Formula Poisson dan undang-undang taburan Poisson. Taburan Poisson Purata taburan Poisson

Mari kita pertimbangkan taburan Poisson, hitung jangkaan matematiknya, varians dan modnya. Menggunakan fungsi MS EXCEL POISSON.DIST(), kami akan membina graf bagi fungsi taburan dan ketumpatan kebarangkalian. Mari kita anggarkan parameter taburan, jangkaan matematiknya dan sisihan piawai.

Mula-mula, kami memberikan definisi pengedaran formal yang kering, kemudian kami memberikan contoh situasi apabila Pengagihan Poisson(Bahasa Inggeris) Poissonpengedaran) ialah model yang mencukupi untuk menerangkan pembolehubah rawak.

Jika peristiwa rawak berlaku dalam tempoh masa tertentu (atau dalam isipadu jirim tertentu) dengan kekerapan purata λ( lambda), kemudian bilangan acara x, berlaku dalam tempoh masa ini akan mempunyai Pengagihan Poisson.

Penggunaan taburan Poisson

Contoh apabila Pengagihan Poisson adalah model yang mencukupi:

• bilangan panggilan yang diterima di pertukaran telefon dalam tempoh masa tertentu;
• bilangan zarah yang telah mengalami pereputan radioaktif dalam tempoh masa tertentu;
• bilangan kecacatan pada sehelai kain dengan panjang tetap.

Pengagihan Poisson adalah model yang mencukupi jika syarat berikut dipenuhi:

• peristiwa berlaku secara bebas antara satu sama lain, i.e. kebarangkalian kejadian berikutnya tidak bergantung pada kejadian sebelumnya;
• kadar peristiwa purata adalah malar. Akibatnya, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah berkadar dengan panjang selang cerapan;
• dua peristiwa tidak boleh berlaku pada masa yang sama;
• bilangan acara mesti mengambil nilai 0; 1; 2…

Catatan: Petunjuk yang baik ialah pembolehubah rawak yang diperhatikan mempunyai Pengagihan Poisson, adalah hakikat bahawa ia adalah lebih kurang sama (lihat di bawah).

Di bawah adalah contoh situasi di mana Pengagihan Poisson tak boleh digunakan:

• bilangan pelajar yang meninggalkan universiti dalam masa sejam (kerana aliran purata pelajar tidak tetap: semasa kelas terdapat sedikit pelajar, dan semasa rehat antara kelas bilangan pelajar meningkat dengan mendadak);
• bilangan gempa bumi dengan amplitud 5 mata setahun di California (memandangkan satu gempa bumi boleh menyebabkan gegaran susulan amplitud yang sama - peristiwa itu tidak bebas);
• bilangan hari yang pesakit habiskan di unit rawatan rapi (kerana bilangan hari yang pesakit habiskan di unit rawatan rapi sentiasa lebih daripada 0).

Catatan: Pengagihan Poisson ialah anggaran taburan diskret yang lebih tepat: dan .

Catatan: Tentang perhubungan Pengagihan Poisson Dan Taburan binomial boleh baca dalam artikel. Tentang perhubungan Pengagihan Poisson Dan Pengagihan eksponen boleh dibaca dalam artikel tentang.

Pengagihan Poisson dalam MS EXCEL

Dalam MS EXCEL, bermula dari versi 2010, untuk Pengagihan Poisson terdapat fungsi POISSON.DIST(), nama Inggeris - POISSON.DIST(), yang membolehkan anda mengira bukan sahaja kebarangkalian bahawa dalam tempoh masa tertentu akan berlaku X peristiwa (fungsi ketumpatan kebarangkalian p(x), lihat formula di atas), tetapi juga (kebarangkalian bahawa dalam tempoh masa tertentu sekurang-kurangnya x peristiwa).

Sebelum MS EXCEL 2010, EXCEL mempunyai fungsi POISSON(), yang juga membolehkan anda mengira fungsi pengagihan Dan ketumpatan kebarangkalian p(x). POISSON() ditinggalkan dalam MS EXCEL 2010 untuk keserasian.

Fail contoh mengandungi graf taburan ketumpatan kebarangkalian Dan fungsi pengagihan kumulatif.

Pengagihan Poisson mempunyai bentuk senget (ekor panjang di sebelah kanan fungsi kebarangkalian), tetapi apabila parameter λ meningkat, ia menjadi lebih simetri.

Catatan: Purata Dan penyebaran(persegi) adalah sama dengan parameter Pengagihan Poisson– λ (lihat contoh fail helaian Contoh).

Tugasan

Aplikasi Biasa Pengagihan Poisson dalam kawalan kualiti ialah model bilangan kecacatan yang mungkin muncul dalam instrumen atau peranti.

Sebagai contoh, dengan purata bilangan kecacatan dalam cip λ (lambda) bersamaan dengan 4, kebarangkalian bahawa cip yang dipilih secara rawak akan mempunyai 2 atau kurang kecacatan ialah: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

Parameter ketiga dalam fungsi ditetapkan = TRUE, jadi fungsi akan kembali fungsi pengagihan kumulatif, iaitu, kebarangkalian bahawa bilangan peristiwa rawak akan berada dalam julat dari 0 hingga 4 termasuk.

Pengiraan dalam kes ini dibuat mengikut formula:

Kebarangkalian bahawa litar mikro yang dipilih secara rawak akan mempunyai tepat 2 kecacatan ialah: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

Parameter ketiga dalam fungsi ditetapkan = FALSE, jadi fungsi akan mengembalikan kepadatan kebarangkalian.

Kebarangkalian bahawa litar mikro yang dipilih secara rawak akan mempunyai lebih daripada 2 kecacatan adalah sama dengan: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535

Catatan: Jika x bukan integer, maka apabila mengira formula . Formula =POISSON.DIST( 2 ; 4; PEMBOHONGAN) Dan =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; PEMBOHONGAN) akan mengembalikan hasil yang sama.

Penjanaan nombor rawak dan anggaran λ

Untuk nilai λ >15 , Pengagihan Poisson dianggarkan dengan baik Taburan normal dengan parameter berikut: μ =λ , σ 2 =λ .

Butiran lanjut tentang hubungan antara pengedaran ini boleh didapati dalam artikel. Terdapat juga contoh penghampiran, dan syarat bila boleh dan dengan ketepatan yang dijelaskan.

NASIHAT: Anda boleh membaca tentang pengedaran MS EXCEL lain dalam artikel.

Undang-undang pengedaran binomial terpakai kepada kes di mana sampel saiz tetap telah diambil. Pengagihan Poisson digunakan untuk kes di mana bilangan peristiwa rawak berlaku pada panjang, kawasan, isipadu atau masa tertentu, manakala parameter penentu taburan ialah purata bilangan peristiwa , bukan saiz sampel P dan kebarangkalian kejayaan R. Contohnya, bilangan ketidakakuran dalam sampel atau bilangan ketidakakuran setiap unit pengeluaran.

Taburan kebarangkalian untuk bilangan kejayaan X mempunyai bentuk berikut:

Atau kita boleh mengatakan bahawa pembolehubah rawak diskret X diedarkan mengikut undang-undang Poisson jika nilai yang mungkin adalah 0.1, 2, ...t, ...p, dan kebarangkalian berlakunya nilai tersebut ditentukan oleh hubungan:

di mana m atau λ ialah beberapa nilai positif yang dipanggil parameter taburan Poisson.

Undang-undang Poisson terpakai kepada peristiwa yang "jarang" berlaku, manakala kemungkinan kejayaan seterusnya (contohnya, kegagalan) berterusan, adalah malar dan tidak bergantung pada bilangan kejayaan atau kegagalan sebelumnya (apabila kita bercakap tentang proses yang semakin berkembang. masa, ini dipanggil "kemerdekaan masa lalu"). Contoh klasik di mana undang-undang Poisson terpakai ialah bilangan panggilan telefon di pertukaran telefon dalam selang masa tertentu. Contoh lain mungkin bilangan tompokan dakwat pada halaman manuskrip yang ditulis dengan ceroboh, atau bilangan bintik yang berakhir pada badan kereta semasa mengecatnya. Undang-undang pengedaran Poisson mengukur bilangan kecacatan, bukan bilangan produk yang rosak.

Taburan Poisson ditadbir oleh bilangan peristiwa rawak yang berlaku pada selang masa tetap atau dalam kawasan ruang tetap. Untuk λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 nilai P(m)bertambah T melepasi maksimum hampir /

Satu ciri taburan Poisson ialah varians adalah sama dengan jangkaan matematik. Parameter taburan Poisson

M(x) = σ 2 = λ (15)

Ciri taburan Poisson ini membolehkan kita menyatakan dalam amalan bahawa taburan pembolehubah rawak yang diperoleh secara eksperimen adalah tertakluk kepada taburan Poisson jika nilai sampel jangkaan dan varians matematik adalah lebih kurang sama.

Undang-undang kejadian jarang digunakan dalam kejuruteraan mekanikal untuk kawalan terpilih produk siap, apabila, mengikut keadaan teknikal, peratusan kecacatan tertentu (biasanya kecil) dibenarkan dalam kumpulan produk yang diterima q<<0.1.

Jika kebarangkalian q kejadian A adalah sangat kecil (q≤0.1), dan bilangan percubaan adalah besar, maka kebarangkalian peristiwa A akan berlaku m kali dalam n percubaan akan sama dengan

di mana λ = M(x) = nq

Untuk mengira taburan Poisson, anda boleh menggunakan hubungan ulangan berikut

Taburan Poisson memainkan peranan penting dalam kaedah jaminan kualiti statistik kerana ia boleh digunakan untuk menganggarkan taburan hipergeometrik dan binomial.

Anggaran sedemikian boleh diterima apabila , dengan syarat qn mempunyai had terhingga dan q<0.1. Когда p →∞, A r → 0, purata n r = t = const.

Menggunakan undang-undang kejadian jarang berlaku, anda boleh mengira kebarangkalian bahawa sampel n unit akan mengandungi: 0,1,2,3, dsb. bahagian yang rosak, i.e. diberi m kali. Anda juga boleh mengira kebarangkalian m atau lebih bahagian yang rosak muncul dalam sampel sedemikian. Kebarangkalian ini, berdasarkan peraturan menambah kebarangkalian, akan sama dengan:

Contoh 1. Kumpulan itu mengandungi bahagian yang rosak, perkadarannya ialah 0.1. 10 bahagian diambil secara berurutan dan diperiksa, selepas itu ia dikembalikan kepada kumpulan, i.e. ujian adalah bebas. Apakah kebarangkalian bahawa apabila memeriksa 10 bahagian, satu akan rosak?

Penyelesaian Daripada keadaan masalah q=0.1; n=10; m=1. Jelas sekali, p=1-q=0.9.

Hasil yang diperoleh juga boleh digunakan pada kes apabila 10 bahagian dikeluarkan berturut-turut tanpa mengembalikannya semula ke kumpulan. Dengan kumpulan yang cukup besar, sebagai contoh, 1000 keping, kebarangkalian untuk mengekstrak bahagian akan berubah dengan ketara. Oleh itu, dalam keadaan sedemikian, penyingkiran bahagian yang rosak boleh dianggap sebagai peristiwa yang tidak bergantung pada keputusan ujian sebelumnya.

Contoh 2. Kumpulan mengandungi 1% bahagian yang rosak. Apakah kebarangkalian bahawa, apabila mengambil sampel 50 unit produk daripada satu kelompok, ia akan mengandungi 0, 1, 2, 3, 4 bahagian yang rosak?

Penyelesaian. Di sini q=0.01, nq=50*0.01=0.5

Oleh itu, untuk menggunakan taburan Poisson secara berkesan sebagai anggaran binomial, adalah perlu bahawa kebarangkalian kejayaan R adalah kurang ketara q. a n r = t adalah daripada susunan satu (atau beberapa unit).

Oleh itu, dalam kaedah jaminan kualiti statistik

hukum hipergeometrik terpakai untuk sampel dari sebarang saiz P dan mana-mana tahap ketidakakuran q ,

hukum binomial dan hukum Poisson adalah kes khasnya, masing-masing, dengan syarat n/N<0,1 и

pengenalan

Adakah fenomena rawak tertakluk kepada mana-mana undang-undang? Ya, tetapi undang-undang ini berbeza daripada undang-undang fizikal yang kita kenali. Nilai SV tidak boleh diramalkan walaupun dalam keadaan percubaan yang diketahui; kami hanya boleh menunjukkan kebarangkalian bahawa SV akan mengambil satu atau nilai lain. Tetapi mengetahui taburan kebarangkalian SV, kita boleh membuat kesimpulan tentang peristiwa di mana pembolehubah rawak ini mengambil bahagian. Benar, kesimpulan ini juga akan bersifat probabilistik.

Biarkan beberapa SV diskret, i.e. hanya boleh mengambil nilai tetap Xi. Dalam kes ini, siri nilai kebarangkalian P(Xi) untuk semua (i=1…n) nilai yang dibenarkan bagi kuantiti ini dipanggil hukum taburannya.

Undang-undang pengedaran SV ialah hubungan yang mewujudkan hubungan antara kemungkinan nilai SV dan kebarangkalian dengan mana nilai ini diterima. Undang-undang pengedaran sepenuhnya mencirikan SV.

Apabila membina model matematik untuk menguji hipotesis statistik, adalah perlu untuk memperkenalkan andaian matematik tentang hukum taburan SV (cara parametrik membina model).

Pendekatan bukan parametrik untuk menerangkan model matematik (SV tidak mempunyai undang-undang taburan parametrik) adalah kurang tepat, tetapi mempunyai skop yang lebih luas.

Sama seperti untuk kebarangkalian peristiwa rawak, untuk hukum taburan SV hanya terdapat dua cara untuk mencarinya. Sama ada kita membina gambar rajah peristiwa rawak dan mencari ungkapan analitikal (formula) untuk mengira kebarangkalian (mungkin seseorang telah melakukan atau akan melakukan ini untuk kita!), atau kita perlu menggunakan eksperimen dan, berdasarkan frekuensi pemerhatian, membuat beberapa andaian (mengemukakan hipotesis) tentang taburan undang-undang.

Sudah tentu, untuk setiap taburan "klasik" kerja ini telah dilakukan sejak sekian lama - diketahui secara meluas dan sangat kerap digunakan dalam statistik gunaan ialah taburan binomial dan polinomial, taburan geometri dan hipergeometrik, Pascal dan Poisson dan lain-lain lagi.

Untuk hampir semua taburan klasik, jadual statistik khas telah dibina dan diterbitkan serta-merta, diperhalusi apabila ketepatan pengiraan meningkat. Tanpa menggunakan banyak jilid jadual ini, tanpa latihan dalam peraturan untuk menggunakannya, penggunaan praktikal statistik adalah mustahil untuk dua abad yang lalu.

Hari ini keadaan telah berubah - tidak perlu menyimpan data pengiraan menggunakan formula (tidak kira betapa rumitnya yang terakhir!), masa untuk menggunakan undang-undang pengedaran untuk amalan telah dikurangkan kepada minit, atau bahkan saat. Terdapat bilangan pakej perisian aplikasi berbeza yang mencukupi untuk tujuan ini.

Di antara semua taburan kebarangkalian, ada yang digunakan terutamanya dalam amalan. Pengagihan ini telah dikaji secara terperinci dan sifatnya diketahui umum. Kebanyakan pengedaran ini mendasari keseluruhan bidang pengetahuan - seperti teori beratur, teori kebolehpercayaan, kawalan kualiti, teori permainan, dsb.

Di antara mereka, seseorang tidak boleh tidak memberi perhatian kepada karya Poisson (1781-1840), yang membuktikan bentuk undang-undang bilangan besar yang lebih umum daripada Jacob Bernoulli, dan juga untuk pertama kalinya menggunakan teori kebarangkalian untuk menembak masalah . Nama Poisson dikaitkan dengan salah satu undang-undang pengedaran, yang memainkan peranan penting dalam teori kebarangkalian dan aplikasinya.

Undang-undang pengedaran inilah yang menjadi tumpuan kerja kursus ini. Kami akan bercakap secara langsung tentang undang-undang, tentang ciri matematiknya, sifat istimewa, dan kaitan dengan taburan binomial. Beberapa perkataan akan dikatakan mengenai aplikasi praktikal dan beberapa contoh dari amalan akan diberikan.

Tujuan esei kami adalah untuk menjelaskan intipati teorem taburan Bernoulli dan Poisson.

Tugasnya adalah untuk mengkaji dan menganalisis literatur mengenai topik esei.

1. Taburan binomial (Taburan Bernoulli)

Taburan binomial (Taburan Bernoulli) - taburan kebarangkalian bilangan kejadian beberapa peristiwa semasa percubaan bebas berulang, jika kebarangkalian kejadian ini berlaku dalam setiap percubaan adalah sama dengan p (0

SV X dikatakan diedarkan mengikut hukum Bernoulli dengan parameter p jika ia mengambil nilai 0 dan 1 dengan kebarangkalian pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; x=0.1.

Taburan binomial timbul dalam kes di mana soalan ditanya: berapa kali peristiwa tertentu berlaku dalam siri bilangan pemerhatian bebas (eksperimen) tertentu yang dilakukan di bawah keadaan yang sama.

Untuk kemudahan dan kejelasan, kami akan menganggap bahawa kami mengetahui nilai p - kebarangkalian bahawa pelawat memasuki kedai akan menjadi pembeli dan (1- p) = q - kebarangkalian bahawa pelawat memasuki kedai tidak akan seorang pembeli.

Jika X ialah bilangan pembeli daripada jumlah bilangan n pelawat, maka kebarangkalian terdapat k pembeli di kalangan n pelawat adalah sama dengan

P(X= k) = , dengan k=0,1,…n 1)

Formula (1) dipanggil formula Bernoulli. Dengan sejumlah besar ujian, taburan binomial cenderung normal.

Ujian Bernoulli ialah percubaan kebarangkalian dengan dua hasil, yang biasanya dipanggil "kejayaan" (biasanya dilambangkan dengan simbol 1) dan "kegagalan" (masing-masing dilambangkan dengan 0). Kebarangkalian kejayaan biasanya dilambangkan dengan huruf p, kegagalan - dengan huruf q; sudah tentu q=1-p. Nilai p dipanggil parameter ujian Bernoulli.

Pembolehubah rawak binomial, geometri, pascal dan negatif binomial diperoleh daripada jujukan percubaan Bernoulli bebas jika jujukan itu ditamatkan dalam satu cara atau yang lain, contohnya selepas percubaan ke- atau kejayaan ke-x. Istilah berikut biasanya digunakan:

– Parameter ujian Bernoulli (kebarangkalian kejayaan dalam satu ujian);

– bilangan ujian;

– bilangan kejayaan;

– bilangan kegagalan.

Pembolehubah rawak binomial (m|n,p) – bilangan m kejayaan dalam n percubaan.

Pembolehubah rawak geometri G(m|p) – bilangan m percubaan sehingga kejayaan pertama (termasuk kejayaan pertama).

Pembolehubah rawak Pascal C(m|x,p) – bilangan m percubaan sehingga kejayaan ke-x (tidak termasuk, sudah tentu, kejayaan ke-x itu sendiri).

Pembolehubah rawak binomial negatif Y(m|x,p) – bilangan m kegagalan sebelum kejayaan ke-x (tidak termasuk kejayaan ke-x).

Nota: kadangkala taburan binomial negatif dipanggil taburan Pascal dan sebaliknya.

Pengagihan Poisson

2.1. Definisi hukum Poisson

Dalam banyak masalah praktikal, seseorang perlu berurusan dengan pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut undang-undang pelik, yang dipanggil undang-undang Poisson.

Mari kita pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar X, yang hanya boleh mengambil integer, nilai bukan negatif: 0, 1, 2, ... , m, ... ; Selain itu, urutan nilai ini secara teorinya tidak terhad. Pembolehubah rawak X dikatakan diedarkan mengikut hukum Poisson jika kebarangkalian ia akan mengambil nilai m tertentu dinyatakan dengan formula:

di mana a ialah beberapa kuantiti positif yang dipanggil parameter hukum Poisson.

Siri taburan pembolehubah rawak X, diedarkan mengikut hukum Poisson, kelihatan seperti ini:

2.2.Ciri-ciri utama taburan Poisson

Pertama, mari kita pastikan bahawa urutan kebarangkalian boleh menjadi siri taburan, i.e. bahawa jumlah semua kebarangkalian Рm adalah sama dengan satu.

Kami menggunakan pengembangan fungsi ex dalam siri Maclaurin:

Adalah diketahui bahawa siri ini menumpu untuk sebarang nilai x, oleh itu, dengan mengambil x = a, kita dapat

oleh itu

Mari kita tentukan ciri utama - jangkaan dan serakan matematik - pembolehubah rawak X yang diedarkan mengikut hukum Poisson. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkaliannya. Mengikut definisi, apabila pembolehubah rawak diskret mengambil set nilai yang boleh dikira:

Sebutan pertama jumlah (bersamaan dengan m=0) adalah sama dengan sifar, oleh itu, penjumlahan boleh bermula dengan m=1:

Oleh itu, parameter a adalah tidak lebih daripada jangkaan matematik pembolehubah rawak X.

Varians pembolehubah rawak X ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya:

Walau bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk mengiranya menggunakan formula:

Oleh itu, mari kita cari momen awal kedua bagi nilai X dahulu:

Mengikut terbukti sebelum ini

selain itu,

2.3.Ciri-ciri tambahan taburan Poisson

I. Momen awal susunan k bagi pembolehubah rawak X ialah jangkaan matematik bagi nilai Xk:

Khususnya, momen awal susunan pertama adalah sama dengan jangkaan matematik:

II. Momen pusat tertib k bagi pembolehubah rawak X ialah jangkaan matematik bagi nilai k:

Khususnya, momen pusat tertib pertama ialah 0:

μ1=M=0,

momen pusat bagi susunan ke-2 adalah sama dengan serakan:

μ2=M2=a.

III. Untuk pembolehubah rawak X yang diedarkan mengikut hukum Poisson, kita dapati kebarangkalian bahawa ia akan mengambil nilai tidak kurang daripada k yang diberikan. Kami menandakan kebarangkalian ini dengan Rk:

Jelas sekali, kebarangkalian Rk boleh dikira sebagai jumlah

Walau bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk menentukannya daripada kebarangkalian peristiwa yang bertentangan:

Khususnya, kebarangkalian bahawa nilai X akan mengambil nilai positif dinyatakan oleh formula

Seperti yang telah disebutkan, banyak masalah amalan mengakibatkan pengedaran Poisson. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah tipikal seperti ini.

Rajah.2

Biarkan mata diedarkan secara rawak pada paksi-x Ox (Rajah 2). Mari kita andaikan bahawa taburan rawak mata memenuhi syarat berikut:

1) Kebarangkalian bilangan mata tertentu jatuh pada segmen l bergantung hanya pada panjang segmen ini, tetapi tidak bergantung pada kedudukannya pada paksi absis. Dalam erti kata lain, titik diedarkan pada paksi-x dengan ketumpatan purata yang sama. Mari kita nyatakan kepadatan ini, i.e. jangkaan matematik bilangan mata seunit panjang, dinyatakan melalui λ.

2) Titik diedarkan pada paksi-x secara bebas antara satu sama lain, i.e. kebarangkalian bilangan mata tertentu jatuh pada segmen tertentu tidak bergantung pada berapa banyak mata jatuh pada mana-mana segmen lain yang tidak bertindih dengannya.

3) Kebarangkalian dua atau lebih mata jatuh ke dalam kawasan kecil Δx boleh diabaikan berbanding dengan kebarangkalian satu mata jatuh (keadaan ini bermaksud kemustahilan praktikal dua atau lebih mata bertepatan).

Mari kita pilih segmen tertentu panjang l pada paksi absis dan pertimbangkan pembolehubah rawak diskret X - bilangan mata yang jatuh pada segmen ini. Nilai kuantiti yang mungkin ialah 0,1,2,...,m,... Memandangkan titik jatuh pada segmen secara berasingan antara satu sama lain, secara teorinya mungkin terdapat seberapa banyak daripadanya di sana sebagai dikehendaki, iaitu siri ini berterusan selama-lamanya.

Mari kita buktikan bahawa pembolehubah rawak X diedarkan mengikut hukum Poisson. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira kebarangkalian Pm bahawa tepat m mata akan jatuh pada segmen.

Kita selesaikan masalah yang lebih mudah dahulu. Mari kita pertimbangkan kawasan kecil Δx pada paksi Ox dan hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu titik akan jatuh pada kawasan ini. Kami akan membuat alasan seperti berikut. Jangkaan matematik bilangan mata yang jatuh pada bahagian ini jelas sama dengan λ·Δх (kerana secara purata λ mata jatuh setiap unit panjang). Mengikut syarat 3, untuk segmen kecil Δx kita boleh mengabaikan kemungkinan dua atau lebih mata jatuh di atasnya. Oleh itu, jangkaan matematik λ·Δх bilangan mata yang jatuh pada kawasan Δх akan lebih kurang sama dengan kebarangkalian satu mata jatuh padanya (atau, yang bersamaan dalam keadaan ini, sekurang-kurangnya satu).

Oleh itu, sehingga infinitesimals tertib lebih tinggi, untuk Δx→0 kita boleh mempertimbangkan kebarangkalian bahawa satu (sekurang-kurangnya satu) titik akan jatuh pada bahagian Δx sama dengan λ·Δx, dan kebarangkalian bahawa tiada satu pun akan jatuh sama dengan 1 -c ·Δх.

Mari kita gunakan ini untuk mengira kebarangkalian Pm tepat m mata jatuh pada segmen l. Mari kita bahagikan segmen l kepada n bahagian yang sama panjang. Kami bersetuju untuk memanggil segmen asas Δx "kosong" jika ia tidak mengandungi satu titik dan "diduduki" jika sekurang-kurangnya satu berlaku. Mengikut perkara di atas, kebarangkalian bahawa segmen Δх akan "diduduki" adalah lebih kurang sama dengan λ·Δх=; kebarangkalian bahawa ia akan menjadi "kosong" ialah 1-. Oleh kerana, mengikut syarat 2, mata yang jatuh ke dalam segmen tidak bertindih adalah bebas, maka n segmen kami boleh dianggap sebagai n "eksperimen" bebas, di mana setiap segmen boleh "diduduki" dengan kebarangkalian p=. Mari kita cari kebarangkalian bahawa antara n segmen akan ada betul-betul m "diduduki". Menurut teorem percubaan bebas berulang, kebarangkalian ini adalah sama dengan

,

atau mari kita nyatakan λl=a:

.

Untuk n yang cukup besar, kebarangkalian ini adalah lebih kurang sama dengan kebarangkalian tepat m mata jatuh pada segmen l, kerana kebarangkalian dua atau lebih mata jatuh pada segmen Δx adalah diabaikan. Untuk mencari nilai tepat Рm, anda perlu pergi ke had sebagai n→∞:

Mempertimbangkan itu

,

kita dapati bahawa kebarangkalian yang diingini dinyatakan oleh formula

di mana a=λl, i.e. nilai X diedarkan mengikut hukum Poisson dengan parameter a=λl.

Perlu diingatkan bahawa nilai a dalam makna mewakili purata bilangan mata bagi setiap segmen l. Nilai R1 (kebarangkalian bahawa nilai X akan mengambil nilai positif) dalam kes ini menyatakan kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu titik akan jatuh pada segmen l: R1=1-e-a.

Oleh itu, kami yakin bahawa taburan Poisson berlaku di mana beberapa titik (atau elemen lain) menduduki kedudukan rawak secara bebas antara satu sama lain, dan bilangan titik ini jatuh ke dalam beberapa kawasan dikira. Dalam kes kami, kawasan sedemikian ialah segmen l pada paksi absis. Walau bagaimanapun, kesimpulan ini boleh dilanjutkan dengan mudah kepada kes pengagihan titik pada satah (medan rata rawak titik) dan dalam ruang (medan spatial titik rawak). Tidak sukar untuk membuktikan bahawa jika syarat dipenuhi:

1) mata diedarkan secara statistik seragam di lapangan dengan ketumpatan purata λ;

2) mata jatuh ke kawasan tidak bertindih secara bebas;

3) titik muncul secara tunggal, dan bukan berpasangan, kembar tiga, dsb.,

maka bilangan titik X yang jatuh ke mana-mana kawasan D (rata atau ruang) diagihkan mengikut hukum Poisson:

,

di mana a ialah purata bilangan mata yang jatuh ke dalam kawasan D.

Untuk kes rata a=SD λ, di mana SD ialah kawasan wilayah D,

untuk spatial a= VD λ, dengan VD ialah isipadu rantau D.

Untuk taburan Poisson bagi bilangan titik yang jatuh ke dalam segmen atau rantau, keadaan ketumpatan malar (λ=const) adalah tidak penting. Jika dua syarat yang lain dipenuhi, maka hukum Poisson masih berlaku, hanya parameter a di dalamnya mengambil ungkapan yang berbeza: ia diperoleh bukan dengan hanya mendarabkan ketumpatan λ dengan panjang, luas atau isipadu, tetapi dengan mengintegrasikan ketumpatan pembolehubah atas segmen, kawasan atau volum.

Pengagihan Poisson memainkan peranan penting dalam beberapa isu dalam fizik, teori komunikasi, teori kebolehpercayaan, teori beratur, dsb. Di mana-mana tempat di mana bilangan peristiwa rawak (pereputan radioaktif, panggilan telefon, kegagalan peralatan, kemalangan, dll.) boleh berlaku dalam tempoh masa tertentu.

Mari kita pertimbangkan situasi paling tipikal di mana pengedaran Poisson timbul. Biarkan beberapa acara (membeli-belah di kedai) berlaku secara rawak. Mari kita tentukan bilangan kejadian peristiwa tersebut dalam selang masa dari 0 hingga T.

Bilangan rawak peristiwa yang berlaku dalam masa dari 0 hingga T diedarkan mengikut hukum Poisson dengan parameter l=aT, di mana a>0 ialah parameter masalah yang mencerminkan purata kekerapan kejadian. Kebarangkalian k pembelian dalam selang masa yang besar (contohnya, sehari) akan menjadi

Kesimpulan

Sebagai kesimpulan, saya ingin ambil perhatian bahawa taburan Poisson ialah taburan yang agak biasa dan penting yang mempunyai aplikasi kedua-dua dalam teori kebarangkalian dan aplikasinya, dan dalam statistik matematik.

Banyak masalah praktikal akhirnya datang kepada pengedaran Poisson. Sifat istimewanya, yang terdiri dalam kesamaan jangkaan dan varians matematik, sering digunakan dalam amalan untuk menyelesaikan persoalan sama ada pembolehubah rawak diedarkan mengikut hukum Poisson atau tidak.

Juga penting ialah fakta bahawa undang-undang Poisson membenarkan seseorang untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa dalam percubaan bebas berulang dengan bilangan ulangan yang besar bagi eksperimen dan kebarangkalian tunggal yang kecil.

Walau bagaimanapun, taburan Bernoulli digunakan dalam amalan pengiraan ekonomi dan, khususnya, dalam analisis kestabilan, sangat jarang. Ini disebabkan kedua-dua kesukaran pengiraan dan fakta bahawa taburan Bernoulli adalah untuk kuantiti diskret, dan fakta bahawa keadaan skema klasik (kebebasan, bilangan ujian yang boleh dikira, invarian keadaan yang mempengaruhi kemungkinan kejadian berlaku) tidak selalu ditemui dalam situasi praktikal. Penyelidikan lanjut dalam bidang analisis skema Bernoulli, yang dijalankan pada abad ke-18-19. Laplace, Moivre, Poisson dan lain-lain bertujuan mewujudkan kemungkinan menggunakan skema Bernoulli dalam kes sejumlah besar ujian yang cenderung kepada infiniti.

kesusasteraan

1. Ventzel E.S. Teori kebarangkalian. - M, "Sekolah Tinggi" 1998

2. Gmurman V.E. Panduan untuk menyelesaikan masalah dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik. - M, "Sekolah Tinggi" 1998

3. Pengumpulan masalah dalam matematik untuk kolej. Ed. Efimova A.V. - M, Sains 1990

Dalam banyak masalah praktikal seseorang perlu berurusan dengan pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut undang-undang pelik yang dipanggil undang-undang Poisson.

Pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar yang hanya boleh mengambil integer, nilai bukan negatif:

Selain itu, urutan nilai ini secara teorinya tidak terhad.

Pembolehubah rawak dikatakan diedarkan mengikut hukum Poisson jika kebarangkalian ia akan mengambil nilai tertentu dinyatakan oleh formula

di mana a ialah beberapa kuantiti positif yang dipanggil parameter hukum Poisson.

Siri taburan pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson mempunyai bentuk:

Mari kita pastikan, pertama sekali, bahawa urutan kebarangkalian yang diberikan oleh formula (5.9.1) boleh menjadi siri taburan, i.e. bahawa jumlah semua kebarangkalian adalah sama dengan satu. Kami ada:

.

Dalam Rajah. 5.9.1 menunjukkan poligon taburan pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson, sepadan dengan pelbagai nilai parameter. Lampiran Jadual 8 menunjukkan nilai untuk pelbagai .

Mari kita tentukan ciri utama - jangkaan dan varians matematik - pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson. Mengikut definisi jangkaan matematik

.

Sebutan pertama jumlah (bersamaan dengan ) adalah sama dengan sifar, oleh itu, penjumlahan boleh bermula dengan:

Mari kita nyatakan; Kemudian

. (5.9.2)

Oleh itu, parameter adalah tidak lebih daripada jangkaan matematik pembolehubah rawak.

Untuk menentukan serakan, kita mula-mula mencari momen awal kedua kuantiti:

Mengikut terbukti sebelum ini

selain itu,

Oleh itu, varians pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson adalah sama dengan jangkaan matematiknya.

Sifat taburan Poisson ini sering digunakan dalam amalan untuk memutuskan sama ada hipotesis bahawa pembolehubah rawak diedarkan mengikut hukum Poisson adalah munasabah. Untuk melakukan ini, ciri statistik—jangkaan matematik dan serakan—pembolehubah rawak ditentukan daripada pengalaman. Sekiranya nilai mereka hampir, maka ini boleh berfungsi sebagai hujah yang memihak kepada hipotesis pengedaran Poisson; perbezaan ketara dalam ciri-ciri ini, sebaliknya, berhujah menentang hipotesis.

Mari kita tentukan bagi pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum Poisson kebarangkalian bahawa ia akan mengambil nilai tidak kurang daripada yang diberikan. Mari kita nyatakan kebarangkalian ini:

Jelas sekali, kebarangkalian boleh dikira sebagai jumlah

Walau bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk menentukannya daripada kebarangkalian peristiwa yang bertentangan:

(5.9.4)

Khususnya, kebarangkalian bahawa kuantiti akan mengambil nilai positif dinyatakan oleh formula

(5.9.5)

Kami telah menyebut bahawa banyak masalah amalan mengakibatkan pengedaran Poisson. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah tipikal seperti ini.

Biarkan mata diedarkan secara rawak pada paksi-x Lembu (Rajah 5.9.2). Mari kita andaikan bahawa taburan rawak mata memenuhi syarat berikut:

1. Kebarangkalian bilangan mata tertentu jatuh pada segmen bergantung hanya pada panjang segmen ini, tetapi tidak bergantung pada kedudukannya pada paksi absis. Dalam erti kata lain, titik diedarkan pada paksi-x dengan ketumpatan purata yang sama. Mari kita nyatakan ketumpatan ini (iaitu, jangkaan matematik bilangan mata seunit panjang) dengan .

2. Titik diedarkan pada paksi-x secara bebas antara satu sama lain, i.e. kebarangkalian satu atau satu lagi bilangan mata jatuh pada segmen tertentu tidak bergantung pada berapa banyak mata jatuh pada mana-mana segmen lain yang tidak bertindih dengannya.

3. Kebarangkalian dua atau lebih mata mengenai kawasan kecil adalah diabaikan berbanding dengan kebarangkalian satu mata memukul (keadaan ini bermaksud kemustahilan praktikal dua atau lebih mata bertepatan).

Mari pilih segmen panjang tertentu pada paksi absis dan pertimbangkan pembolehubah rawak diskret - bilangan mata yang jatuh pada segmen ini. Nilai yang mungkin akan menjadi

Oleh kerana mata jatuh pada segmen secara bebas antara satu sama lain, secara teorinya mungkin terdapat seberapa banyak daripada mereka di sana seperti yang dikehendaki, i.e. siri (5.9.6) berterusan selama-lamanya.

Mari kita buktikan bahawa pembolehubah rawak mempunyai hukum taburan Poisson. Untuk melakukan ini, kami mengira kebarangkalian bahawa terdapat titik tepat pada segmen tersebut.

Kita selesaikan masalah yang lebih mudah dahulu. Mari kita pertimbangkan kawasan kecil pada paksi Lembu dan hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu titik akan jatuh pada kawasan ini. Kami akan membuat alasan seperti berikut. Jangkaan matematik bilangan mata yang jatuh pada bahagian ini jelas sama (kerana purata mata jatuh setiap unit panjang). Mengikut syarat 3, untuk segmen kecil kita boleh mengabaikan kemungkinan dua atau lebih mata jatuh di atasnya. Oleh itu, jangkaan matematik bilangan mata yang jatuh pada kawasan itu akan lebih kurang sama dengan kebarangkalian satu mata jatuh di atasnya (atau, yang dalam keadaan kita bersamaan, sekurang-kurangnya satu).

Oleh itu, dengan ketepatan sehingga infinitesimal tertib lebih tinggi, kita boleh mengandaikan bahawa kebarangkalian bahawa satu (sekurang-kurangnya satu) titik akan jatuh di tapak adalah sama dengan , dan kebarangkalian bahawa tiada satu pun akan jatuh adalah sama dengan .

Mari kita gunakan ini untuk mengira kebarangkalian tepat mata jatuh pada segmen. Bahagikan ruas kepada bahagian yang sama panjang . Marilah kita bersetuju untuk memanggil segmen asas "kosong" jika ia tidak mengandungi satu titik, dan "diduduki" jika sekurang-kurangnya satu berlaku. Mengikut perkara di atas, kebarangkalian bahawa segmen itu akan "sibuk" adalah lebih kurang sama dengan ; kebarangkalian bahawa ia akan menjadi "kosong" adalah sama dengan . Oleh kerana, mengikut syarat 2, mata yang jatuh ke dalam segmen tidak bertindih adalah bebas, maka segmen n kami boleh dianggap sebagai "eksperimen" bebas, di mana setiap segmen boleh "diduduki" dengan kebarangkalian . Mari kita cari kebarangkalian bahawa di antara segmen akan ada betul-betul "diduduki". Mengikut teorem pengulangan eksperimen, kebarangkalian ini adalah sama dengan

atau, menandakan,

(5.9.7)

Apabila cukup besar, kebarangkalian ini adalah lebih kurang sama dengan kebarangkalian tepat mata jatuh pada segmen, kerana kebarangkalian dua atau lebih mata jatuh pada segmen adalah diabaikan. Untuk mencari nilai yang tepat, anda perlu pergi ke had dalam ungkapan (5.9.7) di:

(5.9.8)

Mari kita ubah ungkapan di bawah tanda had:

(5.9.9)

Pecahan pertama dan penyebut pecahan terakhir dalam ungkapan (5.9.9) untuk , jelas cenderung kepada perpaduan. Ungkapan tidak bergantung kepada. Pengangka bagi pecahan terakhir boleh diubah seperti berikut:

(5.9.10)

Bila dan ungkapan (5.9.10) cenderung kepada . Oleh itu, telah terbukti bahawa kebarangkalian tepat mata jatuh ke dalam segmen dinyatakan oleh formula

di mana, i.e. nilai X diedarkan mengikut hukum Poisson dengan parameter .

Ambil perhatian bahawa nilai ialah purata bilangan mata bagi setiap segmen.

Nilai (kebarangkalian bahawa nilai X akan mengambil nilai positif) dalam kes ini menyatakan kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu titik akan jatuh pada segmen:

Oleh itu, kami yakin bahawa taburan Poisson berlaku di mana beberapa titik (atau elemen lain) menduduki kedudukan rawak secara bebas antara satu sama lain, dan bilangan titik ini jatuh ke dalam beberapa kawasan dikira. Dalam kes kami, "wilayah" sedemikian adalah segmen pada paksi abscissa. Walau bagaimanapun, kesimpulan kami boleh diperluaskan dengan mudah kepada kes pengagihan titik pada satah (medan rata rawak titik) dan dalam ruang (medan spatial titik rawak). Tidak sukar untuk membuktikan bahawa jika syarat dipenuhi:

1) mata diedarkan secara statistik sama rata di lapangan dengan ketumpatan purata;

2) mata jatuh ke kawasan tidak bertindih secara bebas;

3) mata muncul secara tunggal, dan bukan berpasangan, tiga kali ganda, dsb., maka bilangan mata yang jatuh ke mana-mana kawasan (rata atau ruang) diagihkan mengikut undang-undang Poisson:

di manakah purata bilangan mata yang jatuh ke dalam kawasan itu.

Untuk kes rata

di manakah kawasan wilayah itu; untuk spatial

di manakah isipadu rantau itu.

Ambil perhatian bahawa untuk taburan Poisson bilangan titik yang jatuh ke dalam segmen atau rantau, keadaan ketumpatan malar () adalah tidak penting. Jika dua syarat lain dipenuhi, maka hukum Poisson masih berlaku, hanya parameter a di dalamnya mengambil ungkapan yang berbeza: ia diperoleh bukan dengan hanya mendarab ketumpatan dengan panjang, luas atau isipadu rantau, tetapi dengan menyepadukan ketumpatan berubah-ubah ke atas segmen, kawasan atau isipadu. (Untuk lebih lanjut tentang ini, lihat n° 19.4)

Kehadiran titik rawak yang bertaburan pada garis, satah, atau isipadu bukanlah satu-satunya keadaan di mana taburan Poisson berlaku. Sebagai contoh, seseorang boleh membuktikan bahawa hukum Poisson mengehadkan untuk taburan binomial:

, (5.9.12)

jika pada masa yang sama bilangan eksperimen cenderung kepada infiniti, dan kebarangkalian menjadi sifar, dan produk mereka mengekalkan nilai tetap:

Sesungguhnya, sifat mengehadkan taburan binomial ini boleh ditulis sebagai:

. (5.9.14)

Tetapi dari syarat (5.9.13) ia mengikutinya

Menggantikan (5.9.15) kepada (5.9.14), kita memperoleh kesamaan

, (5.9.16)

yang baru kita buktikan pada kesempatan lain.

Sifat mengehadkan undang-undang binomial ini sering digunakan dalam amalan. Mari kita anggap bahawa sejumlah besar eksperimen bebas dijalankan, di mana setiap satu peristiwa itu mempunyai kebarangkalian yang sangat rendah. Kemudian untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa akan muncul tepat sekali, anda boleh menggunakan formula anggaran:

, (5.9.17)

di manakah parameter hukum Poisson yang lebih kurang menggantikan taburan binomial.

Daripada sifat undang-undang Poisson ini - untuk menyatakan taburan binomial dengan sejumlah besar eksperimen dan kebarangkalian rendah sesuatu peristiwa - muncul namanya, sering digunakan dalam buku teks statistik: undang-undang fenomena jarang berlaku.

Mari kita lihat beberapa contoh yang berkaitan dengan pengedaran Poisson dari pelbagai bidang amalan.

Contoh 1. Pertukaran telefon automatik menerima panggilan dengan purata kepadatan panggilan setiap jam. Dengan mengandaikan bahawa bilangan panggilan dalam mana-mana tempoh masa diedarkan mengikut undang-undang Poisson, cari kebarangkalian bahawa tepat tiga panggilan akan tiba di stesen dalam masa dua minit.

Penyelesaian. Purata bilangan panggilan setiap dua minit ialah:

Sq.m. Untuk mencapai sasaran, sekurang-kurangnya satu serpihan cukup untuk memukulnya. Cari kebarangkalian mengenai sasaran pada kedudukan titik putus tertentu.

Penyelesaian. . Menggunakan formula (5.9.4) kita dapati kebarangkalian untuk memukul sekurang-kurangnya satu serpihan:

(Untuk mengira nilai fungsi eksponen, kami menggunakan Jadual 2 Lampiran).

Contoh 7. Purata ketumpatan mikrob patogen dalam satu meter padu udara ialah 100. Satu sampel 2 meter padu diambil. dm udara. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu mikrob akan ditemui di dalamnya.

Penyelesaian. Menerima hipotesis taburan Poisson bagi bilangan mikrob dalam isipadu, kita dapati:

Contoh 8. 50 tembakan bebas dilepaskan pada sasaran tertentu. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.04. Menggunakan sifat mengehadkan taburan binomial (formula (5.9.17)), cari lebih kurang kebarangkalian sasaran akan dipukul: bukan satu peluru, satu peluru, dua peluru.

Penyelesaian. Kami ada. Menggunakan jadual 8 dalam lampiran kita mencari kebarangkalian.

Sebaik sahaja permintaan mula masuk: “Mana Poisson? Di manakah masalah menggunakan formula Poisson? dan sebagainya. Jadi saya akan mulakan dengan kegunaan persendirian Pengedaran Poisson - disebabkan oleh permintaan yang tinggi untuk bahan tersebut.

Tugas itu sangat biasa:

Dan dua tugas seterusnya pada asasnya berbeza daripada yang sebelumnya:

Contoh 4

Pembolehubah rawak tertakluk kepada hukum Poisson dengan jangkaan matematik. Cari kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak yang diberikan akan mengambil nilai kurang daripada jangkaan matematiknya.

Perbezaannya ialah di sini kita bercakap TEPAT tentang pengedaran Poisson.

Penyelesaian: pembolehubah rawak mengambil nilai dengan kebarangkalian:

Mengikut syarat, , dan di sini semuanya mudah: acara itu terdiri daripada tiga hasil yang tidak konsisten:

Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai kurang daripada jangkaan matematiknya.

Jawab:

Tugas pemahaman yang serupa:

Contoh 5

Pembolehubah rawak tertakluk kepada hukum Poisson dengan jangkaan matematik. Cari kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak yang diberi akan mengambil nilai positif.

Penyelesaian dan jawapan ada di akhir pelajaran.

Selain itu menghampiritaburan binomial(Contoh 1-3), taburan Poisson telah digunakan secara meluas dalam teori beratur untuk ciri kebarangkalian yang paling mudah aliran peristiwa. Saya akan cuba ringkas:

Biarkan sesetengah sistem menerima permintaan (panggilan telefon, pelanggan masuk, dll.). Aliran aplikasi dipanggil yang paling mudah, jika ia memenuhi syarat pegun, tiada akibat Dan kebiasan. Kemantapan membayangkan bahawa keamatan permintaan tetap dan tidak bergantung pada masa hari, hari dalam minggu atau rangka masa lain. Dengan kata lain, tidak ada "waktu sibuk" dan tidak ada "jam mati". Ketiadaan akibat bermakna kebarangkalian permohonan baru tidak bergantung pada "prasejarah", i.e. tidak ada perkara seperti "seorang nenek memberitahu" dan yang lain "berlari" (atau, sebaliknya, melarikan diri). Dan akhirnya, sifat biasa dicirikan oleh fakta bahawa cukup kecil selang masa hampir mustahil kemunculan dua atau lebih aplikasi. "Dua wanita tua di pintu?" - Tidak, maafkan saya, lebih mudah untuk memotong mengikut urutan.

Jadi, biarkan beberapa sistem menerima aliran aplikasi yang paling mudah dengan intensiti sederhana aplikasi dalam unit masa tertentu (minit, jam, hari atau lain-lain). Kemudian kebarangkalian itu untuk tempoh masa tertentu, sistem akan menerima persis permintaan adalah sama dengan:

Contoh 6

Panggilan ke pusat penghantaran teksi adalah aliran Poisson yang ringkas dengan intensiti purata 30 panggilan sejam. Cari kebarangkalian bahawa: a) dalam 1 min. 2-3 panggilan akan tiba, b) akan ada sekurang-kurangnya satu panggilan dalam masa lima minit.

Penyelesaian: kami menggunakan formula Poisson:

a) Dengan mengambil kira pegun aliran, kami mengira purata bilangan panggilan setiap 1 minit:
panggilan - secara purata dalam satu minit.

Mengikut teorem penambahan kebarangkalian kejadian tidak serasi:
– kebarangkalian bahawa dalam 1 minit bilik kawalan akan menerima 2-3 panggilan.

b) Kira purata bilangan panggilan setiap lima minit: