Apa definisi paralelepiped kanan. Angka geometris. Paralelipiped. Fase pengetahuan

TEKS PENJELASAN PELAJARAN:

Pertimbangkan item ini:

Membangun batu bata, dadu, microwave. Benda-benda tersebut disatukan oleh suatu bentuk.

Sebuah permukaan yang terdiri dari dua jajar genjang yang sama ABCD dan A1B1C1D1

dan empat jajaran genjang AA1B1B dan BB1C1C, CC1D1D, AA1D1D disebut paralelepiped.

Jajar genjang yang membentuk jajar genjang disebut wajah. Wajah A1B1C1D1. Wajah BB1S1S. Ujung ABCD.

Dalam hal ini, wajah ABCD dan A1B1C1D1 lebih sering disebut alas, dan wajah yang tersisa adalah lateral.

Sisi-sisi jajar genjang disebut tepi jajar genjang. Ujung A1B1. Tulang rusuk CC1. tepi AD.

Tepi CC1 bukan milik pangkalan, itu disebut tepi samping.

Simpul jajar genjang disebut simpul dari parallelepiped.

D1 teratas. Puncak B. Puncak C.

Simpul D1 dan B

tidak memiliki wajah yang sama dan disebut berlawanan.

Paralelepiped dapat ditarik dengan cara yang berbeda.

Paralelepiped di pangkalan, yang merupakan belah ketupat, sedangkan gambar wajah adalah jajaran genjang.

Sebuah paralelepiped di dasar, yang merupakan persegi. Tepi tak terlihat AA1, AB, AD ditampilkan sebagai garis putus-putus.

Paralelepiped di pangkalan, yang merupakan persegi

Sebuah paralelepiped di dasar yang terletak persegi panjang atau jajaran genjang

Sebuah paralelepiped dengan semua sisi persegi. Lebih sering disebut kubus.

Semua paralelepiped dianggap memiliki properti. Mari kita rumuskan dan buktikan.

Properti 1. Wajah berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.

Pertimbangkan ABCDА1В1С1D1 parallelepiped dan buktikan, misalnya, bahwa wajah BB1C1C dan AA1D1D sejajar dan sama.

Menurut definisi jajar genjang, sisi ABCD adalah jajar genjang, yang berarti bahwa, menurut sifat jajar genjang, sisi BC sejajar dengan sisi AD.

Wajah ABV1A1 juga merupakan jajar genjang, yang berarti bahwa sisi BB1 dan AA1 sejajar.

Ini berarti bahwa dua garis berpotongan BC dan BB1 dari satu bidang, berturut-turut, sejajar dengan dua garis AD dan AA1, masing-masing, dari bidang lain, yang berarti bahwa bidang ABB1A1 dan BCC1D1 sejajar.

Semua wajah paralelepiped adalah jajaran genjang, yang berarti BC=AD, BB1=AA1.

Dalam hal ini, sisi-sisi sudut B1BC dan A1AD masing-masing searah, yang berarti sama besar.

Jadi, dua sisi yang berdekatan dan sudut di antara mereka dari jajaran genjang ABB1A1 masing-masing sama dengan dua sisi yang berdekatan dan sudut di antara mereka dari jajaran genjang BCC1D1, yang berarti bahwa jajaran genjang ini sama.

Paralelepiped juga memiliki properti diagonal. Diagonal paralelepiped adalah segmen yang menghubungkan simpul yang tidak bertetangga. Pada gambar, garis putus-putus menunjukkan diagonal B1D, BD1, A1C.

Jadi, properti 2. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan titik potong dibagi dua.

Untuk membuktikan properti, perhatikan BB1D1D segi empat. Diagonalnya 1D, BD1 adalah diagonal dari ABCDА1В1С1D1 parallelepiped.

Pada properti pertama, kita telah mengetahui bahwa tepi BB1 sejajar dan sama dengan tepi AA1, tetapi tepi AA1 sejajar dan sama dengan tepi DD1. Oleh karena itu tepi BB1 dan DD1 sejajar dan sama, yang membuktikan jajar genjang BB1D1D segi empat. Dan dalam jajaran genjang, menurut properti, diagonal B1D, BD1 berpotongan di beberapa titik O dan titik ini dibagi dua.

Segi empat BC1D1A juga merupakan jajar genjang dan diagonal-diagonalnya C1A berpotongan di satu titik dan membagi dua titik ini. Diagonal jajar genjang C1A, BD1 adalah diagonal jajar genjang, yang berarti bahwa properti tersebut terbukti.

Untuk mengkonsolidasikan pengetahuan teoretis tentang paralelepiped, pertimbangkan masalah pembuktian.

Titik L,M,N,P ditandai pada tepi parallelepiped sehingga BL=CM=A1N=D1P. Buktikan bahwa ALMDNB1C1P adalah paralelepiped.

Muka BB1A1A adalah jajar genjang, artinya rusuk BB1 sama dan sejajar dengan rusuk AA1, tetapi dengan syarat ruas BL dan A1N berarti ruas LB1 dan NA adalah sama dan sejajar.

3) Oleh karena itu, LB1NA segi empat berdasarkan jajaran genjang.

4) Karena CC1D1D adalah jajar genjang, artinya rusuk CC1 sama dan sejajar dengan rusuk D1D, dan CM sama dengan D1P dengan syarat, jadi ruas MC1 dan DP sama dan sejajar

Oleh karena itu, MC1PD segi empat juga merupakan jajaran genjang.

5) Sudut LB1N dan MC1P sama besar dengan sudut masing-masing sejajar dan berarah sama.

6) Kami telah memperoleh bahwa jajaran genjang dan MC1PD memiliki sisi yang bersesuaian sama dan sudut di antara mereka sama, sehingga jajaran genjang adalah sama.

7) Ruas-ruasnya sama dengan syarat, jadi BLMC adalah jajar genjang dan sisi BC sejajar dengan sisi LM sejajar dengan sisi B1C1.

8) Demikian pula dari jajar genjang NA1D1P diketahui bahwa sisi A1D1 sejajar dengan sisi NP dan sejajar dengan sisi AD.

9) Wajah yang berlawanan ABB1A1 dan DCC1D1 dari parallelepiped adalah paralel oleh properti, dan segmen garis lurus paralel yang tertutup antara bidang paralel adalah sama, yang berarti bahwa segmen B1C1, LM, AD, NP adalah sama.

Didapatkan bahwa pada segi empat ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD dua buah sisinya sejajar dan sama besar, yang artinya adalah jajar genjang. Kemudian ALMDNB1C1P permukaan kita terdiri dari enam jajaran genjang, dua di antaranya adalah sama, dan menurut definisi itu adalah paralelepiped.

atau (setara) polihedron dengan enam wajah yang jajar genjang. Segi enam.

Jajar genjang yang membentuk jajar genjang adalah wajah paralelepiped ini, sisi jajaran genjang ini adalah tepi paralelepiped, dan simpul dari jajaran genjang adalah puncak paralelipiped. Setiap wajah dari parallelepiped adalah genjang.

Sebagai aturan, setiap wajah ke-2 yang berlawanan dibedakan dan disebut dasar dari parallelepiped, dan wajah yang tersisa sisi wajah paralelepiped. Tepi paralelepiped yang bukan milik pangkalan adalah rusuk samping.

Dua buah permukaan balok yang memiliki rusuk adalah terkait, dan yang tidak memiliki tepi yang sama - di depan.

Segmen yang menghubungkan 2 simpul yang bukan merupakan wajah pertama adalah diagonal dari parallelepiped.

Panjang rusuk balok yang tidak sejajar adalah dimensi linier (pengukuran) paralelepiped. Sebuah paralelepiped persegi panjang memiliki 3 dimensi linier.

Jenis paralelepiped.

Ada beberapa jenis paralelepiped:

Langsung adalah parallelepiped dengan tepi tegak lurus terhadap bidang alas.

Sebuah balok yang ketiga dimensinya sama besar adalah kubus. Setiap sisi kubus sama besar kotak .

parallelepiped sewenang-wenang. Volume dan rasio dalam kotak miring sebagian besar didefinisikan menggunakan aljabar vektor. Volume kotak sama dengan nilai mutlak hasil kali campuran 3 vektor, yang ditentukan oleh 3 sisi kotak (yang berasal dari simpul yang sama). Rasio antara panjang sisi paralelepiped dan sudut di antara mereka menunjukkan pernyataan bahwa determinan Gram dari 3 vektor yang diberikan sama dengan kuadrat dari produk campurannya.

Sifat-sifat paralelepiped.

• Paralelepiped simetris tentang titik tengah diagonalnya.
• Setiap segmen dengan ujung yang termasuk dalam permukaan paralelepiped dan yang melewati titik tengah diagonalnya dibagi menjadi dua bagian yang sama. Semua diagonal dari parallelepiped berpotongan di titik 1 dan dibagi menjadi dua bagian yang sama.
• Wajah yang berlawanan dari parallelepiped adalah paralel dan memiliki dimensi yang sama.
• Kuadrat panjang diagonal sebuah balok adalah

Dalam pelajaran ini, semua orang akan dapat mempelajari topik "Kotak persegi panjang". Di awal pelajaran, kita akan mengulangi apa itu paralelepiped yang sewenang-wenang dan lurus, mengingat sifat-sifat wajah yang berlawanan dan diagonal dari paralelepiped. Kemudian kita akan mempertimbangkan apa itu balok dan membahas sifat-sifat utamanya.

Topik: Tegak lurus garis dan bidang

Pelajaran: Kubus

Permukaan yang terdiri dari dua jajar genjang yang sama panjang ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 dan empat jajar genjang ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 disebut paralelipiped(Gbr. 1).

Beras. 1 Paralelepiped

Yaitu: kita memiliki dua jajar genjang yang sama ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 (alas), mereka terletak pada bidang paralel sehingga sisi-sisi sisi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sejajar. Jadi, permukaan yang tersusun dari jajaran genjang disebut paralelipiped.

Jadi, permukaan paralelepiped adalah jumlah dari semua jajaran genjang yang membentuk paralelepiped.

1. Wajah-wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.

(angkanya sama, yaitu dapat digabungkan dengan overlay)

Misalnya:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (jajar genjang yang sama menurut definisi),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (karena AA 1 B 1 B dan DD 1 C 1 C adalah wajah yang berlawanan dari parallelepiped),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (karena AA 1 D 1 D dan BB 1 C 1 C adalah wajah yang berlawanan dari parallelepiped).

2. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan membagi dua titik itu.

Diagonal dari paralelepiped AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B berpotongan di satu titik O, dan setiap diagonal dibagi dua oleh titik ini (Gbr. 2).

Beras. 2 Diagonal dari parallelepiped berpotongan dan membagi dua titik persimpangan.

3. Ada tiga quadruple dari tepi yang sama dan paralel dari parallelepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definisi. Sebuah parallelepiped disebut lurus jika tepi lateralnya tegak lurus dengan alasnya.

Biarkan tepi samping AA 1 tegak lurus dengan alas (Gbr. 3). Artinya garis AA 1 tegak lurus dengan garis AD dan AB yang terletak pada bidang alas. Dan, oleh karena itu, persegi panjang terletak di sisi wajah. Dan alasnya adalah jajaran genjang sewenang-wenang. Dilambangkan, BAD = , sudut bisa berapa saja.

Beras. 3 kotak kanan

Jadi, kotak siku-siku adalah kotak yang sisi-sisinya tegak lurus dengan alas kotak.

Definisi. Paralelepiped disebut persegi panjang, jika sisi lateralnya tegak lurus dengan alasnya. Dasarnya adalah persegi panjang.

Paralelepiped 1 1 1 D 1 adalah persegi panjang (Gbr. 4) jika:

1. AA 1 ABCD (tepi lateral tegak lurus terhadap bidang alas, yaitu paralelepiped lurus).

2. BAD = 90°, yaitu alasnya berbentuk persegi panjang.

Beras. 4 berbentuk kubus

Sebuah kotak persegi panjang memiliki semua properti dari sebuah kotak arbitrer. Tetapi ada sifat tambahan yang diturunkan dari definisi balok.

Jadi, berbentuk kubus adalah parallelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus dengan alasnya. alas sebuah balok adalah persegi panjang.

1. Pada balok, keenam sisinya adalah persegi panjang.

ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 adalah persegi panjang menurut definisi.

2. Tulang rusuk lateral tegak lurus dengan alas. Ini berarti bahwa semua sisi sisi sebuah balok adalah persegi panjang.

3. Semua sudut dihedral sebuah balok adalah sudut siku-siku.

Perhatikan, sebagai contoh, sudut dihedral dari sebuah parallelepiped persegi panjang dengan tepi AB, yaitu, sudut dihedral antara bidang ABB 1 dan ABC.

AB adalah tepi, titik A 1 terletak di satu bidang - di bidang ABB 1, dan titik D di bidang lainnya - di bidang A 1 B 1 C 1 D 1. Kemudian sudut dihedral yang dipertimbangkan juga dapat dilambangkan sebagai berikut: 1 D.

Ambil titik A di tepi AB. AA 1 tegak lurus dengan sisi AB pada bidang ABB-1, AD tegak lurus dengan sisi AB pada bidang ABC. Oleh karena itu, A 1 AD adalah sudut linier dari sudut dihedral yang diberikan. A 1 AD \u003d 90 °, yang berarti bahwa sudut dihedral di tepi AB adalah 90 °.

(ABB 1, ABC) = (AB) = A 1 ABD= A 1 AD = 90°.

Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama bahwa setiap sudut dihedral dari parallelepiped persegi panjang adalah benar.

Kuadrat diagonal sebuah balok sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya.

Catatan. Panjang ketiga rusuk yang berasal dari titik yang sama pada balok adalah ukuran balok. Mereka kadang-kadang disebut panjang, lebar, tinggi.

Diberikan: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallelepiped persegi panjang (Gbr. 5).

Membuktikan: .

Beras. 5 Kubus

Bukti:

Garis CC 1 tegak lurus terhadap bidang ABC, dan karenanya terhadap garis AC. Jadi segitiga CC 1 A adalah segitiga siku-siku. Menurut teorema Pythagoras:

Perhatikan segitiga siku-siku ABC. Menurut teorema Pythagoras:

Tetapi BC dan AD adalah sisi yang berlawanan dari persegi panjang. Jadi BC = AD. Kemudian:

Karena , sebuah , kemudian. Karena CC 1 = AA 1, maka apa yang perlu dibuktikan.

Diagonal dari parallelepiped persegi panjang adalah sama.

Mari kita tentukan dimensi ABC parallelepiped sebagai a, b, c (lihat Gambar 6), maka AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =