Формули ступенів та коріння. Зведення у ступінь, правила, приклади

У цьому матеріалі ми розберемо, що таке ступінь числа. Крім основних визначень ми сформулюємо, що таке ступеня з натуральними, цілими, раціональними та ірраціональними показниками. Як завжди, всі поняття будуть проілюстровані прикладами завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Спочатку сформулюємо базове визначення ступеня із натуральним показником. Для цього нам знадобиться згадати основні правила множення. Заздалегідь уточнимо, що як підстава будемо поки що брати дійсне число (позначимо його буквою a), а як показник – натуральне (позначимо буквою n).

Визначення 1

Ступінь числа a з натуральним показником n - це добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює числу а. Записується ступінь так: a n, а як формули її склад можна наступним чином:

Наприклад, якщо показник ступеня дорівнює 1, а основа – a, то перший ступінь числа a записується як a 1. Враховуючи, що a – це значення множника, а 1 – число множників, ми можемо дійти невтішного висновку, що a 1 = a.

Загалом можна сказати, що ступінь – це зручна форма запису великої кількості рівних множників. Так, запис виду 8 · 8 · 8 · 8можна скоротити до 8 4 . Приблизно так само твір допомагає нам уникнути запису великої кількості доданків (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ми це вже розбирали у статті, присвяченій множенню натуральних чисел.

Як же правильно прочитати запис ступеня? Загальноприйнятий варіант - "a в ступеню n". Або можна сказати «n-на ступінь a» або «a-n-ного ступеня». Якщо, скажімо, у прикладі зустрівся запис 8 12 , ми можемо прочитати «8 в 12-му ступені», «8 в ступені 12» або «12-й ступінь 8-ми».

Другий і третій ступеня числа мають свої назви: квадрат і куб. Якщо бачимо другий ступінь, наприклад, числа 7 (7 2) , ми можемо сказати « 7 у квадраті» чи «квадрат числа 7 ». Аналогічно третій ступінь читається так: 5 3 - це "куб числа 5" або "5 в кубі". Втім, вживати стандартне формулювання «у другому/третьому ступені» теж можна, це не буде помилкою.

Приклад 1

Розберемо приклад ступеня з натуральним показником: 5 7 п'ятірка буде основою, а сімка – показником.

В основі не обов'язково має стояти ціле число: для ступеня (4 , 32) 9 основою буде дріб 4, 32, а показником – дев'ятка. Зверніть увагу на дужки: такий запис робиться для всіх ступенів, основи яких відрізняються від натуральних чисел.

Наприклад: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Навіщо потрібні дужки? Вони допомагають уникнути помилок у розрахунках. Скажімо, у нас є два записи: (− 2) 3 і − 2 3 . Перша їх означає негативне число мінус два, зведене в ступінь з натуральним показником три; друга – число, що відповідає протилежному значенню ступеня 2 3 .

Іноді в книгах можна зустріти трохи інше написання ступеня числа. a^n(де а - основа, а n - показник). Тобто 4^9 – це те саме, що й 4 9 . У разі, якщо n є багатозначним числом, воно береться в дужки. Наприклад, 15^(21), (−3,1)^(156). Але ми будемо використовувати позначення a nяк найбільш уживане.

Про те, як обчислити значення ступеня з натуральним показником, легко здогадатися з її визначення: потрібно просто перемножити a n число разів. Докладніше про це ми писали в іншій статті.

Поняття ступеня є зворотним до іншого математичного поняття – кореня числа. Якщо ми знаємо значення ступеня та показник, ми можемо обчислити її основу. Ступінь має деякі специфічні властивості, корисні для вирішення завдань, які ми розібрали в рамках окремого матеріалу.

У показниках ступеня можуть стояти як натуральні числа, а й взагалі будь-які цілі значення, зокрема негативні і нулі, адже вони теж належать до безлічі цілих чисел.

Визначення 2

Ступінь числа з цілим позитивним показником можна відобразити у вигляді формули: .

У цьому n – будь-яке ціле позитивне число.

Розберемося з поняттям нульового ступеня. Для цього ми використовуємо підхід, що враховує властивість приватного для ступеня з рівними підставами. Воно формулюється так:

Визначення 3

Рівність a m: a n = a m − nбуде правильно за умов: m і n – натуральні числа, m< n , a ≠ 0 .

Остання умова важлива, оскільки дозволяє уникнути поділу на нуль. Якщо значення m і n рівні, ми отримаємо наступний результат: a n: a n = a n − n = a 0

Але при цьому a n : a n = 1 – приватне рівних чисел a nта a . Виходить, що нульовий ступінь будь-якого відмінного від нуля числа дорівнює одиниці.

Однак такий доказ не підходить для нуля у нульовому ступені. Для цього нам потрібна інша властивість ступенів – властивість творів ступенів із рівними основами. Воно виглядає так: a m · a n = a m + n .

Якщо n у нас дорівнює 0, то a m · a 0 = a m(така рівність також доводить нам, що a 0 = 1). Але якщо і так само нулю, наша рівність набуває вигляду 0 m · 0 0 = 0 m, Воно буде вірним при будь-якому натуральному значенні n, і неважливо при цьому, чому саме одно значення ступеня 0 0 , тобто воно може бути рівне будь-якому числу, і на вірність рівності це не вплине. Отже, запис виду 0 0 свого особливого сенсу немає, і ми не будемо йому його приписувати.

За бажання легко перевірити, що a 0 = 1сходиться з властивістю ступеня (a m) n = a m · nза умови, що підстава ступеня не дорівнює нулю. Таким чином, ступінь будь-якого відмінного від нуля числа з нульовим показником дорівнює одиниці.

Приклад 2

Розберемо приклад із конкретними числами: Так, 5 0 - одиниця, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значення 0 0 НЕ визначено.

Після нульового ступеня нам залишилося розібратися, що являє собою ступінь негативний. Для цього нам знадобиться та ж властивість добутку ступенів з рівними основами, яке ми вже використовували вище: a m · a n = a m + n .

Введемо умову: m = − n , тоді a не повинно бути нульовим. З цього виходить що a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Виходить, що a n і a − nу нас є взаємно зворотні числа.

Через війну a цілою негативною мірою не що інше, як дріб 1 a n .

Таке формулювання підтверджує, що для ступеня з цілим негативним показником дійсні ті самі властивості, якими володіє ступінь з натуральним показником (за умови, що підстава не дорівнює нулю).

Приклад 3

Ступінь a з цілим негативним показником n можна у вигляді дробу 1 a n . Таким чином, a - n = 1 a n за умови a ≠ 0та n – будь-яке натуральне число.

Проілюструємо нашу думку конкретними прикладами:

Приклад 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В останній частині параграфа спробуємо зобразити все сказане наочно в одній формулі:

Визначення 4

Ступінь числа a з натуральним показником z − це: az = az , e с л і z - ц о л о е п о л о ж і т е л ь н о е ч і с л о 1 , z = 0 і a ≠ 0 , (п р і z = 0 і a = 0 отримає 0 0 , зна ч е ня ви ри жен ня 0 0 не о п р е д е л е т с я)   1 az , е с л і z - ц е л о е т ри ц а т е л ь н о ч і с л о і a ≠ 0 ( е с л і z - ц е л о е о т р і ц е л ь н о е ч і с л о і a = 0 отримає ся 0 z , е г о з н а ч е н н е н е н е е п о д е л е т с я)

Що таке ступеня з раціональним показником

Ми розібрали випадки, коли у показнику ступеня стоїть ціле число. Однак звести число в ступінь можна і тоді, коли в показнику стоїть дробове число. Це називається ступенем із раціональним показником. У цьому пункті ми доведемо, що вона має ті самі властивості, що й інші ступені.

Що таке раціональні числа? У їх безліч входять як цілі, і дробові числа, у своїй дробові числа можна у вигляді звичайних дробів (як позитивних, і негативних). Сформулюємо визначення ступеня числа a з дробовим показником m/n, де n – натуральне число, а m – ціле.

У нас є деяка міра з дробовим показником a m n . Для того, щоб властивість ступеня в мірі виконувалася, рівність a m n n = a m n · n = a m має бути вірною.

Враховуючи визначення кореня n - ного ступеня і що a m n n = a m , ми можемо прийняти умову a m n = a m n , якщо a m n має сенс за даних значень m , n і a .

Наведені вище властивості ступеня з цілим показником будуть вірними за умови a m n = m n .

Основний висновок з наших міркувань такий: ступінь деякого числа a з дробовим показником m / n - це корінь n-го ступеня з числа a в ступеню m. Це справедливо в тому випадку, якщо при даних значеннях m n і a вираз a m n зберігає сенс.

1. Ми можемо обмежити значення підстави ступеня: візьмемо a , яке при позитивних значеннях m буде більшим або дорівнює 0 , а для негативних – строго менше (оскільки при m ≤ 0 ми отримуємо 0 m, А така міра не визначена). У такому разі визначення ступеня з дробовим показником виглядатиме так:

Ступінь з дробовим показником m / n для деякого позитивного числа a є корінь n-го ступеня з, зведеного в ступінь m. У вигляді формули це можна зобразити так:

Для ступеня з нульовою основою це положення також підходить, але тільки в тому випадку, якщо показник – позитивне число.

Ступінь з нульовою основою та дробовим позитивним показником m/n можна виразити як

0 m n = 0 m n = 0 за умови цілого позитивного m та натурального n .

При негативному відношенні m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Зазначимо один момент. Оскільки ми запровадили умову, що a більше чи дорівнює нулю, то у нас виявилися відкинуті деякі випадки.

Вираз a m n іноді все ж таки має сенс при деяких негативних значеннях a і деяких m . Так, вірні записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , у яких підстава негативна.

2. Другий підхід – це розглянути окремо корінь a m n з парними та непарними показниками. Тоді нам потрібно ввести ще одну умову: ступінь a, у показнику якого стоїть скоротитий звичайний дріб, вважається ступенем a, у показнику якого стоїть відповідний їй нескоротний дріб. Пізніше ми пояснимо, для чого нам ця умова і чому вона така важлива. Таким чином, якщо у нас є запис a m · k n · k , то ми можемо звести його до a m n та спростити розрахунки.

Якщо n – непарне число, а значення m – позитивно, a – будь-яке невід'ємне число, то a m n має сенс. Умова неотрицательного a потрібна, оскільки корінь парного ступеня з негативного числа не беруть. Якщо значення m позитивно, то a то, можливо і негативним, і нульовим, т.к. корінь непарної міри можна витягти з будь-якого дійсного числа.

Об'єднаємо всі дані вище визначення в одному записі:

Тут m/n означає нескоротний дріб, m – будь-яке ціле число, а n – будь-яке натуральне число.

Визначення 5

Для будь-якого звичайного скоротливого дробу m · k n · k ступінь можна замінити на a m n .

Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m / n – можна виразити у вигляді a m n у таких випадках: - для будь-яких дійсних a , цілих позитивних значень m та непарних натуральних значень n . Приклад: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Для будь-яких відмінних від нуля дійсних a цілих негативних значень m і непарних значень n наприклад, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Для будь-яких невід'ємних a цілих позитивних значень m і парних n наприклад, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Для будь-яких позитивних a цілих негативних m і парних n наприклад, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

У разі інших значень ступінь із дробовим показником не визначається. Приклади таких ступенів: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Тепер пояснимо важливість умови, про яку говорили вище: навіщо замінювати дріб із скороченим показником на дріб із нескоротним. Якби ми цього не зробили, то вийшли б такі ситуації, скажімо, 6/10 = 3/5. Тоді має бути правильним (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , але - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Визначення ступеня з дробовим показником, яке ми навели першим, зручніше застосовувати на практиці, ніж друге, тому ми будемо далі користуватися саме ним.

Визначення 6

Таким чином, ступінь позитивного числа a з дробовим показником m/n визначається як 0 m n = 0 m n = 0 . У разі негативних aзапис a m n немає сенсу. Ступінь нуля для позитивних дробових показників m/nвизначається як 0 m n = 0 m n = 0 для негативних дробових показників ми ступінь нуля не визначаємо.

У висновках зазначимо, що можна записати будь-який дробовий показник як у вигляді змішаного числа, так і у вигляді десяткового дробу: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При обчисленні краще замінювати показник ступеня звичайним дробом і далі користуватися визначенням ступеня з дробовим показником. Для прикладів вище у нас вийде:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Що таке ступеня з ірраціональним та дійсним показником

Що таке дійсні числа? У їх безліч входять як раціональні, і ірраціональні числа. Тому для того, щоб зрозуміти, що таке ступінь із дійсним показником, нам треба визначити ступеня з раціональними та ірраціональними показниками. Про раціональні ми вже згадували вище. Розберемося з ірраціональними показниками покроково.

Приклад 5

Припустимо, що ми маємо ірраціональне число a і послідовність його десяткових наближень a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Наприклад, візьмемо значення a = 1,67175331. . . тоді

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,. . . , a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,. . .

Послідовності наближень ми можемо поставити у відповідність послідовність ступенів a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Якщо згадати, що ми розповідали раніше про зведення чисел у раціональну міру, то ми можемо самі підрахувати значення цих ступенів.

Візьмемо для прикладу a = 3, Тоді a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . і т.д.

Послідовність ступенів можна звести до числа, яке і буде значенням ступеня з основою a та ірраціональним показником a . У результаті: ступінь з ірраціональним показником виду 3 1 67175331 . . можна звести до 6 , 27 .

Визначення 7

Ступінь позитивного числа a з ірраціональним показником записується як a a . Його значення - це межа послідовності a a 0, a a 1, a a 2,. . . , де a 0, a 1, a 2,. . . є послідовними десятковими наближеннями ірраціонального числа a. Ступінь з нульовою основою можна визначити і для позитивних ірраціональних показників, при цьому 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 0 21 3 3 = 0 . А для негативних цього зробити не можна, оскільки, наприклад, значення 0 – 5, 0 – 2 π не визначено. Одиниця, зведена в будь-який ірраціональний ступінь, залишається одиницею, наприклад, і 12, 15 в 2 і 1 - 5 будуть рівні 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Количисло множиться саме на себе, твір, добутокназивається ступенем.

Так 2.2 = 4, квадрат або другий ступінь 2-х
2.2.2 = 8, куб або третій ступінь.
2.2.2.2 = 16, четвертий ступінь.

Також, 10.10 = 100, другий ступінь 10.
10.10.10 = 1000, третій ступінь.
10.10.10.10 = 10000 четвертий ступінь.

І a.a = aa, другий ступінь a
a.a.a = aaa, третій ступінь a
a.a.a.a = aaaa, четвертий ступінь a

Початкове число називається коріннямступеня цього числа, тому що це число, з якого було створено ступінь.

Однак не зовсім зручно, особливо у разі високих ступенів, записувати всі множники, з яких складаються ступені. Тому використовується скорочений метод позначення. Корінь ступеня записується лише один раз, а праворуч і трохи вище біля нього, але трохи меншим шрифтом записується скільки разів виступає корінь як множник. Це число або буква називається показником ступеняабо ступенемчисла. Так, а 2 дорівнює a.a або aa, тому що корінь a двічі має бути помножений сам на себе, щоб вийшло ступінь aa. Також a 3 означає aaa, тобто тут a повторюється три разияк множник.

Показник першого ступеня є одним, але він зазвичай не записується. Так, a1 записується як a.

Ви не повинні плутати ступеня з коефіцієнтами. Коефіцієнт показує, як часто величина береться як частинацілого. Ступінь показує, як часто величина береться як множнику творі.
Так, 4a = a + a + a + a. Але a 4 = a.a.a.a

Схема позначення зі ступенями має своєрідну перевагу, дозволяючи нам висловлювати невідомуступінь. Для цього в показник ступеня замість числа записується літера. У процесі вирішення завдання ми можемо отримати величину, яка, як ми можемо знати, є деякоюступенем іншої величини. Але поки що ми не знаємо, це квадрат, куб або інший, більш високий рівень. Так, у вираженні a x показник ступеня означає, що цей вираз має деякуступінь, хоча не визначено який ступінь. Так, b m і d n зводяться ступенем m і n. Коли показник ступеня знайдено, числопідставляється замість літери. Тож якщо m=3, тоді b m = b 3 ; якщо m = 5, тоді b m =b 5 .

Метод запису значень за допомогою ступенів є також великою перевагою у разі використання виразів. Так, (a + b + d) 3 є (a + b + d). (a + b + d). (a + b + d), тобто куб тричлену (a + b + d). Але якщо записати цей вираз після зведення в куб, воно матиме вигляд
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Якщо ми візьмемо ряд ступенів, показники яких збільшуються або зменшуються на 1, ми виявимо, що твір збільшується на 1 загальний множникабо зменшується на спільний дільник, і цей множник чи дільник є початковим числом, яке зводиться у ступінь.

Так, у ряді aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
або a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
показники, якщо рахувати праворуч наліво, дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5; і різниця між їх значеннями дорівнює 1. Якщо ми почнемо справа множитина a ми успішно отримаємо кілька значень.

Так a.a = a 2 другий член. І a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третій член. a 4 .a = a 5 .

Якщо ми почнемо ліворуч ділитина a,
ми отримаємо a 5:a = a 4 та a 3:a = a 2 .
a 4: a = a 3 a 2: a = a 1

Але такий процес розподілу може бути продовжений і надалі, і ми отримуємо новий набір значень.

Так, a: a = a/a = 1. (1/a): a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Повний ряд буде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Або a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Тут значення справавід одиниці є зворотнимизначенням ліворуч від одиниці. Тому ці ступені можуть бути названі зворотними ступенями a. Можна також сказати, що ліворуч є зворотними до ступенів праворуч.

Так, 1: (1/a) = 1. (a/1) = a. І 1: (1/a 3) = a 3 .

Той самий план запису може застосовуватися до багаточленам. Так, для a + b ми отримаємо безліч,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для зручності використається ще одна форма запису зворотних ступенів.

Відповідно до цієї форми, 1/a або 1/a 1 = a -1 . І 1/aaa чи 1/a 3 = a -3 .
1/aa чи 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa або 1/a 4 = a-4.

Щоб зробити з показниками закінчений ряд з 1 як загальна різниця, a/a або 1, розглядається як таке, що не має ступеня і записується як a 0 .

Тоді, враховуючи прямі та зворотні ступені
замість aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можна записати a 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Або a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

А ряд лише окремо взятих ступенів матиме вигляд:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корінь ступеня може бути виражений більш ніж однією літерою.

Так, aa.aa або (aa) 2 є другим ступенем aa.
І aa.aa.aa або (aa) 3 є третім ступенем aa.

Усі ступеня цифри 1 однакові: 1.1 або 1.1.1. дорівнюватиме 1.

Зведення в міру є знаходження значення будь-якого числа шляхом множення цього числа саме на себе. Правило зведення у ступінь:

Помножуйте величину саму себе стільки разів, скільки зазначено у ступеня числа.

Це є загальним всім прикладів, які можуть виникнути у процесі зведення ступінь. Але буде правильно дати пояснення, як воно застосовується до окремих випадків.

Якщо ступінь зводиться лише один член, він множиться сам він стільки разів, скільки показує показник ступеня.

Четвертий ступінь a є a 4 або aaaa. (Art. 195.)
Шоста ступінь y є y 6 або yyyyyy.
N-а ступінь x є x n або xxx ... n раз повторене.

Якщо необхідно звести у ступінь вираз із кількох членів, застосовується принцип, згідно з яким ступінь добутку кількох множників дорівнює добутку цих множників, зведених у міру.

Так (ay) 2 = a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Але ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2.
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Тому в знаходженні ступеня твору ми можемо або оперувати з усім твором відразу, або ми можемо оперувати з кожним множником окремо, а потім помножити їх значення зі ступенями.

Приклад 1. Четвертий ступінь dhy є (dhy) 4 або d 4 h 4 y 4 .

Приклад 2. Третій ступінь 4b, є (4b) 3 або 4 3 b 3 або 64b 3 .

Приклад 3. N-ий ступінь 6ad є (6ad) n або 6 n a n d n .

Приклад 4. Третій ступінь 3m.2y є (3m.2y) 3 або 27m 3 .8y 3 .

Ступінь двочлена, що з членів, сполучених знаком + і -, обчислюється множенням його членів. Так,

(a + b) 1 = a + b, перший ступінь.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 другий ступінь (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 третій ступінь.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 четвертий ступінь.

Квадрат a - b є a 2 - 2ab + b 2 .

Калькулятор допомагає швидко звести число в онлайн. Підставою ступеня може бути будь-які числа (як цілі, і речові). Показник ступеня також може бути цілим або речовим, і також як позитивним, так і негативним. Слід пам'ятати, що для негативних чисел зведення в нецілу ступінь не визначено і тому калькулятор повідомить про помилку у випадку, якщо ви все ж таки спробуєте це виконати.

Калькулятор ступенів

Піднести до степеня

Зведень у ступінь: 28399

Що таке натуральний ступінь числа?

Число p називають n -ой ступенем числа a , якщо p дорівнює числу a , помноженого саме він n раз: p = a n = a·...·a
n - називається показником ступеня, а число a - підставою ступеня.

Як звести число до натурального ступеня?

Щоб зрозуміти, як зводити різні числа в натуральному ступені, розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Звести число три на четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 3 4
Рішення: як було зазначено вище, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 .
Відповідь: 3 4 = 81 .

Приклад 2. Звести число п'ять на п'яту ступінь. Тобто необхідно обчислити 5 5
Рішення: аналогічно, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 .
Відповідь: 5 5 = 3125 .

Таким чином, щоб звести число в натуральний ступінь, достатньо лише помножити його саме на себе n разів.

Що таке негативний рівень числа?

При цьому негативний ступінь існує тільки для відмінних від нуля чисел, тому що в іншому випадку відбувалося б поділ на нуль.

Як звести число в цілий негативний ступінь?

Щоб звести відмінне від нуля число в негативний ступінь, потрібно обчислити значення цього числа в тій же позитивній мірі і розділити одиницю отриманого результату.

Приклад 1. Звести число два мінус четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 2-4

Відповідь: 2 -4 = 0.0625 .

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n/b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коріння з цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню діленого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-ую ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки за m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою при m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ой міри з m-ой ступеня цього числа а.

Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Навігація на сторінці.

Що означає «зведення до ступеня»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Визначення.

Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r та зведення числа a у ступінь r – це одне й те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа в натуральний ступінь

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дробовий ступінь m/n спочатку витягується корінь n-го ступеня з числа a після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо розв'язання прикладів зведення на дробовий ступінь.

приклад.

Обчисліть значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи вирішення.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником і на підставі властивостей коріння справедливі рівність . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Відповідь:

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення у ступінь.

приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні міри є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного сенсу: маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дрібному позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу зазначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ірраціональний ступінь вручну потребує великої кількості громіздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисах суть дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це і є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точне десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим більше точне значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти більш точне десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо більш точне значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).