Excele nümunəsində ən az kvadrat metod. Xətti cütləşdirilmiş reqressiya təhlili. Proqnozlaşdırmaq üçün istifadə olunan mənbə məlumatlarının düzgünlüyü barədə bir neçə söz

Ən az kvadrat metodu, iki sıra nömrələrin dəstinə ən dəqiq şəkildə uyğunlaşacaq xətti bir tənliyin qurulması üçün bir riyazi bir prosedurdur. Bu üsuldan istifadə etmək məqsədi ümumi kvadrat səhvini minimuma endirməkdir. Excel proqramının hesablanarkən bu metod tətbiq oluna biləcəyi vasitələr var. Bunun necə edildiyi ilə məşğul olaq.

Ən az kvadrat metodu (MNC) bir dəyişənin ikincidən asılılığının riyazi təsviridir. Proqnozlaşdırarkən istifadə edilə bilər.

Əlavə "həll axtarışını" aktivləşdirmək

Excele-də MNC-dən istifadə etmək üçün əlavəni yandırmalısınız "Həll həlli"standart olaraq əlil olan.

İndi bir xüsusiyyət Həlləri axtarın Excel işə salınır və alətləri lentdə göründü.

Problemin şərtləri

MNK-nın konkret bir nümunədə istifadəsini təsvir edirik. İki sıra nömrələrimiz var x. və y. Ardıcıllıq aşağıdakı şəkildə təqdim olunur.

Ən dəqiq verilən asılılıq funksiyanı təsvir edə bilər:

Eyni zamanda, nə vaxt olduğu bilinir x \u003d 0. y. Bərabərdir 0 . Buna görə bu tənliyi asılılıqla təsvir etmək olar y \u003d nx. .

Fərq meydanlarının minimum məbləğini tapmalıyıq.

Qərar

Metodun birbaşa tətbiqinin təsvirinə müraciət edək.

Gördüyünüz kimi, ən az kvadrat metod metodundan istifadə olduqca mürəkkəb bir riyazi prosedurdur. Bunu ən sadə nümunədə hərəkətdə göstərdik və daha mürəkkəb hallar var. Bununla birlikdə, Microsoft Excel Toolkit hesablamaları asanlaşdırmaq üçün hazırlanmışdır.

Ən az kvadrat metodu (MNC) reqressiya təhlili sahəsinə aiddir. Bir çox tətbiqetməni var, çünki göstərilən funksiyanın təxmini bir nümayəndəliyini digər daha sadə şəkildə həyata keçirməyə imkan verir. MNA, araşdırmalarda işləmə zamanı son dərəcə faydalı ola bilər və digər təsadüfi səhvlərin ölçmələrinin nəticələrinə görə bəzi dəyərləri qiymətləndirmək üçün fəal istifadə olunur. Bu yazıdan ən az kvadratlar metodundan istifadə edərək hesablamaları necə həyata keçirməyinizi öyrənəcəksiniz.

Tapşırığı müəyyən bir nümunəyə təyin etmək

Tutaq ki, X və Y-də X və Y-də X-dən asılıdır. MNK reqressiya təhlili baxımından (Excel-də metodları tətbiq olunur), dərhal getmək lazımdır müəyyən bir vəzifənin baxılması.

Beləliklə, X-nin milyonlarla rublda təyin olunan kvadrat metrlərdə və Y - illik dövriyyədə olan qida mağazasının ticarət sahəsi olaq.

Bir və ya başqa bir alış-veriş sahəsi varsa, ticarət (y) mağazada olacağı bir proqnoz vermək tələb olunur. Aydındır ki, Hipermarketdən daha çox məhsul satdığı üçün y \u003d f (x) funksiyası artır.

Proqnozlaşdırmaq üçün istifadə olunan mənbə məlumatlarının düzgünlüyü barədə bir neçə söz

Tutaq ki, n mağazalar üçün məlumatlara görə qurulmuş bir cədvəlimiz var.

Riyazi statistikaya görə, nəticələr ən azı 5-6 obyektin araşdırılacağı təqdirdə nəticələr daha çox və ya daha az olacağıdır. Bundan əlavə, "anomal" nəticələrdən istifadə etmək mümkün deyil. Xüsusilə, elit kiçik bir butikdə Masmarketin sinifinin böyük ticarət nöqtələrinin ticarət dövriyyəsindən daha çox dövriyyə ola bilər.

Metodun mahiyyəti

Masa məlumatları, M 1 (x 1, Y 1), ... m n (x n, y n) şəklində bir prospektdə protokol təsvir edilə bilər. İndi problemin həlli, m 1, m 2, m 2, m 2 nöqtələrinə mümkün qədər yaxından keçən bir qrafik olan y \u003d f (x) olan yaxınlaşma funksiyasının seçilməsinə endirilir.

Əlbəttə ki, yüksək dərəcədə çox dərəcə polinomu istifadə etmək mümkündür, lakin bu seçim yalnız daha çətin deyil, sadəcə səhvdir, çünki aşkar etmək lazım olan əsas tendensi əks etdirməyəcəkdir. Ən ağlabatan həll, eksperimental məlumatların ən yaxşısı və daha dəqiqləri, əmsalları - A və B-nin ən yaxşısı olan birbaşa Y \u003d AX + B üçün axtarışdır.

Dəqiqlik qiymətləndirməsi

Hər hansı bir yaxınlaşmada, onun dəqiqliyini qiymətləndirmək üçün xüsusi əhəmiyyət verir. E i i, x i, i.e. e i \u003d y i - f (x i) üçün funksional və təcrübi dəyərlər arasındakı fərq (sapma) arasındakı fərq (sapma).

Yaxınlaşmanın düzgünlüyünü qiymətləndirmək üçün bir miqdarda sapmalardan istifadə edilə bilər, yəni y-dan təxmini bir təmsil üçün düz xətti seçdiyiniz zaman, EI miqdarının ən kiçik dəyərinə üstünlük verməlisiniz baxılan bütün nöqtələr. Ancaq hər şey o qədər sadə deyil, çünki müsbət sapmalarla birlikdə demək olar ki, isə mənfi olacaqdır.

Sapma modullarından və ya meydanlarından istifadə edərək məsələni həll edə bilərsiniz. Son metod geniş yayıldı. Bir çox sahədə, o cümlədən reqressiya analizi də istifadə olunur (Excel-də onun tətbiqi iki daxili funksiyanı istifadə etməklə həyata keçirilir və bu, effektivliyini çoxdan sübut etdi.

Ən az kvadrat metod

Excel-də, məlum olduğu kimi, xüsusi diapazonda yerləşən bütün dəyərlərin dəyərlərini hesablamağa imkan verən quraşdırılmış autosummy funksiyası var. Beləliklə, ifadənin dəyərini hesablamaq üçün heç bir şey mane olmayacaq (E 1 2 + E 2 2 2 2 2 + E 3 2 + 2 + 2).

Riyazi qeyddə, bu forma var:

Əvvəlcə düz bir xətt ilə yaxınlaşmaq qərarına gəldiyindən:

Beləliklə, X və Y dəyərlərinin müəyyən asılılığını ən yaxşı şəkildə təsvir edən düz bir xətt tapmaq, iki dəyişənin minimum funksiyasının hesablanmasına qədər azalır:

Bunu etmək üçün A və B-nin yeni dəyişənlərinə görə sıfır törəmələrə bərabərləşdirmək və 2 naməlum növ ilə iki tənlikdən ibarət olan ibtidai sistemi həll etmək lazımdır:

Sadə çevrilmələrdən sonra, 2-də bölmə və cəmlər olan manipulyasiya daxil olmaqla, əldə edirik:

Bunu həll etmək, məsələn, cihaz tərəfindən, bəzi əmsallar A * və b * ilə stasionar bir nöqtə əldə edirik. Bu minimum, yəni müəyyən bir ərazidə mağazada hansı ticarətin olacağı, düz xətdə, düz xətti olan, bir nümunə üçün bir reqressiya modeli olan düz xətti uyğundur. Əlbəttə ki, dəqiq bir nəticə tapmağa imkan verməyəcək, ancaq konkret bir sahənin alınmasının alınmaması barədə bir fikir əldə etməyə kömək edəcəkdir.

Excel-də ən az kvadrat metodunu necə həyata keçirmək olar

"Excel" də MNN dəyərinin hesablanması üçün bir funksiyadır. Aşağıdakı formaya malikdir: "Trend" (Trend "(məlumdur. Dəyərlər Y Dəyərləri. X Dəyərlər; Yeni Dəyərlər X; Const.). MNC hesablama formulunu Excel-də masamıza tətbiq edin.

Bunu etmək üçün, daha kiçik meydanların hesablanması nəticəsi Excel-də göstərilməli olduğu hüceyrədə "\u003d" işarəsini təqdim edirik və "Trend" funksiyasını seçin. Açıq pəncərədə müvafiq sahələri doldurun, vurğulayın:

• y üçün məlum dəyərlər diapazonu (bu vəziyyətdə, dövriyyə üçün məlumat);
• range x 1, ... x n, i.E. pərakəndə satış yerlərinin dəyərləri;
• dövriyyənin ölçüsünü tapmaq üçün zəruri olan və bilinməyən x dəyərlər (iş səhifəsində yerləşdikləri yer haqqında məlumat üçün aşağıya baxın).

Bundan əlavə, düsturun məntiqi dəyişən "const" var. Müvafiq sahəyə 1 daxil olsanız, bu, hesablamaların b \u003d 0 olduğuna inanmaq, hesablamaların edilməli olduğu deməkdir.

Birdən çox dəyəri olan proqnozu öyrənmək lazımdır, onda düstura girdikdən sonra "Enter" düyməsini basmamalısınız, ancaq "növbə" + "İdarəetmə" + "daxil" birləşməsini yığmaq lazımdır klaviatura.

Bəzi xüsusiyyətlər

Reqressiya təhlili də çaydanlara hətta əlçatan ola bilər. Naməlum dəyişənlərin bir sıra dəyərini proqnozlaşdırmaq üçün Excel formulu - "Trend" - hətta heç olmasa ən az kvadrat metodu haqqında heç eşitməyənlər də istifadə edilə bilər. İşinin bəzi xüsusiyyətlərini bilmək kifayətdir. Xüsusilə:

• Bir cərgədə və ya sütunda dəyişən Y-nin məlum dəyərlərini təşkil etsəniz, məlum X dəyərləri olan hər bir xətt (sütun) proqram tərəfindən ayrı bir dəyişən kimi qəbul ediləcəkdir.
• "Trend" pəncərəsi məlum X ilə bir sıra göstərmirsə, onda Excel-də funksiyanı istifadə etmək halında, proqram onu \u200b\u200btam ədədlərdən ibarət bir sıra kimi nəzərdən keçirəcək, bunların sayı göstərilən dəyərlərlə aralığa uyğun bir sıra kimi hesab edəcəkdir Dəyişən y.
• Çıxışda "proqnozlaşdırılan" dəyərlərin bir sıra əldə etmək üçün, tendensiyanı hesablamaq üçün ifadə massiv düsturu kimi qəbul edilməlidir.
• Yeni X dəyərləri göstərilmədiyi təqdirdə, "Trend" funksiyası onları məşhurlara bərabər hesab edir. Əgər göstərilməyibsə, 1-nin bir sıra mübahisə kimi qəbul edilir; 2; 3; 4; ..., onsuz da müəyyən edilmiş parametrlər ilə bir sıra ilə əlaqəli olan ...
• X ilə yeni dəyərlər olan bir sıra X eyni və ya daha çox satır və ya sütundan müəyyən Y Dəyərləri olan bir sıra kimi bir şeydən ibarət olmalıdır. Başqa sözlə, müstəqil dəyişənlərlə mütənasib olmalıdır.
• Məlum x dəyərləri olan bir sıra, bir neçə dəyişən ola bilər. Bununla birlikdə, yalnız biri haqqında danışırıqsa, göstərilən X və Y dəyərləri ilə aralığın mütənasib olması tələb olunur. Bir neçə dəyişən halında, y-nin bir sütunda və ya bir sətirdə yerləşdiyi dəyərlərin göstərilən dəyərləri olan aralığın olmalıdır.

Predicz funksiyası

Excel-də reqressiya analizi bir neçə funksiya istifadə edərək həyata keçirilir. Onlardan biri "proqnozlar" adlanır. Bu, "Trend" ə bənzəyir, yəni ən az kvadrat metodundan istifadə edərək hesablamaların nəticəsini verir. Ancaq yalnız bir x üçün, çünki y məlum deyil.

İndi çap çayları üçün Excel-də, xətti tendensiyaya uyğun olaraq bir və ya digər göstəricinin gələcək dəyərinin dəyərini proqnozlaşdırmağa imkan verən formula bilirsiniz.

İşarələr arasında stoxastik əlaqələrin öyrənilməsi üsullarından biri reqressiya təhlilidir.
Reqressiya təhlili, başqa bir (və ya digər) dəyişənlərin (və ya digər) dəyişənlərin (və ya digər) dəyişənlərin (və ya) dəyəri olduqda, təsadüfi dəyişən (giriş nəticəsi) orta bir dəyəri olan reqressiya tənliyinin nəticəsidir. Buraya aşağıdakı addımlar daxildir:

1. rabitə formasının seçilməsi (analitik reqressiya tənliyi növü);
2. tənliyin parametrlərinin qiymətləndirilməsi;
3. analitik reqressiya tənliyinin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsi.

Ən çox parametrləri istifadə etmək üçün Ən az kvadrat metodu (MNC).
Ən az kvadrat metodu, reqressiya tənliyinin ən yaxşısını (varlı, effektiv, effektiv və açılmamış) hesablamaları verir. Ancaq yalnız müəyyən şərtlər təsadüfi bir müddət (U) və müstəqil dəyişən (X) (X) ilə əlaqəli (MNC-nin arxa planlarına bax).

Xətti cüt tənliyin parametrlərini ən az kvadrat metodu ilə qiymətləndirmə problemi Aşağıdakılardan ibarətdir: effektiv işarənin həqiqi dəyərlərinin sapmalarının kvadratlarının cəminin hesablanmış dəyərlər üzərində olan bu kimi qiymətləndirmələri əldə etmək.
Rəsmi olaraq meyar mnk. Bu kimi yaza bilərsiniz: .

Ən az kvadrat metodlarının təsnifatı

1. Ən az kvadrat metod.
2. Maksimum düzgün metod (normal bir klassik xətti reqressiya modeli üçün reqressiya qalıqlarının normallığı təxirə salınır).
3. OMNA-nın kiçik meydanlarının ümumiləşdirilmiş üsulu səhvlərin avtokorrelasiyası və heterosdastikliyi halında istifadə olunur.
4. Ən kiçik meydanları dayandırdı (Heter-viskiya qalıqları olan OMNA xüsusi bir işi).

Mahiyyətini göstəririk klassik ən kiçik kvadrat metodu qrafik olaraq. Bunu etmək üçün, müşahidələrə görə (x i, y i \u003d i \u003d i \u003d 1; n) düzbucaqlı koordinat sistemində (belə bir nöqtə qrafiki korrelyasiya sahəsi deyilir). Korrelyasiya sahəsinin nöqtələrinə ən yaxın olan düz bir xətt seçməyə çalışacağıq. Ən az kvadrat metoduna görə, xətt, korrelyasiya sahəsinin və bu xəttin nöqtələri arasındakı şaquli məsafələrin kvadratlarının cəminin minimal olardı.

Bu vəzifənin riyazi qeydi: .
Y i və x i \u003d 1 ... n-nin dəyərləri bizə məlumdur, bunlar müşahidə məlumatlarıdır. Funksiyada, onlar da sabitdirlər. Bu xüsusiyyətdəki dəyişənlər istədiyiniz parametr qiymətləndirmələridir -,. Ən azı 2 dəyişkən funksiyanı tapmaq üçün parametrlərin hər biri üçün bu funksiyanın özəl törəmələrini hesablamaq və sıfırı bərabərləşdirmək lazımdır, I.E. .
Nəticədə 2 normal xətti tənliklər sistemi əldə edirik:
Bu sistemi həll etmək, istədiyiniz parametr hesablamalarını tapacağıq:

Reqressiya tənliyinin parametrlərinin hesablanmasının düzgünlüyü məbləğləri müqayisə etməklə sınaqdan keçirilə bilər (bəlkə də yuvarlaq hesablamalara görə bəzi uyğunsuzluq).
Parametr qiymətləndirmələrini hesablamaq üçün 1-ci cədvəl 1 qura bilərsiniz.
Reqressiya əmsalı işarəsi rabitə istiqamətini göstərir (əgər b\u003e 0, xətti birbaşa, əgər varsa<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Rəsmi olaraq a parametrinin dəyəri sı sıfıra bərabər olan y ilə orta dəyərdir. İmzaçinin sıfır dəyəri olmadığı və sıfır dəyəri ola bilməzsə, onda parametrin yuxarıdakı təfsiri və mənası yoxdur.

İşarələr arasındakı ünsiyyətin möhkəmliyinin qiymətləndirilməsi Xətti cüt korrelyasiya əmsalı - r x, y istifadə edərək həyata keçirilir. Formula tərəfindən hesablana bilər: . Bundan əlavə, xətti cütləşmə korrelyasiyasının əmsalı, reqressiya əmsalı vasitəsilə müəyyən edilə bilər B: .
Cüt korrelyasiyanın xətti əmsalı -1-dən +1-ə qədər icazə verilən dəyərlər sahəsi. Korrelyasiya əmsalı işarəsi rabitə istiqamətini göstərir. Əgər r x, y\u003e 0, sonra əlaqə düzdür; R x, y<0, то связь обратная.
Bu əmsal bir-birinə yaxındırsa, xüsusiyyətlər arasındakı əlaqə olduqca xətti kimi təfsir edilə bilər. Modulu bir vahid ê r x, y ê \u003d 1 bərabərdirsə, işarələr arasındakı əlaqə funksional xəttidir. X və y işarələri xətti müstəqildirsə, onda R X, Y 0-a yaxındır.
R X hesablamaq üçün, Y-ı 1-ci cədvəldən də istifadə edə bilər.

Əldə olunan reqressiya tənliyinin keyfiyyətini qiymətləndirmək üçün nəzəri qətiyyət əmsalı hesablanır - R 2 YX:

,
burada D 2 Y dağılmasıdır; reqressiya tənliyi ilə izah olunur;
e 2 - qalıq (izah edilməmiş reqressiya tənliyi) dağılması;
s 2 Y, cəmi (tam) bir dispersiya Y.
Qətiyyət əmsalı, reqressiya (və nəticədə, faktor x), ümumi dəyişmə (dispersiya) ilə izah edilən effektiv işarənin dəyişkənliyinin (dispersiya) nisbətini xarakterizə edir. Müəyyən etmə əmsalı R 2 YX 0-dən 1.-ə qədər dəyər alır, 1-R 2 YX dəyəri digər hesablaşmamış amillərin dispersiya y hissəsini modeldə və spesifikasiya səhvlərinin təsirindən xarakterizə edir.
Cütlənmiş xətti reqressiya ilə r 2 yx \u003d r 2 yx.

Elm və praktik fəaliyyət sahələrində daha geniş tətbiqdir. Bu fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və s. Ola bilər. Taleyi iradəsi tez-tez iqtisadiyyatla mübarizə aparmalı və buna görə də bu gün sizə adlı heyrətamiz bir ölkədə kiçik bir gənc icra edəcəyəm Ekonometrik \u003d) ... necə istəmirsən?! Çox yaxşı var - sadəcə qərar vermək lazımdır! ... Ancaq burada ehtimal ki, mütləq istəməyiniz - vəzifələri həll etməyi öyrənməkdir Ən az kvadrat metodu. Xüsusilə çalışqan oxucular onları təkcə əlcəsiz, həm də tez bir zamanda həll etməyi öyrənəcəklər ;-) amma əvvəlcə vəzifənin ümumi qəbulu + Müvafiq nümunə:

Tutaq ki, bəzi fənn sahəsində kəmiyyət ifadəsi olan göstəricilər araşdırılır. Bu vəziyyətdə, göstəricinin göstəricisindən asılı olduğuna inanmaq üçün hər bir səbəb var. Bu yardım həm elmi bir fərziyyə, həm də elementar ümumi düşüncə əsasında ola bilər. Lakin, elmdən başqa iştahaaçan sahə - yəni qida mağazalarını tərk edin. Denote:

- qida mağazasının alış-veriş sahəsi, kv.m.,
- Qida mağazasının illik dövriyyəsi, milyon rubl.

Mağazanın sahəsinin daha böyük olduğu aydındır, əksər hallarda daha çox dövriyyəsi daha çox olacaqdır.

Tutaq ki, müşahidələr / təcrübələr aparıldıqdan sonra / Sayğac / Rəqslərimizi bizim ixtiyarımızda bir tüpürcələrlə rəqs edir.

Qonaqlar ilə hər şeyin aydın olduğunu düşünürəm: - Bu 1-ci mağazanın sahəsidir, - illik dövriyyəsi, - 2-ci mağazanın sahəsi - illik dövriyyəsi və s. Yeri gəlmişkən, ümumiyyətlə gizli materiallara giriş əldə etmək lazım deyil - dövriyyənin kifayət qədər dəqiq bir qiymətləndirilməsi vasitəsi ilə əldə edilə bilər riyazi statistika. Ancaq diqqətinizi çəkmirik, kommersiya casusluğu kursu artıq ödənilir \u003d)

Tabar məlumatları da nöqtələr şəklində yazıla bilər və bizim üçün adi hala gəlir. karteziya sistemi .

Əhəmiyyətli bir suala cavab verin: yüksək keyfiyyətli tədqiqat üçün neçə xal lazımdır?

Daha böyük, daha yaxşıdır. Minimum icazə verilən dəst 5-6 baldan ibarətdir. Bundan əlavə, az miqdarda məlumatla, "anormal" nəticələr nümunəyə daxil edilə bilməz. Beləliklə, məsələn, kiçik bir elit mağaza daha çox "həmkarları" kömək edə bilər, bununla da tapmaq üçün tələb olunan ümumi nümunəni təhrif etməkdə kömək edə bilər!

Yalnız bir funksiya seçmək lazımdırsa, cədvəl nöqtələrə yaxın keçir . Bu xüsusiyyət deyilir yaxınlaşan (yaxınlaşma - yaxınlaşma) və ya nəzəri funksiya . Ümumiyyətlə, burada dərhal açıq bir "ərizəçi" - cədvəli bütün nöqtələrdən keçən yüksək dərəcədə görünür. Ancaq bu seçim mürəkkəbdir və tez-tez səhvdir (Çünki cədvəl hər zaman "döngə" olacaq və əsas tendensiyanı zəif əks etdirəcəkdir).

Beləliklə, axtarılan funksiya olduqca sadə olmalıdır və eyni zamanda asılılığı lazımi şəkildə əks etdirir. Deyəsən, bu cür funksiyaları tapmaq üsullarından biri necə deyirsiniz və deyilir Ən az kvadrat metodu. Əvvəlcə ümumiyyətlə təhlil edəcəyik. Bəzi funksiyalar eksperimental məlumatları gətirsinlər:


Bu yaxınlığın düzgünlüyünü necə qiymətləndirmək olar? Təcrübə və funksional dəyərlər arasında hesablama və fərqliliklər (sapmalar) (Rəsm öyrənmək). Ağlıya gələn ilk düşüncə, miqdarı nə qədər böyük olduğunu qiymətləndirməkdir, lakin problemlər fərqlərin mənfi ola bilməsidir (məsələn, ) Və bu yekunlaşdırma nəticəsində sapmalar qarşılıqlı olaraq ayrılacaqdır. Buna görə, yaxınlaşmanın düzgünlüyünü qiymətləndirmə olaraq, məbləği qəbul etmək üçün uyğundur modullar Qapaqlar:

və ya bükülmüş formada: (Birdən kimsə bilmir: - bu məbləğdədir və 1-dən etibarən dəyər alan "sayğac".

Müxtəlif funksiyalarla eksperimental nöqtələrə yaxınlaşaraq, müxtəlif dəyərlər alacağıq və açıq şəkildə bu məbləğ funksiyadan və daha dəqiq olduqda.

Bu üsul mövcuddur və adlanır Ən az modul metodu. Ancaq praktikada daha çox paylama aldı ən az kvadrat metodModul tərəfindən mümkün olan mənfi dəyərlər, ancaq meydanda sapmaların inşası:

, sonrakı səylər bu funksiyanın seçilməsinə yönəldilməlidir ki, sapmaların meydanlarının cəminin Mümkün qədər az idi. Əslində, deməli metodun adı.

İndi başqa bir vacib məqama qayıdırıq: Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, seçilmiş funksiya olduqca sadə olmalıdır - lakin bu cür funksiyalar da çoxdur: xətti , hiperbolik, eksponent, logaritmik, kvadratik və s. Əlbətdə ki, dərhal "fəaliyyət sahəsini azaltmaq" istərdim. Tədqiqat üçün hansı sinif funksiyaları seçmək üçün hansı sinifdir? İbtidai, lakin effektiv qəbul:

- Portray nöqtələri üçün ən asandır Rəsmdə və yerlərini təhlil edin. Düz bir xəttdə yerləşdirilməyə meyllidirsə, onda axtarmalısınız tənlik birbaşa optimal dəyərlərlə və. Başqa sözlə, problem bu cür əmsalları tapmaqdır - buna görə sapmaların meydanlarının cəminin ən kiçik idi.

Məsələ, məsələn, nöqtələr olduqda hiperbol, Xətti funksiyanın pis bir yaxınlaşma verəcəyi aydın deyil. Bu vəziyyətdə, hiperbola tənliyi üçün ən çox "sərfəli" əmsal axtarırıq - minimum kvadratların məbləğini verənlər .

İndi qeyd edin ki, hər iki halda danışırıq İki dəyişənin funksiyalarıKimin dəlilləri var İstədiyiniz asılılıqların parametrləri:

Və mahiyyətcə standart tapşırığı həll etməliyik - tapmaq İki dəyişənin minimum funksiyası.

Nümunətimizi xatırlayın: Tutaq ki, "mağaza" nöqtələri düz bir xəttdə yerləşməyə meyllidir və bunu güman etmək üçün hər bir səbəb var xətti asılılığı Alış-veriş sahəsindən əmtəə dövriyyəsi. Bu cür əmsalları "a" və "olmaq" sapmaların kvadratlarının cəminə qədər tapacağıq Ən kiçik idi. Hər şey adi kimidir - birincisi 1-ci sifarişin xüsusi törəmələri. Görə xətti qayda Birbaşa məbləği ilə birbaşa fərqlənə bilərsiniz:

Bu məlumatı bir esse və ya kurslar üçün istifadə etmək istəyirsinizsə - mənbələr siyahısındakı link üçün çox minnətdaram, bu cür ətraflı hesablamalar bir az tapacaqdır:

Standart bir sistem hazırlayaq:

"Deuce" üzərindəki hər bir tənliyi azaldır və əlavə olaraq "dağılma" miqdarı:

Qeyd : Niyə "a" və "olmaq" niyə cəmi simgesindən çıxarıla bilər. Yeri gəlmişkən, miqdarı ilə rəsmi olaraq edilə bilər

Sistemi "tətbiq olunan" formada yenidən yazın:

Bundan sonra, vəzifəmizi həll etmə alqoritmi aşağıdakılardır:

Xalların koordinatları bilirik? Biz bilirik. Miqdar Tapa bilərikmi? Asanlıqla. Asanlaşdırmaq İki naməlum iki xətti tənlik sistemi("A" və "Ol"). Məsələn, sistem həll edin, cramer metoduNəticədə stasionar bir nöqtə alırıq. Yoxlama ekstremumun kifayət qədər şərti, bu məqamda funksiyaya əmin ola bilərsiniz Tam olaraq çatır minimum. Yoxlama əlavə hesablamalarla əlaqələndirilir və buna görə də səhnələr üçün buraxın (Lazım gələrsə, itkin çərçivəyə baxmaq olar). Son nəticəni edirik:

Funksiya ən yaxşı yol (ən azı hər hansı digər xətti funksiya ilə müqayisədə) Eksperimental nöqtələri bağlayır . Təxminən danışarkən, onun cədvəli bu nöqtələrə mümkün qədər yaxınlaşır. Ənənədə ekonometrika Nəticədə yaxınlaşma funksiyası da deyilir cütlənmiş xətti reqressiyanın tənliyi .

Baxılan problemin böyük bir praktik dəyəri var. Nümunəmizdə bir vəziyyətdə, tənlik ticarət dövriyyəsinin nə olduğunu təxmin etməyə imkan verir ("Igarek") ticarət sahəsinin fərqli bir dəyəri olan mağazada olacaq (Tom və ya digər "X"). Bəli, ortaya çıxan proqnoz yalnız proqnoz olacaq, lakin bir çox hallarda olduqca dəqiq olacaqdır.

"Real" nömrələri ilə yalnız bir tapşırığı başa düşəcəyəm, çünki bunun heç bir çətinliyi yoxdur, çünki bu, məktəb proqramı 7-8 sinif səviyyəsində bütün hesablamalar. İşlərin 95 faizində, xətti funksiyanı tapmaq üçün dəvət olunacaq, ancaq məqalənin sonunda optimal hiperboles, sərgi iştirakçıları və bəzi digər funksiyaların tənliklərini tapmaq daha çətin olmadığını göstərəcəyəm.

Əslində, söz verilmiş çörəkləri paylamaq qalır - belə ki, belə nümunələri yalnız dəqiq deyil, həm də tez bir zamanda həll etməyi öyrəndiniz. Standartı diqqətlə öyrənin:

Bir vəzifə

İki göstərici arasındakı əlaqənin öyrənilməsi nəticəsində aşağıdakı cüt cütlər əldə edildi:

Kiçik meydanlar metodu, ən yaxşı empirik gətirən xətti funksiyanı tapır (təcrübəli) Məlumat. Cartesian düzbucaqlı koordinat sistemində təcrübi nöqtələr və yaxınlaşma funksiyasının qrafikini yaratmaq üçün bir rəsm çək . Empirik və nəzəri dəyərlər arasındakı sapmaların meydanlarının cəmini tapın. Funksiyanın daha yaxşı olub olmadığını öyrənin (ən az kvadrat metodu baxımından) Eksperimental nöqtələri tətbiq edin.

Qeyd edək ki, "ICS" dəyərləri təbiidir və bir az sonra söyləyəcəyim bir xüsusiyyətli mənalı bir mənalı bir mənalı bir mənalı bir mənalı var; Əlbəttə ki, onlar fraksiya ola bilərlər. Bundan əlavə, bir tapşırığın məzmunundan "ICX" və "itələməz" dəyərlər tamamilə və ya qismən mənfi ola bilər. Yaxşı, bizdə "üzsüz" bir vəzifəmiz var və biz buna başlayırıq qərar:

Optimal funksiya əmsalları sistemin həlli kimi tapılacaq:

Daha çox yığcam qeyd etmək üçün, "Sayğac" dəyişən buraxıla bilər, çünki məlum ola bilər, çünki yekunların 1-dən etibarən aparılır.

Lazımi məbləğlərin hesablanması cədvəl şəklində təşkil etmək daha rahatdır:


Hesablamalar mikrokalsalatura aparıla bilər, ancaq Excel - və daha sürətli və səhvsiz istifadə etmək daha yaxşıdır; Qısa bir videoya baxırıq:

Beləliklə, aşağıdakıları alırıq sistem:

Burada 3 və 3 üçün ikinci tənliyi çoxalda bilərsiniz 1-ci tənliyindən 2-ci çıxartmaq. Ancaq bu şans - praktikada sistem daha çox istedadlı deyil və belə hallarda saxlayır cramer metodu:
Beləliklə, sistemin bir həlli var.

Bir çeki yerinə yetirin. Mən istəmədiyimi başa düşürəm, amma səhvləri niyə darıxmadığı səhvləri qaçırdınız? Hər bir sistem tənliyinin sol hissəsinə həll yolu əvəz etmək:

Müvafiq tənliklərin sağ hissələri əldə edilir, bu sistemin düzgün həll olunduğu deməkdir.

Beləliklə, arzu olunan yaxınlaşma funksiyası: - dən bütün xətti funksiyalar Təcrübəli məlumatlar ən yaxşı ona yaxınlaşır.

Fərqli düz Mağazanın dövriyyəsinin meydanından asılılığı, asılılığı tapıldı tərs ("Nə qədər - az" prinsipi)və bu fakt dərhal mənfi olaraq aşkarlandı bucaq əmsalı. Funksiya 1 bölmədə müəyyən bir göstəricinin artması ilə, asılı göstəricinin dəyəri azaldığını söyləyir orta0.65 ədəd. Dedikləri kimi, qarabaşaqın qiyməti nə qədər yüksəkdirsə, nə qədər az satılır.

Yaxınlaşan bir funksiyanın bir qrafiki qurmaq üçün onun dəyərlərindən ikisini tapacağıq:

və bir rəsm edin:


Daxili xətt çağırıldı trend xətti (yəni - xətti tendensiya xətti, I.E. ümumi halda, trend mütləq düz bir xətt deyil). Bütün tanış ifadələr "Trend-də olun" və düşünürəm ki, bu müddət əlavə şərhlərə ehtiyac yoxdur.

Sapma meydanlarının cəmini hesablayın empirik və nəzəri dəyərlər arasında. Həndəsi olaraq - bu, "moruq" seqmentlərinin uzunluğunun meydanlarının cəmidir (bunlardan ikisi o qədər kiçikdir ki, hətta görünmürlər).

Hesablamalar cədvəldə bizə icazə verin:


1-ci nöqtəyə bir nümunə gətirəcəyəmsə, onlar yenidən əl ilə edilə bilər:

Ancaq məlum bir şəkildə etmək üçün daha səmərəli:

Bir daha təkrarlayın: nəticənin mənası nədir? Biri bütün xətti funksiyalar funksiya Göstərici ən kiçik, yəni ailəsində ən yaxşı yaxınlaşmadır. Və burada, yeri gəlmişkən, problemin son sualı təsadüfi deyil: Təklif olunan eksponensial funksiya nə olarsa Təcrübə nöqtələrini gətirmək daha yaxşı olacaqmı?

Fərqli olan sapmaların meydanlarını müvafiq miqdarda tapırıq - "Epsilon" adlı məktublarını göstərəcəyəm. Texnika tam olaraq eynidir:


Və yenə 1 nöqtə üçün hər yanğın hesablanmasına:

Excel-də standart xüsusiyyətdən istifadə edirik Exp (Sintaksis Exele köməkində görünə bilər).

Çıxış: Buna görə, eksponensial funksiya eksperimental nöqtələri birbaşa daha pis gətirir .

Ancaq qeyd etmək lazımdır ki, "daha pis" demək deyil, səhv nədir. İndi bu eksponensial funksiyanın bir qrafiki tikdirdi və o da xallara yaxın keçir - Bəli, bu, analitik bir iş olmadan və demək çətindir, bir funksiya nə qədər dəqiqdir.

Bu qərar başa çatdı və mən mübahisənin təbii dəyərləri sualına qayıdıram. Müxtəlif araşdırmalarda, bir qayda olaraq, iqtisadi və ya sosioloji, təbii "əsərlər" ədədi ayları, illər və ya digər bərabər vaxtlar. Məsələn, belə bir iş düşünün.

4.1. Daxili funksiyalardan istifadə etməklə

Hesablama tənəzzül əmsalları funksiyanı istifadə edərək həyata keçirildi

Kətan(Dəyərlər_y.; Dəyərlər_x.; Condu; statistika),

Dəyərlər_y. - Y Dəyərlərinin sıra

Dəyərlər_x.- Dəyərlərin isteğe bağlı massivi x.Bir sıra varsa h. buraxıldı, sonra eyni ölçüdə bu serialın (1; 2; 3;) olduğu güman edilir Dəyərlər_y.,

Condu- Daimi tələb olunduğunu göstərən məntiqi bir dəyər b. 0-a bərabər idi Condu mənası var DOĞRU və ya sonra buraxıldı b. Adi yolla hesablanır. Mübahisə olarsa Condu Bu yalan, sonra vacibdir b. 0 və dəyərlərə bərabərdir a. nisbətə görə seçildi y \u003d balta.

Statistika- Əlavə reqressiya statistikasını qaytarmağımızı göstərən məntiqi bir dəyər. Mübahisə olarsa Statistika mənası var DOĞRU, sonra funksiya Kətan Əlavə reqressiya statistikasını qaytarır. Mübahisə olarsa Statistika mənası var Yalan və ya buraxıldı, sonra funksiya Kətan Yalnız əmsalı qaytarır a. Və daimi b..

Bu funksiyaların nəticəsi olduğunu xatırlamaq lazımdır Kətan ()bir çox dəyərdir - bir sıra.

Hesablama üçün korrelyasiya əmsalı İstifadə olunmuş funksiya

Zoğal(Kütləvi1;Kütləvi2.),

korrelyasiya əmsalı harada geri qaytarılması Kütləvi1 - Dəyərlər sıra y., Kütləvi2. - Dəyərlər sıra x.. Kütləvi1 və Kütləvi2. Bir ölçü olmalıdır.

Misal 1.. Asılılıq y.(x.) Masada təqdim olunur. Tikmək reqressiya xətti və hesablamaq korrelyasiya əmsalı.

MS Excel hesabatına dəyərlər cədvəlini təqdim edirik və bir nöqtə cədvəli yaradırıq. İş siyahısı Şəkildə təsvir olunan görünüşü alacaq. 2.

Reqressiya əmsallarının dəyərlərini hesablamaq üçün ammavə b.xülasə A7: B7, Funksiyalar ustasına və kateqoriyada müraciət edin Statistik Bir xüsusiyyət seçin Kətan. Şəkildə göstərildiyi kimi görünən informasiya qutusunu doldurun. 3 və vurun TAMAM..

Nəticədə hesablanmış dəyər yalnız hücrədə görünəcəkdir A6. (Şəkil.4). Hüceyrədə görünən dəyər üçün B6. Redaktə rejiminə daxil olmalısınız (düymə) F2)və sonra açar birləşməsini basın CTRL + Shift + Enter.

Hüceyrədə korrelyasiya əmsalının dəyərini hesablamaq C6. Aşağıdakı formula təqdim edildi:

C7 \u003d Corvela (B3: J3; B2: J2).

Reqressiya əmsallarını bilmək ammavə b. Funksiyanın dəyərlərini hesablayın y.=balta.+b. Göstərilən üçün x.. Bunu etmək üçün düsturu təqdim edirik

B5 \u003d $ 7 * b2 + $ b $ 7

və onu aralığa kopyalayın C5: J5.(Şəkil 5).

Diaqramdakı reqressiya xəttini göstərəcəyəm. Qrafikdəki eksperimental nöqtələri vurğulayın və əmri seçin İlkin məlumatlar. Görünən informasiya qutusunda (Şəkil 5), nişanı seçin Sıra və düyməni basın Əlavə etmək. Şəkildə göstərildiyi kimi giriş sahələrini doldurun. 6 düyməsini basın tamam. Təcrübə məlumat cədvəlinə reqressiya xətti əlavə ediləcəkdir. Varsayılan olaraq, onun cədvəli hamarlaşdırıcı xətlər ilə əlaqəli olmayan nöqtələr şəklində təsvir ediləcəkdir.

Əndazəli 6.

Reqressiya xəttinin növünü dəyişdirmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirin. Xətt cədvəlini əks etdirən nöqtələrə sağ vurun, əmri seçin Diaqram növüŞəkildə göstərildiyi kimi, nöqtə diaqramının növünü təyin edin. 7.

Xətt növü, rəngi və qalınlığı aşağıdakı kimi dəyişdirilə bilər. Diaqramdakı xətti seçin, sağ siçan düyməsini vurun və kontekst menyusundakı əmri seçin Məlumat seriyasının formatı ... Sonra, məsələn, Şəkildə göstərildiyi kimi qurğular edin. səkkiz.

Bütün dəyişikliklər nəticəsində bir qrafik ərazidə eksperimental məlumatlar və reqressiya xətti bir qrafik əldə edirik (Şəkil 9).

4.2. Bir trend xəttindən istifadə etməklə.

MS Excel-də müxtəlif yaxınlaşan asılılıqların tikintisi bir cədvəl xüsusiyyətləri kimi həyata keçirilir - trend xətti.

Misal 2.. Təcrübə nəticəsində bəzi cədvəldən asılılıq müəyyən edildi.

Yaxınlaşan bağımlılığı seçin və qurun. Qrafik cədvəl və seçilmiş analitik asılılığı qurun.

Problemin həlli aşağıdakı addımlara bölünə bilər: mənbə məlumatlarına daxil olmaq, bir nöqtə cədvəli qurmaq və bu qrafikə bir trend xətti əlavə etmək.

Bu prosesi ətraflı nəzərdən keçirin. Mənbə məlumatlarını iş vərəqinə təqdim edirik və eksperimental məlumatların qrafikini qururuq. Sonra, qrafikdəki eksperimental nöqtələri seçin, sağ vurun və əmrdən istifadə edin Əlavə etməkl. trend və Trend (Şəkil 10).

Görünən informasiya qutusu yaxınlaşan bir asılılıq yaratmağa imkan verir.

Bu pəncərənin ilk nişanında (Şəkil 11), yaxınlaşan asılılığın növü göstərilir.

İkinci (Şəkil 12) üzərində tikinti parametrlərini müəyyənləşdirir:

· Yaxınlaşan asılılığın adı;

· İrəli (arxa) proqnozlaşdırma n. bölmələr (bu parametr, önümüzdəki bölmələrin hansı sayda (arxa) trend xəttini uzatmasının vacibliyini müəyyənləşdirir;

· Düz bir xətt ilə əyrinin kəsişmə nöqtəsinin olub olmadığını göstərin y \u003d const.;

· Bir diaqramda və ya olmayan bir funksiyanı (diaqramda tənliyi göstərmək üçün parametr) göstərin;

Standart sapma diaqramı və ya olmaması (parametr diaqrama yaxınlaşmağın düzgünlüyünün dəyəri).

Biz təxminən bir asılılıq (Şəkil 11) kimi ikinci dərəcəli polinomu seçirik və bu çoxbucaqlı bu polinomu (Şəkil 12) təsvir edən tənliyi çıxarırıq. Yaranan diaqram Şəkildə təqdim olunur. 13.

Eynilə köməyi ilə trend xətləri Bu cür asılılıqların parametrlərini seçə bilərsiniz

· Xətti y.=a ∙ x.+b.,

· Logarithmic y.=a ∙ ln.(x.)+b.,

· Eksponent y.=a ∙ e b,

· Güc y.=a ∙ x b,

· Polinomial y.=a ∙ x. 2 +b ∙ x.+c., y.=a ∙ x. 3 +b ∙ x. 2 +c ∙ x + d Və sair, 6-cı dərəcədə çoxbucaqlı daxil olmaqla,

· Xətti filtrləmə.

4.3. Həlledici blokdan istifadə etməklə

Əhəmiyyətli maraq, həlledici blokdan istifadə edərək daha kiçik meydanlardan istifadə edərək MS Excel-də parametrlərin tətbiqidir. Bu texnika, hər hansı bir funksiyanın parametrlərini seçməyə imkan verir. Bu xüsusiyyəti aşağıdakı vəzifənin nümunəsi barədə düşünün.

Misal 3.. Təcrübə nəticəsində, asılılığın z (t) masada təqdim edildi

Asılılıq əmsallarını götürün Z (t) \u003d 4 + bt 3 + ct 2 + kt + k Ən az kvadrat metodu.

Bu vəzifə beş dəyişəndən minimum funksiya tapmaq vəzifəsinə bərabərdir.

Optimallaşdırma probleminin həlli prosesini nəzərdən keçirin (Şəkil 14).

Mənsəbləşmək AMMA, İçində, Dən, D. və Üçün Hüceyrələrdə saxlanılır A7: E7.. Funksiyanın nəzəri dəyərlərini hesablayın Z.(t.)=4 + BT 3 + CT 2 + DT + K-də Göstərilən üçün t.(B2: J2.). Bunu hücrədə etmək B4. Funksiyanın dəyərini birinci nöqtədə (hüceyrə) daxil edirik B2.):

B4 \u003d $ 7 $ ^ 4 ^ 4 $ ^ $ b $ b2 ^ 3 + $ C $ 7 $ 7 * B2 ^ 2 + $ + $ D $ 7 * B2 + $ E $ 7.

Bu düsturu aralığa kopyalayın C4: J4. Və hüceyrələrdə saxlanılan şəxslərin, nəticələr olan funksiyanın gözlənilən dəyərini alırıq B2: J2..

Hüceyrədə. B5. Eksperimental və hesablanmış nöqtələr arasındakı fərqin meydanını hesablayan bir düsturu təqdim edirik:

B5 \u003d (B4-B3) ^ 2,

və onu aralığa kopyalayın C5: J5.. Kamerada F7. Cəmi kvadrat bir səhv (10) saxlayacağıq. Bunu etmək üçün düsturu təqdim edirik:

F7 \u003d məbləğlər (B5: J5).

Komandadan istifadə edirik Xidmət®Poisk həlləri və məhdudiyyət olmadan optimallaşdırma problemini həll edin. Şəkildə göstərilən informasiya qutusundakı müvafiq giriş sahələrini doldurun. 14 düyməsini basın Aparmaq. Həll tapılıbsa, Şəkildə göstərilən pəncərə. on beş.

Həlledici blokun nəticəsi hüceyrədəki nəticə olacaqdır A7: E7.parametr dəyərləri Funksiyalar Z.(t.)=4 + BT 3 + CT 2 + DT + K-də. Hüceyrələrdə B4: J4. Almaq gözlənilən dəyər funksiyası Başlanğıc nöqtələrində. Kamerada F7. saxlanılacaq cəmi kvadrat səhv.

Eksperimental nöqtələri təsvir edin və bir qrafik bölgədəki seçilmiş xətti aralığı ayırarsa ola bilər B2: J4.Zəng etmək Master chartVə sonra alınan qrafiklərin görünüşünü formatlayın.

Əndazəli 17 hesablamalardan sonra MS Excel iş siyahısını göstərir.

5. İstinadların siyahısı

1. ALEKSEEV E.R., Chesnokova O.V., Mathcad12 paketlərində, Matlab7, Maple9-da riyaziyyat riyaziyyatının problemlərinin həlli. - NT Press, 2006.-596c. : İl. - (dərslik)

2. ALEKSEEV E.R., Chesnokova O.V., E.A. Rudchenko, Scilab, mühəndislik və riyazi vəzifələri həll edin. -M., Binom, 2008.-260s.

3. Berezin I.S., Lodin N.P., hesablamaların metodları. - m.: Science, 1966.-632c.

4. Garnaev A.Yu., İqtisadiyyat və Maliyyədə MS Excel və VBA istifadə edərək. - SPB.: BHV - Peterburq, 1999.-332c.

5. Demidoviç B.P., Maron və A., Şüvalova V.Z., təhlilin ədədi üsulları. - m.: Science, 1967.-368c.

6. Qarğıdalı G., Korn T., elm adamları və mühəndislər üçün riyaziyyat kataloqu. - m., 1970, 720s.

7. ALEKSEEV E.R., Chesnokova O.V. MS Excel-də laboratoriya işinin aparılması üçün metodik təlimatlar. Bütün ixtisasların tələbələri üçün. Donetsk, Donntu, 2004. 112 səh.