Що таке різниця в прогресії. Арифметична прогресія. Більш складні завдання на арифметичну прогресію

Багато хто чув про арифметичній прогресії, але не всі добре уявляють, що це таке. У даній статті дамо відповідну ухвалу, а також розглянемо питання, як знайти різницю арифметичній прогресії, і наведемо ряд прикладів.

математичне визначення

Отже, якщо мова йде про арифметичній прогресії або алгебраїчної (ці поняття визначають одне й те саме), то це означає, що є деякий числовий ряд, що задовольняє наступним законом: кожні два сусідніх числа в ряду відрізняються на одне і те ж значення. Математично це записується так:

Тут n означає номер елемента a n в послідовності, а число d - це різниця прогресії (її назва випливає з представленої формули).

Про що говорить знання різниці d? Про те, як "далеко" один від одного відстоять сусідні числа. Однак знання d є необхідним, але не достатньою умовою для визначення (відновлення) всієї прогресії. Необхідно знати ще одне число, яким може бути абсолютно будь-який елемент аналізованого ряду, наприклад, a 4, a10, але, як правило, використовують перше число, тобто a 1.

Формули для визначення елементів прогресії

Загалом, інформації вище вже досить, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Проте до того, як буде дана прогресія арифметична, і знайти різницю її буде необхідно, наведемо пару корисних формул, полегшивши тим самим подальший процес вирішення завдань.

Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений в такий спосіб:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n \u003d 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n \u003d 2, тоді вираз видає суму першого числа і різниці, і так далі.

Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парі чисел, номери яких в послідовності також дані, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю і перший елемент). Зараз ми вирішимо цю задачу в загальному вигляді.

Отже, нехай дано два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою вище формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m \u003d a 1 + (m - 1) * d

Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомом вирішення такої системи: віднімемо попарно ліву і праву частини, рівність при цьому залишиться справедливим. маємо:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m \u003d (n - 1) * d - (m - 1) * d \u003d d * (n - m)

Таким чином, ми виключили одну невідому (a 1). Тепер можна записати остаточний вираз для визначення d:

d \u003d (a n - a m) / (n - m), де n\u003e m

Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d відповідно до умов завдання, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів і їх порядкових номерів. Слід звернути на один важливий момент увагу: різниці беруться між "старшим" і "молодшим" \u200b\u200bчленами, тобто n\u003e m ( "старший" - мається на увазі стоїть далі від початку послідовності, його абсолютне значення може бути як більше, так і менше більш "молодшого" елемента).

Вираз для різниці d прогресії слід підставити в будь-який з рівнянь на початку виконання завдання, щоб отримати значення першого члена.

У наше століття розвитку комп'ютерних технологій багато школярів намагаються знайти рішення для своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають питання такого типу: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які, потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члена прогресії, так і сума деякого їх числа) і моментально отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним в плані розвитку школяра і розуміння суті поставленої перед ним завдання.

Рішення без використання формул

Вирішимо перше завдання, при цьому не будемо використовувати будь-які з наведених формул. Нехай дано елементи ряду: А6 \u003d 3, а9 \u003d 18. Знайти різницю арифметичній прогресії.

Відомі елементи стоять близько один до одного в ряду. Скільки разів потрібно додати різницю d до найменшого, щоб отримати найбільшу з них? Три рази (перший раз додавши d, ми отримаємо 7-й елемент, другий раз - восьмий, нарешті, третій раз - дев'ятий). Яке число потрібно додати до трьох три рази, щоб отримати 18? Це число п'ять. дійсно:

Таким чином, невідома різниця d \u003d 5.

Звичайно ж, рішення можна було виконати із застосуванням відповідної формули, але цього не було зроблено навмисно. Докладне пояснення рішення задачі повинно стати зрозумілим і яскравим прикладом, що таке арифметична прогресія.

Завдання, подібна попередньої

Тепер вирішимо схоже завдання, але змінимо вхідні дані. Отже, слід знайти якщо а3 \u003d 2, а9 \u003d 19.

Звичайно, можна вдатися знову до методу рішення "в лоб". Але оскільки дані елементи ряду, які стоять щодо далеко один від одного, такий метод стане не зовсім зручним. А ось використання отриманої формули швидко приведе нас до відповіді:

d \u003d (а 9 - а 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Тут ми округлили кінцеве число. Наскільки це округлення призвело до помилки, можна судити, перевіривши отриманий результат:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Цей результат відрізняється всього на 0,1% від значення, даного в умові. Тому використане округлення до сотих можна вважати успішним вибором.

Завдання на застосування формули для an члена

Розглянемо класичний приклад завдання на визначення невідомої d: знайти різницю арифметичній прогресії, якщо а1 \u003d 12, а5 \u003d 40.

Коли дані два числа невідомої алгебраїчної послідовності, причому одним з них є елемент a 1, тоді не потрібно довго думати, а слід відразу ж застосувати формулу для a n члена. В даному випадку маємо:

a 5 \u003d a 1 + d * (5 - 1) \u003d\u003e d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (40 - 12) / 4 \u003d 7

Ми отримали точне число при діленні, тому немає сенсу перевіряти точність розрахованого результату, як це було зроблено в попередньому пункті.

Вирішимо ще одне аналогічне завдання: слід знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 \u003d 16, А8 \u003d 37.

Використовуємо аналогічний попередньому підхід і отримуємо:

a 8 \u003d a 1 + d * (8 - 1) \u003d\u003e d \u003d (a 8 - a 1) / 7 \u003d (37 - 16) / 7 \u003d 3

Що ще варто знати про арифметичній прогресії

Крім завдань на знаходження невідомої різниці або окремих елементів, часто необхідно вирішувати проблеми суми перших членів послідовності. Розгляд цих завдань виходить за рамки теми статті, проте для повноти інформації наведемо загальну формулу для суми n чисел ряду:

Σ n i \u003d 1 (a i) \u003d n * (a 1 + a n) / 2

Хтось до слова «прогресія» відноситься насторожено, як до дуже складного терміну з розділів вищої математики. А між тим найпростіша арифметична прогресія - робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а в математиці немає нічого важливішого, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності не так складно, розібравши кілька елементарних понять.

Математична числова послідовність

Числовою послідовністю прийнято називати будь-якої ряд чисел, кожне з яких має свій номер.

а 1 - перший член послідовності;

а 2 - другий член послідовності;

а 7 - сьомий член послідовності;

а n - n-ний член послідовності;

Однак не будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов'язано з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є якою-небудь функцією від n.

a - значення члена числової послідовності;

n - його порядковий номер;

f (n) - функція, де порядковий номер в числової послідовності n є аргументом.

визначення

Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, в якій кожний наступний член більше (менше) попереднього на одне і те ж число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає наступним чином:

a n - значення поточного члена арифметичної прогресії;

a n + 1 - формула наступного числа;

d - різниця (певне число).

Неважко визначити, що якщо різниця позитивна (d\u003e 0), то кожний наступний член розглянутого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.

На представленому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовність отримала назву «зростаюча».

У випадках, коли різниця негативна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значення заданого члена

Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена a n арифметичної прогресії. Можна зробити це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, потрібно знайти значення п'ятитисячного або восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться у часі. Однак конкретна арифметична прогресія може бути досліджена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії може бути визначено як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.

Формула універсальна для зростаючій і зменшення прогресії.

Приклад розрахунку значення заданого члена

Вирішимо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.

Умова: є арифметична прогресія з параметрами:

Перший член послідовності дорівнює 3;

Різниця числового ряду дорівнює 1,2.

Завдання: необхідно відшукати значення 214 члена

Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:

а (n) \u003d а1 + d (n-1)

Підставивши в вираз дані з умови задачі маємо:

а (214) \u003d а1 + d (n-1)

а (214) \u003d 3 + 1,2 (214-1) \u003d 258,6

Відповідь 214-й член послідовності раве 258,6.

Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає не більше 2 рядків.

Сума заданого числа членів

Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень деякого його відрізка. Для цього також немає необхідності обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо число членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися наступною формулою.

Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого і n-ного членів, помноженої на номер члена n і поділеній навпіл. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз з попереднього пункту статті, отримаємо:

приклад розрахунку

Для прикладу вирішимо завдання з наступними умовами:

Перший член послідовності дорівнює нулю;

Різниця дорівнює 0,5.

В задачі потрібно визначити суму членів ряду з 56-го по 101.

Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:

s (n) \u003d (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши в формулу дані їх умови нашої задачі:

s 101 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 \u003d 2 525

Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S 101 відняти S 55.

s 55 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 \u003d 742,5

Таким чином сума арифметичної прогресії для даного прикладу:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5

Приклад практичного застосування арифметичної прогресії

В кінці статті повернемося до прикладу арифметичної послідовності, наведеним в першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.

Посадка в таксі (в яку входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується з розрахунку 22 руб. / Км. Відстань поїздки 30 км. Розрахувати вартість поїздки.

1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.

30 - 3 \u003d 27 км.

2. Подальший розрахунок - не що інше як розбір арифметичного числового ряду.

Номер члена - число км пробігу (мінус перші три).

Значення члена - сума.

Перший член в даній задачі буде дорівнює a 1 \u003d 50 р.

Різниця прогресії d \u003d 22 р.

цікавить нас число - значення (27 + 1) -ого члена арифметичної прогресії - свідчення лічильника в кінці 27-го кілометра - 27,999 ... \u003d 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на як завгодно тривалий період. В астрономії в геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються в статистиці та інших прикладних розділах математики.

Інший вид числової послідовності - геометрична

Геометрична прогресія характеризується великими, в порівнянні з арифметичної, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині часто, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається в геометричній прогресії.

N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на яке-небудь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:

n \u003d 1: 1 ∙ 2 \u003d 2

n \u003d 2: 2 ∙ 2 \u003d 4

n \u003d 3: 4 ∙ 2 \u003d 8

n \u003d 4: 8 ∙ 2 \u003d 16

n \u003d 5: 16 ∙ 2 \u003d 32,

b n - значення поточного члена геометричної прогресії;

b n + 1 - формула наступного члена геометричної прогресії;

q - знаменник геометричній прогресії (постійне число).

Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:

Як і у випадку з арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якоїсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступеня n зменшеного на одиницю:

Приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Сума заданого числа членів розраховується так само за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці твори n- ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеній на зменшений на одиницю знаменник:

Якщо b n замінити користуючись розглянутої вище формулою, значення суми n перших членів даного числового ряду набуде вигляду:

Приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, рівного 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.

s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280

При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких відносяться прогресії -геометріческая і арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію і приклади з рішеннями.

Що собою являє арифметична прогресія?

Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення розглянутої прогресії, а також привести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.

Арифметична або алгебраїчна прогресія - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на деяку постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел і різниця, можна відновити всю арифметичну прогресію.

Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде прогресією арифметичної: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12). А ось набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до даного виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

важливі формули

Наведемо тепер основні формули, які знадобляться для вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n-й член послідовності, де n - ціле число. Різниця позначимо латинською буквою d. Тоді справедливі такі вирази:

Для визначення значення n-го члена підійде формула: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
Для визначення суми перших n доданків: S n \u003d (a n + a 1) * n / 2.

Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням в 9 класі, досить запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання розглянутого типу. Також слід не забувати, що різниця прогресії визначається за формулою: d \u003d a n - a n-1.

Приклад №1: знаходження невідомого члена

Наведемо простий приклад арифметичній прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.

Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно в ній знайти п'ять членів.

З умови задачі вже випливає, що перші 4 доданків відомі. П'яте можна визначити двома способами:

Обчислимо для початку різницю. Маємо: d \u003d 8 - 10 \u003d -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члена, що стоять поруч один з одним. Наприклад, d \u003d 4 - 6 \u003d -2. Оскільки відомо, що d \u003d a n - a n-1, тоді d \u003d a 5 - a 4, звідки отримуємо: a 5 \u003d a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
Другий спосіб також вимагає знання різниці розглянутої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d \u003d -2). Знаючи, що перший член a 1 \u003d 10, скористаємося формулою для n числа послідовності. Маємо: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Підставляючи в останній вираз n \u003d 5, отримуємо: a 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Як видно, обидва способи вирішення привели до одного і того ж результату. Відзначимо, що в цьому прикладі різницю d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються убутними, так як кожен наступний член менше попереднього.

Приклад №2: різниця прогресії

Тепер усложним трохи завдання, наведемо приклад, як

Відомо, що в деякій 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.

Скористаємося формулою для визначення невідомого члена: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Підставами в неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7, маємо: 18 \u003d 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Таким чином, відповіли на першу частину завдання.

Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням алгебраїчної прогресії, тобто a 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d і так далі. В результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Приклад №3: складання прогресії

Ускладнимо ще сильніше умову задачі. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести такий приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти прогресію алгебраїчну так, щоб між цими містилося ще три члени.

Перш ніж починати вирішувати цю задачу, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа в майбутньої прогресії. Оскільки між ними будуть перебувати ще три члени, тоді a 1 \u003d -4 і a 5 \u003d 5. Встановивши це, переходимо до задачі, яка аналогічна попередній. Знову для n-го члена скористаємося формулою, одержимо: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Звідки: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, однак воно є раціональним числом, тому формули для алгебраїчної прогресії залишаються тими ж самими.

Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо відсутні члени прогресії. Отримуємо: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, a 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, a 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, що збіглося з умовою завдання.

Приклад №4: перший член прогресії

Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії з рішенням. У всіх попередніх завданнях було відомо перше число алгебраїчної прогресії. Тепер розглянемо задачу іншого типу: нехай дано два числа, де a 15 \u003d 50 і a 43 \u003d 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.

Формули, якими користувалися до теперішнього часу, припускають знання a 1 і d. В умові задачі про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вираження для кожного члена, про яку є інформація: a 15 \u003d a 1 + 14 * d і a 43 \u003d a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, в яких 2 невідомі величини (a 1 і d). Це означає, що завдання зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь.

Зазначену систему найпростіше вирішити, якщо висловити в кожному рівнянні a 1, а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, звідки різниця d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (наведені лише 3 знаки точності після коми).

Знаючи d, можна скористатися будь-яким з 2 наведених вище виразів для a 1. Наприклад, першим: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити 43 член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Невелика похибка пов'язана з тим, що при обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.

Приклад №5: сума

Тепер розглянемо кілька прикладів з рішеннями на суму арифметичної прогресії.

Нехай дана числова прогресія такого вигляду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?

Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна цю задачу вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як тільки людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в розумі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є прогресією алгебраїчної, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Цікаво відзначити, що ця задача носить назву "гаусом", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще будучи у віці всього 10 років, зміг розв'язати цю проблему в розумі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебри прогресії, але він зауважив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., а оскільки витрат на пальне буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді досить помножити 50 на 101.

Приклад №6: сума членів від n до m

Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дана така чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнює сума його членів з 8 по 14.

Завдання вирішується двома способами. Перший з них передбачає знаходження невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків трохи, то такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити цю задачу другим методом, який є більш універсальним.

Ідея полягає в отриманні формули для суми алгебри прогресії між членами m і n, де n\u003e m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Оскільки n\u003e m, то очевидно, що 2 сума включає в себе першу. Останнє умовивід означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (в разі взяття різниці він віднімається від суми S n), то отримаємо необхідний відповідь на завдання. Маємо: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 m / 2). В цей вислів необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить тільки від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Підставляючи ці числа, отримаємо: S mn \u003d 301.

Як видно з наведених рішень, все завдання грунтуються на знанні вираження для n-го члена і формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якої з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і лише потім приступати до вирішення.

Ще одна порада полягає в прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на запитання, чи не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, в прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, і розбити загальну задачу на окремі підзадачі (в даному випадку спочатку знайти члени an і am).

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується його перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, то це не так складно.

Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і мати певні властивості - прогресія. В останньому випадку кожен наступний елемент (член) послідовності можна обчислити за допомогою попереднього.

Арифметична прогресія - послідовність числових значень, в якій її сусідні члени різняться між собою на однакове число (подібним властивістю володіють всі елементи ряду, починаючи з 2-ого). Дане число - різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.

Різниця прогресії: визначення

Розглянемо послідовність, що складається з j значень A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, - послідовність , в якій a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Величина d - шукана різниця даної прогресії.

d \u003d a (j) - a (j-1).

виділяють:

Зростаючу прогресію, в такому випадку d\u003e 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Спадну прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Різниця прогресії і її довільні елементи

Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на базі співвідношення:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, значить d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

Різниця прогресії і її перший член

Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.

Різниця прогресії і її сума

Сума прогресії - це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, але тому що a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), то S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Сума арифметичній прогресії.

Сума арифметичній прогресії - штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання по цій темі бувають всякі. Від елементарних до цілком солідних.

Спочатку розберемося зі змістом і формулою суми. А потім і повирішуємо. Свого задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без жодних формул. Але якщо багато, або дуже багато ... складання напружує.) У цьому випадку рятує формула.

Формула суми виглядає просто:

Розберемося, що за буковки входять в формулу. Це багато прояснить.

S n - сума арифметичної прогресії. результат складання всіх членів, з першого по останній. Це важливо. складаються саме усе члени поспіль, без пропусків і перескоків. І, саме, починаючи з першого. У завданнях, типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосування формули розчарує.)

a 1 - перший член прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першого число ряду.

a n - останній член прогресії. Останнє число ряду. Не дуже звичне назва, але, в застосуванні до суми, дуже навіть годиться. Далі самі побачите.

n - номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю складаються членів.

Визначимося з поняттям останнього члена a n. Питання на засипку: який член буде останнім, якщо дана нескінченна арифметична прогресія?)

Для впевненої відповіді потрібно розуміти елементарний сенс арифметичної прогресії і ... уважно читати завдання!)

У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися. Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує. Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.

Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена c номером n. Власне, повна назва формули виглядає ось так: сума n перших членів арифметичної прогресії. Кількість цих найперших членів, тобто n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація частенько зашифрована, так ... Але нічого, в прикладах нижче ми ці секрети пороззявляли.)

Приклади завдань на суму арифметичної прогресії.

Перш за все, корисна інформація:

Основна складність в завданнях на суму арифметичної прогресії полягає в правильному визначенні елементів формули.

Ці самі елементи укладачі завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне - не боятися. Розуміючи суть елементів, досить просто їх розшифрувати. Розберемо докладно кілька прикладів. Почнемо з завдання на основі реального ДПА.

1. Арифметична прогресія задана умовою: a n \u003d 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.

Гарне завдання. Легке.) Нам для визначення суми за формулою чого треба знати? перший член a 1, Останній член a n, Та номер останнього члена n.

Де взяти номер останнього члена n? Так там же, в умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів. Ну і з яким номером буде останній, десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Стало бути, замість a n в формулу будемо підставляти a 10, А замість n - десятку. Повторю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.

залишилося визначити a 1 і a 10. Це легко обчислюється за формулою n-го члена, яка дана в умові завдання. Не знаєте, як це зробити? Відвідайте попередній урок, без цього - ніяк.

a 1\u003d 2 · 1 - 3,5 \u003d -1,5

a 10\u003d 2 · 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:

Ось і всі справи. Відповідь: 75.

Ще завдання на основі ДПА. Трохи складніше:

2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 \u003d 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.

Відразу пишемо формулу суми:

Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за його номером. Шукаємо простий підстановкою:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54,1

Залишилося підставити всі елементи в формулу суми арифметичної прогресії і порахувати відповідь:

Відповідь: 423.

До речі, якщо в формулу суми замість a n просто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:

Наведемо подібні, отримаємо нову формулу суми членів арифметичної прогресії:

Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких задачах ця формула здорово виручає, так ... Можна цю формулу запам'ятати. А можна в потрібний момент її просто вивести, як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена всяко треба пам'ятати.)

Тепер завдання у вигляді короткої шифровки):

3. Знайти суму всіх позитивних двозначних чисел, кратних трьом.

ВО як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі ... Як жити !?

Доведеться думати головою і витягувати з умови все елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двозначні числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, мабуть.) А останнє двозначне число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть ...

Кратні трьом ... Гм ... Це такі числа, які діляться на три без остачі, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться ... 12 ... ділиться! Так, дещо вимальовується. Уже можна записати ряд за умовою задачі:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звісно! Кожен член відрізняється від попереднього строго на трійку. Якщо до члена додати 2, або 4, скажімо, результат, тобто нове число, вже не поділиться без остачі на 3. До купи можна відразу і різниця арифметичної прогресії визначити: d \u003d 3. Стане в нагоді!)

Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:

А якою буде номер n останнього члена? Той, хто думає, що 99 - фатально помиляється ... Номери - вони завжди поспіль йдуть, а члени у нас - через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.

Тут два шляхи вирішення. Один шлях - для сверхтрудолюбівих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати пальчиком кількість членів.) Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто n \u003d 30.

Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:

Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови задачі все необхідне для розрахунку суми:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа в формулу і вважаємо:

Відповідь: 1665

Ще один тип популярних задачок:

4. Дана арифметична прогресія:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Знайти суму членів з двадцятого по тридцять четвертий.

Дивимося на формулу суми і ... засмучуємося.) Формула, нагадаю, вважає суму з першого члена. А в задачі потрібно вважати суму з двадцятого ... Чи не спрацює формула.

Можна, звичайно, розписати всю прогресію в ряд, так поскладати члени з 20 по 34. Але ... якось тупо і довго виходить, правда?)

Є більш елегантне рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена по дев'ятнадцятий. Друга частина - з двадцятого по тридцять чётвёртий. Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів перший частини S 1-19, Та складемо з сумою членів другої частини S 20-34, Отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Звідси видно, що знайти суму S 20-34 можна простим відніманням

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Обидві суми в правій частині вважаються з першого члена, тобто до них цілком застосовна стандартна формула суми. Приступаємо?

Витягуємо з умови задачі парметри прогресії:

d \u003d 1,5.

a 1= -21,5.

Для розрахунку сум перших 19 і перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й і 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як в завданні 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28

Залишається всього нічого. Від суми 34 членів відняти суму 19 членів:

S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262,5

Відповідь: 262,5

Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34), ми порахували то, що, здавалося б, не потрібно - S 1-19. А вже потім визначили і S 20-34, Відкинувши від повного результату непотрібне. Такий "фінт вухами" частенько рятує в злих військово-політичні завдання.)

У цьому уроці ми розглянули завдання, для вирішення яких достатньо розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.)

Практична порада:

При вирішенні будь-якої задачі на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві головні формули з цієї теми.

Формулу n-го члена:

Ці формули відразу підкажуть, що потрібно шукати, в якому напрямку думати, щоб вирішити задачу. Допомагає.

А тепер завдання для самостійного рішення.

5. Знайти суму всіх двозначних чисел, які не діляться без остачі на три.

Круто?) Підказка прихована в зауваженні до задачі 4. Ну і задачка 3 допоможе.

6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.

Незвично?) Це рекуррентная формула. Про неї можна прочитати в попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА частенько зустрічаються.

7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати коханій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити красиво, ні в чому собі не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а в кожний наступний день витрачати на 50 рублів більше, ніж в попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?

Складно?) Чи допоможе додаткова формула з завдання 2.

Відповіді (в безладді): 7, 3240, 6.

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.