Hökmdar və kompas ilə fiqurların qurulması. Kompas və xətkeşin köməyi ilə digər ikisinin hasili və ya nisbətinə bərabər seqment qurmaq yaradıcı işdir. Yeni materialın öyrənilməsi

Əgər daha çox müxtəlif alətlərin qəbulu ilə daha böyük tikinti problemlərinin həllinin mümkün olacağı təbiidirsə, o zaman qabaqcadan görmək olar ki, əksinə, alətlərə qoyulan məhdudiyyətlər altında həll edilə bilən problemlər sinfi daralacaq. İtalyan Mascheroni (1750-1800) tərəfindən edilən kəşf daha diqqətəlayiqdir: kompas və düzbucaqlı ilə edilə bilən bütün həndəsi konstruksiyalar yalnız bir kompasla edilə bilər. Təbii ki, şərtləndirilməlidir ki, hökmdarsız iki verilmiş nöqtədən düz xətt çəkmək əslində qeyri-mümkündür, ona görə də bu əsas konstruksiya Mascheroni nəzəriyyəsi ilə əhatə olunmur. Bunun əvəzinə, bir xəttin iki nöqtəsi verildiyi təqdirdə verildiyini düşünmək lazımdır. Amma təkcə kompasın köməyi ilə bu şəkildə verilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsini və ya xəttin dairə ilə kəsişmə nöqtəsini tapmaq mümkündür.

Mascheroni konstruksiyasının yəqin ki, ən sadə nümunəsi verilmiş seqmentin ikiqat artırılmasıdır.Həlli artıq səh.185-də verilmişdir.Daha sonra,səh.186-da biz verilmiş seqmentin yarıya bölünməsini öyrəndik. İndi gəlin dairənin qövsünü mərkəzi O ilə necə ikiyə bölmək olar görək. Bu konstruksiyanın təsviri buradadır. Radiusla mərkəzləri olan iki qövs çəkirik O nöqtəsindən biz bu qövslər üzərində iki belə qövs ayırırıq və sonra qövsün mərkəzlə P və radius və qövsü mərkəz və radius ilə kəsişmə nöqtəsini tapırıq. , seqmenti radius kimi götürərək, mərkəzi P ilə və ya qövslə kəsişmə kəsişmə nöqtəsi olana və qövsün istənilən orta nöqtəsi olana qədər qövsü təsvir edirik.İsbatı bir məşq kimi oxucunun ixtiyarına verilir.

düyü. 48. Dairə ilə mərkəzdən keçməyən xəttin kəsişməsi

Kompas və düzbucaqlı ilə edilə bilən hər bir konstruksiya üçün bunun tək bir kompasla necə edilə biləcəyini göstərməklə Mascheroninin əsas iddiasını sübut etmək qeyri-mümkün olardı: axı, sonsuz sayda mümkün konstruksiyalar var. Ancaq aşağıdakı əsas konstruksiyaların hər birinin bir kompasla həyata keçirilə biləcəyini müəyyən etsək, eyni məqsədə nail olacağıq:

1. Mərkəz və radius verilmişdirsə, dairəni çəkin.

2. İki dairənin kəsişmə nöqtələrini tapın.

3. Xəttin və çevrənin kəsişmə nöqtələrini tapın.

4. İki xəttin kəsişmə nöqtəsini tapın.

İstənilən həndəsi konstruksiya (adi mənada, kompas və düzbucaq fərziyyəsi ilə) bu elementar konstruksiyaların sonlu ardıcıllığından ibarətdir. Onlardan ilk ikisinin tək bir kompasla həyata keçirilə biləcəyi dərhal aydın olur. Daha çətin konstruksiyalar 3 və 4 əvvəlki paraqrafda müzakirə olunan inversiya xüsusiyyətlərindən istifadə etməklə həyata keçirilir.

3-cü konstruksiyaya keçək: verilmiş C çevrəsinin bu nöqtələrdən keçən düz xətti ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq.Müvafiq olaraq, O nöqtəsinə bərabər və O nöqtəsindən başqa, mərkəzləri və radiusları olan qövslər çəkirik, onlar nöqtədə kəsişir. P. Sonra C çevrəsi ilə bağlı P nöqtəsinə əks nöqtə qururuq (bax. tikinti 186-cı səhifədə təsvir edilmişdir). Nəhayət, mərkəzi və radiusu olan bir dairə çəkirik (əlbəttə ki, C ilə kəsişəcək): onun C dairəsi ilə kəsişmə nöqtələri arzu olunanlar olacaqdır. Bunu sübut etmək üçün nöqtələrin hər birinin eyni məsafədə olduğunu müəyyən etmək kifayətdir (nöqtələrə gəldikdə, onların analoji xassələri konstruksiyadan dərhal irəli gəlir). Həqiqətən də, nöqtəyə tərs olan nöqtənin nöqtələrdən C çevrəsinin radiusuna bərabər məsafə ilə ayrılması vəziyyətinə istinad etmək kifayətdir (bax. səh. 184). Qeyd etmək lazımdır ki, nöqtələrdən keçən dairə C dairəsinə nisbətən tərs xəttdir, çünki bu dairə ilə xətt kəsişir.

düyü. 49. Dairə ilə mərkəzdən keçən düz xəttin kəsişməsi

C ilə eyni nöqtələrdə. (Ters çevrildikdə, əsas dairə nöqtələri sabit qalır.)

Göstərilən tikinti yalnız xətt C mərkəzindən keçdikdə mümkün deyil. Lakin sonra kəsişmə nöqtələrini C nöqtələrində kəsişən B mərkəzi ilə ixtiyari bir dairə çəkdiyimiz zaman əldə etdiyimiz 188-ci səhifədə təsvir edilən konstruksiya ilə tapmaq olar. iki verilmiş nöqtəni birləşdirən düz xəttin tərsi dərhal 4-cü məsələni həll edən konstruksiya verir. Xətlər nöqtələrlə verilsin (şək. 50).

düyü. 50. İki xəttin kəsişməsi

Biz ixtiyari C çevrəsini çəkirik və yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək xətlərə tərs olan dairələr qururuq və Bu dairələr O nöqtəsində kəsişir və daha bir nöqtədə X nöqtəsi, nöqtənin tərsi istənilən kəsişmə nöqtəsidir: necə qurmaq artıq yuxarıda izah edilmişdir. X-nin arzu olunan nöqtə olması ondan aydın olur ki, eyni vaxtda hər iki xəttə aid olan bir nöqtəyə tərs olan tək bir nöqtə var və buna görə də X nöqtəsi, tərs eyni vaxtda üzərində və üzərində yatmalıdır.

Bu iki konstruksiya yalnız kompaslara icazə verilən Mascheroni konstruksiyaları ilə kompas və düzbucaqlı adi həndəsi konstruksiyalar arasında ekvivalentliyin sübutunu tamamlayır.

Məqsədimiz Mascheroni konstruksiyalarının daxili mənasını aydınlaşdırmaq olduğu üçün burada nəzərdən keçirdiyimiz fərdi problemlərin həllinin zərifliyinə əhəmiyyət vermədik. Ancaq misal olaraq, müntəzəm beşbucağın qurulmasını da göstərəcəyik; daha dəqiq desək, söhbət çevrə üzərində düzbucaqlı beşbucağın təpələri rolunu oynaya bilən beş nöqtənin tapılmasından gedir.

Qoy A K çevrəsinin ixtiyari nöqtəsi olsun. Düzgün yazılmış altıbucaqlının tərəfi çevrənin radiusuna bərabər olduğundan, K-də elə nöqtələr qoymaq çətin olmayacaq ki,

Geri irəli

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Əgər bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Dərs kitabı: Həndəsə, 7-9: təhsil müəssisələri üçün dərslik / (L.S.Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B.Kadomtsev və başqaları) - 16-cı nəşr. – M.: Maarifçilik, 2011.

Dərsin Məqsədləri:

1. tikinti problemlərinin yeni sinfi haqqında fikir vermək;
2. tikinti üçün ən sadə vəzifələri nəzərdən keçirin;
3. tələbələrə bu kimi problemləri həll etməyi öyrətmək.

Tapşırıqlar:

Təhsil aspekti:

• yeni problemlər sinfi haqqında fikir vermək - miqyas bölmələri olmadan kompas və hökmdardan istifadə edərək həndəsi məsələlərin qurulması;
• praktiki iş bacarıqlarını formalaşdırmaq;
• həndəsə tarixi haqqında bilikləri genişləndirmək.

İnkişaf aspekti:

• özünü idarə etmə bacarıqlarının inkişafı;
• İKT-səriştəsinin formalaşdırılması;
• məntiqi təfəkkürün formalaşması.

Təhsil aspekti:

• tədris işinə məsuliyyətli münasibət, mövzunun öyrənilməsində yekun nəticələr əldə etmək üçün iradə və əzmkarlıq tərbiyəsi;
• bir elm kimi riyaziyyat tarixinə marağı artırmaq.

Dərs növü: birləşdirilmiş.

Təhsil fəaliyyətinin təşkili formaları: fərdi, kollektiv.

Dərs addımları:

• fəal təlim fəaliyyətlərinə hazırlıq;
• biliyin tətbiqi;
• debrifinq və əks etdirmə;
• ev tapşırığı haqqında məlumat.

Avadanlıq:

• Dərslik, dəftər, karandaş, qələm, xətkeş, kompas, paylama materialları (KIM);
• Minimum texniki tələblərə malik kompüter: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7.
• Multimedia proyektoru, ekranı.

Dərs resursları:

• test tapşırıqları (KIM) Əlavə 1;
• təqdimat;
• materialın mənimsənilmə dərəcəsinin qiymətləndirilməsi əlavə 3.

Dərs planı:

DƏRSLƏR zamanı

1. Təşkilati məqam:

Bugünkü dərsimizin mövzusu “Tikinti tapşırıqlarının nümunələri”dir (slayd 1).

Dərsin məqsədi yalnız kompas və bölmələr olmadan hökmdarın köməyi ilə həll edilə bilən ən sadə tikinti məsələlərini nəzərdən keçirməkdir; onları necə həll edəcəyinizi öyrənin (slayd 2).

2. Təkrar. Ev tapşırığını yoxlamaq:

Biz “Dairə” mövzusunu öyrəndik və bu gün biliklərinizi test vasitəsilə yoxlayacağıq. Test tapşırığını tamamlayın (hər birinə test tapşırığı olan KIM verilir). Hər sual üçün düzgün cavabı seçin. Düzgün cavabların sayını hesablayaraq öz biliyinizi qiymətləndirin. 6 düzgün cavab olarsa bal “5”, 5 düzgün cavab olarsa bal “4”, 4 düzgün cavab olarsa bal “3”, düzgün cavabların sayı daha azdır. bal “2”.

(Təqdimatın 3-cü slaydında düzgün cavablar).

3. Şagirdləri yeni materialı qavramağa hazırlamaq:

Müəllimin giriş sözü:

Biz artıq həndəsi konstruksiyalarla məşğul olmuşuq: düz xətlər çəkdik, verilənlərə bərabər olan seqmentləri kənara qoyduq, müxtəlif alətlərdən istifadə edərək bucaqlar, üçbucaqlar və digər formalar çəkdik. Verilmiş uzunluqda bir seqment qurarkən, millimetr bölmələri olan bir hökmdar, verilmiş dərəcə ölçüsündə bir bucaq qurarkən isə bir iletki istifadə edilmişdir.

Ev tapşırığınızda aşağıdakı tapşırıq var idi:

ABC üçbucağını elə çəkin ki, AB = 3,6 sm, AC = 2,7 sm, A = 48° olsun. Nə cür st Bu problemi həll etmək üçün hansı vasitələrdən istifadə etdiniz?

Beləliklə, biz millimetr bölmələri olan bir hökmdar və bir iletki istifadə etdik. Ancaq elə tapşırıqlar var ki, orada bəzən təklif olunan həndəsi fiqurun qurulması üçün hansı alətlərdən istifadə edilməli olduğu nəzərdə tutulur (slayd 4-5).

Tapşırıq 1. Başlanğıcdan verilmiş şüada kompasın və bölmələri olmayan hökmdarın köməyi ilə verilənə bərabər bir seqmenti kənara qoyun. Ekran rəsm.

(Tələbələr həllər təklif edirlər).

İndi həllinizi yoxlayaq (slayd 6-a baxın)

Beləliklə, həndəsədə bir çox konstruksiyalar yalnız kompas və bölməsiz bir hökmdardan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər (slayd 7).

Bundan sonra tikinti problemlərindən danışarkən, məhz belə tikililəri nəzərə alacağıq.

Planimetriya kursunda öyrənilən ənənəvi material kompas və xətkeşlə tikmə problemləridir. Adətən bu tapşırıqlar dörd hissədən ibarət sxem üzrə həll edilir (bax: dərsliyin s. 95–96). Əvvəlcə istədiyiniz rəqəmi çəkin (çəkin) və problemin məlumatları ilə istədiyiniz elementlər arasında əlaqə qurun. Həllin bu hissəsi deyilir təhlil. Problemin həlli üçün bir plan yaratmağa imkan verir.

Daha sonra nəzərdə tutulan plana uyğun olaraq, Tikinti kompas və hökmdar.

Bundan sonra sizə lazımdır sübut etmək qurulmuş fiqurun məsələnin şərtlərini ödədiyini.

Və nəhayət, zəruridir tədqiqat, hər hansı bir məlumat üçün problemin həlli varmı və əgər varsa, neçə həll yolu var.

Tapşırığın kifayət qədər sadə olduğu hallarda, təhlil və ya tədqiqat kimi ayrı-ayrı hissələr buraxıla bilər (slayd 8).

7-ci sinifdə kompas və hökmdarla tikinti üçün ən sadə tapşırıqları, digər siniflərdə daha mürəkkəb məsələləri həll edəcəyik.

4. Yeni materialın öyrənilməsi:

Beləliklə, bizim vəzifəmiz yalnız iki alətdən istifadə edərək tikinti işlərini tamamlamaqdır: kompas və miqyas bölmələri olmayan bir hökmdar.

Onlarla nə etmək olar? Aydındır ki hökmdar ixtiyari düz xətt çəkməyə, həmçinin verilmiş iki nöqtədən keçən düz xətt çəkməyə imkan verir. Bir kompasdan istifadə edərək, ixtiyari radiuslu bir dairə, həmçinin müəyyən bir nöqtədə mərkəzi və verilmiş seqmentə bərabər radiusu olan bir dairə çəkə bilərsiniz.(slayd 9).

Bu sadə əməliyyatları yerinə yetirməklə bir çox maraqlı tikinti problemlərini həll edə bilərik (slayd 10):

1. Verilmiş şüanın əvvəlindən verilmiş seqmentə bərabər olan seqmenti kənara qoyun.
2. Verilmiş şüadan verilənə bərabər bir bucaq qoyun.
3. Verilmiş düzlənməmiş bucağın bissektrisasını qurun.
4. Verilmiş nöqtədən keçən və verilmiş nöqtənin yerləşdiyi xəttə perpendikulyar bir xətt qurun.
5. Bu seqmentin orta nöqtəsini qurun.

Artıq 1 nömrəli problemi həll etdik.

İndi biz kompüterin köməyi ilə 2 nömrəli məsələnin həllini nəzərdən keçirəcəyik.Dəftərinizdə müvafiq konstruksiyaları yerinə yetirin (slayd 11-12).

İndi 3 - 5 nömrəli tapşırıqları nəzərdən keçirək (slayd 13-18).

(müvafiq konstruksiyalar və tapşırıqların təsviri dəftərdə yerinə yetirilir)

Müəllim işi başa vurduqdan sonra şagirdlərin diqqətini bu cür tapşırıqlara qədim zamanlarda baxıldığına cəlb edir.(slayd 19).

İndi isə həndəsə tarixinə müraciət edək. Qədim Yunan riyaziyyatçıları kompas və düz xəttin köməyi ilə həndəsi konstruksiyalarda son dərəcə böyük bacarıq əldə etmişlər. Onlar sübut etdilər ki, bucaq dörd bərabər bucağa da bölünə bilər. Bunu etmək üçün onu yarıya bölmək və sonra hər yarımın bissektrisasını qurmaq lazımdır. Kompas və düzbucaqdan istifadə edərək bucağı üç bərabər hissəyə bölmək mümkündürmü? Bu vəzifə adlanır bucaq trisection problemləri,əsrlər boyu riyaziyyatçıların diqqətini cəlb etmişdir. Lakin o, onların səylərinə tab gətirmədi. Yalnız keçən əsrdə ixtiyari bir bucaq üçün belə bir tikintinin mümkün olmadığı sübut edildi.

Digər tikinti problemləri var ki, onları kompas və düzbucaqla həll etmək mümkün deyil. Bu tapşırıqlarla tanış olmaq üçün məlumatları ehtiva edən materialı müstəqil olaraq tapmağı təklif edirəm.

5. Dərsi yekunlaşdırmaq:

Biz çoxlu yeni şeylər öyrəndik, hansı problemlərin yalnız kompas və xətkeşin köməyi ilə həll oluna biləcəyini öyrəndik. Hər birinizin sual vərəqi var. Təklif olunan cavablardan birini seçməklə bugünkü dərsdə işinizi qiymətləndirin.

1. Dərsin çətinliyini qiymətləndirin. Siz sinifdə idiniz:
   • asan;
   • adətən;
   • çətin
2. Materialın mənimsənilmə dərəcəsini qiymətləndirin:
   • tam öyrənmiş, müraciət edə bilər;
   • tamamilə öyrəndim, lakin tətbiq etməkdə çətinlik çəkirəm;
   • qismən öyrənildi;
   • başa düşmədi.

Növbəti dərsdə işi düzgün təşkil etmək üçün bugünkü dərsin materialının mənimsənilmə dərəcəsini qiymətləndirmək üçün vərəqələr toplayın. Dərs üçün qiymətlər, o cümlədən "Dairə" mövzusunda test üçün qiymətlər bildirilir.

6. Ev tapşırığı:

• 50-ci səhifədəki 17-21 suallara cavab verin;
• 153, 154 nömrəli məsələləri həll edin (slayd 20).

Təlimat

Kompas iynəsini qeyd olunan nöqtəyə qoyun. Ölçülmüş radiuslu bir qələm ilə bir dairə çəkin.

Çəkilmiş qövsün ətrafı boyunca hər hansı bir yerə bir nöqtə qoyun. Bu yaradılan üçbucağın ikinci B təpəsi olacaq.

Eyni şəkildə ayağı ikinci təpəyə qoyun. Başqa bir dairə çəkin ki, birincisi ilə kəsişsin.

Yaradılmış üçbucağın üçüncü təpəsi C hər iki çəkilmiş qövsün kəsişmə nöqtəsində yerləşir. Şəkildə qeyd edin.

Hər üç təpəni əldə etdikdən sonra hər hansı bir düz səthdən istifadə edərək onları düz xətlərlə birləşdirin (bir hökmdardan daha yaxşıdır). ABC üçbucağı qurulur.

Əgər çevrə verilmiş üçbucağın hər üç tərəfinə toxunursa və onun mərkəzi üçbucağın daxilindədirsə, o zaman üçbucağın içərisinə daxil edilmiş adlanır.

Sizə lazım olacaq

• hökmdar, dairə

Təlimat

Üçbucağın təpələrindən (bölünən bucağın əks tərəfi) ixtiyari radiuslu dairənin qövsləri bir-biri ilə kəsişənə qədər kompasla çəkilir;

Hökmdar boyunca qövslərin kəsişmə nöqtəsi bölünən bucağın yuxarı hissəsinə bağlanır;

Eyni hər hansı digər bucaq ilə edilir;

Üçbucağa yazılmış dairənin radiusu üçbucağın sahəsi ilə onun yarımperimetrinin nisbəti olacaqdır: r=S/p, burada S üçbucağın sahəsidir və p=(a+b+) c)/2 üçbucağın yarımperimetridir.

Üçbucağın içərisinə daxil edilmiş dairənin radiusu üçbucağın bütün tərəflərindən bərabər məsafədədir.

Mənbələr:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Üçbucağın üç tərəfi və ya bir tərəfi və iki bucağı məlum olmaq şərti ilə qurulması məsələsini nəzərdən keçirək.

Sizə lazım olacaq

• - kompaslar
• - hökmdar
• - iletki

Təlimat

Tutaq ki, üç tərəf var: a, b və c. İstifadə edərək, belə partiyalarla çətin deyil. Əvvəlcə bu tərəflərdən ən uzununu seçək, c tərəfi olsun və onu çəkək. Sonra kompasın açılışını digər tərəfin a tərəfinin dəyərinə qoyuruq və kompasla c tərəfinin uclarından birində mərkəzləşdirilmiş a radiuslu bir dairə çəkirik. İndi kompasın açılışını b tərəfinin dəyərinə təyin edin və c tərəfinin digər ucunda mərkəzləşdirilmiş bir dairə çəkin. Bu dairənin radiusu b-dir. Dairələrin kəsişmə nöqtəsini mərkəzlərlə bağlayırıq və istədiyiniz tərəfləri olan üçbucaq alırıq.

Verilmiş tərəfi və iki bitişik bucağı olan üçbucaq çəkmək üçün iletkidən istifadə edin. Göstərilən uzunluqda bir tərəf çəkin. Onun kənarlarında, bir iletki ilə küncləri kənara qoyun. Künclərin tərəflərinin kəsişməsində üçbucağın üçüncü təpəsini alın.

Əlaqədar videolar

Qeyd

Üçbucağın tərəfləri üçün aşağıdakı ifadə doğrudur: hər iki tərəfin uzunluqlarının cəmi üçüncü tərəfdən böyük olmalıdır. Əgər bu doğru deyilsə, onda belə bir üçbucaq qurmaq mümkün deyil.

1-ci addımdakı dairələr iki nöqtədə kəsişir. Hər hansı birini seçə bilərsiniz, üçbucaqlar bərabər olacaq.

Düzgün üçbucaq bütün tərəflərinin eyni uzunluqda olduğu üçbucaqdır. Bu tərifə əsasən, belə bir üçbucağın qurulması çətin bir iş deyil.

Sizə lazım olacaq

• Hökmdar, xəttli kağız vərəqi, qələm

Təlimat

Bir xətkeşdən istifadə edərək, Şəkil 2-də göstərildiyi kimi vərəqdə qeyd olunan nöqtələri ardıcıl olaraq bir-birinin ardınca birləşdirin.

Qeyd

Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucaqda bütün bucaqlar 60 dərəcədir.

Faydalı məsləhət

Bərabərtərəfli üçbucaq həm də ikitərəfli üçbucaqdır. Üçbucaq ikitərəflidirsə, bu o deməkdir ki, onun 3 tərəfindən 2-si bərabərdir və üçüncü tərəf əsas hesab olunur. İstənilən müntəzəm üçbucaq ikitərəflidir, əksinə doğru deyil.

İstənilən bərabərtərəfli üçbucağın yalnız tərəfləri deyil, həm də hər biri 60 dərəcəyə bərabər olan bucaqları var. Bununla belə, bir iletki istifadə edərək qurulan belə bir üçbucağın çəkilməsi çox dəqiq olmayacaqdır. Buna görə də, bu rəqəmi qurmaq üçün kompasdan istifadə etmək daha yaxşıdır.

Sizə lazım olacaq

• Qələm, hökmdar, kompas

Təlimat

Sonra bir kompas götürün, uclarına (üçbucağın gələcək təpəsi) quraşdırın və bu seqmentin uzunluğuna bərabər radiuslu bir dairə çəkin. Bütün dairəni çəkə bilməzsiniz, ancaq seqmentin əks kənarından yalnız dörddə birini çəkin.

İndi kompası seqmentin digər ucuna köçürün və yenidən eyni radiusda bir dairə çəkin. Burada seqmentin uzaq ucundan artıq qurulmuş qövslə kəsişməyə qədər uzanan bir dairə qurmaq kifayətdir. Nəticə nöqtəsi üçbucağın üçüncü təpəsi olacaq.

İnşaatı başa çatdırmaq üçün yenidən qələmlə bir hökmdar götürün və iki dairənin kəsişmə nöqtəsini seqmentin hər iki ucu ilə birləşdirin. Hər üç tərəfi tamamilə bərabər olan bir üçbucaq alacaqsınız - bu, bir hökmdarla asanlıqla yoxlanıla bilər.

Əlaqədar videolar

Üçbucaq üç tərəfi olan çoxbucaqlıdır. Bərabər və ya düzgün üçbucaq bütün tərəfləri və bucaqları bərabər olan üçbucaqdır. Adi bir üçbucağı necə çəkə biləcəyinizi düşünün.

Sizə lazım olacaq

• Hökmdar, dairə.

Təlimat

Kompasdan istifadə edərək, mərkəzi B nöqtəsində olacaq və radiusu BA xətti seqmentinə bərabər olan başqa bir dairə çəkin.

Dairələr iki nöqtədə kəsişəcək. Onlardan hər hansı birini seçin. Onu C adlandırın. Bu, üçbucağın üçüncü təpəsi olacaq.

Təpələri bir-birinə bağlayın. Yaranan üçbucaq düzgün olacaq. Bir hökmdarla tərəflərini ölçməklə bunu yoxlayın.

İki hökmdardan istifadə edərək müntəzəm üçbucağın qurulması üsulunu nəzərdən keçirin. OK seqmentini çəkin, o, üçbucağın tərəflərindən biri, O və K nöqtələri isə onun təpələri olacaqdır.

OK seqmentini qurduqdan sonra hökmdarı hərəkət etdirmədən, ona perpendikulyar olan başqa bir hökmdar əlavə edin. Ortada OK seqmentini kəsən m xətti çəkin.

Bir hökmdardan istifadə edərək, OK seqmentinə bərabər olan OE seqmentini ölçün ki, onun uclarından biri O nöqtəsi ilə üst-üstə düşsün, digəri isə m xəttində olsun. E nöqtəsi üçbucağın üçüncü təpəsi olacaq.

E və K nöqtələrini birləşdirərək üçbucağın tikintisini tamamlayın. Konstruksiyanı hökmdarla yoxlayın.

Qeyd

Bucaqları ölçməklə üçbucağın düzgün olduğundan əmin ola bilərsiniz.

Faydalı məsləhət

Tək bir hökmdardan istifadə edərək qəfəsdəki vərəqdə bərabərtərəfli üçbucaq da çəkilə bilər. Başqa bir hökmdar yerinə perpendikulyar xətlərdən istifadə edin.

Mənbələr:

• Üçbucaqların təsnifatı. Bərabər üçbucaqlar
• Üçbucaq nədir
• düzbucaqlı üçbucağın qurulması

Yazılı üçbucaq bütün təpələri dairənin üzərində olan üçbucaqdır. Ən azı bir tərəfi və bucağı bilsəniz, onu qura bilərsiniz. Dairə dairəvi adlanır və bu üçbucaq üçün yeganə olacaq.

Sizə lazım olacaq

• - dairə;
• - üçbucağın tərəfi və bucağı;
• - kağız;
• - kompas;
• - hökmdar;
• - iletki;
• - kalkulyator.

Təlimat

A nöqtəsindən verilən bucağı kənara çəkmək üçün iletkidən istifadə edin. Küncün tərəfini dairə ilə kəsişməyə davam edin və C nöqtəsini qoyun. B və C nöqtələrini birləşdirin. ABC üçbucağınınız var. İstənilən növ ola bilər. Kəskin üçbucaqda çevrənin mərkəzi onun xaricində, kütbucaqda kənarda, düzbucaqlı üçbucaqda isə hipotenuzda yerləşir. Əgər sizə bucaq deyil, məsələn, üçbucağın üç tərəfi verilirsə, radiusdan və məlum tərəfdən bucaqlardan birini hesablayın.

Daha tez-tez bir üçbucaq verildikdə və onun ətrafında bir dairə təsvir edildikdə tərs tikinti ilə məşğul olmaq lazımdır. Onun radiusunu hesablayın. Bu, sizə veriləndən asılı olaraq bir neçə formulla edilə bilər. Radiusu, məsələn, əks bucağın yan və sinüsü ilə tapmaq olar. Bu halda, tərəfin uzunluğunun əks bucağın sinusunun iki qatına bölünməsinə bərabərdir. Yəni, R=a/2sinCAB. Tərəflərin hasili vasitəsilə də ifadə oluna bilər, bu halda R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Dairənin mərkəzini müəyyənləşdirin. Bütün tərəfləri yarıya bölün və ortasına perpendikulyar çəkin. Onların kəsişmə nöqtəsi dairənin mərkəzi olacaqdır. Onu elə çəkin ki, o, künclərin bütün təpələrini kəssin.

Düzbucaqlı üçbucağın ayaqlar adlanan iki qısa tərəfi tərifinə görə bir-birinə perpendikulyar olmalıdır. Fiqurun bu xüsusiyyəti onun qurulmasını çox asanlaşdırır. Lakin perpendikulyarlığı dəqiq müəyyən etmək həmişə mümkün olmur. Belə hallarda, bütün tərəflərin uzunluqlarını hesablaya bilərsiniz - onlar üçbucağı yeganə mümkün və buna görə də düzgün şəkildə qurmağa imkan verəcəkdir.

Sizə lazım olacaq

• Kağız, karandaş, xətkeş, iletki, kompas, kvadrat.

"Kompas və hökmdarla tikinti" video dərsində tikinti problemlərinin həlli üçün əsas olan tədris materialı var. Həndəsi konstruksiyalar bir çox praktiki məsələlərin həllinin vacib hissəsidir. Şəkildəki şərtləri düzgün əks etdirmək bacarığı olmadan demək olar ki, heç bir həndəsi tapşırıq yerinə yetirilə bilməz. Bu video dərsin əsas məqsədi şagirdin həndəsi fiqurların qurulması üçün rəsm alətlərindən istifadə haqqında biliklərini dərinləşdirmək, bu vasitələrin imkanlarını nümayiş etdirmək və sadə tikinti məsələlərinin həllini öyrətməkdir.

Video dərsin köməyi ilə öyrənmək bir çox üstünlüklərə malikdir, o cümlədən hazırlanmış konstruksiyaların aydınlığı, aydınlığı, çünki material lövhədə faktiki konstruksiyaya yaxın elektron vasitələrdən istifadə etməklə nümayiş etdirilir. Konstruksiyalar sinifdə istənilən yerdən aydın görünür, vacib məqamlar rənglə vurğulanır. Səs müşayiəti müəllimin standart tədris materialı blokunun təqdimatını əvəz edir.

Video dərslik mövzu adının elanı ilə başlayır. Şagirdlərin həndəsi fiqurların qurulmasında artıq müəyyən bacarıqlara malik olduqları xatırladılır. Əvvəlki dərslərdə şagirdlər həndəsənin əsaslarını öyrəndikdə və düz xətt, nöqtə, bucaq, seqment, üçbucaq anlayışlarını mənimsəyəndə verilənlərə bərabər seqmentlər çəkir, ən sadə həndəsi fiqurların qurulmasını tamamlayırdılar. Belə konstruksiyalar mürəkkəb bacarıqlar tələb etmir, lakin həndəsi obyektlərlə sonrakı iş və daha mürəkkəb həndəsi məsələlərin həlli üçün tapşırıqların düzgün yerinə yetirilməsi vacibdir.

Şagirdlərə həndəsi məsələlərin həlli zamanı konstruksiyaların yerinə yetirilməsi üçün istifadə olunan əsas vasitələrin siyahısı verilir. Şəkillərdə miqyaslı hökmdar, kompas, düz bucaqlı üçbucaq, iletki göstərilir.

Şagirdlərin müxtəlif tipli konstruksiyaların necə yerinə yetirildiyi haqqında anlayışlarını genişləndirərək, onlara miqyaslı xətkeşsiz aparılan konstruksiyalara diqqət yetirmək tövsiyə olunur və onlar üçün yalnız kompas və bölməsiz xətkeşdən istifadə oluna bilər. Qeyd olunur ki, yalnız xətkeş və kompasdan istifadə edilən belə bir tikinti tapşırıqları qrupu həndəsədə ayrıca seçilir.

Hökmdar və kompasdan istifadə etməklə hansı həndəsi məsələlərin həll oluna biləcəyini müəyyən etmək üçün bu rəsm alətlərinin imkanlarını nəzərdən keçirmək təklif olunur. Hökmdar ixtiyari bir xətt çəkməyə, müəyyən nöqtələrdən keçən bir xətt qurmağa kömək edir. Kompas dairələr çəkmək üçün nəzərdə tutulub. Yalnız kompasın köməyi ilə ixtiyari bir dairə qurulur. Kompasın köməyi ilə buna bərabər seqment də çəkilir. Rəsm alətlərinin göstərilən imkanları bir sıra tikinti işlərini yerinə yetirməyə imkan verir. Belə tikinti işləri arasında:

1. verilənə bərabər olan bucağın qurulması;
2. göstərilən nöqtədən keçən, verilənə perpendikulyar bir xətt çəkmək;
3. seqmentin iki bərabər hissəyə bölünməsi;
4. bir sıra digər tikinti işləri.

Sonra, bir hökmdar və kompasdan istifadə edərək tikinti tapşırığını həll etmək təklif olunur. Ekran, şüanın əvvəlindən müəyyən seqmentə bərabər olan müəyyən bir şüaya bir seqment qoymaqdan ibarət olan problemin vəziyyətini nümayiş etdirir. Bu məsələnin həlli ixtiyari AB seqmentinin və OS şüasının qurulması ilə başlayır. Bu məsələnin həlli olaraq, radiusu AB və mərkəzi O nöqtəsində olan çevrənin qurulması təklif olunur. Quraşdırıldıqdan sonra qurulan dairə OS şüası ilə hər hansı D nöqtəsində kəsişir. Bu halda şüanın ilə təmsil olunan hissəsi OD seqmenti AB seqmentinə bərabər olan seqmentdir. Problem həll olundu.

Müəllim tikinti üçün praktiki məsələlərin həllinin əsaslarını izah edərkən "Kompas və xətkeşlə tikinti" video dərsindən istifadə edilə bilər. Həm də bu materialı müstəqil öyrənməklə bu metodu mənimsəmək olar. Bu video dərs də müəllimə bu mövzuda materialı uzaqdan təqdim etməkdə kömək edə bilər.

Kompas və düz xətt ilə tikinti

Kompas və düzbucaqlı konstruksiyalar- qədim dövrlərdən bəri məlum olan Evklid həndəsəsinin bölməsi. Tikinti işlərində kompas və hökmdar ideal alətlər hesab olunur, xüsusən:

• Hökmdarın bölmələri yoxdur və sonsuz uzunluqda bir tərəfi var, ancaq bir.
• Kompas ixtiyari böyük və ya ixtiyari kiçik bir açılışa malik ola bilər (yəni ixtiyari radiuslu bir dairə çəkə bilər).

Misal

Bir xəttin yarıya bölünməsi

Biseksiya problemi. Bu seqmenti bölmək üçün kompas və düz xəttdən istifadə edin AB iki bərabər hissəyə. Həlllərdən biri şəkildə göstərilmişdir:

• Kompaslar nöqtələrdə mərkəzləşdirilmiş dairələr çəkir A və B radius AB.
• Kəsişmə nöqtələrinin tapılması P və Q iki qurulmuş dairə (qövslər).
• Bir hökmdarın üzərində nöqtələrdən keçən bir seqment və ya xətt çəkin P və Q.
• Seqmentin orta nöqtəsinin tapılması AB- kəsişmə nöqtəsi AB və PQ.

Formal tərif

Tikinti məsələlərində müstəvinin bütün nöqtələrinin çoxluğu, təyyarənin bütün xətlərinin çoxluğu və təyyarənin bütün dairələrinin çoxluğu nəzərdə tutulur ki, bunlar üzərində aşağıdakı əməliyyatlara icazə verilir:

1. Bütün nöqtələr dəstindən bir nöqtə seçin:
   1. ixtiyari nöqtə
   2. verilmiş xəttdə ixtiyari nöqtə
   3. verilmiş dairədə ixtiyari nöqtə
   4. verilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsi
   5. verilmiş xəttin və verilmiş dairənin kəsişmə nöqtələri/tangensi
   6. verilmiş iki dairənin kəsişmə nöqtələri/tangensi
2. "Va hökmdarlar» bütün sətirlər dəstindən bir xətt seçin:
   1. ixtiyari xətt
   2. verilmiş nöqtədən keçən ixtiyari xətt
   3. iki verilmiş nöqtədən keçən xətt
3. "Va kompas» bütün dairələr dəstindən dairə seçin:
   1. ixtiyari dairə
   2. müəyyən bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş ixtiyari dairə
   3. radiusu verilmiş iki nöqtə arasındakı məsafəyə bərabər olan ixtiyari dairə
   4. mərkəzi verilmiş nöqtədə olan və verilmiş iki nöqtə arasındakı məsafəyə bərabər radiuslu dairə

Problemin şərtlərində müəyyən nöqtələr dəsti göstərilir. Sonlu sayda əməliyyatlardan istifadə edərək, yuxarıda göstərilən icazə verilən əməliyyatlar arasından orijinal çoxluqla müəyyən əlaqədə olan başqa bir nöqtə dəsti qurmaq tələb olunur.

Tikinti probleminin həlli üç əsas hissədən ibarətdir:

1. Verilmiş çoxluğun qurulması üsulunun təsviri.
2. Təsvir edilən şəkildə qurulmuş çoxluğun həqiqətən orijinal çoxluqla müəyyən bir əlaqədə olduğunun sübutu. Adətən konstruksiyanın sübutu aksiomlara və digər sübut edilmiş teoremlərə əsaslanaraq teoremin müntəzəm sübutu kimi aparılır.
3. Təsvir edilən tikinti metodunun ilkin şərtlərin müxtəlif variantlarına tətbiqi, eləcə də təsvir edilən üsulla alınan həllin unikallığı və ya qeyri-adiliyi üçün təhlili.

Məlum məsələlər

• Apolloniusun verilmiş üç çevrəyə toxunan çevrə qurmaq məsələsi. Əgər verilmiş çevrələrin heç biri digərinin içində deyilsə, bu məsələnin mahiyyətcə fərqli 8 həlli var.
• Brahmaquptanın dörd tərəfi üzərində yazılmış dördbucaqlı qurmaq problemi.

Müntəzəm çoxbucaqlıların qurulması

Qədim həndəsələr düzgün qurmağı bilirdilər n-gons , , və üçün.

Mümkün və qeyri-mümkün tikintilər

Bütün konstruksiyalar hansısa tənliyin həllindən başqa bir şey deyil və bu tənliyin əmsalları verilmiş seqmentlərin uzunluqları ilə bağlıdır. Buna görə də, müəyyən bir növ tənliyin qrafik həlli - bir nömrənin qurulması haqqında danışmaq rahatdır. Yuxarıda göstərilən tələblər çərçivəsində aşağıdakı tikintilər mümkündür:

• Xətti tənliklərin həllərinin qurulması.
• Kvadrat tənliklərin həllərinin qurulması.

Başqa sözlə, ilkin ədədlərin (seqmentlərin uzunluqları) kvadrat kökündən istifadə etməklə yalnız arifmetik ifadələrə bərabər ədədlər qurmaq olar. Məsələn,

Variasiyalar və ümumiləşdirmələr

• Tək kompas ilə konstruksiyalar. Mohr-Mascheroni teoreminə görə, bir kompasın köməyi ilə kompas və hökmdarla tikilə bilən istənilən fiqur qurmaq olar. Bu zaman üzərində iki nöqtə verildiyi təqdirdə xətt qurulmuş sayılır.
• Tək hökmdarlı konstruksiyalar. Bir hökmdarın köməyi ilə yalnız proyektiv invariant konstruksiyaların həyata keçirilə biləcəyini görmək asandır. Xüsusilə, seqmenti iki bərabər hissəyə bölmək, çəkilmiş dairənin mərkəzini tapmaq belə mümkün deyil. Ancaq müstəvidə işarələnmiş mərkəzi olan əvvəlcədən çəkilmiş bir dairə varsa, bir hökmdardan istifadə edərək, kompas və hökmdarla eyni konstruksiyaları çəkə bilərsiniz (Ponsele-Ştayner teoremi ( İngilis dili)), 1833. Hökmdarın üzərində iki serif varsa, ondan istifadə edilən konstruksiyalar kompas və xətkeşdən istifadə edilən konstruksiyalara bərabərdir (Napoleon bunu sübut etmək üçün mühüm addım atmışdır).
• Məhdud alətlərlə konstruksiyalar. Bu cür məsələlərdə alətlər (məsələnin klassik tərtibindən fərqli olaraq) ideal deyil, məhdud hesab olunur: iki nöqtədən keçən düz xətt yalnız bu nöqtələr arasındakı məsafə müəyyən bir həddi keçmədikdə xətkeşdən istifadə etməklə çəkilə bilər. dəyər; kompasla çəkilmiş dairələrin radiusu yuxarıdan, aşağıdan və ya həm yuxarıdan, həm də aşağıdan məhdudlaşdırıla bilər.
• Düz origami ilə bina. Khujit qaydalarına baxın

həmçinin bax

• Dinamik həndəsə proqramları kompüterdə kompas və düzbucaqla çəkməyə imkan verir.

Qeydlər

Ədəbiyyat

• A. Adler Həndəsi konstruksiyalar nəzəriyyəsi / Alman dilindən tərcümə edən G. M. Fikhtengolts. - Üçüncü nəşr. - L.: Üçpdqız, 1940. - 232 s.
• I. I. Aleksandrov Tikinti üçün həndəsi məsələlər toplusu. - On səkkizinci nəşr. - M .: Üçpdqız, 1950. - 176 s.
• B. İ. Arqunov, M.  B. Balk. - İkinci nəşr. - M .: Üçpdqız, 1957. - 268 s.
• A. M. Voronets Kompasın həndəsəsi. - M.-L.: ONTİ, 1934. - 40 s. - (Məşhur Riyaziyyat Kitabxanası, redaktoru L.A.Lyusternik).
• V. A. Geiler Həll olunmayan tikinti problemləri // soyuducu. - 1999. - No 12. - S. 115-118.
• V. A. Kiriçenko Kompas və hökmdarla konstruksiyalar və Qalua nəzəriyyəsi // "Müasir Riyaziyyat" Yay Məktəbi. - Dubna, 2005.
• Yu.I.Manin IV kitab. Həndəsə // İbtidai riyaziyyat ensiklopediyası. - M .: Fizmətqız, 1963. - 568 s.
• Y. Petersen Həndəsi tikinti məsələlərinin həlli üsulları və nəzəriyyələri. - M .: E. Lissner və Yu. Romanın mətbəəsi, 1892. - 114 s.
• V. V. PrasolovÜç klassik tikinti problemi. Bir kubun ikiqat artırılması, bir bucağın üçbucağı kəsilməsi, bir dairənin kvadratlaşdırılması. - M .: Nauka, 1992. - 80 s. - (Riyaziyyatdan populyar mühazirələr).
• J. Steiner Düz xətt və sabit dairədən istifadə etməklə yerinə yetirilən həndəsi konstruksiyalar. - M .: Üçpdqız, 1939. - 80 s.
• Riyaziyyatdan könüllü kurs. 7-9 / Tər. I. L. Nikolskaya. - M .: Təhsil, 1991. - S. 80. - 383 s. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia Fondu. 2010.

Digər lüğətlərdə "Bir kompas və hökmdarla tikinti" nə olduğuna baxın:

Qədim dövrlərdən bəri məlum olan Evklid həndəsəsinin bölməsi. Tikinti tapşırıqlarında aşağıdakı əməliyyatlar mümkündür: Müstəvidə ixtiyari nöqtəni, qurulmuş xətlərdən birində nöqtəni və ya iki qurulmuş xəttin kəsişmə nöqtəsini qeyd edin. ...... Vikipediyanın köməyi ilə

Kompas və düz xəttin köməyi ilə konstruksiyalar Qədim dövrlərdən bəri məlum olan Evklid həndəsəsinin bölməsi. Tikinti işlərində aşağıdakı əməliyyatlar mümkündür: Təyyarədə ixtiyari nöqtəni, qurulmuş xətlərdən birində nöqtəni və ya nöqtəni qeyd edin ... ... Wikipedia

Məsələn, s., istifadə edin. komp. tez-tez Morfologiya: (yox) nə? tikinti nə üçün? tikinti, (bax) nə? nə tikmək? tikinti, nə haqqında? tikinti haqqında; PL. nə? tikinti, (yox) nə? tikintilər, niyə? konstruksiyalar, (bax) nə? tikinti daha?...... Dmitriev lüğəti

Dairə və eyni sahənin kvadratı. Dairəni kvadratlaşdırmaq, sahəsinə bərabər olan bir kvadratın kompas və hökmdarından istifadə edərək konstruksiyanın tapılmasından ibarət problemdir ... Wikipedia

Müxtəlif fiqurların (nöqtələr, xətlər, bucaqlar, iki ölçülü və üçölçülü cisimlər), onların ölçüsünü və nisbi mövqeyini öyrənən riyaziyyatın bir qolu. Tədrisin rahatlığı üçün həndəsə planimetriya və bərk həndəsə bölünür. V…… Collier Ensiklopediyası

Ən ümumi mənada müəyyən riyaziyyatı öyrənən nəzəriyyə obyektlər öz avtomorfizm qruplarına əsaslanır. Beləliklə, məsələn, heterojen t. sahələri, halqalar və topoloji strukturlar mümkündür. boşluqlar və s.. dar mənada G. T. G. T. sahələri kimi başa düşülür. Bu yarandı… Riyaziyyat ensiklopediyası

Bu terminin başqa mənaları da var, bax Quadratura. Kvadratura (latınca quadratura, kvadratlaşdırma) əvvəlcə verilmiş bir fiqurun və ya səthin sahəsini tapmağı ifadə edən riyazi bir termindir. Gələcəkdə ... ... Vikipediya

Khujita qaydaları, kompas və düzbucaqlı konstruksiyalara bənzər düz origami istifadə edərək həndəsi konstruksiyaları rəsmi şəkildə təsvir edən yeddi qaydalar toplusudur. Əslində, onlar bir yeni qat əldə etməyin bütün mümkün yollarını təsvir edirlər ... ... Vikipediya