Riyaziyyat Dərsləri: Niyə Sıfıra Bölmək olmur. Limitlərin həlli üsulları. Qeyri-müəyyənliklər.Funksiyanın artım sırası. Əvəzetmə üsulu Sonsuzluğun ədədə bölünməsi

Çox vaxt bir çox insanlar niyə sıfıra bölmənin mümkün olmadığı ilə maraqlanır? Bu yazıda biz bu qaydanın haradan gəldiyini, eləcə də sıfırla hansı hərəkətləri yerinə yetirə biləcəyimizi ətraflı izah edəcəyik.

ilə təmasda

Sıfırı ən maraqlı nömrələrdən biri adlandırmaq olar. Bu rəqəmin heç bir mənası yoxdur, sözün əsl mənasında boşluq deməkdir. Ancaq hər hansı bir rəqəmin yanına sıfır qoyursanız, bu rəqəmin dəyəri bir neçə dəfə artacaq.

Rəqəm özlüyündə çox sirlidir. Qədim Mayya xalqı tərəfindən istifadə edilmişdir. Mayyalar üçün sıfır "başlanğıc" mənasını verirdi və təqvim günlərinin geri sayımı da sıfırdan başlayırdı.

Çox maraqlı fakt ondan ibarətdir ki, onlar üçün sıfır işarəsi ilə qeyri-müəyyənlik işarəsi oxşar idi. Bununla mayyalılar sıfırın qeyri-müəyyənliklə eyni işarə olduğunu göstərmək istəyirdilər. Avropada sıfır təyinatı nisbətən yaxınlarda ortaya çıxdı.

Həmçinin, bir çox insan sıfırla əlaqəli qadağanı bilir. Bunu hər kəs deyəcək sıfıra bölmək olmaz. Bunu məktəbdə müəllimlər deyir və uşaqlar adətən onların sözünü qəbul edirlər. Adətən uşaqlar ya sadəcə olaraq bunu bilməklə maraqlanmırlar, ya da vacib bir qadağanı eşidəndə dərhal “Niyə sıfıra bölə bilmirsən?” deyə soruşsalar nə olacağını bilirlər. Ancaq yaşlandıqca maraq oyanır və belə bir qadağanın səbəbləri haqqında daha çox bilmək istəyirsən. Bununla belə, ağlabatan sübutlar var.

Sıfırla hərəkətlər

Əvvəlcə sıfırla hansı hərəkətlərin edilə biləcəyini müəyyənləşdirməlisiniz. Mövcuddur bir neçə növ fəaliyyət:

• Əlavə;
• çarpma;
• Çıxarma;
• Bölmə (rəqəm üzrə sıfır);
• Eksponentasiya.

Vacibdir!Əgər toplama zamanı hər hansı bir ədədə sıfır əlavə olunarsa, bu rəqəm eyni qalacaq və onun ədədi dəyərini dəyişməyəcək. Hər hansı bir ədəddən sıfırı çıxarsanız, eyni şey baş verir.

Vurma və bölmə ilə hər şey bir az fərqlidir. Əgər istənilən ədədi sıfıra vurun, onda məhsul da sıfır olacaq.

Məsələni nəzərdən keçirək:

Bunu əlavə olaraq yazaq:

Cəmi beş əlavə sıfır var, belə ki, belə çıxır

Gəlin bir sıfıra vurmağa çalışaq. Nəticə də sıfır olacaq.

Sıfırı ona bərabər olmayan hər hansı digər ədədə də bölmək olar. Bu halda, dəyəri də sıfır olacaq çıxacaq. Eyni qayda mənfi ədədlərə də aiddir. Sıfırı mənfi ədədə bölsəniz, sıfır alırsınız.

İstənilən nömrəni də qaldıra bilərsiniz sıfır gücə. Bu halda, siz 1 alırsınız. "Sıfırdan sıfıra güc" ifadəsinin tamamilə mənasız olduğunu xatırlamaq vacibdir. Sıfırı istənilən gücə yüksəltməyə çalışsanız, sıfır alırsınız. Misal:

Çarpma qaydasından istifadə edirik, 0 alırıq.

Sıfıra bölmək olarmı

Beləliklə, burada əsas suala gəlirik. Sıfıra bölmək olarmıümumiyyətlə? Və nə üçün bir ədədi sıfıra bölmək mümkün deyil, çünki sıfır olan bütün digər əməliyyatlar tam olaraq mövcuddur və tətbiq olunur? Bu suala cavab vermək üçün ali riyaziyyata müraciət etmək lazımdır.

Konseptin tərifindən başlayaq, sıfır nədir? Məktəb müəllimləri sıfırın heç bir şey olmadığını iddia edirlər. Boşluq. Yəni 0 qələmin olduğunu deyəndə, demək ki, heç qələmin yoxdur.

Ali riyaziyyatda “sıfır” anlayışı daha genişdir. Bu heç də boş demək deyil. Burada sıfır qeyri-müəyyənlik adlanır, çünki bir az araşdırma aparsanız, belə çıxır ki, sıfırı sıfıra bölməklə nəticədə istənilən başqa rəqəm əldə edə bilərik ki, bu da mütləq sıfır olmaya bilər.

Məktəbdə oxuduğun sadə hesab əməllərinin bir-birinə o qədər də bərabər olmadığını bilirsənmi? Ən əsas addımlar bunlardır toplama və vurma.

Riyaziyyatçılar üçün "" və "çıxma" anlayışları mövcud deyil. Tutaq ki, beşdən üçü çıxsaq, ikisi qalacaq. Çıxarma belə görünür. Ancaq riyaziyyatçılar bunu belə yazacaqlar:

Beləliklə, məlum olur ki, naməlum fərq 5-i əldə etmək üçün 3-ə əlavə edilməli olan müəyyən bir ədəddir. Yəni, heç nəyi çıxarmaq lazım deyil, sadəcə uyğun rəqəm tapmaq lazımdır. Bu qayda əlavəyə aiddir.

ilə işlər bir az fərqlidir vurma və bölmə qaydaları. Məlumdur ki, sıfıra vurma sıfır nəticəyə gətirib çıxarır. Məsələn, 3:0=x olarsa, qeydi çevirsəniz, 3*x=0 alırsınız. Və 0-a vurulan ədəd məhsulda sıfır verəcəkdir. Belə çıxır ki, sıfır olan məhsulda sıfırdan başqa hər hansı bir dəyər verəcək ədəd yoxdur. Bu o deməkdir ki, sıfıra bölmək mənasızdır, yəni bizim qaydamıza uyğundur.

Bəs sıfırı özbaşına bölməyə çalışsanız nə olacaq? Gəlin x-i qeyri-müəyyən ədəd kimi götürək. 0 * x \u003d 0 tənliyi çıxır. Bunu həll etmək olar.

Əgər x əvəzinə sıfır almağa çalışsaq, 0:0=0 alırıq. Məntiqli görünür? Amma x-in yerinə hər hansı başqa bir ədəd götürməyə çalışsaq, məsələn, 1, onda 0:0=1 alırıq. Əgər hər hansı başqa nömrə götürsəniz və eyni vəziyyət olacaq tənliyə daxil edin.

Bu halda belə çıxır ki, amil kimi istənilən başqa rəqəmi götürə bilərik. Nəticə sonsuz sayda müxtəlif ədədlər olacaq. Bəzən, buna baxmayaraq, ali riyaziyyatda 0-a bölmənin mənası var, lakin adətən müəyyən bir şərt var ki, buna görə hələ də bir uyğun nömrə seçə bilərik. Bu hərəkət "qeyri-müəyyənliyin açıqlanması" adlanır. Adi hesabda sıfıra bölmək yenidən mənasını itirəcək, çünki çoxluqdan heç bir ədəd seçə bilməyəcəyik.

Vacibdir! Sıfırı sıfıra bölmək olmaz.

Sıfır və sonsuzluq

Yüksək riyaziyyatda sonsuzluq çox yaygındır. Məktəblilərin hələ də sonsuzluqla riyazi əməliyyatların mövcud olduğunu bilməsi sadəcə vacib olmadığı üçün müəllimlər uşaqlara niyə sıfıra bölməyin mümkün olmadığını düzgün izah edə bilmirlər.

Tələbələr əsas riyazi sirləri yalnız institutun birinci kursunda öyrənməyə başlayırlar. Ali riyaziyyat həlli olmayan çoxlu problemlər toplusunu təqdim edir. Ən məşhur problemlər sonsuzluq problemləridir. ilə həll edilə bilər riyazi analiz.

Sonsuzluğa da müraciət edə bilərsiniz elementar riyazi əməliyyatlar:əlavə, ədədə vurma. Çıxarma və bölmə də çox istifadə olunur, lakin sonda yenə də iki sadə əməliyyata gəlirlər.

Amma nə olacaq cəhd etsəniz:

• Sonsuzluğu sıfıra vurun. Nəzəri olaraq hər hansı bir ədədi sıfıra vurmağa çalışsaq, sıfır alacağıq. Lakin sonsuzluq qeyri-müəyyən ədədlər toplusudur. Bu çoxluqdan bir ədəd seçə bilmədiyimiz üçün ∞*0 ifadəsinin həlli yoxdur və tamamilə mənasızdır.
• Sıfır sonsuzluğa bölünür. Bu yuxarıdakı hekayənin eynisidir. Biz bir ədəd seçə bilmirik, yəni nəyə bölünəcəyimizi bilmirik. İfadə məna vermir.

Vacibdir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənlikdən bir az fərqlidir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənliyin bir növüdür.

İndi sonsuzluğu sıfıra bölməyə çalışaq. Görünür, qeyri-müəyyənlik olmalıdır. Amma bölməni vurma ilə əvəz etməyə çalışsaq, çox dəqiq cavab alırıq.

Məsələn: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Belə çıxır riyazi paradoks.

Niyə sıfıra bölmək olmur

Düşüncə təcrübəsi, sıfıra bölməyə çalışın

Nəticə

Beləliklə, indi biz bilirik ki, sıfır bir təkdən başqa, demək olar ki, bütün əməliyyatlara tabedir. Nəticə qeyri-müəyyənlik olduğu üçün sıfıra bölmək olmaz. Sıfır və sonsuzluq üzərində işləməyi də öyrəndik. Bu cür hərəkətlərin nəticəsi qeyri-müəyyənlik olacaq.

Funksiyanın törəməsi uzağa düşmür və L'Hopital qaydalarına gəldikdə, o, orijinal funksiyanın düşdüyü yerə düşür. Bu hal 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliklərini və hesablamada yaranan bəzi digər qeyri-müəyyənlikləri aşkar etməyə kömək edir. limit iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyaların nisbəti. Hesablama bu qayda ilə çox sadələşdirilmişdir (əslində iki qayda və onlara dair qeydlər):

Yuxarıdakı düsturdan göründüyü kimi, iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyanın nisbət həddi hesablanarkən, iki funksiyanın nisbət həddi onların nisbət həddi ilə əvəz edilə bilər. törəmələri və bununla da müəyyən nəticə əldə edin.

L'Hopital qaydalarının daha dəqiq formalaşdırılmasına keçək.

İki Sonsuz Kiçik Dəyərin Limiti üçün L'Hopital Qaydası. Qoy funksiyalar f(x) və g(x a. Və elə məqamda a a funksiya törəməsi g(x) sıfıra bərabər deyil ( g"(x a bir-birinə bərabərdir və sıfıra bərabərdir:

.

İki sonsuz böyük miqdarın həddi halı üçün L'Hôpital qaydası. Qoy funksiyalar f(x) və g(x) nöqtənin hansısa qonşuluğunda törəmələri var (yəni diferensiallaşırlar). a. Və elə məqamda a onların törəmələri ola bilər və ya olmaya da bilər. Üstəlik, məntəqənin yaxınlığında a funksiya törəməsi g(x) sıfıra bərabər deyil ( g"(x)≠0 ) və bu funksiyaların hədləri x nöqtəsində funksiyanın qiymətinə meyllidir a bir-birinə bərabərdir və sonsuzluğa bərabərdir:

.

Onda bu funksiyaların nisbətinin həddi onların törəmələrinin nisbətinin həddinə bərabərdir:

Başqa sözlə, 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənlikləri üçün iki funksiyanın nisbətinin həddi, əgər sonuncu mövcuddursa, onların törəmələrinin nisbətinin həddi ilə bərabərdir (sonlu, yəni müəyyən sayda və ya sonsuz, yəni sonsuzluğa bərabərdir).

Qeydlər.

1. L'Hopital qaydaları funksiyaları yerinə yetirdikdə də tətbiq edilir f(x) və g(x) müəyyən edilmir x = a.

2. Əgər funksiyaların törəmələrinin nisbətinin həddi hesablanarkən f(x) və g(x) biz yenidən 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə gəlirik, onda L'Hopital qaydaları təkrar-təkrar (ən azı iki dəfə) tətbiq edilməlidir.

3. L'Hopital qaydaları (x) funksiyalarının arqumenti qeyri-sonlu ədədə meyl etdikdə də tətbiq edilir. a, və sonsuzluğa ( x → ∞).

Digər növ qeyri-müəyyənliklər də 0/0 və ∞/∞ tiplərinin qeyri-müəyyənliklərinə endirilə bilər.

“Sıfırın sıfıra bölünməsi” və “sonsuzluğun sonsuza bölünməsi” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması

Misal 1

x=2 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Buna görə də, hər bir funksiyanın törəməsi və alırıq

Numeratorda çoxhədlinin törəməsi, məxrəcdə isə - mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi. Son bərabərlik işarəsindən əvvəl, adi limit, x əvəzinə ikili əvəz etmək.

Misal 2 L'Hospital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Həll. Verilmiş dəyər funksiyasına əvəzetmə x

Misal 3 L'Hospital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Həll. Verilmiş dəyər funksiyasına əvəzetmə x=0 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Buna görə də, funksiyaların pay və məxrəcdə törəmələrini hesablayırıq və alırıq:

Misal 4 Hesablayın

Həll. Verilmiş funksiyada x-in üstəgəl sonsuza bərabər qiymətini əvəz etmək ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Beləliklə, L'Hopital qaydasını tətbiq edirik:

Şərh. L'Hopital qaydasının iki dəfə tətbiq edilməli olduğu, yəni ikinci törəmələrin nisbət həddinə çatmaq üçün nümunələrə keçək, çünki birinci törəmələrin nisbətinin həddi formanın qeyri-müəyyənliyidir. 0/0 və ya ∞/∞.

"Sıfırın sonsuzluğa vurulması" formasının qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması

Misal 12. Hesablayın

.

Həll. alırıq

Bu nümunə triqonometrik eynilikdən istifadə edir.

“Sıfırın gücünə sıfır”, “Sıfırın gücünə sonsuzluq” və “sonsuzluğun gücünə bir” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması.

Formanın qeyri-müəyyənlikləri və ya adətən formanın funksiyasının loqarifmindən istifadə edərək 0/0 və ya ∞/∞ formasına endirilir.

İfadənin həddini hesablamaq üçün xüsusi halı loqarifmin xassəsi olan loqarifmik eynilikdən istifadə etmək lazımdır. .

Loqarifmik eynilikdən və funksiyanın davamlılıq xassəsindən istifadə edərək (həddinin işarəsindən kənara çıxmaq üçün) həddi aşağıdakı kimi hesablamaq lazımdır:

Ayrı-ayrılıqda eksponentdə ifadənin həddi tapılmalı və qurulmalıdır e tapılan dərəcəyə qədər.

Misal 13

Həll. alırıq

.

.

Misal 14 L'Hopital qaydasından istifadə edərək hesablayın

Həll. alırıq

Göstəricidəki ifadənin limitini hesablayın

.

.

Misal 15 L'Hopital qaydasından istifadə edərək hesablayın

Əgər ədəd sonsuzluğa bölünürsə, bölgü sıfıra meyllidirmi? İçəridə davam etdi və daha yaxşı cavab aldı

Olenkadan cavab [yeni başlayan]
hamısı 0
Krab qabığı
Oracle
(56636)
Yox. Tam sıfır. Bölən sonsuzluğa meylli olduğu kimi, hissə də sıfıra meyllidir. Və əgər biz sonsuzluğa meylli bir ədədə deyil, sonsuzluğun özünə görə bölsək (yeri gəlmişkən, daha dəqiq desək, bu, rəsmi olaraq ümumiyyətlə nömrə hesab edilmir, ancaq nömrələrin təyinatını tamamlayan xüsusi simvol hesab olunur) - tam sıfır.

-dan cavab Hakim Vladimir[quru]
Sıfırı bölmək, istənilən ədədə vurmaq belə, yenə də sıfır olacaq!

-dan cavab 1 23 [quru]
əgər bəzi bok sıfıra meyl edirsə, onda onu sonlu bir şeyə (ədəd və ya məhdud funksiya) vurmaq ağrısızdır, çünki all-rna sıfıra meyllidir.
ancaq onu sonsuzluğa meyl edən bir növ şeylə çoxaltsanız, seçimlər ola bilər.

-dan cavab Krab qabığı[quru]
İstənilən ədədi sonsuzluğa bölmək sıfırla nəticələnir. Dəqiq sıfır, "sıfıra getmək" yoxdur. Və sonra onu hansı rəqəmə vursan, sıfıra bərabərdir. Və sıfırın sıfırdan başqa hər hansı bir ədədə bölünməsinin nəticəsi sıfır olacaq, yalnız sıfırı sıfıra böldükdə nəticə müəyyən edilmir, hər hansı bir ədəd bölmə kimi uyğun olacaq.

Limitlərin həlli üsulları. Qeyri-müəyyənliklər.
Funksiya artım qaydası. Əvəzetmə üsulu

Misal 4

Həddini tapın

Bu, öz əlinizlə həll üçün daha sadə bir nümunədir. Təklif olunan nümunədə, yenə qeyri-müəyyənlik (kökdən daha yüksək artım sırası).

"x" "mənfi sonsuzluğa" meyllidirsə

Bu məqalədə çoxdan "mənfi sonsuzluğun" xəyalı var. Çoxhədli hədləri nəzərə alın. Həll prinsipləri və üsulları bir sıra nüanslar istisna olmaqla, dərsin birinci hissəsində olduğu kimi tamamilə eyni olacaq.

Praktik tapşırıqları həll etmək üçün tələb olunan 4 çipi nəzərdən keçirin:

1) Limiti hesablayın

Limitin dəyəri yalnız müddətdən asılıdır, çünki o, ən yüksək artım sırasına malikdir. Əgər, onda sonsuz böyük modul EVEN gücünə mənfi ədəd, bu halda - dördüncü, "plus sonsuzluğa" bərabərdir: . Sabit ("iki") müsbət, Buna görə də:

2) Limiti hesablayın

Budur, yenə ali dərəcə hətta, Buna görə də: . Ancaq qarşıda bir "minus" var ( mənfi sabit –1), buna görə də:

3) Limiti hesablayın

Limitin dəyəri yalnız ondan asılıdır. Məktəbdən xatırladığınız kimi, tək dərəcənin altından "mənfi" "çıxır", yəni sonsuz böyük modul mənfi ədədi TƏK gücə çevirin"mənfi sonsuzluğa" bərabərdir, bu halda: .
Sabit ("dörd") müsbət, deməkdir:

4) Limiti hesablayın

Kənddə birinci oğlan yenə var qəribə dərəcə, üstəlik, qoynunda mənfi sabit, yəni: Beləliklə:
.

Misal 5

Həddini tapın

Yuxarıdakı məqamlardan istifadə edərək, burada qeyri-müəyyənliyin olduğu qənaətinə gəlirik. Paylayıcı və məxrəc eyni artım sırasına malikdir, yəni limitdə sonlu ədəd alınacaqdır. Bütün qızartmaları atmaqla cavabı öyrənirik:

Həll mənasızdır:

Misal 6

Həddini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Və indi, bəlkə də ən incə hallar:

Misal 7

Həddini tapın

Böyük şərtləri nəzərə alsaq, burada qeyri-müəyyənlik olduğu qənaətinə gəlirik. Numerator məxrəcdən daha yüksək artım sırasına malikdir, buna görə də dərhal limitin sonsuz olduğunu söyləyə bilərik. Bəs hansı sonsuzluq, “artı” və ya “mənfi”? Qəbul eynidir - say və məxrəcdə kiçik şeylərdən qurtulacağıq:

Qərar veririk:

Pay və məxrəci bölün

Misal 15

Həddini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Dərsin sonunda bitirmənin təxmini nümunəsi.

Dəyişən əvəzetmə mövzusunda daha bir neçə maraqlı nümunə:

Misal 16

Həddini tapın

Limitdə birini əvəz etmək qeyri-müəyyənliklə nəticələnir. Dəyişənin dəyişdirilməsi artıq təklif olunur, lakin əvvəlcə düsturdan istifadə edərək tangensi çevirəcəyik. Doğrudan da, bizə bir tangens nə üçün lazımdır?

Qeyd edək ki, buna görə də. Tamamilə aydın deyilsə, sinus dəyərlərinə baxın triqonometrik cədvəl. Beləliklə, biz dərhal faktordan xilas oluruq , əlavə olaraq daha çox tanış olan qeyri-müəyyənliyi əldə edirik 0:0. Limitimiz də sıfıra meyl etsəydi, yaxşı olardı.

Əvəz edək:

Əgər, onda

Kosinusun altında "x" var, onu da "te" ilə ifadə etmək lazımdır.
Əvəzindən ifadə edirik: .

Həllini tamamlayırıq:

(1) Əvəzetmənin yerinə yetirilməsi

(2) Kosinusun altındakı mötərizələri genişləndirin.

(4) Təşkil etmək ilk gözəl hədd, payı süni şəkildə və əksini çoxaldın.

Müstəqil həll üçün tapşırıq:

Misal 17

Həddini tapın

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Bunlar siniflərində sadə tapşırıqlar idi; praktikada hər şey daha pisdir və əlavə olaraq azaldılması düsturları, fərqli istifadə etmək lazımdır triqonometrik düsturlar, eləcə də digər fəndlər. Kompleks Limitlər məqaləsində bir neçə real nümunəni təhlil etdim =)

Bayram ərəfəsində nəhayət daha bir ümumi qeyri-müəyyənliklə vəziyyəti aydınlaşdıracağıq:

"Sonsuzluğun gücünə bir" qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılması

Bu qeyri-müəyyənlik "xidmət olunur" ikinci gözəl hədd, və həmin dərsin ikinci hissəsində biz əksər hallarda praktikada rast gəlinən standart həllər nümunələrinə ətraflı baxdıq. İndi sərgi iştirakçıları ilə şəkil tamamlanacaq, əlavə olaraq, dərsin yekun tapşırıqları məhdudiyyətlərə - "hiylələrə" həsr olunacaq, burada 2-ci gözəl limiti tətbiq etmək lazım olduğu görünür, baxmayaraq ki, bu, heç də belə deyil. hal.

2-ci əlamətdar həddin iki iş düsturunun dezavantajı ondan ibarətdir ki, arqument “plus sonsuzluğa” və ya sıfıra meyl etməlidir. Bəs arqument fərqli bir rəqəmə meyl edərsə nə etməli?

Universal düstur köməyə gəlir (bu, əslində ikinci əlamətdar həddin nəticəsidir):

Qeyri-müəyyənlik düsturla aradan qaldırıla bilər:

Kvadrat mötərizələrin nə demək olduğunu artıq izah etmişəm. Xüsusi bir şey yoxdur, mötərizələr sadəcə mötərizədədir. Adətən onlar riyazi qeydi aydın şəkildə vurğulamaq üçün istifadə olunur.

Düsturun əsas məqamlarını vurğulayaq:

1) Haqqındadır yalnız qeyri-müəyyənlik haqqında və başqa heç bir şey yoxdur.

2) "x" arqumenti meyl edə bilər ixtiyari dəyər(və yalnız sıfıra və ya ) deyil, xüsusən də "mənfi sonsuzluğa" və ya hər kəs son nömrə.

Bu düsturdan istifadə edərək, dərsin bütün nümunələrini həll edə bilərsiniz Möhtəşəm Limitlər, 2-ci əlamətdar həddə aid olan. Məsələn, limiti hesablayaq:

Bu halda , və düstura görə:

Düzdür, mən sizə bunu etməyi məsləhət görmürəm, ənənəyə görə, tətbiq oluna bilsə, hələ də həllin "adi" dizaynından istifadə edirsiniz. Amma düsturdan istifadə edərək yoxlamaq çox rahatdır 2-ci gözəl həddə qədər "klassik" nümunələr.