Правило Лопіталя: теорія та приклади рішень. Число ділене на нескінченність дорівнює нулю

Дуже часто багато хто задається питанням, чому ж не можна використовувати поділ на нуль? У цій статті ми докладно розповімо про те, звідки з'явилося це правило, а також про те, які дії можна виконувати з нулем.

Вконтакте

Нуль можна назвати однією з найцікавіших цифр. Ця цифра не має значення, вона означає порожнечу у прямому значенні слова. Однак, якщо нуль поставити поруч із якоюсь цифрою, то значення цієї цифри побільшає в кілька разів.

Число дуже загадкове саме собою. Його використав ще давній народ майя. У майя нуль означав "початок", а відлік календарних днів також починався з нуля.

Дуже цікавим фактом є те, що знак нуля та знак невизначеності у них були схожі. Цим майя хотіли показати, що нуль є таким самим тотожним знаком, як і невизначеність. У Європі позначення нуля з'явилося порівняно недавно.

Також багатьом відома заборона, пов'язана з нулем. Будь-яка людина скаже, що на нуль не можна ділити. Це кажуть вчителі у школі, а діти зазвичай вірять їм у слово. Зазвичай дітям або просто не цікаво це знати, або вони знають, що буде, якщо, почувши важливу заборону, відразу ж запитати: «А чому не можна ділити на нуль?». Але коли стаєш старшим, то прокидається інтерес, і хочеться більше дізнатися про причини такої заборони. Проте є розумний доказ.

Події з нулем

Спочатку необхідно визначити, які дії з нулем можна виконувати. Існує кілька видів дій:

• Додавання;
• множення;
• Віднімання;
• Поділ (нуля на число);
• Зведення в ступінь.

Важливо!Якщо при додаванні до будь-якого числа додати нуль, це число залишиться колишнім і змінить свого числового значення. Те саме станеться, якщо від будь-якого числа відібрати нуль.

При множенні і розподілі все трохи інакше. Якщо помножити будь-яке число на нуль, те й твір теж стане нульовим.

Розглянемо приклад:

Запишемо це як додавання:

Всього складених нулів п'ять, от і виходить, що

Спробуємо один помножити на нуль. Результат також буде нульовим.

Нуль також можна розділити на будь-яке інше число, яке не дорівнює йому. І тут вийде , значення якої також буде нульовим. Це правило діє і для негативних чисел. Якщо нуль ділити на негативне число, то вийде нуль.

Також можна звести будь-яке число у нульовий ступінь. У такому разі вийде 1. При цьому важливо пам'ятати, що вираз «нуль у нульовому ступені» є абсолютно безглуздим. Якщо спробувати звести нуль у будь-яку міру, то вийде нуль. Приклад:

Користуємося правилом множення, отримуємо 0.

Так чи можна ділити на нуль

Отож ми й підійшли до головного питання. Чи можна ділити на нульвзагалі? І чому ж не можна розділити число на нуль при тому, що решта дій з нулем цілком існують і застосовуються? Для відповіді це питання необхідно звернутися до вищої математики.

Почнемо взагалі з визначення поняття, що таке нуль? Шкільні вчителі стверджують, що нуль це ніщо. Порожнеча. Тобто, коли ти кажеш, що у тебе 0 ручок, це означає, що у тебе зовсім немає ручок.

У вищій математиці поняття «нуль» ширше. Воно зовсім не означає порожнечу. Тут нуль називають невизначеністю, тому що якщо провести невелике дослідження, то виходить, що при розподілі нуля на нуль ми можемо в результаті отримати будь-яке інше число, яке не обов'язково може бути нулем.

Чи знаєте ви, що ті прості арифметичні дії, які ви вивчали в школі, не такі рівноправні між собою? Найбільш базовими діями є додавання та множення.

Для математиків немає понять «» і «віднімання». Допустимо: якщо від п'яти відібрати три, то залишиться два. Так виглядає віднімання. Проте математики запишуть це таким чином:

Таким чином, виходить, що невідомою різницею є якесь число, яке потрібно додати до 3, щоб отримати 5. Тобто, не потрібно нічого віднімати, потрібно просто знайти відповідне число. Це діє для складання.

Трохи інакше справи з правилами множення та розподілу.Відомо, що множення на нуль призводить до нульового результату. Наприклад, якщо 3: 0 = х, тоді, якщо перевернути запис, вийде 3 * х = 0. А число, яке множилося на 0, дасть нуль і у творі. Виходить, що числа, яке давало б у творі з нулем якусь величину, відмінну від нуля, не існує. А значить, поділ на нуль безглуздий, тобто він підходить до нашого правила.

Але що буде, якщо спробувати розділити сам нуль на себе? Візьмемо як х якесь невизначене число. Виходить рівняння 0 * х = 0. Його можна вирішити.

Якщо спробуємо взяти замість х ноль, ми отримаємо 0:0=0. Здавалося б, логічно? Але якщо спробуємо замість х взяти будь-яке інше число, наприклад, 1, то зрештою вийде 0:0=1. Та сама ситуація буде, якщо взяти будь-яке інше число і підставити його на рівняння.

В цьому випадку вийде, що ми можемо як множник взяти будь-яке інше число. Підсумком буде безліч різних чисел. Часом все ж таки розподіл на 0 у вищій математиці має сенс, але тоді зазвичай виникає деяка умова, завдяки якому ми зможемо все-таки вибрати одне відповідне число. Ця дія називається "розкриттям невизначеності". У звичайній арифметиці розподіл на нуль знову втратить свій сенс, тому що ми не зможемо вибрати з безлічі якесь одне число.

Важливо!На нуль не можна розділити нуль.

Нуль і нескінченність

Нескінченність дуже часто можна зустріти у вищій математиці. Так як школярам просто не важливо знати про те, що існують ще математичні дії з нескінченністю, то і пояснити дітям, чому ділити на нуль не можна, вчителі як слід не можуть.

Основні математичні секрети учні починають дізнаватися лише першому курсі інституту. Вища математика надає великий комплекс завдань, які мають рішення. Найвідомішими завданнями є завдання з нескінченністю. Їх можна вирішити за допомогою математичного аналізу

До нескінченності також можна застосувати елементарні математичні дії:додавання, множення на число. Зазвичай ще застосовують віднімання і розподіл, але зрештою вони все одно зводяться до двох найпростіших операцій.

Але що буде, якщо спробувати:

• Нескінченність помножити на нуль. За ідеєю, якщо спробуємо помножити на нуль будь-яке число, ми отримаємо нуль. Але нескінченністю є невизначена безліч чисел. Оскільки ми не можемо вибрати з цієї множини одне число, то вираз ∞*0 не має рішення і абсолютно безглуздий.
• Нуль ділити на нескінченність. Тут відбувається та сама історія, що й вище. Не можемо вибрати одне число, а значить не знаємо, на що розділити. Вираз немає сенсу.

Важливо!Нескінченність трохи відрізняється від невизначеності! Нескінченність є одним із видів невизначеності.

Тепер спробуємо нескінченність ділити на нуль. Здавалося б, має вийти невизначеність. Але якщо ми спробуємо замінити поділ множенням, то вийде цілком певна відповідь.

Наприклад: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Виходить такий математичний феномен.

Відповідь, чому не можна ділити на нуль

Думковий експеримент, пробуємо ділити на нуль

Висновок

Отже, тепер нам відомо, що нуль підпорядковується практично всім операціям, які виробляють, крім однієї єдиної. На нуль ділити не можна лише тому, що в результаті виходить невизначеність. Також ми дізналися, як робити дії з нулем та нескінченністю. Результатом таких дій буде невизначеність.

Основні елементарні функції розібралися.

При переході до функцій складнішого виду ми обов'язково зіткнемося з появою виразів, значення яких не визначено. Такі вирази називають невизначеності.

Перерахуємо все основні види невизначеностей: нуль ділити на нуль (0 на 0 ), нескінченність ділити на нескінченність , нуль помножити на нескінченність , нескінченність мінус нескінченність , одиниця в ступеня нескінченність , нуль у ступені нуль , нескінченність у ступені нуль .

ВСІ ІНШІ ВИРАЖЕННЯ НЕВИЗНАЧЕННЯМИ НЕ Є Й ПРИЙМАЮТЬ ЦІЛКОМ КОНКРЕТНЕ КІНЦЕВЕ АБО БЕЗКІНЦЕВЕ ЗНАЧЕННЯ.

Розкривати невизначеностідозволяє:

• спрощення виду функції (перетворення виразу з використанням формул скороченого множення, тригонометричних формул, примноженням на сполучені вирази з наступним скороченням тощо);
• використання чудових меж;
• застосування правила Лопіталя;
• використання заміни нескінченно малого висловлювання йому еквівалентним (використання таблиці еквівалентних нескінченно малих).

Згрупуємо невизначеності в таблицю невизначеностей. Кожному виду невизначеності поставимо у відповідність метод її розкриття (метод знаходження межі).

Ця таблиця разом із таблицею меж основних елементарних функцій будуть Вашими головними інструментами під час перебування будь-яких меж.

Наведемо кілька прикладів, коли все відразу виходить після підстановки значення і невизначеності не виникають.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

І одразу отримали відповідь.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення х=0 в основу нашої показово статечної функції:

Тобто межу можна переписати у вигляді

Тепер займемося показником. Це є статечна функція. Звернемося до таблиці меж для статечних функцій із негативним показником. Звідти маємо і , отже, можна записати .

Виходячи з цього, наша межа запишеться у вигляді:

Знову звертаємось до таблиці меж, але вже для показових функцій з основою великої одиниці, звідки маємо:

Відповідь:

Розберемо на прикладах із докладними рішеннями розкриття невизначеностей перетворенням виразів.

Дуже часто вираз під знаком межі потрібно трохи перетворити, щоб позбавитися невизначеностей.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу розв'язання. Пробуємо спростити вираз.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності (0 на 0). Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення та намагаємося спростити вираз. Домножимо і чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний з знаменником.

Для знаменника сполученим виразом буде

Знаменник ми примножували у тому, щоб можна було застосувати формулу скороченого множення – різницю квадратів і потім скоротити отриманий вираз.

Після низки перетворень невизначеність зникла.

Відповідь:

ЗАУВАЖЕННЯ:для меж подібного виду спосіб примноження на сполучені вирази є типовим, так що сміливо користуйтеся.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення та намагаємося спростити вираз. Так як і чисельник і знаменник звертаються в нуль при х = 1, якщо ці вирази, можна буде скоротити (х-1) і невизначеність зникне.

Розкладемо чисельник на множники:

Розкладемо знаменник на множники:

Наша межа набуде вигляду:

Після перетворення невизначеність розкрилася.

Відповідь:

Розглянемо межі на нескінченності від статечних виразів. Якщо показники статечного вираження позитивні, то межа на нескінченності нескінченна. Причому основне значення має найбільший рівень, інші можна відкидати.

приклад.

приклад.

Якщо вираз під знаком межі є дріб, причому і чисельник і знаменник є статечні вирази (m – ступінь чисельника, а n – ступінь знаменника), то при виникає невизначеність виду нескінченність на нескінченність, в цьому випадку невизначеність розкриваєтьсяділенням і чисельник і знаменник на

приклад.

Обчислити межу

Якщо число поділити на нескінченність, то приватне буде прагнути нуля? Продовження всередині і отримав найкращу відповідь

Відповідь від Оленька
всі 0
Krab Вark
Оракул
(56636)
Ні. Точний нуль. При прагненні дільника до нескінченності приватне буде прагнути нуля. А, якщо ділимо не на число, що прагне до нескінченності, а на саму нескінченність (до речі, вона, якщо говорити точніше, офіційно числом взагалі не вважається, а вважається спеціальним символом, що доповнює позначення чисел) - точно нуль.

Відповідь від Аугеус Володимир[гуру]
Нуль хоч поділи, хоч помножуй на будь-яке число все одно нуль буде!

Відповідь від 1 23 [гуру]
якщо яка- хер прагне до нуля то множити її на щось кінцеве (число або обмежену функцію) безпальна, тому що все-рна ана прагне до нуля.
Але якщо помножити її на якусь штуку, яка прагне до безкінності, - тут можуть бути варіанти.

Відповідь від Krab Вark[гуру]
При розподілі на нескінченність будь-якого числа вийде нуль. Точний нуль, жодного "прагнення до нуля". І потім, на яке число його не помножуй, нуль. А результатом розподілу нуля на будь-яке число, крім нуля, буде нуль, тільки при розподілі нуля на нуль результат не визначено, як приватне годиться будь-яке число.

Похідна від функції недалеко падає, а разі правил Лопіталя вона падає точно туди ж, куди падає вихідна функція. Ця обставина допомагає в розкритті невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ та деяких інших невизначеностей, що виникають при обчисленні межівідносини двох нескінченно малих чи нескінченно великих функцій. Обчислення значно спрощується за допомогою цього правила (насправді двох правил та зауважень до них):

Як показує формула вище, при обчисленні межі відносин двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій межу відношення двох функцій можна замінити межею відношення їх похіднихі, таким чином, одержати певний результат.

Перейдемо до точніших формулювань правил Лопіталя.

Правило Лопіталя для випадку межі двох нескінченно малих величин. Нехай функції f(x) та g(x a. А в самій точці a aпохідна функції g(x) не дорівнює нулю ( g"(x aрівні між собою та рівні нулю:

.

Правило Лопіталя для випадку межі двох нескінченно великих величин. Нехай функції f(x) та g(x) мають похідні (тобто диференційовані) в деякій околиці точки a. А в самій точці aвони можуть не мати похідних. При цьому на околиці точки aпохідна функції g(x) не дорівнює нулю ( g"(x)≠0 ) та межі цих функцій при прагненні іксу до значення функції у точці aрівні між собою і рівні нескінченності:

.

Тоді межа відношення цих функцій дорівнює межі відношення їх похідних:

Іншими словами, для невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ межа відношення двох функцій дорівнює межі відношення їх похідних, якщо останній існує (кінцевий, тобто рівний певному числу, або нескінченний, тобто рівний нескінченності).

Зауваження.

1. Правила Лопіталя застосовуються і тоді, коли функції f(x) та g(x) не визначені при x = a.

2. Якщо при обчисленні межі відношення похідних функцій f(x) та g(x) знову приходимо до невизначеності виду 0/0 або ∞/∞, то правила Лопіталя слід застосовувати багаторазово (мінімум двічі).

3. Правила Лопіталя застосовні і тоді, коли аргумент функцій (ікс) прагне не до кінцевого числа a, а до нескінченності ( x → ∞).

До невизначеності видів 0/0 та ∞/∞ можуть бути зведені і невизначеності інших видів.

Розкриття невизначеностей видів "нуль ділити на нуль" та "нескінченність ділити на нескінченність"

приклад 1.

x=2 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому похідну кожної функції і отримуємо

У чисельнику обчислювали похідну многочлена, а знаменнику - похідну складної логарифмічної функції. Перед останнім знаком рівності обчислювали звичайний межа, підставляючи замість ікса двійку.

приклад 2.Обчислити межу відношення двох функцій, користуючись правилом Лопіталя:

Рішення. Підстановка в задану функцію значення x

Приклад 3.Обчислити межу відношення двох функцій, користуючись правилом Лопіталя:

Рішення. Підстановка в задану функцію значення x=0 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому обчислюємо похідні функцій у чисельнику та знаменнику та отримуємо:

Приклад 4.Обчислити

Рішення. Підстановка в задану функцію значення ікса, що дорівнює плюс нескінченності, призводить до невизначеності виду ∞/∞. Тому застосуємо правило Лопіталя:

Зауваження. Переходимо до прикладів, у яких правило Лопіталя доводиться застосовувати двічі, тобто приходити до межі відносин других похідних, оскільки межа відношення перших похідних є невизначеністю виду 0/0 або ∞/∞.

Розкриття невизначеностей виду "нуль помножити на нескінченність"

Приклад 12Обчислити

.

Рішення. Отримуємо

У цьому прикладі використано тригонометричну тотожність.

Розкриття невизначеностей видів "нуль у ступені нуль", "нескінченність у ступені нуль" та "один у ступені нескінченність"

Невизначеності виду, або зазвичай наводяться до виду 0/0 або ∞/∞ за допомогою логарифмування функції виду

Щоб обчислити межу виразу, слід використовувати логарифмічну тотожність, окремим випадком якої є і властивість логарифму .

Використовуючи логарифмічну тотожність та властивість безперервності функції (для переходу за знак межі), межу слід обчислювати таким чином:

Окремо слід знаходити межу вираження у показнику ступеня та зводити eу знайдений ступінь.

Приклад 13

Рішення. Отримуємо

.

.

Приклад 14.Обчислити, користуючись правилом Лопіталя

Рішення. Отримуємо

Обчислюємо межу вираження у показнику ступеня

.

.

Приклад 15.Обчислити, користуючись правилом Лопіталя