Алгоритм рішення систем нерівностей з двома змінними. Конспект уроку "рішення систем нерівностей з двома змінними". Тема уроку: Нерівності з двома змінними
Відеоурок «Нерівності з двома змінними» призначений для навчання алгебри по даній темі в 9 класі загальноосвітньої школи. Відеоурок містить опис теоретичних основ рішення нерівностей, докладно описує процес вирішення нерівностей графічним способом, його особливості, демонструє приклади розв'язання завдань по темі. Завдання даного відеоуроку - за допомогою наочного подання інформації полегшити розуміння матеріалу, сприяти формуванню умінь у вирішенні завдань із застосуванням вивчених математичних методів.
Основними інструментами видеоурока є використання анімації в поданні графіків і теоретичних відомостей, виділення понять, особливостей, важливих для розуміння і запам'ятовування матеріалу, кольором та іншими графічними способами, голосовий супровід пояснення з метою більш легкого запам'ятовування інформації і формування вміння використання математичної мови.
Відеоурок починається і уявлення теми і приклад, який демонструє поняття рішення нерівності. Для формування розуміння сенсу поняття рішення представлено нерівність 3х 2-у<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.
Важливою частиною вміння вирішувати нерівності є вміння зобразити на координатній площині безліч його рішень. Формування такого вміння в даному уроці починається з демонстрації знаходження безлічі рішень лінійних нерівностей ax + by
Прикладом такої нерівності є х +3 у\u003e 6. Щоб перетворити нерівність в рівносильне нерівність, відображає залежність значень у від значень х, обидві частини нерівності поділяються на 3, у залишається в одній частині рівняння, а х переноситься в іншу. Довільно вибирається значення х \u003d 3 для підстановки в нерівність. Відзначається, що дане значення х підставити в нерівність і замінити знак нерівності знаком рівності, можна знайти відповідне значення у \u003d 1. Пара (3; 1) буде рішенням рівняння у \u003d - (1/3) х + 2. Якщо ж підставляти будь-які значення у, великі 1, то нерівність з даними значенням х буде вірно: (3; 2), (3; 8) і ін. Аналогічно даному процесу знаходження рішення розглядається загальний випадок для пошуку безлічі рішень даного нерівності. Пошук безлічі рішень нерівності починається з підстановки деякого значення х 0. У правій частині нерівності виходить вираз - (1/3) х 0 +2. Деяка пара чисел (х 0; у 0) розв'язує рівняння у \u003d - (1/3) х + 2. Відповідно рішеннями нерівності у\u003e - (1/3) х 0 +2 будуть відповідні пари значень з х 0, де у більше значень у 0. Тобто рішеннями цієї нерівності будуть пари значень (х 0; у).
Щоб знайти на координатної площині безліч рішень нерівності х + 3у\u003e 6, на ній демонструється побудова прямої, що відповідає рівнянню у \u003d - (1/3) х + 2. На даній прямій відзначається точка М з координатами (х 0; у 0). При цьому наголошується, що всі точки К (х 0; у) з координатами у\u003e у 0, тобто розташовані вище цієї прямий, будуть задовольняти умовам нерівності у\u003e - (1/3) х + 2. З аналізу робиться висновок про те, що даними нерівність задається безліч точок, які розташовуються вище прямої у \u003d - (1/3) х + 2. Це безліч точок складають напівплощина над даною прямою. Так як нерівність суворе, сама пряма не входить в число рішень. На малюнку даний факт відзначений пунктирним позначенням.
Узагальнюючи дані, отримані в результаті опису рішення нерівності х + 3у\u003e 6, можна говорити про те, що пряма х + 3у \u003d 6 розбивається площину на дві півплощини, при цьому розташована вище напівплощина відображає безліч значень задовольняють нерівності х + 3у\u003e 6, а распложенная нижче прямої - рішення нерівності х + 3у<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.
Далі розглядається приклад рішення несуворого нерівності другого ступеня у\u003e \u003d (х-3) 2. Для визначення безлічі рішень поруч на малюнку будується парабола у \u003d (х-3) 2. На параболі відзначається точка М (х 0; у 0), значення якої будуть рішеннями рівняння у \u003d (х-3) 2. В даній точці будується перпендикуляр, на якому вище параболи відзначається точка К (х 0; у), яка буде рішенням нерівності у\u003e (х-3) 2. Можна зробити висновок про те, що вихідного нерівності задовольняють координати точок, розташованих на даній параболі у \u003d (х-3) 2 і вище її. На малюнку дану область рішень відзначають штріхованіем.
Наступним прикладом, що демонструє становище на площині точок, які є рішенням нерівності другого ступеня, є опис рішення нерівності х 2 + у 2<=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. Відповідно, рішенням вихідної нерівності буде безліч точок кола і області всередині її.
Далі розглядається рішення рівняння ху\u003e 8. На координатної площині поруч із завданням будується гіпербола, яка задовольнить рівнянню ху \u003d 8. Відзначається точка М (х 0; у 0), що належить гіперболі і К (х 0; у) вище її паралельно осі у. Очевидно, що координати точки К відповідають нерівності ху\u003e 8, так як твір координат даної точки перевершує 8. Вказується, що таким же способом доводиться відповідність точок, що належать області В, нерівності ху<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 буде безліч точок, що лежать в областях А і С.
Відеоурок «Нерівності з двома змінними» може послужити наочним посібником вчителю на уроці. Також матеріал допоможе учневі, самостійно освоює матеріал. Корисно використання видеоурока при дистанційному навчанні.
готові роботи
ДИПЛОМНІ РОБОТИ
Багато що вже позаду і тепер ти - випускник, якщо, звичайно, вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш все студентські радості, багато з яких, ти так і не спробував, все відкладаючи і відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати згаяне, ти корп над дипломною роботою? Є чудовий вихід: скачати потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться маса вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені в провідних ВУЗах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге
КУРСОВІ РОБОТИ
Курсовий проект - це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової починається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті і грамотно його оформляти, то в подальшому у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити виникають по ходу її складання питання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2 500 тенге
Магістерська дисертація
В даний час у вищих навчальних закладах Казахстану і країн СНД дуже поширена ступінь вищої професійної освіти, яка йде після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, яке визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання в магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний і текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге
ЗВІТИ З ПРАКТИКИ
Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботи студента і основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт по практиці, потрібно зібрати і проаналізувати інформацію про підприємство, розглянути структуру і розпорядок роботи організації, в якій проходиться практика, скласти календарний план і описати свою практичну діяльність.
Ми допоможе написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.
Часто доводиться зображати на координатної площині мно-дружність рішень нерівності з двома змінними. Рішенням нерівності з двома змінними називають пару значень цих змінних, яка звертає дане нерівність в правильну числову нерівність.
2у+ Зх< 6.
Спочатку побудуємо пряму. Для цього запишемо нерівність у вигляді рівняння 2у+ Зх \u003d6 і висловимо y.Таким чином, отримаємо: y \u003d (6-3x) / 2.
Ця пряма раз-бивает безліч всіх точок координатної площини на точки, розташовані вище її, і точки, розташовані нижче за неї.
Візь-мем з кожної області по контрольній точці, Наприклад А (1; 1) і В (1; 3)
Координати точки А задовольняють даному нерівності 2у + Зх< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.
Координати точки В нЕ задовольняють даному нерівності 2 ∙ 3 \u200b\u200b+ 3 ∙ 1< 6.
Оскільки дане нерівність може змінити знак на прямий 2у + Зх \u003d 6, то нерівності задовольняє безліч точок тієї об-ласті, де розташована точка А. Заштріхуем цю область.
Таким чином, ми зобразили безліч рішень нерівності 2у + Зх< 6.
приклад
Зобразимо безліч рішень нерівності х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1\u003e 0 на координатної площині.
Побудуємо спочатку графік рівняння х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 \u003d 0. Ви-ділимо в цьому рівнянні рівняння кола: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) \u003d 4, або (х + 1) 2 + (у - 2) 2 \u003d 2 2.
Це рівняння кола з центром в точці 0 (-1; 2) і радіусом R \u003d 2. Побудуємо цю окружність.
Оскільки дане нерівність суворе і точки, що лежать на самій кола, нерівності не задовольняють, то будуємо коло пунктирною лінією.
Легко перевірити, що координати центру О кола даного нерівності не задовольняють. Вираз х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-вується свій знак на побудованої окружності. Тоді нерівності задовольняють точки, розташовані поза колом. Ці точки заштриховані.
приклад
Зобразимо на координатної площині безліч рішень нера-венства
(У - х 2) (у - х - 3)< 0.
Спочатку побудуємо графік рівняння (у - х 2) (у - х - 3) \u003d 0. Їм яв-ляется парабола у \u003d х 2 і пряма у \u003d х + 3. Побудуємо ці лінії і відзначимо, що зміна знака виразу (у - х 2) (у - х - 3) від-ходить тільки на цих лініях. Для точки А (0; 5) визначимо знак це-го вираження: (5 3)\u003e 0 (т. Е. Таку нерівність не виконується). Тепер легко відзначити безліч точок, для кото-яких таку нерівність виконано (ці області заштриховані).
Алгоритм рішення нерівностей з двома змінними
1. Наведемо нерівність до виду f (х; у)< 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)
2. Записуємо рівність f (х; у) \u003d 0
3. Обираємо графіки, записані в лівій частині.
4. Будуємо ці графіки. Якщо нерівність суворе (f (х; у)< 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, якщо нерівність Нечитка (f (х; у) ≤ 0 або f (х; у) ≥ 0), то - суцільною лінією.
5. Визначаємо, на скільки частин графіки розбили координатну площину
6. Вибираємо в одній з цих частин контрольну точку. Визначаємо знак вираження f (х; у)
7. Розставляємо знаки в інших частинах площині з урахуванням чергування (як за методом інтервалів)
8. Вибираємо потрібні нам частини у відповідності зі знаком нерівності, яке ми вирішуємо, і наносимо штрихування
Тема уроку: Нерівності з двома змінними.
Мета уроку: Навчати учнів рішенням нерівностей з двома змінними.
Завдання уроку:
1. Ввести поняття нерівності з двома змінними. Вчити учнів рішенням нерівностей. Формувати навички застосування графічного методу при вирішенні нерівностей, вміння показати рішення на координатної площині.
2.Развівать мислення учнів, розвивати практичні навички учнів.
3.Воспітивать в учнів працьовитість, самостійність, відповідальне ставлення до справи, ініціативу і самостійність прийняття рішення.
Підручник / література: Алгебра 9, дидактичні матеріали.
Хід уроку:
1. Поняття нерівності з двома змінними та його рішення.
2. Лінійна нерівність з двома змінними.
Розглянемо нерівності: 0,5х 2 -2у + l 20 -неравенство з двома змінними.
Розглянемо нерівність 0,5х 2 -2у + l
При х \u003d 1, у \u003d 2. Отримаємо вірне нерівність 0,5 1 - 2 + 2 + 1
Пару чисел (1, 2), в якій на першому місці - значення х, а на другому - значення у, називають розв'язком нерівності 0,5х 2 -2у + l
Визначення. Рішенням нерівності з двома змінними називається пара значень цих змінних, звертає дане нерівність в правильну числову нерівність.
Якщо кожне рішення нерівності з двома змінними зобразити точкою в координатної площини, то вийде графік цієї нерівності. Він є деякою фігурою. Кажуть, що ця фігура задається або описується нерівністю.
Розглянемо лінійні нерівності з двома змінними.
Визначення. Лінійним нерівністю з двома змінними називається нерівність виду ах + by с, де х і у - змінні, а, b і з - деякі числа.
Якщо в лінійному нерівності з двома змінними знак нерівності замінити знаком рівності, то вийде лінійне рівняння. Графіком лінійного рівняння ах + by \u003d с, в якому а чи b не рівне нулю, є пряма лінія. Вона розбиває безліч котрі належать до їй точок координатної площини на дві області, що представляють відкриті півплощині.
На прикладах розглянемо, як зображується безліч рішень нерівності з двома змінними на координатної площині.
Приклад 1. Зобразимо на координатної площині безліч рішень нерівності 2у + 3х≤6.
Будуємо пряму 2у + 3х \u003d 6, у \u003d 3-1,5х
Пряма розбиває безліч всіх точок координатної площини на точки, розташовані нижче її, і точки, розташовані вище її. Візьмемо з кожної області по контрольній точці: А (1; 1), В (1; 3).
Координати точки А задовольняють даному нерівності 2у + 3х≤6, 2 · 1 + 3 · 1≤6, 5≤6
Координати точки В не задовольняють даному нерівності 2у + 3х≤6, 2 · 3 + 3 · 1≤6.
Даному нерівності задовольняє безліч точок тієї області, де розташована точка А. Заштріхуем цю область. Ми зобразили безліч рішень нерівності 2у + 3х≤6.
Для зображення безлічі рішень нерівності на координатної площині надходять у такий спосіб:
1. Будуємо графік функції y \u003d f (x), який розбиває площину на дві області.
2. Вибираємо будь-яку з отриманих областей і розглядаємо в ній довільну точку. Перевіряємо здійсненність вихідного нерівності для цієї точки. Якщо в результаті перевірки виходить правильне числове нерівність, то робимо висновок, що вихідне нерівність виконується у всій області, якій належить обрана точка. Таким чином, безліччю рішень нерівності - область, якій належить обрана точка. Якщо в результаті перевірки виходить невірне числове нерівність, то безліччю рішень нерівності буде друга область, якої обрана точка не належить.
3. Якщо нерівність суворе, то межі області, тобто точки графіка функції y \u003d f (x), не включають в безліч рішень і кордон зображують пунктиром. Якщо нерівність Нечитка, то межі області, тобто точки графіка функції y \u003d f (x), включають в безліч рішень даного нерівності і кордон в такому випадку зображують суцільною лінією.
Висновок: - рішенням нерівності f (x, y) ˃0,)
