Vad är cosinus för a? Vad är sinus och cosinus i trigonometri? Tja, låt oss prova dessa formler genom att öva på att hitta punkter på en cirkel

Lärare tror att varje elev ska kunna utföra beräkningar och kunna trigonometriska formler, men inte alla lärare förklarar vad sinus och cosinus är. Vad är deras betydelse, var används de? Varför pratar vi om trianglar, men läroboken visar en cirkel? Låt oss försöka koppla ihop alla fakta.

Skolämne

Studiet av trigonometri börjar vanligtvis i årskurs 7-8 på gymnasiet. Vid denna tidpunkt får eleverna förklarat vad sinus och cosinus är och ombeds lösa geometriska problem med hjälp av dessa funktioner. Senare dyker det upp mer komplexa formler och uttryck som behöver transformeras algebraiskt (dubbel- och halvvinkelformler, potensfunktioner), och man arbetar med den trigonometriska cirkeln.

Men lärare kan inte alltid tydligt förklara innebörden av de använda begreppen och formlernas tillämpbarhet. Därför ser eleven ofta inte poängen med detta ämne, och den memorerade informationen glöms snabbt bort. Men när du väl förklarar för en gymnasieelev, till exempel, sambandet mellan en funktion och oscillerande rörelse, kommer det logiska sambandet att komma ihåg i många år, och skämt om ämnets värdelöshet kommer att bli ett minne blott.

Användande

För nyfikenhetens skull, låt oss titta på olika grenar av fysiken. Vill du bestämma räckvidden för en projektil? Eller beräknar du friktionskraften mellan ett föremål och en viss yta? Svänga pendeln, titta på strålarna som passerar genom glaset, beräkna induktionen? Trigonometriska begrepp förekommer i nästan vilken formel som helst. Så vad är sinus och cosinus?

Definitioner

En vinkels sinus är förhållandet mellan den motsatta sidan och hypotenusan, cosinus är förhållandet mellan den intilliggande sidan och samma hypotenusa. Det är absolut inget komplicerat här. Kanske är eleverna vanligtvis förvirrade av värdena de ser på trigonometritabellen eftersom det involverar kvadratrötter. Ja, att få decimaler från dem är inte särskilt bekvämt, men vem har sagt att alla tal i matematik måste vara lika?

Faktum är att du kan hitta en rolig ledtråd i trigonometriproblemböcker: de flesta svaren här är jämna och innehåller i värsta fall roten till två eller tre. Slutsatsen är enkel: om ditt svar visar sig vara en bråkdel av "flera berättelser", dubbelkolla lösningen för fel i beräkningar eller resonemang. Och du kommer med största sannolikhet att hitta dem.

Vad ska man komma ihåg

Som all vetenskap har trigonometri data som behöver läras.

Först bör du memorera de numeriska värdena för rätvinklig sinus, cosinus 0 och 90, samt 30, 45 och 60 grader. Dessa indikatorer finns i nio av tio skolproblem. Genom att titta på dessa värden i en lärobok kommer du att förlora mycket tid, och det kommer inte att finnas någonstans att titta på dem alls under ett test eller examen.

Man måste komma ihåg att värdet på båda funktionerna inte kan överstiga en. Om du någonstans i dina beräkningar får ett värde utanför intervallet 0-1, sluta och försök igen.

Summan av kvadraterna av sinus och cosinus är lika med ett. Om du redan har hittat ett av värdena, använd den här formeln för att hitta det återstående.

Satser

Det finns två grundläggande satser inom grundläggande trigonometri: sinus och cosinus.

Den första anger att förhållandet mellan varje sida av en triangel och sinus för den motsatta vinkeln är detsamma. Den andra är att kvadraten på vilken sida som helst kan erhållas genom att addera kvadraterna på de två återstående sidorna och subtrahera deras dubbla produkt multiplicerat med cosinus för vinkeln som ligger mellan dem.

Således, om vi ersätter värdet av en vinkel på 90 grader i cosinussatsen, får vi... Pythagoras sats. Nu, om du behöver beräkna arean av en figur som inte är en rätvinklig triangel, behöver du inte oroa dig längre - de två diskuterade satserna kommer avsevärt att förenkla lösningen av problemet.

Mål och syfte

Att lära sig trigonometri blir mycket lättare när du inser ett enkelt faktum: alla åtgärder du utför syftar till att uppnå bara ett mål. Alla parametrar för en triangel kan hittas om du känner till minsta möjliga information om den - det kan vara värdet på en vinkel och längden på två sidor eller till exempel tre sidor.

För att bestämma sinus, cosinus, tangent för vilken vinkel som helst, är dessa data tillräckliga, och med deras hjälp kan du enkelt beräkna figurens yta. Nästan alltid kräver svaret ett av de nämnda värdena, och de kan hittas med samma formler.

Inkonsekvenser i att lära sig trigonometri

En av de förvirrande frågorna som eleverna helst undviker är att upptäcka sambanden mellan olika begrepp inom trigonometri. Det verkar som om trianglar används för att studera vinklars sinus och cosinus, men av någon anledning finns symbolerna ofta i figuren med en cirkel. Dessutom finns det en helt obegriplig vågliknande graf som kallas sinusvåg, som inte har någon yttre likhet med vare sig en cirkel eller trianglar.

Dessutom mäts vinklar antingen i grader eller i radianer, och talet Pi, skrivet enkelt som 3,14 (utan enheter), förekommer av någon anledning i formlerna, motsvarande 180 grader. Hur hänger allt detta ihop?

Enheter

Varför är Pi exakt 3.14? Kommer du ihåg vad denna betydelse är? Detta är antalet radier som passar i en båge på en halv cirkel. Om cirkelns diameter är 2 centimeter blir omkretsen 3,14 * 2, eller 6,28.

Andra punkten: du kanske har märkt likheten mellan orden "radian" och "radie". Faktum är att en radian är numeriskt lika med vinkeln från cirkelns centrum till en båge som är en radie lång.

Nu ska vi kombinera den förvärvade kunskapen och förstå varför "Pi på mitten" skrivs ovanpå koordinataxeln i trigonometri och "Pi" skrivs till vänster. Detta är ett vinkelvärde mätt i radianer, eftersom en halvcirkel är 180 grader, eller 3,14 radianer. Och där det finns grader finns det sinus och cosinus. Det är lätt att rita en triangel från den önskade punkten och sätta segment åt sidan till mitten och till koordinataxeln.

Låt oss se in i framtiden

Trigonometri, studerad i skolan, handlar om ett rätlinjigt koordinatsystem, där, hur konstigt det än kan låta, en rät linje är en rät linje.

Men det finns också mer komplexa sätt att arbeta med rymden: summan av triangelns vinklar här kommer att vara mer än 180 grader, och den räta linjen kommer enligt vår uppfattning att se ut som en riktig båge.

Låt oss gå från ord till handling! Ta ett äpple. Gör tre snitt med en kniv så att du sett uppifrån får en triangel. Ta ut den resulterande äppelbiten och titta på "revbenen" där skalet slutar. De är inte alls raka. Frukten i dina händer kan konventionellt kallas rund, men föreställ dig nu hur komplexa formlerna måste vara med vilka du kan hitta området för det skurna stycket. Men vissa specialister löser sådana problem varje dag.

Trigonometriska funktioner i livet

Har du märkt att den kortaste vägen för ett flygplan från punkt A till punkt B på vår planets yta har en uttalad bågeform? Anledningen är enkel: jorden är sfärisk, vilket betyder att du inte kan beräkna mycket med trianglar - du måste använda mer komplexa formler.

Du kan inte klara dig utan sinus/cosinus för en spetsig vinkel i några frågor som rör rymden. Det är intressant att en hel del faktorer samlas här: trigonometriska funktioner krävs när man beräknar planeternas rörelse längs cirklar, ellipser och olika banor med mer komplexa former; processen att skjuta upp raketer, satelliter, skyttlar, lossa forskningsfordon; observera avlägsna stjärnor och studera galaxer som människor inte kommer att kunna nå inom en överskådlig framtid.

I allmänhet är aktivitetsfältet för en person som kan trigonometri mycket brett och kommer uppenbarligen bara att expandera med tiden.

Slutsats

Idag lärde vi oss, eller åtminstone upprepade, vad sinus och cosinus är. Det här är begrepp som du inte behöver vara rädd för - bara vill ha dem och du kommer att förstå deras innebörd. Kom ihåg att trigonometri inte är ett mål, utan bara ett verktyg som kan användas för att tillfredsställa verkliga mänskliga behov: bygga hus, säkerställa trafiksäkerhet, till och med utforska universums viddhet.

Visserligen kan vetenskapen i sig verka tråkig, men så fort du hittar ett sätt att uppnå dina egna mål och självförverkligande i den, kommer inlärningsprocessen att bli intressant och din personliga motivation kommer att öka.

För läxor, försök att hitta sätt att tillämpa trigonometriska funktioner i ett område av intresse som intresserar dig personligen. Föreställ dig, använd din fantasi, och då kommer du förmodligen att upptäcka att ny kunskap kommer att vara användbar för dig i framtiden. Och dessutom är matematik användbar för den allmänna utvecklingen av tänkande.

Cosinus är en välkänd trigonometrisk funktion, som också är en av trigonometrins huvudfunktioner. Cosinus för en vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan triangelns intilliggande sida och triangelns hypotenusa. Oftast är definitionen av cosinus associerad med en triangel av rektangulär typ. Men det händer också att vinkeln för vilken det är nödvändigt att beräkna cosinus i en rektangulär triangel inte ligger i denna mycket rektangulära triangel. Vad ska man göra då? Hur hittar man cosinus för en vinkel i en triangel?

Om du behöver beräkna cosinus för en vinkel i en rektangulär triangel, så är allt väldigt enkelt. Du behöver bara komma ihåg definitionen av cosinus, som innehåller lösningen på detta problem. Du behöver bara hitta samma förhållande mellan den intilliggande sidan, liksom triangelns hypotenusa. Det är faktiskt inte svårt att uttrycka vinkelns cosinus här. Formeln är följande: - cosα = a/c, här är "a" längden på benet och sidan "c" är längden på hypotenusan. Till exempel kan cosinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel hittas med denna formel.

Om du är intresserad av vad cosinus för en vinkel i en godtycklig triangel är lika med, så kommer cosinussatsen till undsättning, som bör användas i sådana fall. Cosinussatsen säger att kvadraten på en sida i en triangel är a priori lika med summan av kvadraterna på de återstående sidorna i samma triangel, men utan att dubbla produkten av dessa sidor med cosinus för vinkeln mellan dem.

1. Om du behöver hitta cosinus för en spetsig vinkel i en triangel, måste du använda följande formel: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Om du behöver hitta cosinus för en trubbig vinkel i en triangel, måste du använda följande formel: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Beteckningarna i formeln - a och b - är längderna på sidorna som ligger intill den önskade vinkeln, c - är längden på sidan som är motsatt den önskade vinkeln.

Cosinus för en vinkel kan också beräknas med sinussatsen. Den säger att alla sidor i en triangel är proportionella mot sinusen i de motstående vinklarna. Med hjälp av sinussatsen kan du beräkna de återstående elementen i en triangel, med information endast om två sidor och en vinkel som är motsatt en sida, eller från två vinklar och en sida. Tänk på detta med ett exempel. Problemförhållanden: a=1; b=2; c=3. Vinkeln som är motsatt sida "A" betecknas med α, då har vi, enligt formlerna: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Svar: 1.

Om cosinus för en vinkel behöver beräknas inte i en triangel, utan i någon annan godtycklig geometrisk figur, blir allt lite mer komplicerat. Vinkelns storlek måste först bestämmas i radianer eller grader, och först då måste cosinus beräknas från detta värde. Cosinus efter numeriskt värde bestäms med hjälp av Bradis-tabeller, tekniska miniräknare eller speciella matematiska tillämpningar.

Speciella matematiska tillämpningar kan ha funktioner som att automatiskt beräkna cosinus för vinklar i en viss figur. Det fina med sådana applikationer är att de ger rätt svar, och användaren slösar inte bort sin tid på att lösa ibland ganska komplexa problem. Å andra sidan, med konstant användning uteslutande av applikationer för att lösa problem, förloras alla färdigheter i att arbeta med att lösa matematiska problem med att hitta cosinus för vinklar i trianglar, såväl som andra godtyckliga figurer.

Trigonometri, som en vetenskap, har sitt ursprung i det antika östern. De första trigonometriska förhållandena härleddes av astronomer för att skapa en exakt kalender och orientering av stjärnorna. Dessa beräkningar relaterade till sfärisk trigonometri, medan de i skolkursen studerar förhållandet mellan sidor och vinklar i en plan triangel.

Trigonometri är en gren av matematiken som behandlar egenskaperna hos trigonometriska funktioner och sambanden mellan trianglars sidor och vinklar.

Under kulturens och vetenskapens storhetstid under det 1:a årtusendet e.Kr. spreds kunskapen från det antika östern till Grekland. Men de viktigaste upptäckterna av trigonometri är förtjänsten av männen i det arabiska kalifatet. I synnerhet introducerade den turkmenske forskaren al-Marazwi funktioner som tangent och cotangens och sammanställde de första värdetabellerna för sinus, tangenter och cotangens. Begreppen sinus och cosinus introducerades av indiska forskare. Trigonometri fick mycket uppmärksamhet i verk av så stora figurer från antiken som Euklid, Arkimedes och Eratosthenes.

Grundläggande kvantiteter av trigonometri

De grundläggande trigonometriska funktionerna i ett numeriskt argument är sinus, cosinus, tangens och cotangens. Var och en av dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Formlerna för att beräkna värdena för dessa kvantiteter är baserade på Pythagoras sats. Det är bättre känt för skolbarn i formuleringen: "Pythagoreiska byxor, lika i alla riktningar", eftersom beviset ges med exemplet med en likbent rätvinklig triangel.

Sinus, cosinus och andra relationer fastställer förhållandet mellan de spetsiga vinklarna och sidorna av en rätvinklig triangel. Låt oss presentera formler för att beräkna dessa storheter för vinkel A och spåra sambanden mellan trigonometriska funktioner:

Som du kan se är tg och ctg omvända funktioner. Om vi ​​föreställer oss ben a som produkten av sin A och hypotenusa c, och ben b som cos A * c, får vi följande formler för tangent och cotangens:

Trigonometrisk cirkel

Grafiskt kan förhållandet mellan de nämnda kvantiteterna representeras enligt följande:

Cirkeln, i detta fall, representerar alla möjliga värden för vinkeln α - från 0° till 360°. Som framgår av figuren tar varje funktion ett negativt eller positivt värde beroende på vinkeln. Till exempel kommer sin α att ha ett "+"-tecken om α tillhör den 1:a och 2:a fjärdedelen av cirkeln, det vill säga den ligger i intervallet från 0° till 180°. För α från 180° till 360° (III och IV fjärdedelar) kan sin α endast vara ett negativt värde.

Låt oss försöka bygga trigonometriska tabeller för specifika vinklar och ta reda på betydelsen av kvantiteterna.

Värden på α lika med 30°, 45°, 60°, 90°, 180° och så vidare kallas specialfall. Värdena på trigonometriska funktioner för dem beräknas och presenteras i form av speciella tabeller.

Dessa vinklar valdes inte slumpmässigt. Beteckningen π i tabellerna är för radianer. Rad är den vinkel med vilken längden på en cirkelbåge motsvarar dess radie. Detta värde infördes för att etablera ett universellt beroende; vid beräkning i radianer spelar den faktiska längden av radien i cm ingen roll.

Vinklar i tabeller för trigonometriska funktioner motsvarar radianvärden:

Så det är inte svårt att gissa att 2π är en hel cirkel eller 360°.

Egenskaper för trigonometriska funktioner: sinus och cosinus

För att överväga och jämföra de grundläggande egenskaperna hos sinus och cosinus, tangent och cotangens är det nödvändigt att rita deras funktioner. Detta kan göras i form av en kurva placerad i ett tvådimensionellt koordinatsystem.

Betrakta den jämförande tabellen över egenskaper för sinus och cosinus:

Att avgöra om en funktion är jämn eller inte är mycket enkelt. Det räcker att föreställa sig en trigonometrisk cirkel med tecknen på trigonometriska storheter och mentalt "vika" grafen i förhållande till OX-axeln. Om tecknen sammanfaller är funktionen jämn, annars är den udda.

Införandet av radianer och listan över de grundläggande egenskaperna hos sinus- och cosinusvågor gör att vi kan presentera följande mönster:

Det är väldigt lätt att verifiera att formeln är korrekt. Till exempel för x = π/2 är sinus 1, liksom cosinus för x = 0. Kontrollen kan göras genom att konsultera tabeller eller genom att spåra funktionskurvor för givna värden.

Egenskaper hos tangentsoider och kotangensoider

Graferna för tangent- och cotangensfunktionerna skiljer sig väsentligt från sinus- och cosinusfunktionerna. Värdena tg och ctg är ömsesidiga till varandra.

1. Y = brun x.
2. Tangenten tenderar till värdena för y vid x = π/2 + πk, men når dem aldrig.
3. Tangentoidens minsta positiva period är π.
4. Tg (- x) = - tg x, dvs funktionen är udda.
5. Tg x = 0, för x = πk.
6. Funktionen ökar.
7. Tg x › 0, för x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, för x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivat (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Betrakta den grafiska bilden av cotangentoiden nedan i texten.

Huvudegenskaper hos cotangentoider:

1. Y = spjälsäng x.
2. Till skillnad från sinus- och cosinusfunktionerna kan Y i tangentoiden ta på sig värdena för mängden av alla reella tal.
3. Cotangentoiden tenderar till värdena för y vid x = πk, men når dem aldrig.
4. Den minsta positiva perioden för en kotangentoid är π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, dvs funktionen är udda.
6. Ctg x = 0, för x = π/2 + πk.
7. Funktionen minskar.
8. Ctg x › 0, för x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, för x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivat (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Rätt

Förhållandet mellan den motsatta sidan och hypotenusan kallas sinus med spetsig vinkel rät triangel.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel

Förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan kallas cosinus med en spetsig vinkel rät triangel.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangent av en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel

Förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan kallas tangens av en spetsig vinkel rät triangel.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangens av en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel

Förhållandet mellan den intilliggande sidan och den motsatta sidan kallas cotangens av en spetsig vinkel rät triangel.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus av en godtycklig vinkel

Ordinatan för en punkt på enhetscirkeln som vinkeln \alfa motsvarar kallas sinus av en godtycklig vinkel rotation \alfa .

\sin \alpha=y

Cosinus av en godtycklig vinkel

Abskissan för en punkt på enhetscirkeln som vinkeln \alfa motsvarar kallas cosinus av en godtycklig vinkel rotation \alfa .

\cos \alpha=x

Tangent av en godtycklig vinkel

Förhållandet mellan sinus för en godtycklig rotationsvinkel \alfa och dess cosinus kallas tangent för en godtycklig vinkel rotation \alfa .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangens av en godtycklig vinkel

Förhållandet mellan cosinus för en godtycklig rotationsvinkel \alfa och dess sinus kallas cotangens av en godtycklig vinkel rotation \alfa .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Ett exempel på att hitta en godtycklig vinkel

Om \alpha är någon vinkel AOM, där M är en punkt i enhetscirkeln, då

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Till exempel om \angle AOM = -\frac(\pi)(4), då: ordinatan för punkten M är lika med -\frac(\sqrt(2))(2), abskissan är lika med \frac(\sqrt(2))(2) och det är varför

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabell över värden för sinus av cosinus av tangenter för cotangenter

Värdena för de huvudsakliga ofta förekommande vinklarna anges i tabellen:

Sinus och cosinus uppstod ursprungligen från behovet av att beräkna kvantiteter i räta trianglar. Det märktes att om gradmåttet för vinklarna i en rätvinklig triangel inte ändras, så förblir bildförhållandet, oavsett hur mycket dessa sidor ändras i längd, alltid detsamma.

Så introducerades begreppen sinus och cosinus. Sinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan den motsatta sidan och hypotenusan, och cosinus är förhållandet mellan sidan som gränsar till hypotenusan.

Satser för cosinus och sinus

Men cosinus och sinus kan användas för mer än bara räta trianglar. För att hitta värdet på en trubbig eller spetsig vinkel eller sida av en triangel räcker det med att tillämpa satsen om cosinus och sinus.

Cosinussatsen är ganska enkel: "Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna minus två gånger produkten av dessa sidor och cosinus för vinkeln mellan dem."

Det finns två tolkningar av sinussatsen: liten och utökad. Enligt den minderårige: "I en triangel är vinklarna proportionella mot de motsatta sidorna." Denna sats utökas ofta på grund av egenskapen hos den omskrivna cirkeln i en triangel: "I en triangel är vinklarna proportionella mot de motsatta sidorna, och deras förhållande är lika med diametern på den omskrivna cirkeln."

Derivat

Derivatan är ett matematiskt verktyg som visar hur snabbt en funktion förändras i förhållande till en förändring i dess argument. Derivat används inom geometri och inom ett antal tekniska discipliner.

När du löser problem måste du känna till tabellvärdena för derivatorna av trigonometriska funktioner: sinus och cosinus. Derivatan av en sinus är en cosinus och en cosinus är en sinus, men med ett minustecken.

Tillämpning i matematik

Sinus och cosinus används särskilt ofta för att lösa räta trianglar och problem relaterade till dem.

Bekvämligheten med sinus och cosinus återspeglas också i tekniken. Vinklar och sidor var lätta att utvärdera med hjälp av cosinus- och sinussatserna, och bryta ner komplexa former och objekt till "enkla" trianglar. Ingenjörer som ofta sysslar med beräkningar av bildförhållanden och gradmått tillbringade mycket tid och ansträngning på att beräkna cosinus och sinus för icke-tabellformade vinklar.

Sedan kom Bradis-tabeller till undsättning, innehållande tusentals värden på sinus, cosinus, tangenter och cotangenter i olika vinklar. Under sovjettiden tvingade några lärare sina elever att memorera sidor med Bradis-tabeller.

Radian är vinkelvärdet för en båge vars längd är lika med radien eller 57,295779513° grader.

Grad (i geometri) - 1/360:e delen av en cirkel eller 1/90:e delen av en rät vinkel.

π = 3,141592653589793238462... (ungefärligt värde på Pi).