โคไซน์ของ a คืออะไร? ไซน์และโคไซน์ในตรีโกณมิติคืออะไร? เรามาลองใช้สูตรเหล่านี้โดยฝึกหาจุดบนวงกลมกันดีกว่า

ครูเชื่อว่านักเรียนทุกคนควรจะสามารถคำนวณและรู้สูตรตรีโกณมิติได้ แต่ไม่ใช่ครูทุกคนที่อธิบายว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร ความหมายของพวกเขาคืออะไรพวกเขาใช้ที่ไหน? ทำไมเราถึงพูดถึงสามเหลี่ยม แต่ในตำราเรียนแสดงเป็นวงกลม? ลองเชื่อมโยงข้อเท็จจริงทั้งหมดเข้าด้วยกัน

โรงเรียนเรื่อง

การศึกษาวิชาตรีโกณมิติมักจะเริ่มต้นในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 7-8 ในเวลานี้ นักเรียนจะได้รับการอธิบายว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร และขอให้นักเรียนแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้ฟังก์ชันเหล่านี้ ต่อมาสูตรและนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้นปรากฏขึ้นซึ่งจำเป็นต้องแปลงพีชคณิต (สูตรมุมสองและครึ่ง ฟังก์ชันกำลัง) และงานเสร็จสิ้นด้วยวงกลมตรีโกณมิติ

อย่างไรก็ตาม ครูไม่สามารถอธิบายความหมายของแนวคิดที่ใช้และการบังคับใช้สูตรได้อย่างชัดเจนเสมอไป ดังนั้นผู้เรียนจึงมักไม่เห็นประเด็นในวิชานี้และข้อมูลที่จำได้ก็จะถูกลืมอย่างรวดเร็ว อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณอธิบายให้นักเรียนมัธยมปลายทราบ เช่น ความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันและการเคลื่อนที่แบบสั่น การเชื่อมต่อเชิงตรรกะจะถูกจดจำไปอีกหลายปี และเรื่องตลกเกี่ยวกับความไร้ประโยชน์ของวัตถุนั้นก็จะกลายเป็นเรื่องในอดีต

การใช้งาน

เพื่อความอยากรู้อยากเห็น เรามาดูฟิสิกส์สาขาต่างๆ กันดีกว่า คุณต้องการกำหนดระยะของกระสุนปืนหรือไม่? หรือคุณกำลังคำนวณแรงเสียดทานระหว่างวัตถุกับพื้นผิวบางอย่าง? แกว่งลูกตุ้มดูรังสีที่ผ่านกระจกคำนวณการเหนี่ยวนำ? แนวคิดตรีโกณมิติปรากฏในเกือบทุกสูตร แล้วไซน์และโคไซน์คืออะไร?

คำจำกัดความ

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวกัน ไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอนที่นี่ บางทีนักเรียนมักจะสับสนกับค่าที่เห็นในตารางตรีโกณมิติเพราะมันเกี่ยวข้องกับรากที่สอง ใช่การได้ทศนิยมนั้นไม่สะดวกนัก แต่ใครบอกว่าตัวเลขทั้งหมดในคณิตศาสตร์ต้องเท่ากัน?

จริงๆ แล้ว คุณสามารถหาคำใบ้ตลกๆ ได้ในหนังสือปัญหาตรีโกณมิติ คำตอบส่วนใหญ่จะเป็นเลขคู่ และในกรณีที่แย่ที่สุดจะมีรากของสองหรือสาม ข้อสรุปนั้นง่ายมาก: หากคำตอบของคุณกลายเป็นเศษส่วน "หลายเรื่อง" ให้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาอีกครั้งเพื่อหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการให้เหตุผล และคุณมักจะพบพวกเขา

สิ่งที่ต้องจำ

เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ ตรีโกณมิติมีข้อมูลที่ต้องเรียนรู้

ขั้นแรกคุณควรจำค่าตัวเลขสำหรับไซน์สามเหลี่ยมมุมฉาก โคไซน์ 0 และ 90 รวมถึง 30, 45 และ 60 องศา ตัวชี้วัดเหล่านี้พบได้ในปัญหาเก้าในสิบของโรงเรียน การดูคุณค่าเหล่านี้ในตำราเรียนจะทำให้คุณเสียเวลาไปมากและไม่มีที่ไหนเลยที่จะดูค่าเหล่านี้เลยในระหว่างการทดสอบหรือการสอบ

ต้องจำไว้ว่าค่าของทั้งสองฟังก์ชันต้องไม่เกินหนึ่ง หากพบค่านอกช่วง 0-1 ในการคำนวณ ให้หยุดและลองแก้ปัญหาอีกครั้ง

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์เท่ากับหนึ่ง หากคุณพบค่าใดค่าหนึ่งแล้ว ให้ใช้สูตรนี้เพื่อค้นหาค่าที่เหลือ

ทฤษฎีบท

มีสองทฤษฎีบทพื้นฐานในตรีโกณมิติพื้นฐาน: ไซน์และโคไซน์

ข้อแรกระบุว่าอัตราส่วนของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้ามจะเท่ากัน อย่างที่สองคือหากำลังสองของด้านใดก็ได้โดยการบวกกำลังสองของด้านที่เหลือทั้งสองแล้วลบผลคูณสองเท่าคูณด้วยโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง

ดังนั้น ถ้าเราแทนค่าของมุม 90 องศาลงในทฤษฎีบทโคไซน์ เราจะได้... ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตอนนี้ หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก คุณไม่ต้องกังวลอีกต่อไป - ทฤษฎีบททั้งสองที่กล่าวถึงจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก

เป้าหมายและวัตถุประสงค์

การเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติจะง่ายขึ้นมากเมื่อคุณตระหนักถึงข้อเท็จจริงง่ายๆ ข้อเดียว: การกระทำทั้งหมดที่คุณทำมุ่งเป้าไปที่การบรรลุเป้าหมายเดียว คุณสามารถหาพารามิเตอร์ใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมได้หากคุณทราบข้อมูลขั้นต่ำสุดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม ซึ่งอาจเป็นค่าของมุมหนึ่งมุมและความยาวของสองด้านหรือตัวอย่างเช่น สามด้าน

ในการระบุไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของมุมใด ๆ ข้อมูลเหล่านี้ก็เพียงพอแล้วและด้วยความช่วยเหลือเหล่านี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปได้อย่างง่ายดาย เกือบทุกครั้ง คำตอบต้องใช้ค่าใดค่าหนึ่งที่กล่าวถึง และสามารถพบได้โดยใช้สูตรเดียวกัน

ความไม่สอดคล้องกันในการเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติ

คำถามที่น่าสับสนประการหนึ่งที่นักเรียนต้องการหลีกเลี่ยงคือการค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดต่างๆ ในวิชาตรีโกณมิติ ดูเหมือนว่าสามเหลี่ยมจะใช้เพื่อศึกษาไซน์และโคไซน์ของมุม แต่ด้วยเหตุผลบางประการจึงมักพบสัญลักษณ์ในรูปวงกลม นอกจากนี้ยังมีกราฟคล้ายคลื่นที่ไม่สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์เรียกว่าคลื่นไซน์ ซึ่งไม่มีความคล้ายคลึงภายนอกกับวงกลมหรือสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ มุมจะถูกวัดเป็นองศาหรือเรเดียน และตัวเลข Pi ซึ่งเขียนง่ายๆ เป็น 3.14 (ไม่มีหน่วย) ด้วยเหตุผลบางประการปรากฏในสูตรซึ่งสอดคล้องกับ 180 องศา ทั้งหมดนี้เชื่อมโยงกันอย่างไร?

หน่วย

ทำไม Pi ถึงเป็น 3.14 กันแน่? คุณจำได้ไหมว่าความหมายนี้คืออะไร? นี่คือจำนวนรัศมีที่พอดีกับส่วนโค้งของครึ่งวงกลม ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือ 2 เซนติเมตร เส้นรอบวงจะเท่ากับ 3.14 * 2 หรือ 6.28

ประเด็นที่สอง: คุณอาจสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างคำว่า "เรเดียน" และ "รัศมี" ความจริงก็คือว่าหนึ่งเรเดียนเป็นตัวเลขเท่ากับมุมที่นำมาจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงส่วนโค้งหนึ่งรัศมียาว

ตอนนี้เราจะรวมความรู้ที่ได้รับและทำความเข้าใจว่าเหตุใดจึงเขียน "Pi ครึ่งหนึ่ง" ที่ด้านบนของแกนพิกัดในตรีโกณมิติและ "Pi" เขียนทางด้านซ้าย นี่เป็นค่าเชิงมุมที่วัดเป็นเรเดียน เนื่องจากครึ่งวงกลมมี 180 องศา หรือ 3.14 เรเดียน และเมื่อมีองศา ที่นั่นก็มีไซน์และโคไซน์ เป็นเรื่องง่ายที่จะวาดรูปสามเหลี่ยมจากจุดที่ต้องการ โดยแยกส่วนต่างๆ ไว้ตรงกลางและไปยังแกนพิกัด

มาดูอนาคตกันดีกว่า

ตรีโกณมิติที่ศึกษาในโรงเรียน เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดเส้นตรง โดยที่ไม่ว่าจะฟังดูแปลกแค่ไหน เส้นตรงก็คือเส้นตรง

แต่ยังมีวิธีที่ซับซ้อนกว่าในการทำงานกับอวกาศ: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่นี่จะมากกว่า 180 องศา และเส้นตรงในมุมมองของเราจะดูเหมือนส่วนโค้งจริง

มาเปลี่ยนจากคำพูดไปสู่การกระทำกันดีกว่า! หยิบแอปเปิ้ล ใช้มีดตัดสามครั้งเพื่อว่าเมื่อมองจากด้านบนคุณจะได้รูปสามเหลี่ยม นำผลแอปเปิ้ลออกมาแล้วดูที่ "ซี่โครง" ที่ปลายเปลือก พวกเขาไม่ตรงเลย ผลไม้ในมือของคุณสามารถเรียกได้ว่ากลมตามอัตภาพ แต่ตอนนี้ลองนึกดูว่าสูตรจะต้องซับซ้อนแค่ไหนซึ่งคุณสามารถหาพื้นที่ของชิ้นที่ตัดได้ แต่ผู้เชี่ยวชาญบางคนแก้ปัญหาดังกล่าวทุกวัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติในชีวิต

คุณสังเกตไหมว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดสำหรับเครื่องบินจากจุด A ไปยังจุด B บนพื้นผิวโลกของเรานั้นมีรูปร่างส่วนโค้งที่เด่นชัด เหตุผลง่ายๆ ก็คือ โลกมีลักษณะทรงกลม ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถคำนวณได้มากนักโดยใช้รูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรที่ซับซ้อนมากขึ้น

คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีไซน์/โคไซน์ของมุมแหลมในคำถามใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับอวกาศ ที่น่าสนใจคือมีปัจจัยมากมายมารวมกันที่นี่: ต้องใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการคำนวณการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ตามแนววงกลม วงรี และวิถีการเคลื่อนที่ต่างๆ ที่มีรูปร่างที่ซับซ้อนมากขึ้น กระบวนการปล่อยจรวด ดาวเทียม กระสวยอวกาศ การปลดยานวิจัย สังเกตดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกลและศึกษากาแลคซีที่มนุษย์ไม่สามารถไปถึงได้ในอนาคตอันใกล้

โดยทั่วไปแล้ว กิจกรรมสำหรับผู้ที่รู้ตรีโกณมิตินั้นกว้างมากและดูเหมือนจะขยายออกไปเมื่อเวลาผ่านไปเท่านั้น

บทสรุป

วันนี้เราได้เรียนรู้หรืออย่างน้อยก็ย้ำว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่คุณไม่จำเป็นต้องกลัว แค่ต้องการมัน แล้วคุณจะเข้าใจความหมายของมัน โปรดจำไว้ว่าตรีโกณมิติไม่ใช่เป้าหมาย แต่เป็นเพียงเครื่องมือที่สามารถใช้เพื่อสนองความต้องการที่แท้จริงของมนุษย์ เช่น สร้างบ้าน สร้างความมั่นใจในความปลอดภัยในการจราจร หรือแม้แต่สำรวจจักรวาลอันกว้างใหญ่

อันที่จริง วิทยาศาสตร์อาจดูน่าเบื่อ แต่ทันทีที่คุณค้นพบวิธีที่จะบรรลุเป้าหมายและการตระหนักรู้ในตนเอง กระบวนการเรียนรู้จะน่าสนใจ และแรงจูงใจส่วนตัวของคุณก็จะเพิ่มขึ้น

สำหรับการบ้านลองหาวิธีใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติในพื้นที่ที่คุณสนใจเป็นการส่วนตัว ลองนึกภาพใช้จินตนาการของคุณแล้วคุณจะพบว่าความรู้ใหม่ ๆ จะเป็นประโยชน์กับคุณในอนาคต นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังมีประโยชน์สำหรับพัฒนาการคิดโดยทั่วไปอีกด้วย

โคไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้จักกันดี ซึ่งเป็นหนึ่งในฟังก์ชันหลักของตรีโกณมิติเช่นกัน โคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดของรูปสามเหลี่ยมต่อด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม บ่อยครั้งที่คำจำกัดความของโคไซน์สัมพันธ์กับรูปสามเหลี่ยมประเภทสี่เหลี่ยม แต่มันก็เกิดขึ้นด้วยว่ามุมที่จำเป็นในการคำนวณโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมนั้นไม่อยู่ในรูปสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ แล้วต้องทำอย่างไร? จะหาโคไซน์ของมุมของสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

หากคุณต้องการคำนวณโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยม ทุกอย่างก็ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องจำนิยามของโคไซน์ ซึ่งมีคำตอบสำหรับปัญหานี้ คุณเพียงแค่ต้องหาความสัมพันธ์แบบเดียวกันระหว่างด้านประชิด เช่นเดียวกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม จริงๆ แล้ว การแสดงโคไซน์ของมุมตรงนี้ไม่ใช่เรื่องยาก สูตรดังต่อไปนี้: - cosα = a/c โดยที่ “a” คือความยาวของขา และด้าน “c” ตามลำดับ คือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างเช่น สามารถหาโคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากได้โดยใช้สูตรนี้

หากคุณสนใจว่าโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับเท่าใด ทฤษฎีบทโคไซน์จะช่วยคุณได้ ซึ่งควรใช้ในกรณีเช่นนี้ ทฤษฎีบทโคไซน์ระบุว่ากำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมเป็นนิรนัยเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมเดียวกัน แต่ต้องไม่คูณผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น

1. หากคุณต้องการค้นหาโคไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab)
2. หากคุณต้องการค้นหาโคไซน์ของมุมป้านในรูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab) การกำหนดในสูตร - a และ b - คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกับมุมที่ต้องการ c - คือความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่ต้องการ

โคไซน์ของมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์ โดยระบุว่าทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน เมื่อใช้ทฤษฎีบทของไซน์ คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม โดยมีข้อมูลเพียงประมาณสองด้านและมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านหนึ่ง หรือจากสองมุมและด้านเดียว ลองพิจารณาสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง เงื่อนไขปัญหา: a=1; ข=2; ค=3. มุมที่อยู่ตรงข้ามด้าน “A” เขียนแทนด้วย α ตามสูตร เราได้: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. คำตอบ: 1.

หากจำเป็นต้องคำนวณโคไซน์ของมุมไม่ใช่ในรูปสามเหลี่ยม แต่ในรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ทุกอย่างจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ต้องกำหนดขนาดของมุมเป็นเรเดียนหรือองศาก่อน จากนั้นจึงคำนวณโคไซน์จากค่านี้เท่านั้น โคไซน์ตามค่าตัวเลขถูกกำหนดโดยใช้ตาราง Bradis เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม หรือแอปพลิเคชันทางคณิตศาสตร์พิเศษ

การใช้งานทางคณิตศาสตร์พิเศษอาจมีฟังก์ชันต่างๆ เช่น การคำนวณโคไซน์ของมุมในรูปใดรูปหนึ่งโดยอัตโนมัติ ความสวยงามของแอปพลิเคชั่นดังกล่าวคือให้คำตอบที่ถูกต้องและผู้ใช้ไม่ต้องเสียเวลาในการแก้ปัญหาที่ค่อนข้างซับซ้อนในบางครั้ง ในทางกลับกัน เมื่อใช้แอปพลิเคชันเฉพาะในการแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง ทักษะทั้งหมดในการทำงานกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในการค้นหาโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยม รวมถึงตัวเลขอื่นๆ ที่กำหนดเองจะสูญหายไป

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้มาจากนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินและการวางแนวที่แม่นยำโดยดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลม ในขณะที่ในหลักสูตรของโรงเรียน การคำนวณเหล่านี้จะศึกษาอัตราส่วนของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมระนาบ

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในคริสต์สหัสวรรษที่ 1 ความรู้แพร่กระจายจากตะวันออกโบราณไปยังกรีซ แต่การค้นพบตรีโกณมิติที่สำคัญคือข้อดีของคนในศาสนาอิสลามแห่งอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถานอัล-มาราซวีได้แนะนำฟังก์ชันต่างๆ เช่น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ และรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แนวคิดเรื่องไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ตรีโกณมิติได้รับความสนใจอย่างมากในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรในการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เด็กนักเรียนเป็นที่รู้จักกันดีในสูตร: "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ให้ไว้โดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหน้าจั่ว

ความสัมพันธ์ไซน์ โคไซน์ และความสัมพันธ์อื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมแหลมและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ให้เรานำเสนอสูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราจินตนาการว่าขา a เป็นผลคูณของบาป A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

วงกลมตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในกรณีนี้ วงกลมแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นจากรูป แต่ละฟังก์ชันจะใช้ค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" หาก α อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 ของวงกลม นั่นคือ มันอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 180° สำหรับ α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α สามารถเป็นค่าลบได้เท่านั้น

เรามาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณกัน

ค่า α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยการสุ่ม คำว่า π ในตารางเป็นชื่อเรเดียน แรดคือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมสอดคล้องกับรัศมี ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างการพึ่งพาสากลเมื่อคำนวณเป็นเรเดียนความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

ดังนั้น จึงไม่ยากที่จะเดาว่า 2π เป็นวงกลมที่สมบูรณ์หรือ 360°

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์:

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญลักษณ์ของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจที่สัมพันธ์กับแกน OX ถ้าสัญญาณตรงกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ ไม่เช่นนั้นจะเป็นเลขคี่

การแนะนำเรเดียนและการแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำเสนอรูปแบบต่อไปนี้:

มันง่ายมากที่จะตรวจสอบว่าสูตรถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์คือ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยการปรึกษาตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

คุณสมบัติของแทนเจนต์ซอยด์และโคแทนเจนต์ซอยด์

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg เป็นส่วนกลับของกันและกัน

1. Y = สีแทน x
2. แทนเจนต์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
3. คาบบวกที่น้อยที่สุดของแทนเจนตอยด์คือ π
4. Tg (- x) = - tg x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
6. ฟังก์ชั่นกำลังเพิ่มขึ้น
7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x

พิจารณาภาพกราฟิกของโคแทนเจนตอยด์ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของโคแทนเจนตอยด์:

1. Y = เปล x
2. ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถใช้ค่าของเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. โคแทนเจนตอยด์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
4. คาบบวกที่น้อยที่สุดของโคแทนเจนตอยด์คือ π
5. Ctg (- x) = - ctg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. CTG x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
7. ฟังก์ชันกำลังลดลง
8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
9. Ctg x ‹ 0, สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x ถูกต้อง

เรียกว่าอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ไซนัสของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรียกว่าอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

แทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดเรียกว่า แทนเจนต์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

tg \alpha = \frac(a)(b)

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้ามเรียกว่า โคแทนเจนต์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

ไซน์ของมุมใดก็ได้

พิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมุม \alpha สอดคล้องกันเรียกว่า ไซน์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

\บาป \อัลฟา=y

โคไซน์ของมุมใดก็ได้

คำว่า abscissa ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมุม \alpha สอดคล้องกันเรียกว่า โคไซน์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

\cos \อัลฟา=x

แทนเจนต์ของมุมใดก็ได้

อัตราส่วนของไซน์ของมุมการหมุนตามอำเภอใจ \อัลฟา ต่อโคไซน์เรียกว่า แทนเจนต์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

ตาล \อัลฟา = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

โคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้

อัตราส่วนของโคไซน์ของมุมการหมุนตามอำเภอใจ \อัลฟา ต่อไซน์ของมันเรียกว่า โคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

CTG\อัลฟา =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

ตัวอย่างการหามุมตามอำเภอใจ

ถ้า \alpha คือมุม AOM โดยที่ M คือจุดของวงกลมหน่วย ดังนั้น

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

ตัวอย่างเช่น ถ้า \มุม AOM = -\frac(\pi)(4)ดังนั้น: พิกัดของจุด M เท่ากับ -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa เท่ากับ \frac(\sqrt(2))(2)และนั่นคือเหตุผล

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

ทีจี;

กะรัต \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

ตารางค่าไซน์ของโคไซน์ของแทนเจนต์ของโคแทนเจนต์

ค่าของมุมหลักที่เกิดขึ้นบ่อยแสดงไว้ในตาราง:

ไซน์และโคไซน์เดิมทีเกิดขึ้นจากความจำเป็นในการคำนวณปริมาณในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สังเกตว่าถ้าการวัดองศาของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่เปลี่ยนแปลง อัตราส่วนภาพไม่ว่าด้านเหล่านี้จะเปลี่ยนไปเท่าใด ก็ยังคงเท่าเดิมเสมอ

นี่คือวิธีการนำเสนอแนวคิดของไซน์และโคไซน์ ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์คืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

แต่โคไซน์และไซน์สามารถใช้ได้มากกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ในการค้นหาค่าของมุมป้านหรือมุมแหลมหรือด้านข้างของสามเหลี่ยมใดๆ ก็เพียงพอที่จะใช้ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

ทฤษฎีบทโคไซน์ค่อนข้างง่าย: “กำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านลบด้วยสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้นและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน”

ทฤษฎีบทไซน์มีการตีความสองแบบ: เล็กและขยาย ผู้เยาว์กล่าวว่า “ในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม” ทฤษฎีบทนี้มักถูกขยายออกไปเนื่องจากสมบัติของวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยม: "ในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม และอัตราส่วนของพวกมันจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ"

อนุพันธ์

อนุพันธ์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงได้เร็วเพียงใดเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ อนุพันธ์ถูกนำมาใช้ในเรขาคณิต และในสาขาวิชาทางเทคนิคจำนวนหนึ่ง

เมื่อแก้ปัญหาคุณจำเป็นต้องทราบค่าตารางของอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์ อนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และโคไซน์คือไซน์ แต่มีเครื่องหมายลบ

การประยุกต์ทางคณิตศาสตร์

ไซน์และโคไซน์มักใช้ในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉากและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพวกมัน

ความสะดวกสบายของไซน์และโคไซน์ก็สะท้อนให้เห็นในเทคโนโลยีเช่นกัน มุมและด้านประเมินได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์และไซน์ โดยแบ่งรูปร่างและวัตถุที่ซับซ้อนออกเป็นสามเหลี่ยม "เรียบง่าย" วิศวกรที่มักจะจัดการกับการคำนวณอัตราส่วนภาพและการวัดระดับจะใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในการคำนวณโคไซน์และไซน์ของมุมที่ไม่ใช่ตาราง

จากนั้นตาราง Bradis ก็เข้ามาช่วยเหลือโดยมีค่าไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในมุมที่ต่างกันหลายพันค่า ในสมัยโซเวียต ครูบางคนบังคับให้นักเรียนจำหน้าตาราง Bradis

เรเดียนคือค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมีหรือ 57.295779513° องศา

องศา (ในเรขาคณิต) คือ 1/360 ของวงกลมหรือ 1/90 ของมุมฉาก

π = 3.141592653589793238462… (ค่าประมาณของ Pi)