ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น ในการทดลองสุ่ม โยนเหรียญสมมาตร 2 ครั้ง ในการทดลองสุ่ม โยนเหรียญสมมาตร 4 ครั้ง

ในปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นที่นำเสนอในการสอบ Unified State ครั้งที่ 4 นอกเหนือจากนั้นยังมีปัญหาในการโยนเหรียญและโยนลูกเต๋าอีกด้วย เราจะดูพวกเขาวันนี้

ปัญหาการโยนเหรียญ

ภารกิจที่ 1เหรียญสมมาตรถูกโยนสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏเพียงครั้งเดียว

ในปัญหาดังกล่าว จะสะดวกในการเขียนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยเขียนโดยใช้ตัวอักษร P (ก้อย) และ O (หัว) ดังนั้น ผลลัพธ์ของ OP หมายความว่าในการโยนครั้งแรกมันจะได้หัว และในการโยนครั้งที่สองมันก็ก้อย ในปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 4 แบบ ได้แก่ RR, RO, OR, OO เหตุการณ์ “หางจะปรากฏเพียงครั้งเดียว” ได้รับการสนับสนุนจาก 2 ผลลัพธ์: RO และ OP ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

คำตอบ: 0.5

ภารกิจที่ 2เหรียญสมมาตรถูกโยน 3 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกหัวสองครั้งพอดี

มีทั้งหมด 8 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO เหตุการณ์ “หัวจะปรากฏสองครั้ง” ได้รับการสนับสนุนจาก 3 ผลลัพธ์: ROO, ORO, OOR ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

ตอบ: 0.375

ภารกิจที่ 3ก่อนเริ่มการแข่งขันฟุตบอล ผู้ตัดสินจะโยนเหรียญเพื่อตัดสินว่าทีมใดจะเริ่มต้นด้วยลูกบอล ทีมเอเมอรัลด์ลงเล่นสามแมตช์กับทีมที่แตกต่างกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในเกมเหล่านี้ “Emerald” จะชนะล็อตเดียวอย่างแน่นอน

งานนี้คล้ายกับงานก่อนหน้า ให้แต่ละครั้งที่หัวลงหมายถึงการชนะล็อตด้วย “มรกต” (สมมติฐานนี้ไม่ส่งผลต่อการคำนวณความน่าจะเป็น) ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 8 แบบ: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO เหตุการณ์ “ก้อยจะปรากฏเพียงครั้งเดียว” ได้รับการสนับสนุนจาก 3 ผลลัพธ์: ROO, ORO, OOR ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

ตอบ: 0.375

ปัญหาที่ 4. เหรียญสมมาตรถูกโยนสามครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของ ROO จะเกิดขึ้น (ครั้งแรกที่ตกหัว ครั้งที่สองและสามที่ตกหัว)

เช่นเดียวกับงานก่อนหน้านี้ มี 8 ผลลัพธ์: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ROO ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ

ตอบ: 0.125

ปัญหาการทอยลูกเต๋า

ภารกิจที่ 5ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง มีผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบกี่ข้อที่สนับสนุนเหตุการณ์ "ผลรวมของคะแนนคือ 8"

ปัญหาที่ 6. ลูกเต๋าสองลูกถูกโยนพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมจะเป็น 4 คะแนน ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อย

โดยทั่วไปแล้ว หากทอยลูกเต๋า ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่าเทียมกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันหากทอยลูกเต๋าตัวเดียวกันหลายครั้งติดต่อกัน

เหตุการณ์ “จำนวนทั้งหมดคือ 4” ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์ต่อไปนี้: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1 หมายเลขของพวกเขาคือ 3 ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ

ในการคำนวณค่าประมาณของเศษส่วน การใช้การหารมุมจะสะดวก ดังนั้น ประมาณเท่ากับ 0.083... โดยปัดเศษเป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุดเราได้ 0.08

คำตอบ: 0.08

ปัญหาที่ 7. ลูกเต๋าสามลูกถูกโยนพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมจะเป็น 5 คะแนน ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อย

ผลลัพธ์จะถือเป็นตัวเลขสามตัว: แต้มที่ทอยบนลูกเต๋าตัวแรก ตัวที่สอง และตัวที่สาม ล้วนมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นผลดีสำหรับเหตุการณ์ "รวม 5": 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1 จำนวนของพวกเขาคือ 6 ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ ในการคำนวณค่าประมาณของเศษส่วน การใช้การหารมุมจะสะดวก ประมาณเราได้ 0.027... เมื่อปัดเศษเป็นร้อยจะได้ 0.03 ที่มา “การเตรียมสอบ Unified State” คณิตศาสตร์. ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เรียบเรียงโดย F.F. Lysenko, S.Yu. คูลาบูโควา

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น มีปัญหากลุ่มหนึ่งซึ่งเพียงพอที่จะทราบคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นและนำเสนอสถานการณ์ที่เสนอด้วยสายตา ปัญหาดังกล่าวรวมถึงปัญหาการโยนเหรียญและปัญหาการทอยลูกเต๋าเป็นส่วนใหญ่ ให้เรานึกถึงคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A (ความเป็นไปได้เชิงวัตถุประสงค์ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในรูปตัวเลข) เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์นี้ ต่อจำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน: P(A)=ม/n, ที่ไหน:

• m คือจำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เอื้อต่อการเกิดเหตุการณ์ A
• n คือจำนวนรวมของผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สะดวกในการกำหนดจำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้และจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจในปัญหาที่กำลังพิจารณา โดยการแจกแจงตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ชุดค่าผสม) และการนับโดยตรง

จากตาราง เราจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=4 ผลลัพธ์ที่ดีของเหตุการณ์ A = (หัวปรากฏ 1 ครั้ง) สอดคล้องกับตัวเลือกหมายเลข 2 และหมายเลข 3 ของการทดสอบ มีสองตัวเลือกดังกล่าว m = 2
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=2/4=0.5

ปัญหาที่ 2 . ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่คุณจะไม่ได้หัวเลย

สารละลาย . เนื่องจากเหรียญถูกโยนสองครั้ง เช่นเดียวกับในโจทย์ที่ 1 จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (หัวจะไม่ปรากฏแม้แต่ครั้งเดียว) สอดคล้องกับตัวเลือกหมายเลข 4 ของการทดสอบ (ดูตารางในปัญหาที่ 1) มีทางเลือกเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ m=1
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=1/4=0.25

ปัญหา 3 . ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสามครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏ 2 ครั้งพอดี

สารละลาย . เรานำเสนอตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับการโยนเหรียญสามครั้ง (การผสมผสานหัวและก้อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด) ในรูปแบบของตาราง:

จากตาราง เราจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=8 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (หัวปรากฏ 2 ครั้ง) สอดคล้องกับตัวเลือกหมายเลข 5, 6 และ 7 ของการทดสอบ มีสามตัวเลือกดังกล่าว ซึ่งหมายความว่า m=3
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=3/8=0.375

ปัญหาที่ 4 . ในการทดลองสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสี่ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 3 ครั้งพอดี

สารละลาย . เรานำเสนอตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับการโยนเหรียญสี่ครั้ง (การผสมผสานหัวและก้อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด) ในรูปแบบของตาราง:

จากตาราง เราจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=16 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (หัวจะปรากฏ 3 ครั้ง) สอดคล้องกับตัวเลือกหมายเลข 12, 13, 14 และ 15 ของการทดสอบ ซึ่งหมายถึง m = 4
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=4/16=0.25

การกำหนดความน่าจะเป็นในปัญหาลูกเต๋า

ปัญหาที่ 5 . กำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อทอยลูกเต๋า (ลูกเต๋ายุติธรรม) คุณจะได้แต้มมากกว่า 3 แต้ม

สารละลาย . เมื่อโยนลูกเต๋า (ลูกเต๋าธรรมดา) ใบหน้าทั้งหกหน้าของมันอาจหลุดออกมาได้ เช่น เหตุการณ์เบื้องต้นใด ๆ เกิดขึ้น - การสูญเสีย 1 ถึง 6 จุด (คะแนน) ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6
เหตุการณ์ A = (ทอยได้มากกว่า 3 แต้ม) หมายความว่า ทอยได้ 4, 5 หรือ 6 แต้ม (แต้ม) ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือ m=3
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=3/6=0.5

ปัญหาที่ 6 . กำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อทอยลูกเต๋าจะได้แต้มไม่เกิน 4 ปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด

สารละลาย . เมื่อขว้างลูกเต๋า ใบหน้าทั้งหกหน้าของมันอาจหลุดออกมาได้ เช่น เหตุการณ์เบื้องต้นใด ๆ เกิดขึ้น - การสูญเสีย 1 ถึง 6 จุด (คะแนน) ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6
เหตุการณ์ A = (ทอยได้ไม่เกิน 4 แต้ม) หมายความว่า ทอยได้ 4, 3, 2 หรือ 1 แต้ม (แต้ม) ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือ m=4
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=4/6=0.6666…หยาบคาย0.667

ปัญหาที่ 7 . ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนที่ทอยได้น้อยกว่า 4 ทั้งสองครั้ง

สารละลาย . เนื่องจากลูกเต๋า (ลูกเต๋า) ถูกโยนสองครั้ง เราจะให้เหตุผลดังนี้ ถ้าลูกเต๋าตัวแรกแสดงจุดหนึ่ง ดังนั้นลูกเต๋าที่สองจะได้ 1, 2, 3, 4, 5, 6 เราได้คู่ (1; 1 ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) และอื่นๆ ในแต่ละใบหน้า นำเสนอทุกกรณีในรูปแบบของตาราง 6 แถวและ 6 คอลัมน์:

เราคำนวณผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (ทั้งสองครั้งที่ตัวเลขน้อยกว่า 4) (เน้นด้วยตัวหนา) แล้วเราจะได้ m=9
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=9/36=0.25

ปัญหาที่ 8 . ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่มากกว่าจากตัวเลขสองตัวที่จับมาคือ 5 ปัดเศษคำตอบของคุณให้เป็นหลักพันที่ใกล้ที่สุด

สารละลาย . เรานำเสนอผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทอยลูกเต๋าสองลูกในตาราง:

จากตาราง เราจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6*6=36
เราคำนวณผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจของเหตุการณ์ A = (ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดจากตัวเลขสองตัวที่จับได้คือ 5) (โดยเน้นด้วยตัวหนา) แล้วได้ m=8
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=8/36=0.2222…หยด0.222

ปัญหาที่ 9 . ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ทอยเลขน้อยกว่า 4 อย่างน้อยหนึ่งครั้ง

สารละลาย . เรานำเสนอผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทอยลูกเต๋าสองลูกในตาราง:

จากตาราง เราจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6*6=36
วลี “อย่างน้อยหนึ่งครั้งมีตัวเลขน้อยกว่า 4 ขึ้นมา” หมายถึง “ตัวเลขที่น้อยกว่า 4 เกิดขึ้นครั้งเดียวหรือสองครั้ง” จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่ดีของเหตุการณ์ A = (อย่างน้อยหนึ่งครั้งก็มีตัวเลขน้อยกว่า 4 ขึ้นมา ) (เน้นด้วยตัวหนา) m=27
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(A)=m/n=27/36=0.75

เงื่อนไข

ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่สิ่งเดียวกันจะออกมาเป็นครั้งที่สองเหมือนกับครั้งแรก

สารละลาย

1. เราจะแก้ไขปัญหานี้โดยใช้สูตร:

โดยที่ P(A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, m คือจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับเหตุการณ์นี้, n คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

1. ลองใช้ทฤษฎีนี้กับปัญหาของเรา:

A – เหตุการณ์ที่สิ่งเดียวกันเกิดขึ้นเป็นครั้งที่สองเหมือนครั้งแรก

P(A) คือความน่าจะเป็นที่สิ่งเดียวกันจะเกิดขึ้นเป็นครั้งที่สองเหมือนกับครั้งแรก

1. ลองนิยาม m และ n:

m คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นี้ กล่าวคือ จำนวนผลลัพธ์ที่สิ่งเดียวกันเกิดขึ้นเป็นครั้งที่สองกับครั้งแรก ในการทดลองนั้น เหรียญจะถูกโยนสองครั้ง ซึ่งมี 2 ด้าน คือ ก้อย (P) และหัว (O) เราต้องการสิ่งเดียวกันที่จะเกิดขึ้นเป็นครั้งที่สองเป็นครั้งแรกและนี่เป็นไปได้เมื่อมีชุดค่าผสมต่อไปนี้เกิดขึ้น: OO หรือ PP นั่นคือปรากฎว่า

m = 2 เนื่องจากมี 2 ตัวเลือกที่เป็นไปได้ เมื่อสิ่งเดียวกันเกิดขึ้นเป็นครั้งที่สองเหมือนกับครั้งแรก

n คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด นั่นคือ เพื่อกำหนด n เราจำเป็นต้องค้นหาจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อโยนเหรียญสองครั้ง เมื่อโยนเหรียญครั้งแรกสามารถขึ้นมาได้ทั้งก้อยหรือหัว กล่าวคือ มีให้เลือก 2 แบบ เมื่อโยนเหรียญเป็นครั้งที่สอง จะมีตัวเลือกเดียวกันทุกประการ ปรากฎว่า

การกำหนดปัญหา:ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หัว (ก้อย) จะไม่ปรากฏแม้แต่ครั้งเดียว (จะปรากฏทุกประการ/อย่างน้อย 1, 2 ครั้ง)

ปัญหานี้เป็นส่วนหนึ่งของการสอบ Unified State ในคณิตศาสตร์ระดับพื้นฐานสำหรับเกรด 11 ภายใต้หมายเลข 10 (คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น)

เรามาดูกันว่าปัญหาดังกล่าวจะได้รับการแก้ไขโดยใช้ตัวอย่างอย่างไร

ตัวอย่างงาน 1:

ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะไม่ขึ้นหัวแม้แต่ครั้งเดียว

OO หรือ RO RR

มีทั้งหมด 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดที่ไม่มีนกอินทรีตัวเดียวเท่านั้น มีชุดค่าผสมดังกล่าว (PP) เพียงชุดเดียวเท่านั้น

พี = 1/4 = 0.25

คำตอบ: 0.25

ตัวอย่างงาน 2:

ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งพอดี

ลองพิจารณาการผสมผสานที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได้หากโยนเหรียญสองครั้ง เพื่อความสะดวกเราจะแสดงหัวด้วยตัวอักษร O และก้อยด้วยตัวอักษร P:

OO หรือ RO RR

มีทั้งหมด 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดที่มีหัวปรากฏขึ้น 2 ครั้งเท่านั้น มีชุดค่าผสมดังกล่าวเพียงชุดเดียว (OO)

พี = 1/4 = 0.25

คำตอบ: 0.25

งานตัวอย่าง 3:

ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่หัวจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว

ลองพิจารณาการผสมผสานที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได้หากโยนเหรียญสองครั้ง เพื่อความสะดวกเราจะแสดงหัวด้วยตัวอักษร O และก้อยด้วยตัวอักษร P:

OO หรือ RO RR

มีทั้งหมด 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดที่มีหัวขึ้นมา 1 ครั้งเท่านั้น มีเพียงสองชุดค่าผสมดังกล่าว (OR และ RO)

คำตอบ: 0.5

ตัวอย่างงาน 4:

ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ลองพิจารณาการผสมผสานที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได้หากโยนเหรียญสองครั้ง เพื่อความสะดวกเราจะแสดงหัวด้วยตัวอักษร O และก้อยด้วยตัวอักษร P:

OO หรือ RO RR

มีทั้งหมด 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดที่มีหัวปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้ง มีเพียงสามชุดค่าผสมดังกล่าว (OO, OP และ RO)

พี = 3/4 = 0.75

ในการทดลองสุ่ม มีการโยนเหรียญสมมาตร...

เป็นคำนำ.
ทุกคนรู้ดีว่าเหรียญมีสองด้าน - หัวและก้อย
นักเล่นเหรียญเชื่อว่าเหรียญมีสามด้าน - ด้านตรงข้าม ด้านกลับ และด้านขอบ
ทั้งในบรรดาเหรียญเหล่านั้นและเหรียญอื่นๆ มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าเหรียญสมมาตรคืออะไร แต่ผู้ที่เตรียมสอบ Unified State ก็รู้เรื่องนี้ (ก็หรือควรรู้ :)

โดยทั่วไปบทความนี้จะพูดถึงเหรียญที่ผิดปกติซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับวิชาว่าด้วยเหรียญ แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นเหรียญที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในหมู่เด็กนักเรียน

ดังนั้น.
เหรียญสมมาตร- นี่คือเหรียญในอุดมคติทางคณิตศาสตร์ในจินตนาการที่ไม่มีขนาด น้ำหนัก เส้นผ่านศูนย์กลาง ฯลฯ ด้วยเหตุนี้ เหรียญดังกล่าวจึงไม่มีขอบ กล่าวคือ จริงๆ แล้วมีเพียงสองด้านเท่านั้น คุณสมบัติหลักของเหรียญสมมาตรคือภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่หัวหรือก้อยจะปรากฏจะเท่ากันทุกประการ และพวกเขาก็มาพร้อมกับเหรียญสมมาตรสำหรับทำการทดลองทางความคิด
ปัญหาเหรียญสมมาตรที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือ “ในการทดลองสุ่ม เหรียญสมมาตรถูกโยนสองครั้ง (สามครั้ง สี่ครั้ง ฯลฯ) ปัญหาคือการกำหนดความน่าจะเป็นที่ฝ่ายหนึ่งจะตกถึงจำนวนครั้งที่กำหนด

การแก้ปัญหาด้วยเหรียญสมมาตร

เห็นได้ชัดว่าผลจากการโยน เหรียญจะตกลงที่หัวหรือก้อย จะกี่ครั้งก็ขึ้นอยู่กับว่าจะโยนกี่ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยคำนวณโดยการหารจำนวนผลลัพธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

โยนหนึ่งครั้ง

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ จะเป็นหัวหรือก้อย เหล่านั้น. เรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองแบบ หนึ่งในนั้นทำให้เราพอใจ - 1/2=50%

โยนสองครั้ง

ในสองครั้ง คุณจะได้รับ:
นกอินทรีสองตัว
สองหัว
หัวแล้วก็ก้อย
หางแล้วก็หัว
เหล่านั้น. มีเพียงสี่ตัวเลือกที่เป็นไปได้ ปัญหาที่มีมากกว่าหนึ่งม้วนจะแก้ไขได้ง่ายที่สุดโดยจัดทำตารางตัวเลือกที่เป็นไปได้ เพื่อความง่าย ให้เราแสดงหัวเป็น "0" และส่วนท้ายเป็น "1" จากนั้นตารางผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จะมีลักษณะดังนี้:
00
01
10
11
ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏขึ้นเพียงครั้งเดียว คุณเพียงแค่ต้องนับจำนวนตัวเลือกที่เหมาะสมในตาราง - เช่น เส้นเหล่านั้นที่นกอินทรีปรากฏครั้งหนึ่ง มีสองบรรทัดดังกล่าว ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหนึ่งในการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้งคือ 2/4 = 50%
ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏสองครั้งในการโยนสองครั้งคือ 1/4=25%

สามโรสก้า

มาสร้างตารางตัวเลือกกัน:
000
001
010
011
100
101
110
111
คนที่คุ้นเคยกับแคลคูลัสไบนารี่จะเข้าใจสิ่งที่เราเป็น :) ใช่ นี่คือเลขฐานสองตั้งแต่ "0" ถึง "7" ช่วยให้ไม่สับสนกับตัวเลือกต่างๆ ได้ง่ายขึ้น
มาแก้ไขปัญหาจากย่อหน้าก่อนหน้า - คำนวณความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏขึ้นหนึ่งครั้ง มีสามบรรทัดที่ "0" ปรากฏขึ้นหนึ่งครั้ง ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหนึ่งในการโยนเหรียญสมมาตรสามครั้งคือ 3/8 = 37.5%
ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏสองครั้งในการโยนสามครั้งคือ 3/8 = 37.5% กล่าวคือ เหมือนกันอย่างแน่นอน
ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏสามครั้งในการโยนสามครั้งคือ 1/8 = 12.5%

สี่ทุ่ม

มาสร้างตารางตัวเลือกกัน:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏครั้งเดียว มีเพียงสามบรรทัดเท่านั้นที่ "0" ปรากฏขึ้นหนึ่งครั้ง เช่นเดียวกับในกรณีที่โยนสามครั้ง แต่มีอยู่แล้วสิบหกตัวเลือก ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหนึ่งในการโยนเหรียญสมมาตรสี่ครั้งคือ 3/16 = 18.75%
ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏสองครั้งในการโยนสามครั้งคือ 6/8 = 75%
ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏสามครั้งในการโยนสามครั้งคือ 4/8 = 50%

ดังนั้นด้วยจำนวนการขว้างที่เพิ่มขึ้นหลักการของการแก้ปัญหาจึงไม่เปลี่ยนแปลงเลย - เฉพาะในความก้าวหน้าที่สอดคล้องกันเท่านั้นจำนวนตัวเลือกจะเพิ่มขึ้น