yaitu, ekspresi matematika, dengan substitusi yang ia tambahkan ke identitas. Solusi persamaan gelombang adalah gelombang linear harmonik (sinusoidal). Kami menekankan sekali lagi bahwa istilah "linear" digunakan di sini bukan dalam arti geometris (sinusoid bukan garis lurus), tetapi dalam arti penggunaan tingkat pertama jumlah dalam persamaan gelombang.

Gelombang linier mematuhi prinsip superposisi (penambahan). Ini berarti bahwa ketika Anda menerapkan beberapa gelombang linier, bentuk gelombang yang dihasilkan ditentukan hanya dengan menambahkan gelombang sumber. Ini karena setiap gelombang berlaku dalam medium, terlepas dari yang lain, tidak ada pertukaran energi atau interaksi lain di antara mereka, mereka dengan bebas melewati yang lain. Dengan kata lain, prinsip superposisi berarti independensi ombak, dan itulah sebabnya mereka dapat dilipat. Dalam kondisi normal, ini berlaku untuk gelombang suara, cahaya dan radio, serta untuk ombak, yang dianggap dalam teori kuantum. Tetapi untuk ombak dalam cairan, itu tidak selalu benar: hanya gelombang amplitudo yang sangat kecil yang dapat dilipat. Jika Anda mencoba melipat ombak Korteweg - De Frize, kami tidak akan mendapatkan gelombang sama sekali, yang mungkin ada: persamaan hidrodinamik nonlinier.

Penting untuk menekankan bahwa properti linearitas gelombang akustik dan elektromagnetik diamati, seperti yang sudah dicatat, dalam kondisi normal, di mana, di atas semua, amplitudon kecil dari ombak tersirat. Tapi apa arti "amplitudo kecil"? Amplitudo gelombang suara menentukan volume suara, cahaya - intensitas cahaya, dan gelombang radio - ketegangan medan elektromagnetik. Penyiaran, televisi, telepon, komputer, pencahayaan, dan banyak perangkat lain bekerja di sebagian besar "kondisi normal", berurusan dengan berbagai gelombang amplitudo kecil. Jika amplitudo meningkat tajam, ombaknya kehilangan linearitas dan kemudian muncul fenomena baru. Dalam akustik, gelombang kejut memanjang dengan kecepatan supersonik telah lama diketahui. Contoh gelombang kejut - grommet rolls selama badai petir, suara tembakan dan ledakan dan bahkan simpul menyala: ujungnya bergerak lebih cepat dari suara. Gelombang cahaya nonlinier diperoleh dengan menggunakan laser berdenyut yang kuat. Bagian dari gelombang semacam itu melalui berbagai lingkungan mengubah sifat media itu sendiri; Fenomena yang benar-benar baru diamati, yang membentuk subjek untuk mempelajari optik nonlinier. Misalnya, gelombang cahaya terjadi, panjangnya dua kali lebih sedikit, dan frekuensi, masing-masing, dua kali lipat cahaya yang masuk (generasi harmonik kedua). Jika Anda mengirim ke kristal non-linear, katakanlah, sinar laser yang kuat dengan panjang gelombang L 1 \u003d 1,06 μm (radiasi inframerah, mata yang tak terlihat), maka pada hasil kristal, kecuali lampu hijau inframerah dengan panjang gelombang L 2 \u003d 0,53 μm.

Jika suara nonlinear dan gelombang cahaya dibentuk hanya dalam banyak kondisi, hidrodinamika itu nonlinier sendiri. Dan karena hidrodinamika menunjukkan nonlinier dalam fenomena paling sederhana, itu berkembang dalam isolasi penuh dari fisika "linier". Tidak ada yang terjadi hanya untuk mencari sesuatu yang mirip dengan gelombang Russell "terpencil" dalam fenomena gelombang lainnya. Dan hanya ketika bidang fisika baru dikembangkan - akustik nonlinier, radiofisika dan optik, - para peneliti ingat Russell Soliton dan bertanya-tanya: Apakah ada fenomena serupa yang dapat diamati dalam air? Untuk melakukan ini, perlu untuk memahami mekanisme keseluruhan formasi soliton. Kondisi nonlinier diperlukan, tetapi tidak cukup: perlu memiliki sesuatu yang lain bahwa gelombang "terpencil" dapat dilahirkan di dalamnya. Dan sebagai hasil penelitian, menjadi jelas - kondisi yang hilang adalah keberadaan dispersi medium.

Ingat apa itu. Dispersi adalah ketergantungan tingkat propagasi fase gelombang (yang disebut kecepatan fase) dari frekuensi atau, yang sama, panjang gelombang (lihat "Sains and Life" No.). Gelombang non-velocosoidal dari segala bentuk sesuai dengan teorema Fourier terkenal dapat disajikan dengan kombinasi komponen sinusoidal sederhana dengan frekuensi yang berbeda (panjang gelombang), amplitudo dan fase awal. Komponen-komponen ini karena dispersi didistribusikan dengan kecepatan fase yang berbeda, yang mengarah pada "kabur" dari bentuk gelombang selama propagasinya. Tetapi Soliton, yang juga dapat diwakili sebagai jumlah dari komponen yang ditentukan, seperti yang sudah kita ketahui, saat memindahkan bentuknya. Mengapa? Ingatlah bahwa Soliton adalah gelombang nonlinear. Dan di sini adalah kunci pengungkapan "kerahasiaan" -nya. Ternyata soliton terjadi ketika efek nonlinearitas yang membuat "punuk" soliton lebih tajam dan berusaha untuk membatalkannya, disamakan oleh dispersi sehingga membuatnya lebih lembut dan berjuang untuk mengaburkannya. Artinya, Soliton muncul "di persimpangan" nonlinier dan dispersi untuk satu sama lain.

Mari kita jelaskan ini pada contoh. Misalkan bungkus terbentuk di permukaan air, yang mulai bergerak. Mari kita lihat apa yang akan terjadi jika Anda tidak memperhitungkan dispersi. Kecepatan gelombang nonlinear tergantung pada amplitudo (dalam gelombang linier tidak ada ketergantungan seperti itu). Bagian atas Horbian akan bergerak lebih cepat, dan pada saat berikutnya bagian depan depan akan lebih keren. Kecepatan depan meningkat, dan seiring waktu akan "memberi tip" ombak. Kami melihat memiringkan ombak seperti itu, menonton ombak di pantai. Sekarang mari kita lihat seperti apa adanya dispersi. Humpback awal dapat diserahkan ke jumlah komponen sinusoidal dengan berbagai panjang gelombang. Komponen gelombang panjang berjalan dengan kecepatan lebih besar daripada gelombang pendek, dan karenanya mengurangi kecuraman tepi depan, sebagian besar menyelaraskannya (lihat "Sains dan Life" No. 8, 1992). Dengan bentuk dan kecepatan punuk tertentu, restorasi lengkap dari bentuk asli dapat terjadi, dan kemudian Soliton terbentuk.

Salah satu sifat luar biasa dari ombak "terpencil" adalah bahwa mereka dalam banyak hal seperti partikel. Jadi, dalam tabrakan, dua soliton tidak melewati satu sama lain, seperti gelombang linier biasa, dan seolah-olah ditolak satu sama lain seperti bola tenis.

Pada air mungkin ada soliton dan jenis yang berbeda disebut oleh grup, karena bentuknya sangat mirip dengan kelompok gelombang, yang pada kenyataannya diamati alih-alih gelombang sinusoidal tanpa akhir dan bergerak dengan kecepatan kelompok. Grup Soliton sangat menyerupai amplitudo gelombang elektromagnetik yang dimodulasi; Amplopnya tidak berubah, itu dijelaskan oleh fungsi yang lebih kompleks - sesi hiperbolik. Kecepatan soliton seperti itu tidak tergantung pada amplitudo, dan ini berbeda dari soliton CDF. Di bawah amplop biasanya tidak lebih dari 14-20 gelombang. Rata-rata adalah yang tertinggi - gelombang dalam kelompok ternyata demikian dalam interval dari ketujuh hingga kesepuluh; Karenanya ekspresi terkenal "Sheint Shaft".

Artikel-artikel dari artikel tidak memungkinkan untuk mempertimbangkan banyak jenis soliton lainnya, seperti soliton dalam tubuh kristal padat - yang disebut dislokasi (mereka menyerupai "lubang" di kisi kristal dan juga mampu bergerak), magnetik Soliton yang terkait dengan mereka di feromagnet (misalnya, dalam besi), impuls saraf seperti soliton dalam organisme hidup dan banyak lainnya. Kami membatasi diri pada pertimbangan soliton optik, yang baru-baru ini menarik perhatian fisikawan kemungkinan penggunaannya dalam jalur komunikasi optik yang sangat menjanjikan.

Optik soliton - khas grup soliton. Pendidikannya dapat dipahami dengan contoh salah satu efek optik nonlinear - yang disebut transparansi yang disebabkan oleh diri sendiri. Efek ini terletak pada kenyataan bahwa medium menyerap cahaya intensitas kecil, yaitu, buram, tiba-tiba menjadi transparan ketika melewatinya pulsa cahaya yang kuat. Untuk memahami mengapa ini terjadi, ingat apa yang menyebabkan penyerapan cahaya pada substansi.

Kuantum bercahaya, berinteraksi dengan atom, memberikan energi dan diterjemahkan ke tingkat energi yang lebih tinggi, yaitu, dalam keadaan bersemangat. Foton menghilang - medium menyerap cahaya. Setelah semua atom sedang bersemangat, penyerapan energi cahaya berhenti - media menjadi transparan. Tetapi kondisi ini tidak bisa bertahan lama: foton terbang di berikut ini adalah atom paksa untuk kembali ke keadaan semula, kuantum emisi dari frekuensi yang sama. Inilah yang terjadi ketika pulsa cahaya pendek dari daya tinggi frekuensi yang sesuai dikirim melalui media tersebut. Bagian depan depan pulsa memindahkan atom ke tingkat atas, sebagian diserap dan menjadi lebih lemah. Impuls maksimum sudah kurang diserap, dan bagian belakang pulsa merangsang transisi terbalik dari level yang bersemangat ke yang utama. Atom memancarkan foton, energinya dikembalikan ke denyut nadi, yang melewati media. Pada saat yang sama, bentuk pulsa ternyata menjadi Grup Soliton yang sesuai.

Baru-baru ini, publikasi perusahaan terkemuka "Bell Laboratories, AS, New Jersey" muncul di salah satu jurnal ilmiah Amerika (Bell Laboratories, AS, AS, Bell Laboratories, AS menggunakan soliton optik. Dengan transmisi normal melalui jalur komunikasi serat optik, sinyal harus dikenakan setiap 80-100 kilometer (amplifier itu sendiri dapat berfungsi sebagai panduan cahaya ketika dipompa oleh cahaya panjang gelombang tertentu). Dan setiap 500-600 kilometer Anda harus menginstal repeater yang mengubah sinyal optik menjadi listrik sambil menyimpan semua parameternya, dan kemudian lagi ke transmisi optik. Tanpa langkah-langkah ini, sinyal pada jarak jauh melebihi 500 kilometer terdistorsi di luar pengakuan. Biaya peralatan ini sangat tinggi: transfer satu terab (10 12 bit) dari San Francisco ke New York berharga $ 200 juta untuk setiap stasiun relay.

Penggunaan soliton optik yang mempertahankan bentuknya selama distribusi memungkinkan Anda untuk sepenuhnya mengirimkan sinyal secara optik pada jarak hingga 5-6 ribu kilometer. Namun, dengan cara menciptakan "garis soliton" ada kesulitan signifikan yang berhasil diatasi hanya pada saat terakhir.

Kemungkinan keberadaan soliton dalam serat optik diprediksi pada tahun 1972 ahli teori fisikawan Akira Khasegawa, karyawan perusahaan Bell. Tetapi pada saat itu masih belum ada panduan cahaya dengan kerugian rendah di area panjang gelombang di mana soliton dapat diamati.

Soliton optik dapat didistribusikan hanya dalam panduan cahaya dengan variasi yang kecil, tetapi akhir dispersi. Namun, serat optik yang mempertahankan nilai dispersi yang diperlukan dalam seluruh lebar spektral pemancar multichannel sama sekali tidak ada. Dan ini membuat soliton "biasa" tidak cocok untuk digunakan dalam jaringan dengan saluran transmisi panjang.

Teknologi soliton yang cocok dibuat selama beberapa tahun di bawah kepemimpinan Linna Mlinnaher, spesialis terkemuka dari departemen teknologi optik, semua perusahaan yang sama "Bell". Teknologi ini didasarkan pada pengembangan serat optik dengan dispersi yang dikendalikan, yang memungkinkan penciptaan soliton, bentuk pulsa yang dapat dipertahankan tanpa batas waktu.

Metode kontrol adalah sebagai berikut. Besarnya dispersi sepanjang serat serat secara berkala bervariasi antara nilai-nilai negatif dan positif. Di bagian pertama panduan cahaya, pulsa mengembang dan bergeser ke satu arah. Di bagian kedua memiliki dispersi tanda yang berlawanan, kompresi pulsa dan pergeseran ke arah yang berlawanan terjadi, sebagai akibat dari mana bentuknya dipulihkan. Dengan gerakan lebih lanjut, denyut nadi berkembang lagi, kemudian masuk ke zona berikut kompensasi untuk tindakan zona sebelumnya, dan sebagainya, proses siklus ekspansi dan kompresi terjadi. Denyut nadi mengalami pulsasi lebarnya dengan periode yang sama dengan jarak antara amplifier optik serat konvensional - dari 80 hingga 100 kilometer. Sebagai hasilnya, sesuai dengan pernyataan molnower, sinyal pada jumlah informasi lebih dari 1 terabite dapat berlalu tanpa menyampaikan setidaknya 5 - 6 ribu kilometer pada tingkat transmisi 10 gigabit per detik tanpa distorsi. Teknologi komunikasi supervalerneral seperti itu pada garis optik sudah dekat dengan tahap implementasi.

Format: DOKTER

Tanggal pembuatan: 31.05.2003

Ukuran: 125.1 KB.

1. Perkenalan

Gelombang di alam

Dari program fisika sekolah, diketahui bahwa jika pada titik mana pun dari media elastis (padat, cair atau gas) untuk memulai osilasi, maka mereka akan ditransmisikan ke tempat lain. Transmisi gambaran ini disebabkan oleh fakta bahwa bagian dekat media saling terkait. Pada saat yang sama, osilasi yang bersemangat di satu tempat didistribusikan di ruang angkasa pada kecepatan tertentu. Gelombang itu biasa untuk memanggil proses mentransmisikan eksitasi media (khususnya, proses osilasi) dari satu titik ke titik lainnya.

Sifat mekanisme propagasi gelombang mungkin berbeda. Dalam kasus paling sederhana, koneksi antara bagian dalam media dapat disebabkan oleh kekuatan elastisitas, yang timbul karena deformasi di lingkungan. Pada saat yang sama, dalam media elastis yang solid, baik gelombang longitudinal dapat disebarkan, di mana perpindahan partikel-partikel menengah dilakukan ke arah propagasi gelombang dan gelombang transversal di mana perpindahan partikel bersifat tegak lurus terhadap penyebaran gelombang. Dalam cairan atau gas, berbeda dengan tubuh yang solid, tidak ada kekuatan resistensi geser, sehingga hanya gelombang longitudinal yang dapat didistribusikan. Contoh yang terkenal dari gelombang longitudinal di alam - gelombang suara, yang timbul karena elastisitas udara.

Di antara gelombang alam lainnya, ombak elektromagnetik menempati tempat khusus, transmisi gambaran dari mana disebabkan oleh osilasi medan listrik dan magnet. Media di mana gelombang elektromagnetik berlaku, sebagai aturan, memiliki pengaruh yang signifikan pada proses distribusi gelombang, tetapi gelombang elektromagnetik, berbeda dengan elastis, dapat didistribusikan bahkan dalam kekosongan. Hubungan antara berbagai bagian dalam ruang selama perambatan gelombang tersebut disebabkan oleh fakta bahwa perubahan medan listrik menyebabkan penampilan medan magnet dan sebaliknya.

Dengan fenomena penyebaran gelombang elektromagnetik, kita sering bertemu dalam kehidupan kita sehari-hari. Fenomena ini termasuk gelombang radio, penggunaan di mana dalam aplikasi teknis terkenal. Dalam hal ini, Anda dapat menyebutkan karya radio dan televisi, yang didasarkan pada penerimaan gelombang radio. Fenomena elektromagnetik, hanya dalam rentang frekuensi lain, juga termasuk cahaya, dengan bantuan yang kita lihat item di sekitar kita.

Jenis gelombang yang sangat penting dan menarik adalah gelombang di permukaan air. Ini adalah salah satu jenis gelombang umum, yang masing-masing diamati pada masa kanak-kanak dan yang biasanya ditunjukkan sebagai bagian dari kursus sekolah fisika. Namun, menurut Richard Feynman, "contoh yang lebih tidak berhasil untuk demonstrasi ombak sulit untuk dipikirkan, karena ombak ini sama sekali tidak seperti suara, atau ke dalam cahaya; semua kesulitan yang bisa dikumpulkan. "

Jika kita mempertimbangkan kolam yang cukup dalam, diisi dengan air, dan di permukaannya untuk menciptakan beberapa kemarahan, ombak akan mulai menyebar ke permukaan air. Terjadinya mereka dijelaskan oleh fakta bahwa partikel cairan yang berada di dekat depresi, ketika menciptakan gangguan, akan berusaha untuk mengisi depresi, berada di bawah aksi gravitasi. Perkembangan fenomena ini dari waktu ke waktu akan mengarah pada penyebaran gelombang pada air. Partikel cairan dalam gelombang seperti itu bergerak tidak naik-turun, tetapi kira-kira di sekitar lingkaran, sehingga gelombang air tidak longitudinal atau melintang. Mereka, seolah-olah campuran dari mereka dan yang lainnya. Dengan kedalaman radius lingkaran di mana partikel gerakan cair berkurang sampai mereka sama dengan nol.

Jika Anda menganalisis kecepatan propagasi gelombang pada air, ternyata itu tergantung pada panjangnya. Kecepatan gelombang panjang sebanding dengan alun-alun akar dari akselerasi jatuh bebas, dikalikan dengan panjang gelombang. Alasan terjadinya gelombang semacam itu adalah kekuatan gravitasi.

Untuk gelombang pendek, gaya regenerasi disebabkan oleh kekuatan tegangan permukaan, dan oleh karena itu kecepatan gelombang tersebut sebanding dengan kuadrat akar swasta, pada jumlahnya ada koefisien tegangan permukaan, dan dalam penyebutnya - Produk dari panjang gelombang pada kepadatan air. Untuk gelombang gelombang gelombang, kecepatan distribusi mereka tergantung pada parameter yang tercantum di atas. Jelas dari apa yang jelas bahwa ombak di atas air dan pada kenyataannya adalah fenomena yang agak rumit.

1.2. Membuka gelombang terpencil

Gelombang di atas air telah lama menarik perhatian para peneliti. Ini disebabkan oleh fakta bahwa mereka adalah fenomena yang terkenal di alam dan, apalagi, menemani pergerakan kapal di atas air.

Ilmuwan Skotlandia John Scott Russell pada tahun 1834 menyaksikan gelombang penasaran di atas air. Dia terlibat dalam belajar bergerak di sepanjang saluran tongkang, yang ditarik oleh beberapa kuda. Tiba-tiba tongkang berhenti, tetapi massa air, yang menangkal tongkang untuk bergerak, tidak berhenti, dan berkumpul di hidung kapal, dan kemudian meluncurkan darinya. Selanjutnya, massa air ini digulirkan melalui saluran dengan kecepatan tinggi dalam bentuk elevasi terpencil, tanpa mengubah bentuknya dan tanpa mengurangi kecepatan.

Sepanjang hidupnya, Russell berulang kali kembali ke pengamatan gelombang ini, karena percaya bahwa gelombang terpencil dibuka oleh mereka memainkan peran penting dalam banyak fenomena di alam. Dia memasang beberapa properti dari gelombang ini. Pertama, saya perhatikan bahwa itu bergerak dengan kecepatan konstan dan tanpa mengubah formulir. Kedua, menemukan ketergantungan kecepatan DARI gelombang ini dari kedalaman kanal h. dan tinggi gelombang. tapi:

dimana g. - akselerasi jatuh bebas, dan sEBUAH. < h. . Ketiga, Russell menemukan bahwa mungkin untuk membusuk satu gelombang besar untuk beberapa gelombang. Keempat, ia mencatat bahwa hanya gelombang ketinggian yang diamati dalam eksperimen. Begitu dia juga memperhatikan bahwa ombak soliter terbuka untuk mereka melewati satu sama lain tanpa perubahan, seperti ombak kecil yang terbentuk di permukaan air. Namun, pada properti terakhir yang sangat penting, ia tidak memberikan perhatian yang signifikan.

Pekerjaan Russell, diterbitkan pada tahun 1844 sebagai "laporan gelombang," menyebabkan reaksi hati-hati di lingkungan para ilmuwan. Di benua itu, dia tidak diperhatikan sama sekali, dan di sebagian besar Inggris mereka menarik perhatiannya. Eiri dan J.G. Persediaan. Encry mengkritik hasil eksperimen yang menyaksikan Russell. Dia mencatat bahwa dari teori gelombang panjang dalam air halus, kesimpulan Russell tidak diperoleh, dan berpendapat bahwa ombak panjang tidak dapat mempertahankan bentuk yang tidak berubah. Dan akhirnya menanyai kebenaran pengamatan Russell. Salah satu pendiri hidrodinamika modern, George Gabriel Stokecha, juga tidak setuju dengan hasil pengamatan yang diperoleh Russell, dan bereaksi kritis terhadap fakta keberadaan gelombang terpencil.

Setelah sikap negatif terhadap pembukaan gelombang terpencil untuk waktu yang lama tidak diingat. Kejelasan tertentu dalam pengamatan Russell dibuat oleh J. Boussienesk (1872) dan J.U. Railey (1876), yang, secara independen satu sama lain, menemukan formula analitik untuk ketinggian permukaan bebas pada air dalam bentuk kuadrat tersumbat hiperbolik dan menghitung kecepatan penyebaran gelombang soliter pada air.

Kemudian, eksperimen Russell diulangi dengan peneliti lain dan menerima konfirmasi.

1.3. Gelombang linear dan non-linear

Sebagai model matematika, ketika menggambarkan propagasi gelombang di berbagai media, persamaan dalam turunan swasta sering digunakan. Ini adalah persamaan yang mengandung sebagai turunan yang tidak diketahui tentang karakteristik fenomena yang sedang dipertimbangkan. Selain itu, karena karakteristik (misalnya, kepadatan udara ketika suara sedang menyebar) tergantung pada jarak ke sumber dan tepat waktu, persamaan menggunakan tidak satu, dan dua (dan kadang-kadang lebih) derivatif dalam persamaan. Persamaan gelombang sederhana memiliki pandangan

u. tT. = c. 2 u. xx. (1.1)

Gelombang karakteristik. dandalam persamaan ini tergantung pada koordinat spasial h.dan waktu t. , dan indeks dalam variabel danmenunjukkan derivatif kedua dari danpada waktunya ( u. tT. ) dan turunan kedua dari danoleh variabel x. (u. xx. ). Persamaan (1) menggambarkan gelombang satu dimensi datar, analog yang dapat berfungsi sebagai gelombang dalam string. Dalam persamaan ini sebagai dananda dapat mengambil kerapatan udara, jika itu datang, misalnya, tentang gelombang suara di udara. Jika Anda mempertimbangkan gelombang elektromagnetik, lalu di bawah dananda harus memahami ketegangan medan listrik atau magnet.

Solusi persamaan gelombang (1), yang pertama kali diperoleh oleh ZH. D "Alamber pada 1748, memiliki bentuk

u (x, t) \u003d f (x-ct) + g (x + ct) (1.2)

Berikut adalah fungsi f. dan g.mencari tahu dari kondisi awal untuk dan.Persamaan (1.1) berisi turunan kedua dari danoleh t. , oleh karena itu, harus diminta untuk dua kondisi awal: Nilai danuntuk t. \u003d 0 dan derivatif dan,untuk t. = 0.

Persamaan Wave (1.1) memiliki properti yang sangat penting, esensi yang tertutup sebagai berikut. Ternyata jika Anda mengambil dua solusi apa pun untuk persamaan ini, maka jumlahnya akan kembali menjadi solusi untuk persamaan yang sama. Properti ini mencerminkan prinsip superposisi solusi persamaan (1.1) dan sesuai dengan linearitas fenomena yang dijelaskannya. Untuk model nonlinear, properti ini tidak dilakukan, yang mengarah pada perbedaan yang signifikan dalam aliran proses dalam model masing-masing. Secara khusus, dari ekspresi untuk kecepatan gelombang soliter, yang diamati oleh Russell, mengikuti bahwa nilainya tergantung pada amplitudo, dan untuk gelombang yang dijelaskan oleh persamaan (1.1), tidak ada ketergantungan seperti itu.

Substitusi langsung ke persamaan (1.1) Anda dapat memastikan kecanduan itu

u (x, t) \u003d a cos (kx-  t) (1.3)

di mana tapi,k. dan  - konstan, dengan  =± k. Ini adalah persamaan solusi (1). Dalam keputusan ini tapi -amplitudo, k. - Nomor gelombang, dan  - Frekuensi. Solusi yang berkurang adalah gelombang monokromatik yang membawa laju fasa dalam medium

c. p. = (1.4)

Dalam praktiknya, gelombang monokromatik sulit dibuat, dan biasanya berurusan dengan zulb (paket) gelombang di mana setiap gelombang berlaku dengan kecepatannya, dan tingkat propagasi paket ditandai dengan kecepatan kelompok

C. g. = , (1.5)

ditentukan melalui derivatif frekuensi  oleh nomor gelombang k. .

Untuk menentukan model (linear atau non-linear) yang memiliki peneliti, itu tidak selalu mudah, tetapi ketika model matematika dirumuskan, maka solusi untuk pertanyaan ini disederhanakan dan implementasi prinsip solusi superposisi dapat diperiksa.

Kembali ke ombak di atas air, kami perhatikan bahwa mereka dapat dianalisis menggunakan persamaan hidrodinamik yang terkenal, yang diketahui bahwa mereka nonlinier. Oleh karena itu, ombak pada air dalam kasus umum adalah nonlinier. Hanya dalam kasus maksimum amplitudo kecil, ombak ini dapat dianggap linear.

Perhatikan bahwa perambatan suara tidak dijelaskan oleh persamaan linier. Russell lain, ketika membenarkan pengamatannya pada gelombang terpencil, mencatat bahwa suara dari tembakan senjata menyebar di udara lebih cepat daripada perintah untuk menghasilkan tembakan ini. Ini dijelaskan oleh fakta bahwa penyebaran suara yang kuat dijelaskan dengan tidak lagi persamaan gelombang, tetapi dengan persamaan dinamika gas.

1. Persamaan Korevega - De Fris

Kejelasan terakhir dalam masalah yang muncul setelah percobaan Russell pada gelombang terpencil datang setelah karya ilmuwan Denmark D.D. Kortewega dan G. De Fens, yang mencoba memahami esensi pengamatan Russell. Generalisasi metode Rayleigh, para ilmuwan ini pada tahun 1895 membawa persamaan untuk menggambarkan gelombang panjang di atas air. COREVAG dan DE FRIS, menggunakan persamaan hidrodinamik, dianggap penyimpangan mereka,t. ) pada posisi ekuilibrium permukaan air dengan tidak adanya vortisitas dan di bawah keponstah kepadatan air. Perkiraan awal membuat mereka alami. Mereka juga menyarankan bahwa ketika gelombang diperbanyak, dua kondisi dilakukan untuk parameter tanpa dimensi.

= <<1,  = (2.1)

Sini tapi -amplitudo gelombang h. - kedalaman kolam di mana ombak dipertimbangkan l. - Panjang gelombang (Gbr. 1).

Esensi perkiraan adalah bahwa amplitudo ombak yang dipertimbangkan jauh lebih sedikit daripada

Ara. 1. Gelombang terpencil yang menyebar melalui saluran dan parameternya

kedalaman kolam, tetapi pada saat yang sama gelombangnya jauh lebih dari kedalaman kolam. Dengan demikian, koreg dan de fens dianggap gelombang panjang.

Persamaan yang diperoleh mereka miliki

u. t. + 6uu. x. + U. xxx. = 0. (2.2)

Sini u. (x, t) -penyimpangan dari posisi ekuilibrium permukaan air (bentuk gelombang) - tergantung pada koordinat x. dan waktu t.. Indeks pada karakteristik u. berarti derivatif yang tepat t. dan masuk x. . Persamaan ini, sebagai dan (1), adalah persamaan derivatif parsial. Mempelajari karakteristiknya (dalam hal ini u. ) tergantung pada koordinat spasial x. dan waktu t. .

Memecahkan persamaan dari jenis ini - artinya menemukan ketergantungan u. dari x.dan t,setelah substitusi yang kita akan datang ke identitas dalam persamaan.

Persamaan (2.2) memiliki larutan gelombang yang diketahui dari akhir abad terakhir. Itu diekspresikan melalui fungsi elips khusus yang dipelajari oleh Karl Jacobi, yang sekarang membawa namanya.

Dalam beberapa kondisi, fungsi elips dari jacobi masuk ke sesi hiperbolik dan solusinya memiliki bentuk

u (x, t) \u003d 2k 2 bab -2 (K (x-4k 2 t) +.  0 } , (2.3)

dimana  0 - Konstanta sewenang-wenang.

Solusinya (8) Persamaan (7) adalah batas kasus periode gelombang besar yang tak terbatas. Ini adalah kasus pembatas yang merupakan gelombang terpencil yang sesuai dengan pengamatan Russell pada tahun 1834.

Solusinya (8) persamaan Korteweg-de FRIS adalah gelombang berlari. Ini berarti bahwa itu tergantung pada koordinat x. dan waktu t. melalui variabel  = x. - c. 0 t. . Variabel ini mencirikan posisi titik koordinat yang bergerak pada kecepatan gelombang C0, yaitu, itu menunjukkan posisi pengamat, yang terus-menerus pada puncak gelombang. Dengan demikian, persamaan Korteweg-de FRIS, berbeda dengan larutan D "Alamber (1.2) dari larutan gelombang (1.1), memiliki gelombang yang hanya menyebar dalam satu arah. Namun, itu memperhitungkan manifestasi efek yang lebih kompleks. karena ketentuan tambahan. uu. x. dan u. xxx. .

Bahkan, persamaan ini juga dekat, karena dengan outputnya, parameter kecil (2.1) digunakan  dan . Jika Anda mengabaikan pengaruh parameter ini, meminta mereka ke nol, kami akan mendapatkan salah satu bagian dari keputusan D "Alamber.

Tentu saja, ketika persamaannya diturunkan untuk gelombang panjang pada air, efek parameter E dan 6 dapat diperhitungkan dengan lebih akurat, tetapi kemudian persamaan diperoleh, mengandung lebih dari sejauhan dari persamaan (2.2), dan dengan turunan orde yang lebih tinggi. Dari sini mengikuti bahwa solusi persamaan Korteweg de FRIS untuk menggambarkan ombak hanya berlaku pada jarak tertentu dari tempat pembentukan gelombang dan pada periode waktu tertentu. Pada jarak yang sangat jauh, gelombang nonlinier tidak akan lagi dijelaskan oleh Korteweg de Fris, dan untuk menggambarkan prosesnya, model yang lebih akurat akan diperlukan. Persamaan Korteweg-de FRIS dalam pengertian ini harus dianggap sebagai perkiraan tertentu (model matematika), sesuai dengan tingkat akurasi tertentu dengan proses nyata perambatan gelombang pada air.

Menggunakan pendekatan khusus, seseorang dapat memastikan bahwa prinsip superposisi solusi untuk persamaan Korteweg de FRIS tidak dilakukan, dan oleh karena itu persamaan ini nonlinier dan menggambarkan gelombang nonlinier.

2.1. Soliton Korteweg - De Fris

Saat ini, tampaknya aneh bahwa pembukaan Russell dan konfirmasi selanjutnya dalam pekerjaan Korteweg dan De Fries tidak menerima resonansi nyata dalam sains. Karya-karya ini dilupakan selama hampir 70 tahun. Salah satu penulis persamaan, D.D. Corevan, menjalani umur panjang dan seorang ilmuwan terkenal. Tetapi ketika pada tahun 1945, komunitas ilmiah merayakan ulang tahun ke-100-nya, kemudian pekerjaan publikasi terbaik, pekerjaan yang dilakukan olehnya dengan de fries bahkan tidak berarti. Kompiler daftar menganggap karya di wilayahnya tidak layak diperhatikan. Hanya setelah seperempat abad berikutnya, adalah pekerjaan yang mulai dianggap sebagai pencapaian ilmiah utama Korteweg.

Namun, jika Anda memikirkannya, maka kekurangan perhatian terhadap gelombang Russell yang terpencil menjadi jelas. Faktanya adalah bahwa berdasarkan spesifisitasnya, penemuan ini untuk waktu yang lama dianggap cukup pribadi. Bahkan, pada saat itu, dunia fisik tampak linier dan prinsip superposisi dianggap sebagai salah satu prinsip dasar dari sebagian besar teori fisik. Oleh karena itu, tidak ada peneliti yang memberikan penemuan gelombang eksotis pada air yang signifikan.

Kembali ke penemuan gelombang terpencil di atas air terjadi pada tingkat tertentu dan pada awalnya, tampaknya tidak ada hubungannya dengannya. Pelakunya acara ini adalah fisikawan terbesar dari abad kita Enrico Fermi. Pada tahun 1952, Fermi meminta dua fisikawan muda S. ulama dan D. pasta untuk memecahkan salah satu tugas nonlinear di komputer. Mereka seharusnya menghitung fluktuasi pada 64 bobot yang terhubung dengan masing-masing mata air lainnya, yang, dengan penyimpangan dari posisi kesetimbangan pada  l. memperoleh kekuatan yang kembali sama k.  l. + A.( l. ) 2. Sini k. dan sEBUAH. - koefisien permanen. Dalam hal ini, aditif nonlinier diasumsikan kecil dibandingkan dengan kekuatan utama k.  l. . Dengan menciptakan osilasi awal, para peneliti ingin melihat bagaimana mode dasar ini akan didistribusikan melalui semua mod lainnya. Setelah perhitungan tugas ini, mereka tidak menerima hasil yang diharapkan, tetapi mereka menemukan bahwa pemompaan energi dalam dua atau tiga mod pada tahap awal perhitungan benar-benar terjadi, tetapi kemudian kembali ke keadaan awal diamati. Paradoks yang terkait dengan pengembalian osilasi awal diketahui oleh beberapa ahli matematika dan fisikawan. Secara khusus, fisikawan Amerika M. Kruskal dan N. Zabasca belajar tentang tugas ini, yang memutuskan untuk melanjutkan eksperimen komputasi dengan model yang diusulkan oleh Fermi.

Setelah perhitungan dan mencari analogi, para ilmuwan ini menemukan bahwa persamaan yang digunakan oleh Fermi, pasta dan ulam, dengan penurunan jarak antara bobot dan dengan pertumbuhan jumlah mereka yang tidak terbatas pergi ke persamaan Korteweg de FRIS. Itu pada dasarnya, tugas yang diusulkan oleh Fermi telah berkurang menjadi larutan numerik dari persamaan Korteweg de Fris yang diusulkan pada tahun 1895 untuk menggambarkan gelombang soliter Russell. Pada tahun-tahun yang sama, ditunjukkan bahwa untuk menggambarkan gelombang suara ion dalam plasma, Korteweg de Fris juga digunakan. Kemudian menjadi jelas bahwa persamaan ini ditemukan di banyak bidang fisika dan, oleh karena itu, gelombang soliter, yang dijelaskan oleh persamaan ini, adalah fenomena yang tersebar luas.

Eksperimen komputasi berkelanjutan pada pemodelan penyebaran ombak tersebut, bengkok dan biaya tambahan dianggap sebagai tabrakan mereka. Mari kita memikirkan diskusi tentang fakta yang luar biasa ini. Misalkan ada dua gelombang soliter yang dijelaskan oleh persamaan Korteweg-de FRIS, yang berbeda dalam amplitudo dan bergerak satu sama lain dalam satu arah (Gbr. 2). Dari formula untuk ombak terpencil (8) Ini mengikuti bahwa kecepatan pergerakan gelombang tersebut lebih tinggi dari amplitudo mereka, dan lebar puncak menurun dengan meningkatnya amplitudo. Dengan demikian, ombak yang terpencil tinggi bergerak lebih cepat. Gelombang dengan amplitudo yang lebih besar akan menyusul gelombang yang bergerak di depan dengan amplitudo yang lebih kecil. Selanjutnya, untuk beberapa waktu, dua gelombang akan bergerak bersama secara keseluruhan, berinteraksi satu sama lain, dan kemudian mereka terputus. Properti indah dari ombak ini adalah setelah bentuk interaksi dan

Ara. 2. Dua soliton yang dijelaskan oleh persamaan Korteweg de FRIS,

sebelum interaksi (di bagian atas) dan setelah (di bawah)

kecepatan gelombang ini dipulihkan. Kedua gelombang setelah tabrakan hanya bergeser untuk jarak tertentu dibandingkan dengan bagaimana jika mereka bergerak tanpa interaksi.

Proses di mana, setelah interaksi gelombang, bentuk dan kecepatan tetap, menyerupai tabrakan elastis dari dua partikel. Oleh karena itu, Kruskal dan Zabascus seperti gelombang terpencil disebut soliton (dari bahasa Inggris. Soliter - terpencil). Ini adalah nama khusus gelombang soliter, elektron konsonan, proton dan banyak partikel elementer lainnya, saat ini diterima secara umum.

Gelombang sendirian yang terbuka untuk Russell, dan sebenarnya berperilaku seperti partikel. Gelombang besar tidak melewati interaksi kecil. Ketika gelombang terpencil bersentuhan, gelombang besar melambat dan berkurang, dan gelombang yang kecil, sebaliknya, dipercepat dan tumbuh. Dan ketika gelombang kecil tumbuh hingga ukuran besar, dan besar berkurang hingga ukuran kecil, soliton dipisahkan dan semakin besar maju. Dengan demikian, soliton berperilaku seperti bola tenis elastis.

Kami memberikan definisi soliton. Soliton.gelombang soliter non-linear disebut, yang mempertahankan bentuk dan kecepatannya dengan gerakannya sendiri dan bertabrakan dengan sendirinya dengan gelombang terpencil, yaitu, adalah pendidikan berkelanjutan. Satu-satunya hasil dari interaksi soliton dapat berupa beberapa fase bergeser.

Penemuan yang terkait dengan persamaan Korteweg-de Frisi tidak berakhir dengan penemuan Soliton. Langkah penting berikutnya yang terkait dengan persamaan yang luar biasa ini adalah untuk membuat metode baru untuk menyelesaikan persamaan nonlinier dalam turunan swasta. Diketahui bahwa menemukan solusi persamaan nonlinear sangat sulit. Sampai tahun 60-an abad kita diyakini bahwa persamaan tersebut hanya dapat memiliki beberapa solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal yang ditentukan secara khusus. Namun, persamaan Korteweg de FRIS dan dalam hal ini ternyata berada dalam posisi yang luar biasa.

Pada tahun 1967, fisikawan Amerika K. Gardner, J.M. Hijau, M. Kruskal dan R. Miura menunjukkan bahwa solusi persamaan Korteweg de FRIS pada prinsipnya dapat diperoleh untuk semua kondisi awal, yang dengan cara tertentu berlaku untuk nol dalam keinginan koordinat hingga tak terbatas. Mereka menggunakan konversi persamaan Korteweg - de FRIS dengan sistem dua persamaan yang disebut pasangan lax (bernama American Mathematics Peter Lax, yang memberikan kontribusi besar untuk pengembangan teori soliton), dan menemukan metode baru untuk memecahkan a Jumlah persamaan nonlinier yang sangat penting dalam turunan swasta. Metode ini disebut metode masalah hamburan terbalik, karena secara signifikan menggunakan solusi tugas mekanika kuantum untuk memulihkan potensi sesuai dengan data hamburan.

2.2. Grup Soliton

Di atas, kami mengatakan bahwa dalam praktiknya, ombak, sebagai suatu peraturan, didistribusikan oleh kelompok. Kelompok-kelompok gelombang seperti itu di atas air, orang-orang mengamati dari waktu dahulu. Pada pertanyaan mengapa ombak di atas air sangat khas dari "kawanan domba" ombak, saya berhasil menjawab Benjan dan J. Feyer hanya pada tahun 1967. Perhitungan teoretis, mereka menunjukkan bahwa gelombang periodik sederhana pada air yang dalam tidak stabil (sekarang fenomena ini disebut peradangan Benemyman-Faeier), dan oleh karena itu gelombang air dibagi menjadi kelompok-kelompok karena ketidakstabilan. Persamaan dimana distribusi kelompok gelombang pada air dijelaskan, v.e. Zakharov pada tahun 1968. Pada saat itu, persamaan ini sudah dikenal dalam fisika dan merupakan nama persamaan Schrödinger nonlinear. Pada tahun 1971 V.E. Zakharov dan A.B. Shabby menunjukkan bahwa persamaan nonlinier ini memiliki solusi juga dalam bentuk soliton, apalagi, persamaan Schrödinger nonlinear, serta persamaan Korteweg de FRIS, dapat diintegrasikan oleh tugas hamburan terbalik. Soliton persamaan nonlinear Schrödinger berbeda dari Korteweg de FRIS yang dibahas di atas fakta bahwa mereka sesuai dengan bentuk amplop kelompok gelombang. Secara eksternal, mereka menyerupai gelombang radio yang dimodulasi. Soliton ini disebut grup solitones, dan kadang-kadang dengan soliton bergulir. Nama ini mencerminkan keterkasitan dalam interaksi amplop paket gelombang (analog garis putus-putus yang ditunjukkan pada Gambar. 3), meskipun ombak amplop bergerak pada kecepatan selain kelompok. Dalam hal ini, bentuk amplop dijelaskan

Ara. 3. Contoh Grup Soliton (Dowry)

kecanduan

a (x, t) \u003d a 0 bab -1 (
)

dimana tapitapi - amplitudo, A. l. - ukuran setengah soliton. Biasanya di bawah amplop soliton adalah dari 14 hingga 20 gelombang, dan ombak rata-rata adalah yang terbesar. Fakta yang terkenal terhubung dengan ini bahwa gelombang tertinggi dalam kelompok di air adalah antara ketujuh dan kesepuluh (poros kesembilan). Jika gelombang yang lebih besar dibentuk pada kelompok gelombang, itu akan hancur dengan beberapa kelompok.

Persamaan Schrödinger nonlinear, serta persamaan Korteweg-de FRIS, juga tersebar luas ketika menggambarkan ombak di berbagai bidang fisika. Persamaan ini diusulkan pada tahun 1926 oleh seorang fisikawan Austria yang luar biasa E. Schrödinger untuk menganalisis sifat fundamental sistem kuantum dan awalnya digunakan dalam menggambarkan interaksi partikel intra-industri. Persamaan Schrödinger umum atau nonlinier menggambarkan serangkaian fenomena dalam fisika proses gelombang. Misalnya, digunakan untuk menggambarkan efek fokus diri ketika terkena sinar laser yang kuat pada media dielektrik non-linear dan untuk menggambarkan perambatan gelombang plasma nonlinier.

3. Pernyataan tugas

3.1. Deskripsi model. Saat ini diamati secara signifikan meningkatkan minat dalam studi proses gelombang nonlinier di berbagai bidang fisika (misalnya, dalam optik, fisika plasma, radiofisika, hidrodinamika, dll.) Untuk mempelajari ombak amplitudo kecil, tetapi terbatas di media dispersi sebagai persamaan model, persamaan Korteweg-de Frize (CDF) sering digunakan:

u.t. + II.h. +  danxxx. = 0 (3.1)

Persamaan KDF digunakan untuk menggambarkan gelombang magnetosonik yang diperbanyak secara ketat di medan magnet atau pada sudut yang dekat dengan .

Asumsi utama yang dibuat dalam output persamaan: 1) amplitudo kecil, tetapi akhir, 2) panjang gelombangnya besar dibandingkan dengan panjang dispersi.

Mengimbangi efek nonlinier, dispersi memungkinkan untuk terbentuk dalam media dispersi dengan gelombang stasioner dari amplitudo akhir - soliter dan periodik. Gelombang sendirian untuk persamaan KDF setelah bekerja mulai disebut soliton. Gelombang periodik memakai nama ombak dadih. Rumus yang sesuai untuk deskripsi mereka diberikan.

3.2. Perumusan tugas diferensial. Dalam pekerjaan, solusi numerik dari masalah Cauchy untuk persamaan Korteweg-de Frize dengan kondisi berkala di ruang dalam persegi panjang Q. T. ={(t. , x. ):0< t. < T. , X. [0, l. ].

u.t. + II.h. +  danxxx. = 0 (3.2)

u (x, t) | x \u003d 0. \u003d U (x, t) | x \u003d L. (3.3)

dengan kondisi awal

u (x, t) | T \u003d 0 \u003d u 0 (x) (3.4)

4. Properti Persamaan Korteweg - De Frize

4.1. Tinjauan singkat tentang hasil oleh persamaan KDF. Cauchy untuk persamaan CDF untuk berbagai asumsi relatif u. 0 (x)dipertimbangkan dalam banyak karya. Tugas keberadaan dan keunikan solusi dengan kondisi frekuensi karena kondisi batas diselesaikan dalam operasi menggunakan metode perbedaan yang terbatas. Kemudian, dengan asumsi yang kurang kuat, keberadaan dan keunikan terbukti dalam artikel di ruang l  (0, T, HS (R 1)), di mana s\u003e 3/2, dan dalam kasus masalah berkala - dalam ruang l  (0, t, h  (c)) di mana C adalah lingkaran panjang, sama dengan periode, dalam bahasa Rusia hasil ini disajikan dalam buku.

Kasusnya adalah ketika kelancaran fungsi awal tidak seharusnya u. 0  L. 2 (R. 1 ) , ditinjau dalam pekerjaan. Di sana diperkenalkan konsep solusi umum masalah (3.2), (3.4), keberadaan solusi umum ditetapkan dan(t. x)  L.  (0, T. , L. 2 (R. 1 )) Dalam kasus fungsi awal sewenang-wenang Anda 0  L. 2 (R. 1 ) ; di mana dan(t. x) L. 2 (0, t; h -1 (- r. , r. )) untuk siapa saja r\u003e 0., dan jika untuk beberapa  > 0 (x.  u. 0 2 (x. ))  L. 1 (0,+  ) T.

(4.1)

Menggunakan daya tarik bagian linear dari persamaan menggunakan solusi fundamental G. (T, x) Operator linear yang relevan
Kelas kebenaran masalah (3.2), (1.4) diperkenalkan dan teorema keunikan dan ketergantungan berkelanjutan dari larutan tugas ini dari data awal ditetapkan. Keteraturan solusi umum juga diselidiki. Salah satu hasil utama adalah kondisi yang cukup untuk keberadaan berkelanjutan di helder t. > 0 turunan
dalam hal keberadaan momen untuk fungsi awal, untuk apa pun k. dan l. .

Masalah Cauchy untuk persamaan KDF juga dipelajari dengan metode tugas hamburan terbalik yang diusulkan dalam pekerjaan. Dengan metode ini, hasilnya diperoleh pada keberadaan dan kelancaran solusi dengan fungsi awal yang cukup cepat, dan pada yang ditetapkan, khususnya, hasil solvabilitas masalah (3.4), (3.4) di ruang angkasa C.  (O, t; s (r 1 )) .

Tinjauan paling komprehensif tentang hasil modern pada persamaan KDF dapat ditemukan di.

4.2. Undang-undang konservasi untuk persamaan KDF.Seperti diketahui, untuk persamaan KDF ada jumlah undang-undang yang tak terbatas yang dipertahankan. Makalah ini memberikan bukti ketat dari fakta ini.Dalam pekerjaan, berbagai undang-undang konservasi digunakan untukteorema integral dari keberadaan solusi masalah (3.2), (3.4) dari spasi yang relevan.

Kami akan menunjukkan penarikan tiga undang-undang konservasi pertama untukcauchy Cauchy. R. 1 dan tugas periodik.

Untuk mendapatkan hukum konservasi pertama, ini sudah cukupmenjalankan persamaan (3.2) pada variabel spasial. Semichim:

karenanya hukum konservasi pertama:

Di sini dalam kualitassEBUAH. dan dgn B. Lakukan +  dan -  untuk masalah Cauchy dan batas-batas periode utama untuk tugas periodik. karena ituistilah kedua dan ketiga merujuk pada 0.

(4.2)

Untuk membawa hukum konservasi kedua untuk melipatgandakan kesetaraan(3.2) pada 2 u. (T, x) dan mengintegrasikan kembali spasial. Kemudian, menggunakan formula integrasi di bagian lantaichim:

tetapi karena kondisi "tepi", semua istilah kecuali yang pertama lagimengurangi

Dengan demikian, undang-undang pelestarian terintegrasi kedua memiliki bentuk:

(4.3)

Untuk menghadirkan hukum konservasi ketiga, Anda perlu melipatgandakan persamaan kami (3.2) pada (dan 2 + 2  dan xx. ), jadi, kami dapatkan:

Setelah menerapkan beberapa kali integrasi di bagian, integral ketiga dan keempat berkurang. Arti kedua dan ketigasaya menghilang karena kondisi batas. Jadi, dari yang pertamaintegral kami dapatkan:

apa yang setara

Dan ini adalah hukum konservasi ketiga untuk persamaan (3.2).Di bawah makna fisik dari dua hukum terintegrasi pertama denganpenyimpanan dalam beberapa model dapat memahami hukum pelestariandenyut nadi dan energi, untuk hukum konservasi ketiga dan selanjutnya, pengertian fisik sudah lebih sulit untuk mencirikannya, tetapi dari sudut pandang matematika, undang-undang ini memberikan informasi tambahan tentang keputusan yang digunakan untuk mengusir teorema Dari keberadaan dan keunikan keputusan, studi sifat-sifatnya dan penarikan estimasi Priori.

5. Skema Perbedaan untuk Memecahkan Persamaan KDF

3.1. Menunjuk dan menetapkan tugas perbedaan.Di daerah ={( x. , t. ):0  x.  l. ,0  t.  T. } dengan cara yang biasa diperkenalkangRID seragam di mana

Kami memperkenalkan ruang linear h. Fungsi grid didefinisikan pada grid
dengan nilai-nilai dalam node gridy. sAYA. = y. h. ( x. sAYA. ). Depan diasumsikan bahwa kondisi frekuensi terpenuhi.y. 0 = y. N. . Selain yang secara resmi percayay. sAYA. + N. = y. sAYA. untuk sAYA.  1 .

Kami memperkenalkan produk skalar di luar angkasa  h.

(5.1)

Kami menyediakan Norma Linear Space P / G:

Sejak di ruang angkasa h. Terdiri dari fungsi periodik, laluproduk skalar ini setara dengan produk skalar.nEI:

Kami akan membangun skema selisih untuk persamaan (3.2) pada grid dengan kondisi batas berkala. Kami membutuhkan penunjukan perbedaan pendekatan. Kami memperkenalkan mereka.

Kami menggunakan penunjukan standar untuk menyelesaikan persamaan pada yang berikutnya (n.-M) lapisan sementara, yaitu

Kami memperkenalkan notasi untuk perbedaan perkiraan derivatif.Untuk pertama kalinya derivatif:

Mirip dengan derivatif pertama di ruang angkasa:

Sekarang kami memperkenalkan notasi untuk derivatif kedua:

Derivatif spasial ketiga akan diperkirakan sebagai berikut:

Kami juga memerlukan perkiraan dari 2 Kami Diciptakansurat Q. dan kami memperkenalkan sebagai berikut:

(5.2)

Untuk merekam persamaan di lantai seluruh lapisan yang akan kita gunakanperkiraan yang seimbang, I.E.

dengan pengecualian perkiraanw. 2 Pada lapisan semi-seluruh. Sinisalah satu perkiraan yang mungkinw. 2 pada lapisan semifole:

Komentar 2. Perlu dicatat untuk itu 1 kesetaraan dilakukan:

Definisi 1. Mengikuti skema perbedaan untuk persamaan KDFkami akan memanggil konservatif jika ada gridanalog dari hukum konservasi integral pertama, secara adil

Definisi 2. Mengikuti skema perbedaan untuk persamaan KDF akan disebutL.2 -Conservatory jika kisi terjadi untuk ituanalog dari hukum konservasi integral kedua, berlakupergi untuk tugas diferensial.

5.2. Skema Perbedaan Eksplisit (Ulasan).Saat membangun waktuskema Wedllow akan difokuskan pada perbedaan sederhanaskema dari pekerjaan untuk persamaan CDF linier, yangpOE memelihara sifat-sifat persamaan KDF itu sendiri dalam arti dua yang pertamahukum konservasi.

(5.3)

Kami sedang menjelajahi skema (5.4) pada sifat-sifat konservatisme. Kamuhukum pelestarian penuh jelas. Cukup sederhanalipat gandakan persamaan ini adalah skalar ke 1. Kemudian tantangan kedua dan ketigaskema (5.4) akan memberi 0, dan dari yang pertama akan tetap:

(5.4)

Ini adalah analog grid dari hukum konservasi pertama.

Untuk membawa hukum konservasi kedua untuk mengalikan skaries(5.3) pada 2  Y. Kami datang ke energiidentitas

(5.5)

Kehadiran ketidakseimbangan negatif berbicara tidak hanya tentang tidak sepenuhnyaundang-undang konservasi yang relevan, tetapi juga mempertanyakan masalah stabilitas skema dalam norma terlemahL. 2 (). ) - Dalam tulisan ini, ditunjukkan bahwa skema keluarga (3.18) adalahbenar-benar tidak stabil normalL. 2 ().

DI saat ini Skema paling populer untuk persamaanCDF dianggap skema tiga lapis karena kesederhanaan, akurasi danfasilitas.

(5.6)

Skema yang sama dapat diwakili sebagai formula eksplisit.

Skema tiga lapis paling sederhana adalah skema berikut:

Skema ini digunakan dalam memperoleh solusi numerik pertama dari CDF. Skema ini mendekati tugas diferensial dengan urutan O ( 2 +. h. 2 ). Menurut skema inicina saat melakukan kondisi (pada b kecil):

Kami memberikan beberapa skema lagi. Skema eksplisit tiga lapis dengan pesananyang mendekatiHAI. (  2 + h. 4 ) :

Turunan ketiga dalam ruang diperkirakan pada tujuhtemplat titik, dan yang pertama dibangun lima poin. Berdasarkanskema ini stabil ketika kondisinya dipenuhi (kecilh. ):

Mudah untuk melihat bahwa untuk skema ini dengan urutan pendekatan yang lebih tinggi, kondisi stabilitas lebih kaku.

Makalah ini mengusulkan skema perbedaan eksplisit berikut denganprosedur untuk pendekatan o ( 2 +. h. 2 ) :

(5.8)

Karena persamaan perbedaan (5.8) dapat dicatat di yang berbedafilm

kemudian secara rahasia dikalikan dengan persamaan (5.9) oleh 1, kita dapatkan

akibatnya, rasionya dilakukan:

yang dapat dianggap analog grid dari hukum pertama. Dengan demikian, skema (5.8) konservatif. DIterbukti bahwa skema (5.8) adalahL. 2 -Conservative dan keputusannyamemenuhi analog grid dari hukum konservasi integral

5.3. Skema perbedaan implisit (ulasan).Dalam paragraf ini kitapertimbangkan skema perbedaan implisit untuk persamaan Korteweg-de Frize.

Varian dari sirkuit dua lapis - skema implisit yang benar-benar stabilmA dengan urutan perkiraan oh ( 2, h. 4 ) :

Solusi dari skema perbedaan (3,29) dihitung menggunakan tujuh dperingkat Cyclic Jagta. Pertanyaan tentang konservatismeskema ini belum dipelajari.

Makalah ini mengusulkan skema tiga lapis implisit dengan bobot:

(5.10)

Skema Perbedaan (5.10) dengan solusi berkala, konservatif,L.2 -Konservatori =1/2 dan  =1/4 Untuk dia solusi memiliki analog grid integralhukum konservasi.

6. Solusi numerik.

Solusi numerik untuk (3.2), (3.3), (3.4) dilakukan dengan menggunakan skema eksplisit

Tugas batas awal pada segmen diselesaikan. Sebagai kondisi awal, fungsi diambil

u 0 (x) \u003d dosa (x).

Sebuah solusi yang secara eksplisit menerima.

Program perhitungan ditulis dalam Turbo Pascal 7.0. Teks bagian utama dari program ini dilampirkan.

Perhitungan dilakukan pada mesin komputasi dengan AMD -K 6-2 300 MHz prosesor dengan teknologi 3DNOW!, RAM ukuran 32 MB.

7. Kesimpulan

Makalah ini dikhususkan untuk studi persamaan Korteweg-de Frize. Tinjauan sastra yang luas dari topik penelitian telah dilakukan. Berbagai skema perbedaan untuk persamaan KDF dipelajari. Akun Praktis Menggunakan Skema Perbedaan Lima Poin Eksplisit

Karena analisis sumber-sumber sastra menunjukkan, skema yang jelas untuk memecahkan persamaan tipe KDF paling berlaku. Dalam tulisan ini, solusinya juga diperoleh dengan menggunakan skema eksplisit.

8. Sastra.

1. Landsberg G.S. Fisika buku teks dasar. M.: Sains, 1964. T. 3.

2. Feynman R., Leighton R., Sands M. fainman kuliah dalam fisika. M.: MIR, 1965. ISK.4.

3. Filippov A.G Multician Soliton. M.: Nauka, 1986. (B-CKA "KVANT"; vol. 48).

4. Rubankov v.n. Soliton, baru dalam hidup, sains, teknisi. M.: Pengetahuan, 1983. (Fisika; Vol. 12).

5. Korteweg D.J., De Vries G. Pada perubahan bentuk gelombang panjang yang maju dalam saluran persegi panjang dan pada jenis baru gelombang stasioner panjang./phyl.may. 1895. E5. P.. 422-443.

6. Sagdeev R.Z. Proses kolektif dan gelombang kejut dalam plasma yang jarang terjadi. - Dalam buku: Teori Plasma pertanyaan, adalah.4. M.: Tanggal Atomiz, 1964, C.20-80.

7. Berezin Yu.a., Karpman V.I. Pada teori gelombang non-stasioner amplitudo pamungkas dalam plasma yang jarang terjadi. // zhetf, 1964, t.46, masalah5, hlm. 1880-1890.

8. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaksi "soliton" dalam plasma tanpa tabrakan dan rekoncasi negara bagian awal // phy.rev.lett. 1965. V..limabelas. Persetan. Hal.240-243.

9. Bullaf R., CODRI F. SOLITON. M.: Perdamaian; 1983.

10. Sjoberg A. Pada persamaan Korteweg-de Vries, keberadaan dan keunikan, Universitas Uppsala, Departemen Komputer, 1967

11. TEMAM R. SUR UND PROWATE NON LINEARE // j.MATH.PURES Anal. 1969, V.48, 2, P. 159-172.

12. Lyon J.L. Beberapa metode untuk memecahkan masalah nilai batas nonlinier. M.: MIR, 1972.

13. Lingkaran S.N. Faminesky A.v. Solusi umum untuk persamaan Korteweg-de Frize. // Mat. Koleksi, 1983, Vol. 120 (162), Yez, hal.396-445

14. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Metode untuk memecahkan persamaan Korteweg-de Vries // phy.rev.lett. 1967. V.. 19. p. 1095-1097.

15. Shabuat A.B. Di Korteweg De Freeza Equation // Dan USSR, 1973, T.211, EB, hal.1310-1313.

16. Faminesky A.v. Tugas batas untuk persamaan Korteweg de Freeza dan generalisasi: DCT ... DCT. Fiz.-mat. Sains, M: Rudn, 2001

17. Miura R.M., Gardner C.S., Kruscal M.D. Persamaan dan generlisasi korteweg-de vries. Ii. Keberadaan hukum konservasi dan konstanta gerak. // j.Math.phys. 1968. V..sembilan. P. 1204-1209.

18. Amosov A.A., Zlotnik A.A. Skema perbedaan untuk persamaan gerakan gas.

19. Samara A.A., Majukin V.I., Matus P.P., Mikhailik I.A. Z / 2-Skema Konservatif untuk Korteweg de Fris .// Dan, 1997, T.357, E4, P.458-461

20. Berezin Yu.a. Memodelkan proses gelombang nonlinear. Novosibirsk: Sains. 1982.

21. Berezin Yu.A., pada solusi numerik persamaan Korteweg-de-Vriza. // Metode numerik mekanik media padat. Novosibirsk, 1973, T.4, E2, C.20-31

22. Samsky A.A., metode Nikolaev untuk memecahkan persamaan grid. M: Science, 1978

23. Samsky A.A., Gulin A.V. Metode numerik. M: Science, 1989

24. Baagelov N.S., Lodine N.P., Kobelkov G.M. Metode numerik. M: Science, 1987

Soliton memiliki sifat yang berbeda:

Model matematika

Persamaan Corewega - de frize

Salah satu model paling sederhana dan paling terkenal yang memungkinkan keberadaan soliton dalam larutan adalah persamaan Korteweg-de Frize:

u_t - 6 u u_x + u_ (xxx) \u003d 0

Salah satu solusi yang mungkin dari persamaan ini adalah soliton soliter:

$u\; (x,\; t)\; \backslash u003d\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (2\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2)\; (\backslash \backslash \; mathrm\; (ch)\; ^\; 2\; \backslash \backslash ,\; \backslash \backslash \; varkappa\; (x-4\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2\; t-\; \backslash \backslash \; varphi))$

dimana $2\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2$ - amplitudo soliton, $\backslash \backslash \; Varphi.$ - fase. Lebar efektif dari pangkal soliton sama dengan $\backslash \backslash \; Varkappa\; ^\; (-\; 1)$. Soliton tersebut bergerak dengan kecepatan $v\; \backslash u003d\; 4\; \backslash \backslash \; varkappa\; ^\; 2$. Dapat dilihat bahwa soliton dengan amplitudo besar ternyata lebih sempit dan bergerak lebih cepat.

Dalam kasus yang lebih umum, dapat ditunjukkan bahwa ada kelas solusi multi-inti, seperti asimptotik $t\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; pm\; \backslash \backslash \; infty$ Solusinya hancur menjadi beberapa soliton tunggal jarak jauh yang bergerak dengan berpasangan dengan kecepatan yang berbeda. Solusi Total N-Soliton dapat ditulis sebagai

$u\; (x,\; t)\; \backslash u003d\; -2\; \backslash \backslash \; frac\; (d\; ^\; 2)\; (dx\; ^\; 2)\; \backslash \backslash \; ln\; \backslash \backslash \; det\; a\; (x,\; t)$

di mana matriksnya $A\; (x,\; t)$ Memberikan ekspresi

$A\_\; (nm)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; delta\_\; (nm)\; +\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; beta\_n)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; mathrm\; (e)\; ^\; (8\; \backslash \backslash \; varkappa\_n\; ^\; 3\; t\; -\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; x)$

Sini $\backslash \backslash \; beta\_n,\; n\; \backslash u003d\; 1,\; \backslash \backslash \; dots,\; n$ dan $\backslash \backslash \; varkappa\_n\backslash u003e\; 0,\; n\; \backslash u003d\; 1,\; \backslash \backslash \; dots,\; n$ - Konstanta nyata sewenang-wenang.

Properti indah dari solusi multi-politik adalah reflektif: Dalam studi persamaan Schrödinger satu dimensi yang sesuai

$-\; \backslash \backslash \; parsial\; ^\; 2\_x\; \backslash \backslash \; psi\; (x)\; +\; u\; (x)\; \backslash \backslash \; psi\; (x)\; \backslash u003d\; e\; \backslash \backslash \; psi\; (x)$

dengan potensi $u\; (x)$mengurangi infinity lebih cepat dari $|\; x\; |\; ^\; (-\; 1-\; \backslash \backslash \; varePsilon)$, koefisien refleksi adalah 0 jika dan hanya jika potensi adalah beberapa solusi multi-kasual dari persamaan KDF pada beberapa titik waktu $t.$.

Interpretasi Soliton karena beberapa quasiparticles elastis berinteraksi didasarkan pada properti solusi persamaan KDF berikut. Biarkan $t\; \backslash \backslash \; to\; -\; \backslash \backslash \; indty$ Solusinya memiliki spesies asimptotik $N.$ soliton, lalu kapan $t\; \backslash \backslash \; ke\; +\; \backslash \backslash \; Infty$ Ini juga memiliki $N.$ Soliton dengan kecepatan yang sama, tetapi fase lain, dan banyak jam efek interaksi benar-benar tidak ada. Ini berarti pergeseran fase penuh $k.$- Solithona Ravenna

$\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\_k\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; sum\; \_\; (\backslash \backslash \; stackrel\; (n\; \backslash u003d\; 1)\; (n\; \backslash \backslash \; ne\; k))\; ^\; (n)\; \backslash \backslash \; delta\; \backslash \backslash \; varphi\_\; (nk)$

Biarkan menjadi $n.$Soliton bergerak lebih cepat dari $m.$, kemudian

$\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (+)\; \_\; (n)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; delta\; \backslash \backslash \; varphi\_\; (kn)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n)\; \backslash \backslash \; l\; \backslash \backslash \; kiri\; |\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n-\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; kanan\; |$ $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (-)\; \_\; (k)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; delta\; \backslash \backslash \; varphi\_\; (nk)\; \backslash u003d\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; l\; \backslash \backslash \; kiri\; |\; \backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n\; +\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; (\backslash \backslash \; varkappa\_n-\; \backslash \backslash \; varkappa\_m)\; \backslash \backslash \; kanan\; |$

yaitu, fase soliton yang lebih cepat dalam tabrakan ganda meningkat $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (+)\; \_\; (n)$, dan fase lebih lambat - berkurang $\backslash \backslash \; Delta\; \backslash \backslash \; varphi\; ^\; (-)\; \_\; (k)$Selain itu, total shift fase soliton setelah interaksi sama dengan jumlah fase bergeser dari interaksi berpasangan dengan satu sama lain soliton.

Persamaan Schredinger nonlinier.

saat parameter valid $\backslash \backslash \; Nu\backslash u003e\; 0$ Gelombang kesepian diizinkan:

$u\; \backslash \backslash \; kiri\; (x,\; t\; \backslash \backslash \; kanan)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; kiri\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; nu)\; (\backslash \backslash \; nu))\; \backslash \backslash \; kanan)\; \backslash \backslash \; mathrm\; (ch)\; ^\; (-\; 1)\; \backslash \backslash \; kiri\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; sqrt\; )\; (X\; -\; ut)\; \backslash \backslash \; kanan)\; e\; ^\; (i\; (r\; x-st)),$

dimana $r,\; s,\; \backslash \backslash \; alpha,\; u$ - Beberapa rasio terkait permanen:

$U\; \backslash u003d\; 2r.$ $s\; \backslash u003d\; r\; ^\; 2-\; \backslash \backslash \; alpha$

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Soliton"

Catatan

1. J.S.Russell "melaporkan ombak": (Laporan Pertemuan Keempat Belas Asosiasi Inggris untuk Kemajuan Science, York, September 1844 (London 1845), PP 311-390, Plat Xlvii-Lvii)
2. J.S.Russell (1838), Laporan Pertemuan ke-7 Asosiasi Inggris untuk Kemajuan Sains, John Murray, London, PP.417-496.
3. ABLoves M., Sigur H. Soliton dan masalah terbalik. M.: MIR, 1987, hal.12.
4. N.j.zabusky dan m.d.kruskal (1965), interaksi soliton dalam plasma tanpa tabrakan dan kambuhnya keadaan awal, phy.rev.lett., 15 pp. 240-243.
5. J. L. Lam. . - m.: Mir, 1983. - 294 p.
6. A. T. filipov. Soliton Multidian. - P. 40-42.
7. A. T. filipov. Soliton Multidian. - P. 227-23.
8. - Artikel dari Ensiklopedia Fisik
9. Vladimir Belinski, Enric Verdaguer. . - Cambridge University Press, 2001. - 258 p. - (Monograf Cambridge pada fisika matematika). - ISBN 0521805864.
10. N. N. Rozanov // Alam. - 2007. - № 6.
11. A. T. filipov. Soliton Multidian. - PP 241-246.
12. A. I. MIMIMIST. // Elektronik Quantum. - 2010. - T. 40, № 9. - P. 756-781.
13. Andrei I Maimistov. (Eng.) // Elektronik Quantum. - 2010. - vol. 40. - P. 756. - DOI: 10.1070 / qe2010v040n09abeh014396.
15. Sazonov S. v. Soliton optik di lingkungan dari atom dua tingkat // petugas ilmiah dan teknis teknologi informasi, mekanik dan optik. 2013. T. 5. No. 87. P. 1-22.

literatur

• Ablovez M., Sigur H. Soliton dan metode tugas terbalik. - m.: Mir, 1987. - 480 p.
• Dodd R., Ailbek J., Gibbon J., Morris H. Persamaan gelombang soliton dan nonlinier. - m.: Mir, 1988. - 696 p.
• Zakharov V. E., Makakov S. V., Novikov S. P., Naturevsky L. P. Teori Soliton: Metode masalah terbalik. - m.: Sains, 1980. - 320 p.
• Infeld E., Rowlas J. Gelombang nonlinear, soliton, dan kekacauan. - m.: fizmatlit, 2006. - 480 p.
• Lam J. L. Pengantar Teori Soliton. - m.: Mir, 1983. - 294 p.
• Newell A. Soliton dalam matematika dan fisika. - m.: Mir, 1989. - 328 p.
• Samsky A. A., Popov Yu. P. Metode perbedaan untuk memecahkan masalah dinamika gas. - m.: Urss, 2004. - 424 p.
• Weize J. Gelombang linier dan nonlinier. - m.: MIR, 1977. - 624 p.
• Filippov A. T. Perpustakaan Soliton // Kvant Multidit. - ed. 2, rekreasi. dan tambahan .. - m.: Sains, 1990. - 288 p.
• Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner (eng.) // Ulasan-ulasan tentang fisika modern. - 2011. - Vol. 83. - P. 247-306.
• (eng.) // fisika. - 2013. - vol. 6. - P. 15. - DOI: 10.1103 / Fisika.6.15.

Tautan

Kutipan Soliton

Soliton.- Ini adalah gelombang terpencil di lingkungan berbagai sifat fisik, yang mempertahankan bentuk dan kecepatannya yang tidak berubah saat didistribusikan. Bahasa Inggris. Soliter - terpencil (gelombang soliter adalah gelombang terpencil), "-pada" - ujung khas dari ketentuan semacam ini (misalnya, elektron, foton, dll.), Berarti kemiripan partikel.

Konsep Soliton diperkenalkan pada tahun 1965 oleh Amerika dengan komisi normal dan Martin Kruskal, tetapi kehormatan pembukaan penemuan Soliton dikaitkan dengan insinyur Inggris John Scott Russell (1808-1882). Pada tahun 1834, mereka pertama kali diberikan deskripsi pengamatan soliton ("gelombang terpencil besar"). Pada saat itu, Russell mempelajari bandwidth Canal Union Plisis Edinburgh (Skotlandia). Ini adalah bagaimana penulis pembuka sendiri berbicara tentang dia: "Saya mengikuti pergerakan tongkang, yang dengan cepat saya menarik kanal sempit beberapa kuda ketika tongkang tiba-tiba berhenti; Tetapi massa air, yang menyebabkan tongkang memimpin, tidak berhenti; Sebaliknya, dia berkumpul di dekat hidung kapal dalam gerakan gila, maka tiba-tiba meninggalkannya, menunggang kecepatan besar dan mengambil bentuk elevasi tunggal besar ,.e. Bukit air bundar, halus dan ternoda dengan baik, yang melanjutkan jalurnya di sepanjang saluran, sama sekali tanpa mengubah bentuknya dan tanpa mengurangi kecepatan. Saya mengikutinya berkuda, dan ketika saya menyusulnya, dia masih berguling ke depan dengan kecepatan sekitar delapan atau sembilan mil per jam, mempertahankan profil ketinggian awalnya sekitar tiga puluh kaki dan setengah kaki. Jelasnya secara bertahap menurun, dan setelah satu atau dua mil pengejaran saya kehilangan itu di tikungan kanal. Jadi pada bulan Agustus 1834 saya pertama kali ditantang untuk menghadapi fenomena yang luar biasa dan indah yang saya sebut gelombang siaran ... ".

Selanjutnya, Russell secara eksperimental, melakukan sejumlah eksperimen, menemukan ketergantungan kecepatan gelombang soliter dari tinggi badannya (tinggi maksimum di atas tingkat permukaan bebas air di saluran).

Mungkin Russell meramalkan peran yang dimainkan oleh soliton dalam ilmu pengetahuan modern. DI tahun lalu. Dia menyelesaikan bukunya Gelombang terjemahan di lautan akuatik, udara dan esensialditerbitkan secara anumerta pada tahun 1882. Buku ini berisi cetak ulang Laporkan ombak - Deskripsi pertama dari gelombang terpencil, dan sejumlah tebakan tentang struktur materi. Secara khusus, Russell percaya bahwa suara itu memiliki ombak yang terpencil (pada kenyataannya itu tidak begitu), jika tidak, menurutnya, penyebaran suara akan terdistorsi. Berdasarkan hipotesis ini dan menggunakan ketergantungan kecepatan gelombang terpencil yang ditemukan oleh mereka, Russell menemukan ketebalan atmosfer (5 mil). Selain itu, membuat asumsi bahwa cahaya juga gelombang terpencil (yang juga tidak demikian), Russell menemukan panjang alam semesta (5 · 10 17 mil).

Rupanya, dalam perhitungannya yang berkaitan dengan ukuran alam semesta, Russell membuat kesalahan. Namun, hasil yang diperoleh untuk atmosfer akan benar, apakah itu kepadatan seragam. Russevsky sama Laporkan ombak Sekarang dianggap sebagai contoh kejelasan presentasi hasil ilmiah, kejelasan, yang jauh dari ilmuwan saat ini.

Reaksi terhadap laporan sains yang paling otoritatif pada saat mekanika Inggris George Baidel Ayri (1801-1892) (Profesor Astronomi di Cambridge dari tahun 1828 hingga 1835, Astronoma Pengadilan Kerajaan dari 1835 hingga 1881) dan George Gabriel Stokes (1819-1903) (Profesor Mathematics Cambridge dari tahun 1849 hingga 1903) negatif. Bertahun-tahun kemudian, Soliton ditinggalkan dengan keadaan yang sama sekali berbeda. Menariknya, tidak mudah untuk mereproduksi pengamatan Russell. Peserta konferensi "Soliton-82", yang berkumpul di Edinburgh ke konferensi, didedikasikan untuk abad sejak hari kematian Russell dan berusaha mendapatkan gelombang terpencil di tempat yang dia tonton Russell, tidak bisa melihat apa-apa , dengan semua pengalaman mereka dan pengetahuan luas tentang Soliton.

Pada tahun 1871-1872, hasil ilmuwan Prancis Joseph Viensenyna Boussineske (1842-1929) diterbitkan (1842-1929), didedikasikan untuk studi teoretis dari gelombang terpencil di kanal (seperti gelombang soliter Russell). Boussesinesque menerima persamaan:

Menggambarkan gelombang seperti itu ( u.- Geser permukaan air bebas di saluran, d. - Kedalaman saluran, c. 0 - kecepatan gelombang, t. - waktu, x. - Variabel spasial, indeks sesuai dengan diferensiasi dengan variabel yang sesuai), dan menentukan bentuknya (sesi hiperbolik, cm.. Ara. 1) dan kecepatan.

Gelombang yang dipelajari Boussienesk menyebut pembengkakan dan menganggap pembengkakan tinggi positif dan negatif. Boussienesc membuktikan stabilitas pembengkakan positif oleh fakta bahwa gangguan kecil mereka terjadi, dengan cepat memudar. Dalam hal pembengkakan negatif, pembentukan bentuk gelombang yang stabil tidak mungkin, karena untuk pembengkakan yang sangat pendek dan positif. Sedikit kemudian, pada tahun 1876, menerbitkan hasil penelitiannya oleh orang Inggris Lord Ralea.

Tahap penting berikutnya dalam pengembangan teori soliton adalah pekerjaan (1895) dari Dutch Deerika Johann Kortewega (1848-1941) dan muridnya dari Gustav de Vriz (tanggal kehidupan yang tepat tidak diketahui). Rupanya, baik Cortega, atau Dewrite karya-karya Boussesinesque membaca. Mereka memindahkan persamaan untuk ombak di saluran penampang konstan yang cukup luas, yang sekarang nama mereka adalah persamaan Korteweg-de-Vriza (KDV). Solusi persamaan seperti itu dan menggambarkan gelombang yang terdeteksi gelombang pada satu waktu. Prestasi utama dari penelitian ini adalah untuk mempertimbangkan persamaan yang lebih sederhana yang menggambarkan gelombang yang berjalan dalam satu arah, solusi seperti itu lebih visual. Karena fakta bahwa solusi tersebut mencakup fungsi elips Jacobi cnKeputusan-keputusan ini disebut ombak "Cnidal".

Dalam bentuk normal, persamaan KDV untuk fungsi yang diinginkan dan Ini memiliki bentuk:

Kemampuan soliton untuk dipelihara dalam perambatan bentuknya tidak berubah dijelaskan oleh fakta bahwa perilakunya ditentukan oleh dua yang bertindak saling bertentangan dengan proses. Pertama, ini adalah yang disebut, keruntuhan non-linear (bagian depan gelombang amplitudo yang cukup besar berupaya ke ujung di area amplitudo yang meningkat, karena partikel belakang memiliki amplitudo yang lebih besar bergerak lebih cepat di depan berlari ). Kedua, proses seperti itu dimanifestasikan sebagai dispersi (ketergantungan kecepatan gelombang dari frekuensinya, ditentukan oleh sifat fisik dan geometrik dari medium; selama dispersi, bagian yang berbeda dari gerakan gelombang dengan kecepatan yang berbeda dan jeda gelombang). Dengan demikian, runtuhnya gelombang nonlinier dikompensasi oleh dispersi karena dispersi, yang memastikan pelestarian bentuk gelombang seperti itu selama perbanyakannya.

Tidak adanya gelombang sekunder dalam propagasi soliton menunjukkan bahwa energi gelombang tidak dihamburkan dalam ruang, tetapi terkonsentrasi dalam ruang terbatas (terlokalisasi). Lokalisasi energi adalah kualitas partikel yang khas.

Fitur lain yang menakjubkan dari soliton (ditandai belum oleh Russell) adalah kemampuan mereka untuk mempertahankan kecepatan dan bentuknya saat melewati satu sama lain. Satu-satunya pengingat interaksi yang terdiri adalah perpindahan konstan dari soliton yang diamati dari ketentuan yang akan mereka tempati jika mereka tidak terpenuhi. Diyakini bahwa soliton tidak melewati satu sama lain, tetapi tercermin seperti mereka yang telah menabrak bola elastis. Ini juga menunjukkan analogi soliton dengan partikel.

Untuk waktu yang lama diyakini bahwa ombak terpencil terhubung hanya dengan ombak di atas air dan mereka dipelajari oleh spesialis - hidrodinamika. Pada tahun 1946 M.A. Lavrentyev (USSR), dan pada tahun 1954 K.Fridrichs dan D.G. Hyers kami menerbitkan bukti teoritis keberadaan ombak terpencil.

Perkembangan modern teori Soliton dimulai dengan tahun 1955, ketika karya ilmuwan dari Los Alamos (AS) - Enrico Fermi, John Paste dan Walma Wall, yang ditujukan untuk mempelajari string yang dimuat diskrit nonlinier (model seperti itu digunakan untuk mempelajari termal. konduktivitas padatan). Gelombang panjang yang mengalir melalui string seperti itu ternyata soliton. Menariknya, metode studi dalam pekerjaan ini telah menjadi eksperimen numerik (perhitungan di salah satu komputer pertama yang dibuat saat ini).

Buka secara teoritis pada awalnya untuk persamaan Boussinsca dan KDV yang menggambarkan ombak pada air halus, soliton saat ini ditemukan sebagai solusi dari sejumlah persamaan di bidang mekanika dan fisika lain. Paling sering ditemui (di bawah semua persamaan u. - Fungsi yang diinginkan, koefisien saat u. - Beberapa konstanta)

persamaan Schrödinger nonlinear (NUSH)

Persamaan diperoleh ketika mempelajari fokus diri optik dan pemisahan balok optik. Persamaan ini digunakan dalam studi gelombang pada air yang dalam. Ada generalisasi NOSH untuk proses gelombang dalam plasma. Menarik penggunaan no dalam teori partikel elementer.

Persamaan Sin Gordon (SG)

menjelaskan, misalnya, perambatan pulsa optik ultrashort resonansi, dislokasi kristal, proses dalam helium cair, gelombang kepadatan muatan di konduktor.

Solusi Solitone memiliki apa yang disebut persamaan KDV terkait. Persamaan ini meliputi

modified Equation KDV.

persamaan Benjamin, Bona dan Magoni (BBM)

pertama kali muncul ketika menggambarkan Borsa (gelombang di permukaan air yang timbul dari pembukaan gerbang gateway, dengan "mengunci" aliran sungai);

persamaan benjamin - itu

diperoleh untuk gelombang di dalam lapisan tipis cairan yang tidak homogen (bertingkat) yang terletak di dalam cairan homogen lain. Untuk persamaan Benjamin - itu mengarah pada studi lapisan batas transzonik.

Persamaan dengan Soliton Solutions juga mencakup persamaan yang lahir - Infelda

memiliki aplikasi dalam teori lapangan. Ada solusi soliton lainnya.

Soliton yang dijelaskan oleh persamaan KDV secara unik ditandai dengan dua parameter: kecepatan dan posisi maksimum dalam titik tertentu dalam waktu.

Soliton dijelaskan oleh persamaan hirota

pasti ditandai dengan empat parameter.

Mulai dari tahun 1960, sejumlah masalah fisik mempengaruhi perkembangan teori Soliton. Teori transparansi yang diinduksi sendiri diusulkan dan hasil eksperimental disajikan, dikonfirmasi.

Pada tahun 1967, metode untuk memperoleh solusi akurat dari persamaan KDV ditemukan pada koil dan rekan penulis - metode yang disebut masalah hamburan terbalik. Inti dari metode masalah hamburan terbalik adalah untuk menggantikan persamaan yang dipecahkan (misalnya, persamaan KDV) oleh sistem persamaan linear lain yang solusinya mudah ditemukan.

Metode yang sama pada tahun 1971 oleh ilmuwan Soviet v.e. Zakharov dan A. B.Shabat diputuskan oleh Nosh.

Aplikasi Teori Soliton saat ini sedang digunakan dalam studi saluran transmisi sinyal dengan elemen nonlinear (dioda, kumparan resistensi), lapisan perbatasan, atmosfer planet (bintik merah jupiter), gelombang tsunami, proses gelombang plasma, dalam teori lapangan , fisika padat, termofisika keadaan ekstrem, ketika mempelajari bahan baru (misalnya, kontak Josephson yang terdiri dari dipisahkan oleh dielektrik dua lapisan logam superkonduktor), ketika membuat model kisi kristal, dalam optik, biologi dan banyak lainnya. Disarankan bahwa saraf menjalankan saraf - soliton.

Saat ini menggambarkan varietas soliton dan beberapa kombinasi ini, misalnya:

antisoliton - soliton amplitudo negatif;

seorang brizer (doublet) - sepasang soliton - antisoliton (Gbr. 2);

multisoliton - beberapa soliton bergerak secara keseluruhan;

flyuxon - kuantum fluks magnetik, analog soliton dalam kontak Josephson yang didistribusikan;

kink (Monopol), dari berbahasa Inggris - infleksi.

Secara formal, ketegaran dapat diperkenalkan sebagai solusi dari persamaan KDV, NOS, SG, yang dijelaskan oleh garis tangen hiperbolik (Gbr. 3). Mengubah tanda larutan jenis "Kink" ke sebaliknya memberi "anti-mobil".

Kinks ditemukan pada tahun 1962 oleh British Perrest dan Kembali-Kembali dengan numerik (pada komputer) memecahkan persamaan SG. Dengan demikian, Kincin ditemukan lebih awal dari nama Soliton muncul. Ternyata tabrakan film tidak mengarah pada kehancuran timbal balik mereka, atau pada kejadian selanjutnya dari gelombang lain: saluran, dengan demikian menunjukkan sifat soliton, namun, nama ketegaran dikonsolidasikan oleh gelombang ini jenis.

Soliton juga bisa berupa dua dimensi dan tiga dimensi. Studi tentang soliton non-domestik diperumit oleh kesulitan bukti keberlanjutan mereka, tetapi baru-baru ini pengamatan eksperimental soliton non-domestik diperoleh (misalnya, soliton horseshoe pada film dengan mengalirkan cairan kental, dipelajari oleh VI Speatiapli dan O . Yu. Svuelodumb). Solusi soliton dua dimensi memiliki persamaan kadomtsev - pereviashvili yang digunakan, misalnya, untuk menggambarkan gelombang akustik (suara):

Di antara solusi yang diketahui dari persamaan ini - vortisitas non-lonjakan atau soliton - vortis (vortex adalah konduksi media di mana partikelnya memiliki kecepatan rotasi sudut relatif terhadap beberapa sumbu). Soliton semacam ini, ditemukan secara teoritis dan dimodelkan di laboratorium, secara spontan dapat muncul di atmosfer planet. Menurut sifat dan kondisinya keberadaan angin puyuh soliton mirip dengan fitur-fitur indah suasana Jupiter - Bintik Merah Besar.

Soliton adalah formasi nonlinier secara signifikan dan sama-sama mendasar sebagai gelombang linier (lemah) (misalnya, suara). Menciptakan teori linier, sebagian besar, bekerja oleh Klasik Bernhard Riemann (1826-1866), Augusten Cauchy (1789-1857), Jean Joseph Fourier (1768-1830) memungkinkan untuk memecahkan tugas-tugas penting yang berdiri di depan waktu itu waktu. Dengan bantuan soliton, adalah mungkin untuk mengetahui masalah fundamental baru ketika mempertimbangkan masalah ilmiah modern.

Andrei Bogdanov