Medelvärdet för kvadraten på hastigheten bestäms av formeln. Lektionssammanfattning "Idealgas i molekylär kinetisk teori. Medelvärdet på kvadraten på molekylernas hastighet." Grunderna i molekylär kinetisk teori
Lektionssammanfattning.
M5. Idealisk gas i MKT. Medelvärdet på kvadraten på molekylernas hastighet.
1:a svårighetsgraden.
Lektionstyp: kombinerad.
Total lektionstid: 1 timme 10 minuter.
Steg 1. Organisatoriskt ögonblick (antal, ämne, organisationsfrågor).
(t = 2-3 min.)
(bild 1)
UE 0 . Sätta mål:
Didaktiskt syfte med modulen:
(bild 2)
Introduktion till teorin om tillräckligt förtärnade gaser.
Bevis som medelhastigheten för molekyler beror på
rörelse av alla partiklar.
Steg 2 . Upprepning.(t = 10-15 min.)
UE 1 . Uppdaterar kunskap
Privatdidaktiskt mål:
Uppdatering av grundläggande kunskaper om ämnen i modul M1-M4.
Att fastställa i vilken grad eleverna har behärskat utbildningsmaterialet för att ytterligare eliminera luckor.
Övning 1.
D-typ studenter : Fyll i tabellen och ange beteckningen (symbolen) för den fysiska storheten och dess måttenhet.
Fysisk kvantitet
Beteckning
Enhet
(SI)
Molar massa
Mängd ämne
Avogadros konstant
Densitet av materia
Massa av substans
Antal molekyler (atomer)
Relativ molekylvikt
Resultatbetyg: 1 poäng.
Jag-typ studenter : Tänk igenom de logiska sambanden mellan formler (grenar).
Skapa ett "fysiskt träd" själv.
Resultatbetyg: 1 poäng.
Uppgift 2.
(bild 3)
Generaliserad algoritm för att lösa ett typiskt problem:
m = mO ·N
Gör en numerisk beräkning.
Kort med uppgift för varje elev I, D-typ.
Typ I-studenter :
Uppgift nr 1.
1. Bestäm antalet atomer i 1 m 3 koppar. Kopparens densitet är 9000 kg/m3.
2. Använd en generaliserad algoritm för att lösa problem av denna typ; använd den för att lösa det här problemet och beskriv de steg-för-steg-åtgärder du utförde.
Resultatbetyg: 1 poäng.
D-typ studenter :
Uppgift nr 1.
Massan av silverremsan som erhålls under rotation av cylindern under ett fysiskt experiment är 0,2 g. Hitta antalet silveratomer som finns i den.
Skriv ner de steg-för-steg åtgärder du vidtog för att lösa problemet. Jämför stegen du markerade med åtgärderna hos en generaliserad algoritm för att lösa problem av denna typ.
Resultatbetyg: 1 poäng.
Steg 3. Grundläggande. Presentation av utbildningsmaterial.(t = 30-35 min.)
UE 2. Fysisk modell av gas - idealgas
(bild 4)
Privatdidaktiskt mål:
Formulera begreppet "ideal gas".
Bildande av en vetenskaplig världsbild.
Lärarens förklaringar(IT, IE, ID, DT, DE, DD)
Del 1.
När man studerar fenomen i naturen och teknisk praxis är det omöjligt att ta hänsyn till alla faktorer som påverkar förloppet av ett visst fenomen. Men av erfarenhet är det alltid möjligt att fastställa de viktigaste av dem. Då kan alla andra faktorer som inte har ett avgörande inflytande försummas. På denna grund skapas den idealiserad
(förenklat) idé om ett sådant fenomen. En modell skapad utifrån detta hjälper till att studera faktiskt förekommande processer och förutsäga deras förlopp i olika fall. Låt oss överväga ett av dessa idealiserade koncept.
(bild 5):
F.O.- Nämn egenskaperna hos gaser.
Förklara dessa egenskaper utifrån MCT.
Hur indikeras trycket? SI-enheter?
De fysikaliska egenskaperna hos en gas bestäms av den kaotiska rörelsen av dess molekyler, och interaktionen mellan molekyler har ingen signifikant effekt på dess egenskaper, och interaktionen har karaktären av en kollision, och attraktionen av molekyler kan försummas. För det mesta rör sig gasmolekyler som fria partiklar.
(bild 6):
Detta tillåter oss att introducera begreppet en idealisk gas, där:
attraktiva krafter är helt frånvarande;
interaktionen mellan molekyler beaktas inte alls;
molekyler anses vara fria.
Övning 1.
Kort med uppgift för varje elev I, D-typ .
Typ I-studenter:
Efter att noggrant studera §63 s. 153, hitta i texten definitionen av en idealgas. Memorera det. (1 poäng)
(1 poäng)
Försök att svara på frågan: "Varför är den kinetiska energin för en urladdad gas mycket större än den potentiella interaktionsenergin?" (1 poäng).
D-typ studenter :
Hitta definitionen av en idealgas i texten till § 63 p.15. Memorera det.
(1 poäng).
Skriv formuleringen i din anteckningsbok.
(1 poäng).
Använd det periodiska systemet och nämn de gaser som bäst passar begreppet "ideal gas". (1 poäng).
UE3 . Gastryck i MKT.
Privatdidaktiskt mål:
Bevisa att trots förändringen i trycket, р 0 ≈ konst.
Lärarens förklaringar(IT, IE, ID, DT, DE, DD):
F.O.:
Vad gör gasmolekyler med behållarens väggar när de rör sig?
När blir gastrycket högre?
Vad är slagkraften för en molekyl? Kan en manometer registrera slagkraften för en molekyl? Varför?
Dra slutsatsen varför medeltrycket p 0 förblir ett visst värde.
(bild 7)
Gasmolekyler som träffar behållarens vägg utövar tryck på den. Storleken på detta tryck är större, desto större är den genomsnittliga kinetiska energin hos gasmolekylernas translationella rörelse och deras antal per volymenhet.
P
p 0
0 t
Övning 1.
Kort med uppgift för varje elev I, D-typ .
Elever av I, D-typ :
Rita en sammanfattning:Varför är det genomsnittliga gastrycket sid 0 i ett slutet kärl förblir praktiskt taget oförändrat?
Resultatbetyg: 1 poäng.
Lärarens förklaringar(IT, IE, ID, DT, DE, DD):
Förekomsten av gastryck kan förklaras med en enkel mekanisk modell.
(bild 8)
Del 2.
UE 4 . Medelvärden för hastighetsmodulen för enskilda molekyler.
(bild 9)
Privatdidaktiskt mål:
Introducera begreppet "medelvärde för hastighet", "medelvärde för kvadraten av hastighet".
Övning 1.
Typ I-studenter :
Läs § 64 s.154-156 noggrant.
Hitta svar på frågorna i texten:
Skriv dina svar i din anteckningsbok.
(1 poäng)
D-typ studenter :
Studera § 64 s.154-156. (1 poäng).
Svara på frågorna:
1.1.Vad beror den genomsnittliga rörelsehastigheten för alla partiklar på?
1.2. Vad är medelvärdet för kvadraten på hastighet?
1.3. Formel för medelkvadraten för hastighetsprojektion.
Skriv dina svar i din anteckningsbok.
(1 poäng).
Lärarens sammanfattning(IT, IE, ID, DT, DE, DD):
(bild 10, bild 11)
Molekylernas hastigheter ändras slumpmässigt, men medelkvadraten på hastigheten är ett väldefinierat värde. På samma sätt är längden på eleverna i en klass inte densamma, men dess genomsnitt är ett visst värde.
υ 2 = + +
= 1
Uppgift 2.
Kort med en uppgift för varje elev I, D - typ.
Typ I-studenter :
Efter att noggrant undersökt tabellen, försök att förstå essensen av fördelningen av silveratomer med hastighet.
f(υ) =
(1 poäng)
Försök att mentalt ändra hastighetsintervallet (minska det). Förklara vad som kommer att hända med schemat? Hur kan den streckade linjen som avgränsar de översta rektanglarna i grafen ändras? (2 poäng)
Hastighetsintervall, m/s
Bråkdel av atomer, %
Hastighetsintervall, m/s
Bråkdel av atomer, %
0-100
1,4
600-700
9,2
100-200
8,1
700-800
4,8
200-300
16,7
800-900
2,0
300-400
21,5
900-1000
0,6
400-500
20,3
mer än 1000
0,3
500-600
15,1
D-typ studenter :
Studera tabellen över hastighetsfördelningen av silveratomer
Rita upp hastighetsfördelningen för silveratomer
f(υ) =
(1 poäng)
Minska hastighetsintervallet. Förklara vad som kommer att hända med schemat? Hur kan den streckade linjen som avgränsar de översta rektanglarna i grafen ändras?
(2 poäng)
Uppgift nr 2. När man utför Stern-experimentet visar sig silverremsan vara något suddig, eftersom atomernas hastigheter inte är desamma vid en given temperatur. Baserat på bestämningen av silverskiktets tjocklek på olika ställen på remsan är det möjligt att beräkna andelen atomer med hastigheter som ligger i ett visst hastighetsområde från deras totala antal. Som ett resultat av mätningarna erhölls följande tabell:
Hastighetsintervall, m/s
Bråkdel av atomer, %
Hastighetsintervall, m/s
Bråkdel av atomer, %
0-100
1,4
600-700
9,2
100-200
8,1
700-800
4,8
200-300
16,7
800-900
2,0
300-400
21,5
900-1000
0,6
400-500
20,3
mer än 1000
0,3
500-600
15,1
4 – etapp. Kontroll av elevernas kunskaper och färdigheter.(t = 8-10 min.)
UE5. Utgångskontroll.
Privatdidaktiskt mål: Kontrollera behärskning av pedagogiska element; utvärdera dina kunskaper.
Kort med en uppgift för varje elev I, D - typ .
Övning 1.
Elever I, D-typ
Bestäm vilka av egenskaperna hos verkliga gaser som anges nedan som inte beaktas och vilka som beaktas i den ideala gasmodellen.
I en förtärnad gas är volymen som gasmolekyler skulle uppta om de var tätt "packade" (deras egen volym) försumbar jämfört med hela volymen som gasen upptar. Därför är den inneboende volymen av molekyler i den ideala gasmodellen...
I ett kärl som innehåller ett stort antal molekyler kan molekylernas rörelse anses vara fullständigt kaotisk. Detta faktum är i den ideala gasmodellen...
Molekylerna i en idealgas befinner sig i genomsnitt på sådana avstånd från varandra att vidhäftningskrafterna mellan molekylerna är mycket små. Dessa krafter finns i en mol av en idealgas....
Kollisioner av molekyler med varandra kan anses vara absolut elastiska. Dessa är egenskaperna i den ideala gasmodellen...
Rörelsen av gasmolekyler följer Newtons mekaniklagar. Detta faktum i den ideala gasmodellen...
A) beaktas inte (är)
B) beaktas (beaktas)
Uppgift 2.
Förklaringar (A-B) ges för vart och ett av uttrycken för molekylernas hastigheter (1-3). Hitta dem.
A) enligt regeln för vektoraddition och Pythagoras sats, kvadraten på hastighet υ vilken molekyl som helst kan skrivas på följande sätt: υ 2 = υ x 2 + υ y 2
B) riktningarna Ox, Oy och Oz på grund av molekylers slumpmässiga rörelse är lika.
C) med ett stort antal (N) av kaotiskt rörliga partiklar, är hastighetsmodulerna för individuella molekyler olika.
Utvärdering av resultatet: kontrollera dig själv med koden och utvärdera. För varje rätt svar - 1 poäng.
Steg 5. Sammanfattande.(t=5 min.)
UE6. Sammanfattande.
Privatdidaktiskt mål: Fyll i kontrollbladet; utvärdera dina kunskaper.
Kontrollblad (IT, IE, ID, DT, DE, DD):
Fyll i kontrollbladet. Beräkna poäng för att slutföra uppgifter. Ge dig själv ett slutbetyg:
16-18 poäng - "5";
13-15 poäng - "4";
9-12 poäng - "pass";
mindre än 9 poäng – "underkänd".
Lämna in checklistan till läraren.
Utbildningsmoment
Uppgifter (fråga)
Total poäng
1
2
UE1
UE2
UE3
UE4
UE5
Total
18
Kvalitet
….
Differentierade läxor:
"Testa": Hitta V tabell "Periodic Table of Elements D.I. Mendeleev" kemiska element som i sina egenskaper är närmast en idealgas. Förklara ditt val.
"Misslyckas":§ 63-64.
(bild 12).
Medelhastighet för molekyler
den genomsnittliga rörelsehastigheten för molekyler $\left\langle v\right\rangle $, vilket definieras som:
där N är antalet molekyler. Eller så kan medelhastigheten hittas som:
där $F\left(v\right)=4\pi (\left(\frac(m_0)(2\pi kT)\right))^(\frac(3)(2))exp\left(-\ frac(m_0v^2)(2kT)\right)v^2$ -- fördelningsfunktion för molekyler efter hastighetsmodul, som anger andelen molekyler med hastigheter som ligger i enhetsintervallet $dv$ runt hastighetsvärdet $v$, $m_0$ är massmolekyler, $k$ är Boltzmann-konstanten, T är den termodynamiska temperaturen. För att bestämma hur medelhastigheten för en molekyl är relaterad till makroparametrarna för en gas som ett system av partiklar, låt oss hitta värdet på integralen (2).
Låt oss byta ut:
Därav:
Låt oss byta ut (4) och (5) till (3), vi får:
Låt oss integrera med delar och få:
där R är den universella gaskonstanten, $\mu$ är gasens molära massa.
Den genomsnittliga rörelsehastigheten för molekyler kallas också hastigheten för den termiska rörelsen av molekyler.
Genomsnittlig relativ hastighet för molekyler:
\[\left\langle v_(otn)\right\rangle =\sqrt(2)\sqrt(\frac(8kT)(\pi m_0))=\sqrt(2)\left\langle v\right\rangle \ vänster(7\höger).\]
RMS hastighet
Den genomsnittliga kvadratiska hastigheten för gasmolekylers rörelse är kvantiteten:
\[\left\langle v_(kv)\right\rangle =\sqrt(\frac(1)(N)\summa\limits^N_(i=1)((v_i)^2))\left(8\ höger).\]
\[(\left\langle v_(kv)\right\rangle )^2=\int\nolimits^(\infty )_0(v^2F\left(v\right)dv\ \left(9\right). )\]
Genom att utföra integrationen, som liknar integrationen när man erhåller förhållandet mellan medelhastigheten och gastemperaturen, får vi:
\[\left\langle v_(kv)\right\rangle =\sqrt(\frac(3kT)(m_0))=\sqrt(\frac(3RT)(\mu ))\left(10\right).\ ]
Det är rotmedelkvadrathastigheten för translationsrörelse hos gasmolekyler som ingår i den grundläggande ekvationen för molekylär kinetisk teori:
där $n=\frac(N)(V)$ är koncentrationen av partiklar av ämnet, $N$ är antalet partiklar av ämnet, V är volymen.
Exempel 1
Uppgift: Bestäm hur den genomsnittliga rörelsehastigheten för idealgasmolekyler förändras med ökande tryck i processen som visas i grafen (fig. 1).
Låt oss skriva uttrycket för medelhastigheten för gasmolekyler i formen:
\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt(\frac(8kT)(\pi m_0))\ \left(1.1\right)\]
Från grafen ser vi att $p\sim \rho \ eller\ p=C\rho ,\ $ där C är någon konstant.
Genom att ersätta (1.2) med (1.1) får vi:
\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt(\frac(8kT)(\pi m_0))=\sqrt(\frac(8C\rho )(\pi n)\frac(n)(\rho ))=\sqrt(\frac(8C)(\pi ))\left(1.3\right)\]
Svar: I den process som visas i grafen ändras inte molekylernas medelhastighet med ökande tryck.
Exempel 2
Uppgift: Är det möjligt att beräkna rotmedelkvadrathastigheten för en idealgasmolekyl om följande är kända: gastryck (p), gasens molmassa ($\mu $) och koncentrationen av gasmolekyler (n)?
Vi använder uttrycket för $\left\langle v_(kv)\right\rangle:$
\[\left\langle v_(kv)\right\rangle =\sqrt(\frac(3RT)(\mu ))\left(2.1\right).\]
Dessutom, från Mendeleev-Claiperons ekvation och att veta att $\frac(m)(\mu )=\frac(N)(N_A)$:
Dela höger och vänster sida av (2.2) med V, med vetskap om att $\frac(N)(V)=n$ får vi:
Genom att ersätta (2.3) i uttrycket för medelkvadrathastighet (2.1), har vi:
\[\left\langle v_(kv)\right\rangle =\sqrt(\frac(3pN_A)(\mu n))\ \left(2.4\right).\]
Svar: Baserat på parametrarna som anges i problemformuleringen kan rot-medelkvadrathastigheten för gasmolekyler beräknas med formeln $\left\langle v_(kv)\right\rangle =\sqrt(\frac(3pN_A) (\mu n)).$
- Innan vi fortsätter att beräkna gastryck med hjälp av molekylär kinetisk teori, låt oss mer detaljerat överväga enkla mönster relaterade till medelvärdena för molekylernas termiska rörelsehastigheter.
Genomsnittliga värden
Låt oss anta att gasmolekylerna rör sig slumpmässigt. Hastigheten för vilken molekyl som helst kan vara mycket stor eller mycket liten. Molekylernas rörelseriktning förändras kaotiskt när de kolliderar med varandra. Detta diskuterades i kapitel 2. Observationen av Brownsk rörelse tjänar som bevis på molekylers deltagande i kaotisk rörelse.
Men även om individuella molekylers rörelse är kaotisk, uppvisar beteendet hos alla molekyler som helhet enkla mönster. För det första, om någon riktning väljs godtyckligt i en gas, måste det genomsnittliga antalet molekyler som rör sig i denna riktning vara lika med det genomsnittliga antalet molekyler som rör sig i motsatt riktning. Kaos i molekylernas rörelse gör trots allt att ingen av rörelseriktningarna är dominerande. De är alla lika.
På samma sätt är det genomsnittliga antalet människor som går längs en stadsgata åt ena hållet och det andra detsamma i genomsnitt över en tillräckligt lång tidsperiod (eller för en tillräckligt stor grupp människor). Naturligtvis, om vi utesluter speciella fall som en gatuprocession.
För det andra är enkla lagar giltiga för den aritmetiska medelhastigheten för molekyler. Låt det finnas N molekyler. Projektionerna av dessa molekylers hastigheter på X-axeln kan anta alla möjliga värden: v 1x, v 2x, v 3x, ..., v Nx, och varje projektion kan vara antingen positiv eller negativ. Det aritmetiska medelvärdet av projektionen av hastigheten x i en given riktning X är lika med summan av projektionerna av hastigheterna för alla molekyler dividerat med deras antal:
På grund av kaoset i molekylernas rörelse förekommer positiva värden av hastighetsprojektioner lika ofta som negativa. Därför är medelvärdet för hastighetsprojektionen i en given riktning X lika med noll: x = 0. Om detta inte vore så skulle gasen röra sig som en helhet.
Medelvärdet för hastighetsprojektionsmodulen | x | är ett väldefinierat värde som skiljer sig från noll. Låt oss illustrera detta med ett exempel. Längden på elever i samma klass är inte densamma, men medelhöjden är ett visst värde. För att hitta den måste du lägga ihop höjden på alla elever och dividera denna summa med deras antal (bild 4.2).
Ris. 4.2
Medelvärdet för kvadraten av hastighet
Vi kommer att vara intresserade av medelkvadraten för hastighetsprojektionen. Den återfinns på samma sätt som kvadraten på hastighetsmodulen (se uttryck (4.1.2)):
Molekylernas hastigheter antar en kontinuerlig serie av värden. Det är nästan omöjligt att bestämma de exakta hastighetsvärdena och beräkna medelvärdet (statistiskt medelvärde) med formeln (4.3.2). Låt oss definiera det lite annorlunda, mer realistiskt. Låt oss beteckna med n 1 antalet molekyler i en volym av 1 cm 3 som har hastighetsprojektioner nära v 1x; genom n 2 - antalet molekyler i samma volym, men med hastigheter nära v kx, etc. (1) Antalet molekyler med hastigheter nära det maximala v kx kommer att betecknas med n k (hastigheten v kx kan vara godtyckligt bra). I detta fall måste villkoret n 1 + n 2 + ... + n i + ... + n k = n vara uppfyllt, där n är koncentrationen av molekyler. Sedan för medelvärdet av den kvadratiska hastighetsprojektionen, istället för formeln (4.3.2), kan vi skriva följande ekvivalenta formel:
Eftersom X-riktningen inte skiljer sig från Y- och Z-riktningarna (återigen på grund av kaoset i molekylernas rörelse), är följande likheter sanna:
Medelkvadrathastighet för molekyler - rotmedelvärde för hastighetsmodulerna för alla molekyler av den avsedda mängden gas
Tabell över värden för rotmedelkvadrathastigheten för molekyler av vissa gaser
För att förstå var vi får denna formel ifrån kommer vi att härleda molekylernas rotmedelkvadrathastighet. Härledningen av formeln börjar med den grundläggande ekvationen för molekylär kinetisk teori (MKT):
Där vi har mängden substans, för enklare bevis, låt oss ta 1 mol substans för övervägande, då får vi:
Om du tittar är PV två tredjedelar av den genomsnittliga kinetiska energin för alla molekyler (och vi tar 1 mol molekyler):
Sedan, om vi likställer högersidorna, får vi att för 1 mol gas kommer den genomsnittliga kinetiska energin att vara lika med:
Men den genomsnittliga kinetiska energin finns också som:
Men nu, om vi likställer högersidorna och uttrycker hastigheten från dem och tar kvadraten, Avogadros antal per molekylmassa, får vi Molar massa, då får vi en formel för rotmedelkvadrathastigheten för en gasmolekyl:
Och om vi skriver den universella gaskonstanten som , och för en molmassa, kommer vi att lyckas?
I formeln använde vi:
Medelkvadrathastighet för molekyler
Boltzmanns konstant
