Лінійні простору для чайників. Визначення лінійного простору. Приклади лінійних просторів

4.3.1 Визначення лінійного простору

нехай ā , , - елементи деякої множини ā , , L і λ , μ - дійсні числа, λ , μ R..

Безліч L називається лінійним або векторних простором, якщо визначені дві операції:

1 0 . Додавання. Кожній парі елементів цієї множини поставлене у відповідність елемент того ж безлічі, називаний їхньою сумою

ā + =

2 °.Множення на число. Будь-якому дійсному числу λ і елементу ā L ставиться у відповідність елемент того ж безлічі λ ā L і виконуються наступні властивості:

1. ā += + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. існує нульовий елемент
, Такий, що ā +=ā ;

4. існує протилежний елемент -
такий, що ā +(-ā )=.

якщо λ , μ - дійсні числа, то:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Елементи лінійного простору ā, , ... називають векторами.

Вправа. Покажіть самостійно, що дані безлічі утворюють лінійні простори:

1) Безліч геометричних векторів на площині;

2) Безліч геометричних векторів в тривимірному просторі;

3) Безліч многочленів деякій мірі;

4) Безліч матриць однакової розмірності.

4.3.2 Лінійно залежні та незалежні вектори. Розмірність і базис простору

лінійною комбінацією векторів ā 1 , ā 2 , …, ā n L називається вектор того ж простору виду:

,

де λ i - дійсні числа.

вектори ā 1 , .. , ā n називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація буде нульовим вектором в тому і тільки в тому випадку, коли всі λ i дорівнюють нулю, тобто

λ i \u003d 0

Якщо ж лінійна комбінація буде нульовим вектором і хоча б один з λ i відмінний від нуля, то ці вектори називаються лінійно-залежними. Останнє означає, що хоча б один з векторів може бути представлений як лінійна комбінація інших векторів. Дійсно, нехай і, наприклад,
. тоді,
, де

.

Максимально лінійно-незалежна впорядкована система векторів називається базисом простору L. Число векторів базису називається розмірністю простору.

Припустимо, що існує n лінійно-незалежних векторів, тоді простір називають n -мірним. Інші вектори простору можуть бути представлені як лінійна комбінація n векторів базису. за базис n- мірного простору можна взяти будь-які n лінійно-незалежних векторів цього простору.

Приклад 17. Знайти базис і розмірність даних лінійних просторів:

а) безлічі векторів, що лежать на прямій (колінеарних деякої прямої)

б) безліч векторів, що належать площині

в) безліч векторів тривимірного простору

г) безліч многочленів ступеня не вище другого.

Рішення.

а) Будь-які два вектори, що лежать на прямій будуть лінійно-залежними, так як вектора Колінеарні
, то
, λ - скаляр. Отже, базисом даного простору є тільки один (будь-який) вектор, відмінний від нульового.

Зазвичай це простір позначають R, Розмірність його дорівнює 1.

б) будь-які два неколінеарна вектори
будуть лінійно-незалежні, а будь-які три вектори на площині - лінійно-залежні. Для будь-якого вектора , Існують числа  і  такі, що
. Простір називають двовимірним, позначають R 2 .

Базис двовимірного простору утворюють будь-які два неколінеарних вектора.

в) Будь-які три некомпланарних вектори будуть лінійно незалежні, вони утворюють базис тривимірного простору R 3 .

г) В якості базису простору многочленів ступеня не вище другого можна вибрати такі три вектори: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 - це многочлен, тотожне дорівнює одиниці). Дане простір буде тривимірним.

Лекція 6. Векторний простір.

Основні питання.

1. Векторное лінійний простір.

2. Базис і розмірність простору.

3. Орієнтація простору.

4. Розкладання вектора по базису.

5. Координати вектора.

1. Векторное лінійний простір.

Безліч, що складається з елементів якої завгодно природи, в яких визначені лінійні операції: додавання двох елементів і множення елемента на число називаються просторами, А їх елементи - векторами цього простору і позначаються так само, як і векторні величини в гео-метрії:. вектори таких абстрактних просторів, як правило, нічого спільного не мають з звичайними геометричними векторами. Елемен-тами абстрактних просторів можуть бути функції, система чисел, матриці і т. Д., А в окремому випадку і звичайні вектори. Тому такі простору прийнято називати векторними просторами .

Векторними просторами є, наприклад, безліч колі-неарних векторів, що позначається V1 , Безліч компланарних векторів V2 , безліч векторів звичайного (реального простору) V3 .

Для цього окремого випадку можна дати наступне визначення век-торного простору.

Визначення 1.Безліч векторів називається векторних простий-ранство , Якщо лінійна комбінація будь-яких ВЕКТА-рів безлічі також є вектором цієї множини. Самі вектори називаються елементами століття-торного простору.

Більш важливим як в теоретичному, так і в прикладному відношенні яв-ляется загальне (абстрактне) поняття векторного простору.

Визначення 2.безліч R елементів, в якому для лю-Бих двох елементів і визначена сум-ма і для будь-якого елемента https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif "width \u003d" 68 "height \u003d" 20 "\u003e називається векторних(Або лінійним) про-простором , А його елементи - векторами, якщо опера-ції додавання векторів і множення вектора на число задовольняють таким умовам ( аксіомам ) :

1) складання коммутативно, т. Е..gif "width \u003d" 184 "height \u003d" 25 "\u003e;

3) існує такий елемент (нульовий вектор), що для будь-якого https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width \u003d" 45 "height \u003d" 20 "\u003e. Gif" width \u003d " 99 "height \u003d" 27 "\u003e;

5) для будь-яких векторів і і будь-якого чис-ла λ має місце рівність;

6) для будь-яких векторів і будь-яких чисел λ і µ справедливо рівність https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width \u003d" 45 height \u003d 20 "height \u003d" 20 "\u003e і будь-яких чисел λ і µ справедливий-під ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width \u003d" 45 "height \u003d" 20 "\u003e.

З аксіом, що визначають векторний простір, випливають прос-Тейша слідства :

1. У векторному просторі існує тільки один нуль - елемент - нульовий вектор.

2. У векторному просторі кожен вектор має єдиний проти-воположний вектор.

3. Для кожного елемента виконується рівність.

4. Для будь-якого дійсного числа λ і нульового вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif "width \u003d" 68 "height \u003d" 25 "\u003e.

5..gif "width \u003d" 145 "height \u003d" 28 "\u003e

6..gif "width \u003d" 15 "height \u003d" 19 src \u003d "\u003e. Gif" width \u003d "71" height \u003d "24 src \u003d"\u003e називається вектор, що задовольняє рівності https://pandia.ru/text/80 /142/images/image026_26.gif "width \u003d" 73 "height \u003d" 24 "\u003e.

Отже, дійсно, і безліч всіх геометричних векторів являє-ся лінійним (векторних) простором, так як для елементів цього мно-дружність визначені дії додавання і множення на число, задовольня-ють сформульованим аксіомам.

2. Базис і розмірність простору.

Істотними поняттями векторного простору є поняття базису і розмірність.

Визначення.Сукупність лінійно незалежних векторів, взятих в певному порядку, через які лінійно виражається будь-який вектор простору, називається базисом цього простору. Вектори. Складові базис простору, називається базисним .

Базисом безлічі векторів, розташованих на довільній прямій, можна вважати один колінеарний цієї прямої вектор.

Базисом на площиніназвемо два неколінеарних вектора на цій пло-скостити, взяті в певному порядку https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width \u003d" 61 "height \u003d" 24 "\u003e.

Якщо базисні вектори попарно перпендикулярні (ортогональні), то базис називається ортогональним , А якщо ці вектори мають довжину, рівну одиниці, то базис називається ортонормованим .

Найбільше число лінійно незалежних векторів простору називаючи-ється розмірністю цього простору, т. е. розмірність простору сов-падає з числом базисних векторів цього простору.

Отже, відповідно до даних визначеннями:

1. одновимірних простором V1 є пряма лінія, а базис відбутися у-ит з одного колінеарнувектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif "width \u003d" 39 "height \u003d" 23 src \u003d "\u003e.

3. Звичайне простір є тривимірним простором V3 , Базис якого складається з трьох некомпланарних векторів.

Звідси ми бачимо, що число базисних векторів на прямій, на площині, в реальному просторі збігається з тим, що в геометрії прийнято на-викликають числом вимірів (розмірністю) прямий, площині, простору. Тому природно ввести більш загальне визначення.

Визначення.векторний простір R називається n - мірним, якщо в ньому існує не більше n лінійно неза-висимо векторів і позначається R n . число n на-ни опиняються розмірністю простору.

Відповідно до розмірністю простору діляться на скінченномірні і безконечномірні . Розмірність нульового простору за визначенням вважається рівною нулю.

Зауваження 1. У кожному просторі можна вказати скільки завгодно базисів, але при цьому все базиси даного простору складаються з одного і того ж числа векторів.

Зауваження 2. В n - вимірному векторному просторі базисом називаються вають будь-яку впорядковану сукупність n лінійно незалежних векторів.

3. Орієнтація простору.

Для того щоб орієнтувати простір, необхідно поставити яке-небудь базис і оголосити його позитивним .

Можна показати, що безліч всіх базисів простору розпадається на два класи, т. Е. На два непересічних підмножини.

а) всі базиси, що належать одній підмножині (класу), мають однакову орієнтацію (однойменні базиси);

б) будь-які два базису, що належать різним підмножини (кла-ссамого), мають протилежну орієнтацію, ( різнойменні базиси).

Якщо один з двох класів базисів простору оголошений позитивними-ним, а інший - негативним, то кажуть, що це простір ориенти-ровано .

Часто при орієнтації простору одні базиси називають правими , а інші - лівими .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width \u003d" 61 "height \u003d" 24 src \u003d "\u003e називають правим , Якщо при спостереженні з кінця третього вектора найкоротший поворот пер-вого вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width \u003d" 16 "height \u003d" 23 "\u003e здійснюється проти годинникової стрілки (Рис. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif "width \u003d" 16 "height \u003d" 24 "\u003e

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif "width \u003d" 15 "height \u003d" 23 "\u003e

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif "width \u003d" 13 "height \u003d" 19 "\u003e

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width \u003d" 16 "height \u003d" 23 "\u003e

Мал. 1.8. Правий базис (а) і лівий базис (б)

Зазвичай позитивним базисом оголошується правий базис простору

Правий (лівий) базис простору може бути визначений і за допомогою правила «правого» ( «лівого») гвинта або буравчика.

За аналогією з цим вводиться поняття правої і лівої трійки некомпла-нарних векторів, які повинні бути впорядковані (рис.1.8).

Таким чином, в загальному випадку дві впорядковані трійки некомпла-нарних векторів мають однакову орієнтацію (однойменний) в просторі V3 якщо вони обидві праві або обидві ліві, і - протилежну орієнтацію (різнойменні), якщо одна з них права, а інша ліва.

Аналогічно роблять і в разі простору V2 (Площині).

4. Розкладання вектора по базису.

Це питання для простоти міркувань розглянемо на прикладі трьох-мірного векторного простору R3 .

Нехай https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif "width \u003d" 15 "height \u003d" 19 "\u003e - довільний вектор цього простору.

Глава 3. Лінійні векторні простори

Тема 8. Лінійні векторні простори

Визначення лінійного простору. Приклади лінійних просторів

У §2.1 визначені операція додавання вільних векторів з R 3 і операція множення векторів на дійсні числа, а також перераховані властивості цих операцій. Поширення цих операцій і їх властивостей на безліч об'єктів (елементів) довільної природи призводить до узагальнення поняття лінійного простору геометричних векторів з R 3, визначеного в §2.1. Сформулюємо визначення лінійного векторного простору.

Визначення 8.1. безліч V елементів х , у , z , ... називається лінійним векторним простором, Якщо:

є правило, яке кожним двом елементам x і у з V ставить у відповідність третій елемент з V, званий сумою х і у і позначається х + у ;

є правило, яке кожному елементу x і будь-якому дійсному числу ставить у відповідність елемент з V, званий твором елемента х на число і позначається x .

При цьому сума будь-яких двох елементів х + у і твір x будь-якого елементу на будь-яке число повинні відповідати таким вимогам - аксіомам лінійного простору:

1 °. х + у = у + х (Коммутативность складання).

2 °. ( х + у ) + z = х + (у + z ) (Асоціативність додавання).

3 °. існує елемент 0 , званий нульовим, Такий, що

х + 0 = х , x .

4 °. для будь-якого x існує елемент (- х ), Званий протилежним для х , Такий, що

х + (– х ) = 0 .

5 °. ( x ) = ()x , x , , R.

6 °. x = x , x .

7 °. () x = x + x , x , , R.

8 °. ( х + у ) = x + y , x , y , R.

Елементи лінійного простору будемо називати векторами незалежно від їх природи.

З аксіом 1 ° -8 ° випливає, що в будь-якому лінійному просторі V справедливі такі властивості:

1) існує єдиний нульовий вектор;

2) для кожного вектора x існує єдиний протилежний вектор (- х ), Причому (- х ) \u003d (- l) х ;

3) для будь-якого вектора х справедливо рівність 0 × х = 0 .

Доведемо, наприклад, властивість 1). Припустимо, що в просторі V існують два нуля: 0 1 і 0 2. Поклавши в аксіомі 3 ° х = 0 1 , 0 = 0 2, отримаємо 0 1 + 0 2 = 0 1. Аналогічно, якщо х = 0 2 , 0 = 0 1, то 0 2 + 0 1 = 0 2. З огляду на аксіому 1 °, отримуємо 0 1 = 0 2 .

Наведемо приклади лінійних просторів.

1. Множина дійсних чисел утворює лінійний простір R. Аксіоми 1 ° -8 ° в ньому, очевидно, виконуються.

2. Безліч вільних векторів тривимірного простору, як показано в §2.1, також утворює лінійний простір, що позначається R 3. Нулем цього простору служить нульовий вектор.

Безліч векторів на площині і на прямій також є лінійними просторами. Будемо позначати їх R 1 і R 2 відповідно.

3. Узагальненням просторів R 1 , R 2 і R 3 служить простір R n, n N, зване арифметичним n-мірним простором, Елементами (векторами) якого є впорядковані сукупності n довільних дійсних чисел ( x 1 ,…, x n), Т. Е.

R n = {(x 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.

Зручно використовувати позначення x = (x 1 ,…, x n), при цьому x i називається i-й координатою(компонентою) вектора x .

для х , у R n і R визначимо додавання і множення на число наступними формулами:

х + у = (x 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

x = (x 1 ,…, x n).

Нульовим елементом простору R n є вектор 0 \u003d (0, ..., 0). Рівність двох векторів х = (x 1 ,…, x n) і у = (y 1 ,…, y n) з R n, За визначенням, означає рівність відповідних координат, т. Е. х = у Û x 1 = y 1 &… & x n = y n.

Виконання аксіом 1 ° -8 ° тут очевидно.

4. Нехай C [ a ; b ] - безліч речових безперервних на відрізку [ a; b] функцій f: [a; b] R.

сумою функцій f і g з C [ a ; b ] Називається функція h = f + g, Яка визначається рівністю

h = f + g Û h(x) = (f + g)(x) = f(х) + g(x), " x Î [ a; b].

твір функції f Î C [ a ; b ] На число a Î R визначається рівністю

u = f Û u(х) = (f)(х) = f(x), " x Î [ a; b].

Так введені операції додавання двох функцій і множення функції на число перетворюють безліч C [ a ; b ] В лінійний простір, векторами якого є функції. Аксіоми 1 ° -8 ° в цьому просторі, очевидно, виконуються. Нульовим вектором цього простору є тотожно нульова функція, а рівність двох функцій f і g означає, за визначенням, наступне:

f = g f(x) = g(x), " x Î [ a; b].

ГЛАВА 8. ЛІНІЙНІ ПРОСТОРУ § 1. Визначення лінійного простору

Узагальнюючи відоме зі шкільної геометрії поняття вектора, ми визначимо алгебри структури (лінійні простори), в яких можна побудувати n-мірну геометрію, окремим випадком якої буде аналітична геометрія.

Визначення 1. Визнач деякий безліч L \u003d (a, b, c, ...) і поле P \u003d (, ...). Нехай в L визначено алгебраїчна операція додавання і визначено множення елементів з L на елементи поля P:

Безліч L називається лінійним простором над полем P, Якщо виконуються наступні вимоги (аксіоми лінійного простору):

1. L комутативна група по складанню;

2. α (βa) \u003d (αβ) a α, β P, a L;

3. α (a + b) \u003d αa + αb α P, a, b L;

4. (Α + β) a \u003d αa + βa α, β P, a L;

5. a L справедливо наступне рівність: 1 a \u003d a (де 1 одиниця поля Р).

Елементи лінійного простору L називаються векторами (ще раз зазначимо, що їх будемо позначати латинськими літерами a, b, c, ...), а елементи поля P - числами (їх позначаємо грецькими буквами α,

Зауваження 1. Ми бачимо, що в якості аксіом лінійного простору беруться добре відомі властивості «геометричних» векторів.

Зауваження 2. У деяких відомих підручниках з алгебри використовуються інші позначення чисел і векторів.

Основні приклади лінійних просторів

1. R 1 безліч всіх векторів на деякій прямій.

В надалі такі вектори будемо називативекторами-відрізкамина прямій. Якщо в якості P взяти R, то, очевидно, R1 - лінійний простір над полем R.

2. R 2, R3 - вектори-відрізки на площині і в тривимірному просторі. Неважко бачити, що R2 і R3 лінійні простори над R.

3. Нехай P - довільне поле. Розглянемо безліч P(N) всіх упорядкованих наборів по n елементів поля P:

P (n) \u003d (α1, α2, α3, ..., αn) | αi P, i \u003d 1,2, .., n.

Набір а \u003d (α1, α2, ..., αn) будемо називати n-мірним вектором-рядком.Числа i назвемо компонентами

вектора а.

Для векторів з P (n), по аналогії з геометрією, природним чином вводимо операції додавання і множення на число, вважаючи для будь-яких (α1, α2, ..., αn) P (n) і (β1, β2, ..., βn ) P (n):

З визначення додавання векторів-рядків видно, що воно проводиться покомпонентно. Легко перевірити, що P (n) - лінійний простір над P.

Вектор 0 \u003d (0, ..., 0) є нульовим вектором (a + 0 \u003d a а P (n)), а вектор -a \u003d (- α1, -α2, ..., -αn) - протилежним а (т.к . а + (- а) \u003d 0).

Лінійне простір P(N) називають n-мірним простором векторів-рядків, або n-мірним арифметичним простором.

Зауваження 3. Іноді через P (n) ми будемо позначати також n-мірне арифметичне простір векторів-стовпців, що відрізняється від P (n) тільки способом записи векторів.

4. Розглянемо безліч Мn (P) всіх матриць n-го порядку з елементами з поля P. Це - лінійний простір над P, де нульова матриця це матриця, у якої всі елементи нулі.

5. Розглянемо безліч P [x] всіх многочленів від змінної х з коефіцієнтами з поля P. Неважко перевірити, що P [x] - лінійний простір над P. Назвемо йогопростором многочленів.

6. Нехай P n [x] \u003d (0 xn + ... + n | i P, i \u003d 0,1, .., n) безліч всіх многочленів ступеня не вище n разом з

0. Воно є лінійним простором над полем Р. Pn [x] будемо називати простором многочленів ступеня не вище n.

7. Позначимо через Ф безліч всіх функцій дійсної змінної з однієї і тієї ж областю визначення. Тоді Ф - лінійне простір над R.

В цьому просторі можна знайти інші лінійні простори, наприклад простір лінійних функцій, що диференціюються, безперервних функцій і т.п.

8. Будь-яке поле є лінійним простором над самим собою.

Деякі слідства з аксіом лінійного простору

Слідство 1. Нехай L - лінійний простір над полем Р. В L міститься нульовий елемент 0 і а L (-а) L (тому що L - група по складанню).

В надалі нульовий елемент поля Р і лінійного простору L будемо позначати однаково через

0. Плутанини це зазвичай не викликає.

Слідство 2. 0 a \u003d 0 a L (в лівій частині 0 P, в правій 0 L).

Доведення. Розглянемо α a, де α - будь-яке число з Р. Маємо: α a \u003d (α + 0) a \u003d α a + 0 a, звідки 0 a \u003d α a + (- α a) \u003d 0.

Слідство 3. α 0 \u003d 0 α P.

Доведення. Розглянемо α a \u003d α (a + 0) \u003d α a + α 0; звідси α 0 \u003d 0. Слідство 4. α a \u003d 0 тоді і тільки тоді, коли або α \u003d 0, або а \u003d 0.

Доведення. достатність доведена в наслідках 2 і 3.

Доведемо необхідність. Нехай α a \u003d 0 (2). Припустимо, що α 0. Тоді, т.к.α P, то існує α-1 P. домножимо (2) на α-1, отримуємо:

α-1 (α a) \u003d α-1 0. По слідству 2 α-1 0 \u003d 0, тобто α-1 (α a) \u003d 0. (3)

З іншого боку, користуючись аксіомами 2 і 5-го лінійного простору, маємо: α-1 (α a) \u003d (α-1 α) a \u003d 1 a \u003d a.

З (3) і (4) випливає, що а \u003d 0. Слідство доведено.

Наступні твердження наведемо без доведення (їх справедливість легко перевіряється).

Слідство 5. (-α) a \u003d -α a α P, a L. Слідство 6. α (-a) \u003d - α a α P, a L. Слідство 7. α (a-b) \u003d α a-α b α P, a, b L.

§ 2. Лінійна залежність векторів

Нехай L - лінійний простір над полем P і a1, a2, ... as (1) - деякий кінцеве безліч векторів з L.

Безліч a1, a2, ... as будемо називати системою векторів.

Якщо b \u003d α1 a1 + α2 a2 + ... + αs as, (αi P), то говорять, що вектор b лінійно виражаєтьсячерез систему (1), або є лінійною комбінацієювекторів системи (1).

Як і в аналітичної геометрії, в лінійному просторі можна ввести поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів. Зробимо це двома способами.

Визначення I. Кінцева система векторів (1) при s 2 називається лінійно залежною,якщо хоча б один її вектор є лінійною комбінацією інших. В іншому випадку (тобто коли жоден її вектор не є лінійною комбінацією інших), вона називається лінійно незалежною.

Визначення II. Кінцева система векторів (1) називається лінійно залежною, Якщо існує набір чисел α1, α2, ..., αs, αi P, хоча б одне з яких не дорівнює 0 (такий набір називають ненульовим), що виконується рівність: α1 a1 + ... + αs as \u003d 0 (2).

З визначення II можна отримати кілька рівносильних визначень лінійно незалежної системи:

Визначення 2.

a) система (1) лінійно незалежна, Якщо з (2) випливає, що α1 \u003d ... \u003d αs \u003d 0.

b) система (1) лінійно незалежна, Якщо рівність (2) виконується тільки при всіх αi \u003d 0 (i \u003d 1, ..., s).

c) система (1) лінійно незалежна, Якщо будь-яка нетривіальна лінійна комбінація векторів цієї системи відрізняється від 0, тобто якщо β1, ..., βs - будь-який ненульовий набір чисел, то β1 a1 + ... βs as 0.

Теорема 1. При s 2 визначення лінійної залежності I і II рівносильні.

Доведення.

I) Нехай (1) лінійно залежна за визначенням I. Тоді можна вважати, не порушуючи спільності, що as \u003d α1 a1 + ... + αs-1 as-1. Додамо до обох частин цієї рівності вектор (-as). отримаємо:

0 \u003d α1 a1 + ... + αs-1 as-1 + (- 1) as (3) (так як по слідству 5

(-As) \u003d (- 1) as). У рівності (3) коефіцієнт (-1) 0, і тому система (1) лінійно залежна і за визначенням

II) Нехай система (1) лінійно залежна за визначенням II, тобто існує ненульовий набір α1, ..., αs, що виконується (2). Не порушуючи спільності, можна вважати, що αs 0. В (2) до обох частин додамо (-αs as). отримаємо:

Оскільки αs 0, то існує αs -1 P. Помножимо обидві частини рівності (4) на (-αs -1) і скористаємося деякими аксіомами лінійного простору. отримуємо:

(-Αs -1) (-αs as) \u003d \u200b\u200b(-αs -1) (α1 a1 + ... + αs-1 as-1), звідки слід: (-αs -1 α1) a1 + ... + (- αs - 1) αs-1 as-1 \u003d as.

Введемо позначення β1 \u003d -αs -1 α1, ..., βs-1 \u003d (- αs -1) αs-1. Тоді отримане вище рівність перепишеться у вигляді:

as \u003d β1 a1 + ... + βs-1 as-1.

Так як s 2, то в правій частині буде хоча б один вектор ai. Ми отримали, що система (1) лінійно залежна за визначенням I.

Теорема доведена.

В силу теореми 1 при необхідності при s 2 ми можемо застосовувати будь-яке з даних вище визначень лінійної залежності.

Зауваження 1. Якщо система складається тільки з одного вектора а1, то до неї може бути застосовано тільки визначення

Нехай а1 \u003d 0; тоді 1А1 \u003d 0. Оскільки 1 0, то а1 \u003d 0 лінійно залежна система.

Нехай а1 0; тоді α1 а1 ≠ 0, при будь-якому α1 0. Значить, ненульовий вектор а1 - лінійно незалежна

Існують важливі зв'язки між лінійною залежністю системи векторів і її підсистем.

Теорема 2. Якщо деяка підсистема (тобто частина) кінцевої системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доказ цієї теореми неважко провести самостійно. Його можна знайти в будь-якому підручнику з алгебри або аналітичної геометрії.

Слідство 1. Всі підсистеми лінійно незалежної системи лінійно незалежні. Виходить з теореми 2 методом від противного.

Зауваження 2. Неважко бачити, що у лінійно залежних систем підсистеми можуть бути як лінійно

Наслідок 2. Якщо система містить 0 або два пропорційних (рівних) вектора, то вона лінійно залежна (так як підсистема з 0 або двох пропорційних векторів лінійно залежна).

§ 3. Максимальні лінійно незалежні підсистеми

Визначення 3. Нехай a1, a2, ..., ak, .... (1) - кінцева або нескінченна система векторів лінійного простору L. Її кінцева підсистема ai1, ai2, ..., air (2) називається базисом системи (1)або максимальної лінійно незалежної підсистемоюцієї системи, якщо виконуються наступні дві умови:

1) підсистема (2) лінійно незалежна;

2) якщо до підсистеми (2) приписати будь-який вектор аj системи (1), то отримуємо лінійно залежну

систему ai1, ai2, ..., air, aj (3).

Приклад 1. У просторі Рn [x] розглянемо систему многочленів 1, x1, ..., xn (4). Доведемо, що (4) лінійно незалежна. Нехай α0, α1, ..., αn - такі числа з Р, що α0 1 + α1 x + ... + αn xn \u003d 0. Тоді за визначенням рівності многочленів α0 \u003d α1 \u003d ... \u003d αn \u003d 0. Значить, система многочленів (4) лінійно незалежна.

Доведемо тепер, що система (4) - базис лінійного простору Pn [x].

Для будь-якого f (x) Pn [x] маємо: f (x) \u003d β0 xn + ... + βn 1 Pn [x]; отже, f (x) є лінійною комбінацією векторів (4); тоді система 1, x1, ..., xn, f (x) лінійно залежна (за визначенням I). Таким чином, (4) - базис лінійного простору Pn [x].

Приклад 2. На рис. 1 a1, a3 і a2, a3 - базиси системи векторів a1, a2, a3.

Теорема 3. Підсистема (2) ai1, ..., air кінцевої або нескінченної системи (1) a1, a2, ..., as, ... є максимальною лінійно незалежною підсистемою (базисом) системи (1) тоді і тільки тоді, коли

а) (2) лінійно незалежна; б) будь-який вектор з (1) лінійно виражається через (2).

Необхідність. Нехай (2) - максимальна лінійно незалежна підсистема системи (1). Тоді виконуються дві умови з визначення 3:

1) (2) лінійно незалежна.

2) Для будь-якого вектора aj з (1) система ai1, ..., ais, aj (5) лінійно залежна. Треба довести, що виконуються твердження а) і б).

Умова а) збігається з 1); отже, а) виконується.

Далі, в силу 2) існує ненульовий набір α1, ..., αr, β P (6) такий, що α1 ai1 + ... + αr air + βaj \u003d 0 (7). Доведемо, що β 0 (8). Припустимо, що β \u003d 0 (9). Тоді з (7) отримуємо: α1 ai1 + ... + αr air \u003d 0 (10). З того, що набір (6) ненульовий, а β \u003d 0 слід, що α1, ..., αr ненульовий набір. А тоді з (10) випливає, що (2) лінійно залежна, що суперечить умові а). Цим доведено (8).

Додавши до обох частин рівності (7) вектор (-βaj), отримаємо: -βaj \u003d α1 ai1 + ... + αr air. Так як β 0, то

існує β-1 Р; помножимо обидві частини останнього рівності на β-1: (β-1 α1) ai1 + ... + (β-1 αr) air \u003d aj. введемо

позначення: (β-1 α1) \u003d 1, ..., (β-1 αr) \u003d r; таким чином, ми отримали: 1 ai1 + ... + r air \u003d aj; отже, доведена здійсненність умови б).

Необхідність доведена.

Достатність. Нехай виконуються умови а) і б) з теореми 3. Потрібно довести, що виконуються умови 1) і 2) з визначення 3.

Так як умова а) збігається з умовою 1), то 1) виконується.

Доведемо, що виконується 2). За умовою б), будь-який вектор aj (1) лінійно виражається через (2). Отже, (5) лінійно залежна (за визначенням 1), тобто 2) виконується.

Теорема доведена.

Зауваження. Чи не в будь-якому лінійному просторі існує базис. Наприклад, немає базису в просторі Р [x] (в іншому випадку, ступеня всіх многочленів з Р [x] були б, як випливає з пункту б) теореми 3, обмежені в сукупності).

§ 4. Основна теорема про лінійну залежність. її слідства

Визначення 4. Нехай дано дві кінцеві системи векторів лінійного простору L: a1, a2, ..., al (1) і

b1, b2, ..., bs (2).

Якщо кожен вектор системи (1) лінійно виражається через (2), то будемо говорити, що система (1)

лінійно виражається через (2). приклади:

1. Будь-яка підсистема системи a1, ..., ai, ..., ak лінійно виражається через всю систему, тому що

ai \u003d 0 a1 + ... + 1 ai + ... + 0 ak.

2. Будь-яка система векторів-відрізків з R2 лінійно виражається через систему, що складається з двох неколінеарних векторів площини.

Визначення 5. Якщо дві кінцеві системи векторів лінійно виражаються один через одного, то вони називаються еквівалентними.

Зауваження 1. Число векторів в двох еквівалентних системах може бути різним, що видно з наступних прикладів.

3. Кожна система еквівалентна свого базису (це випливає з теореми 3 і прикладу 1).

4. Будь-які дві системивекторів-відрізків з R2, в кожній з яких є два неколінеарних вектора, еквівалентні.

Наступна теорема є одним з найважливіших тверджень теорії лінійних просторів. Основна теорема про лінійну залежність.Нехай в лінійному просторі L над полем P задані дві

системи векторів:

a1, a2, ..., al (1) і b1, b2, ..., bs (2), причому (1) лінійно незалежна і лінійно виражається через (2). Тоді l s (3). Доведення. Нам треба довести нерівність (3). Припустимо гидке, нехай l\u003e s (4).

За умовою кожен вектор ai з (1) лінійно виражається через систему (2):

a1 \u003d α11 b1 + α12 b2 + ... + α1s bs a2 \u003d α21 b1 + a22 b2 + ... + α2s bs

…………………... (5)

al \u003d αl1 b1 + αl2 b2 + ... + αls bs.

Складемо наступне рівняння: x1 a1 + x2 a2 + ... + x1 al \u003d 0 (6), де xi - невідомі, які беруть значення з поля Р (i \u003d 1, ..., s).

Помножимо кожне з рівності (5), відповідно на x1, x2, ..., xl, підставимо в (6) і зберемо разом складові, які містять b1, потім b2 і, нарешті, bs. отримаємо:

α1s x1 + α2s x2 + ... + αls xl \u003d 0.

(8) однорідна система s рівнянь щодо невідомих x1, ..., xl. Вона завжди сумісна.

В силу нерівності (4) в цій системі число невідомих більше числа рівнянь, і тому, як випливає з методу Гаусса, вона приводиться до трапецеидальному увазі. Значить, існують ненульові

рішення системи (8). Позначимо одне з них через x1 0, x2 0, ..., xl 0 (9), xi 0 P (i \u003d 1, 2, ... s).

Підставивши числа (9) в ліву частину (7), отримаємо: x1 0 a1 + x2 0 a2 + ... + xl 0 al \u003d 0 b1 +0 b2 + ... + 0 bs \u003d 0. (10)

Отже, (9) - нульове рішення рівняння (6). Тому система (1) лінійно залежна, а це суперечить умові. Отже, наше припущення (4) невірно і l s.

Теорема доведена.

Наслідки з основної теореми про лінійної залежності Слідство 1. Дві кінцеві еквівалентні лінійно незалежні системи векторів складаються з

однакового числа векторів.

Доведення. Нехай системи векторів (1) і (2) еквівалентні і лінійно незалежні. Для доказу застосуємо два рази основну теорему.

Оскільки система (2) лінійно незалежна і лінійно виражається через (1), то по основній теоремі l s (11).

З іншого боку, (1) лінійно незалежна і лінійно виражається через (2), і по основній теоремі s l (12).

З (11) і (12) випливає, що s \u003d l. Затвердження доведено.

Наслідок 2. Якщо в деякій системі векторів a1, ..., as, ... (13) (кінцевої або нескінченної) існує два базису, то вони складаються з однакової кількості векторів.

Доведення. Нехай ai1, ..., ail (14) і aj1, .. ajk (15) - базиси системи (13). Покажемо, що вони еквівалентні.

По теоремі 3 кожен вектор системи (13) лінійно виражається через її базис (15), зокрема, будь-який вектор системи (14) лінійно виражається через систему (15). Аналогічно система (15) лінійно виражається через (14). Значить, системи (14) і (15) еквівалентні і по слідству 1 маємо: l \u003d k.

Затвердження доведено.

Визначення 6. Число векторів в довільному базисі кінцевої (нескінченної) системи векторів називають рангом цієї системи (якщо базисів немає, то рангу системи не існує).

В силу слідства 2, якщо система (13) має хоча б один базис, її ранг єдиний.

Зауваження 2. Якщо система складається тільки з нульових векторів, то вважаємо, що її ранг дорівнює 0. Користуючись поняттям рангу, можна підсилити основну теорему.

Слідство 3. Дано дві кінцеві системи векторів (1) і (2), причому (1) лінійно виражається через (2). Тоді ранг системи (1) не перевищує рангу системи (2).

Доведення . Позначимо ранг системи (1) через r1, ранг системи (2) - через r2. Якщо r1 \u003d 0, то твердження вірне.

Нехай r1 0. Тоді і r2 0, тому що (1) лінійно виражається через (2). Значить, в системах (1) і (2) існують базиси.

Нехай a1, ..., ar1 (16) - базис системи (1) і b1, ..., br2 (17) - базис системи (2). Вони лінійно незалежні за визначенням базису.

Оскільки (16) лінійно незалежна, то до пари систем (16), (17) можна застосувати основну теорему. з цієї

теоремі r1 r2. Затвердження доведено.

Слідство 4. Дві кінцеві еквівалентні системи векторів мають однакові ранги. Для доказу цього твердження треба два рази застосувати наслідок 3.

Зауваження 3. Відзначимо, що ранг лінійно незалежної системи векторів дорівнює числу її векторів (бо в лінійно незалежної системи її єдиний базис збігається з самою системою). Тому наслідок 1 це окремий випадок слідства 4. Але без докази цього окремого випадку ми не змогли б довести слідство 2, ввести поняття рангу системи векторів і отримати наслідок 4.

§ 5. Скінченновимірні лінійні простори

Визначення 7. Лінійне простір L над полем P називається конечномірні, якщо в L існує хоча б один базис.

Основні приклади скінченновимірних лінійних просторів:

1. Вектори-відрізки на прямий, площині і в просторі (лінійні простори R1, R2, R3).

2. n-мірне арифметичне простір P (n). Покажемо, що в P (n) існує такий базис: e1 \u003d (1,0, ..., 0)

e2 \u003d (0,1, ..., 0) (1)

en \u003d (0,0, ... 1).

Доведемо спочатку, що (1) - лінійно незалежна система. Складемо рівняння x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en \u003d 0 (2).

Використовуючи вид векторів (1), рівняння (2) перепишемо так: x1 (1,0, ..., 0) + x2 (0,1, ..., 0) + ... + xn (0,0, ..., 1) \u003d ( x1, x2, ..., xn) \u003d (0,0, ..., 0).

За визначенням рівності векторів-рядків звідси випливає:

x1 \u003d 0, x2 \u003d 0, ..., xn \u003d 0 (3). Отже, (1) - лінійно незалежна система. Доведемо, що (1) - базис простору P (n), користуючись теоремою 3 про базисах.

Для будь-якого a \u003d (α1, α2, ..., αn) Pn маємо:

а \u003d (α1, α2, ..., αn) \u003d (α1, 0, ..., 0) + (0, α2, ..., 0) + (0,0, ..., αn) \u003d 1 e1 + 2 e2 + ... + n en.

Значить, будь-який вектор простору P (n) лінійно виражається через (1). Отже, (1) - базис простору P (n), і тому P (n) - конечномерное лінійний простір.

3. Лінійне простір Pn [x] \u003d (α0 xn + ... + αn | αi P).

Неважко перевірити, що базисом простору Pn [x] є система многочленів 1, x, ..., xn. Значить, Pn

[X] - конечномерное лінійний простір.

4. Лінійне простір Mn (P). Можна перевірити, що безліч матриць виду Eij, в яких єдиний ненульовий елемент 1 стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпця (i, j \u003d 1, ..., n), складають базис Mn (P).

Наслідки з основної теореми про лінійної залежності для скінченновимірних лінійних просторів

Поряд з наслідками з основної теореми про лінійної залежності 1-4, з цієї теореми можна отримати ще кілька важливих тверджень.

Слідство 5. Будь-які два базису конечномерного лінійного простору складаються з однакового числа векторів.

Це твердження - окремий випадок слідства 2 з основної теореми про лінійної залежності, застосованого до всього лінійному простору.

Визначення 8. Число векторів в довільному базисі конечномерного лінійного простору L називають розмірністю цього простору і позначають dim L.

В силу слідства 5 всяке конечномерное лінійне простір має єдину розмірність. Визначення 9. Якщо лінійний простір L має розмірність n, то його називають n-мірним

лінійним простором. приклади:

1. dim R 1 \u003d 1;

2. dimR 2 \u003d 2;

3. dimP (n) \u003d n, тобто P (n) - n-мірне лінійне простір, тому що вище, в прикладі 2 показано, що (1) - базис

P (n);

4. dimP n [x] \u003d (n + 1), бо, як неважко перевірити, 1, x, x2, ..., xn базис з n + 1 векторів цього простору;

5. dimM n (P) \u003d n2, бо матриць виду Eij, зазначених в прикладі 4, рівно n2.

Слідство 6. В n-вимірному лінійному просторі L будь n + 1 векторів a1, a2, ..., an + 1 (3) складають лінійно залежну систему.

Доведення. За визначенням розмірності простору в L існує базис із n векторів: e1, e2, ..., en (4). Розглянемо пару систем (3) і (4).

Припустимо, що (3) лінійно незалежна. Оскільки (4) - базис L, то будь-який вектор простору L лінійно виражається через (4) (по теоремі 3 з §3). Зокрема, система (3) лінійно виражається через (4). За припущенням (3) лінійно незалежна; тоді до пари систем (3) і (4) можна застосувати основну теорему про лінійну залежність. Отримуємо: n + 1 n, що неможливо. Протиріччя доводить, що (3) лінійно залежна.

Слідство доведено.

Зауваження 1. З слідства 6 і теореми 2 з §2 отримуємо, що в n-вимірному лінійному просторі будь-яка кінцева система векторів, що містить більше n векторів, лінійно залежна.

З цього зауваження випливає

Слідство 7. В n-вимірному лінійному просторі будь-яка лінійно незалежна система містить не більше n векторів.

Зауваження 2. За допомогою цього твердження можна встановити, що деякі лінійні простори не є Кінцевомірними.

Приклад. Розглянемо простір многочленів P [x] і доведемо, що воно не є конечномірні. Припустимо, що dim P [x] \u003d m, m N. Розглянемо 1, x, ..., xm - безліч з (m + 1) векторів з P [x]. Ця система векторів, як зазначено вище, лінійно незалежна, що суперечить припущенню, що розмірність P [x] дорівнює m.

Неважко перевірити (використовуючи P [x]), що Кінцевомірними лінійними просторами не є простору всіх функцій дійсної змінної, простору неперервних функцій і т.д.

Слідство 8. Будь-яку кінцеву лінійно незалежну систему векторів a1, a2, ..., ak (5) конечномерного лінійного простору L можна доповнити до базису цього простору.

Доведення. Нехай n \u003d dim L. Розглянемо два можливих випадки.

1. Якщо k \u003d n, тоді a 1, a2, ..., ak - лінійно незалежна система з n векторів. В силу слідства 7, для будь-якого b L система a1, a2, ..., ak, b лінійно залежна, тобто (5) - базис L.

2. Нехай k n. Тоді система (5) не є базисом L, а значить, існує вектор ak + 1 L, що a1, a2, ..., ak, ak + 1 (6) лінійно незалежна система. Якщо (k + 1)

В силу слідства 7 цей процес закінчується через кінцеве число кроків. Отримуємо базис a1, a2, ..., ak, ak + 1, ..., an лінійного простору L, що містить (5).

Слідство доведено.

З слідства 8 випливає

Слідство 9. Будь ненульовий вектор конечномерного лінійного простору L міститься в деякому базисі L (тому що такий вектор є лінійно незалежною системою).

Звідси випливає, якщо Р - безмежне поле, то в скінченномірному лінійному просторі над полем Р існує нескінченно багато базисів (тому що в L нескінченно багато векторів виду a, a 0, P \\ 0).

§ 6. Ізоморфізм лінійних просторів

Визначення 10. Два лінійних простору L і L`над одним полем Р називаються ізоморфними, якщо існує біекція: L L`, яка задовольняє таким умовам:

1. (a + b) \u003d (a) + (b) a, b L,

2. (a) \u003d (a) P, a L.

Саме таке відображення називається изоморфизмом або ізоморфні відображенням.

Властивості ізоморфізмів.

1. При ізоморфізмі нульовий вектор переходить в нульовий.

Доведення. Нехай a L і: L L` - ізоморфізм. Так як a \u003d a + 0, то (a) \u003d (a + 0) \u003d (a) + (0).

Оскільки (L) \u003d L` то з останньої рівності видно, що (0) (позначимо його через 0`) - це нульовий вектор з

2. При ізоморфізмі лінійно залежна система переходить в лінійно залежну систему. Доведення. Нехай a1, a2, ..., as (2) - деяка лінійно залежна система з L. Тоді існує

ненульовий набір чисел 1, ..., s (3) з Р, що 1 a1 + ... + s as \u003d 0. Піддамо обидві частини цієї рівності ізоморфного відображення. З огляду на визначення ізоморфізму, отримаємо:

1 (a1) + ... + s (as) \u003d \u200b\u200b(0) \u003d 0` (ми використовували властивість 1). Оскільки набір (3) ненульовий, то з останньої рівності випливає, що (1), ..., (s) - лінійно залежна система.

3. Якщо: L L` ізоморфізм, то -1: L` L - теж ізоморфізм.

Доведення. Так як - біекція, то існує біекція -1: L` L. Потрібно довести, що якщо a`,

Так як - ізоморфізм, то a` + b` \u003d (a) + (b) \u003d (a + b). Звідси випливає:

З (5) і (6) маємо -1 (a` + b`) \u003d a + b \u003d -1 (a`) + -1 (b`).

Аналогічно перевіряється, що -1 (a`) \u003d -1 (a`). Отже, -1 - ізоморфізм.

Властивість доведено.

4. При ізоморфізмі лінійно незалежна система переходить в лінійно незалежну систему. Доведення. Нехай: L L` ізоморфізм і a1, a2, ..., as (2) - лінійно незалежна система. потрібно

довести, що (a1), (a2), ..., (as) (7) також лінійно незалежна.

Припустимо, що (7) лінійно залежна. Тоді при відображенні -1 вона переходить в систему a1, ..., as.

По властивості 3 -1 - ізоморфізм, а тоді по властивості 2 система (2) буде також лінійно залежною, що суперечить умові. Отже, наше припущення невірно.

Властивість доведено.

5. При ізоморфізмі базис будь-якої системи векторів переходить в базис системи її образів. Доведення. Нехай a1, a2, ..., as, ... (8) - кінцева або нескінченна система векторів лінійного

простору L,: L L` - ізоморфізм. Нехай система (8) має базис ai1, ..., air (9). Покажемо, що система

(A1), ..., (AК), ... (10) має базис (ai1), ..., (air) (11).

Так як (9) лінійно незалежна, то за властивістю 4 система (11) лінійно незалежна. Припишемо до (11) будь-який вектор з (10); отримаємо: (ai1), ..., (air), (aj) (12). Розглянемо систему ai1, ..., air, aj (13). Вона лінійно залежна, так як (9) - базис системи (8). Але (13) при ізоморфізмі переходить в (12). Так як (13) лінійно залежна, то за властивістю 2 система (12) теж лінійно залежна. Значить, (11) є базис системи (10).

Застосовуючи властивість 5 до всього конечномерного лінійному простору L, отримаємо

Твердження 1. Нехай L - n-мірне лінійне простір над полем P,: L L` ізоморфізм. Тоді L` - також конечномерное простір і dim L` \u003d dim L \u003d n.

Зокрема, справедливо Твердження 2. Якщо скінченномірні лінійні простори ізоморфні, то їх розмірності рівні.

Зауваження. У §7 буде встановлена \u200b\u200bсправедливість і зворотного до цього твердження.

§ 7. Координати вектора

Нехай L - конечномерное лінійний простір над полем Р і e1, ..., en (1) - деякий базис L.

Визначення 11. Нехай а L. Висловимо вектор а через базис (1), тобто a \u003d 1 e1 + ... + n en (2), i P (i \u003d 1, ..., n). Стовпець (1, ..., n) т (3) називається координатним стовпчикомвектора а в базисі (1).

Координатний стовпчик вектора а в базисі е позначається також через [a], [a] e або [1, .., n].

Як і в аналітичної геометрії, доводиться єдиність вираження вектора через базис, тобто єдиність координатного стовпчика вектора в даному базисі.

Зауваження 1. У деяких підручниках замість координатних стовпців розглядають координатні рядки (наприклад, в книзі). В такому випадку одержувані там формули на мові координатних стовпців виглядають інакше.

Теорема 4. Нехай L - n-мірне лінійне простір над полем Р і (1) - деякий базис L. Розглянемо відображення: a (1, ..., n) т, що ставить у відповідність будь-якого вектору а з L його координатний стовпець в базисі (1). Тоді - ізоморфізм просторів L і P (n) (P (n) - n-мірний арифметичне простір векторів-стовпців).

Доведення . Відображення однозначно в силу єдиності координат вектора. Легко перевіряється, що - біекція і (a) \u003d (a), (a) + (b) \u003d (a + b). Значить ізоморфізм.

Теорема доведена.

Слідство 1. Система векторів a1, a2, ..., as конечномерного лінійного простору L тоді і тільки тоді лінійно залежна, коли лінійно залежна система, що складається з координатних стовпців цих векторів в деякому базисі простору L.

Справедливість цього твердження випливає з теореми 1 і другого і четвертого властивостей ізоморфізму. Зауваження 2. Слідство 1 дозволяє вивчення питання про лінійну залежність систем векторів в

скінченномірному лінійному просторі звести до вирішення такого ж питання для стовпців деякої матриці.

Теорема 5 (критерій ізоморфізму скінченновимірних лінійних просторів). Два скінченновимірних лінійних простору L і L` над одним полем P тоді і тільки тоді ізоморфні, коли мають одну і ту ж розмірність.

Необхідність. Нехай L L` В силу затвердження 2 з §6 розмірність L збігається з розмірністю L1.

e`n \u003d t1n e1 + ... + tnn en.

t11 ......... t1n

Т \u003d ...............

tn1 ......... tnn

називають матрицею переходувід базису е до базису е`.

Відзначимо, що рівності (1) в матричному вигляді зручно записати так: е` \u003d еТ (2). Це рівність рівносильно визначенню матриці переходу.

Зауваження 1. Сформулюємо правило побудови матриці переходу: для побудови матриці переходу від базису е до базису е` потрібно для всіх векторів ej `нового базису e` знайти їх координатні стовпчики в старому базисі е і записати їх в якості відповідних стовпців матриці Т.

Зауваження 2. У книзі матриця переходу складається по рядках (з координатних рядків векторів нового базису в старому).

Теорема 6. Матриця переходу від одного базису n-мірного лінійного простору Ln над полем P до іншого його базису є невироджених матрицею n-го порядку з елементами з поля Р.

Доведення. Нехай Т матриця переходу від базису е до базису e`. Стовпці матриці Т по визначенню 12 це координатні стовпчики векторів базису е` в базисі е. Так як е` лінійно незалежна система, то по слідству 1 теореми 4 стовпці матриці Т лінійно незалежні, і тому | T | ≠ 0.

Теорема доведена.

Вірно і зворотне твердження.

Теорема 7. Будь-яка невироджена квадратна матриця n-го порядку з елементами з поля Р служить матрицею переходу від одного базису n-мірного лінійного простору Ln над полем Р до певного іншій базису Ln.

Доведення . Нехай дано базис е \u003d (е1, ..., еn) лінійного простору L і невироджених квадратна матриця

Т \u003d t11 ......... t1n

tn1 ......... tnn

n-го порядку з елементами з поля Р. В лінійному просторі Ln розглянемо впорядковану систему векторів e` \u003d (e1 `, ..., e`n), для яких стовпці матриці Т є координатними стовпчиками в базисі е.

Система векторів е` складається з n векторів і є в силу слідства 1 теореми 4 лінійно незалежної, так як у невироджених матриці Т стовпці лінійно незалежні. Тому ця система - базис лінійного простору Ln, причому в силу вибору векторів системи e` виконується рівність e` \u003d eT. Це означає, що Т- матриця переходу від базису е до базису e`.

Теорема доведена.

Зв'язок координат вектора а в різних базисах

Нехай в лінійному просторі Ln задані базиси е \u003d (е1, ... еn) і e` \u003d (e1 `, ..., e`n) з матрицею переходу Т від базису е до базису е`, тобто вірно (2). Вектор а має в базисах е і е` координати [a] e \u003d (1, ..., n) T і [a] e` \u003d (1 `, ...,

n `) T, тобто a \u003d e [a] e і a \u003d e` [a] e`.

Тоді, з одного боку, a \u003d e [a] e, а з іншого a \u003d e` [a] e` \u003d (eT) [a] e` \u003d e (T [a] e`) (ми використовували рівність ( 2)). З цих рівностей отримаємо: a \u003d e [a] e \u003d e (T [a] e`). Звідси в силу єдиності розкладання вектора по базису

е випливає рівність [a] e \u003d Т [a] e` (3), або

Співвідношення (3) і (4) називають формулами перетворення координатпри зміні базису лінійного простору. Вони висловлюють старі координати вектора через нові. Ці формули можна дозволити щодо нових координат вектора, помноживши (4) зліва на Т-1 (така матриця існує, так як Т невироджених матриця).

Тоді отримаємо: [a] e` \u003d T-1 [a] e. За цією формулою, знаючи координати вектора в старому базисі е лінійного простору Ln, можна знайти його координати в новому базисі, e`.

§ 9. Підпростори лінійного простору

Визначення 13. Нехай L - лінійний простір над полем Р і H L. Якщо H також є лінійним простором над Р щодо тих же операцій, що і L, то H називають подпространствомлінійного простору L.

Твердження 1. Підмножина Н лінійного простору L над полем Р є подпространством L, якщо виконуються наступні умови:

1. h 1 + h2 H для будь-яких h1, h2 H;

2. h H для будь-якого h H і P.

Доведення. Якщо в Н виконуються умови 1 і 2, то в Н задані додавання і множення на елементи поля Р. Здійснимість більшості аксіом лінійного простору для Н слід з їх справедливості для L. Перевіримо деякі з них:

а) 0 h \u003d 0 H (в силу умови 2);

b) h H маємо: (-h) \u003d (- 1) h H (в силу умови 2).

Затвердження доведено.

1. Підпросторами будь-якого лінійного простору L є 0 і L.

2. R 1 - підпростір простору R2 векторів-відрізків на площині.

3. Простір функцій дійсної змінної має, зокрема, такі підпростору:

а) лінійних функцій виду ax + b;

б) безперервних функцій; в) диференціюються.

Один універсальний спосіб виділення підпросторів будь-якого лінійного простору пов'язаний з поняттям лінійної оболонки.

Визначення 14. Нехай a1, ... as (1) - довільна кінцева система векторів лінійного простору L. Назвемо лінійною оболонкоюцієї системи безліч (1 a1 + ... + s as | i P) \u003d . Лінійну оболонку системи (1) позначають також L (a1, ..., as).

Теорема 8. Лінійна оболонка Н будь-якої кінцевої системи векторів (1) лінійного простору L є конечномірні подпространством лінійного простору L. Базис системи (1) є і базисом Н, і розмірність Н дорівнює рангу системи (1).

Доведення. Нехай Н \u003d . З визначення лінійної оболонки легко слід здійсненність умов 1 і 2 затвердження 1. У силу цього твердження, Н - підпростір лінійного простору L. Нехай ai1, ...., Air (2) - базис системи (1). Тоді маємо: будь-який вектор h H лінійно виражається через (1) - за визначенням лінійної оболонки, а (1) лінійно виражається через свій базис (2). Так як (2) - лінійно незалежна система, то вона є базисом Н. Але число векторів в (2) одно рангу системи (1). Значить, dimH \u003d r.

Теорема доведена.

Зауваження 1. Якщо Н - конечномерное підпростір лінійного простору L і h1, ..., hm - базис Н, то легко бачити, що H \u003d

. Значить, лінійні оболонки - це універсальний спосіб побудови скінченновимірних підпросторів лінійних просторів.

Визначення 15. Нехай А і В - два підпростори лінійного простору L над полем Р. Назвемо їх сумою А + В наступне безліч: А + В \u003d (a + b | a A, b B).

Приклад. R2 є сумою підпросторів OX (вектори осі OX) і OY. Легко довести наступне

Твердження 2. Сума і перетин двох підпросторів лінійного простору L є підпросторами L (досить перевірити здійснимість умов 1 і 2 затвердження 1).

справедлива

Теорема 9. Якщо А і В - два скінченновимірних підпростору лінійного простору L, то dim (A + B) \u003d dimA + dimB-dim A B.

Доказ цієї теореми можна подивитися, наприклад, в.

Зауваження 2. Нехай А і В - два скінченновимірних підпростору лінійного простору L. Для знаходження їх суми А + В зручно використовувати завдання А і В лінійними оболонками. Нехай А \u003d , В \u003d . Тоді неважко показати, що А + В \u003d . Розмірність А + В з доведеною вище теоремі 7 дорівнює рангу системи a1, ..., am, b1, ..., bs. Тому, якщо знайти базис цієї системи, то знайдемо і dim (A + B).