Apa yang dimiliki segitiga. Apa yang disebut sudut segitiga? Hubungan dalam segitiga

Jika tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus dihubungkan oleh segmen, kita mendapatkan segitiga. Salah satu sisi segitiga sering disebut alasnya.

Dalil. Jumlah sudut segitiga adalah 180 0

Jika ketiga sudut suatu segitiga lancip, maka segitiga tersebut disebut sudut lancip.

Jika salah satu sudut suatu segitiga tumpul, maka segitiga tersebut disebut tumpul.

Jika salah satu sudut segitiga siku-siku, maka segitiga tersebut disebut persegi panjang. Sisi segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring, dan dua sisi lainnya kaki.

Dalam segitiga apa pun, sudut yang lebih besar terletak di seberang sisi yang lebih besar; sisi yang sama berhadapan - sudut yang sama, dan sebaliknya. Setiap sisi segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya, dan juga lebih besar dari selisih dua sisi lainnya.

Melanjutkan salah satu sisi segitiga, kita mendapatkan sudut luar. Sudut ABD - luar.

Tanda persamaan segitiga

Jika dua segitiga kongruen, maka elemen-elemen (sisi dan sudut) dari satu segitiga masing-masing sama dengan elemen-elemen dari segitiga lainnya.

Dalil. Dua segitiga kongruen jika dua sisi dan sudut di antara mereka dari satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut di antara mereka dari yang lain.

Dalil. Dua segitiga kongruen jika sisi dan dua sudut yang berdekatan dari satu segitiga adalah sama, masing-masing, ke sisi dan dua sudut yang berdekatan dari yang lain.

Dalil. Dua segitiga kongruen jika tiga sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi yang lain.

Median, garis bagi, dan ketinggian segitiga

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan disebut median segi tiga.

Sinar datang dari titik sudut suatu sudut dan membaginya menjadi dua sudut yang sama besar disebut bisektris. Garis bagi membagi sisi yang berlawanan menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan dengannya.

Garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke garis yang memuat sisi yang berhadapan disebut tinggi segi tiga.

Poin segitiga yang indah. 1) Garis bagi segitiga berpotongan di satu titik.

2) Garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik.

3) Tinggi segitiga (atau perpanjangannya) berpotongan di satu titik.

4) Garis tengah segitiga berpotongan di satu titik.

Segitiga sama kaki

Segitiga disebut sama kaki jika dua sisinya sama besar. Sisi yang sama disebut sisi, dan pihak ketiga dasar segitiga sama kaki.

Segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut segitiga sama sisi.

Dalil. Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut di alasnya sama besar.

Dalil. Dalam segitiga sama kaki, garis bagi yang ditarik ke alasnya adalah median dan tinggi.

Ilmu geometri memberi tahu kita apa itu segitiga, persegi, kubus. Di dunia modern, itu dipelajari di sekolah oleh semua orang tanpa kecuali. Juga, ilmu yang mempelajari secara langsung apa itu segitiga dan apa sifat-sifatnya adalah trigonometri. Dia mengeksplorasi secara rinci semua fenomena yang terkait dengan data Kami akan berbicara tentang apa itu segitiga hari ini di artikel kami. Jenisnya akan dijelaskan di bawah ini, serta beberapa teorema yang terkait dengannya.

Apa itu segitiga? Definisi

Ini adalah poligon datar. Ini memiliki tiga sudut, yang jelas dari namanya. Ini juga memiliki tiga sisi dan tiga simpul, yang pertama adalah segmen, yang kedua adalah titik. Mengetahui berapa besar dua sudut, Anda dapat menemukan yang ketiga dengan mengurangkan jumlah dari dua yang pertama dari angka 180.

Apa itu segitiga?

Mereka dapat diklasifikasikan menurut berbagai kriteria.

Pertama-tama, mereka dibagi menjadi sudut lancip, sudut tumpul dan persegi panjang. Yang pertama memiliki sudut lancip, yaitu yang kurang dari 90 derajat. Pada sudut tumpul, salah satu sudutnya tumpul, yaitu yang satu sama besar lebih dari 90 derajat, dua lainnya lancip. Segitiga lancip juga termasuk segitiga sama sisi. Segitiga seperti itu memiliki semua sisi dan sudut yang sama. Semuanya sama dengan 60 derajat, ini dapat dengan mudah dihitung dengan membagi jumlah semua sudut (180) dengan tiga.

Segitiga siku-siku

Tidak mungkin untuk tidak membicarakan apa itu segitiga siku-siku.

Sosok seperti itu memiliki satu sudut yang sama dengan 90 derajat (lurus), yaitu, dua sisinya tegak lurus. Dua sudut lainnya lancip. Mereka bisa sama, maka itu akan sama kaki. Teorema Pythagoras berkaitan dengan segitiga siku-siku. Dengan bantuannya, Anda dapat menemukan sisi ketiga, mengetahui dua yang pertama. Menurut teorema ini, jika Anda menambahkan kuadrat satu kaki ke kuadrat kaki lainnya, Anda bisa mendapatkan kuadrat sisi miring. Kuadrat kaki dapat dihitung dengan mengurangkan kuadrat kaki yang diketahui dari kuadrat sisi miring. Berbicara tentang apa itu segitiga, kita dapat mengingat segitiga sama kaki. Ini adalah salah satu di mana dua sisinya sama, dan dua sudutnya juga sama besar.

Apa itu kaki dan sisi miring?

Kaki adalah salah satu sisi segitiga yang membentuk sudut 90 derajat. Sisi miring adalah sisi yang tersisa yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Dari itu, tegak lurus dapat diturunkan ke kaki. Rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring disebut kosinus, dan kebalikannya disebut sinus.

- apa saja fitur-fiturnya?

Ini adalah persegi panjang. Kakinya tiga dan empat, dan sisi miringnya lima. Jika Anda melihat bahwa kaki segitiga ini sama dengan tiga dan empat, Anda dapat yakin bahwa sisi miringnya akan sama dengan lima. Juga, menurut prinsip ini, dapat dengan mudah ditentukan bahwa kaki akan sama dengan tiga jika yang kedua sama dengan empat, dan sisi miringnya adalah lima. Untuk membuktikan pernyataan ini, Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras. Jika dua kaki adalah 3 dan 4, maka 9 + 16 \u003d 25, akar dari 25 adalah 5, yaitu, sisi miringnya adalah 5. Juga, segitiga Mesir disebut segitiga siku-siku, yang sisinya adalah 6, 8 dan 10 ; 9, 12 dan 15 dan angka lainnya dengan perbandingan 3:4:5.

Apa lagi yang bisa menjadi segitiga?

Segitiga juga dapat ditulisi dan dibatasi. Sosok di sekitar lingkaran yang digambarkan disebut tertulis, semua simpulnya adalah titik-titik yang terletak di lingkaran. Segitiga berbatas adalah segitiga yang di dalamnya terdapat lingkaran. Semua sisinya bersentuhan dengannya pada titik-titik tertentu.

Bagaimana

Luas bangun apa pun diukur dalam satuan persegi (meter persegi, milimeter persegi, sentimeter persegi, desimeter persegi, dll.). Nilai ini dapat dihitung dengan berbagai cara, tergantung pada jenis segitiga. Luas bangun apa pun dengan sudut dapat ditemukan dengan mengalikan sisinya dengan tegak lurus yang dijatuhkan padanya dari sudut yang berlawanan, dan membagi angka ini dengan dua. Anda juga dapat menemukan nilai ini dengan mengalikan kedua sisinya. Kemudian kalikan angka ini dengan sinus sudut antara sisi-sisi ini, dan bagi dengan dua. Mengetahui semua sisi segitiga, tetapi tidak mengetahui sudutnya, Anda dapat menemukan luas dengan cara lain. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan setengah keliling. Kemudian secara bergantian kurangi sisi yang berbeda dari angka ini dan kalikan empat nilai yang diperoleh. Selanjutnya, cari tahu nomor yang keluar. Luas segitiga bertulis dapat ditemukan dengan mengalikan semua sisi dan membagi angka yang dihasilkan dengan yang dibatasi di sekitarnya kali empat.

Luas segitiga yang dijelaskan ditemukan dengan cara ini: kita mengalikan setengah keliling dengan jari-jari lingkaran yang tertulis di dalamnya. Jika kemudian luasnya dapat ditemukan sebagai berikut: kita kuadratkan sisinya, kalikan angka yang dihasilkan dengan akar tiga, lalu bagi angka ini dengan empat. Demikian pula, Anda dapat menghitung tinggi segitiga di mana semua sisinya sama, untuk ini Anda perlu mengalikan salah satunya dengan akar tiga, dan kemudian membagi angka ini dengan dua.

Teorema segitiga

Teorema utama yang terkait dengan gambar ini adalah teorema Pythagoras, dijelaskan di atas, dan cosinus. Yang kedua (sinus) adalah bahwa jika Anda membagi sisi mana pun dengan sinus sudut yang berlawanan dengannya, Anda bisa mendapatkan jari-jari lingkaran yang dijelaskan di sekitarnya, dikalikan dua. Yang ketiga (cosinus) adalah bahwa jika jumlah kuadrat dari kedua sisi dikurangi dari produk mereka, dikalikan dengan dua dan cosinus dari sudut yang terletak di antara mereka, maka kuadrat dari sisi ketiga akan diperoleh.

Segitiga Dali - apa itu?

Banyak, dihadapkan dengan konsep ini, pada awalnya berpikir bahwa ini adalah semacam definisi dalam geometri, tetapi ini sama sekali tidak terjadi. Segitiga Dali adalah nama umum untuk tiga tempat yang terkait erat dengan kehidupan artis terkenal itu. "Atasnya" adalah rumah tempat Salvador Dali tinggal, kastil yang dia berikan kepada istrinya, dan museum lukisan surealis. Selama tur ke tempat-tempat ini, Anda dapat mempelajari banyak fakta menarik tentang seniman kreatif asli yang dikenal di seluruh dunia ini.

Notasi standar

Segitiga dengan simpul SEBUAH, B dan C dilambangkan sebagai (lihat Gambar.). Segitiga memiliki tiga sisi:

Panjang sisi segitiga ditunjukkan dengan huruf latin kecil (a, b, c):

Segitiga memiliki sudut sebagai berikut:

Sudut pada simpul yang sesuai secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani (α, , ).

Tanda persamaan segitiga

Segitiga pada bidang Euclidean dapat didefinisikan secara unik (sampai kongruen) oleh triplet elemen dasar berikut:

1. a, b, (kesamaan pada dua sisi dan sudut yang terletak di antara mereka);
2. a, , (persamaan sisi dan dua sudut bersebelahan);
3. a, b, c (kesamaan pada tiga sisi).

Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku:

1. di sepanjang kaki dan sisi miring;
2. dengan dua kaki;
3. sepanjang kaki dan sudut lancip;
4. hipotenusa dan sudut lancip.

Beberapa titik dalam segitiga adalah "berpasangan". Misalnya, ada dua titik yang semua sisinya terlihat pada sudut 60° atau sudut 120°. Mereka disebut titik-titik Torricelli. Ada juga dua titik yang proyeksi sisi-sisinya terletak pada simpul-simpul segitiga beraturan. Ini - poin Apollonius. Titik dan sejenisnya disebut Poin Brocard.

Langsung

Pada sembarang segitiga, pusat gravitasi, orthocenter, dan pusat lingkaran yang dibatasi terletak pada garis lurus yang sama, yang disebut Garis Euler.

Garis yang melalui pusat lingkaran yang dibatasi dan titik Lemoine disebut sumbu Brokar. Poin Apollonius terletak di atasnya. Titik Torricelli dan titik Lemoine juga terletak pada garis lurus yang sama. Alas bagi garis bagi luar dari sudut-sudut suatu segitiga terletak pada garis lurus yang sama, disebut sumbu garis-bagi eksternal. Titik potong garis yang memuat sisi-sisi segitiga siku-siku dengan garis-garis yang memuat sisi-sisi segitiga juga terletak pada garis yang sama. Garis ini disebut sumbu ortosentrik, tegak lurus terhadap garis Euler.

Jika kita mengambil sebuah titik pada lingkaran berbatas segitiga, maka proyeksinya pada sisi-sisi segitiga akan terletak pada satu garis lurus, yang disebut Garis lurus Simson titik yang diberikan. Garis Simson dari titik-titik yang berlawanan secara diametral adalah tegak lurus.

segitiga

• Segitiga dengan simpul di dasar cevians ditarik melalui titik tertentu disebut segitiga cevian titik ini.
• Segitiga dengan titik sudut dalam proyeksi suatu titik tertentu ke sisi disebut dibawah kulit atau segitiga pedal titik ini.
• Segitiga dengan simpul-simpul di persimpangan kedua dari garis-garis yang ditarik melalui simpul-simpul dan titik yang diberikan, dengan lingkaran yang dibatasi, disebut segitiga cevian. Segitiga cevian mirip dengan segitiga subdermal.

lingkaran

• lingkaran tertulis adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga. Dia adalah satu-satunya. Pusat lingkaran bertulisan disebut di tengah.
• Lingkaran berbatas- lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Lingkaran yang dibatasi juga unik.
• keluar dari lingkaran- lingkaran yang menyinggung salah satu sisi segitiga dan perpanjangan dari dua sisi lainnya. Ada tiga lingkaran seperti itu dalam segitiga. Pusat radikal mereka adalah pusat lingkaran tertulis dari segitiga median, yang disebut Poin Spieker.

Titik tengah ketiga sisi suatu segitiga, alas ketiga ketinggiannya, dan titik tengah ketiga ruas garis yang menghubungkan simpul-simpulnya dengan orthocenter terletak pada satu lingkaran yang disebut lingkaran sembilan titik atau lingkaran Euler. Pusat lingkaran sembilan titik terletak pada garis Euler. Sebuah lingkaran dengan sembilan titik menyentuh lingkaran bertulisan dan tiga lingkaran luar. Titik kontak antara lingkaran bertulisan dan lingkaran sembilan titik disebut Titik Feuerbach. Jika dari setiap simpul kita meletakkan segitiga pada garis lurus yang mengandung sisi, orthoses yang sama panjang dengan sisi yang berlawanan, maka enam titik yang dihasilkan terletak pada satu lingkaran - Lingkaran Conway. Dalam segitiga apa pun, tiga lingkaran dapat ditulis sedemikian rupa sehingga masing-masing menyentuh dua sisi segitiga dan dua lingkaran lainnya. Lingkaran seperti itu disebut Lingkaran Malfatti. Pusat-pusat lingkaran yang dibatasi dari enam segitiga di mana segitiga itu dibagi oleh median terletak pada satu lingkaran, yang disebut lingkaran Lamun.

Segitiga memiliki tiga lingkaran yang menyentuh dua sisi segitiga dan lingkaran yang dibatasi. Lingkaran seperti itu disebut setengah tertulis atau Lingkaran Verrier. Segmen yang menghubungkan titik kontak lingkaran Verrier dengan lingkaran berbatas berpotongan di satu titik, disebut Titik Verrier. Ini berfungsi sebagai pusat homothety, yang membawa lingkaran terbatas ke incircle. Titik singgung lingkaran Verrier dengan sisi-sisinya terletak pada garis lurus yang melewati pusat lingkaran tertulis.

Ruas garis yang menghubungkan titik singgung lingkaran bertulisan dengan titik-titik berpotongan di satu titik disebut Titik Gergonne, dan segmen yang menghubungkan simpul dengan titik kontak dari lingkaran - in titik Nagel.

Elips, parabola, dan hiperbola

Kerucut tertulis (elips) dan perspektifnya

Jumlah tak terbatas kerucut (elips, parabola, atau hiperbola) dapat ditulis dalam segitiga. Jika kita menuliskan kerucut sewenang-wenang dalam sebuah segitiga dan menghubungkan titik-titik kontak dengan simpul yang berlawanan, maka garis yang dihasilkan akan berpotongan di satu titik, yang disebut perspektif kerucut. Untuk setiap titik pada bidang yang tidak terletak pada satu sisi atau pada perpanjangannya, terdapat sebuah kerucut bertulisan dengan perspektif pada titik tersebut.

Elips Steiner dibatasi dan cevians melewati fokusnya

Sebuah elips dapat dituliskan dalam segitiga yang menyentuh sisi-sisi di titik tengahnya. Elips seperti itu disebut Steiner bertuliskan elips(perspektifnya akan menjadi pusat segitiga). Elips yang dijelaskan, yang bersinggungan dengan garis yang melalui simpul yang sejajar dengan sisi, disebut dibatasi oleh elips Steiner. Jika transformasi affine ("miring") menerjemahkan segitiga menjadi segitiga biasa, maka elips Steiner yang bertulis dan berbatas akan masuk ke dalam lingkaran bertulis dan berbatas. Cevian yang ditarik melalui fokus elips Steiner yang dijelaskan (titik Skutin) adalah sama (teorema Skutin). Dari semua elips yang dideskripsikan, elips Steiner yang dideskripsikan memiliki luas terkecil, dan dari semua elips bertulisan, elips Steiner bertulisan memiliki luas terbesar.

Elips Brocard dan perspektifnya - Titik Lemoine

Sebuah elips dengan fokus pada titik-titik Brokar disebut Brocard elips. Perspektifnya adalah titik Lemoine.

Sifat-sifat parabola bertulis

Parabola Kiepert

Perspektif parabola tertulis terletak pada elips Steiner yang dibatasi. Fokus parabola bertulisan terletak pada lingkaran yang dibatasi, dan direktriks melewati orthocenter. Parabola pada segitiga yang direktriksnya adalah garis Euler disebut Parabola Kiepert. Perspektifnya adalah titik potong keempat dari lingkaran yang dibatasi dan elips Steiner yang dibatasi, yang disebut titik Steiner.

hiperbola Cypert

Jika hiperbola yang dijelaskan melewati titik persimpangan ketinggian, maka itu adalah sama sisi (yaitu, asimtotnya tegak lurus). Titik potong asimtot hiperbola sama sisi terletak pada lingkaran sembilan titik.

Transformasi

Jika garis-garis yang melalui simpul-simpul dan suatu titik yang tidak terletak pada sisi-sisinya dan perpanjangannya dicerminkan terhadap garis-bagi yang bersesuaian, maka bayangannya juga akan berpotongan di satu titik, yang disebut konjugasi isogonal yang asli (jika titiknya terletak pada lingkaran yang dibatasi, maka garis yang dihasilkan akan sejajar). Banyak pasangan titik luar biasa yang terkonjugasi secara isogonal: pusat lingkaran yang dibatasi dan orthocenter, centroid dan titik Lemoine, titik Brocard. Titik Apollonius terkonjugasi secara isogon ke titik Torricelli, dan pusat lingkaran terkonjugasi secara isogonal dengan dirinya sendiri. Di bawah aksi konjugasi isogonal, garis lurus menjadi kerucut berbatas, dan kerucut berbatas menjadi garis lurus. Jadi, hiperbola Kiepert dan sumbu Brocard, hiperbola Enzhabek dan garis Euler, hiperbola Feuerbach dan garis pusat lingkaran bertulisan adalah konjugasi isogonal. Lingkaran terbatas segitiga subdermal dari titik konjugasi isogonal bertepatan. Fokus elips bertulisan adalah konjugasi isogonal.

Jika, alih-alih cevian simetris, kita mengambil cevian yang alasnya jauh dari tengah sisi seperti alas aslinya, maka cevian tersebut juga akan berpotongan di satu titik. Transformasi yang dihasilkan disebut konjugasi isotomik. Ini juga memetakan garis ke kerucut yang dibatasi. Titik Gergonne dan Nagel terkonjugasi secara isotomik. Di bawah transformasi affine, titik konjugasi isotomik masuk ke titik konjugasi isotomik. Pada konjugasi isotomi, elips Steiner yang dijelaskan melewati garis lurus di tak terhingga.

Jika dalam segmen yang dipotong oleh sisi segitiga dari lingkaran yang dibatasi, lingkaran tertulis yang menyentuh sisi di dasar cevian yang ditarik melalui titik tertentu, dan kemudian titik kontak lingkaran ini terhubung ke lingkaran yang dibatasi. lingkaran dengan simpul yang berlawanan, maka garis tersebut akan berpotongan di satu titik. Transformasi bidang, yang mencocokkan titik awal dengan titik yang dihasilkan, disebut transformasi isocircular. Komposisi konjugasi isogonal dan isotomik adalah komposisi transformasi isocircular dengan dirinya sendiri. Komposisi ini adalah transformasi proyektif yang membiarkan sisi-sisi segitiga pada tempatnya, dan menerjemahkan sumbu garis-bagi luar menjadi garis lurus di tak terhingga.

Jika kita melanjutkan sisi segitiga Cevian dari beberapa titik dan mengambil titik potongnya dengan sisi yang bersesuaian, maka titik potong yang dihasilkan akan terletak pada satu garis lurus, yang disebut kutub trilinear titik pangkal. Sumbu ortosentrik - kutub trilinear orthocenter; kutub trilinear dari pusat lingkaran tertulis adalah sumbu garis-bagi luar. Kutub trilinear dari titik-titik yang terletak pada kerucut berbatas berpotongan di satu titik (untuk lingkaran yang dibatasi ini adalah titik Lemoine, untuk elips Steiner yang dibatasi itu adalah centroid). Susunan konjugasi isogonal (atau isotomik) dan kutub trilinear merupakan transformasi dualitas (jika titik secara isogonal (isotomik) terkonjugasi ke titik terletak pada kutub trilinear titik , maka kutub trilinear titik tersebut secara isogonal (isotomik) konjugasi ke titik terletak pada kutub trilinear dari titik ).

Kotak

Hubungan dalam segitiga

Catatan: pada bagian ini, , , adalah panjang ketiga sisi segitiga, dan , , adalah sudut-sudut yang terletak berhadapan dengan ketiga sisi tersebut (sudut yang berlawanan).

pertidaksamaan segitiga

Dalam segitiga yang tidak merosot, jumlah panjang kedua sisinya lebih besar dari panjang sisi ketiga, dalam segitiga yang merosot itu sama. Dengan kata lain, panjang sisi segitiga dihubungkan oleh pertidaksamaan berikut:

Pertidaksamaan segitiga adalah salah satu aksioma metrik.

Teorema jumlah sudut segitiga

teorema sinus

di mana R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga. Ini mengikuti dari teorema bahwa jika< b < c, то α < β < γ.

teorema kosinus

teorema tangen

rasio lainnya

Rasio metrik dalam segitiga diberikan untuk:

Menyelesaikan Segitiga

Perhitungan sisi dan sudut segitiga yang tidak diketahui, berdasarkan yang diketahui, secara historis disebut "solusi segitiga". Dalam hal ini, teorema trigonometri umum di atas digunakan.

Luas segitiga

Ketidaksetaraan berikut berlaku untuk area:

Menghitung luas segitiga dalam ruang menggunakan vektor

Biarkan simpul dari segitiga berada di titik , , .

Mari kita perkenalkan vektor area . Panjang vektor ini sama dengan luas segitiga, dan diarahkan sepanjang garis normal ke bidang segitiga:

Membiarkan , Dimana , , Adalah proyeksi segitiga ke bidang koordinat. Di mana

dan juga

Luas segitiga tersebut adalah .

Alternatifnya adalah menghitung panjang sisi-sisinya (menggunakan teorema Pythagoras) dan kemudian menggunakan rumus Heron.

Teorema segitiga

Segi tiga . Segitiga lancip, tumpul, dan siku-siku.

Kaki dan sisi miring. Segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi.

Jumlah sudut segitiga.

Sudut luar segitiga. Tanda-tanda persamaan segitiga.

Garis dan titik indah dalam segitiga: ketinggian, median,

garis-bagi, median e tegak lurus, orthocenter,

pusat gravitasi, pusat lingkaran terbatas, pusat lingkaran tertulis.

Teori Pitagoras. Rasio aspek segitiga sewenang-wenang.

Segi tiga adalah poligon dengan tiga sisi (atau tiga sudut). Sisi segitiga sering dilambangkan dengan huruf kecil, yang sesuai dengan huruf kapital yang menunjukkan simpul yang berlawanan.

Jika ketiga sudutnya lancip ( gbr. 20), maka ini segitiga lancip . Jika salah satu sudutnya benar(C, gbr.21), itu adalah segitiga siku-siku; sisia , bmembentuk sudut siku-siku disebut kaki; sampingCberhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring. Jika salah satu dari sudut tumpul ( B, gbr.22), itu adalah segitiga tumpul.


Segitiga ABC (Gbr. 23) - sama kaki, jika dua sisinya samasebuah= C); sisi yang sama ini disebut lateral, pihak ketiga disebut dasar segi tiga. Segi tiga ABC (Gbr. 24) - sama sisi, jika semua sisinya samasebuah = B = C). Secara umum ( sebuah ≠ B ≠ C) kita punya sisi tak sama panjang segi tiga .

Sifat dasar segitiga. Dalam segitiga apa pun:

1. Ada sudut yang lebih besar di seberang sisi yang lebih besar, dan sebaliknya.

2. Sudut yang sama terletak berhadapan dengan sisi yang sama, dan sebaliknya.

Secara khusus, semua sudut di sama sisi segitiga adalah sama.

3. Jumlah sudut segitiga adalah 180 º .

Dari dua sifat terakhir dapat disimpulkan bahwa setiap sudut dalam sebuah sama sisi

segitiga adalah 60 º.

4. Melanjutkan salah satu sisi segitiga (AC, gbr. 25), kita mendapatkan luar

sudut BCD . Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah sudut dalam,

tidak berhubungan dengan itu :BCD=A+B.

5. Setiap sisi segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya dan lebih banyak

perbedaan mereka (sebuah < B + C, sebuah > B – C;B < sebuah + C, B > sebuah – C;C < sebuah + B,C > sebuah – B).

Tanda-tanda persamaan segitiga.

Segitiga kongruen jika masing-masing sama besar:

sebuah ) dua sisi dan sudut di antara mereka;

B ) dua sudut dan sisi yang berdekatan dengannya;

c.tiga sisi.

Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku.

Dua persegi panjang segitiga adalah kongruen jika salah satu dari kondisi berikut ini benar:

1) kaki mereka sama;

2) kaki dan sisi miring dari satu segitiga sama dengan kaki dan sisi miring yang lain;

3) sisi miring dan sudut lancip dari satu segitiga sama dengan sisi miring dan sudut lancip segitiga lainnya;

4) kaki dan sudut lancip yang berdekatan dari satu segitiga sama dengan kaki dan sudut lancip yang berdekatan dari segitiga lainnya;

5) kaki dan sudut lancip yang berlawanan dari satu segitiga sama dengan kaki dan berlawanan dengan sudut lancip yang lain.

Garis-garis indah dan titik-titik dalam segitiga.

Tinggi segitiga adalahtegak lurus,dijatuhkan dari sembarang titik ke sisi yang berlawanan ( atau lanjutannya). Sisi ini disebutalas segitiga . Tiga ketinggian segitiga selalu berpotongandi satu titikditelepon pusat orto segi tiga. Orthocenter dari segitiga lancip (titik HAI , Gambar 26) terletak di dalam segitiga, danorthocenter dari segitiga tumpul (titik HAI , Gbr.27) – di luar; Orthocenter dari segitiga siku-siku bertepatan dengan titik sudut siku-siku.

median - dia bagian , menghubungkan setiap titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berlawanan. Tiga median segitiga (AD , BE , CF , gbr.28) berpotongan di satu titik HAI , yang selalu terletak di dalam segitiga dan menjadi miliknya Pusat gravitasi. Titik ini membagi setiap median 2:1 dari atas.

Bisektris - dia segmen bagi-bagi sudut dari atas ke titik persimpangan dengan sisi yang berlawanan. Tiga garis bagi segitiga (AD , BE , CF , gbr.29) berpotongan di satu titik Oh, selalu berbaring di dalam segitiga dan makhluk pusat lingkaran tertulis(lihat bagian "Tertulisdan poligon berbatas).

Garis bagi membagi sisi yang berlawanan menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi yang berdekatan ; misalnya, pada Gambar.29 AE : CE = AB : SM .

Median tegak lurus adalah tegak lurus yang ditarik dari mean titik segmen (sisi). Tiga garis bagi segitiga ABC(KO , MO , TIDAK , gbr.30 ) berpotongan di satu titik O, yaitu Tengah lingkaran berbatas (titik K , M , N titik tengah sisi segitiga ABC).

Dalam segitiga lancip, titik ini terletak di dalam segitiga; di tumpul - di luar; dalam persegi panjang - di tengah-tengah hipotenusa. Orthocenter, pusat gravitasi, pusat berbatas dan pusat lingkaran bertulis berimpit hanya pada segitiga sama sisi.

Teori Pitagoras. Pada segitiga siku-siku, kuadrat panjangnyaSisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kaki.

Bukti teorema Pythagoras jelas mengikuti dari Gbr.31. Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan kaki a , b dan sisi miring C.

Ayo bangun persegi AKMB menggunakan hipotenusa AB sebagai sisi. Kemudianperpanjang sisi segitiga siku-siku ABC jadi untuk mendapatkan persegi CDEF , yang sisinya sama dengana + b.Sekarang jelas bahwa luas persegi CDEF adalah ( a+b) 2 . Di sisi lain, ini luas sama dengan jumlah daerah empat segitiga siku-siku dan kuadrat AKMB , yaitu

C 2 + 4 (ab / 2) = C 2 + 2 ab,

dari sini,

C 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

dan akhirnya kita memiliki:

C 2 =sebuah 2 +b 2 .

Rasio aspek segitiga sewenang-wenang.

Dalam kasus umum (untuk segitiga sembarang) kita memiliki:

C 2 =sebuah 2 +b 2 – 2ab· karena C,

dimana C - sudut antar sisisebuah dan B .

Apa yang disebut sudut segitiga? Jawabannya mungkin tergantung pada berapa banyak sudut yang ada di titik sudut segitiga.

Jika segitiga hanya memiliki satu sudut, maka dapat disebut dengan satu huruf, setelah nama titik sudutnya.

Misalnya, pada segitiga MKF (Gambar 1), setiap simpul hanya memiliki satu sudut. Oleh karena itu, setiap sudut dapat disebut dengan satu huruf, dengan nama simpul dari mana sinar yang membentuk sudut ini berasal:

gambar 1

sudut M, sudut K dan sudut F.

Ada tanda khusus untuk menunjuk sudut: ∠

Notasi M dibaca sebagai "sudut M".

Setiap sudut segitiga MKF juga bisa disebut tiga huruf. Dalam hal ini, simpul atas nama sudut harus berada di tengah.

Sudut M bisa juga disebut sudut KMF atau sudut FMK,

K - MKF atau FKM,

F - MFK atau KFM.

Gambar 2

Pada segitiga yang ditunjukkan pada Gambar 2, hanya sudut pada simpul A dan D yang dapat diberi nama dengan satu huruf: A dan D.

Ada tiga sudut di simpul B, jadi masing-masing sudut ini harus dinamai dengan tiga huruf: ABC, CBD, dan ABD.

Demikian pula, sudut sudut C hanya dapat diberi nama dengan tiga huruf: ACB, BCD, dan ACD. Tidak mungkin untuk menyebutkan salah satu sudut ini C.

gambar 3

Setiap sudut segitiga yang ditunjukkan pada Gambar 3 hanya dapat diberi nama dengan tiga huruf.

Sudut segitiga ABO: ABO, BAO, AOB.

Sudut segitiga BOC: BOC, OBC, BCO.

Sudut segitiga OCD: OCD, COD, CDO.

Sudut segitiga AOD: AOD, ADO, OAD.

Sudut segitiga ABC: ABC, BAC, BCA.

Sudut segitiga BCD: BCD, CBD, BDC.

Sudut segitiga ACD: ACD, CAD, ADC.

Sudut segitiga ABD: ABD, BAD, ADB.