45-ə bölmənin qalığı nədir. Tam ədədlərin qalığa bölünməsi: qaydalar, nümunələr. Tam ədədlərin qalığa bölünməsi haqqında ümumi fikir
Ədədlərin bölünmə əlamətləri- bunlar bölmədən bu ədədin verilmişə qalıqsız bölünüb-bölünmədiyini nisbətən tez öyrənməyə imkan verən qaydalardır.
Bəzi bölünmə əlamətləri olduqca sadə, bəziləri daha çətin. Bu səhifədə siz sadə ədədlərin bölünmə əlamətlərini, məsələn, 2, 3, 5, 7, 11 kimi, və 6 və ya 12 kimi mürəkkəb ədədlərin bölünmə əlamətlərini tapa bilərsiniz.
Ümid edirəm bu məlumat sizin üçün faydalı olacaq.
Xoşbəxt öyrənmə!
2-yə bölünmə işarəsi
Bu bölünmənin ən sadə əlamətlərindən biridir. Bu belə səslənir: əgər natural ədədin yazısı cüt rəqəmlə bitirsə, o, cütdür (qalıqsız 2-yə bölünür) və ədədin yazısı tək rəqəmlə bitirsə, bu rəqəm təkdir.
Başqa sözlə, əgər ədədin son rəqəmi olarsa 2
, 4
, 6
, 8
və ya 0
- ədəd 2-yə bölünür, yoxsa, onda bölünmür
Məsələn, rəqəmlər: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
cüt olduqları üçün 2-yə bölünürlər.
Rəqəmlər: 23 5
, 137
, 2303
2-yə bölünmürlər, çünki təkdirlər.
3-ə bölünmə işarəsi
Bu bölünmə əlamətinin tamam başqa qaydaları var: ədədin rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünürsə, o zaman ədəd də 3-ə bölünür; Əgər ədədin rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünmürsə, o zaman 3-ə bölünmür.
Beləliklə, bir ədədin 3-ə bölünüb-bölünmədiyini başa düşmək üçün onu təşkil edən ədədləri toplamaq kifayətdir.
Bu belə görünür: 3987 və 141 3-ə bölünür, çünki birinci halda 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - 3-ə qalıqsız bölünür), ikincisində isə 1+4+1= 6
(6:3=2 - həm də 3-ə qalıqsız bölünür).
Amma ədədlər: 235 və 566 3-ə bölünmür, çünki 2+3+5= 10
və 5+6+6= 17
(və biz bilirik ki, nə 10, nə də 17 qalıqsız 3-ə bölünə bilməz).
4 işarəsi ilə bölünmə
Bu bölünmə testi daha mürəkkəb olacaq. Əgər ədədin son 2 rəqəmi 4-ə bölünən ədədi əmələ gətirirsə və ya 00-dırsa, o zaman ədəd 4-ə bölünür, əks halda bu ədəd 4-ə qalıqsız bölünməz.
Məsələn: 1 00
və 3 64
4-ə bölünürlər, çünki birinci halda nömrə bitir 00
, və ikincidə 64
, bu da öz növbəsində qalıqsız 4-ə bölünür (64:4=16)
Rəqəmlər 3 57
və 8 86
4-ə bölünmür, çünki heç biri yoxdur 57
nə də 86
4-ə bölünmür və buna görə də bu bölünmə meyarına uyğun gəlmir.
5-ə bölünmə işarəsi
Yenə də kifayət qədər sadə bölünmə əlamətimiz var: natural ədədin yazısı 0 və ya 5 rəqəmi ilə bitirsə, bu ədəd 5-ə qalıqsız bölünür. Əgər ədədin yazısı başqa rəqəmlə bitirsə, onda qalığı olmayan ədəd 5-ə bölünmür.
Bu o deməkdir ki, rəqəmlərlə bitən istənilən rəqəm 0
və 5
məsələn, 1235 5
və 43 0
, qaydaya düşür və 5-ə bölünür.
Və, məsələn, 1549 3
və 56 4
5 və ya 0 ilə bitməsin, yəni qalıqsız 5-ə bölünə bilməzlər.
6-ya bölünmə əlaməti
Qarşımızda 2 və 3 ədədlərinin hasili olan 6 mürəkkəb rəqəmi var. Deməli, 6-ya bölünmə əlaməti də mürəkkəbdir: ədədin 6-ya bölünməsi üçün o, iki bölünmə işarəsinə uyğun olmalıdır. eyni zamanda: 2-yə bölünmə əlaməti və 3-ə bölünmə əlaməti. Eyni zamanda qeyd edək ki, 4 kimi mürəkkəb ədədin fərdi bölünmə əlaməti var, çünki o, 2 rəqəminin öz-özünə hasilidir. . Ancaq 6-ya bölünmə testinə qayıdaq.
138 və 474 ədədləri cütdür və 3-ə bölünmə əlamətlərinə uyğundur (1+3+8=12, 12:3=4 və 4+7+4=15, 15:3=5), yəni onlar 6-ya bölünür. Amma 123 və 447, 3-ə bölünsə də (1+2+3=6, 6:3=2 və 4+4+7=15, 15:3=5), lakin təkdir, və buna görə də 2-yə bölünmə kriteriyasına uyğun gəlmir və buna görə də 6-ya bölünmə meyarına uyğun gəlmir.
7-yə bölünmə işarəsi
Bu bölünmə meyarı daha mürəkkəbdir: bu ədədin onluq sayından ikiqat sonuncu rəqəminin çıxılmasının nəticəsi 7-yə bölünərsə və ya 0-a bərabər olarsa, ədəd 7-yə bölünür.
Olduqca çaşqın səslənir, amma praktikada sadədir. Özünüz baxın: nömrə 95
9 7-ə bölünür, çünki 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 7-yə qalıqsız bölünür). Üstəlik, çevrilmələr zamanı alınan ədədlə bağlı çətinliklər yaranarsa (ölçüsünə görə onun 7-yə bölünüb-bölünmədiyini anlamaq çətindir, onda bu proseduru istədiyiniz qədər davam etdirmək olar).
Misal üçün, 45
5 və 4580
1-in 7-yə bölünmə əlamətləri var. Birinci halda hər şey olduqca sadədir: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. İkinci halda, biz bunu edəcəyik: 4580
-2*1=4580-2=4578. olub olmadığını anlamaq bizim üçün çətindir 457
8-dən 7-yə qədər, gəlin prosesi təkrar edək: 457
-2*8=457-16=441. Və yenə də bölünmə işarəsindən istifadə edəcəyik, çünki qarşımızda hələ də üçrəqəmli ədəd var 44
1. Beləliklə, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, yəni. 42 7-yə qalıqsız bölünür, yəni 45801 də 7-yə bölünür.
Və burada rəqəmlər var 11
1 və 34
5 7-ə bölünmür, çünki 11
-2*1=11-2=9 (9 7-yə bərabər bölünmür) və 34
-2*5=34-10=24 (24 7-yə bərabər bölünmür).
8-ə bölünmə əlaməti
8-ə bölünmə işarəsi belə səslənir: əgər son 3 rəqəm 8-ə bölünən ədədi əmələ gətirirsə və ya 000-dırsa, verilmiş ədəd 8-ə bölünür.
Rəqəmlər 1 000
və ya 1 088
8-ə bölünür: birincisi ilə bitir 000
, ikinci 88
:8=11 (8-ə qalıqsız bölünür).
Və burada 1 nömrələri var 100
və ya 4 757
ədədlər, çünki 8-ə bölünmür 100
və 757
8-ə qalıqsız bölünmür.
9-a bölünmə əlaməti
Bu bölünmə əlaməti 3-ə bölünmə əlamətinə bənzəyir: əgər ədədin rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünürsə, o zaman ədəd də 9-a bölünür; Əgər ədədin rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünmürsə, o zaman ədəd 9-a bölünmür.
Məsələn: 3987 və 144 9-a bölünür, çünki birinci halda 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - 9-a qalıqsız bölünür), ikincisində isə 1+4+4= 9
(9:9=1 - həmçinin 9-a qalıqsız bölünür).
Amma ədədlər: 235 və 141 9-a bölünmür, çünki 2+3+5= 10
və 1+4+1= 6
(və biz bilirik ki, nə 10, nə də 6 qalıqsız 9-a bölünə bilməz).
10, 100, 1000 və digər bit vahidlərinə bölünmə əlamətləri
Mən bu bölünmə meyarlarını birləşdirdim, çünki onları eyni şəkildə təsvir etmək olar: ədədin sonundakı sıfırların sayı verilmiş bit vahidindəki sıfırların sayından çox və ya ona bərabər olarsa, ədəd bit vahidinə bölünür.
Başqa sözlə, məsələn, bizdə belə rəqəmlər var: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. bunların hamısı 1-ə bölünür 0
; 46400
və 867 000
həm də 1-ə bölünür 00
; və onlardan yalnız biri - 867 000
1-ə bölünür 000
.
Bit vahidindən kiçik sıfırlarla bitən hər hansı rəqəmlər həmin bit vahidinə bölünmür, məsələn 600 30
və 7 93
paylaşmayın 1 00
.
11-ə bölünmə işarəsi
Ədədin 11-ə bölündüyünü öyrənmək üçün bu ədədin cüt və tək rəqəmlərinin cəmi arasındakı fərqi əldə etməlisiniz. Əgər bu fərq 0-a bərabərdirsə və ya 11-ə qalıqsız bölünürsə, o zaman ədədin özü 11-ə qalıqsız bölünür.
Daha aydın olmaq üçün misalları nəzərdən keçirməyi təklif edirəm: 2
35
4 11-ə bölünür, çünki ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 də 11-ə bölünür, çünki ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Və burada 1 1
1 və ya 4
35
4 11-ə bölünmür, çünki birinci halda (1 + 1) alırıq - 1
=1, ikincidə ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
12-yə bölünmə işarəsi
12 rəqəmi mürəkkəbdir. Onun bölünmə əlaməti eyni zamanda 3-ə və 4-ə bölünmə əlamətlərinə uyğunluqdur.
Məsələn, 300 və 636 həm 4-ə bölünmə əlamətlərinə (son 2 rəqəm sıfırdır və ya 4-ə bölünür), həm də 3-ə bölünmə əlamətlərinə (rəqəmlərin və birinci və ikinci ədədlərin cəmi 3-ə bölünür) uyğun gəlir. ) və buna görə də onlar 12-yə qalıqsız bölünürlər.
Amma 200 və ya 630 12-yə bölünmür, çünki birinci halda rəqəm yalnız 4-ə bölünmə işarəsinə, ikincidə isə yalnız 3-ə bölünmə işarəsinə uyğun gəlir. Amma hər iki işarə eyni vaxtda deyil.
13-ə bölünmə işarəsi
13-ə bölünmənin əlaməti odur ki, bu ədədin 4-ə vurulan vahidlərinə əlavə olunan onlarla ədədin sayı 13-ə qatdırsa və ya 0-a bərabərdirsə, o zaman ədədin özü 13-ə bölünür.
Məsələn götürək 70
2. Beləliklə 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 13-ə bərabər bölünür), deməli 70
2 13-ə qalıqsız bölünür. Başqa bir misal rəqəmdir 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. 130 rəqəmi 13-ə qalıqsız bölünür, yəni verilmiş ədəd 13-ə bölünmə işarəsinə uyğun gəlir.
Rəqəmləri götürsək 12
5 və ya 21
2, sonra alırıq 12
+4*5=32 və 21
Müvafiq olaraq +4*2=29 və nə 32, nə də 29 13-ə qalıqsız bölünür, yəni verilmiş ədədlər 13-ə qalıqsız bölünmür.
Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti
Yuxarıdakılardan göründüyü kimi, güman etmək olar ki, natural ədədlərdən hər hansı birinin özünün fərdi bölünmə əlaməti və ya ədəd bir neçə müxtəlif ədədə qat olduqda “kompozit” işarəsi ilə uyğunlaşdırmaq olar. Ancaq təcrübədən göründüyü kimi, əsasən sayı nə qədər çox olarsa, onun atributu bir o qədər mürəkkəbdir. Ola bilsin ki, bölünmə meyarının yoxlanılmasına sərf olunan vaxt bölmənin özünə bərabər və ya ondan çox ola bilər. Buna görə də biz adətən ən sadə bölünmə testlərindən istifadə edirik.
Məqalədə tam ədədlərin qalığa bölünməsi anlayışı təhlil edilir. Tam ədədlərin qalığa bölünməsi teoremini sübut edib, bölünənlərlə bölənlər, natamam hissələr və qalıqlar arasındakı əlaqələrə baxacağıq. Tam ədədlərin qalıqlarla bölünməsi zamanı qaydaları misallarla ətraflı araşdıraraq nəzərdən keçirin. Həllin sonunda bir yoxlama aparacağıq.
Tam ədədlərin qalıqlara bölünməsi haqqında ümumi anlayış
Tam ədədlərin qalığa bölünməsi natural ədədlərin qalığı ilə ümumiləşdirilmiş bölmə hesab olunur. Bu, natural ədədlərin tam ədədlərin tərkib hissəsi olduğu üçün edilir.
İxtiyari bir ədədin qalığı ilə bölmə, a tam ədədinin sıfırdan fərqli olan b ədədinə bölündüyünü bildirir. Əgər b = 0 olarsa, qalığa bölmə aparılmır.
Natural ədədlərin qalığa bölünməsi kimi, a və b tam ədədlərinin b sıfırdan fərqli olaraq c və d ilə bölünməsi həyata keçirilir. Bu halda, a və b dividend və bölən adlanır və d bölmənin qalan hissəsidir, c tam və ya qismən hissədir.
Əgər qalığın mənfi olmayan tam ədəd olduğunu fərz etsək, onda onun qiyməti b ədədinin modulundan böyük deyil. Bunu belə yazaq: 0 ≤ d ≤ b . Bu bərabərsizlik zənciri 3 və ya daha çox ədədi müqayisə edərkən istifadə olunur.
Əgər c natamam bir hissədirsə, d a tam ədədini b-yə bölmənin qalığıdır, qısaca düzəldə bilərsiniz: a: b \u003d c (d qalır).
A ədədlərini b-yə bölərkən qalıq sıfır ola bilər, onda a-nın b-yə tamamilə, yəni qalıqsız bölündüyünü söyləyirlər. Qalıqsız bölmə xüsusi bölgü halı hesab olunur.
Sıfırı hansısa ədədə bölsək, nəticədə sıfır alırıq. Bölmənin qalan hissəsi də sıfır olacaq. Bunu sıfırın tam ədədə bölmə nəzəriyyəsindən də görmək olar.
İndi tam ədədlərin qalığa bölünməsinin mənasını nəzərdən keçirək.
Məlumdur ki, müsbət tam ədədlər təbiidir, onda qalığa bölündükdə, natural ədədləri qalığa bölərkən eyni məna alınacaq.
Mənfi tam a-nı müsbət tam b-yə bölmək məntiqlidir. Bir nümunəyə baxaq. Təsəvvür edin ki, b nəfər tərəfindən ödənilməli olan a məbləğində maddələr borcumuz var. Bunun üçün hər kəs bərabər töhfə verməlidir. Hər biri üçün borcun məbləğini müəyyən etmək üçün özəl dəyərinə diqqət yetirmək lazımdır c. Qalan d, borcları ödədikdən sonra maddələrin sayının məlum olduğunu göstərir.
Alma ilə bir nümunə götürək. 2 nəfərə 7 alma lazımdırsa. Hər kəsin 4 alma qaytarmalı olduğunu hesablasaq, tam hesablamadan sonra onlarda 1 alma qalacaq. Bunu bərabərlik kimi yazaq: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .
Hər hansı a rəqəmini tam ədədə bölmək məntiqli deyil, lakin bu, seçim kimi mümkündür.
Qalıqlı tam ədədlər üçün bölünmə teoremi
Biz tapdıq ki, a dividend, sonra b bölən, c qismən hissə və d qalıqdır. Onlar bir-birinə bağlıdır. Bu əlaqəni a = b · c + d bərabərliyindən istifadə edərək göstərəcəyik. Onların arasındakı əlaqə qalığa bölünmə teoremi ilə xarakterizə olunur.
Teorem
İstənilən tam ədədi yalnız tam və sıfırdan fərqli b ədədi ilə bu şəkildə təqdim etmək olar: a = b · q + r , burada q və r bəzi tam ədədlərdir. Burada 0 ≤ r ≤ b var.
a = b · q + r -nin mövcudluğunun mümkünlüyünü sübut edək.
Sübut
Əgər a və b iki ədədi varsa və a b-yə qalıqsız bölünürsə, o zaman tərifdən belə çıxır ki, q ədədi var, a = b · q bərabərliyi doğru olacaqdır. Onda bərabərliyi doğru hesab etmək olar: r = 0 üçün a = b q + r.
Onda b · q bərabərsizliyi ilə verilən q-u götürmək lazımdır< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Bizdə var ki, a − b · q ifadəsinin qiyməti sıfırdan böyükdür və b ədədinin qiymətindən böyük deyil, bundan belə nəticə çıxır ki, r = a − b · q . Alırıq ki, a ədədi a = b · q + r kimi göstərilə bilər.
İndi b-nin mənfi qiymətləri üçün a = b · q + r-ni təmsil etmək imkanını nəzərdən keçirməliyik.
Ədədin modulu müsbət olur, onda a = b q 1 + r alırıq, burada q 1 qiyməti hansısa tam ədəddir, r 0 ≤ r şərtinə uyğun gələn tam ədəddir.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Unikallığın sübutu
Fərz edək ki, a = b q + r , q və r şərti 0 ≤ r olan tam ədədlərdir.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 və r1 bəzi nömrələr haradadır q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
Bərabərsizlik sol və sağ tərəfdən çıxarıldıqda, 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 alırıq ki, bu da r - r 1 = b · q 1 - q-a bərabərdir. Modul istifadə olunduğundan r - r 1 = b · q 1 - q bərabərliyini alırıq.
Verilmiş şərt deyir ki, 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q və q 1- bütöv və q ≠ q 1, onda q 1 - q ≥ 1 . Beləliklə, biz b · q 1 - q ≥ b alırıq. Əldə edilən bərabərsizliklər r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Buradan belə nəticə çıxır ki, a ədədi a = b · q + r işarəsi istisna olmaqla, başqa cür göstərilə bilməz.
Dividend, bölən, qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqə
a \u003d b c + d bərabərliyindən istifadə edərək, naməlum dividend a tapa bilərsiniz bölən b natamam hissə c və qalan d ilə məlum olduqda.
Misal 1
Bölmə zamanı - 21, natamam hissə 5 və qalıq 12 olarsa, dividendləri müəyyənləşdirin.
Həll
Məlum bölən b = − 21, natamam hissə c = 5 və qalıq d = 12 olan dividend a-nı hesablamaq lazımdır. a = b c + d bərabərliyinə istinad etməliyik, buradan a = (− 21) 5 + 12 alırıq. Əməliyyatların ardıcıllığına uyğun olaraq - 21-i 5-ə vururuq, bundan sonra (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 alırıq.
Cavab: - 93 .
Bölən və qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqə bərabərliklərdən istifadə etməklə ifadə edilə bilər: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b və d = a - b · c . Onların köməyi ilə bölücü, qismən hissə və qalığı hesablaya bilərik. Bu, məlum dividend, bölücü və qismən hissə ilə a tam ədədinin b-yə bölünməsindən davamlı olaraq qalanı tapmaq üçün aşağı düşür. d = a − b · c düsturu tətbiq edilir. Həll yolunu ətraflı nəzərdən keçirək.
Misal 2
- 19-u - 7-yə bərabər məlum natamam hissə ilə 3 tam ədədinə bölməkdən qalanı tapın.
Həll
Bölmənin qalığını hesablamaq üçün d = a − b c formasının düsturunu tətbiq edirik. Şərtə görə, a = − 19 , b = 3 , c = − 7 olan bütün məlumatlar mövcuddur. Buradan d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (fərq - 19 - (- 21)... Bu nümunə çıxma qaydası ilə tam mənfi ədədlə hesablanır.
Cavab: 2 .
Bütün müsbət tam ədədlər təbiidir. Buradan belə nəticə çıxır ki, bölmə natural ədədlərin qalığı ilə bütün bölmə qaydalarına əsasən aparılır. Təbii ədədlərin qalığı ilə bölünmə sürəti vacibdir, çünki təkcə müsbətlərin bölünməsi deyil, həm də ixtiyari tam ədədlərin bölünməsi qaydalarına əsaslanır.
Ən əlverişli bölgü üsulu sütundur, çünki natamam və ya yalnız bir qalıq ilə bir hissə əldə etmək daha asan və sürətlidir. Həll yolunu daha ətraflı nəzərdən keçirək.
Misal 3
14671-i 54-ə bölün.
Həll
Bu bölmə bir sütunda aparılmalıdır:
Yəni natamam hissə 271-ə, qalanı isə 37-yə bərabərdir.
Cavab: 14671: 54 = 271. (istirahət. 37)
Müsbət tamın qalığı ilə mənfi tam ədədə bölünmə qaydası, nümunələr
Müsbət ədədin qalığını mənfi tam ədədə bölmək üçün bir qayda tərtib etmək lazımdır.
Tərif 1
Müsbət tam a-nın mənfi b-yə bölünməsinin natamam əmsalı a ədədlərinin modullarının b-yə bölünməsinin natamam əmsalına əks olan ədəd verir. Sonra a b-yə bölündükdə qalıq qalıqdır.
Beləliklə, müsbət tam ədədin mənfi tam ədədə bölünməsinin natamam hissəsi müsbət olmayan tam ədəd hesab olunur.
Alqoritmi alırıq:
- dividend modulunu bölmənin moduluna bölün, sonra natamam bir hissə alırıq və
- qalıq;
- əks nömrəni yazın.
Müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmək üçün alqoritm nümunəsini nəzərdən keçirək.
Misal 4
Qalan 17-yə - 5-ə bölgü yerinə yetirin.
Həll
Müsbət tam ədədin qalanı ilə mənfi tam ədədlə bölmə alqoritmini tətbiq edək. 17-ni - 5 moduluna bölmək lazımdır. Buradan əldə edirik ki, natamam hissə 3, qalan isə 2-dir.
İstədiyimiz rəqəmi 17-ni - 5 \u003d - 3-ə, qalanı 2-yə bölməklə əldə edirik.
Cavab: 17: (− 5) = − 3 (qalan 2).
Misal 5
45-i - 15-ə bölün.
Həll
Rəqəmləri modula bölmək lazımdır. 45 rəqəmini 15-ə bölürük, qalıqsız 3 hissəni alırıq. Beləliklə, 45 rəqəmi 15-ə qalıqsız bölünür. Cavabda biz alırıq - 3, çünki bölmə modulu həyata keçirildi.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Cavab: 45: (− 15) = − 3 .
Qalanla bölmə qaydasının tərtibi aşağıdakı kimidir.
Tərif 2
Mənfi a-nı müsbət b-yə bölərkən natamam c hissəsini almaq üçün bu ədədin əksini tətbiq etmək və ondan 1-i çıxarmaq lazımdır, onda qalan d düsturla hesablanacaq: d = a - b · c.
Qaydaya əsasən belə nəticəyə gələ bilərik ki, bölmə zamanı mənfi olmayan tam ədəd alırıq. Həllin dəqiqliyi üçün a-nın b-nin qalığa bölünməsi alqoritmi istifadə olunur:
- dividend və bölücünün modullarını tapın;
- modulu bölmək;
- verilmiş ədədin əksini yazın və 1-i çıxarın;
- qalıq üçün düsturdan istifadə edin d = a - b c .
Bu alqoritmin tətbiq olunduğu bir həll nümunəsini nəzərdən keçirin.
Misal 6
Natamam hissəni və bölmənin qalığını tapın - 17-dən 5-ə.
Həll
Verilmiş ədədləri modula bölürük. Alırıq ki, bölən zaman bölmə 3, qalan isə 2-dir. 3 aldığımız üçün əksi 3-dür. 1-i çıxarmaq lazımdır.
− 3 − 1 = − 4 .
İstədiyiniz dəyər - 4-ə bərabərdir.
Qalanı hesablamaq üçün a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , sonra d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = lazımdır. 3 .
Bu o deməkdir ki, bölmənin natamam hissəsi rəqəmdir - qalığı 3-ə bərabər olan 4.
Cavab:(− 17) : 5 = − 4 (qalan 3).
Misal 7
Mənfi tam ədədi - 1404-ü müsbət 26-ya bölün.
Həll
Sütun və modulla bölmək lazımdır.
Biz ədədlərin modullarının qalıqsız bölünməsini əldə etdik. Bu o deməkdir ki, bölmə qalıqsız yerinə yetirilir və istədiyiniz hissə = - 54.
Cavab: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Mənfi tam ədədlərin qalığı ilə bölmə qaydası, nümunələr
Tam mənfi ədədlərin qalığı ilə bölmə qaydasını formalaşdırmaq lazımdır.
Tərif 3
Mənfi a tam ədədini mənfi b ədədinə bölməkdən natamam hissə əldə etmək üçün modul hesablamalar aparmaq lazımdır, bundan sonra 1 əlavə etmək lazımdır, sonra d = a − b · c düsturu ilə hesablaya bilərik.
Buradan belə nəticə çıxır ki, mənfi tam ədədlərin bölünməsinin natamam hissəsi müsbət ədəd olacaqdır.
Bu qaydanı alqoritm şəklində tərtib edirik:
- dividend və bölücünün modullarını tapın;
- ilə natamam hissə əldə etmək üçün dividend modulunu bölən modula bölün.
- qalıq;
- natamam hissəyə 1 əlavə etmək;
- d = a − b c düsturu əsasında qalığın hesablanması.
Bu alqoritmi bir nümunə ilə nəzərdən keçirək.
Misal 8
- 17-ni - 5-ə bölərkən natamam hissəni və qalığı tapın.
Həll
Həllin düzgün olması üçün qalığa bölmə alqoritmini tətbiq edirik. Əvvəlcə ədədləri modula bölün. Buradan əldə edirik ki, natamam hissə \u003d 3, qalan hissəsi isə 2-dir. Qaydaya görə, natamam hissə və 1 əlavə etmək lazımdır. 3 + 1 = 4 alırıq. Buradan əldə edirik ki, verilmiş ədədlərin bölünməsindən alınan natamam hissə 4-dür.
Qalanı hesablamaq üçün düsturu tətbiq edəcəyik. Şərtlə, a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, sonra düsturdan istifadə edərək, d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - alırıq. 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . İstədiyiniz cavab, yəni qalıq 3, natamam hissə isə 4-dür.
Cavab:(− 17) : (− 5) = 4 (qalan 3).
Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsinin yoxlanılması
Rəqəmlərin qalığa bölünməsini yerinə yetirdikdən sonra yoxlama aparmaq lazımdır. Bu yoxlama 2 mərhələdən ibarətdir. Birincisi, qalıq d qeyri-mənfilik yoxlanılır, şərt 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Nümunələrə baxaq.
Misal 9
İstehsal bölməsi - 521 ilə - 12. Bölmə 44, qalan 7-dir. Çek aparın.
Həll
Qalan müsbət ədəd olduğu üçün onun qiyməti bölənin modulundan kiçikdir. Bölən -12-dir, ona görə də modulu 12-dir. Növbəti keçid məntəqəsinə keçə bilərsiniz.
Şərtə görə, biz a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 alırıq. Buradan b c + d hesablayırıq, burada b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Buradan belə çıxır ki, bərabərlik doğrudur. Yoxlama keçdi.
Misal 10
Bölməni yoxlayın (− 17) : 5 = − 3 (qalan − 2). Bərabərlik doğrudurmu?
Həll
Birinci mərhələnin mənası budur ki, tam ədədlərin qalığa bölünməsini yoxlamaq lazımdır. Bu, hərəkətin səhv yerinə yetirildiyini göstərir, çünki qalıq - 2-yə bərabərdir. Qalan mənfi rəqəm deyil.
Bizdə var ki, ikinci şərt təmin olunub, lakin bu iş üçün kifayət deyil.
Cavab: yox.
Misal 11
Say - 19-a bölünür - 3. Qismən hissə 7, qalanı isə 1-dir. Bu hesablamanın düzgün olub olmadığını yoxlayın.
Həll
Qalan 1 verilir. O, müsbətdir. Dəyər bölücü moduldan azdır, yəni birinci mərhələ yerinə yetirilir. İkinci mərhələyə keçək.
b · c + d ifadəsinin qiymətini hesablayaq. Şərtlə, bizdə b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 var, buna görə də ədədi dəyərləri əvəz edərək, b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - alırıq. 20. Buradan belə çıxır ki, a = b · c + d bərabərliyi təmin edilmir, çünki şərt a = - 19 verilmişdir.
Bu o deməkdir ki, bölgü səhvlə aparılıb.
Cavab: yox.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Sadə bir nümunəyə nəzər salın:
15:5=3
Bu nümunədə natural ədədi 15-ə böldük tamamilə 3, qalıq yoxdur.
Bəzən natural ədədi tam bölmək olmur. Məsələn, problemi nəzərdən keçirin:
Şkafda 16 oyuncaq var idi. Qrupda beş uşaq var idi. Hər uşaq eyni sayda oyuncaq götürdü. Hər uşağın neçə oyuncağı var?
Həll:
16 rəqəmini 5-ə bir sütuna bölün və əldə edin:
16 ilə 5-in bölünmədiyini bilirik. 5-ə bölünən ən yaxın kiçik ədəd 15 qalığı 1-dir. 15 rəqəmini 5⋅3 kimi yaza bilərik. Nəticədə (16 - dividend, 5 - bölən, 3 - qismən hissə, 1 - qalıq). var düstur qalıq ilə bölmə hansı edilə bilər həllin yoxlanılması.
a=
b⋅
c+
d
a - bölünən
b - bölücü,
c - natamam hissə,
d - qalıq.
Cavab: Hər uşaq 3 oyuncaq götürəcək və bir oyuncaq qalacaq.
Bölmənin qalan hissəsi
Qalan həmişə böləndən kiçik olmalıdır.
Bölmə zamanı qalıq sıfır olarsa, dividend bölünə bilər. tamamilə və ya bölən üçün qalıq yoxdur.
Bölmə zamanı qalıq böləndən böyükdürsə, bu, tapılan ədədin ən böyük olmadığını bildirir. Dividenti böləcək daha böyük bir ədəd var, qalanı isə böləndən az olacaq.
“Qalıqla bölmə” mövzusunda suallar:
Qalan böləndən böyük ola bilərmi?
Cavab: yox.
Qalan bölücüyə bərabər ola bilərmi?
Cavab: yox.
Natamam hissə, bölücü və qalığa görə divident necə tapılır?
Cavab: natamam hissənin, bölən və qalığın qiymətlərini düsturda əvəz edirik və divident tapırıq. Düstur:
a=b⋅c+d
Nümunə №1:
Qalığı ilə bölməni yerinə yetirin və yoxlayın: a) 258:7 b) 1873:8
Həll:
a) Sütunlara bölün: 
258 - bölünən,
7 - bölücü,
36 - natamam hissə,
6 - qalıq. Bölən 6-dan kiçik qalıq<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Sütunlara bölün: 
1873 - bölünən,
8 - bölücü,
234 - natamam hissə,
1 qalıqdır. Bölən 1-dən kiçik qalıq<8.
Düsturda əvəz edin və nümunəni düzgün həll etdiyimizi yoxlayın:
8⋅234+1=1872+1=1873
Nümunə №2:
Natural ədədləri bölərkən hansı qalıqlar alınır: a) 3 b) 8?
Cavab:
a) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 3-dən kiçikdir. Bizim vəziyyətimizdə qalıq 0, 1 və ya 2 ola bilər.
b) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 8-dən kiçikdir. Bizim vəziyyətimizdə qalıq 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 və ya 7 ola bilər.
Nümunə #3:
Natural ədədləri bölməklə əldə edilə bilən ən böyük qalıq hansıdır: a) 9 b) 15?
Cavab:
a) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 9-dan kiçikdir. Amma ən böyük qalığı göstərməliyik. Yəni bölücüyə ən yaxın ədəd. Bu rəqəm 8-dir.
b) Qalıq böləndən kiçikdir, ona görə də 15-dən azdır. Amma ən böyük qalığı göstərməliyik. Yəni bölücüyə ən yaxın ədəd. Bu rəqəm 14-dür.
Nümunə №4:
Dividend tapın: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)
Həll:
a) Düsturdan istifadə edərək həll edin:
a=b⋅c+d
(a dividend, b bölən, c qismən hissə, d qalıqdır.)
a:6=3(istirahət.4)
(a - dividend, 6 - bölən, 3 - natamam hissə, 4 - qalıq.) Düsturdakı rəqəmləri əvəz edin:
a=6⋅3+4=22
Cavab: a=22
b) Düsturdan istifadə edərək həll edin:
a=b⋅c+d
(a dividend, b bölən, c qismən hissə, d qalıqdır.)
s:24=4(istirahət.11)
(c - dividend, 24 - bölən, 4 - natamam hissə, 11 - qalıq.) Düsturdakı rəqəmləri əvəz edin:
c=24⋅4+11=107
Cavab: s=107
Bir tapşırıq:
Tel 4 m. 13 sm-lik parçalara kəsilməlidir. Bu parçalardan neçə olacaq?
Həll:
Əvvəlcə metrləri santimetrə çevirməlisiniz.
4m.=400sm.
Sütunla bölmək olar və ya fikrinizdə biz əldə edirik:
400:13=30(qalan 10)
yoxlayaq:
13⋅30+10=390+10=400
Cavab: 30 ədəd çıxacaq və 10 sm tel qalacaq.
Bu yazıda təhlil edəcəyik qalıq ilə tam bölmə. Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin ümumi prinsipindən başlayaq, tam ədədlərin qalığa bölünməsi haqqında teoremi tərtib edib sübuta yetirək, dividend, bölən, qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqələri izləyək. Sonra, tam ədədlərin qalığa bölünməsinin hansı qaydalarla aparıldığını elan edəcəyik və nümunələri həll edərkən bu qaydaların tətbiqini nəzərdən keçirəcəyik. Bundan sonra tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsini yoxlamağı öyrənəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
Tam ədədlərin qalığa bölünməsi haqqında ümumi fikir
Tam ədədlərin qalığa bölünməsini ümumiləşdirmə kimi nəzərdən keçirəcəyik natural ədədlərin qalıqlarına bölmə. Bunun səbəbi tam ədədlər tərkib hissəsidir tam ədədlər.
Təsvirdə istifadə olunan terminlər və qeydlərlə başlayaq.
Natural ədədlərin qalığa bölünməsinə bənzətməklə, a və b (b sıfıra bərabər deyil) iki tam ədədinin qalığı ilə bölünmənin nəticəsinin c və d tam ədəd olduğunu fərz edirik. a və b nömrələri çağırılır bölünə bilən və bölücü müvafiq olaraq d sayıdır qalıq a-nın b-yə bölünməsindən və c tam ədədi adlanır natamam özəl(və ya sadəcə özəl qalıq sıfır olarsa).
Fərz edək ki, qalıq var qeyri-mənfi tam ədəd, və onun dəyəri b-dən çox deyil, yəni (biz danışarkən oxşar bərabərsizlik zəncirlərinə rast gəldik. üç və ya daha çox tam ədədin müqayisəsi).
Əgər c ədədi qismən hissədirsə və d ədədi a tam ədədini b tam ədədinə bölməkdən qalan qalıqdırsa, bu faktı qısaca olaraq a:b=c (d qalır) şəklində bərabərlik kimi yazacağıq.
Qeyd edək ki, a tam ədədi b tam ədədinə bölündükdə qalıq sıfır ola bilər. Bu halda deyirik ki, a b-yə bölünür izsiz(və ya tamamilə). Bu minvalla, tam ədədlərin qalıqsız bölünməsi qalıq ilə tam bölünmənin xüsusi halıdır.
Onu da qeyd etmək lazımdır ki, sıfırı tam ədədə bölərkən biz həmişə qalıqsız bölmə ilə məşğul oluruq, çünki bu halda bölgü sıfıra bərabər olacaqdır (nəzəriyyə bölməsinə baxın) sıfırın tam ədədə bölünməsi), qalan da sıfır olacaq.
Terminologiya və qeydlər üzərində qərar verdik, indi tam ədədləri qalığa bölməyin mənasını anlayaq.
Mənfi tam a-nı müsbət tam b-yə bölmək də məna verə bilər. Bunun üçün düşünün borc kimi mənfi tam ədəd. Belə bir vəziyyəti təsəvvür edək. Maddələri təşkil edən borc, eyni töhfəni verən b nəfər tərəfindən ödənilməlidir. Bu halda c natamam kəmiyyətinin mütləq qiyməti bu şəxslərin hər birinin borcunun məbləğini, qalan d isə borc ödənildikdən sonra neçə maddənin qalacağını göstərəcək. Bir misal götürək. Tutaq ki, 2 nəfərin 7 alma borcu var. Hər birinin 4 alma borcu olduğunu fərz etsək, borcunu ödədikdən sonra 1 alma qalacaq. Bu vəziyyət (−7):2=−4 (qalan 1) bərabərliyinə uyğundur.
İxtiyari tam a-nın qalığını mənfi tam ədədə bölməklə, biz heç bir məna əlavə etməyəcəyik, lakin ona mövcud olmaq hüququnu buraxacağıq.
Qalıqlı tam ədədlər üçün bölünmə teoremi
Natural ədədlərin qalığa bölünməsindən danışarkən məlum oldu ki, dividend a, bölən b, qismən hissə c və qalıq d a=b c+d bərabərliyi ilə bağlıdır. a , b , c və d tam ədədləri eyni əlaqəyə malikdir. Bu əlaqə aşağıdakılarla təsdiqlənir qalığa bölünmə teoremi.
Teorem.
İstənilən a tam ədədi a=b q+r şəklində tam və sıfırdan fərqli b ədədi vasitəsilə unikal şəkildə təqdim edilə bilər, burada q və r bəzi tam ədədlərdir və .
Sübut.
Əvvəlcə a=b·q+r -ın təmsil olunmasının mümkünlüyünü sübut edək.
Əgər a və b tam ədədləri elədirsə ki, a b-yə bərabər bölünür, onda tərifə görə q tam ədədi mövcuddur ki, a=b q . Bu halda a=b q+r bərabərliyi r=0 üçün yerinə yetirilir.
İndi biz fərz edəcəyik ki, b müsbət tam ədəddir. Biz q tam ədədini elə seçirik ki, b·q hasil a rəqəmindən çox olmasın, b·(q+1) hasil isə artıq a -dan böyük olsun. Yəni q-nı elə götürürük ki, bərabərsizliklər b q olsun Mənfi b üçün a=b q+r-nin təmsil olunmasının mümkünlüyünü sübut etmək qalır. Bu halda b ədədinin modulu müsbət ədəd olduğu üçün üçün təmsili var, burada q 1 hansısa tam ədəddir, r isə şərtləri ödəyən tam ədəddir. Sonra q=−q 1 fərz etsək, mənfi b üçün tələb olunan a=b q+r təsvirini alırıq. Biz unikallığın sübutuna müraciət edirik. Fərz edək ki, a=b q+r, q və r tam ədədlərdir və təsvirindən əlavə başqa a=b q 1 +r 1 təsviri də var ki, burada q 1 və r 1 bəzi tam ədədlərdir və q 1 ≠ q və . Birinci bərabərliyin sol və sağ hissələrindən müvafiq olaraq ikinci bərabərliyin sol və sağ hissələrini çıxardıqdan sonra r− bərabərliyinə ekvivalent olan 0=b (q−q 1)+r−r 1 alırıq. r 1 =b (q 1 − q) . Sonra formanın bərabərliyi Şərtlərdən belə nəticə çıxara bilərik. q və q 1 tam ədədlər və q≠q 1 olduğuna görə, buradan belə nəticəyə gəlirik ki, a=b c+d bərabərliyi naməlum dividend a tapmağa imkan verir, əgər bölən b, qismən hissə c və qalıq d məlumdursa. Məsələni nəzərdən keçirək. Misal. Əgər onun −21 tam ədədinə bölünməsi natamam 5 və 12 qalığı ilə nəticələnərsə, dividend neçəyə bərabərdir? Həll. Bölücü b=−21 , qismən bölgü c=5 və qalığı d=12 bildiyimiz zaman dividend a hesablamalıyıq. a=b c+d bərabərliyinə dönsək, a=(−21) 5+12 alırıq. Müşahidə edərək, əvvəlcə −21 və 5-ə vurmağı həyata keçiririk müxtəlif işarəli tam ədədlər üçün vurma qaydası, bundan sonra icra edirik müxtəlif işarəli tam ədədlərin toplanması: (−21) 5+12=−105+12=−93 . Cavab: −93
.
Dividend, bölən, qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqələr də b=(a−d):c , c=(a−d):b və d=a−b·c şəklində bərabərliklərlə ifadə edilir. Bu bərabərliklər bizə müvafiq olaraq bölən, qismən hissə və qalığı hesablamağa imkan verir. Çox vaxt d=a−b·c düsturundan istifadə edərək, dividend, bölən və qismən hissə məlum olduqda, a tamını b tam ədədinə bölməkdən qalanı tapmalıyıq. Əlavə sualların qarşısını almaq üçün qalanın hesablanması nümunəsini təhlil edəcəyik. Misal. Əgər qismən hissənin −7 olduğu məlumdursa, −19 tam ədədini 3 tam ədədinə bölməkdən qalanı tapın. Həll. Bölmənin qalığını hesablamaq üçün d=a−b·c şəklində olan düsturdan istifadə edirik. Şərtdən a=−19 , b=3 , c=−7 bütün lazımi məlumatlara sahibik. d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (-dən hesabladığımız fərq −19−(−21)) alırıq. mənfi tam ədədi çıxmaq qaydası).
Cavab: Artıq bir neçə dəfə qeyd etdiyimiz kimi, müsbət tam ədədlər natural ədədlərdir. Buna görə də, müsbət tam ədədlərin qalığı ilə bölmə, natural ədədlərin qalığı ilə bölmənin bütün qaydalarına uyğun olaraq həyata keçirilir. Asanlıqla icra edə bilmək çox vacibdir natural ədədlərin qalıqlarına bölmə, çünki təkcə müsbət tam ədədlərin deyil, həm də ixtiyari tam ədədlərin qalığı ilə bütün bölmə qaydalarının əsasının əsasını məhz məhz bu təşkil edir. Bizim fikrimizcə, yerinə yetirmək ən əlverişlidir sütun bölgüsü, bu üsul həm natamam hissəni (və ya sadəcə bölməni), həm də qalanı əldə etməyə imkan verir. Müsbət tam ədədlərin qalığı ilə bölmə nümunəsini nəzərdən keçirək. Misal. 14671-in qalığı ilə 54-ə bölməni həyata keçirin. Həll. Bu müsbət tam ədədlərin sütuna bölünməsini yerinə yetirək: Natamam hissə 271, qalanı isə 37 oldu. Cavab: 14 671:54=271 (qalan 37) . Müsbət tam ədədin qalığı ilə mənfi tam ədədə bölməni yerinə yetirməyə imkan verən bir qayda tərtib edək. Müsbət tam a-nın mənfi tam b-yə bölünməsinin qismən hissəsi a-nın b-nin moduluna bölünməsinin qismən əmsalının əksidir və a-nın b-yə bölünməsinin qalığı isə -yə bölünmənin qalığıdır. Bu qaydadan belə nəticə çıxır ki, müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmənin natamam hissəsidir. qeyri-müsbət tam ədəd. Səslənmiş qaydanı müsbət tam ədədin qalığını mənfi tam ədədə bölmək alqoritminə çevirək: Müsbət tam ədədi mənfi tam ədədə bölmək üçün alqoritmdən istifadə nümunəsi verək. Misal. 17 müsbət tam ədədinin qalığını −5 mənfi tam ədədinə bölün. Həll. Müsbət tam ədədin qalanını mənfi tam ədədlə bölmə alqoritmindən istifadə edək. Bölünmə Nömrə, əks nömrə 3 −3-dür. Beləliklə, 17-nin −5-ə bölünməsinin tələb olunan qismən hissəsi −3, qalanı isə 2-dir. Cavab: 17 :(−5)=−3 (qalan 2). Misal. Bölmək 45 ilə -15 . Həll. Dividend və bölən modulları müvafiq olaraq 45 və 15-dir. 45 rəqəmi 15-ə qalıqsız bölünür, hissə isə 3-dür. Buna görə də 45 müsbət tam ədədi −15 mənfi tam ədədinə qalıqsız bölünür, hissə isə 3-ün əksinə olan ədədə, yəni −3-ə bərabərdir. Həqiqətən, tərəfindən müxtəlif işarəli tam ədədlərin bölünməsi qaydası bizdə var. Cavab: 45:(−15)=−3
.
Mənfi tam ədədin qalanı ilə müsbət tam ədədə bölmə qaydasını tərtib edək. Mənfi tam a-nı müsbət tam b-yə bölməkdən natamam c hissəsini almaq üçün orijinal ədədlərin modullarını bölməkdən natamam əmsalın əksinə olan ədədi götürməli və ondan birini çıxarmalı, bundan sonra d qalığı hesablanmalıdır. d=a−b c düsturundan istifadə etməklə. Bu qalığa bölmə qaydasından belə çıxır ki, mənfi tam ədədi müsbət tam ədədə bölmənin natamam hissəsi mənfi tam ədəddir. Səslənmiş qaydadan mənfi tam a-nın qalanı ilə müsbət tam b-yə bölmə alqoritmi izlənir: Yazılı bölmə alqoritmindən istifadə etdiyimiz nümunənin həllini qalıqla təhlil edək. Misal. 5 müsbət tam ədədinə bölünən −17 mənfi tam ədədinin qismən hissəsini və qalığını tapın. Həll. Dividendin modulu −17-nin modulu 17, bölən 5-in modulu isə 5-dir. Bölünmə 17-dən 5-ə 3-ə bərabər natamam bir hissə və 2-nin qalığı alırıq. 3-ün əksi −3-dür. −3-dən birini çıxarın: −3−1=−4 . Beləliklə, istədiyiniz natamam hissə −4-dür. Qalanı hesablamaq qalır. Bizim nümunəmizdə a=−17 , b=5 , c=−4 , onda d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Beləliklə, −17 mənfi tam ədədinin 5-ə bölünməsinin qismən hissəsi −4, qalanı isə 3-dür. Cavab: (−17):5=−4 (istirahət. 3) . Misal. −1 404 mənfi tam ədədini 26 müsbət tam ədədinə bölün. Həll. Dividend modulu 1404, bölən modulu 26-dır. Bir sütunda 1404-ü 26-ya bölün: Dividendin modulu bölən moduluna qalıqsız bölündüyü üçün ilkin tam ədədlər qalıqsız bölünür və istədiyiniz hissə 54-ün əksinə olan ədədə, yəni -54-ə bərabərdir. Cavab: (−1 404):26=−54
.
Mənfi tam ədədlərin qalan hissəsi ilə bölmə qaydasını tərtib edək. Mənfi tam a-nı mənfi tam b-yə bölməkdən natamam c əmsalını əldə etmək üçün orijinal ədədlərin modullarını bölməkdən natamam hissəni hesablamaq və ona bir əlavə etmək lazımdır, bundan sonra d düsturundan istifadə edərək qalıq d-ni hesablamaq lazımdır. =a−b c. Bu qaydadan belə nəticə çıxır ki, mənfi tam ədədlərin bölünməsinin natamam hissəsi müsbət tam ədəddir. Səslənmiş qaydanı mənfi tam ədədlərin bölünməsi alqoritmi şəklində yenidən yazaq: Məsələni həll edərkən mənfi tam ədədləri bölmək alqoritminin tətbiqini nəzərdən keçirin. Misal. −17 mənfi tam ədədinin qismən hissəsini və qalığını −5 mənfi tam ədədinə bölünən tapın. Həll. Qalan ilə uyğun bölmə alqoritmindən istifadə edirik. Dividend modulu 17, bölən modulu 5-dir. Bölmə 17 dəfə 5 natamam hissəni 3, qalanı isə 2 verir. Natamam hissəyə 3 əlavə edirik: 3+1=4. Beləliklə, −17-nin −5-ə bölünməsinin arzu olunan natamam hissəsi 4-dür. Qalanı hesablamaq qalır. Bu misalda a=−17 , b=−5 , c=4 , sonra d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 . Beləliklə, −17 mənfi tam ədədinin −5-ə bölünməsinin qismən hissəsi 4, qalanı isə 3-dür. Cavab: (−17):(−5)=4 (istirahət 3) . Tam ədədlərin qalığa bölünməsi yerinə yetirildikdən sonra nəticəni yoxlamaq faydalıdır. Doğrulama iki mərhələdə aparılır. Birinci mərhələdə qalıq d-nin qeyri-mənfi ədəd olub-olmaması yoxlanılır, həmçinin şərt yoxlanılır. Yoxlamanın birinci mərhələsinin bütün şərtləri yerinə yetirilirsə, onda siz yoxlamanın ikinci mərhələsinə keçə bilərsiniz, əks halda qalıq ilə bölərkən haradasa səhvə yol verildiyini iddia etmək olar. İkinci mərhələdə a=b·c+d bərabərliyinin etibarlılığı yoxlanılır. Əgər bu bərabərlik doğrudursa, onda qalığa bölgü düzgün aparılıb, əks halda haradasa səhvə yol verilib. Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsinin yoxlanıldığı misalların həllərini nəzərdən keçirək. Misal. -521 ədədini -12-yə bölərkən qismən hissə 44, qalıq isə 7 idi, nəticəni yoxlayın. Həll. b=−3 , c=7 , d=1 üçün −2. bizdə var b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Beləliklə, a=b c+d bərabərliyi yanlışdır (bizim nümunəmizdə a=−19 ). Ona görə də qalıqla bölgü səhv aparılıb.
, və ədədin modulunun xüsusiyyətlərinə görə - və bərabərlik 
.
. Alınan bərabərsizliklərdən və ondan nəticə çıxır ki, formanın bərabərliyi bizim fərziyyəmizə görə mümkün deyil. Buna görə də, a=b·q+r istisna olmaqla, a ədədinin başqa təsviri yoxdur.Dividend, bölən, qismən hissə və qalıq arasındakı əlaqələr
Müsbət tam ədədlərin qalığı ilə bölmə, nümunələr
Müsbət tamın qalığı ilə mənfi tam ədədə bölünmə qaydası, nümunələr
Mənfi tam ədədin qalığını müsbət tam ədədə bölmək, nümunələr
Mənfi tam ədədlərin qalığı ilə bölmə qaydası, nümunələr
Tam ədədlərin qalığa bölünməsinin nəticəsinin yoxlanılması
